D. -Doric • R. Lazovic • M. Stojanovic
ZBIRKA ZADATAKAIZ
MATEMATIKE II
Diferencijalne jednacine
Prvi kolokvijumi
Ispitni zadaci 1997-2000
Fakultet organizacionih nauka
Beograd, 2000
ISBN 86 - 80239 - 46 - 1
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE II
D. -Doric • R. Lazovic • M. Stojanovic
Z B I R K A Z A D A T A K A
IZ
M A T E M A T I K E II
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
BEOGRAD, 2000.
Mr Dragan -Doric, Dr Rade Lazovic, Dr Milica Stojanovic
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE II
Recenzenti
Dr Slobodan Dajovic, redovni profesor, FONDr Vera Kovacevic - Vujcic, redovni profesor, FON
Izdavac
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA, Jove Ilica 154
Za izdavaca
Dr -Doka Malesevic, vanredni profesor
Kompjuterski slog
Mr Dragan -Doric
Stampa
JUNIOR, Beograd
ISBN 86 - 80239 - 46 - 1
Tiraz 200.
Copyright c© -D. & L. & S., 2000.
Autori zadrzavaju sva prava. Bez pismene saglasnosti autoranije dozvoljeno reprodukovanje (fotokopiranje, fotografisanje,magnetni upis ili umnozavanje na bilo koji nacin) ili ponovnoobjavljivanje sadrzaja (u celini ili u delovima) ove knjige.
PREDGOVOR
Zbirka je namenjena prvenstveno studentima Fakulteta organi-zacionih nauka u Beogradu i odnosi se na jedan deo sadrzaja pred-meta Matematika II. Napisana je prema vazecem programu [1], aobuhvata sest tema iz Teorije obicnih diferencijalnih jednacina iSistema diferencijalnih jednacina.
Zbirka sadrzi 505 zadataka razvrstanih u vise manjih celina.U okviru svake od njih zadaci su grupisani po srodnosti sa nizompodnaslova. Takv pristup omogucava studentima brze snalazenje isistematicnije usvajanje metoda i postupaka u resavanju zadataka.Za one koji zele da koriste i druge zbirke, predlozen je spisak odnekoliko knjiga [2] -[7].
Na kraju zbirke je dato 18 primera Prvog kolokvijuma, kao izadaci sa svih pismenih ispita odrzanih poslednje tri godine.
Za pomoc i saradnju zahvaljujemo recenzentima Prof. Dr. VeriKovacevic - Vujcic i Prof. Dr. Slobodanu Dajovicu. Od studenataocekujemo korisne sugestije u cilju poboljsanja kvaliteta Zbirke.
Beograd, 2000. Autori
SADRZAJ
Jednacine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Jednacine kojima se moze sniziti red . . . . . . . . . . . . 29
Linearne homogene jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Linearne nehomogene jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Prvi kolokvijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Pismeni ispit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
JEDNACINE PRVOG REDA
Opste, partikularno i singularno resenje
U zadacima 1.-5. dokazati da data jednoparametarska familijafunkcija fC : x 7→ y predstavlja opste resenje date diferencijalnejednacine.
1. y = Cx+ C − C3, y′3 − y′ − xy′ + y = 0.
2. y = sin x− 1 + Ce− sin x, y′ + y cos x =sin 2x
2.
3. y2 = 2Cx+ C2, yy′2+ 2xy′ − y = 0.
4. ln y ln x = C, y ln ydx+ x ln xdy = 0.
5. (1 + y3)2 = (1 + x2)3 + C, y′ =x(1 + y3)
y2(1 + x2).
6. Dokazati da je y = Ce− arctan x opste resenje diferencijalnejednacine
ydx+ (1 + x2)dy = 0,
a zatim odrediti resenje za koje je y(1) = 1.
7. Dokazati da je y2 = x2 − C
1 + Copste resenje diferencijalne
jednacine
xy(1− y′2) = (x2 − y2 − 1)y′,
a zatim odrediti partikularno resenje za koje je y(1) = 0.
8 jednacine prvog reda
8. Dokazati da je y = eC tan(x/2) opste resenje diferencijalnejednacine
ydx+ (1 + x2)dy = 0,
a zatim odrediti partikularno resenje za koje je: (1) y(π/2) = e,(2) y(π/2) = 1.
9. Data je diferencijalna jednacina
y′ = 3√
(y − x)2 + 1.
(1) Dokazati da je y =
(
x− C3
)3
+ x njeno opste resenje.
(2) Odrediti partikularno resenje za koje je y(1) = 2.(3) Da li postoji resenje date jednacine koje se ne moze dobiti
iz opsteg resenja ?
10. Dokazati da je y = Cx + C2 opste resenje, a y = −x2/4singularno resenje diferencijalne jednacine
xy′ + y′2 − y = 0.
11. Dokazati da je x2 = C(y − C) opste resenje, a y = 2x iy = −2x singularna resenja diferencijalne jednacine
xy′2 − 2yy′ + 4x = 0.
12. Dokazati da je y = Cex + 1/C opste resenje, a y = 2ex/2 iy = −2ex/2 singularna resenja diferencijalne jednacine
y′2 − yy′ + ex = 0.
13. Dokazati da je y = Cx+C lnC opste resenje, a y = e−(x+1)
singularno resenje diferencijalne jednacine
y = xy′ + y′ ln y′.
Jednacine sa razdvojenim promenljivim
U zadacima 14.-21. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
14. x(y + 1)dx− y(x2 + 1)dy = 0.
jednacine prvog reda 9
15. y(1− x2)dy − x(1− y2)dx = 0.
16. xydx+ (1 + y2)√1 + x2dy = 0.
17. y′ + y2 = 1.
18.√
1− y2dx+√1− x2dy = 0.
19. (xy2 + y2)dx+ (x2 − x2y)dy = 0.
20. ex tan ydx = (ex − 1) cos−2 ydy.
21. 2y′ = cos(x− y)− cos(x+ y).
U zadacima 22.-30. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
22. y′ = xy + x+ y + 1.
23. x+ xy + y′(y + xy) = 0.
24. (xy2 + x)dx+ (y − x2y)dy = 0.
25. y′ tan x− y = 1.
26.√
1− y2dx+ y√1− x2dy = 0.
27. x√
1 + y2 + yy′√1 + x2 = 0.
28. e−y(1 + y′) = 1.
29. ey(1 + x2)dy − 2x(1 + ey)dx = 0.
30. ex sin3 y + (1 + e2x) cos yy′ = 0.
U zadacima 31.-41. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
31. y − xy′ = 2(1 + x2y′), y(1) = 1.
10 jednacine prvog reda
32. y′ sin x− y cos x = 0, y(π/2) = 1.
33. y′ + sin(x− y) = sin(x+ y), y(π) = π/2.
34. ydx+ (1 + x2)dy = 0, y(1) = 1.
35. x2(y3 + 5)dx+ (x3 + 5)y2dy = 0, y(0) = 1.
36. x√
1 + y2dx+ y√1 + x2dy = 0, y(
√3) = 0.
37. tan ydx− x ln xdy = 0, x(π/2) = e.
38. (1 + y2)dx+ (1 + x2)dy = 0, y(1) = 2.
39. (1 + ex)yy′ = ex, y(0) = 1.
40. y′ sin x = y ln y, y(π/2) = e.
41. x3y′ sin y = 2, y → π/2 (x→∞).
U zadacima 42.-48., najpre odgovarajucom smenom svesti datudiferencijalnu jednacinu na jednacinu sa razdvojenim promenljivim,a zatim odrediti njeno opste resenje.
42. (x+ y)y′ = 1.
43. (3x+ y)y′ = 1.
44. y′ =√2x+ y − 3.
45. y′ = cos(x+ y).
46. (x+ y)dx+ (x+ y − 1)dy = 0.
47. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0.
48. (x− y + 2)dx+ (x− y + 3)dy = 0.
jednacine prvog reda 11
49. Odrediti jednacinu familije krivih kod kojih tacka dodiratangente i krive deli odsecak tangente izme -du koordinatnih osa nadva podudarna dela.
50. Odrediti jednacinu krive koja sadrzi tacku A(2, 0) i za kojuje odsecak tangente izme -du dodirne tacke i ordinatne ose jednak 2.
Homogene jednacine
U zadacima 51.-54. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
51. xdy = (x+ y)dx.
52. 2x2dy = (x2 + y2)dx.
53. (x+ y)dx+ (x− y)dy = 0.
54. (x2 + y2)dx− 2xydy = 0.
U zadacima 55.-68. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
55. y − xy′ = y lnx
y.
56. xy′ =√
x2 − y2 + y.
57. y − xy′ = x+ yy′.
58. xy′ cosy
x= y cos
y
x− x.
59. y′ +x2 + y2
xy= 0.
60. xydy − y2dx = (x+ y)2e−y/xdx.
61. (x2 − xy)dy + y2dx = 0.
12 jednacine prvog reda
62. y′ = ey/x +y
x+ 1.
63. xy′ = x siny
x+ y.
64. xy′ + x cosy
x− y + x = 0.
65. xy′ − y =√
x2 + y2.
66. xy′ = y lny
x.
67. x2y′ = xy + y2e−x/y.
68. x cosy
x(ydx+ xdy) = y sin
y
x(xdy − ydx).
U zadacima 69.-71. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
69. y′ =ex/y
1 +x
yex/y
, y(0) = −1.
70. y′(x2 − y2) = xy, y(0) = e.
71. (xy′ − y) arctan yx= x, y(1) = 0.
72. Odrediti jednacinu krive za koju je odsecak tangente izme -dukoordinatnih osa jednak proizvodu koordinata dodirne tacke.
Jednacine koje se svode na homogene
U zadacima 73.-79. odgovarajucom smenom svesti datu difer-encijalnu jednacinu na homogenu i zatim odrediti njeno opste resenje.
73. (x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0.
jednacine prvog reda 13
74. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0.
75. y′ = − x− 2y + 5
2x− 5y + 4.
76. y′ =x+ y − 3
x− y − 1.
77. y′ =2x+ y − 1
4x+ 2y + 5.
78. y′ =
(
y + 1
x+ y − 2
)2
.
79. (3y − 7x+ 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0.
U zadacima 80.-81. smenom y = zα svesti datu diferencijalnujednacinu na homogenu, a zatim odrediti njeno opste resenje.
80. (x2y2 − 1)dy + 2xy3dx = 0.
81. 2x4yy′ + y4 = 4x6.
Linearne jednacine
U zadacima 82.-93. resiti datu linearnu diferencijalnu jednaci-nu.
82. y′ + 2xy = 2xe−x2.
83. y′ + sin x = y + cos x.
84. y′ + 2xy = 2x2e−x2.
85. xy′ + 2y = x2.
86. (x3 + y)dx− xdy = 0.
14 jednacine prvog reda
87. y′ +1− 2x
x2y = 1.
88. y′ + y = cos x.
89. ex2y′ + 2xyex
2= x sin x.
90. y′ − 2x+ 1
x2 + x+ 1y = cos x− 2x+ 1
x2 + x+ 1sin x.
91. y′ + y tan x =1
cos x.
92. (1 + x2)y′ − 2xy = (1 + x2)2.
93. (x− x3)y′ + (2x2 − 1)y − x3 = 0.
U zadacima 94.-98. odrediti partikularno resenje date linearnediferencijalne jednacine koje zadovoljava dati uslov.
94. (x2 − 1)y′ + 2xy − 4x = 0, y(2) = 2.
95. xy′ − y
x+ 1= x, y(1) = 0.
96. y′ + y cos x = sin x cos x, y(0) = 0.
97. y′ − y tan x =1
cos x, y(0) = 1.
98. x(x− 1)y′ + y = x2(2x− 1), y(2) = 4.
U zadacima 99.-105. resiti datu diferencijalnu jednacinu kojaje linearna po x.
99. (y2 − 6x)y′ + 2y = 0.
100. (x− 2xy − y2)y′ + y2 = 0.
101. y′ =1
2x− y2.
jednacine prvog reda 15
102. (y2 + 1)dx = (xy + y2 + 1)dy.
103. y′ =y
2y ln y + y − x.
104. (1 + y2)dx =(√
1 + y2 sin y − xy)
dy.
105. (1 + y2)dx = (arctan y − x)dy.
106. Odrediti ono resenje diferencijalne jednacine
y′ sin 2x = 2(y + cos x)
koje je ograniceno kad x→ π/2.
107. Odrediti ono resenje diferencijalne jednacine
y′ sin x− y cos x = −sin2 x
x2
koje tezi nuli kad x→∞.
Bernulijeva jednacina
U zadacima 108.-129. resiti datu Bernulijevu diferencijalnujednacinu.
108. y′ − xy = −xy3.
109. y′ + 2xy = 2xy2.
110. y′ + 2xy = 2x3y3.
111. xy′ + y = y2 ln x.
112. y′ +y
x+ 1+ y2 = 0.
113. 3xy2y′ − 2y3 = x3.
16 jednacine prvog reda
114. xy′ − 4y − x2√y = 0.
115. y′(x2y3 + xy) = 1.
116. (y ln x− 2)ydx = xdy.
117. (x3 + ey)y′ = 3x2.
118. y′ + 2xy = y2ex2.
119. y′ − 2yex = 2√yex.
120. 2y′ ln x+y
x=cos x
y.
121. 2y′ sin x+ y cos x = y3 sin2 x.
122. (x2 + y2 + 1)dy + xydx = 0.
123. y′ − y cos x = y2 cos x.
124. dy + (xy − xy3)dx = 0.
125. xy′ − y2 ln x+ y = 0.
126. y′ +xy
1− x2= x√y.
127. y′ +2y
x=
2√y
cos2 x.
128. (1 + x2)y′ − 2xy = 4√
y(1 + x2) arctan x.
129. y′x3 sin y + 2y = xy′.
Jednacine sa totalnim diferencijalom
U zadacima 130.-153. resiti datu diferencijalnu jednacinu satotalnim diferencijalom.
130. (y − 3x2)dx+ (x− 4y)dy = 0.
jednacine prvog reda 17
131. x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y′ = 0.
132. (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y + 4y3)dy = 0.
133.
(
x√
x2 + y2+
1
x+
1
y
)
dx =
(
x
y2− y√
x2 + y2+
1
y
)
dy.
134.
(
2x+x2 + y2
x2y
)
dx =x2 + y2
xy2dy.
