5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
1/32
MATRIKS DAN VEKTOR
Ellyta Berliani Pintauli
2013330034
Dosen: Dede Saputra
Mata Kuliah: Matematika
TEKNIK LINGKUNGAN
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SAHID JAKARTA
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
2/32
MATRIKS
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur
dalam baris dan kolom yang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku.
(Herry Sukarman, 2002:hal 270). Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B,
K, dan sebagainya.
Contoh: A =
25
30
26
15
13
14
Bilanganbilangan yang tersusun dalam baris-baris dan kolom-kolom
tersebut disebut elemen/unsur. Elemen matriks A yang terletak di baris ke-2 dan
kolom ke-1 dinotasikan sebagai a 21=13.
Contoh: Berapakah nilai a 31 dan a32 untuk matriks A di atas ?
Jawab: a 31=15, a 32 =25
Matriks A di atas mempunyai 3 baris dan 2 kolom. Banyaknya baris dan
banyaknya kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut.
Ordo
Ordo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam banyaknya baris
kali banyaknya kolom.
Jadi matriks A berordo 3 X 2 dan ditulis A 2x3
Bentuk umum :
A =
nmmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.3.2.1.
.33.32.31.3
.23.22.21.2
.13.12.11.1
.. .
:.. .:::
.. .
.. .
.. .
1.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 1
2.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 2
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
3/32
3.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 3
.
.
.
nma . elemen matriks pada baris m, kolom n
Contoh :
B =
761
452
Ordo matriks B adalah B2 x 3
3.1a - 4
2.2a 6
Jenis-jenis Matriks
Berdasarkan ordonya terdapat jenis matriks, sebagai berikut:
a. Matrik bujursangkar/persegi yaitu matriks berordo n x n atau banyaknya
baris sama dengan banyaknya kolom disebut juga sebagai matriks kuadrat
berordo n.
Contoh : A =
10537
6095
4681
3502
Diagonal samping Diagonal utama
B2x2
=
126
31, maka 1 dan 12 berada pada diagonal utama B.
b. Matriks baris yaitu matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu baris.
Contoh: C 3x1 = 531
c. Matriks kolom yaitu matriks berordo n x 1atau hanya memiliki satu kolom
Contoh: E 1x2 =
4
8
d. Matriks tegak yaitu matriks berordo m x n dengan m>n
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
4/32
Contoh: A =
3
1
8
7
4
6
, A berordo 3 X 2 dan 3 > 2 sehingga matriks A
tampak tegak
e. Matriks datar yaitu matriks berordo m x n dengan m
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
5/32
Contoh: G 3x3 =
027
205
750
f. Matriks Identitas/satuan yaitu matriks diagonal yang elemen-elemen pada
diagonal utamanya adalah 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol,
dan dinotasikan sebagai I.
Contoh: I 2x2 =
10
01
g. Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah
diagonal utamanya adalah 0.
Contoh: G 3x3 =
600
420
531
h. Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas
diagonal utamanya adalah 0.
Contoh: H 3x3 =
694
026
001
i. Matriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-
elemen baris menjadi elemen pada kolom dan elemen-elemen kolom
menjadi elemen pada baris. Trans=perpindahan dan pose=letak. Transpose
matriks A dilambangkan dengan AT
Contoh: A 2x3 =
3
1
8
7
4
6
, maka AT
=
3
7
1
4
8
6, ordo A
Tadalah 2 X 3.
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama bila dan hanya bila
mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak juga
sama.
Contoh: A 3x2 =
8
4
6
3
4
2, B 3x2 =
8
4
6
3
4
2maka A = B
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
6/32
Perhatikan bahwa C 3x2 =
3
4
6
8
4
2 dan C 3x2 A 3x2 karena ada elemennya
yang seletak dan nilainya tidak sama.
Perhatikan juga bahwa D =
8
6
4
4
3
2
dan D A karena ordo kedua matriks
tersebut tidak sama.
