8/17/2019 TEXTO MATE BÁSICA -TITULACIÓN 2010.doc
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TEXTO AUTOEDUCATIVO
PARA DOCENTES Y ALUMNOS DE EDUCACIÓN
AUTOR:
• LIC. LUIS REQUEJO RIVERA
2010
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PRESENTACIÓN
El presente texto de Matemática Básica está diriido pre!erentemente a los est"diantes
de la #ac"ltad de Ed"caci$n as% como a los docentes en ser&icio del Maisterio 'acional( )a
*"e se conoce *"e la di!ic"ltad *"e tienen son so+re los temas matemáticos del presente li+ro
) *"e res"mimos en las si"ientes sesiones,
• Unidad I, L$ica
• Unidad II, Con-"ntos
• Unidad III, Sistemas de '"meraci$n
• Unidad IV, eor%a de los n/meros
• Unidad V, #racciones ) porcenta-es
• Unidad VI, 0roporcionalidad
• Unidad VIII, 0ro+a+ilidades
Los "s"arios de+erán resol&er los e-ercicios ) pro+lemas aplicando los criterios te$ricos
) procedimientos ensa)ados en clase( para pro)ectarse a otros casos *"e le permita resol&er
en sit"aciones cotidianas.
#inalmente( aradeciendo a la con!ian1a depositada por los rad"ados( les deseamos
"na +"ena !ormaci$n.
El AUTOR
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UNIDAD Nº I:
LÓGICA PROPOSICIONAL
¿Qué es la Lógica?
La l$ica !ormal est"dia los procedimientos para distin"ir el ra1onamiento correcto del incorrecto.La l$ica !ormal !"e iniciada por los rieos 2ace más de 34 silos )( desde entonces( 2a tenido "nproceso de desarrollo tal *"e a2ora es "na ciencia ri"rosa( con "n len"a-e t5cnico ela+orado )preciso( p"es la "tili1aci$n *"e 2ace del sim+olismo le permite e&itar las con!"siones ) am+i6edadesdel len"a-e nat"ral.
A la l$ica !ormal( en s" act"al estado de desarrollo( se le conoce como L$ica 0roposicional 7o l$icasim+$lica o l$ica matemática8.
¿Qué es la Lógica Pr!sici"al?
Es "na parte de la l$ica *"e est"dia las proposiciones ) la relaci$n existente entre ellas( as% como la!"nci$n *"e tienen las &aria+les proposicionales ) los conecti&os l$icos.
EN#NCIA$O
Es toda !rase " oraci$n *"e se "tili1a en el len"a-e com/n.
E%e&!ls'9 :O-alá *"e apr"e+e matemática;9 El < es "n n/mero par 9 =o lleo de >"ac2o9 ? @ D
9 :Vi&a el maisterio per"ano;
I( PROPOSICIÓN LÓGICA
Son oraciones ase&erati&as( es decir p"eden ser &erdaderos 7V8 o !alsos 7#8( pero no am+os a la&e1( sin am+i6edad en "n determinado contexto.Las proposiciones se denotan con letras min/sc"las tales como, p( *( r( s(.....7llamados &aria+lesproposicionales8
E%e&!ls' )alr *e )er*a*p , Balta !"e presidente del 0er/ 7 V 8* , D < 7 # 8r , La UFEL ' G 4 corresponde a la pro&incia de Ca-atam+o 7 # 8
s , Jos5 es so+rino de Enri*"e 7 V $ # 8
O+ser,ació"'Los mandatos( pre"ntas( exclamaciones( no son proposiciones l$icas )a *"e no se p"edencali!icar de &erdaderas o !alsas.
9 HQ"5 2ora es9 :A"xilio;9 :Si5ntate;
oda proposici$n es "n en"nciado( pero no todo en"nciado es "na proposici$nK
E"u"cia* A+ier-
./u"ció" Pr!sici"alEs todo en"nciado en el *"e inter&ienen "na o más &aria+les( *"e admite la posi+ilidad decon&ertirse en "na proposici$n l$ica( c"ando cada &aria+le as"me "n determinado &alor.
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E%e&!l'9 El es "n escritor per"ano
La &aria+le es la pala+ra ElK. aremos a2ora &alores a la &aria+le.Albert Einstein es un escritor peruano 7 # 8Ciro Alegría es un escritor peruano 7 V 8
9 x @ NLa &aria+le es xK. ando &alores a la &aria+leK @ N 7 V 83K @ N 7 # 8
II( CLASES $E PROPOSICIONES
Existen 3 clases de proposiciones
1( Pr!sici"es Si&!les .A-ó&icas Ele&e"-ales
Son a*"ellas *"e carecen de con-"nciones ramaticales ) del ad&er+io de neaci$n noK. 'o sep"eden di&idir en en"nciados más simples.
E%e&!ls'9 La l$ica es "na ciencia9 >"aral está al s"r de >"ac2o9 Beto ) Enri*"e son primos9 Sat"rno tiene más sat5lites *"e Marte
2( Pr!sici"es C&!ues-as .leculares
Son a*"ellas *"e están !ormadas por proposiciones simples( enla1adas entre si por con-"nciones ramaticales 7conecti&os8 o a!ectados por el ad&er+io de neaci$n noK.
E%e&!ls'* La puerta no está cerrada* La pizarra es grande y de madera* La silla es de madera y/o fierro* O la ballena es un pez o es un mamífero* Si hay fuego entonces hay humo* Iré a la fiesta si y solo sí termino mi tarea
III( CONECTI)OS LOGICOS
Son t5rminos *"e sir&en para enla1ar proposiciones o para cam+iar el &alor &eritati&o de "na
proposici$n.
En la l$ica proposicional los conecti&os l$icos se representan mediante s%m+olos especiales( talcomo se indica en el si"iente c"adro,
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7( $IS5#NCIÓN E8CL#SI)A O /#ERTE .
Es a*"ella *"e excl")e la posi+ilidad de oc"rrencia sim"ltánea de am+as proposicionescomponentes.
E%e&!l'
!ariátegui naci" en Lima o en !o#uegua
p *
TALA $E )ER$A$
9( CON$ICIONAL .→
Res"lta de "nir dos proposiciones mediante el conecti&o si entoncesK o expresionese*"i&alentes.La se"nda proposici$n es "na consec"encia de la primera.
E%e&!l'
Si Eric es limeo( e"-"ces es per"ano p
→
*
7Antecedente8 7Consec"ente8
TALA $E )ER$A$
:( ICON$ICIONAL .↔
Res"lta de "nir dos proposiciones mediante el conecti&o si ) s$lo siK o expresionese*"i&alentes.
E%e&!l'Iré a la fiesta si y solo sí tengo ropa nue$a
p↔
*
TALA $E )ER$A$
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;( NEGACIÓN .
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Reslució",
p , Carlos es pro!esor de matemática* , Carlos tra+a-a en "n coleio de >"ac2o por las maanasr , Al"nas tarde da clases partic"lares a nios de s" &ecindad
L"eo( la sim+oli1aci$n es,.......................................................................
D.Si la proposici$n comp"esta,
7T p ∧ r8 → 7r ∧ T *8 . es #ALSA( entonces el &alor de &erdad de, p( * ) r es,
Reslució",
Se concl")e *"e, p # * V r V
Ejercicios Propuestos
D.e los si"ientes en"nciados( identi!ica c"áles son proposiciones( c"áles son en"nciados a+iertos) c"áles no son ni proposiciones ni en"nciados a+iertos.a. La l"na es "n sat5lite de la ierra .........+. Hienes *"e est"diar l$ica .........c. N es "n n/mero par .........d. El perro es "n mam%!ero ) ladra .........e. El a"to n"e&o .........!. Ella es "na al"mna est"diosa .......... Q"isiera &ia-ar maana .........2. El color de t"s o-os .........i. Las a+e-as prod"cen miel .........
D3.Escri+a en !orma sim+$lica los si"ientes en"nciados,
a8 Si tra+a-ara los !ines de semana ) d"rmiera menos entonces no perder%a el &"elo.
.................................................................
+8 'o es cierto( *"e el oro no &ala m"c2o dinero o no sea "n metal escaso.
...............................................................
c8 Es !also *"e( si Carlos no compra "n li+ro entonces no irá al coleio( además est"diará.
..................................................................
d8 La tierra ira alrededor del sol o no se da *"e la l"na es "n planeta.
.................................................................
D.e la !alsedad de la proposici$n,
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es #ALSA Es el /nico caso en *"e el condicional es !also7por dato8 7&er ta+la del condicional8
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7p → T *8 ∨ 7T r → s8
ed"cir el &alor de &erdad de los es*"emas molec"lares si"ientes,
I. 7T p ∧ T *8 ∨ 7T *8II. 7T r ∨ *8 W ↔ 7T * ∨ r8 ∧ sW
III. 7p → *8 → 7p ∨ *8 ∧ T *WSon respecti&amente,a8 V#V +8 ### c8 VVVd8 ##V e8 #altan datos
D?.Al 2acer la ta+la de &erdad de la si"iente proposici$n comp"esta, e le&antas temprano oest"dias en la noc2e si ) s$lo si( no es cierto *"e( no te le&antes temprano ) *"e no est"dies en lanoc2eK. Se o+tiene,a8 a"tolo%a +8 Contradicci$nc8 Continencia d8 #altan datos
D4. Si J"an no tra+a-a( no ira de &ia-e.ia "sted c"al de los si"ientes en"nciados es s" e*"i&alente l$icoa8 Si J"an tra+a-a( ira de &ia-e+8 J"an tra+a-a ) no ira de &ia-ec8 Si J"an no &ia-o( no tra+a-od8 J"an tra+a-a o no ira de &ia-e
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EN#NCIA$O N#6RICO
Es "na expresi$n *"e se re!iere a n/meros ) p"eden ser a+iertos o cerrados
1( E"u"cia* A+ier-(= C"ando están !ormados por constantes ) &aria+les 7n/meros ) letras8( soncerrados si el en"nciado tiene "n &alor de &erdad( por tanto es "na proposici$n.
E%e&!ls'
Un en"nciado a+ierto se p"ede con&ertir en proposici$n al s"stit"ir las &aria+les 7letras8 por constantes 7&alores n"m5ricos8. e ac"erdo con los &alores *"e tomen las &aria+les podemosindicar si es &erdadera o !alsa(
E%e&!ls'{ }32/:)( ≥-∈ xINxxp El con-"nto de &alores *"e 2acen *"e la proposici$n sea
&erdadera es { },...7,6,
{ }9=/:)( 2XZxxq ∈ La proposici$n es &erdadera para el con-"nto 3,3-
A s" &e1( todo en"nciado a+ierto se con&ierte en "na proposici$n anteponiendo !7para todoK8 o
"7existeK8. Estos son los llamados >cua"-iica*res@
E%e&!ls'
a En el con-"nto de los n/meros enteros( el en"nciado a+ierto p7x8 P x ?( se p"ede
con&ertir en proposici$n al expresarlo de los si"ientes !ormas,
odo n/mero entero es menor *"e ?K
p(x):4x:x
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Al"nos 2om+res son mortales 7" p8 XXXX 7 8'in/n 2om+re es mortal 7∃/ p8 XXXX 7 8
+8 *, los perros son nerosodos los perros son neros 7! *8 XXXX 7 8 Al"nos perros son neros 7" *8 XXXX 7 8'in/n perro es nero 7∃/ *8 XXXX 7 8
c8 r, los n/meros pares terminan en Nodos los n/meros pares terminan en N 7! r8 XXXX. 7 8 Al"nos n/meros pares terminan en N 7" r8XXXX.. 7 8'in/n n/mero par termina en N 7∃/ r8XX.XX. 7 8
7OBSERVACIZ'.[ '$tese *"e s$lo es &erdadera en "n solo caso con el c"anti!icador adec"ado8
NEGACIÓN $E C#ANTI/ICA$ORES
1( Negació" *el Cua"-iica*r #"i,ersal >T*s@
Sea la proposici$n odos los animales &"elan( s" neaci$n es, p
7∀ p8 s" neaci$n es 7T∀ p8 " p
Rpta, Al"nos animales &"elan.
