Symulacyjne metody analizy ryzyka
inwestycyjnego – wybrane aspekty
Grzegorz Szwałek
Katedra Matematyki Stosowanej
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Plan prezentacji
1. Opis metody wyceny opcji rzeczywistej metodąDatara-Mathewsa, oraz jej rozszerzenie,
2. Opis metody skorelowania zmiennych losowych oraz wpływu skorelowania zmiennych na uzyskiwane wyniki,
3. Analiza przykładowej inwestycji z uwzględnieniem macierzy przejścia stanów – implementacja metodologii CreditMetrics do analizy inwestycji w czasie
Metoda Datara-Mathews’a
� Metoda została opracowana na potrzeby firmy Boeing przez Prof. Vinaya Datara z Seattle University oraz Scotta Matthewsa,
� Została opatentowana w 2005 roku,
� Metoda została opisana w 2007r. w Journal of Applied
Corporate Finance
Metoda Datara-Mathews’a
Metoda Datara-Mathews’a
Zakładamy 3 scenariusze planowanych przepływów finansowych:
1. Pesymistyczny
2. Realistyczny
3. Optymistyczny
Następnie na ich podstawie generujemy trójkątne rozkłady prawdopodobieństwa planowanych przepływów finansowych dla każdego z etapów projektu.
PesymistycznaOptymistyczna
Najbardziej prawdopodobny scenariusz
$0 M $100 M $200 M
Najbardziej prawdopodobny scenariusz
$0 M Wartośćinwestycji
$200 M
67%
Dodatni wynik finansowy
Średnia
częstość
Strata projektu
Jak widać na rysunku prawdopodobieństwo zwrotu początkowych nakładów na projekt wynosi ok. 25%.Wartość oczekiwana po odjęciu kosztów wynosi 24,73, stąd wartość opcji wyznaczonej metodąDatara- Mathews’a wynosi 6,36.
Metoda DM z uwzględnieniem scenariuszy.
1. W oryginalnej metodzie DM scenariusze optymistyczny oraz pesymistyczny mają po 10% prawdopodobieństwa.
2. Sposób generowania zmiennych losowych prowadzi do paradoksu,
zwiększając udział procentowy scenariusza optymistycznego (do pewnej
wartości) zmniejszamy wartość opcji.
Pesymistyczna
Optymistyczna
Najbardziej prawdopodobny scenariusz
$0 M
$100 M
$200 M
Inne podejście do metody Datara Mathewsa
z generowaniem przychodów i kosztów
W tym podejściu używając metody Monte Carlo generujemy trójkątne rozkłady przychodów oraz kosztów wg trzech scenariuszy a następnie uzyskujemy rozkład NPV w każdym z etapów projektu
Przychody w 1 roku zdyskontowane stopą
Koszty w 1 roku zdyskontowane stopą r
W wyniku otrzymujemy przewidywany DCF 1
� Postępujemy analogicznie jak w przykładzie z generowaniem NPV , lecz generujemy dwa rozkłady trójkątne – przychodów i kosztów.
� Następnie dyskontujemy uzyskane zmienne losowe na czas t = 0 przy użyciu dwóch różnych stóp procentowych a następnie obliczamy NPV projektu w danym roku:
� Dla kosztów (bardziej realne) stosujemy stopę wolną od ryzyka
� Dla przychodów (obarczone większym ryzykiem) stosujemy tzw. stopę
procentową projektu, która jest większa od stopy wolnej od ryzyka.
� Dla każdego roku inwestycji postępujemy analogicznie.
� W rezultacie uzyskamy ostateczny rozkład NPV projektu składający się z sumy poszczególnych lat.
� Wartość opcji realnej wyznaczamy z równania:
ROV = E(max(Zdysk. Przychody - Koszt projektu>0 ,0)
ROV=Średnia[Max(Przychody-Koszt projektu>0,0)] Excel
ROV = E(Przychody>Koszt projektu)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów
ROV = Średnia(P>K)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów Excel
DCF 1 DCF 2 DCF 3 DCF N
. . .
Koszt inwestycji 700
Problem skorelowania zmiennych
O skorelowaniu zmiennych losowych z danymi z analogicznego projektu wspomina autor metody w swoim artykule opisującym zastosowanie opcji rzeczywistych.
