KONSEP KALKULUS
konsep asas dalam kalkulus dan analisis tentang perilaku fungsi yang berhampiran input tertentuSecara tidak formal, fungsi f menugaskan sebuah output f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi ini mempunyai had L pada nilai p jika f(x) adalah "dekat" dengan L ketika x adalah "dekat" dengan pDengan kata lain, f(x) menjadi makin dekat dan makin hampir dengan L apabila x bergerak lebih dekat dan lebih hampir dengan p.Lebih khusus lagi, apabila f dikenakan untuk setiap masukan cukup dekat dengan p, hasilnya adalah nilai keluaran yang sewenang-wenangnya berhampiran dengan LJika input "dekat" dengan p akan dibawa ke nilai-nilai yang sangat berbeza, had dikatakan tidak wujud.
HAD FUNGSI
fungsi selanjar adalah fungsi yang, secara intuitif, perubahan kecil dalam masukan memberikan perubahan kecil pada keluaran. Jika tidak, fungsi dikatakan "tak selanjar". Fungsi selanjar dengan fungsi songsang selanjar disebut "dwiselanjar"perhatikan fungsi h (t) yang menggambarkan tingginya bunga yang berkembang pada saat t. Fungsi ini berterusan. Bahkan, ada Diktum fizik klasik yang menyatakan bahawa semuanya di alam terus-menerusSebaliknya, jika M (t) menunjukkan jumlah wang di akaun bank pada waktu t, maka fungsi tersebut melompat bila wang disimpan atau ditarik, sehingga fungsi M (t) adalah berterusan
KESELANJARAN
PEMBEZAAN
Dalam kalkulus, pembezaan atau
terbitan merupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam
fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan
perubahan pembolehubah bebas
Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh
sebuah ungkapan dalam bentuk dy = \
frac{dy}{dx}\, dx sama seperti jika derivatif dy
/ dx mewakili keputusan bagi dari
kuantiti by dy dx kuantiti
Satu juga boleh menulis df(x) =
f'(x)\,dx.
Domain dari pembolehubah-pembolehubah ini dapat
mengambil makna geometri tertentu jika pembezaan ini dianggap sebagai bentuk pembezaan tertentu, atau
signifikansi analitis jika pembezaan ini dianggap sebagai hampiran linear
dengan peningkatan fungsi
Dalam aplikasi fizikal, pemboleh ubah dx
dan dy sering terhad sangat kecil ("sangat
kecil").
PENGAMIRAN
Diberi fungsi ƒ satu pemboleh ubah nyata x dan sela [a, b] garis nyata, kamiran tentu \int_a^b f(x)\,dx \, ,ditakrifkan secara tidak formal sebagai
luas bertanda bersih kawasan di satah-xy yang dibatasi
dengan graf ƒ, paksi-x, dan garis menegak x = a dan x =
b.Istilah kamiran juga boleh
merujuk kepada tanggapan antiterbitan, fungsi F yang
terbitannya ialah fungsi diberi ƒ. Dalam kes ini ia
dipanggil kamiran tak tentu, manakala kamiran yang
dibincangkan dalam rencana ini dipanggil kamiran tentu
jika f adalah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta had [a, b],
maka apabila antiterbitan F untuk f diketahui,
kamiran tentu f dalam had yang diberikan adalah \int_a^b f(x)\,dx = F(b) -
F(a)\,
kamiran garisan adalah kamiran untuk fungsi dengan dua atau tiga anu, dan had [a, b] diubah kepada satu
lengkungan yang menyambungkan dua titik dalam satu satah
atau ruang
Kamiran permukaan pula
merupakan kamiran sekeping permukaan dalam ruang tiga matra
SEJARAH
Penyelidiakan tentang topik kalkulus telah
dijalankan pada awal kurun ke-17
Penyelidikan dijalankan oleh Sir Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm
Leibniz
Penyelidikan Sir Isaac Newton
bermula apabila University of
Cambridge ditutup pada tahun 1665
yang menyebabkan beliau terpaksa
pulang ke tempat asalnya iaitu Lincolnshire.