Contoh :
A = B
45
32
=
45 3
9
3
6
Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut
a.
59
412
52
43
b
a
3a = -12
a = -12/3
a = -4
2b = 9
b = 9/2
b = 4,5
b.
32
231
354
161
a
b
a
a
4a + 5 = 2a
4a2a = -5
2a = -5
a = -5/2
6a1 = 3b + 2
6(-5/2)1 = 3b + 2
-151 = 3b + 2
-16 = 3b + 2
3b = 18
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
7/32
b = 6
Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya
1. Penjumlahan Matriks
Prinsip penjumlahan dua atau lebih matriks yaitu menjumlahkan setiap
elemennya yang seletak.
Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan
elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu c ij = a ij + b ij untuk elemen C
pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila kedua matriksmemiliki ordo yang sama.
Contoh: A =
43
21, B =
87
65
maka A + B =
43
21+
87
65=
1210
86= C
Perhatikan bahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan B.
Sifat-sifat penjumlahan matriks:a. A+B = B+A (hukum komutatif untuk penjumlahan)
b. A+(B+C) = (A+B)+C (hukum asosiatif untuk penjumlahan)
c. A+O = O+A
d. (A+B)T
= AT
+ BT
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
8/32
2. Pengurangan Matriks
Operasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang sama
seperti pada operasi penjumlahan. Matriks A dikurangi matriks B dengan
cara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.
Jika AB = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan
elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu c ij = a ij b ij atau pengurangan
dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, yaitu A + (-B)
Syarat : Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordo kedua matriks
tersebut sama.
Contoh: A =
0
9
4
7
6
5
, B =
2
4
6
1
5
3
AB =
0
9
4
7
6
5
2
4
6
1
5
3
=
26
51
22
atau AB = A+(-B) =
0
9
4
7
6
5
+
21
45
63
=
26
51
22
Kaidah ilmu hitung yang berlaku pada pengurangan adalah :
a. AA = O
b. A O = A
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
9/32
3. Perkalian Matriks
Operasi perkalian pada matriks ada dua macam yaitu perkalian matriks
dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks.
Perkalian Matriks dengan skalar
Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka cA diperoleh
dari hasil kali setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks A
dapat dipandang sebagai hasil kali matriks A dengan skalar (-1). Jadi A
= (-1)A.
Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar
Contoh: P =
15
83 maka 4P= 4
15
83=
420
3212
Jika a dan b bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian
hingga dapat dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat
perkalian matriks dengan skalar :
1) a(B+C)=aB+aC
2) a(BC) = aBaC3) (a+b)C = aC+bC
4) (a-b)C = aCbC
5) (ab)C = a(bC)
6) (aB)T
= aBT
Perkalian matriks dengan matriks
Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks
A sama dengan jumlah baris matriks B. Jadi A mxn Bnxp bisa
didefinisikan, tapi BnxpAmxn tidak dapat didefinisikan.
A B AB
mxn
nxp =
mxp
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
10/32
Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga
untuk menentukan ordo hasil perkaliannya, dapat juga menggunakan
aturan memasang kartu domino sebagai berikut :
sama
1 x 2 2 x 3
1x3 (Hasil)
Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks
A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi
satu elemen. Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh- contoh
perkalian matriks dengan matriks.
Contoh Perkalian Matriks 1xp dengan matriks px1 :
B = 786 dan C =
27
4
, B 3x1 C 1x3 = )2x7()7x8()4x6(
=
94
Contoh perkalian matriks px1 dengan matriks 1xp:
A=
4
5
2
dan B= 786
A 1x3 B 3x1 =
7x48x46x4
7x58x56x5
7x28x26x2
=
283224
354030
141612
Hasilkalinya merupakan suatu matriks berordo 3X3.
