PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió
Ebben a részben általánosítjuk a térbeli vektorokra már megismert hasznos fogalmakat. A legfontosabb, hogy bármely vektortérben le tudjuk irni, meg tudjuk adni a vektorokat valamilyen módon. Ez a mód a koordinátázás lesz. Látni fogjuk azonban, hogy nem minden vektorrendszer (koordinátarendszer) alkalmas erre, ugyanis vannak olyanok, amelyekre vonatkozóan nem lenne egyértelmű a koordinátázás, ezek nyilván hasznavehetetelenek. Tehát először meg kell fogalmaznunk, milyen tulajdonságúnak kell lennie azoknak a vektoroknak, amelyekkel a többit le szeretnénk írni. Emiatt van szükség a címben említett fogalmakra. Az itt említett problémákat először példákon illusztráljuk.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Definíció:
A kvvv ,,, 21 K vektorok lineáris kombinációja kkvcvcvc +++ L2211 ,
ahol kccc ,,, 21 K ∈ T.
Azt mondjuk, hogy a v vektor a kvvv ,,, 21 K lineáris kombinációja, ha ∃ kccc ,,, 21 K ∈ T,
amelyekkel kkvcvcvcv +++= L2211
(T az a test, amely fölötti vektortérről van szó.)
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
=
=
=
=
321
,100
,010
,001
321 veee .
321 321100
3010
2001
1321
eeev ++=
⋅+
⋅+
⋅=
= ,
A v vektor tehát az 321 ,, eee vektorok lineáris kombinációja. Ez az előállítás itt egyértelmű, ez azonban más alapvektorok esetében nincsen mindig így. Ezt a rendszert szokás i, j, k rendszernek , vagy kanonikus bázisnak is nevezni. Az e fejezetben elmondottakat 3 dimenzióban már vettük, ismétlésképpen nézzük meg a térbeli felbontási tételt.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Tétel (Vektorok felbontása térben-volt): Ha adott a térben három, nem egysíkú, páronként nem párhuzamos vektor, a, b, c, akkor bármely d térbeli vektorhoz van olyan α,β,γ∈R, amelyekre igaz, hogy d=αa+βb+γc. Ez a felbontás egyértelmű. Biz.: d talppontján, T-n át az S síkkal S’ síkot rajzolunk. c nem párhuzamos a-val és b-vel, tehát a d végpontjában c-vel húzott egyenes D-ben döfi S’-t.
1. D-ből T-be mutató vektor legyen d’.
d=d’+c’=(αa+βb)+ γc, hiszen d’ egy síkban van a-val és b-vel, így az előző tétel miatt felírható azok lineáris kombinációjaként.
S’ D
Tc’
c’
d'
S
ab
d
d'
c’
ab
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Már láttuk, hogy pl. a 2 x 2-es mátrixok a szokásos mátrix összeadásra és valós számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a való számok teste felett. Igy e térben a „vektorok” a 2 x 2-es mátrixok. Tekintsük itt az alábbi „vektorokat”:
=
−=
−=
=
1280
,3102
,2131
,0120
321 vvvv
Írjuk fel a v vektort a v1, v2, v3 vektorok lineáris kombinációjaként! Megoldás:
321 23102
)1(2131
20120
11280
vvvv −+=
−⋅−+
−⋅+
⋅=
= .
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Lineáris egyenletrendszer értelmezhető (oszlop)vektorok lineáris kombinációjaként:
bxxx
Ax =
=
−=
111
123012101
3
2
1
.
A megoldás:
−=⇒13
2 x , ami azt jelenti, hogy
bAoszlopAoszlopAoszlop
bA
=
=+−=
=
=
−⋅+
⋅−
⋅==
−
111
)()(3)(2
111
101
1210
3321
213
2
321
Az egyenletrendszert nem mátrix-szorzásként, értelmeztük, hanem a mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként. Tehát a b vektor az együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja. Ez egyben azt is mutatja, ha van megoldás, akkor a b vektor előáll az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha nincsen megoldás, nem létezik ilyen lineáris kombináció sem.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
Irjuk fel a
=
554
v vektort a következő vektorok lineáris kombinációjaként!
=
−=
=
233
,411
,321
321 vvv .
Megoldás: 332211321
233
411
321
554
vcvcvccccv ++=
+
−+
=
=
.
⇔ az alábbi lineáris egyenletrendszert kell megoldani:
=
−=
554
243312311
3
2
1
3
2
1
ccc
ccc
A .