Sir Isaac Newton telah mencipta
‘Method of Fluxions’, teori graviti dan teori cahaya selama 18
bulan di sana
Beliau telah menulis sebuah buku yang
berjudul ‘De Methodis Serierum et Fluxionum’ pada
tahun 1671
Buku tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson berjaya
menerbitkannya dalam versi Bahasa Inggeris pada tahun
1736
SEJARAH
Buku hasil tulisan Sir
Isaac Newton tidak
mempunyai simbol dan
rumus Gottfried Wilhelm
Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun 1673
Beliau merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan
pengamiran
Penerbitan pertamanya adalah
pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis et Minimis,
itemque Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’
Kemudian dua orang adik-
beradik Bernoulli iaitu Jacob dan
Johann mengambil idea
tersebut dan mengembangkan
nya
Sejak kurun ke-17, penyelidikan tentang kalkulus telah mula berkembang dan mencapai tahap
seperti yang sedia ada sekarang
PENGARUH PENTING
K o n se p k a lk u lu s te la h d ik e m b a n g k a n te r le b ih d a h u lu d i M e s ir , Y u n a n i, T io n g k o k , In d ia , Ira q , P e rs ia , d a n Je p u n
N a m u n p e n g g u n a a a n k a lk u lu s m o d e n d im u la i d i E ro p a p a d a a b a d k e -1 7 se w a k tu za m a n Isa a c N e w to n d a n G o ttf rie d W ilh e lm L e ib n iz
P e m a h a m a n y a n g le b ih te rp e r in c i m e n g e n a i ru a n g , w a k tu , d a n g e ra k .
PERINGKAT SEJARAH KALKULUS
Sejarah kalkulus pada Zaman Kuno
Sejarah kalkulus pada Zaman Pertengahan
Sejarah kalkulus pada Zaman Moden
SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN KUNO
Kalkulus Kamiran digunakan sebagai idea tetapi tidak dibentukkan
sebagai satu sistem yang formal
Idea terhadap pengiraan luas dan isipadu
menggunakan formula yang mudah sudah diketahui sejak zaman kuno lagi
Sebagai contoh, Egyptian Moscow papyrus
merupakan salah satu tamadun awal zaman kuno yang membuat pengiraan terhadap luas permukaan
dan pengiraan
Pada zaman Greek purba, seorang Tokoh Matematik Greek, Eudoxus (408-355 BC) telah menggunakan kaedah ‘exhaustion’, pelopor berkenaan had, untuk mengira luas dan isipadu. Eudoxus telah menghasilkan satu kaedah untuk mengira luas bulatan dengan menggunakan poligon sekata. Dia menambah bilangan sisi poligon tersebut untuk menyamai luas bulatan. Archimedes (287-212 BC) kemudiannya menggunakan idea tersebut, yang seakan-akan kaedah pengamiran untuk mengira pi, luas dan isipadu.
Archimedes mengira luas dengan membentuk turutan segitiga tidak terhingga daripada satu luas A dan kemudiannya menambah lebih banyak segitiga di antaranya. Beliau juga mencipta parabola untuk menganggarkan luas parabola. Mengkaji garisan tangan iaitu apa yang dikenali sebagai Archimedian Spiral. Beliau juga menganggarkan pi dan membuktikan persamaan geometrik daripada formula luas sebuah bulatan.
SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN PERTENGAHAN
Dalam awal tahun 1000, ahli Matematik Islam, Ibn al-Haytham
(Alhacen) merumus formula untuk penambahan kuasa empat
dalam janjang aritmetik yang kemudiannya digunakan dalam
membentuk pengamiran
Ahli Matematik India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan
membentukkan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan asas pembezaan
Pada kurun ke-12, ahli Matematik India, Bhaskara II memperkembangkan bentuk awal turunan yang mewakili
perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan
bentuk awal “Rolle Theorem”
Pada awal kurun ke-17, terdapat banyak perkembangan di dalam
Matematik. Minat terhadap pengaplikasian Matematik
semakin bertambah
Pengaruh kaedah Greek kuno semakin berkurang. Ahli-ahli
falsafah menggunakan Matematik untuk memahami
dunia dan alam semesta. Antara ahli falsafah yang terkenal ialah
seperti Galileo Galilei (1564-1642)
Kepler (1571-1630) menggunakan seksyen konik
untuk menerangkan sistem solar, menerangkan bahawa planet berputar mengelilingi matahari pada orbit yang berbentuk elips
dan beliau juga merumuskan bagaimana laju planet berputar
Cavalieri (1598-1647), dengan prinsip indivisibles, memotong kawasan planar ke dalam bentuk set segmen garisan tak terhingga atau memotong bentuk pepejal kepada set kawasan planar tak
terhingga. Cavalieri menunjukkan bahawa kamiran x^n dari 0 kepada a ialah a^(n+1)/(n+1) dengan
menunjukkan bilangan nilai n dan inferens. Roverval pula lebih cenderung dan melihat luas di antara
lengkungan dan garisan adalah dibuat hasil daripada nombor tak terhingga daripada corak
segiempat tepat yang padat, dan beliau menganggarkan kamiran x^m dari 0 kepada 1.
