Michele Campiti
Prove scritte di
Analisi Matematica 1Ingegneria Industriale
a.a. 2010–2011
x
y
f
g
0
1
La funzione seno e la funzione esponenziale
Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1” per Ingegneria Industriale, Facoltà di
Ingegneria, Università del Salento
1
Facoltà di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I10 gennaio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
(z2 − i) ((1 + |z|)Re 2z − i− |Im z|+ iRe z) = 0 .
2. Calcolare3√
(i− 1)2 .
3. Studiare il seguente limite
limx→0
ex cosx− 13√x+ log(1 + sinx)
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
e−x(x2 − sin2 x) log x .
5. Teoria: La funzione arcoseno. Definizione e grafico.
6. Teoria: Il teorema sul limite delle funzioni composte (con dim.).
2
Soluzione della prova di esonero Lecce, 10 gennaio 2011, A
1. Si deve avere z2 − i = 0 oppure (1 + |z|)Re 2z − i − |Im z| + iRe z =0; la prima equazione ha come soluzioni le radici quadrate di i, cioèz = ±
√2(1 + i)/2. Nella seconda equazione, posto z = x + iy, si
ottiene (1 +√
x2 + y2)x2 − i− |y|+ ix = 0 e, separando le parti realied immaginarie, {
x2 + x2√
x2 + y2 − |y| = 0 ,−1 + x = 0 ;
dalla seconda equazione si ricava x = 1 e sostituendo nella prima,1+√
1 + y2−|y| = 0 da cui√
1 + y2 = |y|−1; quest’ultima equazionepuò ammettere solo soluzioni y tali che |y| ≥ 1 (in quanto i due membridevono essere positivi) ma, elevando al quadrato i due membri, siottiene 1 + y2 = y2 − 2|y| + 1 da cui y = 0, che non verifica talecondizione. Quindi le uniche soluzioni sono date da z = ±
√2(1+ i)/2.
2. Si ha i−1 =√2(cos 3π/4+ i sin 3π/4) e quindi (i−1)2 = 2(cos 3π/2+
i sin 3π/2). Dalla formula sul calcolo delle radici si ottengono le solu-zioni
wk =3√2
(cos
3π/2 + 2kπ
3+ i sin
3π/2 + 2kπ
3
), k = 0, 1, 2 .
Quindi
w0 =3√2(cos
π
2+ i sin
π
2
)=
3√2i ,
w1 =3√2
(cos
7π
6+ i sin
7π
6
)= −
3√2(√3 + i)
2,
w2 =3√2
(cos
11π
2+ i sin
11π
2
)=
3√2(√3− i)2
.
3. Si tiene innanzitutto presente che 3√x+ log(1+ sinx) ∼ 3
√x in quanto
3√x è un infinitesimo di ordine 1/3 mentre log(1 + sinx) ∼ sinx ∼ x è
un infinitesimo di ordine 1. Quindi
limx→0
ex cosx− 13√x+ log(1 + sinx)
= limx→0
ex cosx− 13√x
= limx→0
cosx(ex − 1) + (cosx− 1)3√x
;
il numeratore è somma dell’infinitesimo cosx(ex − 1) di ordine 1 edell’infinitesimo cosx−1 di ordine 2; quindi cosx(ex−1)+(cosx−1) ∼cosx(ex − 1) ∼ ex − 1 ∼ x da cui si ottiene il limite limx→0
x3√x= 0.
3
4. Il termine e−x è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande; iltermine x2 − sin2 x ∼ x2 è un infinito di ordine 2 e infine log x èun infinito di ordine arbitrariamente piccolo; quindi la funzione è uninfinitesimo di ordine arbitrariamente grande da cui limx→+∞ e
−x(x2−sin2 x) log x = 0.
4
Facoltà di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I10 gennaio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
(|z|+ i− iRe z) (z − z) = 0 .
2. Calcolare4
√(√3 + i
)6.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
(log(1 + ex)− log 2) (cosx− 1) − x4√cosx− 1
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
arctan(x+ sinx) log(1 + ex)3√x+ x
.
5. Teoria: La funzione arcotangente. Definizione e grafico.
6. Teoria: Il teorema sulla somma di due infinitesimi e di due infiniti (condim.).
5
Soluzione della prova di esonero - Lecce, 10 gennaio 2011, B
1. Deve essere |z| + i − iRe z = 0 oppure z − z = 0. Separando le partireali ed immaginarie nella prima equazione si ottiene il sistema{
|z| = 0 ,1− Re z = 0 ,
da cui si ricava da un lato z = 0 e dall’altro Re z = 1; quindi il sistemaottenuto non ha soluzioni. La seconda equazione z − z = 0 equivalea −2iIm z = 0, cioè Im z = 0; quindi le soluzioni sono date da tutti inumeri complessi con parte immaginaria nulla: z = x con x ∈ R.
2. Si ha√3+i = 2 (cosπ/6 + i sinπ/6) e quindi (
√3+i)6 = 64 (cosπ + i sinπ).
