UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO
FACULDADE DE ENGENHARIA - DEP. DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ELE 0941 - ELETROTÉCNICA
CAPÍTULO 3 - CIRCUITOS TRIFÁSICOS
1.0 Definições Gerais
Sistema de tensões polifásico simétrico e equilibrado
Seja n o número de fases:
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
nntEe
nitEe
ntEe
tEe
Mn
Mi
M
M
12cos
12cos
12cos
cos
2
1
πω
πω
πω
ω
M
M
Para o caso de sistema trifásico (n =3):
1
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
34cos
32cos
cos
3
2
1
πω
πω
ω
tEe
tEe
tEe
M
M
M
Figura 1 - Sistema de tensão trifásico
Em termos fasoriais:
Figura 2 – Representação fasorial nos eixos real e imaginário
2
oyx EjEEE θ=+=1
&
onde
θ
θθ
senEE
EEtgarcEE
EEEj
y
x
yx
yx
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
+=−=
cos
1 22
deste modo no sistema trifásico
o
o
o
EjEsenj
EjEsenj
12023
21
32
12023
21
32
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
π
π
EE
EE
EjEE
32cos
32cos
00
3
2
1
⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=+=
π
π
&
&
&
onde
2MEE =
1.1 Definições
Sistema de tensões trifásico simétrico: Três tensões senoidais de mesma magnitude,
defasadas entre si de 120o.
Sistema de tensões trifásico assimétrico: Sistema trifásico em que não atendem a pelo
menos uma das condições acima.
3
Linha (ou rede) trifásica equilibrada: Linha (ou rede) constituída por 3 ou 4 fios
(incluído o neutro ou retorno), com:
impedâncias próprias iguais ( pCCBBAA ZZZZ === )
impedâncias mútuas iguais ( MCABCAB ZZZZ ===r
);
MCGBGAG ZZZZ '===r
Um circuito trifásico esta em equilíbrio se as três tensões senoidais tiverem a
mesma magnitude e freqüência e cada tensão estiver 120o fora de fase com as outras
duas. As correntes na carga também devem estar em equilíbrio.
Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: Linha (ou rede) trifásica em que não se verifica
alguma das condições de equilíbrio.
Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica constituída por três impedâncias iguais
ligadas em estrela (Y) ou triângulo (Δ).
Carga trifásica desequilibrada: Carga trifásica em estrela (Y) ou triângulo (Δ) em que
não se verifica pelo menos umas das condições de equilíbrio.
1.2 Seqüência de fases
Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade ω constante em um
campo magnético uniforme surge uma tensão dada por
( )θω += tEe M cos
Considere-se então 3 bobinas deslocadas entre si de 3
2π rad em um mesmo eixo.
4
Figura 3 - Obtenção de um sistema de tensão trifásico
Seqüência de fase: A ordem pela qual as tensões passam por máximo.
Na figura: A-B-C ( B-C-A; C-A-B ) – seqüência direta (positiva)
C-B-A ( B-A-C; A-C-B ) – seqüência inversa (negativa)
Figura 4 – Seqüência de fase, direta e inversa, dos fasores de tensões
É comum na literatura também o emprego das letras RST em analogia as fases ABC.
5
Exemplo 1: Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase B-A-C e o
CV 70220=& V. Determinar as tensões das fases A e B.