135.
(
1
x2+
3y2
x4
)
dx =2y
x3dy.
136. xdx+ ydy =ydx− xdyx2 + y2
.
137. eydx+ (xey − 2y)dy = 0.
138. yxy−1dx+ xy ln xdy = 0.
139. (3y2 + 2xy + 2x)dx+ (6xy + x2 + 3)dy = 0.
140. 2x(
1 +√
x2 − y)
dx−√
x2 − ydy = 0.
141.
(
1
x− y2
(x− y)2
)
dx+
(
x2
(x− y)2− 1
y
)
dy = 0.
142.
(
sin 2x
y+ x
)
dx+
(
y − sin2 x
y2
)
dy = 0.
143. (3x2 − 2x− y)dx+ (2y − x+ 3y2)dy = 0.
144.
(
xy√1 + x2
+ 2xy − y
x
)
dx+(√
1 + x2 + x2 − ln x)
dy = 0.
145.xdx+ ydy√
x2 + y2+xdy − ydx
x2= 0.
18 jednacine prvog reda
146.
(
sin y + y sin x+1
x
)
dx+
(
x cos y − cos x+1
y
)
dy = 0.
147. (3x2y + y3)dx+ (x3 + 3xy2)dy = 0.
148. e−ydx+ (1− xe−y)dy = 0.
149.xdx+ (2x+ y)dy
(x+ y)2= 0.
150.
(
y2
(x− y)2− 1
x
)
dx+
(
1
y− x2
(x− y)2
)
dy = 0.
151.
(
x
sin y+ 2
)
dx+(x2 + 1) cos y
cos 2y − 1dy = 0.
152. (sin xy + xy cos xy)dx+ x2 cos xydy = 0.
153.y + sin x cos2 xy
cos2 xydy +
(
x
cos2 xy+ sin y
)
dy = 0.
U zadacima 154.-157. odrediti partikularno resenje date difer-encijalne jednacine sa totalnim diferencijalom koje zadovoljava datiuslov.
154.2x
y3dx+
y2 − 3x2
y4dy = 0, y(1) = 1.
155.(x+ 2)dx+ ydy
(x+ y)2= 0, y(1) = 0.
156. 3x2eydx+ (x3ey − 1)dy = 0, y(0) = 1.
157. 2x cos2 ydx+ (2y − x2 sin 2y)dy = 0, y(0) = 0.
Integracioni faktor
U zadacima 158.-166. odrediti integracioni faktor oblika µ(x)i opste resenje date diferencijalne jednacine.
jednacine prvog reda 19
158. (x2 − y)dx+ xdy = 0.
159. (1− x2y)dx+ x2(y − x)dy = 0.
160.(
1− xy
)
dx+
(
2xy +x
y+x2
y2
)
dy = 0.
161. (x2 − 3y2)dx+ 2xydy = 0.
162. (x4 ln x− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0.
163.(
e2x − y2)
dx+ ydy = 0.
164. (x sin y + y)dx+ (x2 cos y + x ln x)dy = 0.
165. (x+ sin x+ sin y)dx+ cos ydy = 0.
166. (2x2y + 2y + 5)dx+ (2x3 + 2x)dy = 0.
U zadacima 167.-172. odrediti integracioni faktor oblika µ(y)i opste resenje date diferencijalne jednacine.
167. y2dx+ (yx− 1)dy = 0.
168. (2xy2 − 3y3)dx+ (7− 3xy2)dy = 0.
169. 2xy ln ydx+(
x2 + y2√
y2 + 1)
dy = 0.
170. (sin x+ ey)dx+ cos xdy = 0.
171. (3x2 cos y − sin y) cos ydx− xdy = 0.
172. (1 + 3x2 sin y)dx− x cot ydy = 0.
U zadacima 173.-176. odrediti integracioni faktor koji je oblikaµ(x, y) i opste resenje date diferencijalne jednacine.
173. (3y2 − x)dx+ (2y3 − 6xy)dy = 0.
20 jednacine prvog reda
174. (x2 + y2 + 1)dx− 2xydy = 0.
175. xdx+ ydy + x(xdy − ydx) = 0.
176. ydx− (x+ x2 + y2)dy = 0.
U zadacima 177.-181. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
177. y(1 + xy)dx− xdy = 0.
178.y
xdx+ (y3 − ln x)dy = 0.
179. (2x2y + 2y + 5)dx+ (2x3 + 2x)dy = 0.
180. (x4 ln x− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0.
181. (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0.
Razne jednacine
U zadacima 182.-200. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
182. x2dy + (3− 2xy)dx = 0.
183. x(x2 + 1)y′ + y = x(1 + x2)2.
184.xy′ − yx
= tany
x.
185. y′ =1 + y2
xy(1 + x2).
186. y′ = e2x − exy.
187. y′ =1
x cos y + sin 2y.
jednacine prvog reda 21
188. y′ = (x+ y)2.
189. y′ =4x− y + 3
y − x+ 1.
190. y′ =2(y + 2)2
(x+ y − 1)2.
191. y′ =y2 − x
2y(x+ 1).
192. y′ =y3
2(xy2 − x2).
193. yy′ + x =1
2
(
x2 + y2
x
)2
.
194. y′ =y2
2xy + 3.
195. e2x − ex+y(1 + y′) = 0.
196. y′ =y
x(1 + ln y − ln x).
197. (x+ y)dx+ (x− y)dy = 0.
198. y′ + xy2 +y
x= 0.
199. (x+ ln y)dx+
(
1 +x
y+ sin y
)
dy = 0.
200. y′ + sinx+ y
2= sin
x− y2
.
22 jednacine prvog reda
Resenja:
6. y = eπ/4−arctan x.
7. y = 0.
8. (1) y = etan(x/2), (2) y = 1.
9. (2) y = ((x+ 2)/3)3 + x, (3) y = x.
14. Cey = (y + 1)√x2 + 1, y = −1 je s.r.
15. 1− y2 = C(1− x2), (C 6= 0), y = ±1, x = ±1 su s.r.
16.√1 + x2 + ln |y|+ y2/2 = C, y = 0 je s.r.
17. y = tanh(x+ C), y = coth(x+ C), y = ±1 su s.r.
18. x√
1− y2 + y√1− x2 = C, y = ±1 su s.r.
19. ln(x/y) = (x+ y)/(xy) + C, x = 0 i y = 0 su s.r.
20. tan y = (ex − 1)C, x = 0 je s.r.
21. y = 2 arctan(Ce− cos x) + nπ, (C 6= 0), y = kπ.
22. Ce(x+1)2/2 − 1.
23. x+ y = ln |C(x+ 1)(y + 1)|.24. 1 + y2 = C(1− x2).25. y = C sin x− 1.
26.√
1− y2 = arcsin x+ C.
27.√1 + x2 +
√
1 + y2 = C.
28. ex = C(1− e−y).29. 1 + ey = C(1 + x2).
30. arctan ex = 1/(2 sin2 y) + C.
31. y = (2 + x)/(1 + 2x).
32. y = sin x.
33. tan(y/2) = e2 sin x.
34. y = eπ/4−arctan x.
35. (x3 + 5)(y3 + 5) = 30.
36.√1 + x2 +
√
1 + y2 = 3.
37. x = esin y.
jednacine prvog reda 23
38. (x+ y)/(1− xy) = −3.39. y2 = 2 ln(1 + ex) + 1− 2 ln 2.
40. y = etan(x/2).
41. y = arccos(1/x2).
42. y − ln |x+ y + 1| = C.
43. (3x+ y)/3− ln |9x+ 3y + 1|/9 = x+ C.
44. 2√2x+ y − 3− 4 ln(
√2x+ y − 3 + 2) = x+ C.
45. y = −x+ 2 arctan(x+ C) + 2nπ, y = −x+ (2n+ 1)π.
46. (x+ y − 1)2 + 2x = C.
47. x+ 2y + 3 ln |x+ y − 2| = C.
48. ln |2x− 2y + 5| − 2(x+ y − 2) = C.
49. y = C/x.
50. y =√4− x2 + 2 ln |(2−
√4− x2)/x|.
51. y = x(ln |x|+ C), x = 0 je s.r.
52. x = Ce−2x/(y−x), x = 0 i y = x su s.r.
53. x2 + 2xy − y2 = C.
54. x2 − y2 − Cx = 0.
55. y = xeCx.
56. y = x sin lnCx, (e−π/2 ≤ Cx ≤ eπ/2).
57. arctany
x+ ln(C
√
x2 + y2) = 0, C > 0).
58. ln |x|+ siny
x= C.
59. x2(x2 + 2y2) = C.
60. (x+ y) lnCx = xey/x.
61. y = Cey/x.
62. ey/x =Cx
1− Cx.
63. y = 2x arctanCx.
64. tany
2x= ln(C/x).
65. x2 = C2 + 2Cy.
24 jednacine prvog reda
66. y = xe1+Cx.
67. ex/y + ln |x| = C.
68. xy cos(y/x) = C.
69. x− y ln(ln |y| − 1) = 0.
70. (x/y)2 + ln y2 = 2.
71.√
x2 + y2 = e(y/x) arctan(y/x).
72. x = Ce2√y/x ili x = Ce−2
√y/x.
73. x2 + 2xy − y2 − 4x+ 8y = C.
74. x+ 2y + 3 ln |x+ y − 2| = C.
75. y − x− 3 = C(y + x+ 1)3.
76. C√
(x− 2)2 + (y − 1)2 = earctan(y+1/x−3).
77. 10y − 5x+ 7 ln |10x+ 5y + 9| = C.
78. y + 1 = Ce−2 arctan(y+1/x−3).
79. (x+ y − 1)5(x− y − 1)2 = C.
80. 1 + x2y2 = Cy, (α = −1).81. α = 3/2.
82. y = (x2 + C)e−x2.
83. y = Cex + sin x.
84. y = (2x3/3 + C)e−x2.
85. y = x2/4 + C/x2.
86. y = x3/2 + Cx.
87. y = Cx2e1/x + x2.
88. y = Ce−x + (cos x+ sin x)/2.
89. y = Ce−x2+ (sin x− x cos x)e−x2 .
90. y = C(x2 + x+ 1) + sin x.
91. y = C cos x+ sin x.
92. y = (x+ C)(1 + x2).
93. y = x+ Cx√1− x2.
94. y = 2.
jednacine prvog reda 25
95. y = x(x− 1 + ln |x|)/(x+ 1).
96. y = sin x− 1 + e− sin x.
97. y = x/ cos x+ 1.
98. y = x2.
99. x = y2/2 + Cy3.
100. x = y2(1 + Ce1/y).
101. x = Ce2y + y2/2 + y/2 + 1/4.
102. x/√
y2 + 1− ln |y +√
y2 + 1| = C.
103. x = y ln y + C/y.
104. x√
1 + y2 + cos y = C.
105. x = arctan y − 1 + Ce− arctan y.
106. y = tan x− 1/ cos x.
107. y = sin x/x.
108. y2(1 + Ce−x2) = 1.
109. y = 1/(1 + Cex2).
110. 1/y2 = Ce2x2+ x2 + 1/2.
111. y = 1/(1 + Cx+ ln x).
112. y = 1/((1 + x)(C + ln(1 + x))).
113. y3 = x3 + Cx.
114. y = x4 ln2 |Cx|/4.115. y(Cx+ ln x+ 1) = 1.
116. y(Cx2 + ln x2 + 1) = 4.
117. x3e−y = C + y.
118. y = e−x2/(C − x).
119.√y + 1 = Cee
x
.
120. y2 ln x = C + sin x.
121. y2(C − x) sin x = 1.
122. y4 + 2x2y2 + 2y2 = C.
123. y = 1/(Ce− sin x − 1).
26 jednacine prvog reda
124. y2(Cex2+ 1) = 1.
125. 1/y = 1 + ln x+ Cx.
126.√y = C 4
√1− x2 − (1− x2)/3.
127. y = ((C + ln | cos x|)/x+ tan x)2.
128. y = 0 ili y = (1 + x2)(arctan2 x+ C)2.
129. y = 0 ili y = (C − cos y)x2.130. 2y2 − xy + x3 = C.
131. x4 + x2y2 + y4 = C.
132. x3 + 3x2y2 + y4 = C.
133.√
x2 + y2 + ln |xy|+ x/y = C.
134. x3y + x2 − y2 = Cxy.
135. x+ y2 = Cx3.
136. x2 + y2 − 2 arctan(x/y) = C.
137. xey − y2 = C.
138. xy = C.
139. 3xy2 + x2y + 3y + x2 = C.
140. x2 + 2(x2 − y)3/2/3 = C.
141. xy/(x− y) + ln(x/y) = C.
142. sin2 x/y + (x2 + y2)/2 = C.
143. x3 + y3 − x2 − xy + y2 = C.
144. y√1 + x2 + x2y − y ln x = C.
145.√
x2 + y2 + y/x = C.
146. x sin y − y cos x+ ln |xy| = C.
147. xy(x2 + y2) = C.
148. y + xe−y = C.
149. ln(x+ y)− x/(x+ y) = C.
150. ln(y/x)− xy/(x− y) = C.
151. x2 + 1 = 2(C − 2x) sin y.
152. x sin xy = C.
153. tan(xy)− cos x− cos y = C.
jednacine prvog reda 27
154. y = x.
155. ln |x+ y| = y/(x+ y).
156. x3ey − y = −1.157. 2y2 + x2 cos y + x2 = 0.
158. µ = 1/x2, x+ y/x = C.
159. µ = 1/x2, xy2 − 2x2y − 2 = Cx.
160. µ = 1/x, ln |x|+ ln |y|+ y2 − xy = C.
161. µ = 1/x4, y2 = Cx3 + x2.
162. µ = 1/x4, y3 + x3(ln x− 1) = Cx2.
163. µ = e−2x, y2 = (C − 2x)e2x.
164. µ = 1/x, x sin y + y ln x = C.
165. µ = ex, 2ex sin y + 2ex(x− 1) + ex(sin x− cos x) = C.
166. µ = 1/(1 + x2), 5 arctan x+ 2xy = C.
167. µ = 1/y, xy − ln y = 0.
168. µ = 1/y2, x2 − 7/y − 3xy = C.
169. µ = 1/y, x2 ln y + (y2 + 1)3/2/3 = C.
170. µ = e−y, e−y cos x = C + x.
