Web viewPada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran vektor misalnya: kecepatan, gaya, luas permukaan, perpindahan
Post on 03-Feb-2018
235 Views
Preview:
Transcript
Y
Gambar 1.1
X
Z
0
V
Hal 1ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
BAB IREVIEW BEBERAPA PEMAKAIAN
MATEMATIKA
A. VEKTORA.1 PANJANG DAN ARAH VEKTORBesaran vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Jadi sebuah besaran vektor dicirikan oleh adanya besar dan arah, adapun posisi koordinatnya tidak ‘diperdulikan’ . Pada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran vektor misalnya: kecepatan, gaya, luas permukaan, perpindahan. Sedangkan besaran yang tidak mempunyai arah disebut besaran skalar.
Sebuah besaran vektor V dalam notasi matematik dituliskan:
(1.1) Sedangkan dalam gambar dilukiskan sebagai sebuah anak panah dimana besar vektornya digambarkan sebagai panjang anak panah,
Basis i , j , k masing-masing merupakan vektor yang besarnya satu dan arahya berturut-turut dalam arah sumbu +X, +Y, +Z.
Dua buah vektor disebut sama bila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Sedangkan dua buah vektor disebut berlawanan bila keduanya mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan.
Dengan demikian vektor V pada gambar 1.1 di atas dapat juga di lukiskan menjadi seperti pada Gambar 1.2 di bawah.
Pada gambar 1.2 di bawah terlihat titik tangkap anak panah
vektor V sekarang di titik O, hal ini tak mengapa karena vektor tersebut tetap sama (asalkan besar dan arahnya tetap
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
dan arahnya dinyatakan dengan ujung runcingnya.
Pada persaman 1.1, x, y, z
dinamakan komponen vektor V ,
sedangkan i , j , k disebut basis yang membentang ruang 3-dimensi
Gambar 1.2X
Y
Z
0
V
x
y
z
i j^ k
^U W
Hal 2ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
sama), jangan perdulikan posisinya. Terlihat dalam Gambar 1.2 U=V (sama ) dan V =− W (berlawanan ) .
Sekarang perhatikan, vektor V tersebut selalu dapat diuraikan (diproyeksikan) ke dalam arah sumbu +X, +Y, dan +Z yaitu V x= i x ; V y= j y ; V z=k z sehingga vektor V merupakan
‘kombinasi’ dari V x , V y , V z atau
V=V x+ V y+ V z .
Jelaslah panjang vektor V dapat dihitung dengan dalil
Phitagoras, sehingga panjang (besar) vektor V :
(1.2)
Seringkali penulisan |V| cukup ditulis V (tanpa tanda panah).
A.2 VEKTOR SATUANVektor satuan adalah vektor yang besarnya ‘satu’. Contoh
vektor satuan adalah: vektor basis i , j , k yang masing-masing arahnya (searah) sumbu +X, +Y, +Z. Bagaimanakah menyatakan sebuah vektor satuan dalam arah selain dalam arah-arah +X, +Y,
+Z diatas? misalnya vektor satuan yang searah vektor V (yang
ditulis V ).
Dapatlah dibuktikan bahwa vektor satuan yang searah dengan
vektor V adalah:
(1.3)
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 1.3
BA
A
D
B
B
A
D
B
E
Hal 3ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Silahkan periksa bahwa |V|=1, gunakan persaman 1.2.
A.3 PENJUMLAHAN VEKTOR
Misalnya tiga buah vektor A , B , C masing-masing dinyatakan:A= i A x+ j A y+k A z
B= i Bx+ j By+ k B z (1.4) C= i Cx+ j C y+k C z
secara gambar, misalnya dilukiskan
Maka penjumlahan dua buah vektor (A+B= D ) secara gambar dapat dilukiskan
Gambar 1.3
Sehingga penjumlahan tiga buah vektor A+B+C=E sekarang
dapat dilukiskan seperti pada gambar 1.4.
Gambar 1.4
Cara menjumlahkan vektor baik dengan cara gambar atau cara notasi masing-masing memiliki kelebihan. Dengan cara gambar kita dapat melihat ‘visualisasi’ tentang besar dan arah semua vektor, sedangkan dalam cara notasi kita dapat melakukan analisa secara analitik.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
atau
┐│├│┘
Sedangkan dalam notasi matematik
penjumlahan dua vektor A dan B dinyatakan
(1.5)
A
B
F
B
B
A
F
F
A cos
A
B
Hal 4ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
A.4 PENGURANGAN VEKTORDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka pengurangan
vektor A−B=F dengan cara gambar dapat dilukiskan
Gambar 1.5
Dalam notasi matematik pengurangan dua vektor A dan Bdinyatakan
(1.6) A.5 PERKALIAN VEKTORDalam ‘dunia’ vektor operasi perkalian antara dua vektor mempunyai definisi yang berbeda dengan perkalian pada bilangan real. Ada dua jenis perkalian vektor yaitu perkalian titik dan perkalian silang.
PERKALIAN TITIKDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi
matematik perkalian titik anatara dua vektor A dan B dinyatakan
(1.7) atau
(1.8) dari persamaan 1.6 dan 1.7 didapatkan
(1.9)
Secara gambar perkalian titik antara vektor A dan B dapat dilukiskan sebagai berikut.