Dalla formula sulle radici n-esime, le radici quarte sono date da
wk = 24√4
(cos
π + 2kπ
4+ i sin
π + 2kπ
4
), k = 0, 1, 2, 3 .
Sostituendo i valori di k si ottengono le soluzioni cercate.
3. Si ha
(log(1 + ex)− log 2) (cosx− 1) = log(1 +
ex − 12
)(cosx− 1)
∼ ex − 12
(−12x2)
∼ −x3
4
e quindi il numeratore è somma di un infinitesimo di ordine 3 e di unodi ordine 4; pertanto il numeratore è equivalente a −x3/4.Per quanto riguarda il denominatore si ha
√cosx− 1 =
√1 + (cosx− 1)− 1 ∼ 1
2(cosx− 1) ∼ −1
4x2 .
si ottiene quindi il limite
limx→0
(log(1 + ex)− log 2) (cosx− 1) − x4√cosx− 1
= limx→0
= limx→0
−x3/4x2/4
= 0 .
4. Poiché x+ sinx ∼ x per x → +∞, si ha limx→+∞ arctan(x+ sinx) =π/2; inoltre 1 + ex ∼ ex e quindi log(1 + ex) ∼ log ex = x; infine3√x + x ∼ x in quanto 3
√x è un infinito di ordine 1/3 mentre x ha
ordine 1. Pertanto
limx→+∞
arctan(x+ sinx) log(1 + ex)3√x+ x
=π
2lim
x→+∞
x
x=
π
2.
6
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I10 gennaio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z − i |z| = i .
2. Calcolare3√
(1 + i)6 .
3. Studiare il seguente limite
limx→0
cos(e(x2) − 1)− e(x2)
log(1 + sin2 x).
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
(2 + sinx)x
log x arctan(−x).
5. Teoria: La funzione logaritmo. Definizione e grafico.
6. Teoria: Teoremi di confronto sui limiti (con dim.).
7
Soluzione della prova di esonero Brindisi, 10 gennaio 2011, A
1. Posto z = x+ iy, si ottiene x− iy− i√
x2 + y2 = i e separando le partireali ed immaginarie si ottiene il sistema{
x = 0 ,
−y −√
x2 + y2 = 1 ;
quindi x = 0 e sostituendo nella seconda equazione −y − |y| = 1;considerando separatamente i casi y ≥ 0 e y < 0 si riconosce chel’ultima equazione non ha soluzioni e quindi l’equazione assegnata nonha soluzioni.
2. Si ha 1+i =√2 (cosπ/4 + i sinπ/4) e quindi (1+i)6 = 8 (cos 3π/2 + i sin 3π/2).
Utilizzando la formula sulle radici n-esime si ottengono le soluzioni
wk = 2
(cos
3π/2 + 2kπ
3+ i sin
3π/2 + 2kπ
3
), k = 0, 1, 2 ,
e sostituendo i valori di k si ottengono le soluzioni richieste.
3. Si ha cos(e(x2) − 1) − e(x2) =
(cos(e(x
2) − 1)− 1)+(1− e(x2)
)∼
−12(e(x
2) − 1)2
−(e(x
2) − 1)∼ −12x
4 − x2 e tenendo presente che idue addendi hanno ordini uguali a 4 e rispettivamente 2, si ha
cos(e(x2) − 1)− e(x2) ∼ −x2 .
Per quanto riguarda il denominatore si ha log(1+sin2 x) ∼ sin2 x ∼ x2e quindi il limite richiesto è uguale a −1.
4. Si ha x ≤ (2 + sinx)x ≤ 3x e quindi il numeratore è un infinitodi ordine 1. Al denominatore la funzione log x è un infinito di ordinearbitrariamente piccolo e la funzione arctan(−x) tende a−π/2. Quindila funzione è un infinito e tenendo presente che il suo segno è negativoper x > 1, il limite richiesto è uguale a −∞.
8
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I10 gennaio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z2 − |z|2 i+ i = 1 .
2. Calcolare4
√(−1 +
√3 i)3
.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
ecosx − ee(x2) − cosx
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
x3 + x sinx
arctanx+ e−x + ex.
5. Teoria: La funzione esponenziale. Definizione e grafico.
6. Teoria: Il teorema sul limite della funzione reciproca.
9
Soluzione della prova di esonero, Brindisi, 10 gennaio 2011, B
1. Posto z = x + iy, si ottiene x2 − y2 + 2xyi − (x2 + y2) i + i = 1 eseparando le parti reali ed immaginarie si ottiene il sistema{
x2 − y2 = 1 ,2xy − x2 − y2 + 1 = 0 .