Rttctctc ∈=−=+−= , ,1 ,32 321 . ( ) ( ) Rttvvtvtv ∈+−++−= ,132 321
A v vektor végtelen sokféleképpen állítható elő a megadott vektorok lineáris kombinációjaként.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Állítsuk elő a
−−=
64
3v
vektort a következő vektorok lineáris kombinációjaként:
=
−−−
=
=
541
,211
,321
321 vvv .
Megoldás:
332211321
541
211
321
64
3vcvcvccccv ++=
+
−−−
+
=
−−=
,
−−=
−−−
=
64
3
523412111
3
2
1
3
2
1
ccc
ccc
A
⇔ Ennek a lineáris egyenletrendszernek nincsen megoldása ⇔ v nem állítható elő a 321 ,, vvv vektorok lineáris kombinációjaként.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Definíció: A kvvv ,,, 21 K vektorok által generált altér ezen vektorok összes lineáris kombinációja: ⟨ kvvv ,,, 21 K ⟩={ }Rcccvcvcvc kkk ∈+++ ,,,| 212211 KL E definíció helyes, ugyanis valamely vektorok halmaza akkor és csak akkor altér, ha bármely halmazbeli vektor számszorosa is halmazbeli, és bármely két halmazbeli vektor összege is halmazbeli. Ez a definícióból könnyen adódik (hf.)
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Vizsgáljuk meg a következő vektorok (kanonikus bázis) által generált alteret!
,100
,010
,001
321
=
=
= eee .
Megoldás:
3321
3
2
1
332211321 ,, |,, RRcccccc
ecececeee =
∈
=++=
Az eredmény nem meglepő, hiszen a térbeli felbontási tételből is adódik.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
=
=
=
011
,201
,121
321 vvv .
Igaz-e, hogy 32,, vvv = R3? Megoldás:
Ha igen, akkor minden 3R
cba
v ∈
=
, léteznek olyan 321 ,, ccc valós számok, hogy
332211321
011
201
121
vcvcvcccccba
v ++=
+
+
=
= .
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
vagyis:
=
cba
ccc
3
2
1
021102111
.
A megoldás (egyértelmű, a, b, c paraméterekkel mindegyik együttható kifejezhető):
324 ,
3 ,
322
321cbaccbaccbac −−
=+−
=++−
= .
321 324
3322 vcbavcbavcbav
−−
+
+−
+
++−
= .
Tehát minden 3R -beli vektor felírható a 321 ,, vvv vektorok lineáris kombinációjaként, tehát az egész tér előáll. (a lineáris kombináció itt is egyértelmű, összhangban a térbeli felbontási tétellel)
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Generátorrendszer: vektorok olyan rendszere, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér minden eleme előáll. Példa: R3-ban minden 3 páronként nem párhuzamos, nem egysíkú vektor generátorrendszert alkot. Ezt illusztrálják a fenti példák is. Feladat: Adja meg a 2 x 2-es mátrixok egy generátorrendszerét!
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
Igazoljuk, hogy a 1 2 3
1 1 1, ,
1 1 1g g g
− = = = − −
vektorok az R2 egy generátorrendszerét alkotják!
Megoldás: Azt kell bizonyítani, hogy bármely
ab vektor felírható a g1, g2, g3 vektorok
lineáris kombinációjaként.
1 2 3
1 1 11 1 1
ab
α α α−
= + + − − ,
vagyis
11 1 1 1 0 1 ( )1 1 1 1 1 1 211 1 1 0 2 0 10 1 0 ( ) 0 1 0 ( )2 2
a a ba ab b a a b a b
− − + − − = = = − − − − − −
tehát
1 3 2 31 1( ) , ( ),2 2
a b a bα α α α= + + = − tetszőleges.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Legyen 312
α = , ekkor például az 12
vektor a következőképpen írható fel:
3 1 21 12,2 2
α α α= − → = = −
321 21
212
11
21
11
21
11
221
gggv +−=
−−
+
−
−
=
Legyen 3 1 21 11,2 2
α α α= − → = = −
321 21
211
11
21
11
21
11
121
gggv +−=
−−
−
−
−
=
∞ sokféleképpen írható fel bármely 2R -
beli vektor a 321g,g,g lineáris
kombinációjaként.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Igazoljuk, hogy az
−
1
1,
11
vektorok R2 egy generátorrendszerét alkotják!
Megoldás:
=
−
+
ba
11
11
21 αα , előzőhöz hasonlóan:
Példa: i, j rendszerre mit mondhatunk? És i, j, k –ra?
( )
( )ba
ba
−=
+=
2121
2
1
α
α
ba
=−=+
21
21
αααα Ez esetben a felírás egyértelmű!