2( Negació" *el Cua"-iica*r #"i,ersalSea la proposici$n odos los nios no son 2"ac2anosK
T r
7∀ T r 8 s" neaci$n es T 7∀ T r 8 ∀ r
Rpta, odos los nios son 2"ac2anos
7( Negació" *el Cua"-iica*r Eis-e"cial >Algu"s@B >Eis-e"@B >aD@Sea la proposici$n Existen pro!esoras *"e &i&en en >"ac2oK
*
7" * 8 s" neaci$n es 7 T" * 8 ∃/ *
Rpta, 'in/n pro!esor &i&e en Barranca
9( Negació" *el Cua"-iica*r Eis-e"cialSea la proposici$n, Existen n/meros *"e no son primosK T t
7" T t 8 s" neaci$n es T 7" T t 8 " t
Rpta, Existen n/meros *"e son primos
LE5ES LÓGICAS
Si lle&amos "na proposici$n comp"esta a "na ta+la &eritati&a para conocer s" &alide1 ) res"lta en elconecti&o 7operador8 principal *"e todo es &erdadero( se dice *"e es "na ta"tolo%a.
E%e&!l' e&al"ar 7p *8 \ T*W Tp
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0or la do+le neaci$n
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p * 7 p * 8 \ 7 T * 8 W T p
V V V V V # # V #V # V # # # V V ## V # V V # # V V
# # # V # V V V V
3 4 ?ta"tolo%a
Usaremos al"nas le)es L$icas( siendo las más importantes,
1( LeD *e la $+le Negació"
T 7 T p 8 p
2( LeDes *e rga"
2(1 T 7 p \ * 8 7 T p & T *82(2 T 7 p & * 8 7 T p \ T *8
E%e&!ls'
a8 'o es cierto *"e J"an &ia-a ) no se cansaK( es e*"i&alente a, p T *
Solución, p, J"an &ia-a*, J"an se cansa
el es*"ema dado es, T 7 p \ T* 8 7aplicando 3.8 7T p & * 8
Rpta, el e*"i&alente es J"an no &ia-a o se cansaK
+8 El e*"i&alente a Es !also *"e Ra/l no est"dia o no se d"ermeK es, T p T *
Solución, p, Ra/l est"dia*, Ra/l se d"erme
el es*"ema dado es, T 7Tp & T* 8 7aplicando 3.38 p \ *
Rpta, el e*"i&alente es Ra/l est"dia ) se d"ermeK
7( LeD *el C"*ici"al
7p *8 7 Tp & * 8
E-emplos,
a8 La proposici$n e*"i&alente a Si teno 2am+re entonces comer5 m"c2oK es, p T *
Solución, p, eno 2am+re*, Comer5 m"c2o
el es*"ema dado es, 7 p * 8 7Tp & T * 8 7Le) del Condicional8 Rpta, 'o teno 2am+re o no comer5 m"c2o
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+8 La proposici$n e*"i&alente a 'o es &erdad *"e si no &o) de &ia-e entonces me *"edo soloKes, T p *
Solución, p, &o) de &ia-e*, me *"edo solo
el es*"ema es, T 7Tp * 8 T7 p & * 8 7Le) del Condicional8 7 Tp \ T* 8 7Le) de Moran8
Rpta, 'o &o) de &ia-e ) no me *"edo solo.
PROLEAS LÓGICOS
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En estos casos se "san eneralmente c"adros de do+le entrada *"e de+emos completar con losdatos dados.
APLICACIONES PR3CTICAS
D.Almor1a+an -"ntos pol%ticos, El seor Blanco( el seor Ro-o ) el seor 'ero( "no de elloslle&a+a cor+ata +lanca( otro ro-a ) el otro nera( pero no en el mismo orden. En "n corto diáloo seesc"c2a *"e,
El seor de cor+ata ro-a dice, Es c"rioso( a pesar de *"e n"estros apellidos son los mismos *"elos colores de n"estras cor+atas( nin"no lle&a s" correspondienteK.
El seor Blanco responde, iene "sted ra1$nK.
He *"5 color es la cor+ata de cada pol%tico7omado de la e&al"aci$n para nom+ramiento de docentes8
Reslució",
Res!ues-a, El seor Blanco lle&a cor+ata de color nero( el seor Ro-o la de color +lanco ) elseor nero de color ro-o.
D3.Amelia( Blanca( Carolina ) iana tienen "na pro!esi$n di!erente cada "na, A+oada( Contadora(0ro!esora ) 0intora. Además( se sa+e lo si"iente,
9 Amelia ) la a+oada son m") amias de Carolina9 iana es Contadora9 La 0intora es prima de Amelia
HQ"5 pro!esi$n tiene cada "na
Reslució",
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II. F$me1 es el pro!esor de Feora!%aIII. >errera no es pro!esor de >istoria
a8 S$lo II +8 S$lo I c8 S$lo III d8 I ) II e8 II ) III
D.Mar%a( L"c%a e Irene &i&en en ci"dades distintas, Lima( C"sco ) acna est"diando "na carrera
di!erente, Ed"caci$n( erec2o ) Ar*"itect"ra. Si se sa+e *"e,[ Mar%a no &i&e en C"sco[ La *"e &i&en en C"sco no est"dia derec2o[ L"c%a no est"dia ed"caci$n[ L"c%a no &i&e en acna[ La *"e &i&e en acna est"dia ar*"itect"ra
H$nde &i&e Irene ) *"e est"dia
a8 Lima ] Ar*"itect"ra +8 Lima ] Ed"caci$n c8 Lima [ erec2o d8 C"sco [ Ed"caci$n
D?.En el momento de lleada de los seis primeros del FRA' 0RI^( "n reportero anot$ lossi"ientes res"ltados,
9 o)ota lle$ antes *"e Ma1da ) desp"5s *"e Rena"lt9 Rena"lt lle$ desp"5s *"e #errari ) este desp"5s *"e #ord9 Mercedes lle$ desp"5s *"e Ma1da
HQ"i5n lle$ en primer l"ar
a8 Mercedes +8 #ord c8 Rena"lt d8 o)ota e8 #altan datos
D4.res al"mnos Al+erto( Bert2a ) Carlos( al responder "n examen de tres pre"ntas( contestan de lasi"iente manera,
Uno de ellos contest$ todas correctamente otro !all$ en todas ) el otro !all$ en "na. HQ"i5n !all$ entodas las pre"ntas
a8 Al+erto +8 Bert2a c8 Carlos d8 odos
DY. J"an( Ra/l( 0edro ) Man"el tienen como pro!esores, ineniero( m5dico( pro!esor o contador 7nonecesariamente en ese orden8( se sa+e *"e,[ J"an no es m5dico ni ineniero.[ Man"el no es contador ni m5dico.
a8 HQ"5 pro!esi$n tiene J"an+8 H Q"i5n es el m5dico
DN. Rosa( Mar%a( J"ana ) Ana &isten !alda ro-a( &erde( a1"l o amarilla 7no necesariamente en eseorden8( se sa+e *"e,[ A J"ana no le "sta la !alda &erde.[ Mar%a ) J"ana no "san !alda ro-a.[ Ana pre!iere la !alda a1"l.[ Rosa no "sa !alda &erde.
a8 HQ"5 color de !alda "sa J"ana+8 HQ"i5n pre!iere la !alda ro-a
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UNIDAD Nº 2:CON4#NTOS
ALUMNOS MATRICULADOS EN LA UNIVERSIDAD
"rante "na maana en la semana de matr%c"la en la U'J#SC( se pierde por accidentein!ormaci$n importante so+re los matric"lados en ciertos c"rsos de "na de las Esc"elas. Lain!ormaci$n *"e se p"do rec"perar +rind$ los si"ientes datos.
* La cantidad de matriculados para el ciclo son )'/ alumnos* +., alumnos se matricularon en Ecología* ..7 alumnos se matricularon en !atemática 8ásica* +77 alumnos se matricularon s"lo en 3ísica I* '7 alumnos se matricularon en Ecología y !atemática 8ásica pero no en 3ísica I* )7 alumnos se matricularon en !atemática 8ásica y 3ísica I9 pero no en Ecología* /7 alumnos se matricularon en Ecología y 3ísica* :. alumnos se matricularon en los ) cursos
Si todos los al"mnos se matric"laron por lo menos en "n c"rso. Ante esta sit"aci$n( lasecretaria de+e dar resp"esta a las si"ientes interroantes,
9 HC"ántos se matric"laron en Matemática BásicaR!-a('
9 HC"ántos se matric"laron s$lo en Ecolo%a ) #%sica IR!-a('
9 HC"ántos se matric"laron en por lo menos 3 c"rsosR!-a('
HC$mo podr%as apo)ar en este incon&eniente a la secretaria de esta Esc"ela
1( CONCEPTO $E CON4#NTO
Int"iti&amente "n con-"nto es "na colecci$n o ar"paci$n +ien de!inida de o+-etos7materiales o inmateriales8 *"e p"eden o no tener "na caracter%stica com/n.
E%e&!ls,
* El con;unto de los docentes #ue están capacitándose en el
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2( NOTACIÓN $E #N CON4#NTO
Los con-"ntos se nom+ran con letras ma)/sc"las 7A( B( C( ....8 ) s"s elementos conletras min/sc"las encerrados en par5ntesis.
A _ a e i o " `
7( REPRESENTACIÓN GR3/ICA
Un con-"nto se p"ede representar mediante !i"ras o es*"emas. entro de estasrepresentaciones tenemos, Los diaramas lineales( diaramas de Venn [ E"ler ) losdiaramas de Carroll.
7(1( $iagra&as Li"eales(= Es la representaci$n de dos o más con-"ntos( "tili1andosementos de recta( para representar la relaci$n de incl"si$n entre con-"ntos.
E%e&!l'
ados los con-"ntos, A _Limeos` B _0er"anos`C _Arentinos` _Bonaerenses`U _S"damericanos`
7(2( $iagra&as *e )e"" = Euler(= Son !i"ras eom5tricas simples ) cerradas( dentro delas c"ales se "+ican los elementos *"e le pertenecen al con-"nto.
E%e&!l'
ado los con-"ntos,
A + @ . @ ) @ :B 8 ) @ : @ ' @ / @ 1B y + @ . @ ) @ : @ ' @ / @ 1 @ , @ -B
7(7( $iagra&as *e LeFis Carrll(= Se "tili1an para representar con-"ntos dis-"ntos ocon-"ntos con s"s respecti&os complementos( para ello se "tili1a rectán"los oc"adrados di&ididos por sementos con la !inalidad de distin"ir dic2os con-"ntos.
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9( RELACIÓN $E PERTENENCIA .∈
Es una relaci"n eDclusi$a de elemento a con;unto%
E%e&!l'
A _? _Y` _?
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N-ació",n7A8 b7A8 Card7A8
E-emplos, A _4 4 ` B _ D φ _φ``
∴ n7A8 3 ∴ n7B8
( RELACIONES ENTRE CON4#NTOS
(1Relació" *e I"clusió" .⊂
.i"clusió" T-aln con;unto A está contenido en otro 89 si todos los elementos de A pertenecen a 8%
A ⊂ B ↔ ∀ x ⊂ A → x ⊂ B
GrHica&e"-e,
A⊂ 8? AF está incluido en 8F
A es subcon;unto de 8F
A está contenido en 8F
8 ⊃ A? 8 incluye a AF
8 es supercon;unto de AF 8 contiene a AF
(2C"%u"-s Iguales . os con-"ntos son i"ales( si tienen los mismos elementos.
a-e&H-ica&e"-e, A B ⇔ A⊂ B ∧ B ⊂ A
E%e&!l' A _3 3 3 `
B _3 `∴ A B
(7C"%u"-s C&!ara+lesos con-"ntos son compara+les c"ando solamente "no de ellos está incl"ido en el otro(es decir( o +ien A ⊂ B o +ien B ⊂ A
E%e&!l, A _xPx es "n mam%!ero`B _xPx es "n perro`
(9C"%u"-s $is%u"-s os con-"ntos son dis-"ntos c"ando no tienen al/n elemento en com/n.