Gambar 1.6
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
atau
Dengan melihat persamaan 1.8, gambar 1.6 dapat dijelaskan bahwa perkalian titik
antara dua vektor A dan B adalah perkalian
antara proyeksi |A| pada B dan |B|, dimana proyeksi |A| pada Badalah |A| cos θ.
A
B
BAarah
Hal 5ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Contoh aplikasi dari perkalian titik ini misalnya ketika menghitung usaha oleh gaya F yang menghasilkan pergeseran sejauh x seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini
Usaha oleh gaya F adalah U= F x cos θ . Dengan melihat persamaan
1.8 usaha oleh F dapat juga ditulis U= F⋅x ; ingatlah seperti ditulis diawal, gaya dan pergeseran masing-masing adalah besaran vektor. Perhatikan juga hasil dari perkalian titik adalah sebuah besaran skalar, dalam contoh diatas usaha adalah skalar. Catatan: sering kali besarnya suatu vektor misalnya
|F|cukup ditulis F .
PERKALIAN SILANGDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi
matematik, hasil perkalian silang antara dua vektor A dan B adalah determinan matriks berikut
(1.10) atau
(1.11) Terlihat hasil dari perkalian silang adalah sebuah vektor baru. Kemanakah arah vektor baru itu? - Lihatlah deskripsi
perkalian silang A×B dalam gambar 1.8 di bawah.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Arah hasil kali silang A×B dapat ditentukan dengan cara membayangkan arah
sekrup. Jika vektor A dan B membentuk
bidang maka arah A×B adalah tegak lurus terhadap bidang tersebut dan searah dengan arah sekrup jika sekrup diputar dalam arah AB (dalam contoh ini searah jarum jam, sehingga sekrup bergerak ke bawah).
F
x
Gambar 1.7
F
x
B
F
AGambar 1.10
Gambar 1.11
2F
1r
A2r
1F
B
Hal 6ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Gambar 1.8
Adapun besar vektor A×B dapat diperoleh dengan dalil Phitagoras
(1.12)
atau
(1.13)
A.6 INTEGRAL GARIS
Terlihat, pendekatan dengan mengambil segmen-segmen lintasan lurus akan menghasilkan bentuk lintasan yang ‘kasar’ karena
pengambilan panjang segmen-segmen r i cukup besar, sehingga bentuk lintasan tidak mirip seperti aslinya.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Pada gambar di samping, sebuah gaya F menghasilkan pergeseran sejauh x sehingga usaha yang dilakukan oleh
gaya F adalah U= F⋅x , Persamaan ini berlaku untuk lintasan x yang lurus. Bagaimanakah menghitung usaha oleh gaya F yang menghasilkan lintasan melengkung dari A ke B seperti terlihat pada gambar 1.10.
Gambar 1.9
Menghitung usaha oleh gaya F dapat didekati dengan membagi lintasan A B menjadi beberapa segmen lintasan lurus seperti diperlihatkan oleh gambar 1.11. Usaha total oleh F adalah jumlah setiap usaha pada masing-masing segmen tersebut:
Dimana,U i= F i⋅ri
sehingga,
U≃∑i=1
nFi⋅r i
nUUUU ...21
D
A
n
Hal 7ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Agar pendekatan yang diambil dapat lebih bagus maka segmen-
segmen lintasan r i harus diambil sekecil mungkin dengan resiko banyaknya segmen (n) bertambah bayak. Tentu saja paling sempurna adalah dengan mengambil segmen-segmen yang kecilnya mendekati nol sehingga n=, secara matematis hal ini dapat ditulis:
U=limr→0∑i=1
nFi⋅ri
(1.14a)atau
(1.14b)
Inilah yang disebut integral lintasan, dimana vektor F adalah sembarang vektor, dan d r adalah elemen diferensial (segmen-segmen) lintasan.
A.7 INTEGRAL PERMUKAAN
Dan kerapatan fluk (D) adalah jumlah lintasan partikel
persatuan luas atau D=φ/ A, Sehingga .
Gambar 1.13 di bawah melukiskan lintasan dengan kerapatan D menembus permukaan secara tidak tegak-lurus terhadap luas penampang A (membentuk sudut terhadap normal bidang). Sehingga fluks total yang menembus permukaan A adalah
kerapatan fluks D diproyeksikan dahulu pada arah normal n
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 1.12
Gambar disamping melukiskan lintasan partikel-partikel air pada suatu penampang pipa air. Didefinisikan bahwa fluks () adalah jumlah lintasan partikel yang menembus penampang seluas A secara tegak-lurus terhadap penampang (sejajar dengan normal bidang A),
φ=(D cos θ) ( A ) atauφ=DA cos θ (1.15)
(1.16)
Pada persamaan di atas, karena komponen kerapatan fluks D harus tegak-lurus terhadap penampang luas maka komponen Gambar 1.13
Gambar 1.14
A1D1
Hal 8ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
permukaan A, kemudian dikalikan dengan A. Perhatikan kerapatan fluks D dan luas permukaan A merupakan besaran vektor. Perhatikan pula persamaan 1.16 hanya berlaku untuk penampang A yang datar.