(Függetlenek a vektorok.)
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Konklúzió: bizonyos generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációja egyértelműen állítja elő a tér vektorait, bizonyosak pedig nem. Ennek kritériuma az ún. lineáris függetlenség . A lineáris függetlenség, lineáris összefüggőség fogalmak a vektorok egymással való kapcsolatát fejezik ki. A függetlenség azt biztosítja, hogy a független vektorok közül egyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjával, míg az összefüggő vektorok közül legalább egyik kifejezhető a többi lineáris kombinációjával. Definíció: (Lineáris összefüggés (LÖF):
nvvv ,,, 21 K vektorok lineárisan összefüggők, ha a 01
=∑=
n
iii vλ lineáris kombinációban
0, ≠∃ ii λ .
(vagyis 02211 =+++++ nnii vvvv λλλλ KK úgy, hogy egyik tag, az i-dik, nem nulla. )
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: LÖF síkban:
1. eset 2. 021 =+ ba λλ / tegyük fel, hogy 02 ≠λ
ba
ba
=−
−=
2
1
21
λλ
λλ
Síkban két vektor akkor és csak akkor összefüggő, ha párhuzamosak. (Ekkor egymás lineáris kombinációjaként előállíthatók)
2
1/λ⋅
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
2. eset Most legyen a nem párhuzamos b -vel, és cba ,, lineárisan összefüggő:
bac
cba
3
2
3
1
321 0
λλ
λλ
λλλ
−−=
=++
Síkban tehát, ha 3 vektor összefüggő, akkor legalább az egyik kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.
Tétel (síkbeli felbontási tétel más megfogalmazása): Síkban bármely három vektor lineárisan összefüggő.
1 2 3 0a b cλ λ λ+ + =Csak úgy lehet lineárisan összefüggő, ha 03 ≠λ , ui, ha például 02 ≠λ lenne 0021 =++ cba λλ -ban 02 ≠λ miatta és b lineárisan összefüggő lenne, vagyis párhuzamos.
c kifejezhető a -val és b -vel!
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: LÖF TÉRBEN a.) b||a0ba 2 ⇒≠∃↔=+ 01 iλλλ
b.) 1 2 3 0λ λ λ+ + =a b c TFF. Hogy a nem párhuzamos b, akkor 03 ≠λ
bac **21 λλ +=
Ekkor a vektorok egysíkúak, és egyik kifejezhető a másikkal. Tfh. 01 ≠λ vagy 02 ≠λ ugyanaz mondható el. c.) 01 ≠λ 02 ≠λ 03 ≠λ lenne, akkor bármely d vektorra: 0dcba =+++ 4321 λλλλ a térbeli felbontási tételt kaptuk
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Definíció:: Lineáris függetlenség (FGTLEN)
nvvv ,..., 21 lineárisan független, ha 0=∑=
n
iiiv
1
λ csak úgy lehetséges,ha
i∀ 0=iλ
Tétel: Ha v1,v2,…,vn LÖF, tetszőleges vektort hozzávéve, továbbra is LÖF marad. Biz.: λ1v1+ λ2v2+…+ λivi+…+ λnvn+ λn+1vn+1=0
LÖF,def.-nek eleget tesz λivi miatt ha αn+1=0-t választjuk, hiszen λi ≠0-val LÖF teljesül
LÖF volt , ∃λi≠v úgy , hogy
∑=
n
i 1
λivi=0
Ezt vesszük hozzá
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Kérdés: Hány vektort szabad hozzávenni, hogy még LÖF maradjon? Tétel: Ha v1,v2,...,vn FGTLEN, tetszőleges vektort elhagyva FGTLEN marad. Biz.: Előzőre visszavezetjük, tfh. a FGTLEN rendszerből már elhagytunk egy vektort, és az így kapott rendszer, LÖF. Az előző tétel szerint, ha ehhez a LÖF rendszerhez hozzáveszünk egy vektort, a rendszer LÖF marad. Tehát akkor az eredeti is LÖF lenne, ami ellentmondás.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Tétel: v1,v2,...,vn A.CS.A LÖF, ha ∃i, hogy vi=∑
≠=
n
ikk 1
λkvk (legalább egy vektor a többivel kifejezhető)
a.) Ha LÖF, akkor ∃ vi = ∑≠=
n
ikk 1
λkvk
λ1v1+ λ2v2+…+ λivi+…+ λnvn+ λn+1vn+1=0 ∃i hogy λi≠0
λ1v1+ λ2v2+…+ λnvn+ λn+1vn+1= -λivi, vi=∑≠=
n
ikk 1
λk/λivk
b.) Ha ni
n
ikk
kki vvvvvv ,,,,, 211
KK⇒=∑≠=
α LÖF.