Contoh perkalian matriks mxn dengan matriks nxp:
A =
43
21, B =
020
101
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
11/32
A 2x2 B 3x2 =
43
21
020
101
AB =
)0x4()1x3()2x4()0x3()0x4()1x3(
)0x2()1x1()2x2()0x1()0x2()1x1( =
383
141
Untuk matriks A dan matriks C pada contoh-contoh di atas, A 1x3 C 1x3
tidak dapat didefinisikan.
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :
1) A(BC) = (AB)C
2) A(B+C) = AB + AC3) (B+C)A = BA + CA
4) A(BC) = ABAC
5) (BC)A = BACA
6) a(BC) = (aB)C = B(aC)
7) AI = IA = A
Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu
dapat didefinisikan, sehingga AB belum tentu sama dengan BA.
Determinan Matriks
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut
determinan. Determinan adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang
bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).(Howard Anton, 1991 : hal 67)
Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu
matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1atau -1.
Determinan matriks berordo 2 X 2
Jika matriks A =
dc
bamaka det (A) = A =
dc
ba= adbc
Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari
dc
ba
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
12/32
Contoh: P =
43
48, maka det(P) = P =
43
48= (8x4)-(4x3) = 20
Determinan matriks berordo 3 X 3
Untuk mencari determinan matriks berordo 3 X 3 dapat digunakan dua
metode, sebagai berikut:
a. Metode Sarrus
Jika matriks B =
xwv
uts
rqp
maka det(B) = B =
xwv
uts
rqp
= ptx + quv +rsw rtv qsx-
puw
Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari
xwv
uts
rqp
wv
ts
qp
Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks
berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.
Contoh: Q =
987
531
642
, maka det(Q) = Q adalah
987
531
642
=
987
531
642
87
31
42
= (2x3x9)+(4x5x7)+(6x1x8)-(6x3x7)-
(2x5x8)-(4x1x9) = 242-242 = 0
b. Metode Kofaktor
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M ij adalah matriks bagian
dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris
ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
13/32
Contoh: Q =
987
531
642
, maka M11 =
987
531
642
=
98
53
M12 =
987
531
642
=
97
51, M13 =
987
531
642
=
87
31
M11 , M 12dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari
matriks Q.
Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A
dilambangkan dengan Kij = (-1) ji
ijM = (-1) ji
det (M ij )
Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi
saja misal ekspansi baris ke-1
Contoh: Q =
987
531
642
, untuk mendapatkan det(Q) dengan metode kofaktor
adalah mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh
dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu det(M 11)=-13 , det(M 12)=-26 dan det(M13
) =-13, maka :
Q = q11 .k11 +q12 .k12 + q13 .k13
= q11 .(-1) 11
det(M11)+q12 (-1) 21
det(M12
)+q13 (-1) 31
det(M13 )
= 2.134.26 + 6.13 = 0
3. Adjoin Matriks
Adjoin matriks Aadalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut,
dilambangkan dengan adj A = (kij )t
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
14/32
Contoh: Q =
987
531
642
telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k11
=13, k12 =26 dan k13 =13 sekarang kita hanya mencari kofaktor dari ekspansi
baris ke-2 dan ekspansi baris ke-3, yaitu :
k21=(-1) 12
98
64=12, k22 =(-1)
22
97
62=24, k23 =(-1)
32
87
42=12
k31=(-1) 13
53
64=2, k32 =(-1)
23
51
62=4, k33 =(-1)
33
31
42=2
Adj A =
332313
322212
312111
kkk
kkk
kkk
=
21213
42426
21213
Hal yang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo 2x2 ditunjukkan
sebagai berikut :
Jika A2x2
=
dc
ba, maka kofaktor-kofaktornya adalah k
11
=d, k12
=-c, k21
=-b
dan k22 =a. Kemudian Adj A =
2212
2111
kk
kk=
ac
bd
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya
dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya
. Invers Matriks
Pengertian Invers matriks: Lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian
yang dilambangkan dengan A 1
.
Berlaku AA 1
= A 1
A = I, I matriks identitas.
