Sérgio Nuno Gonçalves Nº18
Curso de Educação e Formação de Adultos (EFA)
Tecnologias de Informação e Comunicação Multimédia (UFCD)
INSTITUITO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, IP
A RAZÃO
ÁUREA
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INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como tema a “Proporção Áurea” e assenta sobretudo no
desenvolvimento de três questões: a Origem e contexto histórico do princípio da
Proporção Áurea, a sua constatação e demonstração e ainda a sua aplicação nos
tempos modernos, nomeadamente, design, arquitetura, etc.
O trabalho foi desenvolvido no âmbito do curso de Tecnologias de Informação e
Comunicação do Instituto de Emprego e Formação Profissional, no módulo de Design
Comunicação e Multimédia, ministrado pelo formador Sr. Arquiteto Pereira.
Utilizei diversas figuras ao longo do trabalho, de forma a ser mais fácil explicar
o que pretendia transmitir.
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ORIGEM E CONTEXTO HISTÓRICO DO PRINCIPIO DA PROPORÇÃO ÁUREA
A Proporção Áurea, pode ser designada de diversas formas, nomeadamente:
Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, divina
secção, divina proporção, divisão de extrema razão e ainda razão de Phidias.
O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que surge numa
infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, é considerado por muitos como
uma oferta de Deus ao mundo.
O número de Ouro é designado pela letra grega (PHI).
Convencionou-se que o valor do número áureo seria de: 1,618.
A designação adotada para este número, f (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de
Fídias que foi o escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.
A história deste enigmático número perde-se na antiguidade.
Pirâmides Egípcias
No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: A razão
entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de
ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de
ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. Também muitos
hieroglíficos têm proporções baseadas na razão áurea.
Figura 1 – Pirâmides de Gizé Figura 2 – Hieroglíficos Egípcios
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Partenon Grego
Construído muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a. C.) , também o Partenon
Grego um templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo
que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela
e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias.
Figura 3 - Partenon Grego
Figura 4 - Partenon Grego
Euclides
Também Euclides, no seu livro “Os Elementos”, utilizou o número de ouro para construir o
primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos nomeadamente o
dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).
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Figura 5 - pentágono regular Figura 6 - Dodecaedro
Pitágoras
Também os Pitagóricos usaram a seção de ouro na construção da estrela pentagonal ou
pentagrama. Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono
regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em
proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as
medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea. Quando
Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este
símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos
que levava Pitágoras a dizer que " tudo é número ", ou seja, que a natureza surge de padrões
matemáticos. No entanto, não conseguiram exprimir como quociente entre dois números
inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do
pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram
muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e
defendiam que lhe chamaram irracional. Deste modo, o número de ouro foi o primeiro
número irracional que que se teve consiciência que o era.
Figura 7 – Estrela Pentagonal
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Fibonacci
A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o número de ouro está relacionada
com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à
sequência de números de Fibonacci. Este matemático que estudava o crescimento das
populações de coelhos criou aquela que é provalmente a mais famosa sequência matemática
(a sequência de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos,
Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e
chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores, em
que os dois primeiros números são 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fêmea):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, ...
As razões entre um número desta sequência e o que o antecede vão-se aproximando
do número de ouro: 1,618.
1/1=1; 2/1=1; 3/2=1,5; 8/5=1,6; 13/8= 1,625; 21/13=1,6184
Estas razões variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618.
exactamente a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro. Assim, a
proporção de crescimento média da série é 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma
nova ideia de tal proporção que os ciêntistas começaram a estudar a natureza em termos
matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.
Gregos – Retângulo Áureo
Posteriormente também os gregos consideraram que o rectângulo apresentava esta
relação, nomeadamente: se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos
dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um retângulo de ouro. O
retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes,
nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade.
Figura 8 – Retângulo de Ouro
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Construção de um retângulo de Ouro:
Material necessário: folha de papel, lápis, compasso e régua ou esquadro.
Procedimento:
1. Desenhar um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro);
2. Marcar os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado; 3. Traçar a reta que passa pelos pontos médios (verificar que o quadrado ficou dividido
em dois retângulos congruentes); 4. Num dos retângulos traçar uma das suas diagonais. 5. Com o compasso desenhar a circunferência que tem centro no ponto médio de onde
parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal; 6. Prolongar o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o
comprimento do retângulo de ouro)
Um retângulo de ouro tem uma propriedade muito interessante, nomeadamente: se o
dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetindo
este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral
a que se dá o nome de Espiral de Ouro.
Figura 9 – Espiral de Ouro
Contribuição de Leonardo da Vinci
Uma contribuição muito importante para a proporção áureia foi a de Leonardo Da
Vinci. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como
a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.
Leonardo da Vinci representou bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco
sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus
conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte.
Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco
pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência. O
desenho conhecido por “Homem de Vitruvius”, ilustra a velha tese Pitágórica segundo a qual
“o homem é a medida de todas as coisas”. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a
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ideia muito concreta de que cada secção do corpo humana é uma medida (percentagem) do
todo.
Figura 10 - Homem de Vitruvius
A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco
e a cabeça, bem como nos elementos da face, no entanto, como é uma característica inerente
ao ser humano, as tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a
anatomia tenha sido respeitada.