Ugyanis: nniiiii vvvvv αααα +++++= ++−− KK 111111
0≠iα1 1 11 1 10 ( 1)i i ii i nv v v v vα α α α− +− += + + + − ⋅ + + +K K
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Tétel:
nvvv ,,, 21 K függetlenek, és 1+nv -et hozzávéve lineárisan összefüggők lesznek, akkor 1+nv
kifejezhető: ∑=
+ =n
iiin vv
11 α .
0112211 =++++ ++ nnnn vvvv λλλλ K
0, ≠∃ ii λ , mert most lineárisan összefüggő. Ha ni ≤ lenne, akkor (vagyis 01 =+nλ ), akkor
01
111
==+ ∑∑=
++=
n
iiinn
n
iii vvv λλλ és 0≠∃ iλ ,
ami azt jelentené, hogy nvvv ,,, 21 K lineárisan összefüggő lenne, ellentmondás!
Független volt Ezt vettük hozzá. 0
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Tehát .
∑∑== +
+ =−=⇒n
kkkk
n
k n
kn vvv
11 11 α
λλ
Tétel: A ∑=
=n
iii vv
1α előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha nvvv ,,, 21 K lineárisan
független rendszer. Bizonyítás: („visszafelé”)
Tegyük fel, hogy nvvv ,,, 21 K független rendszer. Ekkor egyértelmű v előállítása.
Indirekt módon: 1 1
n n
i ii ii i
v v vα β= =
= =∑ ∑
∑=
−=−=n
iiii vvv
1)(0 βα , mivel iv független, 0)( =− ii βα i∀ -re: iiii βαβα =⇔=− 0
egyértelmű.
01 ≠+nλ
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Bizonyítás: („oda”) Ha a felírás egyértelmű, akkor nvvv ,,, 21 K független.
Indirekt módon: Tegyük fel, hogy nvvv ,,, 21 K lineárisan összefüggő, előzőek szerint:
i∃ ∑≠=
=n
ikk
kki vv1α
De akkor: 1
n
kkk
v vα=
=∑ -ba ∑≠=
=n
ikk
kki vv1α
-t írva v egy másik, különböző felírását kapnánk,
ami ellentmond v egyértelmű felírásának.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: Három dimenzióban, tegyük fel, hogy egyik vektor a másik kettő lineáris kombinációja:
22112 vvv ββ += Ekkor:
3332111332211 )(0)( vvvvvvv βαβαααα ++++=++= Két különböző lineáris kombináció létezik,
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Ism.: Definíció: Lineáris függetlenség
nvvv ,..., 21 lineárisan független, ha 0=∑=
n
iiiv
1λ csak úgy lehetséges,ha
i∀ 0=iλ
Függetlenség síkban: 02121 ==⇔=+ λλλλ 0ba
vagyis ha Pl.: 01 ≠λ és 02 ≠λ , akkor a lineáris kombináció sosem lehet NULLA! (paralelogramma szabály – az átló sosem nulla hosszúságú, ha az oldalak nem azok!) ba ||⇔ Függetlenség térben: ba || , ca || , cb ||
cba ,, nem egysíkúak 0321 =++ cba λλλ a parallelepipedon nem elfajuló
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa: összefüggő-e a alábbi vektorrendszer:
1 1,
1 1 − ?
Megoldás:
02211 =+ vv λλ Miként állítható elő a 0 ?
000
00
11
11
21
21
21
21
===−=+
=
−
+
λλλλλλ
λλ
Csak triviális megoldás létezik, ezért függetlenek.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Definíció: A lineárisan független vektorokból álló generátorrendszert bázisnak nevezzük. A bázisnak tehát két fontos tulajdonsága van: - a bázisvektorok lineárisan függetlenek - minden vektor előáll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
Bizonyítsuk be, hogy az
101
,110
,011
vektorok az R3 egy bázisát alkotják.
Megoldás: Első tul.: függetlenség
000
000
101
110
011
32
21
31
321
=+=+=+
=
+
+
λλλλλλ
λλλ
Csak triviális megoldása van, tehát független rendszer.
( A paralelepipedon térfogata≠0, csak akkor, ha a vektorokat „0-szor” vesszük.)
Második tul.: Minden vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként (hf).