E%e&!l,> _xPx es "n 2om+re`M _xPx es "na m"-er`∴ > ) M son dis-"ntos
(: I"clusió" Parcial Es c"ando A ) B tienen por lo menos "n elemento com/n( es decir( A ) B 2a) incl"si$n
parcial x A & x BƎ ϵ Ǝ ϵ
E%e&!l' A _( 3( ( ?`B _3( ?( Y`
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1
3
62
4A B
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J( CON4#NTOS NOTALES
J(1C"%u"- #"i,ersal Reere"cial .#
Es "n con-"nto *"e se "tili1a como re!erencia para el est"dio de "na sit"aci$n partic"lar(*"e contiene a todos los con-"ntos considerados. 'o existe "n con-"nto "ni&ersala+sol"to.
E%e&!l,
Sean A _a&es`B _mam%!eros`
El con-"nto "ni&ersal 7U8 para estos dos con-"ntos ser%an los animales
J(2 C"%u"- )acK Nul
Es a*"el con-"nto *"e carece de elementos ) se denota as%, _ ` φ
E%e&!l,
E _xPx es "n trián"lo de ? lados`
Nota ? El &ac%o es s"+con-"nto de todo con-"nto( ) 5stos se oriinan por contradiccionesl$icas
J(7C"%u"- #"i-ari
Es a*"el con-"nto *"e tiene "n solo elemento. E%e&!l, _ ` E _ ! ̀∴ n78 ∴ n7E8
J(9C"%u"- P-e"cia P.A
Es a*"el con-"nto !ormado por todos los s"+con-"ntos posi+les *"e posee A.
E%e&!ls,A ) @ ' @ 1B
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(2I"-ersecció" .∩
A∩
B _xPx∈ A ∧ x∈B`
(7$iere"cia . M
A ] B _xPx∈ A ∧ x∉B`
(9$iere"cia Si&é-rica .
A ∆ B _xPx∈ 7A ] B8 ∨ x∈ 7B ] A8`
(:C&!le&e"- .AC A A C.A
AC _xPx∉ A`
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E%e&!l *e A!licació"'ado el si"iente diarama,
>allar, A∪ B B ∩ C A ] C A ∆ B AC 7A∪ B ∪ C8
APLICACIONES PR3CTICAS
D.etermine la &erdad 7V8 o !alsedad 7#8 de las proposiciones respecto del con-"nto,
A _4 _Y` __
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d8 n7A ∩ B8 e8 n7A ∪ B8
D.A "n con-"nto de -$&enes se les aplic$ "na enc"esta so+re acti&idades *"e reali1an en s"sratos de ocio. Al"nas in!ormaciones *"e se o+t"&ieron en esta enc"esta !"eron, Y3practican eporte 78
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Tra%aje&os en
Equipo D.HC"áles de las si"ientes expresiones representan con-"ntosa8 Los presidentes del 0er/ desde 4D+8 Los departamentos randes del 0er/c8 Los n/meros nat"rales más randesd8 Los meses del aoe8 Las me-ores pie1as m"sicales
D3.Colo*"e &erdadero 7V8 o !also 7#8( dado el si"iente con-"nto, A _a _+ c` d`I. _+ c` ⊂ A IV. _+ c` ∈ AII. __+ c`` ⊂ A V. c ∈ AIII. _c` ∈ A VI. _c` ⊂ Aa8 VVV### +8 #V#V## c8 V###VV d8 VVVVV# e8 #VV###
D.ados con-"ntos A( B ) C tales *"e, A∪ B _D ( 3 ? allar, 7A∪C8 ] 7A∪B8W ∪ 7B∩C8 ] 7A ∩ C8Wa8 _? ( 4
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Re'or(an)o $o Apren)i)o D.e "n r"po de -$&enes se sa+e *"e 4 de ellos no est"dian ni tra+a-an( D personas
est"dian ) personas est"dian ) tra+a-an. HC"ántos -$&enes reali1an s$lo "na de las dosacti&idadesa8 3 +8 N c8 D d8 4 e8 3?
D3.En "n sal$n de clase con 4 est"diantes entre &arones ) m"-eres( oc"rri$ lo si"iente,[ Y apro+aron Matemática[ 3 apro+aron Com"nicaci$n[ < apro+aron CA[ D apro+aron los c"rsos[ apro+aron s$lo Matemática[ Y apro+aron s$lo CA
[ apro+$ s$lo CA ) Matemática
HC"ántos est"diantes no apro+aron nin"no de los c"rsos mencionadosa8 +8 3 c8 ? d8 4 e8
D.e DD personas( ? no compran el prod"cto A( 4 no compran el prod"cto B ) 3N nocompran A ni B. HC"ántas personas compran s$lo "no de los dos prod"ctosa8 43 +8 ?< c8 ?N d8 N e8 ?4
D?.En "n sal$n de DD al"mnos se o+ser&a *"e ?D son m"-eres( N est"dian eora!%a ) 3son m"-eres *"e no est"dian eora!%a. HC"ántos 2om+res no est"dian eora!%aa8 +8 c8 4 d8 N e8
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UNIDAD Nº 3:
SISTEAS $E N#ERACIÓN
Se denomina S' a "n con-"nto de s%m+olos 7ci!ras8 ) ciertas le)es aplicadas a dic2o con-"nto
*"e nos permiten representar "na cantidad.esde los tiempos primiti&os el 2om+re t"&o necesidad de representar cantidades de o+-etosde "so cotidiano( para ello se &ali$ de ciertos arti!icios( )a sea "tili1ando "na !orma 2asta a2ora"sada 7ta+"laci$n8 a tra&5s de ra)ados como IIII II para representar por e-emplo sieteelementos. 0ero( se sa+e *"e antes de estas representaciones )a el 2om+re primiti&o ten%aclaro el c"ce!- *e "&er "a-uralB el c"al lo lor$ a tra&5s de la crres!"*e"cia+iu"K,ca de con-"ntos e*"i&alentes por e-emplo( esta+leci$ esta correspondencia "no a "noentre los dedos de la mano ) "n con-"nto e*"i&alente !ormado por cinco piedras. odo estodem"estra *"e el concepto de n/mero es primero ) el contar es "n proceso posterior. e+ido aesto /ltimo 7el contar8 se &io en la necesidad de crear "n sistema de n"meraci$n primiti&o elc"al reali1a+a a!area&ie"- entre con-"ntos e*"i&alentes 7*"e t"&ieran el mismo n/mero deelementos8.
. CLASES $E SISTEAS $E N#ERACIÓN(
A tra&5s de la 2istoria de la 2"manidad 2an existido 3 sistemas de n"meraci$n,
1(1( Sis-e&a *e "u&eració" " !sici"al(=
Este sistema primiti&o no toma en c"enta el orden de los s%m+olos 7ci!ras8 p"es cada"na ellas tiene el mismo &alor no importando la posici$n 7orden8 *"e oc"pa( como elSistema de '"meraci$n Romano( donde por e-emplo el n/mero treinta se escri+e^^^( cada ci!ra ^ siempre &ale die1 ) por "n proceso aditi&o se s"man ) res"elta eln/mero *"e se *"iere representar.
1(2( Sis-e&a *e "u&eració" !sici"al(=
Este sistema toma en c"enta el orden 7posici$n8 *"e oc"pa cada s%m+olo 7ci!ra8donde cada "na de ellos representa "na "nidad del orden indicado en la +ase. As%(por e-emplo( en 5l n/mero de +ase die1 7decimal8 la ci!ra de tercer orden es xD3( la ci!ra de se"ndo orden es x D ) la ci!ra de primer orden es xD.
D3 D D
C")a representaci$n e*"i&ale a, 7D83 @ 7D8 @ 7D8
ASE $E #N SISTEA $E N#ERACI ÓN POSICIONAL'
Es el n/mero nat"ral n ( *"e indica la !orma de ar"par ) donde fnf "nidades de primer orden !orma "na "nidad del orden inmediato s"perior 7se"ndo orden8( l"eo fnf "nidades dese"ndo orden !ormar "na "nidad del orden inmediato s"perior 7tercer orden8 ) as%s"cesi&amente. Con&iene tener presente *"e en s" sistema de n"meraci$n posicional de +asefnf,
• n • El sistema de n"meraci$n posicional "tili1a fnf ci!ras.
En +ase decimal 7die18 "tili1a die1 ci!ras, D(( 3 .......... ( En +ase +inaria 7dos8 "tili1a dos ci!ras, D ) . En +ase *"inaria 7cinco8 "tili1a cinco ci!ras, D( ( 3( ) ?.
• fnf "nidades de "n orden !orman "na "nidad del orden inmediato s"perior.• C"ando n D 7+ase decimal8 no se indica la +ase p"es está tácita.
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NOTACI ÓN POLINOICA $E #N N#ERO NAT#RAL(
Esta representado por la s"ma indicada de cada ci!ras por la +ase fnf ele&ada a "na potenciai"al al n/mero de ci!ras dismin"ida en .
a8 3 7D83
@ 37D8
@ 7D8D
7DD8 @ 37D8 @ 78 DD @ 3D @ 3
+8 ?748 7483@748 @ 748D
?7348 @ 748 @ 78 DD @ 4 @ D< 7en este caso el n/mero ?748 2a sido con&ertido en +ase decimal8
c8 D738 738 @ 7383 @ D738 @ 738 D 7
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CON)ERSI ÓN $E #N NERO $E ASE $ECIAL A OTRA ASE $I/ERENTE(
Se reali1a por di&isiones s"cesi&as de el n/mero dado entre la +ase pedida 2asta o+tener "ncociente menor *"e dic2a +ase. El n"e&o n/mero se !orma( con el /ltimo cociente se"ido de losresid"os de i1*"ierda a derec2a colocándole la +ase correspondiente,
a8 Con&ertir,
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E4ERCICIOS
. Con&ertir a +ase die1 7decimal8
a8 337?8 7?8 @ 37?83 @ 37?8 @ 7Y?8 @ 37Y8 @ 37?8 @
3 @ 3 @ < @ 3
+8 37N8 7N83 @ 37N8 @ 7?8 @ 37N8 @ ? @ ? @ Y?
3. Con&ertir,
a8 3< a +ase 4 7*"inaria8 3< 4
3< 4 4
78 4 4 7D8 78 738 Rpta, 3D748
+8 3< a +ase 7terniaria8 3<
78
7D8
(0) 78 Rpta, DD78
. Con&ertir,
a8 ?3748 a +ase N 97a +ase D8 7483 @ ?748 @ 3 7348 @ ?748 @ 3 N4 @ 3D @ 3 N
97a +ase N8 N N
3N N
7Y8 7Y8 78 Rpta, YY7N8
+8 3378 a +ase Y 97a +ase D8 78 @ 3783 @ 378 @ 73N8 @ 378 @ 378 @
3N @ < @ Y @ 43
97a +ase Y8 43 Y
7?8 < Y
738 78 Rpta, 3?7Y8
?. >allar el &alor de la +ase nK en,
a8 347n8 37n8 @ 4 3n @ 4 3n ] 4
3n ?n N
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c8 3?7n8 3347Y8 7n83 @ 37n8 @ ? 37Y83 @ 37Y8 @ 4n3 @ 3n @ ? N3 @ 3 @ 4n3 @ 3n @ ?