1.3 Operador α
Define-se α como o seguinte fasor:
o1201=α
Propriedades de α:
oooo 12012401120112012 −==⋅=⋅= ααα
αααα
ααα
=⋅=
=⋅−=⋅=
34
23 0112011201 ooo
( ) ( )
223
13
33 0101
αα
αα
αα
=
=
===
+
+
n
n
ononn
01 2 =++ αα
Exemplo 2: Calcular:
1- 2α
6
αα −2
( )22 1 αα −
1−α
( )21 αα −
1.4 Seqüências
Seqüência: conjunto ordenado de três fasores.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
C
B
A
A
MMM
M&
&
&r
Tabela 1 – conjunto ordenado de três fasores para seqüência positiva, negativa e zero
Seqüência direta (positiva) Seqüência inversa (negativa) Seqüência zero
112
1
1
121
1
1SVV
VV
VV
r&&
&
&
&r
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα
αα
222
2
22
2
2
2
1SVV
VV
VV
r&&
&
&
&r
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα
αα
000
0
0
0
0
111
SVVVVV
Vr
&&
&
&
&r
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Exemplo 3 – Como fica na notação acima o sistema de fasores do exemplo 1
1.4 Padronização de sub índice duplo
7
Figura 5 – Representação das tensões e correntes em fonte e em carga
2.0 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga
equilibrada, seqüência direta
2.1 Ligações em estrela ou Y
Sejam as bobinas da figura 3 alimentando cargas de impedância
jXRZZ +== ϕ
Figura 6 - Três circuitos monofásicos para conexão estrela
8
As correntes que circulam nos circuitos são
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
−+=+
==
−−=−
==
−===
120120
120120
0
ZE
Z
E
ZE
I
ZE
Z
E
ZE
I
ZE
Z
E
ZE
I
oNC
C
oNB
B
oNA
A
C
B
A
&&
&&
&&
• Os circuitos são eletricamente independentes, então os pontos NA, NB, e NC podem
ser conectados em um ponto N.
• Os pontos N’A, N’B, e N’C estão ao mesmo potencial de N e podem ser igualmente
conectados.
• A corrente que circula no condutor N-N’ é 0' =++= CBANN IIII &&&&
O circuito trifásico pode ser redesenhado como segue.
9
Figura 7 - Sistema trifásico com fontes e cargas ligados em Y
Definições:
1. Tensão de fase: medida entre qualquer terminal do gerador ou carga e o
centro-estrela;
2. Tensão de linha: medida entre quaisquer dois terminais do gerador ou da
carga, nenhum deles sendo o centro-estrela;
3. Corrente de fase: corrente que percorre cada das bobinas do gerador ou da
impedância da carga;
4. Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que conectam o gerador
á carga, excetuado o neutro.
2.1.1 Relações entre os valores de linha e fase para a ligação Y
10
Figura 8 - Tensões e correntes de fase e linha em um sistema trifásico com gerador e carga ligados
em Y
Tabela 2 – Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em Y
Valores de fase Valores de linha
Gerador Carga Gerador Carga
Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão
INA VAN IA’N’ VA’N’ IA VAB IA VA’B’
INB VBN IB’N’ VB’N’ IB VBC IB VB’C’
INC VCN IC’N’ VC’N’ IC VCA IC VC’A’
2.1.1.1 Correntes:
CCNNC
BBNNB
AANNA
III
III
III
&&&
&&&
&&&
==
==
==
´´
´´
``
2.1.1.2 Tensões:
11
Dadas às tensões de fase
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα 2
1
AN
CN
BN
AN
AN VVVV
V &
&
&
&r
As tensões de linha são
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=1
1
1
12
22
2
ααα
ααα
αα ANANAN
AN
CN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
AB VVVVVV
VVV
VVV
V &&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&r
Onde:
( )
( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=→
=−=−
=−=−
=−
αα
αααα
ααααα
α
2
2
2222
2
1303
30311
3031
3031
ANo
AB
o
o
o
VV &r
Em uma formulação geral, considerando na referência e seqüência direta,
pode-se escrever a seguinte relação entre valores de fase e de linha:
ANV&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα 200
130|330|3 Fase
CN
BN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V&
&
&
&
&
&
&
12
O diagrama fasorial, com a tensão de fase na referência, correspondente é
Figura 9 - Diagrama fasorial com relação entre as tensões de linha e fase, seq. direta (ligação Y),
tensão de fase ( ) na referência ANV&
2.1.1.3 Deslocamento de neutro
Considere-se uma tensão VNN’ como ilustrado na figura 10.
Figura 10 - Deslocamento de neutro
13
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=111
''' NN
CN
BN
AN
NNANAN VVVV
VVV &
&
&
&rrr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
αα
αα
αα
2
'
2
2
'
'
'
'
'
'
1303
111
111
1
1
ANo
NNANAN
AN
VN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
AB
V
VVVVVV
VVV
VVV
V
&
&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&r
1. A tensão VNN’ não afeta as tensões de linha.
2. Dadas as tensões de linha, as tensões fase-terra estão indeterminadas, ou seja,
oAB
ANV
V303'
&& = se e somente se for garantido que o trifásico é simétrico.
