Teoria dos GrafosAula 7 - Conceitos Básicos
Profª. Alessandra Martins Coelho
março/2013
Distância entre vértices
• Caminho de menor comprimento capaz de ligar 2 vértces.
Índice de Wiener
• Uma das mais tradicionais aplicações da teoria de grafos no campo da química
• Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2.
Índice de Wiener
• Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2.
Em (1) = 14
Em (2) = 33
Em (3) = 53
Grafo ciclo
• Um Grafo Cn é um grafo com n vértices formado por apenas um ciclo passando por todos os vértices.
Excentricidade ou afastamento –Ex(v)
• Ex(v) de um vértice v pertencente a N é a maior distância entre v e w, para todo w pertencente a N.
• Ela pode ser pensada como o quanto um nó édistante do nó mais distante dele no grafo.
Excentricidade ou afastamento –Ex(v)
• Qual a excentricidade de cada vértice?.
7
6
5
4
3
2
1ExcentricidadeVértice
Raio de G – Rad(G)
• É o menor valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N.
• Menor dos afastamentos
Diâmetro de G - Diam(G)
• É o maior valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N.
• Maior distância entre qualquer par de vértices. • Para achar o diâmetro de um grafo, primeiro encontre o
caminho mínimo entre cada par de vértices. O maior comprimento de qualquer um desses caminhos é o diâmetro do grafo.
Centro de G – Centro(G)
• É o subconjunto dos vértices de menor excentricidade.
• Conjunto de vértices nessas condições
Centro de G – Centro(G)
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6
5
4
3
2
1
ExcentricidadeVértice
Centro de G – Centro(G)
• .
37
36
25
24
23
32
31
ExcentricidadeVértice
Mediana ou Centróide
• É um vértice para o qual a soma das distâncias aos demais vértices é mínima em relação a V.
• Existem problemas que tem como solução uma única mediana (um único vértice), chamada de 1-mediana.
Mediana ou Centróide• No município de Rio Pomba, um restaurante ficou responsável para fazer a
entrega do almoço aos funcionários de algumas empresas. A justificativa para tal atitude é que nessas empresas, muitos funcionários tem um curto espaço de tempo para o horário do almoço, pois fazem um horário diferenciado, tornando-se inviável que se desloquem das fábricas para fazer sua refeição. Sendo assim, o restaurante deve fazer a entrega dos almoços a cinco empresas, que estão distribuídas como na figura. O veiculo que faz a entrega é pequeno, tendo o motorista que ir e voltar a cada entrega para reabastecer o veículo.
• O gerente do negócio, preocupado com os gastos, deseja descobrir qual é o melhor local para se instalar. Vamos admitir que a instalação do restaurante possa ser feita em qualquer um destes pontos ou muito próximos a eles, de forma que a soma das distâncias percorridas para fazer as entregas dos almoços seja a menor possível.
Mediana ou Centróide
• Solução:
• obter a matriz das distâncias mínimas do grafo.
• fazer a soma de todas as linhas, e verificar em qual delas ocorre a menor soma, se este valor mínimo ocorre na linha i então este será o ponto onde podemos instalar o negócio, com a melhor opção de forma a minimizar a soma dos caminhos.
Mediana ou Centróide
• Solução:
Mediana ou Centróide• Problema 2 – Considere-se o grafo abaixo, que
representa uma área urbanizada de uma cidade, onde se deseja instalar uma “facility”. Uma comissão estuda o melhor local para instalar um deposito de mercadorias, a fim de abastecer diversos clientes, de forma que a distância percorrida para atende-los seja a menor possível. Já que os meios de transporte são de pequeno porte, para cada entrega o veículo sai do depósito, descarrega e retorna para reabastecer. Os vértices a, b, c, d e e representam os clientes, ou seja, pontos onde demandas de serviços são geradas diariamente e são indicadas através dos valores entre parênteses próximos aos vértices de onde são originados. O comprimento dos vários segmentos são indicados em km, representando a distância de uma localidade a outra. Onde deveria estar localizado este depósito de mercadorias, para minimizar a média da soma das distâncias?
Mediana ou Centróide
• Solução: • construir a matriz dos caminhos mínimos
entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir.
• Com a matriz já montada, devemos multiplicar cada coluna pelo peso do vértice j, e ainda fazer a soma de todas as linhas. O resultado destas operações pode ser observado na matriz D(1).