Bagaimanakah menghitung fluks pada permukaan yang tidak datar atau melengkung ? Gambar 1.14 di bawah melukiskan permukaan lengkung yang ditembus oleh listasan-lintasan partikel.
Sehingga,
Agar pendekatan yang diambil dapat lebih bagus maka segmen-
segmen luas Ai harus diambil sekecil mungkin (semakin kecil
akan semakin mendekati bentuk datar) dengan resiko banyaknya segmen (n) bertambah bayak. Tentu saja paling sempurna adalah dengan mengambil segmen-segmen yang kecilnya mendekati nol sehingga n=, secara matematis hal ini dapat ditulis:
φ= lim
Ai→ 0∑i=1
nDi ¿ A i
(1.17a)atau
(1.17b)
Inilah yang disebut integral permukaan. Secara umum, vektor D
adalah sembarang vektor dan d A adalah elemen diferensial (segmen-segmen) luas.
B. OPERATOR DEL (∇)
B.1 OPERATOR DEL (∇) DAN BEBERAPA JENIS OPERASINYA OPERATOR DAN OPERANSeorang pegawai tukang ketik biasanya disebut juga operator mesin ketik, sedangkan mesin ketiknya disebut operan. Jadi
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Untuk menghitung fluks total pada permukaan yang lengkung dapat dilakukan dengan cara membagi-bagi luas menjadi beberapa segmen luas yang hampir datar, kemudian jumlahkan semua fluks pada masing-masing segmen:
φ=φ1+φ2+.. .+φndimana,
φ i=Di⋅A i
Hal 9ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
operator adalah seseorang (sesuatu) yang mengoperasikan suatu obyek (misalnya mesin ketik). Sesuatu yang menjadi obyek operasi disebut operan (mesin ketik), adapun nama dari operasinya adalah mengetik. Jadi seorang operator komputer akan mengoperasikan suatu obyek operan yaitu komputer, dan nama operasinya bisa mengetik, memasukkan data, ngegame, dll
Dalam matematika ada berbagai jenis operator misalnya operator
turunan ( ), operator ini dapat beroperasi pada suatu
operan misalnya sehingga bentuk operasinya
dan hasil operasinya adalah .
OPERATOR DEL ()Operator Del didefinikan sebagai
(1.18)Operator ini dapat bekerja pada beberapa jenis operan, dan melakukan berbagai jenis operasi.
OPERASI GRADIEN Operator Del melakuakan jenis opersi Gradien bila bekerja pada
operan berupa fungsi skalar dengan definisi
OPERASI DIVERGENSI Operator Del melakukan jenis opersi Divergensi bila bekerja
pada operan berupa fungsi vektor dimana
Definisi operasi Divergensi adalah
OPERASI CURL Operator Del melakukan jenis opersi Curl bila bekerja pada
operan berupa fungsi vektor dimana
Definisi operasi Curl adalah
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 10ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
OPERATOR LAPLACIAN (2)Operator Laplacian didefinisikan
Bila beroperasi pada sebuah fungsi skalar maka bentuk operasinya
Bila beroperasi pada fungsi vektor dimana
Maka bentuk operasinya
C SISTEM KOORDINATPada semua pembahasan diatas kita telah menggunakan sistem koordinat kartesian. Dalam sub bab ini akan diperkenalkan beberapa sistem kordinat yang lain yaitu: Koordianat Silinder, dan Koordinat Bola.
C.1 SISTEM KOORDINAT SILINDER
Sebuah titik P selain dinyatakan dengan koordinat kartesian P(x,y,z), dapat juga dinyatakan dalam koordinat silinder P(,,z). Hubungan transformasi masing-masing koordinat adalah
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 11ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Adapun elemen-elemen diferensial panjang, luas, dan volume dinyatakan
Untuk keperluan metransformasi medan (fungsi vektor) dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain perlu mengetahui hasil-hasil perkalian titik dari masing-masing basis
C.2 SISTEM KOORDINAT BOLA
Sebuah titik P selain dinyatakan dengan koordinat kartesian P(x,y,z), dapat juga dinyatakan dalam koordinat bola P(r,,). Hubungan transformasi masing-masing koordinat adalah
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Cos -sin 0
Sin Cos 0
0 0 1
Hal 12ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Adapun elemen-elemen diferensial panjang, luas, dan volume dinyatakan
Untuk keperluan metransformasi medan (fungsi vektor) dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain, maka perlu mengetahui hasil-hasil perkalian titik dari masing-masing basis
C.3 BERBAGAI OPERASI DEL DALAM KOORDINAT TABUNG
C.4 BERBAGAI OPERASI DEL DALAM KOORDINAT BOLA
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Sin Cos Cos cos -sin
Sin Sin Cos sin Cos
Cos -sin 0
Hal 13ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
TEOREMA DIVERGENSI
Ruas kiri menyatakan integral permukaan tertutup s, sementara ruas kanan menyatatakan integral volume dimana vol adalah volume yg dibatasi oleh permukaan tertutup s.
TEOREMA STOKES
Ruas kiri menyatakan integral lintasan tertutup c, sementara ruas kanan menyatatakan integral permukaan dimana s adalah permukaan yg dibatasi oleh kurva tertutup c.