171. µ = 1/ cos2 y, x3 − x tan y = C.
172. µ = 1/ sin y, x/ sin y + x3 = C.
173. µ = 1/(x+ y2)3, (x+ y2)2C = x− y2.174. µ = 1/(1 + y2 − x2)2, 1 + y2 − x2 = Cx.
175. µ = 1/(x2 + y2)3/2, y − 1 = C√
x2 + y2.
176. µ = 1/(x2 + y2), arctan(x/y)− y = C.
177. x2 + 2x/y = C.
178. y2/2 + ln x/y = C.
179. 5 arctan x+ 2xy = C.
180. y3 + x3(ln x− 1) = Cx2.
181. (x sin y + y cos y − sin y)ex = C.
182. y = Cx2 + 1/x.
183. y = C√x2 + 1/x+ (1 + x2)2/(3x).
28 jednacine prvog reda
184. sin(y/x) = Cx.
185. (1 + x2)(1 + y2) = Cx2.
186. y = Ce−ex
+ ex − 1.
187. x = Cesin y − 2(1 + sin y).
188. arctan(x+ y) = x+ C.
189. (2x− y + 1/3)(2x+ y + 5)3 = C.
190. e−2 arctan((y+2)/(x−3)) = C(y + 2).
191. y2 = x+ (x+ 1) ln(C/(x+ 1)).
192. y2e−y2/x = C.
193. Cx = 1− x/(x2 + y2).
194. x = Cy2 − 1/y.
195. e2x/2− ex+y − ey = C.
196. y/x = eCx.
197. x2 − y2 + 2xy = C.
198. y(x2 + Cx) = 1.
199. x2/2 + x ln y + y cos y = C.
200. ln | tan(y/4)| = C − 2 sin(x/2).
JEDNACINE KOJIMA SE MOZE SNIZITI RED
F (x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0
U zadacima 1.-17. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
1. y′′′ = x+ cos x.
2. y(4) = x.
3. xy′′ + y′ − x2 = 0.
4. x3y′′ + x2y′ = 1.
5. y′′x ln x = y′.
6. xy′′ − y′ = exx2.
7. y(4) =√y′′′.
8. xy′′ = y′.
9. (1 + x2)y′′ + y′2+ 1 = 0.
10. (1 + x2)y′′ + 2xy′ = x3.
11. xy′′ = y′ lny′
x.
12. y′′′ = y′′3.
30 jednacine kojima se moze sniziti red
13. xy′′′ − y′′ = 0.
14. y′′x ln x = y′.
15. xy′′ = (1 + 2x2)y′.
16. y′′ + y′ tan x = sin 2x.
17. y′′ tan x = y′ + 1.
U zadacima 18.-24. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
18. y′′(x+ 2)5 = 1, y(−1) = 1/12, y′(−1) = −1/4.
19. y′′ = xex, y(0) = y′(0) = 0.
20. y′′ + y′ + 2 = 0, y(0) = 0, y′(0) = −2.
21. y′′ = y′ ln y′, y(0) = 0, y′(0) = 1.
22. y′′ = 4 cos 2x, y(0) = y′(0) = 0.
23. y′′ =1
cos2 x, y
(π
4
)
=ln 2
2, y′
(π
4
)
= 1.
24. y′′′ =6
x3, y(1) = 2, y′(1) = y′′(1) = 1.
F (y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
U zadacima 25.-40. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
25. y′2+ yy′′ = 0.
26. yy′′ = y′2 − y′3.
27. yy′′ + y′2= 0.
jednacine kojima se moze sniziti red 31
28. y′′ + y′2= 2e−y.
29. y′′ + 2yy′3= 0.
30. yy′′ + y′2= y2 ln y.
31. y′′ tan y = 2y′2.
32. yy′′ = y2y′ + y′2.
33. y′′y3 = −1.
34. y′′ = 1 + y′2.
35. 2yy′′ = y′2.
36. yy′′ = y′2.
37. 2yy′′ = 1 + y′2.
38. yy′′ = y′ + y′2.
39. 2yy′′ = 1 + y′2.
40. 2yy′′ − 3y′2= 4y2.
U zadacima 41.-44. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
41. y′′ = 2yy′, y(0) = y′(0) = 1.
42. 3y′y′′ = 2y, y(0) = y′(0) = 1.
43. 2y′′ = 3y2, y(−2) = 1, y′(−2) = −1.
44. y′′ = e2y, y(0) = 0, y′(0) = 1.
32 jednacine kojima se moze sniziti red
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0, F - homogena funkcija
U zadacima 45.-50. odrediti opste resenje date diferencijalnejednacine.
45. x2yy′′ = (y − xy′)2.
46. xyy′′ − xy′2 = yy′.
47. xyy′′ + xy′2= yy′.
48. xyy′′ + xy′2= 3yy′.
49. y′′ +y′
x+
y
x2=y′
2
y.
50. x3y′′ = (y − xy′)(y − xy′ − x).
Resenja:
1. y = x4/24− sin x+ C1x2 + C2x+ C3.
2. y = x5/120 + C1x3 + C2x
2 + C3x+ C4.
3. y = C1 ln |x|+ x3/9 + C2.
4. y = 1/x+ C1 ln x+ C2.
5. y = C1x(ln x− 1) + C2
6. y = ex(x− 1) + C1x2 + C2
7. y = 2(x/2 + C1)5/15 + C2x
2/2 + C3x + C4 i y = D1x2/2 +
D2x+D3.
8. y = C1x2 + C2.
9. y = (1 + C21 ) ln(x+ C1)− C1x+ C2.
10. y = x3/12− x/4 + C1 arctan x+ C2.
11. y = (C1x+ C21 )e
x/C1+1 + C2.
12. y = (C1 − 2x)3/2/3 + C2x+ C3.
13. y = C1x3 + C2x+ C3.
jednacine kojima se moze sniziti red 33
14. y = C1x(ln x− 1) + C2.
15. y = C1ex2 + C2.
16. y = C1 sin x− x− sin 2x/2 + C2.
17. y = C2 − C1 cos x− x.18. y = 1/(12(x+ 2)3).
19. y = (x− 2)ex + x+ 2.
20. y = −2x.21. y = x.
22. y = 1− cos 2x.23. y = − ln(cos x).24. y = 3 ln x+ 2x2 − 6x+ 6.
25. y2 = 2C1x+ C2.
26. ln |y|+ C1y = C1x+ C2 i y = x+ C.
27. y2 = C1x+ C2.
28. ey + C1 = (x+ C2)2.
29. y3 + C1y + C2 = 3x.
30. ln y = C1ex + C2e
−x.
31. cot y = C2 − C1x.
32. y = C1C2eC1x/(1− C2e
C1x) i y = C 6= 0.
33. C1y2 + 1 = (C1x+ C2)
2.
34. y = C2 − ln | cos(C1 + x)|.35. y = (C1x+ C2)
2.
36. y = C2eC1x.
37. 4(C1y − 1) = (C1x+ C2)2.
38. y = (1 + C2eC1x)/C1.
39. y = (1 + (C1x+ C2)2/4)/C1.
40. y cos(x+ C1) = C2.
41. y = 1/(1− x).42. y = (1 + x/3)3.
43. y = 4/(x+ 4)2.
34 jednacine kojima se moze sniziti red
44. y = − ln |x− 1|.45. y = C2xe
−C1/x.
46. y = C1eC2x
2.
47. y2 = C1x2 + C2.
48. y2 = C1x4 + C2.
49. y = C2|x|C1−ln |x|/2.
50. y = −x ln(C2 lnC1x) i y = Cx.
LINEARNE HOMOGENE JEDNACINE
SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
Koreni realni i jednostruki
U zadacima 1.-17. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
1. y′′ − y = 0.
2. y′′ − 9y = 0.
3. y′′ − y′ = 0.
4. 4y′′ − y = 0.
5. y′′ + 4y′ = 0.
6. y′′ + 6y′ + 8y = 0.
7. y′′ + 3y′ − 4y = 0.
8. y′′ − 7y′ + 12y = 0.
9. y′′ + 3y′ + 2y = 0.
10. y′′ − 4y′ + 3y = 0.
11. y′′ + y′ − 2y = 0.
12. 3y′′ − 2y′ − 8y = 0.
36 linearne homogene jednacine
13. y′′′ + 2y′′ − 3y′ = 0.
14. y′′′ − 13y′ − 12y = 0.
15. y′′′ − 13y′′ + 12y′ = 0.
16. y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0.
17. y(4) − 5y′′ + 4y = 0.
U zadacima 18.-22. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
18. y′′ + 4y′ = 0, y(0) = 7, y′(0) = 8.
19. y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = y′(0) = 1.
20. y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10.
21. y′′′ − y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 1.
22. y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4.
Me -du realnim korenima ima visestrukih
U zadacima 23.-42. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
23. y′′ + 2y′ + y = 0.
24. 4y′′ + 4y′ + y = 0.
25. 9y′′ − 6y′ + y = 0.
26. y′′ + 8y′ + 16y = 0.
27. y′′ − 4y′ + 4y = 0.
28. y′′ + 2ay′ + a2y = 0, a ∈ R.
linearne homogene jednacine 37
29. y′′′ + 2y′′ + y′ = 0.
30. y′′′ − 3y′′ + 4y = 0.
31. y′′′ − y′′ − y′ + y = 0.
32. y′′′ − 5y′′ + 8y′ − 4y = 0.
33. y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0.
34. y′′′ − 9y′′ + 15y′ + 25y = 0.
35. y′′′ + 3ay′′ + 3a2y′ + a3y = 0, a ∈ R.
36. y(4) + 2y′′′ + y′′ = 0.
37. y(4) − 2y′′′ + y = 0.
38. y(4) − 8y′′ + 16y = 0.
39. y(4) − 6y′′ + 9y = 0.
40. y(4) + 2y′′′ − 2y′ − y = 0.
41. y(4) + 4y′′′ + 3y′′ − 4y′ − 4y = 0.
42. y(4) − 2y′′′ + 2y′′ − 8y′ + 16y = 0.
U zadacima 43.-50. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
43. y′′ − 2y′ + y = 0, y(2) = 1, y′(2) = −2.
44. y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 3, y′(0) = −1.
45. y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.
46. 9y′′ − 24y′ + 16y = 0, y(0) = y′(0) = 1.
38 linearne homogene jednacine
47. y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = 1/e, y(1) = 3.
48. y′′′ + y′′ − y′ − y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2, y′′(1) = 0.
49. y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 0, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = e.
50. y′′′+3y′′+3y′+y = 0, y(0) = 2, y(1) = 1/e, y(−1) = −e.
Me -du korenima ima kompleksnih
U zadacima 51.-67. resiti datu diferencijalnu jednacinu.
51. y′′ + 4y = 0.
52. y′′ + 2y′ + 5y = 0.
53. y′′ + 2y′ + 3y = 0.
54. 5y′′ − 6y′ + 5y = 0.
55. y′′ + 2y′ + 10y = 0.
56. y′′ − 6y′ + 10y = 0.
57. y′′ − 4y′ + 13y = 0.
58. y′′ + 4y′ + 13y = 0.
59. y′′′ − 8y = 0.
60. y′′′ + 4y′ = 0.
61. y′′′ + 5y′′ + y′ + 5y = 0.
62. y(4) − 3y′′ − 4y = 0.
63. y(4) + 2y′′ + y = 0.
linearne homogene jednacine 39
64. y(4) + 8y′′ + 16y = 0.
65. y(4) + 2y′′′ + 4y′′ − 2y′ − 5y = 0.
66. y(4) + 2y′′′ + 3y′′ + 2y′ + y = 0.
67. y(5) − 2y(4) + 2y′′′ − 4y′′ + y′ − 2y = 0.
U zadacima 68.-70. odrediti partikularno resenje date diferen-cijalne jednacine koje zadovoljava date uslove.
68. y′′ + 4y = 0, y(π/4) = 1, y′(π/4) = 0.
69. y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.
70. y′′′ + y′ = 0, y(π/2) = 2, y′(π/2) = y′′(π/2) = −1.
Resenja:
1. y = C1e−x + C2e
x.
2. y = C1e3x + C2e
−3x.
3. y = C1 + C2ex.
4. y = C1ex/2 + C2e
−x/2.
5. y = C1 + C2e−4x.
6. y = C1e−2x + C2e
−4x.
7. y = C1e−x + C2e
4x.
8. y = C1e3x + C2e
4x
9. y = C1e−2x + C2e
−x.
10. y = C1ex + C2e
3x.
11. y = C1ex + C2e
−2x.
12. y = C1e2x + C2e
−4x/3.
13. y = C1 + C2ex + C3e
−x.
14. y = C1e−x + C2e
4x + C3e−3x.
15. y = C1 + C2ex + C3e
12x.
40 linearne homogene jednacine
16. y = C1ex + C2e
−x + C3e2x.
17. y = C1ex + C2e
2x + C3e−x + C4e
−2x.
18. y = 9− 2e−4x.
19. y = ex.
20. y = 4ex + 2e3x.
21. y = −1 + e−x.
22. y = e3x.
23. y = (C1 + C2x)e−x.
24. y = (C1 + C2x)e−x/2.
25. y = (C1x+ C2)ex/3.
26. y = (C1x+ C2)e−4x.
27. y = (C1 + C2x)e2x
28. y = (C1x+ C2)e−ax.
29. y = C1 + (C2 + C3x)e−x.
30. y = C1e−x + (C2x+ C3)e
2x.
31. y = C1e−x + C2e
x + C3xex.
32. y = C1ex + (C2 + C3x)e
2x.
33. y = C1e−x + C2xe
−x + C3x2e−x.
34. y = C1e−x + (C2 + C3x)e
5x.
35. y = (C1 + C2x+ C3x2)e−ax.
36. y = C1 + C2x+ C3e−x + C4xe
−x.
37. y = C1ex + C2xe
x + C3e−x + C4xe
−x.
38. y = (C1 + C2x)e2x + (C3 + C4x)e
−2x.
39. y = (C1 + C2x)e√3x + (C3 + C4x)e
−√3x.
40. y = C1ex + C2e
−x + C3xe−x + C4x
2e−x.
41. y = C1e−x + C2e
x + (C3 + C4x)e−2x.
42. y = C1e2x + C2xe
2x + C3x2e2x + C4x
3e2x.
43. y = (7− 3x)ex−2.