Mediana ou Centróide
• Solução: • construir a matriz dos caminhos mínimos
entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir.
Mediana ou Centróide
Anticentro
• É um vértice cuja menor distância em relação a algum outro vértice é máxima
Corte
• É uma operação que, através da remoção de vértices ou da remoção de arestas, resulta no aumento do número de componentes conexas de G.
• Alguns autores associam o conceito de corte somente à remoção de arestas
Corte em Vértices
• O conjunto minimal de vértices cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas
Corte em Arestas
• Conjunto minimal de arestas cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas
Matriz de corte
• É a matriz obtida pelas condições: qij = 1 se a aresta j pertence ao corte i e qij =0 caso contrário.
Matriz de Cortes Fundamentais
• Dado um subgrafo gerador conexo e acíclio de G, isto é, uma árvore geradora T de G, um corte fundamental em G éaquele que remove apenas uma aresta de T.
Bloco
• É um subgrafo 2-conexo maximal ou um subgrafo maximal formado por uma aresta.
• Um subgrafo de G é um bloco quando:– For não separável – não pode ser tornado desconexo
pela eliminação de um vértice;– For maximal em G.
Rank de um grafo - r
• O rank ou posto de um grafo G com n vértices e c componentes conexas é dado por
• r = n-c
Nulidade de um Grafo - r
• Nulidade L de um grafo G com m arestas, n vértices e c componentes conexas, édefinida como:
• L=m-n+c-m-r
Número ciclomático
• O número ciclomático ou rank de ciclos éo menor número de arestas que devem ser removidas de G para que o mesmo não apresente ciclos.
• γ=m-n+1
Grafo bipartido
• Um grafo G é bipartido quando seu conjunto de vértices N pode ser dividido em dois conjunto N1 e N2, tais que
N1 ∩ N2 =∅ e N1 ∪ N2 = N e somente existem arestas em G ligando algum vértice de N1 com algum vértice de N2 e vice-versa
Grafos 3-partidos
Grafo Completo - Kn
• Um Grafo G é completo se existe uma aresta associada a cada par de vértices de G.
• No caso orientado isso significa a existência de um arco para cada par ordenado de vértices.
Grafo Bipartido Completo Kp,q
• Cada vértice do conjunto N1, com p vértices é adjacente a todos os q vértices do conjunto N2 e vice-versa.
Grafo Clique
• É um subgrafo completo de G
Grafo Torneio
• Um grafo é dito torneio quando cada par de vértices em G é ligado exatamente por um arco (um grafo completo e direcionado).
Grafo regular
• Todos vértices possuem o mesmo grau
Cruzamento de arestas – Cross(G)
• É o menor número de cruzamentos de arestas possíveis no traçado de um grafo G.
Isomorfismo
• Os grafos G1 e G2 são ditos isomorfos se épossível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices e arestas, bem como entre suas relações vértices versus arestas.
• Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:N1 � N2 tal que (i,j) éelemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.
Grafos Isomorfos
• Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:N1 � N2 tal que (i,j) éelemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.
Homeomorfismo
• Inserção de vértices – operação que permite adicionar um vértice em qualquer aresta de G, criando consequentemente duas novas arestas em G.
• Fusão de arestas – operação que permite suprimir um vértice e G se d(v) – 2, eliminando-se as arestas que incidem sobre v suprimindo-o e criando uma nova aresta que liga os vértices que se encontravam originalmente conectados ao vértice v eliminado.
Grafo Homeomorfo
• Dois grafos são homeomorfos se são isomorfos ou podem ser feitos isomorfos por aplicações repetidas de operações de inserção de vértices ou fusão de arestas.
Grafo Minor
• Gafo minor ou menor é um grafo que pode ser obtido por uma sequência finita de contrações de arestas de G
Grafo dual
• Um grafo e dito dual de um grafo planar G quando é obtido de G pela seguinte operação:
1 – atribuir um vértice a cada região do grafo planar, incluindo a região externa.
2 – se duas regiões possuem uma aresta em comum (aresta e), ligar o nó interior a cada região por uma aresta s que cruze a aresta e.
Grafo complementar
• Contém as ligações (arestas) que não estão em G
Operação de Adição de Arestas(join)
Operação de União Total deGrafos
• Pode resultar em multigrafos
Produto Cartesiano de Grafos