BAB IIDISKRIPSI GELOMBANG
2.1 REVIEW TENTANG GELOMBANG Secara umum gelombang adalah solusi dari persamaan diferensial berikut
Dimana salah satu solusi dari persaman diferensial tersebut adalah:
Ψ ( z , t )=A cos (ωt±βz+ϕ ) dimana β=ω
v Dalam representasi notasi euler solusi diatas biasa ditulis
Ψ ( z , t )=A e j (wt±βz ) atau dalam bentuk fasor
Ψ s( z ,t )=A e j(±βz ) disini A=A e jϕ
2.2 GERAK OSILASI SEDERHANA
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 2.1
t
bb
t
Gambar 2.3
Hal 14ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Gerak osilasi sederhana adalah gerak lurus yang memenuhi persamaan gerak
Pada persamaan di atas, argumen (t + ) disebut fasa, sedangkan y menyatakan simpangan, A menyatakan amplitudo, menyatakan frekuensi sudut, t menyatakan waktu, dan menyatakan fasa awal. Persamaan di atas bila digambar dalam sumbu y dan t adalah sebagai berikut:
Gambar 2.2 memperlihatkan sebuah partikel bergerak melingkar yang sedang berada di titik b, perhatikan proyeksinya pada sumbu y dan pemetaannya pada grafik gelombang sinus. Dapatlah dibayangkan bahwa proyeksi partikel pada sumbu y adalah gerak osilasi.Grafik sinus pada gambar 2.2 di atas menyatakan juga proyeksi partikel pada sumbu y tetapi juga dipetakan pada sumbu waktu.
2.3 GEJALA GELOMBANG Sebuah gelombang dicirikan oleh adanya perambatan energi melalui suatu medium tetapi medium itu sendiri tidak ikut merambat, Contohnya adalah gelombang tali,gelombang air, gelombang suara.
Bila pada suatu tempat pada tali itu kita tandai, misalnya dengan mengecatkan warna putih. ternyata tanda putih itu hanya bergerak naik-turun saja, tidak bergerak sesuai arah perambatan gelombang. Demikian pula titik-titik yang lain pada
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Untuk mengamati gelombang tali dapat dilakukan dengan mengikatkan tali pada paku di tembok, kemudian ujung yang lain digerakkan naik-turun. Gambar 2.3 menggambarkan sebuah gelombang tali.
Tampak pada gambar 2.1, simpangan y berubah-ubah secara periodik (bolak-balik). Contoh gerak osilasi adalah gerak bandul matematik dan gerak beban yang terikat pada pegas. Sesungguhnya gerak osilasi dapat juga dibayangkan sebagai proyeksi pada sumbu y dari gerak pertikel yang sedang bergerak melingkar dengan kecepatan sudut .
Gambar 2.2
y
yy
t
y
Gambar 1.4
y
Aabyb
xxb
Hal 15ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
tali, sebuah titik yang semula diam tiba-tiba bergerak naik-turun seakan ada yang menggerakkan. Siapa yang menggerakkan?
Ternyata titik itu digerakkan oleh titik disebelahnya yang melakukan gerakan naik-turun lebih dahulu, demikian seterusnya setiap titik akan ‘menularkan’ gerakan naik-turun pada titik sebelahnya. Jadi tali dalam hal ini sebagai medium tidak bergerak dalam arah perambatan gelombang tetapi hanya bergerak naik-turun saja akibat tertular gerak naik-turun titik sebelahnya. Karena gerak naik-turun adalah suatu energi mekanik maka proses menularkan gerak naik-turun adalah proses memindahkan energi dari satu titik ke titik sebelahnya.
Ingat, hanya energilah yang dipindahkan atau dirambatkan, bukan mediumnya yang dirambatkan. Demikian pula dengan gelombang air atau pun gelombang suara.
Titik-titik pada tali, gerakan naik-turunnya tidak searah dengan arah perambatan gelombang tetapi tegak lurus , gelombang dengan ciri seperti itu disebut dengan gelombang transversal. Seandainya gerakan titik itu searah dengan arah perambatan gelombang maka gelombang itu disebut gelombang longitudinal, contohnya gelombang longitudinal adalah gelombang suara dan gelombang pegas.
2.4 PERSAMAN GELOMBANG Perhatikanlah gambar 1.4 di bawah ini yang menggambarkan sebuah gelombang tali. Misalkan, gelombang tersebut merambat pada arah kekanan dengan kecepatan rambat v.
Sedangkan titik b keadaannya berada pada simpangan yb, akan bergerak ke atas dan jaraknya dari sumber adalah xb . Fasa dapat dinyatakan dengan satuan sudut. Memang pada lazimnya fasa dinyatakan dengan sudut. Nah, bagaimana menyatakan fasa dalam satuan sudut?
Perhatikan gambar 1.5 dimana sebuah titik pada gelombang dapat dipandang sebagai proyeksi sebuah titik yang bergerak pada lingkaran dengan kecepatan sudut tetap dengan jejari A, ketika kedudukan titik pada lingkaran berada pada sudut
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Keadaan tertentu dari suatu titik pada tali disebut fasa misalnya titik a keadaannya berada pada simpangan nol, akan bergerak ke bawah, dan jaraknya dari pusat koordinat adalah -xa.