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Pro%$e&as Propuestos D. Responda las si"ientes pre"ntas,
a8 HC"ál es el menor n/mero de ci!ras del sistema octal+8 HC"ál es el menor n/mero de ? ci!ras di!erentes del sistema senario
c8 HC"ál es el ma)or n/mero de ? ci!ras del sistema 2eptald8 HC$mo se expresa el ma)or n/mero de ? ci!ras di!erentes del sistema nonal
D3. HC"ál de los si"ientes n"merales es ma)ora8 37?8 +8 3748 c8 DDDD738 d8 D7Y8 e8 47allar el &alor de nKa8 < +8 Y c8 ? d8 4 e8 3
D. Si, 3a.; ?.. >alle el &alor de aKa8 3 +8 c8 ? d8 4 e8 <
D. Al expresar 3?3 en +ase N se o+t"&o ana.. Calc"le la s"ma de ci!ras al expresar aaaa.: en +ase nK.a8 < +8 c8 D d8 e8 3
. HC"ántos n/meros de 3 ci!ras res"ltan ser i"al a 4 &eces la s"ma de s"s ci!rasa8 +8 3 c8 d8 ? e8 4
3. HC"ántas ci!ras tiene el n"meral en el c"al s" ci!ra de c"arto orden oc"pa el *"into l"ara8 +8 ? c8 4 d8 Y e8 N
. HC"ántos n"merales 2a) desde ?.: 2asta 4Y.a8 3D +8 3 c8 33 d8 3 e8 3?
?. Expresar la s"ma de,D?.: @ ?D4.; @ 3D.9
En el sistema *"inario. Indicar la s"ma de s"s ci!ras.a8 +8 < c8 N d8 4 e8 Y
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UNIDAD Nº 4:
TEORA $E LOS NEROS
La divisibilidad es "na parte de la teor%a de los n/meros *"e anali1a las condiciones que debetener un núero !ara que sea divisible !or otro"
H= c"ándo "n n/mero es di&isi+le por otro
Se dice *"e #A$ es divisible !or #%$& si al di&idir AK entre BK la divisi'n resulta e(acta7cociente entero ) resid"o cero8.
>A@ es *i,isi+le !r >@
⇔ A B
D * → cociente entero
resid"o cero
E%e&!l'
es di&isi+le por N p"es
N
D
1( $E/INICIÓN $E $I)ISOR
Se dice *"e B es divisor de A( cuando lo divide en !orma entera ) exacta.
Es decir,
Si A B
D
onde, A es "n entero
B es "n n/mero nat"ral
es "n n/mero entero
Se lee, B es di&isor de A
A es di&isi+le por B
2( $E/INICIÓN $E LTIPLO
Se dice *"e A es últi!lo de B( cuando lo contiene "n n/mero entero ) exacto de &eces.
Es decir,Si A B
0 k
onde, A es "n entero
B es "n n/mero nat"ral es "n n/mero entero
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A = B(k)
A es m/ltiplo de B.
N-ació"' A B
E4ERCICIOS
Escri+e los D primeros m/ltiplos de,4 , ,
Escri+e los di&isores de,3 , 3D ,
7( NEROS NO $I)ISILES
Sa+emos *"e "n n/mero es di&isi+le por otro c"ando la di&isi$n es entera ) exacta. 0erocuando dic)a divisi'n tiene residuo( diremos *"e el di&idendo es últi!lo del divisor *s el residuo"
E%e&!l'? N ⇒ ? 7 7Y8 @
Y
? 7 @
? N ⇒ ? N7N8 [ Y Y N
?
7 [ Y
E%e&!l'
838
545
636
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
. el al 3DD. HC"ántos n/meros son 12
a8 N +8 < c8 4 d8 ? e8 Y
3. el 3?D al 4DD. HC"ántos n/meros son
15 a8
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4. HC"ántos m/ltiplos de
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Un n"meral es di&isi+le entre N si al &ul-i!licar a ca*a u"a *e sus ciras *e *erecUa aiVWuier*a !r 1B 7B 2B =1B =7B =2B 1B 7B X D lueg eec-uar su su&a alge+raica resul-a*i,isi+le e"-re (
7gfedcba =
@ [ @⇔ a ] 3+ ] c ] d @ 3e @ ! @ 7
E%e&!l'
HC"ál es el &alor de aK si el n"meral 372a13 es di&isi+le por N
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
. Calc"lar aK en, 913aa4 a8 3 +8 4 c8 d8 ? e8 Y
3. >allar a @ + si se c"mple *"e,
55b312a8a1 =
a8 Y +8 N c8 < d8 e8 D
. etermina el &alor de la ci!ra xK si el n/mero 8x6x2 es di&isi+le entre .a8 3 +8 c8 ? d8 Y e8 <
?. Calc"lar + [ aK si el n/mero bab4a4 es di&isi+le entre Y.a8 +8 3 c8 d8 ? e8 4
4. Calc"lar 7a @ +8 si, 45aba23a
a8 4 +8 3 c8 D d8 e8 <
Y. Calc"lar xK si x45x24 es m/ltiplo de N3.a8 3 +8 c8 ? d8 < e8 Y
N. Calc"lar 7n @ a @ p8 en,
[ 9274
[ 115a1a
[
8!!343
a8 D +8 c8 3 d8 e8 ?
NIO CON LTIPLO 5 38IO CON $I)ISOR
NIO CON $I)ISOR .(C($(
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Es el ma)or de los di&isores com"nes de &arios n/meros. am+i5n se le conoce con el nom+re de0rodi&isor.
E%&'Sean los n/meros ?4 ) N4
i&isores?4 , 4 4 ?4N4 , 4 4 34 N4
M.C.. 7?4( N48 4.
NOTA' Los di&isores com"nes de &arios n/meros son los di&isores de s" M.C..
NIO CON LTIPLO .(C((
Se llama as% al menor de los m/ltiplos com"nes de &arios n/meros. Se les llama tam+i5n 0rom/ltiplo.
E%&' Sean los n/meros < ) 3.M/ltiplos positi&os.
< ,
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1( Un e+anista *"iere cortar "na planc2a de madera de 34Y cm de laro ) Y cm de anc2o( enc"adrados lo más randes posi+le.a8 HC"ál de+e ser la lonit"d del lado de cada c"adrado+8 HC"ántos c"adrados se o+tienen de la planc2a de madera
a8 3 ) 3? +8 D ) 3Y c8 3? ) 3? c8 3 ) 3 e8 3 ) ?<
2( Se desea alicatar "na pared de DDcm de anc2o por 3DD cm de alto. He *"5 medida serán las+aldosas para rellenar la pared sin romper nin"na +aldosa.a8 DD +8 D3 c8 D? d8 D e8 DDD
7( Un !aro se enciende cada 3 se"ndos( otro cada < se"ndos ) "n tercero cada min"to. A las Y.Dde la tarde los tres coinciden. A&eri"a las &eces *"e &ol&erán a coincidir en los cinco min"tossi"ientes.
9( Un &ia-ero &a a Barcelona cada < d%as ) otro cada 3? d%as. >o) 2an estado los dos en Barcelona.Hentro de c"antos d%as &ol&erán a estar los dos a la &e1 en Barcelona
:( En "na +odea 2a) toneles de &ino( c")as capacidades son, 34D litros( YD litros( ) 4?D litros. S"contenido se *"iere en&asar en cierto n/mero de arra!as i"ales. Calc"lar las capacidades
máximas de estas arra!as para *"e en ellas se p"eden en&asar el &ino contenido en cada "no delos toneles( ) el n/mero de arra!as *"e se necesitan.
;( Fa+riel tiene 34D !ic2as i"ales de !orma c"adrada. Las -"nta ) acomoda de manera *"e !ormen "nc"adrado *"e contiene la ma)or cantidad de !ic2as posi+les. HC"ántas !ic2as 2a) en total en los+ordes de dic2o c"adrado
( Con mis li+ros se p"eden !ormar lotes de ?( Y ) li+ros sin *"e so+re ni !alte nin"no( si el n/merode li+ros *"e teno esta comprendido entre ?DD a ?4D.HC"ántos li+ros teno
J( eseamos partir dos c"erdas de 3D m ) D m en tro1os i"ales lo más randes *"e sea posi+le sindesperdiciar nin/n ca+o. HC"ánto medirá cada tro1o
( En "n sal$n de 4D est"diantes se o+ser&a *"e la s5ptima parte de las m"-eres son r"+ias ) la &a.parte de los 2om+res "san lentes. HC"ántos 2om+res no "san lentes
10( e "n r"po de DD personas *"e se encontra+an en "na aencia de &ia-e( los 3P4 de los *"e&ia-a+an al norte )a no i+an a reresar ) los P de los *"e &ia-a+an al s"r( lo 2ac%an por primera&e1. HC"ántos pasa-eros más i+an al norte respecto de a*"ellos *"e &ia-a+an 2acia el s"r
11( etermine el m%nimo &ol"men *"e de+e tener "na ca-a c/+ica para empa*"etar los -a+ones c")asdimensiones son, 3cm x < cm x 4 cm( sin *"e so+re espacio.
12( Mar%a tiene "n cord$n de 3 metros de laro ) decora el +orde de dos c"adros rectan"lares. Si losper%metros de dic2os c"adros son < cm ) 3D cm( Hc"ántos c"adros pe*"eos más podr%a decorar con el resto del cord$n
UNIDAD Nº :
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/RACCIONES 5 PORCENTA4ES
¿Q#6 ES #NA /RACCIÓN?Es a*"el n/mero *"e está constit"ido por "na o más partes de la "nidad. 0or e-emplo si di&idimos a "na "nidad
7"na naran-a8 en cierto n"mero de partes i"ales( cada "na de estas partes es "na !racci$nK.
N-ació"'%
a* =
º
ba
Z b ya
≠
∈ +
%
a* =
E-emplo,
CLASI/ICACIÓN $E LAS /RACCIONES'
I( POR LA COPARACIÓN $E S# )ALOR RESPECTO $E LA #NI$A$
/racció" !r!ia,
Son a*"ellas en las *"e el n"merador es menor *"e el denominador por lo tanto son menores *"e la"nidad, 0or e-emplo,
/racció" i&!r!ia'
Son a*"ellas en *"e el n"merador es ma)or *"e el denominador por lo tanto son ma)ores *"e la "nidad.0or e-emplo
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$e"&i"a*r Nu&era*r
5Indica cuantas de esas partesse toman6
5Indica el n>mero de partes en#ue se di$ide la unidad6
+7
>
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NOTA'
e las !racciones impropias se deri&an los n/meros mixtos.
II( POR LA RAÓN $E IG#AL$A$ O $ESIG#AL$A$ ENTRE S#S $ENOINA$ORES
/racci"es U&gé"eas'
Son a*"ellas donde los denominadores son i"ales. E-emplo. P4 3P4 YP4
/racci"es Ue-ergé"eas'
Son a*"ellas donde los denominadores son di!erentes. E-emplo. P P3( 3P4.
III( /RACCIONES EQ#I)ALENTES
os !racciones son e*"i&alentes c"ando representan la misma cantidad. C"ando al m"ltiplicarlas en cr"1se o+tiene el mismo res"ltado.
0ara o+tener !racciones e*"i&alentes de+emos de m"ltiplicar al n"merador ) el denominador por "nmismo n/mero.
E-emplo, Sea la !racci$n irred"cti+le P3
+
-
6
/racci"es Irre*uc-i+les(= C"ando el n"merador ) el denominador son primos entre si. E-. 3P(4PY(P?.
I)( POR S# $ENOINA$OR
/racció" r*i"aria'
Es c"ando el denominador es di!erente de "na potencia de D.C"atro no&enos ?P de naran-aSiete docea&os NP3 de man1ana.
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/ , 6 6 6 . . .
/ , + + . . .
/ , 7 / 7 / . . .
* r a c c i 0 n1 e c i & a $
p e r i 0 ) i c o p u r o 8
+ 9 9
+ 9 7
/ , 6
/ , +
/ , 7 /
Decimal periódico mixto
Es aque$ cu5o perío)o e&pie(a $uego )e una ci'ra o un grupo )e ci'ras )espus )e $aco&a )eci&a$; a esta ci'ra o grupo )e ci'ras $a $$a&a&os PARTE 1=?A.
Eje&p$o:
/ , @ . . .
/ , . . .
/ , + 7 - - - - . . .
* r a c c i 0 n
6
7 /
+ 7 79 9 / /
/ , @
/ ,
/ , + 7 -
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
. >alle la !racci$n e*"i&alente a P ?3 tal *"e la s"ma de s"s t5rminos sea ND.
Resol"ci$n.
+-/
./
+/A+-
+/A.' Luego
+/B+7/+-B.B)ato por
B+-
B.'