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)
o wariancji równej 1
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1)
o różnych wariancjach
Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych
Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli
w przypadku dwuwymiarowym
Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7
Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,7
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Współczynnik korelacji =0,8 Współczynnik korelacji =0,9
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,9
Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe
Współczynnik korelacji =0,9Współczynnik korelacji =0,2
34% 49%
Analiza porównawcza róŜnych wersji metody
Datara-Mathewsa
Dane wejściowe projektu:
1.Czas trwania inwestycji 1 rok
2.Czas trwania projektu 7 lat
3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%
4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%
5.Współczynnik korelacji = 0 , korelacja z poprzednim rokiem
6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela
Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami
inwestycji – brak korelacji
Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami
inwestycji – typ AR(1), wsp. korelacji = 0,7
Wyniki uzyskane przy
zastosowaniu kopuli
gaussowskiej, typ AR(1)
Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami
inwestycji – typ const, wsp. korelacji = 0,7
Wyniki uzyskane przy
zastosowaniu kopuli
gaussowskiej, typu stałego –
porównanie z typem AR(1)
Wykres przedstawia histogram NPV projektu z uwzględnieniem scenariuszy
Z czym moŜemy skorelować planowane
przychody projektu
1. Z ceną rynkową2. Z indeksem giełdowym3. Z analogicznym projektem
zrealizowanym w przeszłości
Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM
1. Jeżeli do skorelowania użyjemy rozkładu o podobnej wartości oczekiwanej oraz wariancji wtedy ograniczymy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wartość opcji maleje, ale w niewielkim zakresie.
W każdym z analizowanych okresów rozkład planowanych przepływów był zbliżony do rozkładu, z którym był korelowany
Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM
2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.
Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM
2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartośćopcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.
Macierz przejścia dla korelacji z historycznymi projektami
Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0
Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0,7
Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 3, korelacja = 0,7
Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 7, korelacja = 0,7
Przykładowe obliczenia wraz z
zastosowaniem macierzy przejścia
Dane wejściowe projektu:
1.Czas trwania inwestycji 1 rok
2.Czas trwania projektu 7 lat
3.Stopa wolna od ryzyka – dyskonto kosztów 5%
4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7%
5.Współczynnik korelacji = 0,85 , korelacja z poprzednim rokiem
6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela
2017-02-01 05:15 — wycinek ekranu
Wnioski
• Jeżeli do korelacji posłużymy się rozkładem niezmiennym w czasie, to wartośćopcji nie zależy od współczynnika korelacji.
• Duży wpływ na wartość opcji ma typ rozkładu (bazowego) z którym będziemy korelować zmienne w poszczególnych okresach.
• Współczynnik korelacji skupia zmienne wokół wartości oczekiwanej, w związku z tym wpływa znacząco na zanikanie wartości ekstremalnych, co skutkuje zmniejszaniem się wartości opcji wraz ze wzrostem korelacji.
• Największe znaczenie na uzyskane rezultaty w tej metodzie ma zmienność, gdyżdzięki niej uzyskujemy duże wartości w „ogonie rozkładu”.
• Korelacja z poprzednim okresem znacząco wpływa na wzrost wartości opcji obliczanej metodą DM.
• Do wyceny projektu, bez informacji z czym i jak skorelowano zmienne, musimy podejść z rezerwą.
Nieklasyczne metody oceny ryzyka
Miara Expected Shortfall
Badania, które doprowadziły do sformułowania pojęcia Expected Shortfall mająswój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie, jak jest wartość oczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadkach.W pracy Acerbi i Taschego (2001) autorzy wyszli od pojęcia ES próbkowego, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty.
Expected Shortfall próbkowy wyraża się wzorem:
Nieklasyczne metody oceny ryzyka
Wskaźnik Racheva – jest to stosunek oczekiwanego zysku uzyskanego na podstawie prawego ogona rozkładu zmiennej X o grubości α, do oczekiwanej straty wyznaczonej na podstawie lewego ogona rozkładu zmiennej X o grubości β. Parametry α i β dobiera subiektywnie inwestor. ( w szczególnym przypadku można przyjąć, że są równe)
,
Dziękuję za uwagę[email protected]
Nieklasyczne metody oceny ryzyka,
Wskaźnik Farinelli-Tibiletti- oceniający wyniki inwestycyjne przy zastosowaniu jednostronnej miary ryzyka dla dowolnego momentu częściowego rzędu p i q oraz progu m – określającego próg zysku i straty
gdzie
Nieklasyczne metody oceny ryzyka
Wskaźnik d odpowiedniego rzędu p i q określony jest przez iloraz zdarzeńpozytywnych związanych z osiągnięciem zakładanego zysku i zdarzeńnegatywnych przynoszących stratę.Wskaźnik ma interpretację ekonomiczną w postaci nadwyżkowej stopy zwrotu przypadającej na jednostkę ryzyka związanego z jej osiągnięciem.
Przykładowe obliczenia
Parametry α i β ustalamy na 0,2 i 0,8 stąd mamy wartość wskaźnika Ra-ratio
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
R.Doman „Zastosowanie Kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finansowych” UE Poznań 2011
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
(u,v)
(u,v)0
0 1 1
1 Kopula
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
(u,v)
(u,v)0
0 1 1
1 Kopula
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
(u,v)
(u,v)0
0 1 1
1 Kopula
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Udowodnijmy teraz jeden z tych warunków
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy
zastosowaniu Kopuli
R.Doman „Zastosowanie Kopuli w
modelowaniu dynamiki zależności
na rynkach finansowych” UE
Poznań 2011
Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych
Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli
w przypadku dwuwymiarowym
Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – współczynnik korelacji =0,7
Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych
Metoda klasyczna – macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli
w przypadku dwuwymiarowym
Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) – wsp. korelacji =0,7