Gambar 1.5
bb
y
x
Hal 16ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
tertentu, sudut inilah yang digunakan sebagai besaran fasa (dihitung dari sumbu x positip).
jarak ini disebut juga panjang gelombang biasanya dinotasikan dengan . Jarak ini oleh perambatan gelombang ditempuh dalam waktu T yang disebut perioda waktu.Banyaknya perioda yang terbentuk dalam waktu satu sekon disebut frekuensi dinotasikan f. Ini semua berarti harus berlaku
f=1/Tv=λ /T= λ f
Bila dikaitkan kembali dengan gambar 1.5 maka satu perioda adalah ditempuhnya satu lingkaran penuh oleh satu titik pada lingkaran, ini berarti frekuensi adalah jumlah putaran yang ditempuh suatu titik pada lingkaran itu dalam waktu satu sekon, sehingga
ω=2 πf =2 π /T Setiap titik pada tali akan mempunyai kedudukan /
simpangan y sebagai fungsi dari x dan t yaituy ( x ,t )=sin ( βx−ωt+ϕo ) atauy ( x ,t )=cos (βx−ωt+ϕ 'o)
Bila gelombang merambat kekiri makay ( x ,t )=sin( βx+ωt+ϕo) atauy ( x ,t )=cos (βx+ωt+ϕ 'o )
Argumen dari sin atau cos diatas yaitu (x±t+o) merupakan satuan sudut, inilah yang dinamakan fasa. dinamakan tetapan gelombang (=2/), o disebut fasa awal atau fasa ketika x=0 dan t=0 biasa disebut juga tetapan fasa.
2.5 PRINSIP SUPERPOSISIDua buah gelombang atau lebih dapat berada pada (lokasi)
medium yang sama, bentuk akhir dari beberapa gelombang pada sebuah lokasi dinamakan superposisi dari beberapa gelombang tersebut. Misalnya pada seutas tali, ujung yang satu (kiri) menjadi sumber gelombang, ujung yang lain (kanan) menjadi sumber gelombang yang lain, kedua gelombang akan menjalar pada tali yang sama, bentuk akhir dari kedua gelombang yang
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Sedangkan simpangan maksimum yang dapat dicapai sebuah titik adalah A disebut amplitudo. Jarak satu perioda adalah jarak antar titik terdekat yang fasanya sama,
Gambar 1.6a Gambar 1.6b Gambar 1.6c Gambar 1.6d
Hal 17ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
kebetulan saling berlawanan arah ini disebut superposisi gelombang.
Gambar 1.6c di atas memperlihatkan hasil superposisi maksimum dari dua buah pulsa gelombang yang bertabrakan dari kiri dan kanan. Perhatikan, Setelah bertabrakan kedua pulsa ‘berpisah’, seperti yang terlihat pada gambar 1.6d.
Kata superposisi disini dapat diperluas artinya yaitu: suatu operasi penjumlahan yang bersifat linier atau dalam hal ini penjumlahan biasa. Artinya hasil akhir dari beberapa gelombang yang berada pada suatu lokasi yang sama adalah penjumlahan biasa dari beberapa gelombang tersebut. Untuk contoh tali diatas misalnya gelombang dari kiri adalah y1(x,t) sedang yang dari kakan y2(x,t) maka hasil superposisi keduanya adalah
y R(x , t )= y1 (x ,)+ y2 ( x , t )N buah sirine yang yang masing-masing menghasilkan gelombang y1, y2, y3, … ,yN akan menghasilkan superposisi gelombang diudara:
y R= y1+ y2+ y3+. ..+ y N
MENJUMLAHKAN FUNGSI SINUSOIDAL Untuk kasus dua buah gelombang dengan frekuensi, dan fasa awal sembarang tetapi amplitudo sama, misalnya
y1=A sin ( βx−ω1 t+ϕo1 )y2=A sin( βx−ω2 t+ϕo 2)
maka hasil penjumlahan yR=y1+y2 dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan penjumlahan sin:
sin B+sin C=2sin 12(B+C ) cos 1
2(B−C )Sedangkan untuk kasus gelombang-gelombang yang frekuensi () dan tetapan gelombangnya () sama tetapi fasa awal dan amplitudo sembarang dapat dilakukan dengan teknik fasor, misalnya
y1=A1cos ( βx−ωt+ϕo 1 )y2=A2cos ( βx−ωt+ϕo 2 )y3=A3 cos( βx−ωt+ϕo3)
.
.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
yd
yp
Gambar 1.7
Hal 18ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
y N=AN cos (βx−ωt+ϕoN )maka langkah-langkah untuk mendapatkan yR=y1+y2+y3+…+yN adalah sebagai berikut:
Hasil penjumlahan N buah gelomang tersebut adalah yR= AR
cos (x-t+R) sehingga yang harus di cari adalah AR dan R.