Exemplo 4 :Uma Carga equilibrada ligada em Y é alimentada por um sistema trifásico
simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta. Sabendo-se que 058|220=BNV& V,
pede-se determinar:
a) As tensões de fase na carga
b) As tensões de linha na carga
2.1.2 Resolução de circuitos com gerador e carga em Y
Considere-se o circuito a seguir sendo conhecidas às tensões de fase do gerador
e as impedâncias da linha e da carga. Sejam as malhas indicadas.
14
Figura 11 - Circuito trifásico em Y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=ααθ 2
1E
VVV
V
CN
BN
AN
AN
&
&
&r
; '''; ϕϕ ZZZZ ==
)'(2)'(2)'(
)'(2)'()'(2
ZZVV
ZZZZVV
ZZVV
ZZZZVV
CNBNCNBN
BNANBNAN
+−
=+−→+++−=−
+−
=−→+−+=−
&&&&
&&&&
βγβγ
βγβγ
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3
12'3
1ZZ
VV
ZZVVV
ZZAN
ANCNBNAN +=
+=+−
+=
&&&&&γ
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3
12'3
1ZZ
VV
ZZVVV
ZZCN
CNBNANCN +−
=−+
=++−+
=&
&&&&β
15
( )
( ) ( ) ( )
( )'
'''
'
ZZV
I
ZZV
ZZV
ZZV
I
ZZV
I
CNC
BNANCNB
ANA
+=−=
+=
+−
+−=−=
+==
&&
&&&&
&&
β
γβ
γ
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα
θ
ααθ 22
1
'
1
ZZ
E
III
IEVVV
V
C
B
A
A
CN
BN
AN
AN
&
&
&r
&
&
&r
Outra resolução:
VNN’ = 0 → imediatamente ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα
θ2
1
'ZZ
E
III
I
C
B
A
A
&
&
&r
Ou seja, tudo se passa como se o circuito a resolver fosse:
Figura 12 - Circuito monofásico equivalente (Y)
16
A resolução de um sistema trifásico simétrico e equilibrado, com gerador e caga
em Y, resume-se à solução de um circuito monofásico representado pelo gerador ligado
a uma das cargas. Os outros valores das fases têm o mesmo módulo e ângulos defasados
de 1200
Observação: Com relação ao subscrito duplo, por Exemplo VAN, significa a tensão no
ponto A em relação ao ponto N, quanto a corrente IAN representa a corrente que flui de
A para N.
Exemplo 5 : Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica
equilibrada. Gerador e carga ligados em Y, seqüência direta. São dados :
1) A tensão de linha do gerador – 380V
2) A freqüência do gerador – 60Hz
3) O número de fios da linha – 3
4) A resistência e a reatância indutiva de cada fio da linha (desprezar as indutâncias
mútuas entre os fios da linha) – R=0,20Ω XL=0,50Ω
5) A impedância da carga – ZC= 3 + j 4 Ω
Pede-se:
a) As tensões de fase e de linha no gerador
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador
c) As tensões de fase e de linha na carga
d) A queda de tensão na linha (valores de fase e de linha)
e) O diagrama de fasores
2.2 Ligações em triângulo ou Δ
Retomando os geradores monofásicos que compõem o trifásico e conectando-os
como ilustrado:
17
Figura 13 - Três circuitos monofásicos para conexão Δ
Cada malha é independente → podem-se interligar os pontos ⎪⎩
⎪⎨
⎧
B
C
NeC
NeA
Note-se que → B e N0=++=ACBA ANCNBNBN VVVV &&&& A podem ser interligados.
Analogamente 0)( '''''''' =++=ABBA NANBNBNB IIIZV &&&& e B’ e N’A podem ser interligados
Finalmente, podem-se interligar os pontos ⎪⎩
⎪⎨
⎧
B
A
C
NeCNeBNeA
''''''
Então o circuito fica como segue.