Contoh:
Di koperasi sekolah Ana membeli 5 buah buku tulis dan 6 buah pensil, Ani
membeli 6 buah buku tulis dan 8 buah pensil. Untuk itu Ana membayar Rp.
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
15/32
8000,- dan Ani membayar sebesar Rp. 10.000,-. Berapakah harga buku tulis per-
buah dan pensil per-buah ?
Misalkan x=harga buku tulis per-buah dan y=harga pensil per-buah. Sistem
persamaan linearnya: 5x+6y=8000
6x+8y=10000
86
65
y
x=
10000
8000atau A 2x2
y
x= B 1x2 ,
A 2x2
y
x= B 1x2 , maka A
1.A
y
x= A
1.B
I.
yx = A 1 .B
yx = A 1 .B
Kita tunjukkan bahwa hasil kali C 2x2 =
4
5
2
32
32
dengan A 2x2 adalah I 2x2
(matriks identitas), sebagai berikut:
4
5
2
32
32
86
65=
10
01. Maka C 2x2
adalah invers matriks A 2x2 atau C= A 1
.
Sehingga kita dapat memperoleh nilai x dan y, sebagai berikut:
y
x=A
1.B=
4
5
2
32
32
10000
8000=
500
1000
Cara mencari invers matriks berordo 2x2 dan invers matriks berordo 3x3
dipaparkan berikut ini.
1. Invers matriks berordo 2x2Jika A =
dc
ba, maka A
1=
)Adet(
1.Adj (A) =
)Adet(
1
ac
bd
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
16/32
Contoh: A=
23
35, tentukan A
1!
Jawab: det(A) = (5x2) (3x3) = 1
A 1
=1
1
53
32=
53
32
2. Invers matriks berordo 3x3Jika B 3x3 , maka B
1=
)Bdet(
1.Adj(B)
Contoh : B =
600
540
321
,tentukan invers dari matriks segitiga tersebut!
Jawab : Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan
metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu
baris ke-3, maka det(B)=6(1x4-0x2)= 24
Adj B =
40
21
00
21
00
40
50
31
60
31
60
50
54
32
60
32
60
54
=
400560
21224
B 1
=24
1
400
560
21224
=
24
400
24
5
24
60
24
2
24
121
Sifat-sifat invers matriks :
1. (AB) 1
= B 1
A 1
2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers
karena A = B 1
dan B = A 1
Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0 maka
matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak mempunyai invers
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
17/32
disebut matriks singular. Bila det(A)0, maka matriks A pasti mempunyai invers.
Suatu matriks persegi yang mempunyai invers disebut matriks non singular.
PERSAMAAN MATRIKS
1. A.X = B
A-1.A.X = A-1.B
I.X = A-1.B
X = A-1.B
Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B
2. X.A = B
X.A.A-1= B.A-1
X.I = B.A-1
X = B.A-1
Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1
Contoh : Tentukan matriks X nya
1.
100
155.
21
13X
100
155.
21
13 1
X
100
155.
31
12
16
1
455
4010
5
1
91
82
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
18/32
2.
42
46
41
21.X
1
41
21.
42
46
X
11
24
24
1.
42
46X
11
24.
42
46.
21X
812
1628.
2
1X
46
814X
PEMAKAIAN INVERS MATRIKS
Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks
x + 7y = 13
2x + 5y = 8
jawab :
8
13.
52
71
y
x
8
13.
52
71 1
y
x
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
19/32
8
13.
12
75
145
1
y
x
18
9
9
1
y
x
2
1
y
x
jadi x = -1, dan y = 2
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
20/32
VEKTOR
Pengertian Vektor
Di dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kata-kata seperti
suhu, gaya, panjang, percepatan, pergeseran dan sebagainya. Apabila diperhatikan
besaran yang menyatakan besarnya kuantitas dari kata-kata tersebut ada
perbedaanya yaitu ada yang hanya menunjukkan nilai saja, tetapi ada yang
menunjukkan nilai dan arahnya. Besaran itu sering disebut skalar dan vektor.