Hitung AR dan R dengan cara:
AR={(∑i=1
N
A i cosϕoi)2
+(∑i=1
N
A i sin ϕoi)2}
1/2
ϕ R=tan−1(∑i=1
N
A isin ϕoi
∑i=1
N
Ai cos ϕoi )2.6 GELOMBANG BERDIRI Perhatikan gambar 1.7 dibawah ini. Pada gambar tersebut, sebuah pulsa gelombang pada tali yang menjalar kekanan akan dipantulkan oleh dinding tembok, hasil pemantulan adalah sebuah pulsa yang bergerak kekiri dengan fasa berlawanan, ini terlihat dari kedudukan puncak pulsa pantulan yang berlawanan dengan puncak pulsa sebelumnya, sehingga beda fasa kedua pulsa tersebut sebesar 180o. Bila yang dikrimkan bukan pulsa tetapi gelombang (terus-menerus) yang merambat kekanan maka gelombang tersebut juga akan dipantulkan oleh dinding. Hasil pemantulan tersebut akan merambat kekiri dengan fasa yang berlawanan.
Kedua gelombang ini akan bertabrakan (bersuperposisi) sehingga menghasilkan gelombang yR
y R= yd+ y p
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Sebut saja gelombang yang merambat kekanan sebagai gelombang datang (yd) dan gelombang yang merambat kekiri sebagai gelombang pantul (yp).
yd=A sin ( βx−ωt )y p=A sin (− βx−ωt+180o )
Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus
sin B+sin C=2sin 12(B+C ) cos 1
2 (B−C )maka didapat
y R=2 A cos βx sin ωtyR ini disebut sebagai gelombang berdiri yang berbeda dengan gelombang biasa (berjalan). Persamaan yR tersebut dapat dituliskan
y R=A ' sin ωt
dimana A '=2 A cos( βx ). Dalam hal ini
Gambar 1.9
simpangan
Hal 19ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
osilator harmonik yang independen dengan amplitudo A’ yang
merupakan fungsi x karena A '=2 A cos(kx ), hal ini menunjukkan juga bahwa pada x=(n+1
2 )π /k maka A '=0, artinya akan ada titik-titik tertentu di sepanjang tali yang amplitudo osilatornya nol. Tabel dibawah ini menunjukkan perbedaan antara gelombang berdiri dan gelombang berjalan.
Gelombang Berdiri Gelombang BerjalanPada setiap titik Amplitudonya bervariasi
Pada setiap titik Amplitudonya sama
Ada titik-titik yang amplitudonya nol
Tak ada titik yang amplitudonya nol
Tidak ada perambatan Ada perambatan2.7 POLARISASI
Lakukanlah percobaan berikut: 1. Ikatkan ujung sebuah tali yang cukup panjang pada sebuah
tiang lalu tarik, ujung yang lain dipegang dan buatlah sebuah gelombang vertikal dengan menggerakkan tangan naik-turun (vertikal). Karena tangan anda bergerak dalam arah vertikal maka gelombang yang terjadi adalah gelombang yang berpolarisasi linier vertikal (kata linier karena gerakan tangan anda embuat garis lurus dan vertikal).
2. Sekarang buat gelombang dengan cara menggerakkan tangan horisontal maka gelombang yang terjadi adalah sebuah gelombang dengan polarisasi linier horisontal.
3. Sekarang lakukan gerakan tangan, mula-mula seperti percobaan (1) diatas yaitu dengan menggerakkan tangan lurus naik-turun vertikal, kemudian gerakan naik-turun tersebut diubah arahnya dari vertikal agak sedikit miring kekanan secara kontinu, lalu ubah sedikit demi sedikit arah kemiringan sehingga membuat satu lingkaran penuh. Ulangi terus sampai gelombang tali yang terjadi terlihat melingkar-lingkar seperti terlihat pada gambar 6.9. Polarisasi yang terjadi ini disebut polarisasi lingkaran.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus
sin B+sin C=2sin 12(B+C ) cos 1
2 (B−C )maka didapat
y R=2 A cos βx sin ωtyR ini disebut sebagai gelombang berdiri yang berbeda dengan gelombang biasa (berjalan). Persamaan yR tersebut dapat dituliskan
y R=A ' sin ωt
dimana A '=2 A cos( βx ). Dalam hal ini
Sebuah cahaya (foton) dapat memiliki salah satu jenis polarisasi: Linier, Lingkaran, atau bahkan Elips. Tetapi seberkas cahaya lampu atau matahari yang terdiri dari milyaran foton dan masing-masing foton memiliki jenis
Hal 20ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
polarisasinya sendiri sehingga secara total berkas cahaya matahari polarisasinya adalah acak atau sering disebut takterpolarisasi.
2.8 TEORI HUYGENSCobalah anda ganggu air di bak dengan cara mencelupkan tangan ditengah bak tersebut, maka terlihat riak air yang melingkar dan menjuhi tangan anda. Lingkaran riak air yang terlihat adalah muka gelombang. Teori Huygens menyatakan bahwa setiap titik pada muka gelombang merupakan sumber gelombang baru. Teori ini dapat menjelaskan berbagai gelala gelombang seperti interferensi, difraksi, dan lain-lain.