44. y = (3− 7x)e2x.
45. y = 2xe3x.
linearne homogene jednacine 41
46. y = e4x/3 − xe4x/3/3.47. y = ex−1 + 2xex−1.
48. y = (x− 1)e−x.
49. y = xe2x + (1/e− 8)x2e2x/14.
50. y = 2e−x + xe−x − 2x2e−x.
51. y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x.
52. y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x)e−x.
53. y = e−x(C1 cos√2x+ C2 sin
√2x).
54. y = e3x/5(C1 cos(4x/5) + C2 sin(4x/5)).
55. y = e−x(C1 cos 3x+ C2 sin 3x).
56. y = e3x(C1 cos x+ C2 sin x).
57. y = (C1 cos 3x+ C2 sin 3x)e2x.
58. y = (C1 cos 3x+ C2 sin 3x)e−2x.
59. y = C1e2x + (C2 cos x
√3 + C2 sin x
√3)e−x.
60. y = C1 + C2 cos 2x+ C3 sin 2x.
61. y = C1e−5x + C2 cos x+ C3 sin x.
62. y = C1e2x + C2e
−2x + C3 cos x+ C4 sin x.
63. y = C1 cos x+ C2 sin x+ C3x cos x+ C4x sin x.
64. y = (C1 + C2x) cos 2x+ (C3 + C4x) sin 2x
65. y = C1ex + C2e
−x + (C3 cos 2x+ C4 sin 2x)e−x.
66. y = ((C1+C2x) cos(√3x/2)+(C3+C4x) sin(
√3x/2))e−x/2.
67. y = C1e2x + (C2 + C3x) cos x+ (C4 + C5x) sin x.
68. y = sin 2x.
69. y = ex sin x.
70. y = 1 + cos x+ sin x.
LINEARNE NEHOMOGENE JEDNACINE
SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
f(x) = Pn(x)
U zadacima 1.-12. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
1. y′′ + 2y′ + y = −2.
2. y′′ + 2y′ + 2y = x.
3. y′′ + 2y′ + 2y = 1 + x.
4. y′′ + y′ − 2y = 6x2.
5. y′′ − 2y′ = x2 − x.
6. 2y′′ + 7y′ + 3y = 9x2 + 42x.
7. 4y′′ − y = x3.
8. y′′ + 4y′ + 5y = 5x2 − 32x+ 5.
9. y′′ − 4y = 8x3.
10. y′′′ − y′′ = 12x2 + 6x.
11. y′′′ − y′′ + y′ − y = x2 + x.
12. y(4) + y′′ = x2 + x.
linearne nehomogene jednacine 43
f(x) = eaxPn(x)
U zadacima 13.-21. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
13. y′′ − 9y = −6e3x.
14. y′′ + 8y′ + 20y = 29ex.
15. y′′ + 4y′ + 5y = 81xe−2x.
16. y′′ + y′ = 4x2ex.
17. y′′ − 3y′ + 2y = (x2 + x)e3x.
18. y′′ − 6y′ + 13y = ex(x2 − 5x+ 2).
19. y′′′ − 2y′′ + y′ = ex.
20. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex.
21. y(4) − 2y′′′ − y′′ = ex.
f(x) = eax [Pn(x) cos bx+Qm(x) sin bx]
U zadacima 22.-30. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
22. y′′ + y = 4x cos x.
23. y′′ + 3y′ + 2y = x sin x.
24. y′′ + y = x2 sin x.
25. y′′ − y′ = ex sin x.
26. y′′ + 2y′ + 5y = e−x sin 2x.
27. y′′ + 3y′ − 4y = e−4x sin x.
44 linearne nehomogene jednacine
28. y′′ + 2y′ + y = e−xx2 cos x.
29. y′′ + 3y′ + 2y = 4 sin 3x+ 2 cos 3x.
30. y′′ − 2y′ + 2y = ex(2 cos x− 4x sin x).
Princip superpozicije
U zadacima 31.-49. metodom neodre -denih koeficijenate resitidatu diferencijalnu jednacinu.
31. y′′ − y′ − 2y = 4x− 2e−x.
32. y′′ − 3y′ + 2y = ex + 6e−x.
33. y′′ − 3y′ = 18x− 10 cos x.
34. y′′ − 2y′ + y = 2 + ex sin x.
35. y′′ − 2y′ + y = sin x+ e−x.
36. y′′ − 2y′ + y = e−x sin x+ 4ex.
37. 2y′′ + 7y′ + 3y = 9x2 + 42x− 50 sin x.
38. y′′ − y′ = 15x2 − 32 + 30 sin 3x+ 12e3x.
39. y′′ + 2y′ − 3y = 2xe−3x + (x+ 1)ex.
40. y′′ + y′ = x2 − e−x + ex.
41. y′′ − 4y′ + 5y = 1 + 8 cos x+ e2x.
42. y′′ + y′ + y + 1 = sin x+ x+ x2.
43. y′′ − 3y′ = 1 + ex + cos x+ sin x.
44. y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 1 + 2e2x.
linearne nehomogene jednacine 45
45. y′′′ − y′′ − y′ + y = x2 − e2x.
46. y′′′ − 3y′′ + 4y′ − 2y = ex + cos x.
47. y′′′ − y′′ + y′ − y = cos x+ 2ex.
48. y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 3e2x − 4 sin 2x.
49. y′′′ − 4y′ = xe2x + sin x+ x2.
Metoda varijacije konstanti
U zadacima 50.-64. metodom varijacije konstante resiti datudiferencijalnu jednacinu.
50. y′′ − 2y′ + y =ex
x.
51. y′′ − 6y′ + 9y =e3x
x2.
52. y′′ − y′ = 1
ex + 1.
53. y′′ + y =1
cos3 x.
54. y′′ + y =2
sin3 x.
55. y′′ + 2y′ + 2y =1
ex sin x.
56. y′′′ + y′′ =x− 1
x2.
57. y′′ + y =1
cos x.
58. y′′ + 4y =1
sin2 x.
46 linearne nehomogene jednacine
59. y′′ + y =1
cos 2x√cos 2x
.
60. y′′ − y′ = e2x cos ex.
61. y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln x.
62. y′′ + y = ln cos x.
63. y′′ − 2y′ + y =ex√4− x2
.
64. y′′ − 5y′ + 6y =6x2 + 17x+ 13
(x+ 1)3.
Resenja:
1. y = (C1 + C2x)e−x − 2.
2. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−x + (x− 1)/2.
3. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−x + x/2.
4. y = C1ex + C2e
−2x − 3(x2 + x+ 1/2).
5. y = C1 + C2e2x − x3/6.
6. y = C1e−x/2 + C2e
−x + 3x2 − 4.
7. y = C1ex/2 + C2e
−x/2 − x3 − 24x.
8. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−2x + x2 − 8x+ 7.
9. y = C1e2x + C2e
−2x − 2x3 − 3x.
10. y = C1 + C2x+ C3ex − x4 − 5x3 − 15x2.
11. y = C1ex + C2 cos x+ C3 sin x− x2 + 3x− 1.
12. y = C1 + C2x+ C3 cos x+ C4 sin x+ x4/12 + x3/6− x2.13. y = C1e
3x + C2e−3x − xe3x.
14. y = e−4x(cos 2x+ C2 sin 2x) + ex.
15. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e−2x + (3x+ 16/9)e−2x.
16. y = C1 + C2e−x + (2x2 − 6x+ 7)ex.
linearne nehomogene jednacine 47
17. y = C1ex + C2e
2x + (x2/2− x+ 1)e3x.
18. y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x)e3x + (x2/8− x/2− 1/32)ex.
19. y = C1 + (C2 + C3x+ x2/2)ex.
20. y = (C1 + C2x+ C3x2 + x3/6)ex.
21. y = C1 + C2x+ (C3 + C4x)ex + x2ex/4.
22. y = C1 cos x+ C2 sin x+ x cos x+ x2 sin x.
23. y = C1e−x + C2e
−2x − (3x/10 − 17/50) cos x + (x/10 +3/25) sin x.
24. y = (C1 + x/4− x3/6) cos x+ (C2 + x2/4) sin x.
25. y = C1 + C2ex − (cos x+ sin x)ex/2.
26. y = (C1 cos 2x+ C2 sin 2x)e−x + xe−x cos 2x/4.
27. y = C1ex + C2e
−4x + (5 sin x/26− cos x/26)e−4x.28. y = (C1 + C2x)e
−x + ((6− x2) cos x+ 4x sin x)e−x.
29. y = C1e−x + C2e
−2x − sin 3x/13− 5 cos 3x/13.
30. y = ex(C1 cos x+ C2 sin x) + x2ex cos x.
31. y = C1e−x + C2e
2x − 2x+ 1 + 2xe−x/3.
32. y = C1ex + C2e
2x + e−x − xex.33. y = C1 + C2e
3x − 3x2 − 2x+ cos x+ 3 sin x.
34. y = 2 + ex(C1 + C2x− sin x).35. y = C1e
x + C2xex + cos x/2 + e−x/4.
36. y = (C1 + C2x+ 2x2)ex + (3 sin x+ 4 cos x)e−x/25.
37. y = C1e−x/2 + C2e
−3x + 3x2 − 4 + 7 cos x− sin x.38. y = C1 +C2e
x − 5x3 − 15x2 +2x+ cos 3x− 3 sin 3x+2e3x.
39. y = C1e−3x + C2e
x − (2x2 + x)e−3x/8 + (2x2 + 3x)ex/16.
40. y = C1 + C2e−x + xe−x + ex/2 + x3/3− x2 + 2x.
41. y = (C1 cos x+ C2 sin x)e2x + cos x− sin x+ e2x + 1/5.
42. y = (C1 cos(√3x/2)+C2 sin(
√3x/2)e−x/2−cos x+x2−x−2.
43. y = C1 + C2e3x + (cos x− 2 sin x)/5− ex/2− x/3.
44. y = (C1 + C2x+ C3x2)e2x + x3e2x/3− 1/8.
45. y = C1ex + C2xe
x + C3e−x + x2 + 2x+ 4− e2x.
48 linearne nehomogene jednacine
46. y = ex(x+C1+C2 cos x+C3 sin x)+ cos x/10+3 sin x/10.
47. y = C1ex + C2 cos x+ C3 sin x− x(cos x+ sin x)/4 + xex.
48. y = C1ex + C2 cos 2x + C3 sin 2x + 3e2x/8 − x cos 2x/5 +
2x sin 2x/5.
49. y = C1+C2e2x+C3e
−2x+ cos x/5−x3/12−x8+e2x(2x2−3x)/32.
50. y = ex(x ln |x|+ C1x+ C2).
51. y = (C1 + C2x)e3x + (ln(1/x)− 1)e3x.
52. y = C1ex + C2 + (ex + 1) ln(1 + e−x).
53. y = C1 cos x+ C2 sin x− cos 2x/(2 cos x).54. y = C1 cos x+ C2 sin x+ cos 2x/ sin x.
55. y = (C1 − x)e−x cos x+ (C2 + ln | sin x|)e−x sin x.56. y = C1 + C2x+ C3e
−x + 1− x+ x ln |x|.57. y = C1 cos x+ C2 sin x+ x sin x+ cos x ln(cos x).
58. y = (C1 − ln | sin x|) cos 2x+ (C2 − x− cot /2) sin 2x.59. y = C ′1 cos x+ C2 sin x−
√cos 2x.
60. y = C1ex + C2 − cos ex.
61. y = (x2 ln x/2− 3x2/4 + C1 + C2x)e−2x.
62. y = C1 cos x+C2 sin x+ln cos x+sin x ln((1+sin x)/ cos x)−1.
63. y = (C1 +√4− x2 + x arcsin(x/2) + C2x)e
x.
64. y = C1e2x + C2e
3x + 1/(x+ 1).
SISTEMI JEDNACINA
Normalan oblik sistema
U zadacima 1.-5. svesti dati sistem diferencijalnih jednacinana sistem diferencijalnih jednacina prvog reda u normalnom obliku.
1.
{
2x′ − 5y′ =4y − x3x′ − 4y′ =2x− y.
2.
{
y′′ =z
z′′ =y.
3.
{
x′′ =3x− 4y′
y′′ =3y + 4y′.
4.
{
x′′ + x =y′
4x′ + 2x =y′ + 2y.
5.
{
x′′ − y =0
t3y′ − 2x =0.
U zadacima 6.-10. svesti datu diferencijalnu jednacinu na sis-tem diferencijalnih jednacina prvog reda u normalnom obliku.
6. (1− x2)y′′ + xy′ + y = 2x2 − x.
7. y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0.
8. ty(4) + arctan(t2 + ty′′′)−√
t2 − y′ + ey−t = 0.
50 sistemi jednacina
9. y′′′ − ln y′ + y = ey + t.
10. y(4) − y = cos t+ 2 sin t.
Simetrican oblik sistema
U zadacima 11.-15. napisati date sisteme u simetricnom ob-liku.
11.
{
z =y′(z − y)2
y =z′(z − y)2.
12.
y′ =x
z
z′ =− x
y.
13.
x′ =tz
x
y′ =y2z
z′ =z
t− yz2.
14.
{
2yx′ =x2 − y2 + 1
y′ =x+ y.
15.
(t2 + 1)x′ =x+ y + z
2ty′ =2x− zz′
t=xyz.
Veza sistema sa jednacinom viseg reda
U zadacima 16.-21. svesti dati sistem diferencijalnih jednacinana diferencijalnu jednacinu viseg reda.
16.
{
y′′ + y =z′
4y′ + 2y =z′ + 2z.
sistemi jednacina 51
17.
y′ =z
x
z′ =(y − z)2 + xz
x2.
18.
{
3x′ − 2y′ =3x+ y
x′ − 3y′ =− x+ y.
19.
x′ =x− y + 2z + e−t
y′ =y + z
z′ =− x+ 3y + 2z.
20.
{
x′′′ + x = ln t
y′ =x+ y + 2 ln t.
21.
x′ =x+ y + 2t
y′ =x− z + u
z′ =y + u+ t
u′ =2x+ u.
Resenje sistema
U zadacima 22.-26. proveriti da li su date funkcije resenjadatog sistema diferencijalnih jednacina.
22.x = cos 2t+ 2t+ 2
y = cos 2t+ 2 sin 2t+ 10t,
{
x′ =x− y + 8t
y′ =5x− y.