Setiap besaran skalar seperti panjang, suhu dan sebagainya selalu dikaitkan
dengan suatu bilangan yang merupakan nilai dari besaran itu. Sedangkan untuk
besaran vektor seperti gaya, percepatan, pergeseran dan sebagainya, disamping
mempunyai nilai juga mempunyai arah. Jadi vektor adalah suatu besaran yang
mempunyai nillai (besar / norm ) dan arah. Tunjukkan contoh-contoh lain yang
merupakan vektor?
Untuk menyatakan sebuah vektor biasanya digunakan notasi huruf kecil
tebal atau bergaris atas atau bawah, misalnya : uatau u atau u . Secara geometri
sebuah vektor diwakili oleh sebuah ruas garis berarah dengan panjang ruas garis
itu menunjukkan besar, sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor itu. Jika ruas
garis AB seperti pada gambar 1(a) adalah sebuah vektor vdengan titik A disebut
titik pangkal ( initial point) dan titik B disebut titik ujung ( terminal point) maka
kita dapat menuliskan v= AB
Vektor-vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama
dinamakan ekivalen, maka vektor yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-
vektor tersebut mungkin diletakkan didalam kedudukan yang berbeda seperti pada
gambar 1 (b) berikut :
( a ) Vektor AB ( b ) Vektor-vektor yang ekivalen
Gambar 1
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
21/32
Ukuran (panjang) atau norm suatu vektor vditulis dengan notasi .
Vektor yang panjangnya sama dengan satu satuan panjang disebut vektor satuan.
Sehingga vektor satuan dari suatu vektor adirumuskan dengan1
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan pasanagn
bilangan berurutan, misalnya diberikan sebuah titik A(x1,y1) maka didapatkan
ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(0,0) ke titik A yaitu OA . Bentuk ruas
garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik A, sehingga didapatkan
OA = (x1,y1) =
1
1
y
x ; dengan x1dan y1merupakan komponen vektor . Dengan
demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik ujung suatu titik yang
diketahui disebut vektor posisi. Koordinat titik yang diketahui itu merupakan
komponen-komponen vektor posisinya.
Perhatikan gambar berikut :
Vektor udapat dituliskan :
u = AB =
AB
AB
yy
xx dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB
disebut komponen vektor
Gambar 2
Sehingga vektor upada gambar 2 diatas dapat dinyatakan:
u= AB =
AB
AB
yy
xx=
25
16=
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut vektor posisi titik B.
Panjang vektor uadalah 3492535 22 u
A(xA,yA)
X
Y
u
O
B(xB,yB)
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
22/32
Ruang Lingkup Vektor
Seperti dalam geometri yang diajarkan di SMK yaitu geometri datar dan
geometri ruang, maka vektor yang akan dibicarakan meliputi :
1. Vektor di dalam Ruang Dimensi Dua ( R2)
Untuk memudahkan menjelaskan vektor kepada siswa maka pada bidang
dibuat sebuah sistem koordinat kartesius, sehingga setiap vektor yang sejajar
bidang koordinat diwakili oleh vektor yang besar dan arahnya sama dan terletak
pada bidang tersebut. Vektor-vektor yang sejajar dengan suatu bidang datar
dinamakan vektor-vektor koplanar. Dan untuk menyatakan vektor yang lain pada
bidang kartesius, digunakan vektor satuan, sehingga jika A(x,y) serta i dan j
masing-masing vektor pada arah positif pada sumbu x dan y. Untuk lebih jelasnya
perhatikan gambar 3 berikut:
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius
tersebut dapatdinyatakan :
a = OA = (x,y) =
y
x= x i+ yj
Panjang vektor a adalah 22 yx dan
besarnya tg =x
y
Gambar 3.