18
Figura 14 - Circuito trifásicos com gerador e carga em Δ
2.2.1 Relações entre as grandezas de fase e de linha na ligação Δ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
CA
BC
AB
CN
BN
AN
VVV
VVV
C
B
A
&
&
&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
'´
''
''
''
''
''
'
'
'
'
CB
BA
AC
AC
BB
BA
CC
BB
AA
AA
III
III
III
I&
&
&
&
&
&
&
&
&r
Seja
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα 2
''
''
''
''
''
1
BA
AC
CB
BA
BA IIII
I &
&
&
&r
então
19
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=2
2''
'
'
'
' 11
α
α
ααBA
CC
BB
AA
AA IIII
I &
&
&
&r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα 2
''0
'
'
' 1303 BA
CC
BB
AA
IIII
&
&
&
&
2.2.3 Resolução de circuitos trifásicos em Δ
Figura 15 - Circuito trifásico em Δ
( )
( )
γβα
γβα
γβα
ZZZ
ZZZZV
ZZZZV
AB
CA
30
'2
''2
+−−=
−++−=
−−+=
&
&
de onde se podem determinar β, e γ
20
Por outro lado,
( ) ''' BABAAB IZIIZV &&&& +−=
E, explorando a simetria e o equilíbrio:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα
αα 20
'
'
'2
''
''
''
''
1303;
1
F
CC
BB
AA
F
AC
cB
BA
BA IIII
IIII
I &
&
&
&
&
&
&
&r
têm-se
( ) FFFBA IIIII &&&&& 33033031303 0020 =−=−−=− α
de onde
( )ZZ
VIIIZZV ABFBAFAB +==→+=
'3'3 ''
&&&&&
e, finalmente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=αα 2
''
''
''
''
1
'3 ZZV
III
I AB
AC
cB
BA
BA
&
&
&
&r
O diagrama fasorial , corrente de fase ( ) na referência, correspondente é ABI&
21
Figura 16 - Diagrama fasorial com relação entre correntes de linha e fase (ligação Δ), corrente de
fase na referência
3.0 Transformações equivalentes Δ - Y (carga) Para um grande número de problemas necessitamos transformar cargas ligadas
entre delta e estrela e vice-versa.
O critério para identificar as duas ligações é que se tomando a impedância entre
dois pontos quaisquer correspondentes nos dois circuitos, eles devem ser iguais.
Na figura 17 queremos determinar a relação entre os componentes da estrela e
do delta, de modo que sejam equivalentes.
22
Figura 17 - Transformação Δ - Y
A impediência vista entre os pontos A e B deve ser igual nos dois casos,
portanto
( )
( )
( )Δ
Δ
Δ
+=+
+=+
+=+
ZZZZ
ZZ
ZZZZ
ZZ
ZZZZ
ZZ
BCABCAAC
CAABBCCB
BCCAABBA
&
&&&&&
&
&&&&&
&
&&&&&
onde:
CABCAB ZZZZ &&&& ++=Δ
23
Temos portanto um sistema com três equações e três incógnitas, somando a
primeira equação com a terceira e subtraindo a segunda achamos . Os valores de
e são determinados de forma análoga, assim,
AZ& BZ&
CZ&
Δ
Δ
Δ
=
=
=
ZZZ
Z
ZZZ
Z
ZZZ
Z
BCCAC
ABBCB
CAABA
&
&&&
&
&&&
&
&&&
As equações acima correspondem à transformação de delta para estrela. Para
fazer a transformação contrária (estrela para delta) definimos por YZ
CBAY ZZZZ &&&&1111
++=
Multiplicando por e , obtemos AZ& BZ&
ABCABCAB
ABCABCBCCA2
BCCAABBCCAAB2
222
Y
BA
ZZZZZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z ZZ
&&&&
&&&
&
&&&
&&
&
&&
&
&&
&
&
&&&
&
&&
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
Δ
ΔΔΔ
Δ
AB
BCCAAB
Z
ZZZZ
logo
24
Y
ACCA
Y
CBBC
Y
BAAB
ZZZ
Z
ZZZ
Z
ZZZ
Z
&
&&&
&
&&&
&
&&&
=
=
=
O observar-se que se a carga for equilibrada, para passar de Y para Δ basta
multiplicar o valor da impedância por três e, para passar de Δ para Y dividir a
impedância por 3.