23.x =e2t
y =et,
x′ =y
y′ =y2
x.
24.
x =(C1 + t)4/12 + C2t+ C3
y =(C1 + t)3/3 + C2
z =(C1 + t)2,
x′ =y
y′ =z
z′2=4z.
52 sistemi jednacina
25.x =
1
t2
y =t ln t,
x′ =− tx2
y′ =y + t
t.
26.x =t+ et
y =e−t.
x′ =y − 1
y
y′ =x− t.
Resavanje sistema svo -denjem na jednacinu viseg reda
U zadacima 27.-34. resiti dati sistem svo -denjem na diferenci-jalnu jednacinu viseg reda.
27.
{
x′ =y
y′ =− x.
28.
{
x′ =y + 2et
y′ =x+ 1.
29.
{
x′ =x− 2y
y′ =x− y.
30.
x′ =1− 1
y
y′ =1
x− t.
31.
x′ =y2 + sin t
y′ =x
2y.
32.
{
tx′ =− x+ yt
t2y′ =− 2x+ yt.
sistemi jednacina 53
33.
x′ =y + z
y′ =x+ z
z′ =x+ y.
34.
x′ =z − yy′ =z
z′ =z − x.
U zadacima 35.-36. odrediti partikularno resenje datog sistemasvo -denjem na diferencijalnu jednacinu viseg reda.
35.
{
x′ + 3x+ 4y =0
y′ + 2x+ 5y =0,x(0) = 1, y(0) = 4
36.
{
x′′ =x2 + y
y′ =− 2xx′ + x,x(0) = x′(0) = 1, y(0) = 0.
Integrali i prvi integrali
U zadacima 37.-41. proveriti da li je data funkcija integraldatog sistema diferencijalnih jednacina.
37. φ =y
t− x,
x′ =x
t
y′ =x+y
t.
38. φ = xye−t,
x′ =x2
y
y′ =y − x.
39. φ = (1 + x)e−x − e−y,
x′ =e−x
t
y′ =x
te−y.
54 sistemi jednacina
40.(1) φ =x+ y − t(2) φ =x+ y + t,
x′ =y + t
x+ y
y′ =x− tx+ y
.
41.(1) φ =t2 + 2xy
(2) φ =x− ty2,
x′ =− y
y′ =y2 − tx
.
U zadacima 42.-44. dokazati da date jednakosti predstavljajuprve integrale datog sistema diferencijalnih jednacina i ispitati nji-hovu nezavisnost.
42.tx =C1
ty + x2 =C2,
x′ =− x
t
y′ =2x2 − ty
t2.
43.
x− yt− x
=C1
t− xt− y
=C2,
x′ =t+ y
x+ y
y′ =t+ x
x+ y.
44.x+ y + t =C1
x2 + y2 + t2 =C2,
x′ =t− yy − x
y′ =x− ty − x
.
Resavanje sistema pomocu prvih integrala
U zadacima 45.-69. resiti dati sistem diferencijalnih jednacinaprimenom prvih integrala.
45.
x′ =− y
t
y′ =− x
t.
46.
{
x′ =2(x2 + y2)t
y′ =4xyt.
sistemi jednacina 55
47.
x′ =y
x− yy′ =
x
x− y.
48.
x′ =x2y
y′ =y
t− xy2.
49.
x′ =y − zy′ =x+ y + t
z′ =x+ z + t.
50.
x′ =y − zy′ =x2 + y
z′ =x2 + z.
51.
{
x′ = sin x cos y
y′ = cos x sin y.
52.
etx′ =1
y
ety′ =1
x.
53.dx
xt= −dy
yt=dt
xy.
54.dx
2tx=
dy
2ty=
dt
t2 − x2 − y2.
55.dx
x+ y=
dy
x− y=
tdt
x2 − 2xy − y2.
56.dx
(t− y)2=dy
t=dt
y.
56 sistemi jednacina
57.dx
x− 2y + t=
dy
t− x=dt
t.
58.dx
y + xt=
dy
x+ yt=
dt
t2 − 1.
59.dx
−x2=
dy
xy − 2t2=dt
xt.
60.dx
y − x=
dy
x− t=
dt
t− y.
61.dx
2t− y=dy
y=dt
t.
62.dx
2xy=
dy
y2 − x2 − t2=
dt
2yt.
63.dx
y + t=
dy
x+ t=
dt
x+ y.
64.dx
x(y − t)=
dy
y(t− x)=
dt
t(x− y).
65.dx
y − x=
dy
x+ y + t=
dt
x− y.
66.dx
x(y − t)=
dy
t2 + xy=
dt
t(x+ t).
67.dx
x+ y − xy2=
dy
x2y − x− y=
dt
y2 − x2.
68.dx
x=dy
y=dz
z=dt
t.
69.dx
x=
dy
z + t=
dz
y + t=
dt
y + z.
sistemi jednacina 57
U zadacima 70.-73. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
70.dx
t− x=
dy
y + x=dt
ty, x(1) = 1, y(1) = 1 +
√2.
71.dx
t− x=dy
ty=
dt
t+ x, x(1) = −1 +
√2, y(1) = 1.
72.dx
xy=
dy
t− x2=dt
y, x(0) = 2, y(0) = −1.
73.dx
ty=dy
y=
dz
z + x=dt
t, x(1) = 1, y(1) = −1, z(1) = 2.
Resenja:
1. x′ = 2x− 3y, y′ = x− 2y.
2. y′ = u, z′ = v, u′ = z, v′ = y.
3. x′ = u, y′ = v, u′ = 3x− 4v, v′ = 3y + 4v.
4. x′ = u, y′ = 4u+ 2x− 2y, u′ = 4u+ x− 2y.
5. x′ = u, y′ = 2x/t3, u′ = y
6. y′ = z, z′ = y/(1− x2) + xz/(1− x2)− 2x/(1 + x).
7. y′ = z, z′ = −p(x)z − q(x)y.8. y′ = y1, y
′1 = y2, y
′2 = y3, y
′3 = − arctan(t2 + ty3)/t +
√
t2 − y1/t− ey−t/t.9. y′ = y1, y
′1 = y2, y
′2 = ln y1 − y + ey + t.
10. y′ = y1, y′1 = y2, y
′2 = y3, y
′3 = y + cos t+ 2 sin t.
11.dy
z=dz
y=
dt
(z − y)2.
12.dx
zy=dy
xy=
dz
−xz.
13.dx
t2z=
dy
txy2z=
dz
xz − txyz2=dt
tx.
58 sistemi jednacina
14.dx
x2 − y2 + 1=
dy
2y(x+ y)=dt
2y.
15.dx
2t(x+ y + z)=
dy
(2x− z)(t2 + 1)=
dz
2txyz(t2 + 1)=
=dt
2t(t2 + 1).
16. y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0.
17. x3y′′ = (y − xy′)2.18. x′′ − 9x′/7− 4x/7 = 0.
19. y′′′ − 4y′′ + 4y′ − 2y = −e−t.20. y(4) − y′′′ + y′ − y = 3 ln t+ 4/t3.
21. u(4) − 2u(3) + u(2) − 3u′ + 3u = 2t.
22. Da.
23. Ne.
24. Da.
25. Da.
26. Ne.
27. x = C1 cos t+ C2 sin t, y = −C1 sin t+ C2 cos t.
28. x = 2et + tet − 1, y = et + tet.
29. x = C1 cos t+C2 sin t, y = (C1−C2) cos t+(C1+C2) sin t.
30. x = t+ C2eC1t, y = −e−C1t/(C1C2).
31. x = C1et + C2e
−t − cos t/2, y2 = C1et − C2e
−t − sin t/2.32. x = C1 + C2t, y = C1/t+ 2C2.
33. x = C1e−t+C2e
2t, y = C2e2t+C3e
−t, z = −(C1+C3)e−t+
C2e2t.
34. x = C1 cos t + C2 sin t, y = (C1 − C2) cos t/2 + (C1 +C2) sin t/2+C3e
t, z = (C1 +C2) cos t/2+ (C2 −C1) sin t/2+C3et.
36. x = et, y = et − e2t.37. Da.
38. Da.
39. Ne.
sistemi jednacina 59
40. (1) Da. (2) Ne.
41. (1) Da. (2) Ne.
42. Nezavisni su.
43. Zavisni su.
44. Nezavisni su.
45. x = (C1/t+ C2t)/2, y = (C2/t− C2t)/2.
46. t2 + 1/(x+ y) = C1, t2 + 1(x− y) = C2.
47. x2 − y2 = C1, x− y + t = C2.
48. x = C2eC1t
2/2, y = C1te−C1t
2/2C2.
49. x = C1et + C2, y = (C1t+ C3)e
t − t− 1− C2, z = (C1t+C3 − C1)e
t − t− 1− C2.
50. x = C2et + C1, y = −C2
1 + (2C1C2t + C3)et + C2
2e2t, z =
−C2et + (2C1C2t+ C3)e
t + C22e
2t − C21 .
51. tan((x+ y)/2) = C1et, tan((x− y)/2) = C2e
t.
52. y = C1x, C1x2 = C2 − 2e−t.
53. xy = C1, ln x = C2 + t2/(2C1).
54. x2 + y2 = C1x− t2, y = C2x.
55. x2 + y2 + t2 = C1, x2 − 2xy − y2 = C2.
56. y2 − z2 = C1, 2x+ (y − t)2 = C2.
57. x = t/2 + 2C1t2/2 + C2/t, y = t/2− C1t
2/3 + C2/t.
58. x = C1(t−1)/2+C2(t+1)/2, y = C1(t−1)/2−C2(t+1)/2.
59. y = C2/x− C21/x
3, t = C1/x.
60. x+ y + t = C1, xt+ y2/2 = C2.
61. y = C1t, x− 2t+ y = C2.
62. x = C1t, x2 + y2 + t2 = C2t.
63. (x− y)/(y − t) = C1, (x+ y + t)(x− y)2 = C2.
64. x+ y + t = C1, xyt = C2.
65. x+ t = C1, (x+ y + t)(y − 3x− t) = C2.
66. x− y + t = C1, ln |x|+ y/t = C2.
67. x2 + y2 + 2t = C1, ln |1− xy|+ t = C2.
60 sistemi jednacina
68. x = C1t, y = C2t, z = C3t.
69. x(y − z) = C1, x(y − t) = C2, x2/(y + z + t) = C3.
70. x = (2 ln t + 2 +√2)/(2 +
√2), y = (1 +
√2)(ln t2 + 2 +√
2)/(2 +√2).
71. x = t(√2− 1), y = e(t
√2+2)/2.
72. x = 2et, y = −√t2 − 4e2t + 5.
73. y = −t, ty − 2x = −3, (z + x− ty)/t = 4.
LINEARNI SISTEMI
Homogen sistem - koreni realni i razliciti
U zadacima 1.-6. odrediti opste resenje datog sistema diferen-cijalnih jednacina.
1.
{
x′ =2x− 3y
y′ =− 2x+ 3y.
2.
{
x′ =4x+ y
y′ =− 2x+ y.
3.
{
x′ =2x− yy′ =3x− 2y.
4.
{
x′ =3x+ 2y
y′ =2x.
5.
x′ =x− y + z
y′ =x+ y − zz′ =2x− y.
6.
x′ =x− 2y − zy′ =− x+ y + z
z′ =x− z.
U zadacima 7.-8. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
62 linearni sistemi
7.
{
x′ =x+ 2y
y′ =9x+ 4y,
x(0) =3
y(0) =0,
8.
x′ =− x+ y + z
y′ =x− y + z
z′ =x+ y + z,
x(0) =1
y(0) =0
z(0) =0.
Homogen sistem - realni visestruki koreni
U zadacima 9.-17. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
9.
{
x′ =2x− yy′ =4x− 2y.
10.
{
x′ =x− 2y
y′ =2x− 3y.
11.
{
x′ =4x− yy′ =x+ 2y.
12.
{
x′ =− x− yy′ =x− 3y.
13.
{
x′ =3x− yy′ =4x− y.
14.
x′ =4x− y − zy′ =x+ 2y − zz′ =x− y + 2z.
15.
x′ =y + z
y′ =x+ y
z′ =− x+ z.
linearni sistemi 63
16.
x′ =4x+ 2y − 2z
y′ =x+ 3y − zz′ =3x+ 3y − z.
17.
x′ =2x− zy′ =x− yz′ =3x− y − z.
U zadacima 18.-19. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
18.
{
x′ =x− 2y
y′ =2x− 3y,
x(0) =2
y(0) =− 1.
19.
x′ =x− y + z
y′ =x+ y − zz′ =2x− y,
x(0) =0
y(0) =0
z(0) =1.
20.
x′ =2x− y − zy′ =2x− y − 2z
z′ =− x+ y + 2z,
x(0) =1
y(0) =− 1
z(0) =2.
Homogen sistem - koreni kompleksni
U zadacima 21.-26. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
21.
{
x′ =− 7x+ y
y′ =− 2x− 5y.
22.
{
x′ =x− 3y
y′ =3x+ y.
23.
{
x′ =− x− 5y
y′ =x+ y.
64 linearni sistemi
24.
{
x′ =x+ y
y′ =− 2x+ 3y.
25.
x′ =2x+ y
y′ =x+ 3y − zz′ =− x+ 2y + 3z.
26.
x′ =2x− y + 2z
y′ =x+ 2z
z′ =− 2x+ y − z.
U zadacima 27.-28. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
27.
{
x′ =x+ y
y′ =− 2x+ 3y,
x(π/2) =1
y(0) =0.
28.
x′ =x− y − zy′ =x+ y
z′ =3x+ z,
x(π/4) =eπ/4
y(π/4) =eπ/4
z(π/4) =eπ/4.
Nehomogen sistem
U zadacima 29.-32. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina ako je data jedna od njegovih fundamentalnihmatrica.
29.
x′ =x+y
t+t
2(et + e−t)
y′ =x
t+ y +
t
2(et − e−t),
, F (t) =
(
tet te−t
tet −te−t)
30.
{
x′ =tx+ y + t
y′ =x+ ty + 1,, F (t) =
(
e(t+1)2/2 e(t−1)2/2
e(t+1)2/2 e(t−1)2/2
)
linearni sistemi 65
31.
{
x′ =(2 sin t− cos t)x+ (sin t− cos t)y − cos ty′ =2(cos t− sin t)x+ (2 cos t− sin t)y + 2 cos t,
F (t) =
(
e− cos t −esin t−e− cos t 2esin t.