−≈
−≈
020001100101
011001100101
011000110101
12
3
3
00
02
λλλλ
====
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Megjegyzés: A megoldásból kitűnik, hogyha det(A)=0, ahol A a vektorokat mint oszlopokat tartalmazza, akkor van triviálistól különböző megoldás, vagyis, akkor összefüggő a vektorrendszer.
Az előzőekből láttuk, hogy egy vektorrendszer akkor és csak akkor FGTLEN, ha bármely más vektor EGYÉRTELMŰEN írható fel az elemek lineáris kombinációjaként. Ezért a vektortér vektorait a bázisok segítségével reprezentálhatjuk (máskülönben az előállítás nem lenne egyértelmű)
Definíció: Ha a iv vektorok bázist alkotnak, akkor a ∑=
=n
kkk vv
1α lineáris kombinációban a
kα valós számokat a v vektor iv bázisra vonatkoztatott koordinátáinak nevezzük. Amennyiben megállapodunk a vektorok felírási sorrendjében, akkor a vektor egy rendezett szám n-esel reprezentálható.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Tétel: Bármely vektortérben a bázisok elemszáma egyenlő. Bizonyítás: A kicserélési tétel szerint, bármely független vektorrendszer elemei kicserélhetők egy adott generátorrendszer elemeivel úgy, hogy független rendszert kapunk. A bázis független vektorokból álló generátorrendszer.
Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2≥n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 – GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1≥ n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
KICSERÉLÉSI TÉTEL: Az f1, … fn független vektorokból álló rendszer bármely fi vektorához a g1 , …, gj generátorrendszerből található olyan gk vektor, amellyel fi –t kicserélve a f1, … fi-1, gk, fi+1, … fn rendszer is független Bizonyítás: f1, … fn FGETLEN, akkor ∀ fi-hez van olyan gk, amire kicserélve fi-t FGETLEN marad:
Ugyanis ha pl. f1-hez nem lenne egyik gi sem jó, akkor minden egyes gi-re:
g1 f2, …fn LÖF g1 : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=
=n
kkk fg
211 α
g2 f2, … fn LÖF g2 : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=
=n
kkk fg
222 α
…
gj f2, … fn LÖF ge : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=
=n
kkjkj fg
2α
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
vagyis a gi -k helyébe f2, … fn-k lineáris kombinációját írhatjuk.
Mivel gi-kel ∀ vektor kifejezhető, így f1 is: f1 = β1g1 + … βjgj, de a gi-k ki vannak fejezve fk-kal, ezért f1 is ki van fejezve a többi fk-val, tehát az fk vektorok összefüggők lennének. Ez ellentmondás.
Következmény: f1, … fi-1, gk,fi+1, … fn g1, …gj j ≥ n ,
vagyis a generátorrendszer elemszám mindig nagyobb, vagy egyenlő, mint a független vektorokból álló rendszer elemeinek száma.
Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2≥n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 , GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1≥ n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Következmények: - N dimenziós térben bármely n db FGETLEN vektor bázis. - N dimenziós térben bármely n+1 db vektor LÖF.
Definíció: A vektortér dimenzióján bázisának elemszámát értjük. (A definíció helyes, hiszen minden bázisnak ugyanannyi eleme van az előző tétel szerint.) Feladatok: A fentebb szereplő példákban több vektorrendszer található. Válasszuk ki közülük a generátorrendszereket, bázisokat, adjuk meg a generált tér dimenzióját. Típusfeladatok:
- adott vektorok generátorrendszert alkotnak-e? - adott vektorok bázist alkotnak-e? - adott vektorok függetlenek-e? - adott vektorokkal másik adott vektor kifejezhető-e? - adott vektornak mik a koordinátái egy bázisra vonatkozóan? - adott vektort többféleképpen kifejezni löf generátorrendszer elemeivel
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:
© Bércesné Novák Ágnes
Összefoglalás
E fejezetben láttuk, hogy minden vektortér felfogható bizonyos vektorok generátumaként. E vektorok összessége a generátorrendszer. Ez azt jelenti, hogy a tér minden vektora előállítható a generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjával. Ha a generátorrendszer vektorai lineárisan függetlenek, akkor minden más vektor egyértelműen áll elő ezek lineáris kombinációjaként. Ezért az ilyen, független vektorokból álló generátorrendszereket megkülönböztetésül bázisnak nevezzük. A bázisvektorok lineáris kombinációjaként előállított vektorok koordinátái a lineáris kombinációban szereplő skalárok. A koordináta tehát mindig valamely előre rögzített bázisra vonatkozik. A bázisok elemszáma egyenlő, ez a szám a vektortér dimenziója.