+-
.
-,
9
eq
eq
==
=⇒=+
=
≡
3. Indi*"e la !racci$n de !racci$n *"e indica la !racci$n som+reada.
Lic. Luis Requejo RiveraPágina42
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. Se m"estra "n c"adrado en el *"e cada di&isi$n enera partes i"ales. Seale en !orma de !racci$n( cada"na de las secciones indicadas.
La rei$n es j de j de j del total. Esto es,
La rei$n C es P? de P? del total. Esto es,
XXXXXXXXXXXXXX.La rei$n B es P3 de P? del total. Esto es,
XXXXXXXXXXXXXXXXX.La rei$n A es XXXXXXXXXXX esto es, XXXXXXXXXX
?. >emos partido "na +arra de 2elado 7>8 con!eccionada de c2ocolate 7c8 ) de lec2e 7L8 en partes i"ales7Relaci$n parte todo8
0odemos 2acernos las si"ientes pre"ntas. HQ"5 parte del 2elado representa la porci$n de lec2e
HQ"5 parte de > es L
El c2ocolate HQ"5 porci$n es respecto del 2elado
HQ"5 !racci$n es el c2ocolate respecto de la porci$n de lec2e
HQ"5 !racci$n respecto del c2ocolate representa la parte *"e es lec2e
El 2elado HQ"5 !racci$n representa respecto de la porci$n de lec2e
HQ"5 !racci$n del c2ocolate es el 2elado
4. Contestar las si"ientes pre"ntas, HQ"5 parte de 3N es XXXXXXXX
HQ"5 !racci$n de + es c XXXXXXXX
HM representa *"e !racci$n de ' XXXXXXXXXXXX
HQ *"5 !racci$n representa respecto de 0.. . . . . . . . . . . . . . . .
HQ"5 !racci$n es 3? respecto de YD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HQ"5 !racci$n es a respecto de + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HQ"5 !racci$n es + respecto de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lic. Luis Requejo RiveraPágina43
C: 3 pa!"# $%&a'"#: 4 pa!"# $%&a'"#
A
$B
C
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HQ"5 parte representa de
En "na re"ni$n 2a) 3D personas de las c"ales
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OPERACIONES CON /RACCIONESOPERACIONES CON /RACCIONES
Su&a D Res-a *e /racci"es *e Igual $e"&i"a*r(= Se de+e de s"mar o restar los n"meradores )
de-ar el mismo denominador.
Su&a D Res-a *e /racci"es *e $is-i"- $e"&i"a*r(= Se de+e encontrar !racciones e*"i&alentes
*"e tenan i"al denominador ) l"eo reali1ar la operaci$n.
a*+$,- ' p&"/"# a" a#:
+,
7
8-.
8+.8-+
-
+
.
+=
+=+
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ul-i!licació" *e /racci"es(= Se de+en de m"ltiplicar los n"meradores entre s% ) los denominadores
entre s%.
$i,isió" *e /racci"es(= 0ara di&idir dos !racciones( se m"ltiplican por la in&ersa de la se"nda !racci$n
A*e&Hs'
/racció" *e u" N&er(
Si&!liicació" *e /racci"es(= Es di&idir el n"merador ) el denominador por "n !actor com/n a am+os(
o+teniendo "na !racci$n e*"i&alente.
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
Lic. Luis Requejo RiveraPágina46
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REGLA $EL TANTO POR CIENTO
CONCEPTO
Son las cent5simas partes tomadas de "n n/mero.
E%e&!l'
3D x 4 1""
2" x 4
3D cent5simos tomados de 4.
?D x 3D 1""
4" x ND
?D cent5simos tomados de ND.
CASOS 3SICOS
>allar el 3D de DD.
Lic. Luis Requejo RiveraPágina48
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El 3D de *"e n/mero es D.
HQ"5 porcenta-e de DD es YD
OPERACIONES CON PORCENTA4ES
A$ICIÓN 5 S#STRACCIÓN
Solo se p"ede s"mar o restar porcenta-es( siempre ) c"ando los n/meros sean i"ales.
E%e&!l'
DA @ NDA
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Reslució"Reslució"
A *"e /nico desc"ento e*"i&alen dos desc"entos s"cesi&os del D ) ?D.Reslució"Reslució"
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
. HQ"5 porcenta-e de D(Y es D(DDN3a8 +8 4 c8 3 d8
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Se compro "n nintendo en SP. YDD ) l"eo se &endi$ perdiendo el N4 del precio de &enta. HEnc"ánto se &endi$
Reslució"Reslució"
RESOL)EOS
01( Un &endedor recara el precio de s"s art%c"los en el 34 de s" precio de costo. HQ"5 desc"entode+er%a 2acer para no anar ni perder 7#"ente, Examen censal8 A8 3 B8
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;( os art%c"los se &endieron a SP.
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UNIDAD Nº 06:
PROPORCIONALI$A$RAONES 5 PROPORCIONES'
Al res"ltado de comparar dos cantidades se llama RAN ( *"e son de dos clases,
8. Ra5'n ARIT67TI8A o por I#ERE'CIA.38. Ra5'n 9EO67TRI8A o por COCIE'E.
1( A RAN ARIT67TI8A de dos cantidades es la DI;EREN8IA entre ellas"
E-emplo,La ra1$n aritm5tica entre el costo por min"to de llamar a cel"lar respecto a llamar a tel5!ono !i-o esde sP. D(?D ,
sP. D(YD [ sP. D(3D sP. D(?D
2( A RAN 9EO67TRI8A de dos cantidades es el 8O8IENTE entre ellas
E-emplo,La ra1$n eom5trica o el cociente entre el costo por min"to de llamar a cel"lar 7sP. D(YD 8 respecto allamar a tel5!ono 7sP. D(3D 8 !i-o es tres,
sP. D(YD Y sP. D(3D
PROPORCIONALI$A$
Veamos dos casos para !amiliari1arnos con el tema,
PRIER CASO' Si l"eo de "n partido de !/t+ol( todos los +arristas decidimos re!rescarnos con 2elados7o 2eladasK( a "sto del cliente8( tenemos *"e considerar n"estro pres"p"esto o dineroK en proporci$na la cantidad de )eladosK *"e deseamos ad*"irir( entre otros aspectos.
C&!ara&s' Dinero y )elados:6*s 2elados c"estan *s dinero.
6enos 2elados c"estan enos dinero.
IPORTANTE'
A 6RO>OR8IONAE=
Lic. Luis Requejo Rivera Página54
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SEG#N$O CASO' La maestra Juanita tiene una bolsa de d"lces para repartir a un grupo de niños quevan de paseo. La cantidad que reciba cada uno depende de cuantos niños son:
6*s d"lces para enos nios.6enos d"lces para *s nios.
IPORTANTE'
A 6
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PROPORCIONALI$A$ $IRECTA'
os manit"des o &aria+les ( e , son directaente !ro!orcionales si su ra5'n ,B( es constante.
ic2o de otra manera si "na de las &aria+les au&e"-a .( la otra tam+i5n au&e"-a .D ) si "na de las&aria+les *is&i"uDe .B la -ra -a&+ié" *is&i"uDe .D(
E%e&!ls
[ Cs- de "na mercader%a ) ca"-i*a* de la misma.
[ Suel* de "n o+rero ) -ie&! *e su -ra+a%.
[ Tie&! empleado ) -ra+a% realiVa*.
[ N&er *e +rers ) -ra+a% realiVa*.
[ Pes de c"erpos del mismo material ) ,lu&e" oc"pado por los mismos.
[ $is-a"cia recorrida por "n m$&il ) -ie&! empleado
[ El !reci de "na pie1a de tela es directamente proporcional a s" cali*a*B l"gi-u* D a"cU.
PROPORCIONALI$A$ IN)ERSA
os manit"des o &aria+les ( e , son inversaente !ro!orcionales si su !roducto (", esconstante. ic2o de otra manera si u"a *e las ,aria+les au&e"-a .B la -ra *is&i"uDe .D D siu"a *e las ,aria+les *is&i"uDe .B la -ra au&e"-a .D(
E%e&!ls
[ El "&er *e +rers ) el -ie&! necesario para 2acer "na o+ra.
[ Los *Kas *el -ra+a% ) las Uras *iarias *"e se tra+a-an.
[ Larg ) a"cU de rectán"los de i"al área.
[ )elci*a* de "n m$&il ) -ie&! necesario para recorrer "na distancia.
Lic. Luis Requejo Rivera Página56
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RESOL)EOS
01( El administrador del 0ar*"e de las Le)endas estima *"e por cada ? personas *"e &isitan el par*"e(
son nios ) el resto ad"ltos. Si Y3DD personas &isitaron el 0ar*"e de las Le)endas el /ltimo !in desemana( Hc"ántas de estas personas !"eron ad"ltos 7#"ente, exámenes ME a docentes8 A8 44D B8 ?Y4D C8 DD 8 DDD
2( En cierto e&ento acad5mico por cada 4 &arones 2a) m"-eres. Si en total 2a) Y< asistentesHc"ántas m"-eres están presentes en el e&ento
a8 D4 +8 Y c8 N4 d8 Y< e8 DD
7( En "na panader%a se sa+e *"e de cada 4D panes *"e se ela+oran D no son interales. Si el d%al"nes se ela+or$ ?DD panes( Hc"ántos de estos panes !"eron interales A8 3?D B8 YD C8 3DD 8 DD
9( La ra1$n entre el n/mero de &eces *"e Carla 2a desa)"nado ) almor1ado en "n resta"rante es 4P?.Se sa+e *"e la di!erencia entre el n/mero de &eces *"e reali1a "na acti&idad ) la otra es D( ) *"eel costo de cada desa)"no ) alm"er1o es ? ) 4 soles respecti&amente. HC"ánto ast$ en total Carla7#"ente, exámenes ME a docentes8 A8 SP. DD B8 SP. 3DD C8 SP. ?DD 8 SP. 3D
:( 0or cada 3 +orradores *"e "n pro!esor compr$( le realaron "n +orrador más. Si reci+i$ D+orradores en total( Hc"ántos +orradores le realarona8 +8 3 c8 D d8 e8 3D
;( 0or cada N est"diantes de "na esc"ela son &arones. HC"ántos de los Y
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REGLA $E TRES
REGLA $E TRES SIPLE $IRECTA
=e utili5a cuando dos anitudes son directaente !ro!orcionales entre s-"
ECe!lo 1, Si 3 polos c"estan SP. N3( Hc"ál será el precio de 3D polos
RE9A DE TRE= =I6>E IN@ER=A
=e utili5a cuando dos anitudes son inversaente !ro!orcionales entre s-"
ECe!lo 2 , Si Y o+reros tardan 3 d%as en reali1ar "n tra+a-o( Hc"ánto tardarán < o+reros
E%e&!l 7( Un inspector reci+e como pao 3 4DD soles por 2a+er &isitado al"nos Instit"tos 0artic"lares
I'SIUCIZ'
CA'IA
RECIBIA 0ORVISIA 7SP.8
Uni&ersidad 'acional 4DUni&ersidad 0artic"lar N4Instit"to 'acional DDInstit"to 0artic"lar 34
eterminar el n/mero de d%as *"e t"&o *"e tra+a-ar dic2o inspector( si se sa+e *"e cada tres d%aslora &isitar 4 Instit"tos 0artic"lares. 7#"ente, exámenes ME a docentes8
A8 3D B8 3 C8 ? 8 34
E4ERCICIOS $E APLICACIÓN
Lic. Luis Requejo Rivera Página58
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1( Una empresa period%stica tiene por norma *"e de cada ? páinas *"e editan( sean páinas nodeporti&as. Si la edici$n del domino tiene YD páinas( Hc"ántas como máximo p"eden dedicarse adeportes 7#"ente, exámenes ME a docentes8 A.4 B. ?4 C. ?D . 3D
3. Los c"adros m"estran los tipos de cam+io del d$lar en oct"+re < ) en diciem+re del 3DDY.7#"ente, exámenes ME a docentes8
Compra, SP. 3(D
Venta, SP. 3(3
#ec2a, 3DPDP<
Compra, SP. (D
.Venta, SP. (
#ec2a, 3DP3PDY
Con D soles( Hc"antos d$lares más 2"+ieras comprado en oct"+re de < *"e en diciem+re del3DDY A. DD B. Y4 C. 4D . ND
7( La si"iente !i"ra está !ormada por dos c"adrados *"e se intersecan. Cada "no de ellos tiene Ycm. de lado. Si los( p"ntos 0 ) Q son p"ntos medios de los lados( Hc"ál es el área de la( rei$nsom+reada
A8 N3 m3
B8 Y m3
C8 4? m3
8 ?4 m3
?. Un anadero tiene Y o&e-as ) alimento para ellas por el t5rmino de 3< d%as. Con 3D o&e-as más( sin
dismin"ir la raci$n diaria ) sin arear !orra-e( Hd"rante c"ántos d%as podrá alimentarlas A8 3? B8 < C8 D 8 ?< E8 3
RE9A DE TRE= 8O6>UE=TA
=e utili5a cuando alunas de las anitudes son directaente !ro!orcionales , otrasinversaente !ro!orcionales entre s-"
RESOL)EOS
1, En 3? d%as( 4 o+reros 2an 2ec2o la c"arta parte de "na o+ra *"e les !"e encomendada( por s" lentoa&ance !"eron despedidos. HC"ántos d%as emplearán otra c"adrilla de D o+reros do+lemente2á+iles en terminar la o+raRpta, XXXXXXXXXXX..
