TransformasiLinier
Antonius CP
Outline TRANSFORMASI LINIER(Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan MatematikaPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 2
Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier
Contoh 3
Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 2
Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier
Contoh 3
Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 4
Pemetaan T : V −→ V dengan aturan
T (v) = v ,∀v ∈ V
merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas
Catatan
Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 4
Pemetaan T : V −→ V dengan aturan
T (v) = v ,∀v ∈ V
merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas
Catatan
Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 5
Pemetaan T : V −→ V yang didefinisikan oleh
T (v) = kv
dengan k skalar, merupakan operator linier pada V . Jikak > 1, T disebut dilasi . Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 6
Misal V ruang hasilkali dalam dan W subruang yangmemiliki
S = {w1, w2, ..., wr}
sebagai basis ortonormal. Misal T : V −→ W denganaturan
T (v) =< v , w1 > w1+ < v , w2 > w2 + ...+ < v , wr > wr
merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksiortogonal dari V pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 7
Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh
T (v) = (x , y , 0)
Contoh 8
Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan
T (v) = (v)S
merupakan transformasi linier dari V ke Rn.
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 7
Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh
T (v) = (x , y , 0)
Contoh 8
Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan
T (v) = (v)S
merupakan transformasi linier dari V ke Rn.
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 9
Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v0 adalahsebarang vektor tetap di V . Maka T : V −→ R denganaturan
T (v) =< v , v0 >
merupakan transformasi linier
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 10
Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riilyang kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1 dan misalkan Wadalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsiyang turunan pertamanya kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1.Maka D : W −→ V dengan aturan
D(f ) = f ′
merupakan transformasi linier
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 11
Misal V = C [0, 1], maka J : V −→ R dengan aturan
J(f ) =
∫ 1
0f (x)dx
merupakan transformasi linier.
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Contoh 2
Misal T : Rn −→ Rm adalah perkalian oleh matriks Aberukuran m × n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A danker(T ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga
rank(T ) = dim(ruang kolom A) = rank(A)
dan
nulias(T ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Teorema Terkait Dimensi
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka
rank(T ) + nulitas(T ) = n
Teorema
Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah
n − rank(A)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Teorema Terkait Dimensi
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka
rank(T ) + nulitas(T ) = n
Teorema
Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah
n − rank(A)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Rotasi
Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]
Refleksi terhadap sumbu y
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[−1 00 1
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Rotasi
Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]
Refleksi terhadap sumbu y
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[−1 00 1
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Refleksi terhadap sumbu x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 −1
]
Refleksi terhadap garis y = x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah
A =
[0 11 0
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Refleksi terhadap sumbu x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 −1
]
Refleksi terhadap garis y = x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah
A =
[0 11 0
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[k 00 1
]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 k
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[k 00 1
]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 k
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Geseran dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 k0 1
]Geseran dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 0k 1
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Geseran dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 k0 1
]Geseran dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 0k 1
]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Efek Geometri dari Transformasi Matriks
Resume
Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.
Teorema
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Efek Geometri dari Transformasi Matriks
Resume
Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.
Teorema
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Masalah
Jika untuk setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm dapatdinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuksebarang transformasi linier T : V −→ W secara umum?
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