Pierre de Fermat (1601-1665), mengkaji maksimum dan minimum dengan
mempertimbangkan apabila tangen pada lengkungan adalah selari dengan paksi-x iaitu,
(f(x+e)-f(x))/e, membahagi sekiranya e bukan sifar dan menggugurkannya sekiranya e adalah sifar.
Beliau telah mencari nilai apa yang kita tulis sebagai ∫_0^a▒x^(p/q) dx. Beliau ialah di antara orang pertama yang menyedari bahawa hanya
dalam kes-kes tertentu, terdapat hubungkait antara permasalahan tangen dan luas. Johanne
Hudde (1628-1704) pula kemudiannya mengembangkannya dan menemukan peraturan algoritma untuk menentukan keceruanan garisan
tangen terhadap lengkungan arbitrari algebra
SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN MODEN
ISAAC NEWTON
Newton mengkaji asas-asas berkenaan kalkulus di
antara tahun 1665 sehinggalah tahun 1666
Beliau memperkenalkan prinsip penjumlahan, prinsip rantaian dan bidang tinggi
dalam terbitan untuk menyelesaikan
permasalahan fizik
Beliau menggunakan kalkulus untuk menjelaskan kebanyakan permasalahan
fizik di dalam bukunya Principia Mathematica
terbitan terhadap velositi komponen x dan y daripada
titik yang bergerak di sepanjang lengkungan, x
dan y diketahui dan mendefinisikan terbitan sebagai nisbah x dan y
Beliau juga telah membuat pengiraan berkenaan
terbitan pada mana-mana lengkungan algebra dengan
menggunakan ‘infinitesimals’ dan
pembezaan tersirat (implicit differentiation)
Newton menjelaskan bagaimana memfrasakan sekiranya A ialah luas di
bawah lengkungan y = f(x)
Newton imenentukan maksimum dan minimum
dengan menetapkan terbitan sama dengan sifar dan
kemudian menyelesaikannya
Beliau juga ialah orang yang telah menjumpai siri kuasa
bagi ex , sin x dan kos x
Gootfried von Wilhelm Leibniz (1646-1716)
beliau telah mengkaji bidang kalkulus di antara tahun 1675 sehinggalah
tahun 1677
Berdasarkan pendekatan beliau berkenaan terbitan
bagi perubahan ‘infinitesimal’ pada x dan y, di mana beliau menentukan
dx dan dy, dan mendefinisikan terbitan tersebut sebagai nisbah
bagi dy dan dx
Beliau tidak terlalu memfokuskan sama ada
atau tidak memikirkan bahawa dy dan dx sebagai
‘infinitesimals’
Beliau tidak mengembangkan apa-apa pendekatan berkaitan had, begitu juga dengan Newton
beliau telah menyusun secara sistematik idea-idea bagi
kalkulus berkenaan ‘infinitesimals’. Tidak seperti
Newton, Leibniz menyediakan tetapan peraturan yang jelas
untuk memanipulasi ‘infinitesimals’
Beliau telah mengkaji terbitan bagi fungsi kuasa, begitu juga dengan prinsip
gandaan dan pembahagian, dan menulis
apa sahaja berkenaan dengan pembezaan tetapi
tidak pada terbitan
Kajiannya membawa kepada penghasilan rumus
atau formula bagi penggandaan dan
peraturan rantaian seperti peraturan untuk terbitan
dan kamiran.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857). , terdapat banyak sumbangan tokoh-tokoh matematik lain
selepas mereka, kemudiannya mengembangkan idea-idea tersebut dengan lebih meluas.