02( Un empresario de Famarra o+ser&a *"e s"s 3 operarias esta+les con!eccionan 3 a+rios en 3Dd%as( tra+a-ando < 2oras diarias. 0ara c"mplir "n pedido de emerencia adicional de 3ND a+rioscontrata a < operarias i"almente e!icientes por 34 d%as. HC"ántas 2oras diarias de+erán tra+a-ar las contratadas para c"mplir con el contrato
A8 4 B8 Y C8 N 8
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a8 3 +8 D c8 3(? d8 Y e8 <
D?. Un +arco lle&a &%&eres para 33 d%as ) trip"lantes pero 5stos no son más *"e . HC"ántos d%asp"ede d"rar la na&eaci$n
a8 33 +8 3 c8 3 d8 34 e8 3Y
PROLEAS SORE PROPORCIONALI$A$B REGLA $E TRES 5 PORCENTA4E
. En cierta ci"dad( por sandalias dan 3 1apatos( por $ 1apatos dan 1apatillas( por 3 1apatillasdan < +otas( ) 4 +otas c"estan 4D. HC"ánto teno *"e astar para ad*"irir 4 sandalias
sandalias 3 1apatos? 1apatos 1apatillas3 1apatillas < +otas4 +otas 4D soles^ soles 4 sandalias
x ? x 3 x 4 x ^ 3 x x < x4D x 4 N3D^ YDDD
^ 4D
3. Un r"po de expedicionarios de 3D personas tiene pro&isiones para 33 d%as. Al ca+o de 3 d%as sele "ne otro r"po de $% expedicionarios( sin pro&isiones. H0ara c"ántos d%as d"raran las pro&isionescon el n"e&o r"po
3Dp 3D d%as ^ 3D x 3D ^ 4 d%asYDp ̂ YD
. Se contrata a D o+reros para *"e constrian "na o+ra en $& d%as. Al ca+o de < d%as. el capata1reci+e "na c"adrilla adicional( ) la o+ra es terminada en los si"ientes < d%as. HC"ántos o+reros
n%as reci+i$ el capata1
D o+reros 3N d%as ^ D x 3N ^ 4 o+reros ^ o+reros < d%as <
Rpta, ?4 o+reros más
?. Un tra+a-ador( *"e esta+a contratado para tra+a-ar Y d%as( tiene la oport"nidad de capacitarse.Esta noticia arada a s" -e!e( *"ien permite salir "na 2ora antes cada d%a a cam+io de *"e tra+a-e d%as más. H0or c"ántas 2oras diarias !"e contratado el tra+a-ador talmente
^ d%as Yd ^ 7^[8 ?4 Y^ ?4^ ] ?4^[ d%as ?4d Y ?4 ^
^ 4
4. Un comerciante compra $& casacas a SP.?D cada "na d"rante el mes de no&iem+re. En el si"ientemes. por 'a&idad( le 2acen "n desc"ento de manera *"e de ellas c"estan SP.D
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3 naran-as peras4 peras ? plátanos plátano D.D soles^ soles man1ana
N x 3 x 4 x x ^ 4 x x ? x D( x 3D ̂ Y ^ D(
N. En "n p"e+lo( el cam+io monetario es el si"iente, < pesos por 4 d$lares( D d$lares por soles( Ysoles por ? e"ros. HC"ántos pesos ) *"e paar por 3 e"ros
< pesos 4 d$laresD d$lares solesY soles ? e"ros3 e"ros ^ pesos YD YD^
Y ^
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. Un o+rero pinta "na pared de YDm3 en ? 2oras HC"ántas 2oras tardará en pintar( en las mismascondiciones "na pared de 3Dm3
YDm3 ?2 ^ 3Dx? ^ ?2.3Dm3 ̂2 YD
?. La e!iciencia de dos carpinteros es como 4 es a 34. C"ando el primero prepara 34D sillas. HC"ántassillas 2a+rá preparado el se"ndo
4 34D ^ 34x34D ^ Y34D 34D sillas34 ^ 4 4
4. Un ciclista recorre "n tra)ecto en < min"tos. HC"ánto tardar%a en recorrer el mismo tra)ecto sid"plica s" &elocidad
S"ponamos *"e &an a DmP2
D mP2 < min. ^
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3. Se reali1a "na exc"rsi$n al desierto en la c"al se inscri+en 4DD personas( ) se lle&an &%&eres paraN3 d%as HC"ántas personas no podrán &ia-ar si se desea *"e la exc"rsi$n d"re < d%as máscons"miendo la misma cantidad de raciones
4DDp N3 d%as ^ 4DDxN3 ?DD personas ^p D d%as D
Rpta, DD personas33. Si ??? al"mnos res"el&en ??? pro+lemas en ?? se"ndos( entonces Hen c"ánto tiempo D al"mnos
resol&ieran 3D pro+lemas
??? al"mnos ??? pro+lemas ?? se. D al"mnos 3D pro+lemas ^
^ 3Dx??x???
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N3+ot ̂ <
D. Una "arnici$n de 3 DD 2om+res tienen &%&eres para Y meses. Si se desea *"e los &%&eres d"renD d%as más HC"antos 2om+res de+erán retirarse de la "arnici$n
3DD 2om+res Ym ^ 3DDxY
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N. Este+an ) #a+iola parten sim"ltáneamente al enc"entro "no del otro. Este+an se despla1a 4D m. en"n min"to( mientras *"e #a+iola lo 2ace a ra1$n de D m. por cada min"to. HC"ánto tiempodemorarán en encontrarse.( á están separados "na distancia de YDD m.
min
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Rpta, N3
?4. Un padre promete a s"s 2i-os de-arles en 2erencia SP. NY DDD a cada "no. 'o o+stante "no de los2i-os ren"ncia a la 2erencia( as% *"e los 2i-os restantes reci+en SP. 4 DDD cada "no. HC"ántos 2i-os
reci+ieron el dinero
^ 2i-os NYDDD 4DDD^ NYDDD^ ] NYDDD 7^[8 2i-os 4DDD ^ ?2i-os
?Y. Un n/mero se di&ide entre 4. el cociente o+tenido se dismin")e en . al res"ltado se le m"ltiplicapor ?. ) al prod"cto se le area "na "nidad( para posteriormente extraerle la ra%1 c"adrada. Si seo+tiene . HC"ál es el c"adrado del n/mero
111315
4 =+
−
x 22
111234
4 =
− x
1111245
4
=
+−
x121123
5
4
=−
x
111235
4=−
x244
5
4=
x
305= x
Rpta, D43 D34
?N. Un padre *"iere repartir
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UNIDAD Nº 07:
ESTA$ISTICA ASICA
INTRO$#CCIÓNLa e&ol"ci$n ) desarrollo de la estad%stica en el m"ndo act"al constit")en "n &alioso instr"mento de
decisi$n en todas las sit"aciones de la &ida. E-emplos,9 El narrador deporti&o comenta las estad%sticasde "n certamen atl5tico.
9 C"ando pre"ntas, H>as &isto las /ltimas estad%sticas acerca del empleo
¿Q#6 ES LA ESTA$STICALa estad%stica es "na ciencia *"e proporciona "n con-"nto de m5todos *"e se "tili1an para recolectar(res"mir( clasi!icar( anali1ar e interpretar el comportamiento de los datosK con respecto a "nacaracter%stica materia de est"dio o in&estiaci$n.
$I)ISION $E LA ESTA$STICA
.ESTA$ISTICA $ESCRIPTI)A.[ Es el con-"nto de m5todos *"e implican la recolecci$n( presentaci$n )caracteri1aci$n de "n con-"nto de datos a !in de descri+ir en !orma apropiada las di&ersascaracter%sticas de 5stas.
3.ESTA$ISTICA IN/ERENCIAL.[ Es el con-"nto de m5todos o t5cnicas *"e posi+ilitan la enerali1aci$no toma de las decisiones so+re la +ase de "na in!ormaci$n o+tenida mediante t5cnicas descripti&as.
T6RINOS 3SICOS
1( POLACIÓN .N.[ Es la colecci$n de todos los indi&id"os( o+-etos " o+ser&aciones *"e poseen almenos "na caracter%stica com/n.0"ede ser po+laci$n !inita o in!inita.
2( #ESTRA ."([ Es "n s"+con-"nto representati&o de la po+laci$n. El proceso de o+tener la m"estrase llama m"estreo.
7( PAR3ETRO(= Es "na medida res"men *"e descri+e "na caracter%stica de toda la po+laci$n.
Lic. Luis Requejo Rivera Página67
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9( ESTA$STICO ó ESTA$GRA/O.[ Es "na medida de res"men *"e descri+e "na caracter%stica dela m"estra.
:( $ATO([ Es el &alor *"e ad*"iere la &aria+le en cada "nidad de análisis.
;( )ARIALE.[ Es la caracter%stica de la po+laci$n 7o m"estra8 *"e se &a a in&estiar ) es s"scepti+le demedici$n $ cateori1aci$n. odas las &aria+les tienen "na escala de reistro.
LAS )ARIALES SEGN S# NAT#RALEA SE CLASI/ICAN EN'
1( )aria+le cuali-a-i,a, Es "na caracter%stica no Medi+le. Indica "na c"alidad. Se clasi!ican en,
9 )aria+le cuali-a-i,a N&i"al 7no indican orden8. E-m. sexo( nacionalidad. 9 )aria+le cuali-a-i,a Or*i"al 7ordena+les8. E-ms. Estado ci&il( rado de instr"cci$n( etc.
2( )aria+le cua"-i-a-i,a' Es "na caracter%stica medi+le. Se clasi!ican en,
9)aria+le cua"-i-a-i,a $iscre-a 7toman &alores enteros8 E-m. '/mero de 2i-os( etc.9)aria+le cua"-i-a-i,a C"-K"ua 7p"eden tomar( c"al*"ier &alor dentro de "n inter&alo8. E-ms.Salario( edad( peso( talla.
TI>O= DE 6UE=TRA= e "na po+laci$n '( "na m"estra es,
8 N !r+a+ilKs-ica( C"ando los elementos se seleccionan intencionadamente.38 Pr+a+ilKs-ica. C"ando los elementos se seleccionan aleatoriamente.
6TO$OS PARA RECOLECTAR $ATOS
.[ Recurrir a ue"-es *e i"r&ació", "+ernamentales( ind"striales $ partic"lares.3.[ E"cues-as, Recolecci$n ocasional.[ Ce"ss' Recolecci$n peri$dica?.[ Ls regis-rs, recolecci$n contin"a. = otros.
