Wiskunde D vwo ∙ Lineaire algebra
Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres
19 november 2015
Harm Houwing en John Romkes
Lineaire algebra
VwoD
Harm HouwingJohn Romkes
4Hoofdstuk
Rekenen met matricesStelsels vergelijkingenKansen en matricesDeterminantenInverse matricesToepassingen
Onderwerpen
De temperatuur in een bepaalde plaats wordt vaak berekend met behulp van gegevens van weerstations. In de figuur hiernaast zie je de plaatsen A, B, C en D en de temperaturen die zijn gemeten in acht naburige weerstatons. We nemen aan dat de temperatuur in ieder punt het gemiddelde is van de temperaturen van de vier naastgelegen punten. Voor de temperatuur TA in A geldt dus
Bereken de temperatuur in A, B, C en D door een stelsel op te lossen. Rond af op één decimaal.
1A D B4
(10 6).T T T
Stelsels
Bij de figuur horen de vergelijkingen
Dit geeft de matrix
De optie rref (TI) of Rref (Casio) geeft afgerond op één decimaal
Dus de temperaturen in A, B, C en D zijn respectievelijk 8,5 °C, 8,8 °C, 8,8 °C, en 9,3 °C.
A B D
A B C
B C D
A C D
4 16
4 18
4 17
4 20
T T T
T T T
T T T
T T T
Uitwerking
1 0 0 0 8,5
0 1 0 0 8,8
0 0 1 0 8,8
0 0 0 1 9,3
4 1 0 1 16
1 4 1 0 18
0 1 4 1 17
1 0 1 4 20
11Hoofdstuk
GeogebraLineaire afbeeldingenEigenwaarden en eigenvectorenDiagonaliserenMachtreeksenDifferentievergelijkingenToepassingen
Onderwerpen
Onderzoek met GeoGebra
a welke rotatie bij hoort
b welke spiegeling bij hoort
c welke draaivermenigvuldiging bij hoort.
GeoGebra (1)
0 1
1 0M
0 1
1 0M
2 2
2 2M
a Voer de matrix in, maak een schuifknop a
waarvan de waarde varieert van ‒10 tot 10 met
stapgrootte 0,1 en teken de lijn
b Teken een punt A op k, het punt B = M ∙ A
en de vectoren en
c Onderzoek voor welke waarden van a geldt
dat op k ligt.
d Voor de waarden van a die je bij vraag c hebt
gevonden geldt
Geef voor elke waarde van a de bijbehorende
GeoGebra (2)1 2
3 2M
: .k y ax
OA .OB
OB
.OB OA
.
a Voer de matrix in en teken
een punt A en de vector
b Een van de eigenwaarden van M is gelijk aan 1.
Dit betekent dat origineel en beeld samenvallen.
Welke eigenvectoren horen hierbij?
c Een van de eigenvectoren van M is
Welke eigenwaarde van M hoort hierbij?
GeoGebra (3)3 2
1 2M
.v OA
2.
1v
a Het punt A(3, ‒5) wordt ten opzichte van de oorsprong
over ‒45° geroteerd en vermenigvuldigd met
Bereken de coördinaten van het beeld A’.
b Het punt B(4, ‒1) wordt ten opzichte van de oorsprong
over 30° geroteerd en vermenigvuldigd met 2.
Bereken de coördinaten van het beeld B’.
Lineaire afbeeldingen
2 2.
Vraag a
wordt afgebeeld op en wordt afgebeeld op
dus
Dit geeft dus A’(‒4, 16).
Vraag b
wordt afgebeeld op en wordt afgebeeld op
dus
Dit geeft
dus
Uitwerking
1
0
2,
2
0
1
2,
2
2 2.
2 2M
2 2 3 4,
5 162 2M a
1
0
3,
1
0
1
1,
3
3 1.
1 3M
3 1 4 1 4 3,
1 4 31 3M b
1 4 3, 4 3 .B
De matrix M beeldt A(2, 3) op A’(4, 6) en B(‒2, 4) op B’(‒1, 2) af.
Geef de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van M
zonder M op te stellen.
Om de eigenwaarden van een 2 × 2-matrix te berekenen moet een
tweedegraadsvergelijking worden opgelost. Een 2 × 2-matrix heeft
dus 0, 1 of 2 eigenwaarden.
Geef bij de volgende afbeeldingen aan of de bijbehorende matrix
0, 1 of 2 eigenwaarden heeft. Licht steeds je antwoord toe.
a Vermenigvuldiging met 3 ten opzichte van O.
b Rotatie om O over 120°.
c Rotatie om O over 180°.
d Spiegeling in een lijn door O.
e Vermenigvuldiging met 2 ten opzichte van de x-as
en met 3 ten opzichte van de y-as.
Eigenwaarden
De matrix M heeft de eigenwaarden en
Bijbehorende eigenvectoren zijn en
a Stel de matrix M op.b Bereken Mn.
Diagonaliseren
1 2 2 5.
1
31
v 2
5.
2v
Uitwerking1
3 5 2 5 geeft
1 2 1 3
3 5 2 0 2 5 13 45
1 2 0 5 1 3 6 20
P P
M
a
b3 5 2 52 0
1 2 1 30 5
3 5 2 2 5 2
1 2 5 3 5
6 2 5 5 15 2 15 5
2 2 2 5 5 2 6 5
n
n
n
n n
n n
n n n n
n n n n
M
Heel bijzonderGegeven is de 2 × 2-matrix M met de eigenwaarden
en
Bijbehorende eigenvectoren zijn en
a Bereken M.b Bereken sin(M).c Bereken cos(M).d Onderzoek of geldt
11 2
π 2 π.
1
11
v 2
1.
0v
2 2sin ( ) cos ( ) .M M I
Uitwerkinga Bereken M.
11 1 0 1
geeft 1 0 1 1
P P
12
12
12
12
1 1 0 1π 0
1 0 1 10 π
1 1 0 π
1 0 π π
π 1 π
0 π
M
Uitwerkingb Bereken sin(M).
12
1 1 0 1sin( π) 0sin( )
1 0 1 10 sin( π)
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
0 1
0 1
M
Uitwerkingc Bereken cos(M).
12
1 1 0 1cos( π) 0cos( )
1 0 1 10 cos( π)
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1
1 1
0 0
M
Uitwerkingd Onderzoek of geldt 2 2sin ( ) cos ( ) .M M I
2
2
0 1 0 1 0 1sin ( )
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1cos ( )
0 0 0 0 0 0
M
M
2 20 1 1 1 1 0
Dus sin ( ) cos ( ) .0 1 0 0 0 1
M M I
• Leerlingen maken kennis met kernbegrippen uit de lineaire algebra.
• Van intuïtief werken met GeoGebra naar rekenen en bewijzen.
• Wij verwachten dat de leerlingen hierdoor met een flinke voorsprong beginnen in het vervolgonderwijs.
Conclusie