)
32.
t2x′ =(t+ 1)x+ y − tz + t− t ln tt2y′ =− x+ (t− 1)y + tz − t
(t2 ln t)z′ =− x− y + tz − ln2 t,
F (t) =
1 + ln t t 0−1− ln t 0 tln t 1 1.
U zadacima 33.-40. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
33.
{
x′ =− 5x+ 2y + et
y′ =x− 6y + e−2t.
34.
{
x′ =− x+ 2y + 1
y′ =− 2x+ 3y.
35.
{
x′ =4x− 3y + sin t
y′ =2x− y − 2 cos t.
36.
{
x′ =2x+ y + et
y′ =− 2x+ 2t.
37.
{
x′ =2x− yy′ =− 2x+ y + 18t.
38.
{
x′ =x+ 2y + 16tet
y′ =2x− 2y.
66 linearni sistemi
39.
{
x′ =y
y′ =x+ et + e−t.
40.
x′ =− 2x+ 3y + 4z − 3t
y′ =− 6x+ 7y + 6z + 1− 7t
z′ =x− y + z + t.
U zadacima 41.-43. odrediti partikularno resenje datog sistemadiferencijalnih jednacina koje zadovoljava date uslove.
41.
{
x′ =x− 2y − e2t
y′ =x+ 4y,
x(0) =2
y(0) =0.
42.
{
x′ =y + et
y′ =− x− sin 2t,x(0) =
1
2y(0) =1.
43.
x′ =y − z − t+ 3
y′ =− 2z + 7
z′ =2y − 2t,
x(π) =2
y(π) =π + 2
z(π) =2.
Sistemi koji nisu dati u normalnom obliku
U zadacima 44.-48. odrediti opste resenje datog sistema difer-encijalnih jednacina.
44.
{
4x′ =− y + cos t
4x′ − y′ =− 3x+ sin t.
45.
{
x′′ =y
y′′ =x.
46.
{
x′′ =3x+ 4y
y′′ =− x− y.
linearni sistemi 67
47.
{
x′′ − 2y′ =− 2x
3x′ + y′′ =8y.
48.
{
x′′ + y′ =− x+ et
x′ + y′′ =1.
Resenja:
1. x = 2C1 + C2e5t, y = 3C1 − C2e
5t.
2. x = 2C1e2t + C2e
3t, y = −2C1e2t − C2e
3t.
3. x = C1et + C2e
−t, y = C1et + 3C2e
−t.
4. x = 2C1e4t + C2e
−t, y = C1e4t − 2C2e
−t.
5. x = C1et + C2e
2t + C3e−t, y = C1e
t − 3C3e−t, z = C1e
t +C2e
2t − 5C3e−t.
6. x = C1 + 3C2e2t, y = −2C2e
2t + C3e−t, z = C1 + C2e
2t −2C3e
−t.
7. x = e7t + 2e−2t, y = 3e7t − 3e−2t.
8. x = e−t/3+ e2t/6+ e−2t/2, y = e−t/3+ e2t/6− e−2t/2, z =−e−t/3 + e2t/3.
9. x = 2C1(1 + 2t) + C2, y = 2C1t+ C2.
10. x = e−t(C1 + C22C1t), y = e−t(C2 + 2C1t).
11. x = e3t(C1 − C2 + C1t), y = e3t(C2 + C1t).
12. x = e−2t(C1 − C2 + C1t), y = e−2t(C2 + C1t).
13. x = et(C2 + C1et), y = et(2C2 − C1 + 2C1t).
14. x = C1e2t + (C2 + C3)e
3t, y = C1e2t + C3e
3t, z = C1e2t +
C2e3t.
15. x = C1 + C3et, y = −C1e
t(C2 + C3 + C3t), z = C1 +et(−C2 − C3t).
16. x = e2t(C1 + C2 + C3 + 2C3t), y = e2t(−C1 + C3t), z =e2t(C2 + 3C3t).
17. x = C1+C2t+C3t2, y = C1+C2(t−1)+C3(t
2−2t+2), z =2C1 + C2(2t− 1) + C3(2t
2 − 2t).
68 linearni sistemi
18. x = e−t(2 + 6t), y = e−t(−1 + 6t).
19. x = (2 + t)et − 2e2t, y = tet, z = (1 + t)et − 2e2t.
20. x = et, y = −et, z = 2et.
21. x = e−6t(C1 cos t + C2 sin t), y = e−6t((C1 + C2) cos t +(C2 − C1) sin t).
22. x = et(C1 cos 3t+ C2 sin 3t), y = et(C1 sin 3t− C2 cos 3t).
23. x = (2C2 − C1) cos 2t − (2C1 + C2) sin 2t, y = C1 cos 2t +C2 sin 2t.
24. x = e2t(C1 cos t+C2 sin t), y = e2t((C1 +C2) cos t+ (C2 −C1) sin t).
25. x = C1e2t+e3t(C2 cos t+C3 sin t), y = e3t((C2+C3) cos t+
(C3−C2) sin t), z = C1e2t+ e3t((2C2−C3) cos t+(C2+2C3) sin t).
26. x = C2 cos t+(C2+2C3) sin t, y = 2C1et+C2 cos t+(C2+
2C3) sin t, z = C1et + C3 cos t− (C2 + C3) sin t.
27. x = e2t−π(cos t+ sin t), y = −2e2t−π sin t.28. x = et(sin 2t+cos 2t), y = et(1/2−cos 2t/2+sin 2t/2), z =
et(−1/2− 3 cos 2t/2 + 3 sin 2t/2).
29. x = C1tet + C2te
−t + t2(et + e−t)/2, y = C1tet − C2te
−t +t2(et + e−t)/2.
30. x = C1e(t+1)2/2 + C2e
(t−1)2/2 − 1, y = C1e(t+1)2/2+
+C2e(t−1)2/2.
31. x = C1e− cos t−C2e
sin t+1, y = −C1e− cos t+2C2e
sin t−2.
32. x = C1(1+ln t)+C2t+ln t, y = −C1(1+ln t)+C3t+1, z =C1 ln t+ C2 + C3 + (1 + ln t)/t.
33. x = C1e−4t + C2e
−7t + 7et/40 + e−2t/5, y = C1e−4t/2 −
C2e−7t + et/40 + 3e−2t/10.
34. x = (C1 + 2C2t)et − 3, y = (C1 + C2 + 2C2t)e
t − 2.
35. x = C1et + 3C2e
2t + cos t − 2 sin t, y = C1et + 2C2e
2t +2 cos t− 2 sin t.
36. x = C1et cos t + C2e
t sin t + et + t + 1, y = C1et(− cos t −
sin t) + C2et(cos t− sin t)− 2et − 2t− 1.
37. x = C1e3t+3t2 +2t+C2, y = −C1e
3t+6t2− 2t+2C2− 2.
linearni sistemi 69
38. x = 2C1e2t +C2e
−3t − (12t+ 13)et, y = C1e2t − 2C2e
−3t −(8t+ 6)et.
39. x = C1et + C2e
−t + t sinh t, y = C1et − C2e
−t + sinh t +t cosh t.
40. x = C1et + C2e
2t + C3e3t, y = C1e
t + 3C3e3t + t, z =
C2e2t − C3e
3t.
41. x = 3e2t − e3t − 2te2t, y = −e2t + e3t + te2t.
42. x = C1 cos t+C2 sin t+ sin 2t/3+ et(sin 2t− cos 2t)/2, y =
C2 cos t− C1 sin t+ 2 cos 2t/3 + et(sin 2t+ cos 2t)/2.
43. x = sin 2t+2, y = t+cos 2t+sin 2t, z = 3+sin 2t−cos 2t.44. x = C1e
−t + C2e−3t, y = −C1e
−t + 3C2e−3t + cos t.
45. x = C1et +C2e
−t +C3 cos t+C4 sin t, y = C1et +C2e
−t −C3 cos t− C4 sin t.
46. x = −2et(C1 + C2 + C2t) − 2e−t(C3 − C4 + C4t), y =et(C1 + C2t) + e−t(C3 + C4t).
47. x = 2C1e2t+2C2e
−2t+2C3 cos 2t+2C4 sin 2t, y = 3C1e2t−
3C2e−2t − C3 sin 2t+ C4 cos 2t.
48. x = C1 +C2t+C3t2− t3/6+ et, y = −(C1 +2C3)t− (C2−
1)t2/2− C3t3/3 + t4/24− et + C4.
PRVI KOLOKVIJUM
Primer 1
1. Odrediti resenje jednacine
(1 + x2)y′ − 4√
y(1 + x2) arctan x = 2xy
koje zadovoljava uslov y(0) = 0.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′ − 2y′ + y = −2x2 + 4ex + 2 sin x.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x2y + tx
dy
dt=xy2 − ty
Resenja
1. Jedno resenje date jednacine je funkcija y : x 7→ 0. Ako je y 6= 0,
jednacina je ekvivalentna Bernulijevoj jednacini
y′ − 2x
1 + x2y =
4√y arctan x√1 + x2
,
koja se smenom z =√y svodi na linearnu jednacinu
z′ − x
1 + x2z =
2 arctan x√1 + x2
Prvi kolokvijum 71
cije je resenje familija funkcija
z : x 7→√1 + x2(arctan2 x + C), C ∈ R.
Prema tome, opste resenje date jednacine je familija funkcija
y : x 7→ (1 + x2)(arctan2 x + C)2, C ∈ R,
a trazeno partikularno resenje je funkcija
y : x 7→ (1 + x2) arctan4 x.
Data jednacina, dakle, ima dva resenja.
2. Neka je L[y] izraz na levoj strani date jednacine. Karakteristicna
jednacina je k2 − 2k + 1 = 0, pa je opste resenje yh odgovarajuce ho-
mogene jednacine, L[y] = 0, dvoparametarska familija funkcija definisana
jednakoscu
yh(x;C,D) = Cex +Dxex.
Partikularno resenje yp date jednacine je zbir yp1 + yp2 + yp3 , gde su yp1 ,
yp2 i yp3 partikularna resenja jednacina
L[y] = −2x2, L[y] = 4ex, L[y] = 2 sin x. (∗)
Kako je
yp1(x) = ax2 + bx + c, yp2(x) = dx2ex, yp3(x) = e cos x + f sin x,
iz jednacina (∗) dobijamo da je a = −2, b = −8, c = −12, d = 2,
e = 1 i f = 0. Opste resenje date jednacine je zbir yh + yp, odnosno
dvoparametarska familija funkcija
y : x 7→ (C +Dx)ex − 2x2 − 8x− 12 + 2x2ex + cos x, C,D ∈ R.
3. Ako je x = 0, onda je y(t) = Ae−t2/2 (A ∈ R), a ako je y = 0,
onda je x(t) = Be−t2/2, B ∈ R. Za xy 6= 0 iz simetricnog oblika sistema
dx
x2y + tx=
dy
xy2 − ty=dt
1,
dobijamo da jed(xy)
2(xy)2=dt
1,
dx
x(xy + t)=dt
1,
odakle sledi da je
1
xy+ 2t = C,
x
ye−t
2
= D, C,D ∈ R.
72 Prvi kolokvijum
Ako su ϕ i ψ funkcije definisane jednakostima
ϕ(x, y) =1
xy+ 2t, ψ(x, y) =
x
ye−t
2
,
onda je J [ϕ, ψ] =2e−t
2
xy36= 0 za xy 6= 0, pa je sistemom
ϕ(x, y) = C, ψ(x, y) = D, C,D ∈ R
definisano resenje datog sistema.
Primer 2
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x(y − t)t(x− y)
dy
dt=y(t− x)t(x− y)
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln x.
3. Odrediti resenje jednacine
(2xy + 3)dy − y2dx = 0
koje zadovoljava uslov: y(2) = 1/2.
Resenja
1. Ako dati sistem napisemo u simetricnom obliku
dx
x(y − t)=
dy
y(t− x)=
dt
t(x− y),
lako se uocava da je
dx + dy + dt = 0
Prvi kolokvijum 73
i
ytdx + xtdy + xydt = 0,
odnosno d(xyt) = 0. Prvi integrali sistema su
x + y + t = C1, xyz = C2.
Obzirom da je
D(ϕ1, ϕ2)
D(x, y)=
∣
∣
∣
∣
1 1
yt xt
∣
∣
∣
∣
= t(x− y) 6= 0
u oblasti u kojoj je sistem zadat, prvi integrali su nezavisni i odre -duju
resenje sistema.
2. Jednacina moze da se resi metodom varijacije konstanti. Linearno
nezavisna resenja odgovarajuce homogene jednacine su y1(x) = e−2x i
y2(x) = xe−2x. Za odre -divanje funkcija C′1(x) i C′2(x) dobija se sistem
C′1(x) + xC′2(x) = 0
C′1(x) + (1− 2x)C′2(x) = ln x
cije je resenje C′1(x) = −x ln x, C′2(x) = ln x. Integracijom dobijamo da
je
C1(x) = −∫
x ln xdx = −x2
2ln x +
x2
4+D1,
C2(x) =
∫
ln xdx = x ln x− x +D2.
Prema tome, opste resenje date jednacine je
y = (D1 +D2x)e−2x +
x2
2e−2x
(
ln x− 3
2
)
.
3. Ocigledno je y = 0 integralna kriva. Za y 6= 0 data jednacina se
moze napisati u oblikudx
dy=
2xy + 3
y2,
odnosno u obliku
x′y −2
yx =
3
y2.
Dobijena jednacina je linearna po x. Njenim resavanjem dobijamo opste
resenje date jednacine:
x = Cy2 − 1
y.
74 Prvi kolokvijum
Primer 3
1. Odrediti opste resenje sistema diferencijalnih jednacina
x′ − y′ = 2x+ t− 1
y′ + x = y.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′ =(x+ y + 1)ex − ey
(x+ y + 1)ey − ex.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
xy=
dy√
y2 − 1=
dz
(x2 − z)y.
Primer 4
1. Odrediti opste resenje sistema diferencijalnih jednacina
x′ + y′ = − 2y
y′ + 2x′ + 5x = t+ 2.
2. Odrediti partikularno resenje jednacine
yy′′ = (y′)2 − (y′)3
koje zadovoljava uslove y(1) = 1 i y′(1) = −1.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
x+ y − xy2=
dy
x2y − x− y=
dz
y2 − x2.