Sedangkan iadalah vektor satuan pada sumbu X dan jmerupakan vektor satuan
pada sumbu Y, maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam
vektor idanjatau bentuk komponennya yaitu :
i =
0
1dan j =
1
0
Contoh:
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
X
O
ja
i
A(x,y)
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
23/32
Vektor a = OA = 5I+ 3j
( kombinasi l in ier dar i idanj)
atau vektor a = OA =
3
5
( bentuk komponen )
Gambar 4
2. Vektor di dalam Ruang Dimensi Tiga ( R3)
Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang dapat
digunakan sistem koordinat dengan sumbu X , Y dan Z dengan masing-masing
sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O, Sebuah titik P dalam
ruang disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z) dengan salib sumbu kartesius
digunakan aturan tangan kanan seperti pada gambar 5 berikut :
Jarak P sampai bidang YOZ
adalah x atau PP1= xp
Jarak P sampai bidang XOZ
adalah y atau PP2= yp
Jarak P sampai bidang XOY
adalah z atau PP3= zp
Gambar 5
Dengan demikian vektor posisi P adalah OP dinyatakan dengan bentuk
sebagai berikut :
OP = x i+ y j+ z k jika i, jdan kmerupakan vektor satuan dalam koordinat
ruang. ( i: vektor satuan pada sumbu X; j: vektor satuan pada sumbu Y dan k;
vektor satuan pada sumbu Z )
XO
3
a
5
A(5,3)
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
24/32
atau
z
y
x
OP
Besar ( panjang / norm ) vektor OP tersebut adalah 222 zyxOP .
Sebagai contoh, misalkan sebuah titik A (3,2,4), maka vektor posisi titik A adalah
OA atau a dapat dinyatakan dengan :
a= OA = 3 i+ 2j+ 4 k atau a = OA =
4
2
3
Operasi Vektor
Penjumlahan Vektor
Dua buah vektor adan bdapat dijumlahkan yang hasilnya a+ bdengan
cara sebagai berikut :
Perhatikan gambar 6 berikut :
Gambar 6
Dua vektor pada gambar 6 diatas dapat dijumlahkan dengan dua cara
yaitu :
a). aturan segitiga vektor, yaitu pangkal bdigeser ke ujung asehingga:
Gambar 7
b). aturan jajaran genjang, yaitu pangkal b digeser ke pangkal a,
kemudian dilukis jajaran genjang, sehingga:
Gambar 8
a
b
a +b
b
a
a +bb
a
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
25/32
Jika kedua vektor mengapit sudut tertentu maka besarnya jumlah dua
vektor tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus aturan cosinus
seperti pada trigonometri yaitu:
Gambar 9
Maka didapat :
( a+ b)2= a2+ b22abCos (1800- )
= a2+ b
22abCos
Jadi a+ b= Cos2-22 abba
Sehingga jika = 900maka Cos = 0 maka a+ b= 22 ba
Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen maka penjumlahan dapat
dilakukan dengan menjumlahkan komponennya, misalnya:
a =
2
6 dan b =
4
1maka a+ b=
42
16=
6
7
Sifat penjumlahan vektor:
Jika a, b dan cadalah suatu vektor maka:
1) a + b= b+ a sifat komulatif
2) ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) sifat asosiatif
3) Setiap vector mempunyai elemen identitas, yaitu vektor nol
sehingga a+ 0= a+ 0
4) Setiap vektor mempunyai invers ( yaitu vektor negatif )
sehingga a + ( - a) = 0
Dua vektor yang sama besar dan arahnya berlawanan
dinamakan dua vektor yang berlawanan
Contoh:
1) Buktikan bahwa sudut yang menghadap busur setengah
lingkaran adalah sudut siku-siku.
Bukti:
a +bb
a
b 1800-
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
26/32
Perhatikan gambar berikut :
Gambar 10
Kita tunjukkan bahwa vektor AB tegak lurus pada vektor BC
dengan memisalkan O sebagai pusat dari setengah lingkaran
maka:
AB .BC = )).(( OCBOOBOA
= )).(( OCOBOBOC
= OBOBOCOC ..