Exemplo 6: Um transformador alimenta uma carga em Y (Z2) e uma carga em Δ (Z1)
através de uma linha (ZL). Pedem-se as tensões de linha no transformador de modo que
a tensão de linha na carga seja igual a 220V. Considerar os seguintes dados:
Ω+=Ω+=Ω+=
00,4j00,550,2j10,2
1,00 j 0,50 Z
2
1
L
ZdiretasequênciaZ
4.0 Resumo de circuitos trifásicos equilibrados (carga) com
transformação Δ-Y
A tabela 3 nos apresenta um resumo das ligações Y e Δ com as relações fasoriais
entre grandezas de fase e de linha, para um circuito trifásico simétrico e equilibrado
com seqüência de fase direta e inversa, bem como a transformação de impedâncias de
carga na ligação Δ para Y e na ligação de Y para Δ.
25
Tabela 3 – Carga trifásica simétrica e equilibrada
S
E
Q
U
Ê
N
C
I
A
G
R
A
N
D
E
Z
A
I fL II && = 30|3 −= fL II &&
DIR
V 30|3 fL VV && = FL VV && =
I fL II && = 30|3 fL II && =
INV V 30|3 −= fL VV && FL VV && =
Trans-
forma-
ção
de
impe-
dâncias
osanáZZ
ZZZZ
ZZZ
Z
CB
CABCAB
CAABA
log, &&
&&&&
&
&&&
++=
=
Δ
Δ
osanáZZ
ZZZZ
CABC
CBAY
log,
1111Z
ZZZY
BAAB
&&
&&&&
&
&&&
++=
=
5.0 Potência em sistemas trifásicos
5.1 Expressão da potência
A potência aparente complexa monofásica é dada por:
∗= IVS &&&
26
onde
∗I& se refere ao complexo conjugado de , isto é, se I& ImRe| IjIII i +== θ& , então
ImRe| IjIII i −=−=∗ θ&
QjPS +=
Nos circuitos trifásicos, a potência aparente total é a soma das potências aparente
individual das três fases, ou seja:
∗∗∗
Φ ++= fCfCfBfBfAfA IVIVIVS &&&&&&&3
considerando seqüência direta temos ainda que:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα
αα 22
11
f
fC
fB
fA
f
fC
fB
fA
I
I
I
I
V
V
V
V&
&
&
&
&
&
&
&
donde chega-se à:
( ) ( )
∗Φ
∗∗∗Φ
∗∗∗Φ
=
++=
++=
ff
ffffff
ffffff
IVS
IVIVIVS
IVIVIVS
&&&
&&&&&&&
&&&&&&&
33
333
223
αα
αααα
Essa expressão nos dá a potência transmitida pelo trifásico em função de valores
de fase, para uma carga equilibrada.
27
Em termos de potência ativa e reativa
ΦΦΦ += 333 QjPS
Em valores de fase (módulo) temos que:
Carga conectada em Y fLLf VVeII 3==→
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)
Carga conectada em Δ fLfL VVeII ==→ 3
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)
Em qualquer dos dois casos,
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)
28
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)
Em módulo:
FFLLLL IVIV
IVS 33
33
3 ===φ
a expressão nos dá o módulo sendo que a defasagem entre e poderá ser
determinada através do fator de potência e da seqüência de fase.
FV& FI&
5.1.1 Triângulo da potência
Considere os valores das potências em valores trifásicos
Figura 18 - Triângulo das potências em um sistema trifásico
29
5.2 Correção fator de potência
Instalações industriais apresentam uma gama muito grande de carga que por sua
vez necessitam de grandes quantidades de potência. Cargas típicas industriais podem
ser, por exemplo, conjunto de motores de indução, ou seja na maioria das vezes cargas
com características indutivas. Muitas vezes, por imposições normativas deve se
proceder à correção do fator de potência (fp).
Para se efetuar a correção do fp à técnica aqui apresentada será a mesma já
utilizada para os sistemas monofásicos, com as ressalvas dos valores agora serem
trifásicos.
Figura 19 - Ilustração da técnica para correção do fator de potência
O valor da potência reativa trifásica necessária para levar o fator de potência de
φ para φ’ é calculada da seguinte forma.
'333 ΦΦΦ −= QQQ cbco
O valor por fase do banco de capacitor (ligados em Y) para tal potência será:
30