BAB IIISOLUSI GELOMBANG DARI PERSAMAAN MAXWELL
3.1 GELOMBANG DATAR DALAM BAHAN KONDUKTIVSecara lengkap persamaan-persamaan Maxwell adalah:
∇⋅ε E=ρv (3.1a)∇⋅B=0 (3.1b)
∇×E=−∂B∂ t (3.1c)
∇×Bμ=J+ ∂ ε E
∂ t (3.1d)
dimana J=σ E dan
Bμ= H
.Konstanta-konstanta ε , μ , σ merupakan karakteristik bahan/medium
pada mana medan E dan B berada, masing-masing dinamakan ‘permitivitas’, ‘permeabilitas’, dan ‘konduktifitas’, dan
memenuhi definsi ε=ε r ε o dan μ=μr μ0.
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 21ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Jika diasumsikan bahwa setiap atom dalam bahan/medium mempunyai jumlah proton dan elektron sama sehingga muatan
totalnya nol, berarti rapat muatannya ρv=0 , sehingga persamaan Maxwell diatas menjadi:
∇⋅ε E=0 (3.2a)∇⋅B=0 (3.2b)
∇×E=−∂B∂ t (3.2c)
∇×Bμ=σ E+ ∂ ε E
∂ t (3.2d)
Dengan sedikit manipulasi, persamaan-persamaan Maxwell di atas
akan dapat memberikan solusi gelombang E dan B yang dalam bentuk fasor dituliskan:
E s( z )=Em e±γ z(3.3)
Bs ( z )= Bm e± γ z atau H s ( z )=H me±γ z
; H=
Bμ
yang merupakan gelombang datar dimana
γ= jω√μ(ε− j σω )
(3.4)
=α+ jβ (3.5)dapat diturunkan bahwa:
α=ω√ με√2 [√1+( σ
ωε )2−1]
1/2
Np /m(3.6)
β=ω√ με√2 [√1+( σ
ωε )2
+1]1/2
rad /m (3.7)
dengan substitusi (3.5) ke (3.3) maka ekspresi (3.3) menjadi:
E s( z )=Em e±(α+ jβ ) z(3.8)
Tanda ± pada ± γ menyatakan perambatan E dan B merambat kakanan (arah z membesar) jika − γ (bertanda minus), atau jika sebaliknya kekiri. Dapatlah dipilih salah satu, untuk kemudahan biasanya diplih − γ sehingga persamaan (3.8) menjadi
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 22ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
E s( z )=Em e−αz e− jβz
dimanaEm=Em e jφ
Jadi solusi E( z ) bila dituliskan dalam bentuk yang lengkap (bukan fasor):
E( z )=Em e−αz e jωt e− jβz e jφ atau
E( z )=Em e−αz e j (ωt−βz+φ )(3.9)
sehingga bentuk realnya E( z )=Em e−αz cos (ωt−βz+φ ) (3.10)
Didefinisikan pula impedansi karakteristik bahan η yaitu:
η=√ μ
(ε− j σω )
= √ με
[1+( σωε )
2 ]1/4 e
j12 tan−1( σ
ωε )= EH
(3.11)
=|η| e jθη =
EH
sehingga
H s=Eη=
E|η|
e− jθη
(3.12)maka bentuk riel gelombang H adalah
H ( z )=Em
|η|e−αz cos (ωt−βz+φ−θη )
(3.13)
3.2 GELOMBANG DALAM BAHAN NONKONDUKTIFBahan nonkonduktiv adalah bahan dimana σ≃0 sehingga beberapa persamaan yang didapat terdahulu menjadi terkoreksi dengan mengabaikan (menganggap nol) harga σ .
Perhatikan persamaan-persamaan yang telah terkoreksi berikut:J=0 (3.14)
γ= jβ= jω√με (3.15)α=0 (3.16)
β=ω √με (3.17)
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 3.1
x
yz
Ex
Hy
Vz
Hal 23ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
η=√ με (3.18)
E( z )=Em cos (ωt−βz+φ)) (3.19)
H ( z )=Em
ηcos (ωt−βz+φ )
(3.20)
Khusus untuk medium udara atau ruang hampa harga μr=εr=1 yang
berarti μ=μo dan ε=ε o sehinggaγ= jβ= jω√μoε o
β=ω √μo ε o=ωc=2 π
λ; c=3×108 m / s
η=√ μo
ε o=377
3.3 PERBEDAAN GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTIF DAN NONKONDUKTIF
Gelombang pada persamaan (3.19) dan (3.20) adalah gelombang yang menjalar didalam bahan nonkonduktiv (σ≃0), perhatikan pada kedua gelombng E( z ) dan H ( z ) tersebut:
1) Tidak ada suku e−αz karena α=0 artinya tak ada redaman
2) Konstanta fasa φ untuk medan E( z ) dan H ( z ) sama karena
impedansi karakteristiknya bilangan real η=√ μ
ε
Gambar 3.1 di bawah mengilustrasikan gelombang Ex( z ) dan H y ( z )
pada medium nonkonduktiv, perhatikanlah arah medan E( z ) dan H ( z ) saling tegak lurus, dan masing-masing juga tegak lurus terhadap arah penjalaran (sumbu z).