Antaranya ialah Leonhard Euler (1707-1783), membuktikan banyak hasil dapatan berkaitan siri
dan siri kuasa, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), memperkenalkan istilah “derivative” dan
“f’(x)”, Augustin Louis Cauchy (1789-1857), mendefinisikan terbitan dalam istilah had.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Seterusnya, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), memberikan definisi
moden berkenaan integrals melalui Riemann Sums, Richard Dedekind (1831-1916),
memberikan ciri-ciri aksiomatik bagi nombor asli, Georg Cantor (1845-1918), mencipta teori set dan
membina nombor asli daripada nombor nisbah dengan menggunakan urutan Cauchy
APLIKASI KALKULUS
K a lk u lu s d ig u n a k a n d i s e tia p c a b a n g s a in s fiz ik , s a in s k o m p u te r, s ta tis tik , te k n ik , e k o n o m i, b is n e s , k e d o k to ra n d a n b id a n g -b id a n g y a n g la in . S e tia p k o n s e p d i m e k a n ik a k la s ik s a lin g b e rh u b u n g a n m e la lu i k a lk u lu s . M a s s a d a ri s e b u a h b e n d a d e n g a n m a s s a je n is y a n g tid a k d ik e ta h u i, m o m e n in e rs ia d a ri s u a tu o b je k , d a n to ta l e n e rg i d a r i s e b u a h o b je k
D a la m s u b d is ip lin lis tr ik d a n m a g n e tis m e , k a lk u lu s d a p a t d ig u n a k a n u n tu k m e n c a ri to ta l f lu k s d a ri s e b u a h m e d a n e le k tro m a g n e tik . C o n to h la in n y a a d a la h p e n g g u n a a n k a lk u lu s d i h u k u m g e ra k N e w to n , d in y a ta k a n s e b a g a i p e ru b a h a n la ju y a n g m e ru ju k p a d a tu ru n a n : L a ju p e ru b a h a n m o m e n tu m d a ri s e b u a h b e n d a a d a la h s a m a d e n g a n g a y a y a n g b e k e rja p a d a b e n d a te rs e b u t d e n g a n a ra h y a n g s a m a .
B a h k a n ru m u s u m u m d a ri h u k u m k e d u a N e w to n : G a y a = M a s s a × P e rc e p a ta n , m e n g g u n a k a n p e ru m u s a n k a lk u lu s d ife re n s ia l k a re n a p e rc e p a ta n b is a d in y a ta k a n s e b a g a i tu ru n a n d a r i k e c e p a ta n . T e o ri e le k tro m a g n e tik M a x w e ll d a n te o r i re la tiv ita s E in s te in ju g a d iru m u s k a n m e n g g u n a k a n k a lk u lu s d ife re n s ia l.
APLIKASI PEMBEZAAN
Ekonomi : pembezaan dapat mengenali keuntungan yang
dianggarkan dalam penjualan sesuatu barang atau modal
yang perlu dikeluarkan dalam membuat sesuatu barang
berdasarkan jumlah kuantitinya
membantu peniaga untuk membuat keputusan dalam perniagaannya berdasarkan
anggaran yang dibuat menggunakan pembezaan.
Kita dapat mengelakkan kerugian yang mungkin berlaku dalam sesuatu
perniagaan
menganggarkan nilai maksimum dan minimum dalam sesuatu perkara.
Contoh, menganggarkan keuntungan tertinggi dalam
sesuatu ataupun juga kuantiti maksimum dan minimum
yang boleh digunakan bagi mengelakkan kerugian
Dalam pembinaan bangunan, usahawan perlu
tahu kuantiti bahan yang digunakan dan pembezaan membantu dalam mencari
nilai maksimum atau minimum bagi memastikan
kualiti pengeluarannya adalah terjamin dan dalam masa yang sama kita tidak
mengalami kerugian
penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh
dianggarkan menggunakan pembezaan ini
bidang kejuruteraan dan juga sains, pelayaran kapal adalah
memang berbahaya kerana kita tidak kenal akan arah membawa
kapal dengan betul dan satu-satunya garis panduan yang
digunakan adalah melalui bintang dan cara itu juga adalah susah melihatkan cuaca yang
tidak menentu
dalam bidang kejuruteraan, pembezaan membantu dengan banyak dimana
dalam aplikasi piston, yang banyak digunakan bukan sahaja dalam perkapalan
tetapi juga kenderaan. membolehkan kita
mengaplikasikan piston yang digunakan dalam kenderaan
mencari kadar perubahan atau ‘rate of change’ tidak
kira dalam tindak balas kimia mahupun benda lain. Boleh mencari kadar tindak balas
sesuatu bahan kimia terhadap bahan lain dan ini
membantu kita untuk menciptaan pelbagai peralatan atau bahan
kegunaan harian