Figura 11 – Retrato de Mona Lisa
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CONSTAÇÃO E DEMONSTRAÇÃO
Cálculo do número:
A razão áurea é definida algebricamente como:
A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
Cancelando b em ambos os lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por resulta:
Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as
parcelas por encontramos:
que é uma equação quadrática da forma
em que
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
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A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
que é o número
Construção do segmento áureo:
O número de ouro pode ser obtido a partir de um segmento de reta qualquer. Considere
um ponto C, dividindo esse segmento em dois segmentos menores e de modo que a
razão entre o comprimento do segmento dividido pelo comprimento do segmento seja
igual à razão do comprimento de dividido pelo comprimento de .
1º Dado um segmento AB qualquer, obtemos o ponto médio de AB da seguinte forma: com
centro do compasso em A e em B traçamos circunferências que se intercetam como mostra a
figura abaixo, ligando os pontos onde os arcos intercetaram:
2º Usando régua e compasso, traçamos uma reta perpendicular a AB , pelo ponto B com
metade do comprimento de AB:
3º Com o compasso faça centro em B, traçando uma circunferência que intercete a
perpendicular no ponto C de raio BM.
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4º O novo segmento BC é perpendicular a AB medindo a metade de AB . Unindo os pontos A e
C obtemos um triângulo ABC:
5º Com o centro do compasso em C abrindo até B, marcamos um novo ponto em AC
(hipotenusa) do triângulo:
6º Finalmente com o centro do compasso no vértice A , abrindo até E marcamos em AB o
ponto D. Este é o ponto que divide o segmento AB em média e extrema razão, ou ainda, a
maior parte de AB é 1,618…vezes a menor parte de AB.
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APLICAÇÃO DA RAZÃO ÁUREA NOS TEMPOS MODERNOS, NO DESIGN, ARQUITETURA, NATUREZA, ETC
A Proporção Áurea está presente em imensas situações.
Arte:
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de
Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo
motivo de o autor representar a perfeição da beleza.
Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro
(aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte
renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa
constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes
dava para retratar a realidade com mais perfeição.
A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a
cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser
humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia
tenha sido respeitada. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa
estão situados em subdivisões áureas da tela.
Figura 12 – Aplicação da proporção áurea na Arte
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Arquitetura:
Diversos Edifícios projetados por Lê Corbuier, ou a sede das Nações Unidas contêm elementos
arquitetônicos na forma de retângulo de ouro. Assim como obras como o Parthenon.
Figura 13 – Aplicação da proporção áurea na Arquitetura
Nos Tempos Modernos:
Atualmente a proporção áurea ainda é muito usada. A verdade é que ao padronizar–se
internacionalmente algumas medidas usadas no nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram
“respeitar” a proporção divina, nomeadamente a razão entre o comprimento e a largura de
um Cartão de Crédito, identidades, modelo da carta de condução, embalagens, alguns livros,
jornais, uma foto revelada, etc.
Também o logotipo da Apple foi desenhado sobre as Proporções Áureas, bem como, o Iphone.
Figura 14 – Logotipo da Apple Figura 15 – Iphone
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Literatura:
No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea
em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys. Na pesquisa Ghyka
relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.
Música:
O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o
exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5 de Beethoven . O compositor húngaro Béla
Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra ,
bem como o francês Claude Debussy.
Também no jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos
compassos.
Cinema:
O diretor russo Sergei Eisenstein utilizou a Proporção Áurea no filme “O Encouraçado
Potemkin” para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo
tamanho das fitas de película.
Natureza:
- Vegetais:
Semente de girassol – A razão em que aumenta o diâmetro das espirais de sementes
de um girassol é a razão áurea.
Achillea ptarmica – A Razão do crescimento de seus galhos.
Folhas das Árvores – A Razão em que diminuem as folhas de uma árvore à medida que
subimos de altura.
- Animais:
População de abelhas – A razão entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
Concha do caramujo Nautilus – A razão em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. amplamente difundida! (vide "O número de Ouro", Michel Spira, palestra OBMEP, 2006; Colaboração: Prof. Francisco Teodorico Pires de Souza)
Outros – o número de ouro está também presente nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.
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- Corpo Humano:
A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão;
A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça;
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax;
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo;
Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta;
A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão;
A medida do pénis humano e a medida da palma de sua mão.
Figura 16 – Razão áurea numa mão
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CONCLUSÃO
Gostei muito de realizar este trabalho, uma vez que percebi melhor que realmente
muitas coisas do nosso dia-a-dia contêm matemática, desde a arte, até às grandiosas
construções, bem como na natureza.
Falando na natureza, até no nosso próprio corpo, temos uma ligação eterna com a
matemática, estabelecida através da proporção áurea, encontrada nas mais diversas partes do
corpo.
Conclui que o número de ouro é considerado por muitos estudiosos um símbolo da
harmonia. Surgiu da necessidade que os antigos tinham de utilizar a contagem como forma
matemática para aplicá-las em seus negócios. Fibonacci deu uma grande contribuição à
Geometria com a sua descoberta, a qual está relacionada com a solução do problema dos
coelhos. Todos esses exemplos nos levam a perceber quão grande é a importância deste
número que por este motivo foi chamado “de ouro”.