=22
OBOC
= O ( terbukti )
karena OC dan OB mempunyai panjang yang sama.
2) Diketahui vektor :
a =
3
2
1
; b =
2
1
2
dan c =
3
2
1
Tentukan x jika : a) x= a+ b
b) x+ a= c
Penyelesaian :
a). x= a+ b
=
3
2
1
+
2
1
2
=
1
1
1
b). x+ a= c x = c - a
=
3
2
1
-
3
2
1
=
0
4
0
A O C
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
27/32
3) Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah
dalam bentuk komponen vektor yang diwakili oleh PR
apabila R adalah titik pada PQ sehingga PR = 3
1
PQ dan
berapa koordinat R.
Penyelesaian :
PQ = qp
=
9
6
3
8
7
2
1
1
1
Karena PR =3
1PQ sehingga komponen vector yang diwakili oleh
PR =3
1
9
6
3
=
3
2
1
Misal koordinat titik R adalh (x,y,z) maka:
PR = r
p
3
2
1
=
z
y
x
-
8
7
2
z
y
x
=
3
2
1
+
8
7
2
=
5
5
1
Jadi koordinat R (1,5,5)
Selisih Dua Vektor
Selisih dua vektor a dan b, dinyatakan sebagai a - b dapat dipandang
sebagai penjumlahan vektor adengan invers vektor batau - bditulis ab =
a + ( - b) digambarkan sebagai berikut:
a
b
a - b
a - b
a
b
- b
a -b
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
28/32
Gambar 11
Contoh:
Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3)
Tentukan vektor PQ
Penyelesaian :
PQ = OPOQ
=
63
3
34
1
31
2
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika a suatu vektor dan k adalah skalar ( bilangan nyata ) maka
perkalian vektor adengan skalar k ditulis kaatau ak merupakan vektor yang
panjangnya ka dan mempunyai arah yang sama dengana, sedangkan - ka
adalah vektor yang panjangnya ka tetapi berlawanan arah dengan a.
Dengan kata lain didefinisikan :
Sebagai contoh dapat digambarkan :
Gambar 12
Berdasarkan pengertian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa:
a). Jika ada 2 vektor yang sejajar, maka yang satu dapat dinyatakan
sebagai hasil perbanyakan vektor yang lain dengan skalar.
ak = a + a + a +.+ a
sebanyak k suku
a3a -2a
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
29/32
b). Untuk membuktikan dua vektor sejajar cukup membuktikan salah
satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain dalam bentuk
komponen.
Perkalian Titik ( Dot Product )
Hasil kali titik atau dot product antara dua buah vektor akan
menghasilkan suatu skalar atau bilangan real. Perkalian titik sering
disebut juga perkalian skalar dua vektor. Hasil kali skalar dua vektor a
dan b didefinisikan :
a.b = a b Cos
dimana adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor adan b.