Prvi kolokvijum 75
Primer 5
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
(2y − x+ 1)dx+ (2x− 4y + 1)dy = 0
koje zadovoljava uslov y(2) = 1.
2. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′ + y′(y′ + 2e−y/2√
y′) = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = y + t, y′ = −x.
Primer 6
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
(4x− 2y + 1)dx+ (y − 2x− 3)dy = 0
koje zadovoljava uslov y(1) = 2.
2. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′ − y′ = 2ex/2√
y′.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 3x− 2y + et, y′ = 2x− y.
Primer 7
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′ =y + 2
x+ 1+ tan
y − 2x
x+ 1.
76 Prvi kolokvijum
2. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′′ + 6y′ + 9y = 6xe3x + 18
koje zadovoljava uslove y(0) = 2 i y′(0) = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
xz=
dy
yz − x=dz
z2.
Primer 8
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
2y − x3
x3y′ =
3y2 + 2x
x4.
2. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′′ − 4y′ + 5y = e2x + 5x2 + x− 2
koje zadovoljava uslove y(0) = 0 i y′(0) = 3.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
x√y=
dy
−2(xy + 2y√y)
=dz
x.
Primer 9
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
y′ +x
1− x2y = x
√y.
2. Resiti diferencijalnu jednacinu
u′′′ + u′′2
= 0.
Prvi kolokvijum 77
3. Odrediti partikularno resenje sistema
x′ + y′ = 3x+ 16tet
x′ − y′ = − x+ 4y + 16tet
koje zadovoljava uslove x(0) = 0 i y(0) = 1.
Primer 10
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
z′ +x
1 + x2z = −x
√z.
2. Resiti diferencijalnu jednacinu
u′′′ − u′′2
= 0.
3. Odrediti partikularno resenje sistema
y′ − x′ = 3x− 5y + t
x′ + y′ = x+ 3y
koje zadovoljava uslove x(0) = 1 i y(0) = 0.
Primer 11
1. Odrediti partikularno resenje jednacine
y′ = − x2 + y2 + y
2xy + x+ ey
koje zadovoljava uslov y(0) = 0.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′′ − 2y′′ + 5y′ = 2et + 3t− 1.
78 Prvi kolokvijum
3. Resiti sistemdx
x=dy
y=
dz
z + u=du
xy.
Primer 12
1. Odrediti partikularno resenje jednacine
(2x2 − y2)dx+ 2xydy = 0
koje zadovoljava uslov y(1) = 1.
2. Odrediti opste resenje jednacine
y′′′ − y′′ + y′ + y = sin x+ 3xex.
3. Resiti sistem
dx
x2z=
dy
y2z=
dz
x+ y=
du
x+ y.
Primer 13
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 2xex.
2. Dat je sistem diferencijalnih jednacina
u′ = −v + 8t, v′ = 5u− v.
(1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema.
(2) Odrediti opste resenje sistema.
3. Odrediti resenje sistema diferencijalnih jednacina
dx
x− y=
dy
x− z=
dz
z − y
Prvi kolokvijum 79
koje zadovoljava uslov x(1) =√2, z(1) = 1.
Primer 14
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′′ − 2y′′ + y′ = xe2x.
2. Dat je sistem diferencijalnih jednacina
u′ = 2u− 4v + 2, v′ = 5u− 2v − 8t.
(1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema.
(2) Odrediti opste resenje sistema.
3. Odrediti resenje sistema diferencijalnih jednacina
dx
xz=
dy
z − y=
dz
y + z
koje zadovoljava uslov x(1) = 1, z(1) =√2.
Primer 15
1. Odrediti resenje jednacine
y′ =y
x2 ln y − x
koje zadovoljava uslov: y(1/2) = 1.
2. (1) Dokazati da su resenja y1(x) i y2(x) jednacine
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,
gde su p(x) i q(x) neprekidne funkcije, linearno nezavisnana (a, b) ako i samo ako jeW (y1(x), y2(x)) 6= 0 za x ∈ (a, b).
80 Prvi kolokvijum
(2) Ispitati da li je y(x) = C1x+C+2/x3 opste resenje jednacinex2y′′ + 3xyp − 3y = 0 za x ∈ (0,+∞).
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
y − x=
dy
x+ y + z=
dz
x− y.
Primer 16
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dy
dx=
2x− 3z
5z − 2y,
dz
dx=
3y − 5x
5z − 2y.
2. Resiti jednacinu
xdx+ ydy√
x2 + y2+dy
x=ydx
x2.
3. (1) Metodom varijacije konstanti izvesti opste resenje jednaciney′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x).
(2) Resiti jednacinu y′′ + y = sin x+1
sin x.
Primer 17
1. Resiti jednacinu yy′′ = 1 + y′2.
2. (1) Ako su parcijalni izvodi funkcija P : R2 → R i Q : R2 →R neprekidni, dokazati da je izraz P (x, y)dx + Q(x, y)dytotalni diferencijal ako i samo ako je P ′y = Q′x.
(2) Resiti jednacinu y′(ey + x+ sin x) + ex + y + y cos x = 0.
3. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dy
z + u=
dz
u+ y=
du
y + z=dx
x.
Prvi kolokvijum 81
Primer 18
1. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x(y − t)t(x+ t)
,dy
dt=t2 + xy
t(x+ t).
2. Resiti jednacinu y′(y2 − x2 − 2xy) + y2 − x2 + 2xy = 0.
3. (1) Dokazati da je y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x) opsteresenje jednacine
y′′ + a(x)y′ + b(x)y = c(x),
gde su y1 i y2 dva linearno nezavisna resenja odgovarajucehomogene jednacine, yp partikularno resenje date jednaci-ne, a C1 i C2 proizvoljne realne konstante.
(2) Resiti jednacinu y′′ + y = π cos x.
PISMENI ISPIT
Januar, 1997.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
y′′′ + 2y′′ + y′ = 2 sin x
koje zadovoljava uslov: y(0) = 1/2− π/2, y(π/6) = 0.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = y − 5 cos t
y′ = 2x+ y
3. Izracunati
∫
C
z + 2i
z2(z2 + 1)dz, ako je C = {z : |z − i/2| = 1}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + 4y′ + 4y = 16xe2x
koje zadovoljava uslov: y(0) = 1/2, y′(0) = −1.
Januar, 1997.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(
y ln x− y2)
dy +
(
y2
2x+ x3
)
dx = 0.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 2x− 3y
y′ = x− 2y + 2 sin t
3. Odrediti ekstremum funkcionala J ako je
J [y(x)] =
∫ x1
x0
(
ex(
y′2 + 2y2)
+ e4xy′)
dx.
Ispitni rokovi 83
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + y = 4xex
koje zadovoljava uslov: y(0) = −1, y′(0) = 1.
April, 1997.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
y′′′ + 2y′′ + y′ = x2
koje zadovoljava uslov: y(0) = 2, y′(0) = 6, y′′(0) = −5.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 2x+ y + et
y′ = 2x+ 3y
3. Odrediti analiticku funkciju f : x+ iy 7→ u+ iv ako je
u(x, y) = ex(x cos y − y sin y) i f(0) = 0.
4. Primenom Laplace-ove transformacije resiti integralnu jednacinu
y(t) = t+
∫ t
0sin(t− x)y(x)dx.
April, 1997.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
y′′′ + 2y′′ + 2y′ = x2e−x
koje zadovoljava uslov: y(0) = 2, y′(0) = −2, y′′(0) = 0.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y + e2t
y′ = x+ 4y
3. Odrediti analiticku funkciju f : x+ iy 7→ u+ iv ako je
v(x, y) = ex(−x cos y + y sin y) i f(0) = 0.
84 Ispitni rokovi
4. Primenom Laplace-ove transformacije resiti integralnu jednacinu
y(t) = t2 +
∫ t
0e−(t−x)y(x)dx.
Jun, 1997.
1. Odrediti Cauchy-jevo resenje diferencijalne jednacine
xy′ = y +
√
y2 +y3
x.
2. Primenom Laplace-ove transformacije resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− y + 8t
y′ = 5x− y, x(0) = 3, y(0) = 5.
3. Odrediti partikularno resenje parcijalne diferencijalne jednacine
x∂z
∂x+ (y + x)
∂z
∂y= z, z(1, y) = y.
4. Odrediti ekstremale funkcionala J ako je
J [y(x)] =
∫ x1
x0
y′4
(x sin x)3dx.
Jun, 1997.
1. Odrediti Cauchy-jevo resenje diferencijalne jednacine
2y′ − x
y=
xy
x2 − 1.
2. Primenom Laplace-ove transformacije resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y
y′ = 5x− y + 9t, x(0) = 2, y(0) = 1.
3. Odrediti partikularno resenje parcijalne diferencijalne jednacine
x2∂z
∂x+ (y2 + yx)
∂z
∂y= z2, z(1, y) =
1
y.
Ispitni rokovi 85
4. Odrediti ekstremale funkcionala J ako je
J [y(x)] =
∫ x1
x0
y′(
1 +ex
xy′)
dx.
Septembar, 1997.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
(x+ 4y)y′ = 2x+ 3y − 5.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=
sin2 x
x+ y + t
dy
dt=
cos2 x
x+ y + t.
3. Izracunati
∫
C
dz
(z2 + 1)2(z − 1), gde je C = {z : |z − 1− i| =
√2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + 2y′ + y = 13 sin 2t,
koje zadovoljava uslov: y(0) = y′(0) = −3.
Septembar, 1997.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
(y + 2)dx = (2x+ y − 4)dy.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt=x− y + t
sin2 t
dy
dt= −ctg2t.
3. Izracunati
∫
C
dz
(z2 + 1)2(z + 1), gde je C = {z : |z + 1 + i| =
√2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + 4y = 5te−t,
koje zadovoljava uslove y(0) = 1 i y′(0) = 1.
86 Ispitni rokovi
Oktobar, 1997.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
2x(
1 +√
x2 − y)
dx−√
x2 − ydy = 0,
ako je y(0) = −1.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt= 3x+ 2y + 4e5t
dy
dt= x+ 2y.
3. Odrediti vrednosti promenljive z (z = x+ iy) za koje je funkcija
f(z) =√
ey(x2 − 2x) + i2(x− 1)
√
e−y(x2 − 2x)
(1) diferencijabilna (2) analiticka.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ − 2y′ − 3y = e4t,
koje zadovoljava uslove: y(0) = 1, y′(0) = 2.
Oktobar, 1997.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
2x(
1 +√
x2 − y)
dx−√
x2 − ydy = 0,
ako je y(0) = −1.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
dt= 3x+ 2y + 4e5t
dy
dt= x+ 2y.
3. Odrediti vrednosti promenljive z (z = x+ iy) za koje je funkcija
f(z) =√
ey(x2 − 2x) + i2(x− 1)
√
e−y(x2 − 2x)
(1) diferencijabilna (2) analiticka.
Ispitni rokovi 87
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ − 2y′ − 3y = e4t,
koje zadovoljava uslove: y(0) = 1, y′(0) = 2.
Januar, 1998.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
(
ln y + 3x2y2)
dx =
(
2y(1− x3)− x
y
)
dy
koje zadovoljava uslov y(1) = 1.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ + y′ = x+ y + sin t
x′′ + y′ = 0
3. Izracunati
∫
C
(z + i)3dz, ako je C duz z1z2, gde je z1 = 1 + i a z2 = 2 + 2i.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
y′ − x = 0
x′′ + 4y′ = e2t
koje zadovoljava uslove: x′′(0) = −1, x′(0) = y′(0) = 0.
Januar, 1998.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
(
x2
cos2 y+ 3y2(1− 2x)
)
dy =(
2y3 − 2x tan y)
dx
koje zadovoljava uslov y(1) = 0.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
y′ − x = 0
x′′ + 4y′ = e2t
3. Odrediti skup tacaka u kojima je funkcija f : z 7→ (z + i)3
88 Ispitni rokovi
(1) diferencijabilna (2) analiticka.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ + y′ = x+ y + sin t
x′′ + y′ = 0
koje zadovoljava uslove: x′′(0) = −1, x′(0) = y′(0) = 0.
April, 1998.
1. Dokazati da ekstremale funkcionala J , gde je
J [y(x)] =
∫ x1
x0
exy′(y′ − 8x− 4y)dx,
zadovoljavaju jednacinu y′′ + y′ − 2y = 4(x+ 1), a zatim odrediti sve njegoveekstremale.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− y + 2 y′ = 5x− y.
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
xy2z′x + x2yz′y = (x2 + y2)z.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
∫ t
0(1 + t− u)y(u)du =
1
2e−t sin t.
April, 1998.
1. Dokazati da ekstremale funkcionala J , gde je
J [y(x)] =
∫ x1
x0
exy′(y′ − 12y − 8e−2x)dx,
zadovoljavaju jednacinu y′′ + y′ − 6y = −4e−2x, a zatim odrediti sve njegoveekstremale.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = −x− 5y y′ = 2x+ y + 3.
Ispitni rokovi 89
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
xzz′x + yzz′y + x2 + y2 = 0.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
∫ t
0y(t− u) cos udu =
1
2tet.
Jun, 1998.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′ =2x+ 3y − 5
x− y.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 3x− 2y + e3t
y′ = 2x− y
3. Odrediti analiticku funkciju f : x+ iy 7→ u+ iv ako je f(0) = i i
u(x, y) =x
2sin x
(
e−y−1 + e1+y)
.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = 3x− 2y + et
y′ = 4x− y
koje zadovoljava uslove: x(0) = 1, y(0) = 2.
Jun, 1998.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
y′ = −5x+ 3y + 2
x+ y.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 3x− 2y + et
y′ = 4x− y.
90 Ispitni rokovi
3. Odrediti analiticku funkciju f : x+ iy 7→ u+ iv ako je f(0) = −1 i
v(x, y) =y
2cos x
(
ey+1 − e−1−y)
.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = 3x− 2y + e3t
y′ = 2x− y
koje zadovoljava uslove: x(0) = 2, y(0) = 1.
Jun, 1998.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′ +y
x=cos x
y, y
(π
2
)
= 4.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y + e−3t
y′ = 2x− 3y
3. Izracunati
∫
C
eπz/2dz
z4 + 4z2, gde je C = {z : |Re(z)|+ |Im(z) + 1| = 2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ − 4y′ + 5y = 5t+ 1
koje zadovoljava uslove: y(0) = y′(0) = 2.