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 3.2
x
y
z
Ex
Hy
Hal 24ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
Sekarang perhatikan Gambar 3.2 berikut yang mengambarkan
gelombang E( z ) dan H ( z ) pada medium konduktiv yaitu medium dimana σ >>0
Terlihat, bahwa:
1) Karena α≠0 maka terdapat suku e−αz yang merupakan faktor
peredam terhadap amplituto gelombang, sehingga gelombang teredam secara eksponensal negatif. α disebut konstanta redaman.
2) Pada z=Δz=1α amplitudo gelombang tersisa Em e−1
, harga z=1
α disebut ‘skin depth’ (δ ), jadi δ=1α.
3) Gelombang Ex( z ) dan H y ( z ) tidak sefasa karena konstanta fasa berbeda dengan selisih θη (lihat persaman (3.11) dan (3.13)), hal ini disebabkan besaran impedansi karakteristik bahan (η ) merupakan bilangan kompleks
η=|η| ejθη
.
Terlihat pula arah medan E( z ) dan H ( z ) saling tegak-lurus, dan masing-masing tegak-lurus juga terhadap arah penjalaran gelombang (sumbu z).
DAYA DAN VEKTOR POYNTING (℘)
Vektor Poynting ℘ didefinisikan sebagai
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 25ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
℘=E× H watt/m2
Vektor poynting menyatakan banyaknya rapat daya pada permukaan yang dilewati oleh suatu gelombang atau intensitas gelombang pada permukaan yang dilewati, sedangkan arah vektornya menunjukkan arah perambatan gelombang.
MisalnyaEx=Em e−αz cos (ωt−βz ) ax dan
H y=Em
|η|e−αz cos (ωt−βz−θη ) ay
Maka besarnya vektor Poynting,
℘=Ex H y sin (900 )=Em
2
|η|e−2 αz cos (ωt−βt ) cos (ωt−βt−θη )
Adapun arah vektor Poynting sesuai aturan sekrup adalah dalam
arah sumbu z (℘z=Ex× H y).
VEKTOR POYNTING RATA-RATAKarena vektor Poynting masih merupakan fungsi yang berfluktuasi terhadap waktu, maka perlu didefinisikan vektor poynting rata-rata waktu:
℘av=1T ∫0
T
℘( t )dt dimana T adalah perioda (1/f).
Untuk contoh Ex dan H y di atas maka
℘av=12
Em2
|η|e−2 αz cos θη
Pada contoh diatas, gelombang adalah teredam dengan α≠0 dan η kompleks, maka jika gelombang tak teredam (α=0 dan η real) vektor poynting rata-ratanya adalah:
℘av=12
Em2
η
POLARISASI
BAB IVPANTULAN GELOMBANG
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
z
Et
Ht
v
Ei
Hi
v
-v
Er Hr
0Gambar 4.1
Hal 26ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
4.1 PANTULAN TEGAK LURUS PADA BATAS DUA MEDIUM
dan sebagian juga ada yang diteruskan sebagai gelombang
transmisi Et dan H t di meduim 2 (z>0). Bila kita tuliskan semua
gelombang tersebut :Ex
i = Em 1+ e
−γ1 z
H yi =
Em1+
η1e−γ1 z
Exr = Em1
− eγ1 z
H yr =−
Em 1−
η1e γ1 z
Ext =Em2
+ e−γ2 z
H yt =
Em2+
η2e− γ2 z
Karena di z=0 harus berlaku prinsip kontinuitas maka di titik tersebut harus berlaku syarat batas kontinuitas :Medan E :
[ Exi + Ex
r ]z=0=[ Ext ]z=0 sehingga Em1
+ + Em 1− =Em 2
+ (4.1)
Medan H:
[ H yi +H y
r ]z=0=[ H yt ]z=0sehingga
Em1+
η1−
Em 1−
η1=
Em 2+
η2 (4.2) Dari (4.1) dan (4.2) didapat :
Em1−
Em1+ =
η2−η1
η2+ η1= Γ
(4.3)Disebut koefisien pantul (refleksi), dan
Em 1−
Em 1+ =
2 η2
η2+ η1=T ; T=1+ Γ
(4.4)Disebut koefisien transmisi.4.2 PANTULAN TEGAK LURUS PADA BATAS TIGA MEDIUM
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar di samping memperlihatkan
sebuah gelombang datang Ei dan H i
datang dari medium 1 (z<0), gelombang tersebut pada perbatasan medium (z=0) akan di pantulkan
sebagai gelombang pantul Er dan H r,
. . .
Z=0 Z=d Z Daerah 1 Daerah 2 Daerah 3
0 z=d
Daerah 3 Daerah 2 Daerah 1
Hal 27ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
BAB V____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 4.2
Hal 28ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
SALURAN TRANSMISI UNTUK SINYAL SINUSOIDAL
Pada rangkaian listrik, dimensi rangkaian biasanya lebih kecil dibandingkan panjang gelombang sinyal yang ditransmisikan, sehingga dapat dipandang sebagai sebuah rangkaian yang tergumpal.
Tinjauan saluran transmisi yang akan dibahas pada bab ini adalah saluran yang panjangnya tidak dapat diabaikan tarhadap sinyal yang ditransmisikan.
BAB VRADIASI DAN ANTENA
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 29ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Hal 30ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213
____________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________
STTTELKOM SUPRAYOGI
Gambar 4.3
top related