ORGANIACIÓN $E LOS $ATOS
C"ando se reali1a la recopilaci$n de in!ormaci$n se o+tiene "na ran cantidad de datos( los *"e de+enser clasi!icados de ac"erdo a criterios con&enientes( *"e permitan &er rápidamente todas lascaracter%sticas posi+les para o+tener concl"siones /tiles )a sea directamente o por cálc"los posteriores
C#A$ROS ESTA$STICOS
0resenta en !orma clara la in!ormaci$n recolectada( son de !ácil lect"ra( comparaci$n e interpretaci$nde todos los datos o+tenidos.
Z odo c"adro estad%stico de+e tener,a8 '/mero de c"adro.+8 %t"lo del c"adro.c8 Enca+e1amientod8 C"erpo del c"adroe8 #"ente.
E%e&!l 1'
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c)
a Ta+la N[ 1(1
Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n( 3DDY[3DDN
/AC#LTA$ES AOS
3DDY 3DDNEd"caci$n 3D 4D Administraci$n
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a GR3/ICO $E ARRAS LTIPLES E-emplo.
GrHic N[ 1(1 Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la
U. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY[3DDN
#"ente, C"adro 'o. .
+ GR3/ICO $E ARRAS APILONA$AS
E-emplo.GrHic N[ 1(2
Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de laU. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY[3DDN
#"ente, C"adro 'o. .
2( GRA/ICO $E SECTOR O PASTELGrHic N[ 1(7
Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U.'. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY [ 3DDN
7( GRA/ICOS I8TOS 0"eden ser de!inidos por el in&estiador. E-emplo, e L%neas ) +arras,
GrHic N[ 1(9 Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U.'. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY [ 3DDN
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ISTOGRAAS ni
? ? 3 D D<
DY 3 D? D3
D D ? < 3 Y 3D cali!icaciones
OTROS GR3/ICOS'
0ol%onos de !rec"encias( O-i&as( reas( B"r+"-as( ispersi$n de p"ntos( 0irámide. 0ictoramas(Cartoramas( etc.
E$I$AS $E RES#EN
Son indicadores *"e descri+en "n 2ec2o o sit"aci$n permitiendo s" análisis ) explicaci$n en !ormainmediata por lo tanto( en l"ar de comparar dos ta+las de !rec"encia $ dos rá!icas de dossit"aciones di!erentes( s$lo +astará comparar los estad%ra!os de am+as distri+"ciones.
I(= ESTA$GRA/OS $E TEN$ENCIA CENTRAL
1(= LA E$IA ARITETICA . x ' Indica el promedio de la s"matoria de todos los datos.
n
x f
X
k
ii
p
∑1=$ =
*&"#!a :
a+#'&!a"&"$a:
$!"a'/"&*":k
'a#"/"*aa:
$
i x
2(= LA E$IANA .e' $i&ide al total de las o+ser&aciones( de+idamente ordenados( en dos partes dei"al tamao.
7(= LA O$A .' Indica el &alor de la &aria+le de ma)or !rec"encia en "n determinado est"dio.
E4EPLOS'
1(= Las cali!icaciones de "na al"mna en el c"rso de L$ico[Matemático son, ( D( ?( D< ) 3. >alla
la nota Media( la nota Mediana ) la nota Moda Slució"
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2(= Las edades de "n r"po de nios de "na a"la son, DN( D( 3( DN( D( D( DN. >alle la edad0romedio( la edad Mediana ) la edad Moda
Slució"
7(= Si las notas de "n est"diante en el c"rso de Matemática son, 0ED< con "n peso de 03con "n peso de 3 ) IO 3 con "n peso de . >alla la nota x p
Slució"'
PROPIE$A$ $E LA E$IA ARIT6TICASi 21 yn son m"estras de "na po+laci$n ) x1 2 y x son s"s medias aritm5ticas(
entonces, x = x
-
2
2
x n n
n
1 1 2
1
E4EPLO' Si "na secci$n AK de ?D al"mnos tiene x A D ) la secci$n BK de D al"mnos tienex B N. >alle x del total de al"mnos.
Slució" n ?D al"mnosx aos
n3 D al"mnosx3 N aos
E4EPLOS RES#ELTOS
Cálc"lo de ( Me ) Mo,
. En "na pr"e+a de salto de lonit"d( los 33 al"mnos de "na clase 2an o+tenido los si"ientesres"ltados aproximados,ND cm ] YD cm ] 4D cm ] ND cm ] YD cm ] YD cm ] ND cm ] 4D cm ] D cm ] YD cm ]ND cm ]
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4D [ 4D [ YD [ YD [ YD [YD [ YD [ YD [ ND [ ND [ ND [ ND [ ND [
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a8 Constr")e "na ta+la+8 Q"5 porcenta-e de socios son licenciados
?.[ Las cali!icaciones en la asinat"ra de L$ico [ Matemático de los al"mnos del a"la q( son,
Cali!icaciones #rec"enciaa+sol"ta
#i 2i ^i.!i
< Y ?D 4 3
n
Complete el c"adro ) 2alle los estad%ra!os de tendencia central
4.[ En "n r"po de 4D personas( se sa+e *"e D de ellas anan mens"almente "n promedio de sP. 4DD) los restantes sP. 4DD. Se pide calc"lar la anancia media de las 4D personas.
ESTA$GRA/OS $E $ISPERSIÓN
Est"dia la distri+"ci$n de los datos de la serie( anali1ando si estos se enc"entran más o menosconcentrados( o más o menos dispersos( las más "tili1adas son,
1(= RANGO, Mide la amplit"d de los &alores de la m"estra ) se calc"la por di!erencia entre el&alor más ele&ado ) el &alor más +a-o.
2(= )ARIANA, Mide la distancia existente entrelos &alores de la serie ) la media.
( )
n
y y fi
S
n
i
i∑=
−
= 1
2
2
La &arian1a siempre será ma)or *"e cero.Mientras más se aproxima a cero( más concentrados están los &alores de la serie alrededor de lamedia. 0or el contrario( mientras ma)or sea la &arian1a( más dispersos están.
7(= $ES)IACIÓN TPICA EST3N$AR, Secalc"la como ra%1 c"adrada de la &arian1a.
PR3CTICA GR#PAL
.[Indi*"e c"al de las si"ientes distri+"ciones tiene ma)or &ariaci$n,a8 Las cali!icaciones de "na al"mna en el c"rso de L$ico[Matemático son, ( D( ?( D< ) 3.+8 Las edades de "n r"po de nios de "n a"la son, DN( D( 3( DN( D( D( DN
2(=Indi*"e c"al de las si"ientes distri+"ciones tiene ma)or &ariaci$n,Las edades( expresadas en aos c"mplidos de los pro!esores de dos centros ed"cati&os son, CEKAK,
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PR3CTICA $E RE/ORAIENTO
.[El si"iente c"adro m"estra la asistencia a "na asam+lea de padres de !amilia. HQ"5 porcenta-erepresenta el n/mero de &arones respeto del n/mero de m"-eres
a8< +83D
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&eces más +a-o. "rante "n periodo de "n ao( cada 2ospital reistr$ los dias en *"e más del YD por ciento de los reci5n nacidos !"eron &arones. HC"ál 2ospital crees *"e reistr$ más de estos d%as,a8 El 2ospital rande.+8 El 2ospital pe*"eo.
c8 Aproximadamente i"al 7esto es( si la di!erencia entre am+os es menor del & por ciento8.
D.[Un o+-eto pe*"eo se pes$ con "n mismo instr"mento( separadamente por n"e&e est"diantes en"na clase de ciencias. Los pesos o+tenidos por cada est"diante 7en ramos8 se m"estran acontin"aci$n, Y(3 Y(D Y(D 4( Y( Y( Y(3 Y(4 Y(3. Los est"diantes *"ieren determinar con lama)or precisi$n posi+le el peso real del o+-eto. HC"ál de los si"ientes m5todos les recomendar%as"sar
a8 Usar el n/mero más com/n( *"e es Y(3+8 Usar Y(4 p"esto *"e es el peso más precisoc8 S"mar los n/meros ) di&idir la s"ma por d8 esec2ar el &alor 4( s"mar los otros < n/meros ) di&idir por
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Examina los dos rá!icos con c"idado. L"eo escoe entre las Y posi+les concl"siones *"e se listan acontin"aci$n a*"ella con la *"e est5s más de ac"erdo.
a8El r"po *"e no d"rmi$ lo 2i1o me-or por*"e nin"no de estos est"diantes p"nt"$ por de+a-o de ?D )
la máxima p"nt"aci$n !"e o+tenida por "n est"diante de ese r"po
+8El r"po *"e no d"rmi$ lo 2i1o me-or por*"e s" promedio parece ser "n poco más alto *"e elpromedio del r"po *"e no d"rmi$.
c8'o 2a) di!erencia entre los dos r"pos( por*"e 2a) "n solapamiento considera+le en las p"nt"acionesde los dos r"pos.
d8'o 2a) di!erencia entre los dos r"pos( por*"e la di!erencia entre s"s promedios es pe*"ea(comparada con la cantidad de &ariaci$n de s"s p"nt"aciones.
e8El r"po de control lo 2i1o me-or por*"e 2"+o en ese r"po más est"diantes *"e p"nt"aron
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HC"ál es la pro+a+ilidad de *"e Ro+erto co-a "n caramelo ro-o
a8 D+8 3D c8 34 d8 4D
1;(= Los si"ientes diaramas m"estran in!ormaci$n so+re las exportaciones de 0er/,
T-al *e e!r-aci"es *e Per e" &ill"es *e sles 1; M 2000(
$is-ri+ució" *e las e!r-aci"es *el Pere" el a\ 2000
a8HC"ál !"e el &alor total 7en millones de soles8 de las exportaciones de 0er/ en
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Un est"diante piensa en c$mo representar los res"ltados mediante "n diarama de +arras. 5 "nara1$n de por *"5 no res"lta adec"ado "n diarama de +arras para representar estos datos.
UNIDAD Nº 08:
PROAILI$A$Las sluci"es *e !r+le&as es-a*Ks-icsB e" ge"eralB es-H" *a*as &ucUas ,eces e" -ér&i"s*e !r+a+ili*a*es( E" +ase a es-B la *ei"ició" D las reglas *e !r+a+ili*a* se !rese"-a" e"si-uaci"es !rac-icasB !er su es-u*i se Uace &Hs si&!le si se a!lica a si-uaci"es "!rHc-icas .%uegs *e aVarB !r e%e&!lB !er se su!"e Wue las &is&as reglase se !ue*e"a!licar a si-uaci"es *e la ,i*a real .!r+le&as es-a*Ks-icsB !r e%e&!l
EN/OQ#E PROAILSTICO
Se p"eden considerar &arios( en!o*"es concept"ales di!erentes para entender ) determinar os&alores de pro+a+ilidad( est"diaremos principalmente el en!o*"e clásico.
. E"Wue ClHsicB
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6
1)( ⇒=
n
h E P
n
h E P =)(
3
1
6
2)( == E P
8
3)( = E P
Al"nas &eces podemos conocer exactamente las di!erentes !ormas en las *"e "n e&ento dado7E8 p"ede o no oc"rrir. Este tipo de pro+a+ilidad se llama pro+a+ilidad matemática.
1(1 N-ació" D r&ula !ara la !r+a+ili*a* *e éi-(
Consideremos *"e "n e&ento 7E8 p"ede s"ceder en 2K !ormas de "n total de nK !ormasposi+les e i"almente pro+a+les( entonces la pro+a+ilidad de oc"rrencia del e&ento 7E8(llamado 5xito,
2 n/mero de !ormas pedidasn n/mero de !ormas posi+les
1(2 N-ació" D ór&ula !ara la !r+a+ili*a* *e racas( La pro+a+ilidad de no oc"rrencia de 7E8 7!racaso8 &iene dada por,
0 7TE8 ] 07E8
N-a 1. e+e o+ser&arse *"e,
0 7TE8 @ 0 7TE8
E%e&!ls'
a8 Sea E el e&ento *"e al tirar "n dado +ien constr"ido sala al p"nta-e 4 en "na tirada.