Dari definisi diatas, dapat kita tentukan sifat-sifat hasil kali skalar
sebagai berikut :
1). Jika a dan bmerupakan dua vektor yang arahnya sama maka a.b =
a b
2). Jika a dan bmerupakan dua vektor yang berlawanan arah maka a.b
= - a b
3). Jika a dan bmerupakan dua vektor yang tegak lurus maka a.b = 0
4). Jika adan bmerupakan dua vektor dan a.b 0 maka sudut antara
dua vektor tersebut adalah sudut lancip
5). Jika adan bmerupakan dua vektor dan a.b 0 maka sudut antara
dua vektor tersebut adalah sudut tumpul
6). Sifat komutatif yaitu a.b =b.a
7). Sifat distributif yaitu a.(b +c ) =a.b +a.c
Apabila vektor a dan b yang dinyatakan dalam bentuk komponen,
misalnya : a= a1i+ a2j+ a3k dan b= b1i + b2j+ b3k maka :
a.b = ( a1i+ a2j+ a3k ). ( b1i + b2j+ b3k ). Dengan menggunakan
sifat distributif dan hasil kali skalar dua vektor yang saling tegak lurus
dan searah maka :
i . i =i2=1 ; j . j =j
2=1 dan k . k =k
2=1
i . j = 0 ; j . k = 0 dan k . i = 0
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
30/32
Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali skalar dua vektor yaitu :
untuk vektor a= a1i+ a2j+ a3k dan b= b1i + b2j+ b3kmaka : a.b
= a1b1+ a2 b2+ a3b3 ( bukti diserahkan kepada peserta diklat )
Contoh:
1). Hitunglah perkalian skalar antara:
kjia 532 dan kjib
Penyelesaian:
a .b = 2.1 + 3.1 + 5.1
= 2 + 3 + 5 = 10
2). Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:
4
2
1
a
0
4
5
b
Tentukan hasil kali skalar dua vektor tersebut
Penyelesaian:
a .b = 1.5 + 2.4 + 4.0
= 5 + 8
=13
Perkalian Silang ( Cross Product )
Perkalian silang sering disebut juga perkalian vektor antara dua vektor.
Perkalian vektor antara vektor adan bdidefinisikan sebagai vektor yang
mempunyai besar a b Sin , dengan adalah sudut yang diapit oleh
kedua vektor. Arah vektor hasil kalinya adalah tegak lurus vektor a danb serta vektor a , b dan axb dalam urutan membentuk system tangan
kanan, sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
bax = a b Sin
bxa = -(axb)
Jika = 00maka bax = 0
b
axb
a
bxa
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
31/32
Jika =900maka bax = a b
Secara geometri, norm perkalian antara dua vector merupakan luas
bangun segi empat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini
dapat diturunkan dari persamaan Lagrange. bax 2= a 2 b 2(a.b)2
Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk vektor satuan i , j dan k
Misalnya : a= a1i+ a2j+ a3k dan b= b1i + b2j+ b3k
Karena i x i = 1.1 Sin 00= 0 analog sehingga : ixi =jxj= kxk= 0
Juga i xj = 1.1 Sin 900= 1 dalam arah OZ yaitu i xj = k sehingga i xj
= k ; j x k = i dan k x i = j
Maka : axb = ( a1i+ a2j+ a3k )x( b1i + b2j+ b3k ).Dengan sifat diatas dan hukum distributive dapat dijabarkan menjadi :
axb = ( a2b3a3b2) i(a1b3a3b1)j+ (a1b2a2b1) k . Dan apabila ditulis
dalam bentuk determinan matriks, maka kita dapatkan rumus sebagai
berikut :
axb=
321
321
bbb
aaa
kji
Contoh :
Diketahui vektor p=2i + 4j + 3kdan q=i + 5j - 2k
Tentukanpxq
Penyelesaian :
pxq=
251
342
kji
=25
34
i -
21
32
j +
51
42k
= ( -8-15) i - ( -4-3)j+ (10-4) k
= -22 i + 7j + 6 k
Contoh Aplikasi Vektor
Perhatikan contoh soal berikut ini :
5/24/2018 Tugas Matriks Dan Vektor UAS
32/32
Andaikan sebuah benda yang beratnya (W) adalah 304 N diangkat dengan
rantai seperti pada gambar.
Jika panjang a = b = 2,5 m. dan
panjang benda L = 2 m. Tentukan
gaya yang terjadi pada rantai a atau b
!
Penyelesaian :
Sin =5,2
1= 0,4 = 260 12l
Maka : W2 = a2+ b2+ 2ab Cos 2
3042 = a2+ b2+ 2ab Cos 520 24l
= a2+ a2+ 2aa Cos 520 24l
= 2a2+ 2a2+ Cos 520 24l
= a2 ( 2 + 2. 0,68 )
Sehingga a2=
36,3
3042
= 27504,762 . Jadi a adalah 165,85 N
W
L
a b
W
a b=2,5 m
1 m
W