Jun, 1998.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′ − y = y2 sin x, y(0) = 6.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y + e−t
y′ = 4x− 3y
Ispitni rokovi 91
3. Izracunati
∫
C
eπz/2dz
z2(z2 − 2z + 2), gde je C = {z : |Re(z)|+ |Im(z)− 1| = 2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + 4y′ + 4y = 5 sin t
koje zadovoljava uslove: y(0) = −1, y′(0) = 1.
Septembar, 1998.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′ +y
x=cos x
y, y
(π
2
)
= 4.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y + e−3t
y′ = 2x− 3y
3. Izracunati
∫
C
eπz/2dz
z4 + 4z2, gde je C = {z : |Re(z)|+ |Im(z) + 1| = 2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ − 4y′ + 5y = 5t+ 1
koje zadovoljava uslove: y(0) = y′(0) = 2.
Septembar, 1998.
1. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine
y′ − y = y2 sin x, y(0) = 6.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− 2y + e−t
y′ = 4x− 3y
3. Izracunati
∫
C
eπz/2dz
z2(z2 − 2z + 2), gde je C = {z : |Re(z)|+ |Im(z)− 1| = 2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
y′′ + 4y′ + 4y = 5 sin t
koje zadovoljava uslove: y(0) = −1, y′(0) = 1.
92 Ispitni rokovi
Oktobar, 1998.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
y′ =ey
2y − xey.
2. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = x− y + 8t
y′ = 5x− y
koje zadovoljava uslove: x(0) = 3 i y(0) = 1.
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
z′x + (z2 − x2)z′y + x = 0.
4. Data je funkcija f : z 7→ z2z.
(1) Ispitati diferencijabilnost funkcije f .
(2) Ispitati analiticnost funkcije f .
Januar, 1999.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′ =x(a− x2 − y2)y(a+ x2 + y2)
, a ∈ R.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x2y − txy′ = xy2 + ty
3. Izracunati
∫
C
sin zdz
z(z2 + 1)ako je
(a) C = {z : |z| = 1/2}, (b) C = {x+ iy : 4x2 + 4y2 + 16y + 7 = 0}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = y − x+ te−t, y′ = −x− 3y, x(0) = −3, y(0) = 5.
Ispitni rokovi 93
Januar, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(xy′ − y) cos2 yx+ x = 0.
2. Ako su u(x, y) = a(x) sin y i v(x, y) = b(y) cos x realni i imaginarni deodiferencijabilne funkcije f : x + iy 7→ u + iv, dokazati da funkcije a i bzadovoljavaju relaciju
a2(x) + a′2(x) = b2(y) + b′2(y).
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
2xzz′x + 2yzz′y = z2 − x2 − y2.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
x′′ − 2x′ + x = e−t sin t+ 4et, x(0) = 0, x′(0) = −1.
Januar, 1999.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′ =2xy + 1
y − x2.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dx
y(x+ y)= − dy
x(x+ y)=
dz
(x− y)(2x+ 2y + z).
3. Odrediti analiticku funkciju f : x+ iy 7→ u+ iv ako je
v(x, y) =x+ y
x2 + y2.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
yiv + 2y′′ + y = sin t
koje zadovoljava uslove: y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.
94 Ispitni rokovi
Januar, 1999.
1. Odrediti ekstremale funkcionala J ako je
J [y] =
∫ b
a
(y2 − y′2 − 2ych(x))dx.
2. Resiti jednacinuz = xy2 + 2xz′x + yz′y.
3. Izracunati
∫
C
eazdz
z2(z2 + 2z + 2)gde je C = {z : |z − i| =
√2 +√3} i a ∈ R.
4. Matricnom metodom resiti sistem
x′′ + 6y = 6x, x′ + 2y′ = 2et.
Maj, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(2x+ y)dy = ydx+ 4 ln ydy.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 2x+ 2z − yy′ = x+ 2z
z′ = y − 2x− z.
3. Odrediti inverznu Laplace-ovu transformaciju funkcije
F : s 7→ 3s2
(s2 + 4)2.
Maj, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(
x+ ex/y)
dx+
(
1− x
y
)
ex/ydy = 0.
Ispitni rokovi 95
2. Matricnom metodom resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 4x− y − zy′ = x+ 2y − zz′ = x− y + 2z.
3. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti partikularno resenje jednacine
y′′ + y′ − 2y = e−t
koje zadovoljava uslove y(0) = 0 i y′(0) = 1.
Maj, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
xy′ − y =√
4x2 − y2.
2. Matricnom metodom resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = − x+ y + z
y′ = x− y + z
z′ = x+ y + z.
3. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti opste resenje jednacine
y′′′ + y′′ = sin x.
Maj, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
x
x2 + y2dy =
(
y
x2 + y2− 1
)
dx.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x+ z − yy′ = x+ y − zz′ = 2z − y.
96 Ispitni rokovi
3. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti opste resenje jednacine
yIV + y′′′ = cos x.
Maj, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
2√xy′ =
y
y ln y +√x.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = 3x− y + z
y′ = x+ y + z
z′ = 4x− y + 4z.
3. Odrediti inverznu Laplace-ovu transformaciju funkcije
F : s 7→ s2
(s2 + 1)3.
Jun, 1999.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y′′′ − 3y′ − 2y = sin x+ cos x.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
x′ = x− zy′ = − 6x+ 2y + 6z
z′ = 4x− y − 4z
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
(1998 +√z − x− y)z′x + z′y = 1999.
4. (1) Odrediti Laplace-ovu tranformaciju funkcije
y : t 7→∫ t
0(x5e4x + e−3x sin 2x)dx.
Ispitni rokovi 97
(2) Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje jednacine
∫ t
0y(x) sin(t− x)dx = sin2 t.
Jun, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
y′ =ey
2y − xey.
2. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = x− y + 8t
y′ = 5x− y
koje zadovoljava uslove: x(0) = 3 i y(0) = 1.
3. Odrediti opste resenje parcijalne jednacine
z′x + (z2 − x2)z′y + x = 0.
4. Data je funkcija f : z 7→ z2z.
(1) Ispitati diferencijabilnost funkcije f .
(2) Ispitati analiticnost funkcije f .
Septembar, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0.
2. Matricnom metodom odrediti partikularno resenje sistema
x′ = 2x− y + 2z
y′ = 2z + x
z′ = y − 2x− z
koje zadovoljava uslove: x(0) = y(0) = 0, z(0) = 2.
98 Ispitni rokovi
3. Ispitati diferencijabilnost i analiticnost funkcije
f : z 7→ (z − 1)Re(z + 1).
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti opste resenje jednacine
y′′′ − y′′ = xex.
Septembar, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
2y′ = y(1− y2 sin x).
2. Matricnom metodom odrediti opste resenje sistema
x′ = x− 3y + 4z
y′ = 4x− 7y + 8z
z′ = 6x− 7y + 7z
3. Izracunati
∫
C
z
zdz, gde je C granica oblasti {z | 1 < |z| < 2, Re(z) > 0}.
4. Resiti jednacinuy′′ + y′ + y = x2 cos x.
Oktobar, 1999.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
x(1 + x2)y′ = 2x+ y(x2 − 1).
2. Matricnom metodom resiti sistem
u′ = 8u− v − 5w
v′ = − 2u+ 3v + w
w′ = 4u− v − w.
3. Resiti jednacinu
y′′ − y′ = 1
ex + 1.
Ispitni rokovi 99
4. Izracunati
∫
C
ezdz
(z2 + π2)2gde je C = {z : |z| =
√π2 + 2π}.
Januar, 2000.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
y2dx+ x(√
y2 − x2 − y)
dy = 0.
2. Resiti sistem diferencijalnih jednacina
dy
dx= 1− 1
z,
dz
dx=
1
y − x.
3. Izracunati
∫
C
e2zdz
z2(z2 + 2z + 2)ako je C kontura koja ne sadrzi tacke 0, −1+ i
i −1− i.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = x− y + 2 sin t, y′ = 2x− y.
Januar, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
2
ydx = (ln y + 2x− 1)
dy
y2.
2. Resiti jednacinu
(y + z + u)u′x + (z + u+ x)u′y + (u+ x+ y)u′z = x+ y + z.
3. Izracunati
∫
C
dz
z3(z2 + 4)ako je C kontura koja ne sadrzi tacke 0, 2i i −2i.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′ = y − 2z − x, y′ = 4x+ y, z′ = 2x+ y − z.
100 Ispitni rokovi
April, 2000.
1. Odrediti opste resenje diferencijalne jednacine
xdy − ydx =x2dx
chx.
2. Resiti jednacinuxzz′x + zz′y = y − x2.
3. Izracunati
∫
C+
(1− z2)2dzz(az2 − (a2 + 1)z + a)
ako je a ∈ R \ {−1, 0, 1}, a C = {z :
|z| = 1}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije odrediti resenje sistema
x′′ + 6y = 6x, x′ + 2y′ = et
koje zadovoljava uslove x(0) = y(0) = 0 i x′(0) = 1.
April, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
(y′ − 1)x4 = (x3 + y3)y + 2x2y2.
2. Resiti jednacinu(x+ y2 + z2)z′x + yz′y = z.
3. Izracunati
∫
C+
dz
(z2 + zi)nako je n ∈ N , a C = {z : |2z − i| = 2}.
4. Primenom Laplace-ove transformacije resiti jednacinu
y(t) + 4
∫ t
0ex−t(t− x)2y(x)dx = e−3t.
Juni, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
y′ sin x+ 2(
y cosx
2
)2= y.
Ispitni rokovi 101
2. Resiti sistemu′ = 4u− 5v + 7w
v′ = u− 4v + 9w
w′ = − 4u+ 5w
3. Izracunati
∫
C+
Re(z)dz ako je C granica oblasti D, gde je
D = {x+ iy : x2 + y2 < 2x, x2 + y2 < 2y}.
4. Primenom Laplasove transformacije resiti jednacinu
y′(t) +
∫ t
0(y′′′(x) + y(x))ex−tdx = sin t
ako je y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.
Juni, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
sin x+ 2x′(
y cosx
2
)2= yx′.
2. Resiti sistemu′ = u− 3v + 4w
v′ = 4u− 7v + 8w
w′ = 6u− 7v + 7w
3. Izracunati
∫
C+
Im(z)dz ako je C granica oblasti D, gde je
D = {x+ iy : x2 + y2 + 2x < 0, x2 + y2 < 2y}.
4. Primenom Laplasove transformacije resiti jednacinu
y(t) +
∫ t
0(yiv(x) + y′′(x)− 2y(x)) sin(x− t)dx = sht
ako je y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′ = 0.
102 Ispitni rokovi
Septembar, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
yy′ =1 + x
√
x2 + y2
1−√
x2 + y2.
2. Resiti sistem6u′ = u+ 7v − 5w
2v′ = − u− v + w
3w′ = u− 2v + w
3. Izracunati
∫
C+
|z|dz ako je C granica oblasti ogranicene linijama
y =√3x, y = −
√3x, x2 + y2 = 1 (x > 0).
4. Primenom Laplasove transformacije resiti jednacinu
y′′ + 2y′ + 5y = sin3t, y(0) = 1, y′(0) = −1.
Septembar, 2000.
1. Odrediti resenje diferencijalne jednacine
y′ − 1
y′ + 1=y
x
za koje vazi: y(x)→ 1 (x→ 0+).
2. Resiti jednacinu(y + xz)z′x + (x+ yz)z′y + 1 = z2.
3. Ako je f analiticka funkcija za koju vazi
f(x+ iy) = α(x) + iβ(y),
gde su α i β realne funkcije, dokazati da je
f(z) = az + c, a ∈ R, c ∈ C.
4. Primenom Laplasove transformacije resiti jednacinu
y′′ − 5y′ + 6y = 2 cos t, y(0) = 3, y′(0) = 4.
Ispitni rokovi 103
Oktobar, 2000.
1. Resiti diferencijalnu jednacinu
xyy′′ + xy′2 = 3yy′.
2. (1) Ispitati da li je e−t tanx+ y
2= C prvi integral sistema
x′ = sin x cos y, y′ = cos x sin y.
(2) Resiti jednacinu
(2z − 3y)u′x + (3x− z)u′y + (y − 2x)u′z = 0.
3. Resiti jednacinu
y′′′ + y′ = sin x+1
sin x.
4. Primenom Laplasove transformacije resiti sistem
x′ = −x+ y+ z, y′ = x− y+ z, z′ = x+ y− z, x(0) = y(0) = z(0) = 1.
Oktobar, 2000.
1. Resiti jednacinu2yy′′ = 3y′2 + 4y2.
2. (1) Ispitati da li je t2 +1
x+ y= C prvi integral sistema
x′ = 2t(x2 + y2), y′ = 4xyt.
(2) Resiti jednacinu
(x+ y − xy2)u′x + (x2y − x− y)u′y = y2 − x2.
3. Resiti jednacinuy′′′ − y′′ + y′ − y = cos x+ 2ex.
4. Ako je f : z → u+ iv analiticka funkcija, izracunati ugao izme -du gradijenatafunkcija u i v.
LITERATURA
[1] Dajovic, S., Vujcic V., Matematika II, Kultura, Beograd,1989.
[2] Radosavljevic, M., Simic, V., Hot, S., Jovanov, -D., Diz-dar, D.,Zbirka resenih zadataka iz matematike II, Naucnaknjiga, Beograd, 1989.
[3] Vilenkin, N. �., Bohan, K. A., Maron, I. A., Matveev,I. V., Smol�nski�, M. L., Cvetkov, A. T., Zadaqnik pokursu matematiqeskogo analiza 2, Prosvewenie, Moskva,1971.
[4] Filippov, A.F.,Sbornik zadaq po differencial~nym ur-avneni�m, Nauka, Moskva, 1973.
[5] Berman, G. N., Sbornik zadaq po kursu matematiqeskogoanaliza, Nauka, Moskva, 1969.
[6] Mitrinovic, D. S., Diferencijalne jednacine - zbornik za-dataka i problema, Naucna knjiga, Beograd, 1972.
[7] Krasnov, M. L., Kiselyov, A. I., Makarenko, G. I., Abook of problems in ordinary differential equations, Mir Pub-lishers, Moscow, 1981.