L"eo, n Y2
La pro+a+ilidad *"e no apare1ca al p"nta-e 4 en "na sola tirada es,07TE8 ] 07E807TE8 ]
Y07TE8 4
Y
+8 Sea E el e&ento *"e apare1ca $ Y en "na sola tirada en el mismo dado( es,
07E8 7sacar $ Y8 n Y 2 3
La pro+a+ilidad de no sacar $ 4 7o sea sacar ( 3( ? $ Y p"ntos8 es,
07TE8 ]
07TE8 3
c8 En "na ca-a 2a) 4 +olas ro-as ) +olas a1"les( la pro+a+ilidad de sacar "na +ola a1"l es,
N-a 2( La 0ro+a+ilidad *"e "n e&ento oc"rra está comprendido entre D ) ( es decir,
D 07E8 • Si el e&ento es imposi+le *"e oc"rra( s" pro+a+ilidad es cero, 07E8 D
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13
1
52
4)( 1 == E P
13
1
52
4)( 2 == E P
13
1
13
1)( 21 +=vE E P
38151538013
2⇒⇒
36
6)( 1 = E P
36
2)( 2 = E P
36
2
36
6)( 21 +=vE E P
36
8)( 21 =vE E P
• Si el e&ento es cierto( es decir( tiene *"e oc"rrir( s" pro+a+ilidad es , 07E8
La pro+a+ilidad de "n e&ento siempre es "na !racci$n propia.
N-a 7( En la ECB de Ed"caci$n 0rimaria rea L$ico Matemática 7competencia N8 II ) IIIciclos( se consideran los casos anteriores como,
0rimer Caso. Se "sa el t5rmino a &ecesKSe"ndo Caso. Se "sa el t5rmino n"ncaKercer Caso. Se "sa el t5rmino siempreK
2( PROAILI$A$ $E $OS O 3S E)ENTOS
os o más e&entos p"eden ser,
3.. E&entos m"t"amente excl")entes.
3.3. E&entos no excl")entes.
3.. E&entos independientes.
3.?. E&entos dependientes o condicionales.
2(1( E,e"-s &u-ua&e"-e ecluDe"-es( 3 $ más e&entos son m"t"amente excl")entes adis-"ntos( sino p"eden oc"rrir sim"ltáneamente. E-emplo,
a8 Considerar los e&entos asK o re)K al sacar "n naipe de "na +ara-a( estos sonexcl")entes.Frá!icamente,
L"eo la pro+a+ilidad de los e&entos E o E3 es,
atos,
Otro e-emplo, 0ro+a+ilidad de sacar N $ al tirar dos dados
Sacar N
Sacar
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E sacar asE3 sacar re)0 7E8 0ro+a+ilidad de sacar as0 7E38 0ro+a+ilidad de sacar re)
(1 2) = (1) (2)
E
E3
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13
1
52
4=
4
1
52
13 =
52
1
4
1.
13
1=
52
1
4
1
13
1 −+
13
4
52
16
52
1.131 ==−+
9
2)( 21 =vE E P
7
2)( 1 = E P
75)( 2 = E P
49
10
7
5
7
2)( 21 ==∧ x E E P
( (3 ( (? (4 (Y3( 3(3 3( 3(? 3(4 3(Y( (3 ( (? (4 (Y?( ?(3 ?( ?(? ?(4 ?(Y4( 4(3 4( 4(? 4(4 4(YY( Y(3 Y( Y(? Y(4 Y(Y
2(2 E,e"-s N EcluDe"-es( os o más e&entos son no excl")entes c"ando es posi+le *"es"cedan am+os( a"n*"e no necesario. E-emplo,
a8 Consideramos los e&entos posi+les de sacar asK o espadaK en "na +ara-a de 43 naipesrá!icamente
onde,07E8 0ro+a+ilidad de sacar asK
07E38 0ro+a+ilidad de sacar espadaK
07E \ E38 07E8.07E38
L"eo, 07E & E38
2(7 E,e"-s I"*e!e"*ie"-es( os o más e&entos son considerados independientes si laoc"rrencia de "no no a!ecta la oc"rrencia de los demás. S" !$rm"la es,
E-emplo,
a8 En "na +olsa 2a) 4 +olas &erde ) 3 +olas ro-as( se extrae "na +ola ) desp"5s sereempla1a 7es decir reresa a la +olsa8( otra +ola extra%da da l"eo del reempla1o.Encontrar la pro+a+ilidad *"e en am+as extracciones sean ro-a ) &erde.
Ro-a
Verde
Lic. Luis Requejo Rivera Página82
7Se recomienda constr"ir "n c"adro de do+le entradacon todos los casos *"e p"eden o+tenerse al tirar dosdados *"e s"man Y8
E3E
E\
E3
donde
07E & E38 07E8 @ 07E38 ] 07E . E38
07E \ E38 07E8 . 07E38
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15
5)( 1 = E P
15
7)( 2 = E P
45
7
15
7
15
5)( 21 ==∧ x E E P
7
5)( 1 = E P
6
2)( 1 = E P
21
5
42
10
6
2.
7
5).( 21 === E E P
+8 En "na +olsa 2a) 4 +olas ro-as( +olas a1"les ) N +olas +lancas( encontrar la pro+a+ilidadde sacar, ro-a ) +lanca en 3 extracciones con retorno o reempla1o.
Ro-a
Verde
2(9 E,e"-s *e!e"*ie"-es c"*ici"ales( Si E ) E son e&entos relacionados de tal manera*"e la oc"rrencia de E3( depende de la oc"rrencia de E( entonces E ) E3 son llamadose&entos dependientes ) la pro+a+ilidad de E3 es llamada pro+a+ilidad condicionalK.La notaci$n en este caso es,
07EPE38 se lee pro+a+ilidad de E3 dado EK
#$rm"la
'ota, O+s5r&ese *"e en la con-"nci$n 7\8 se "sa la m"ltiplicaci$n ) con la dis)"nci$n 7&8 se"sa la adici$n.
E-emplo,
a8 Una +olsa contiene 4 +olas &erdes ) 3 +olas neras. Se extrae "na +ola ) no sereempla1a 7no 2a) retorno8( l"eo se saca "na se"nda +ola. Encontrar la pro+a+ilidad deextraer, &erde ] nera 7en ese orden8
Sol"ci$n,
Verde
'era
PR3CTICA $E PROAILI$A$ES
. Se reali1a el experimento de lan1ar "na moneda ) "n dado -"ntos. Si E consiste en *"e salacaraK con la moneda ) E3 *"e salan ? $ Y en el lan1amiento del dado. Explicar el sini!icado *"etiene,
a8 T E 'o sacar caraK en la moneda ) conse"ir n en el dado+8 T E3 Sacar ( 3( $ 4 en el dado ) c"al*"ier cosa con la monedac8 E.E3 Sacar caraK en la moneda ) ? $ Y en el dado.d8 p7E.TE38 0ro+a+ilidad de caraK en la moneda ) ( 3( $ 4 en el dado.
e8 p7EPE38 0ro+a+ilidad de caraK en la moneda 2a+iendo salido ? $ Y en el dado.
3. eterminar la pro+a+ilidad pK de o+tener los si"ientes s"cesos o e&entos,
Lic. Luis Requejo Rivera Página83
07E \ E38 07E8 . 07EPE38
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a8 La aparici$n de o+tener "n n/mero impar en la tirada de "n dado.
07E8 PY P3 D(4 4D
+8 La aparici$n de "n asK( D de orosK o 3 de espadasK en la extracci$n de "na carta de la+ara-a.
asK 7E8 07E8 ?P43die1 de oros 7E38 07E38 P43 07E o E3 o E8 ?P43 @ P43 @ P43 P3Ydoce de espadas 7E8 07E8 P43
c8 La o+tenci$n de sieteK p"ntos en "na sola tirada de "n par de dados.
N p"ntos 7E8 07E8 YPY PY
d8 La aparici$n de "n selloK en el si"iente lan1amiento( si de DD lan1amientos pre&iosaparecieron 4N carasK.
cara 7E8 07E8 4NPDD D(4N 4N
. Una ca-a contiene Y +olas ro-as( ? +lancas ) 4 a1"les se saca "na +ola al a1ar. eterminar lapro+a+ilidad *"e sea,
a8 Ro-a
p7ro-a8 YP4 3P4
+8 'o ro-a
p7Tro-a8 ] 3P4 P4
c8 Ro-a o +lanca
p7ro-a8 YP4p7+lanca8 ?P4
d8 Ro-a ) +lanca
p7ro-a ) +lanca8 xp7+lanca8 7YP48 7?P48
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p7PY @ PY @ PY @ PY8 \ 7PY @ PY @ PY @ PY8 7PY8 . 7?PY8 3PY P
4. Se extraen s"cesi&amente +olas de "na ca-a( se/n datos del pro+lema . Encontrar lapro+a+ilidad *"e sean extra%das en el si"iente orden, ro-a( +lanca ) a1"l( si las extracciones con 7a8con retorno ) 7+8 sin retorno.
Con retorno Sin retorno p7ro-a8 YP4 p7ro-a8 YP4 p7+lanca8 ?P4 p7+lanca8 ?P? p7a1"l8 4P4 p7a1"l8 4P
p7ro-a \ +lanca \ a1"l8 7YP48.7?P48.74P48 7ro-a \ +lanca \ a1"l8 7YP48.7?P48.74P48
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DP?? 4P33
allar la pro+a+ilidad *"e,
A.A3.A los s"cesos *"e la UK ane los partidos.B.B3.B los s"cesos *"e el Alian1a ane los partidos..3. los s"cesos *"e terminen empatados los partidos.
e ac"erdo a los partidos anteriores 7pro+a+ilidad emp%rica8 se tiene *"e,UK ane partido p7A8
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d8 os nias ) "n nio P<
E4ERCICIOS PROP#ESTOS
. Se lan1an 3 dados -"ntos( calc"lar la pro+a+ilidad de sacar "n n/mero menor *"e cincoK.Rpta, PY
3. Una ca-a contiene +olas de colores, 4 ro-as( < a1"les ) neras. Se extrae "na al a1ar( calc"lar lapro+a+ilidad *"e sea,a8 Ro-a +8 Ro-a o nera Rpta, 4PY Rpta, P3
. Se extraen +olas al a1ar del pro+lema 3. Encontrar la pro+a+ilidad *"e sean extra%das, ro-a( a1"l(ro-a 7con retorno ) sin retorno8a8 Con retorno +8 Sin retorno
Rpta, 34P43 Rpta, P3
?. e "na +ara-a de 43 cartas se extrae "na carta( calc"lar la pro+a+ilidad *"e sea sieteK o espadaK.Rpta, ?P
4. Se lan1a "n dado 3 &eces( calc"lar la pro+a+ilidad *"e en el primer lan1amiento sacar 3( $ Y( ) enel se"ndo lan1amiento "n n/mero ma)or *"e ?.Rpta, PY
Y. Una +olsa contiene < +olas a1"les( ? +lancas ) 3 ro-as otra +olsa contiene 4 a1"les( +lancas ) ?ro-as se extrae "na +ola de cada +olsa. >allar la pro+a+ilidad *"e sean,a8 Las 3 a1"les +8 Una ro-a ) otra no +lanca
Rpta, 4P3 Rpta, P3<
N. Se extrae carta de "na +ara-a ) l"eo otra carta de otra +ara-a. Calc"lar la pro+a+ilidad *"e lasextracciones sean de la primera +ara-a 4 de orosK ) de la se"nda +ara-a "n asK.a8 0rimera +ara-a +8 Se"nda +ara-a
Rpta, P43 Rpta, PYNY
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ARAC>E VIVAS( est de L$ica e Inteliencia. Editorial LIBSA( Madrid 3DDY
BALBO'I'( Clara ) otras. LIBRO E RABAJO 4 Las c"atro operaciones con !raccionesK Ministeriode Ed"caci$n de C2ile.
BAA'ERO( C. 73DDD8 idáctica de la Estad%stica Uni&ersidad de Franada.
CRE'AS V. elmira ) otras 73DD