Dalla prima equazione si ottiene x2 = 1 + y2 e quindi, dalla seconda,±2√
1 + y2 y − 1− y2 − y2 + 1 = 0, da cui ±√
1 + y2 y = y2; tenendopresente che il secondo membro è positivo deve essere
√1 + y2 y = y2;
quindi si ottiene y = 0 oppure√
1 + y2 = y che non ha soluzioni (deveessere y ≥ 0 in quanto il primo membro è positivo ed elevando alquadrato si ottiene 1+y2 = y2 da cui 1 = 0 che è impossibile). Quindideve essere y = 0 e dalla prima si ricava x2 = 1 da cui x = ±1. Quindivi sono due soluzioni z = ±1.
2. Si ha −1 +√3 i = 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) e quindi
(−1 +
√3 i)3
=8(cos 2π + i sin 2π) = 8(cos 0 + i sin 0) e quindi, applicando la formulasulle radici, si ottengono le soluzioni
wk =4√8
(cos
kπ
2+ i sin
kπ
2
), k = 0, 1, 2, 3 .
Sostituendo i valori di k, si ottengono le soluzioni richieste.
3. Per quanto riguarda il numeratore si ha ecosx − e = e(ecosx−1 − 1
)∼
e(cosx−1) ∼ −ex2/2; analogamente per quanto riguarda il denomina-tore si ha e(x
2)− cosx =(e(x
2) − 1)+(1− cosx) ∼ x2+x2/2 = 3x2/2
e quindi il limite richiesto diventa
limx→0
ecosx − ee(x2) − cosx
= limx→0
−ex2/23x2/2
= −e3.
4. Al numeratore si ha x3+x sinx ∼ x3 mentre al denominatore il terminearctanx tende a π/2, il termine e−x tende a 0 e infine il termine ex è uninfinito di ordine arbitrariamente grande da cui arctanx+e−x+ex ∼ exe quindi il limite richiesto è uguale a 0.
10
Facoltà di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 gennaio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
|z|2 − 2zRe z = 0 .
2. Calcolare
3
√i3
4(1 + i)2.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
e√1+x − e√
x log(1 +√x) + x2
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
(x3 + log x) log(1 + e−x)
arccot2x.
5. Teoria: Massimi e minimi assoluti e relativi di una funzione. Punti dimassimo e minimo relativo ed assoluto.
6. Teoria: Ordine del prodotto di due infinitesimi e di due infiniti.
11
Soluzione della prova di esonero, Lecce, 12 gennaio 2011, A
1. Posto z = x + iy si ottiene x2 + y2 − 2x(x + iy) = 0 e separando leparti reali ed immaginarie si ottiene il sistema{
y2 − x2 = 0 ,2xyi = 0 .
Dalla seconda equazione deve essere x = 0 oppure y = 0 e sostituendonella prima si ricava che l’unica soluzione è z = 0.
2. Si ha i = cosπ/2 + i sinπ/2 da cui i3 = cos 3π/2 + i sin 3π/2; inoltre1 + i =
√2(cosπ/4+ i sinπ/4) da cui (1 + i)2 = 2(cosπ/2+ i sinπ/2).
Quindi
i3
4(1 + i)2=
1
8
(cos
(3
2π − π
2
)+ i sin
(32π − π
2
))=
1
8(cosπ + i sinπ) .
Dalla formula sulle radici si ottengono le soluzioni
wk =1
2
(cos
π + 2kπ
3+ i sin
π + 2kπ
3
), k = 0, 1, 2 ,
e assegnando i valori 0, 1 e 2 a k si ottiene l’espressione esplicita dellesoluzioni.
3. Per quanto riguarda il numeratore si ha e√1+x−e = e
(e√1+x−1 − 1
)∼
e(√1 + x−1) ∼ ex/2. Al denominatore vi è la somma dell’infinitesimo√
x log(1+√x) ∼
√x√x = x di ordine 1 e dell’infinitesimo x2 di ordine
2. Quindi il denominatore è equivalente a x e il limite diventa
limx→0
e√1+x − e√
x log(1 +√x) + x2
= limx→0
ex/2
x=
e
2.
4. Al numeratore vi è l’infinito x3 + log x ∼ x3 di ordine 3 e l’infini-tesimo log(1 + e−x) ∼ e−x di ordine arbitrariamente grande; quindiil numeratore è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande. Ildenominatore invece è un infinitesimo di ordine 2 e quindi il limite èuguale a 0.
12
Facoltà di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 gennaio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z2 − z2 + 4− Im z = 0 .
2. Calcolare
4
√i+ 1
(1− i)7.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
cos(√
1 + x− 1)− 1
log(1 + x2)− log(1 + x).
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
(√1 + e−x − 1
) (cos2 x+ x5
).
5. Teoria: Funzioni monotone e monotone in un punto. Proprietà erelazioni.
6. Teoria: Teorema sul limite delle funzioni monotone (caso reale edinfinito).
13
Soluzione della prova di esonero, Lecce, 12 gennaio 2011, B
1. Posto z = x+ iy, si ha x2 − y2 + 2xyi− x2 + y2 + 2xyi+ 4− y = 0 eseparando le parti reali ed immaginarie, si ottiene il sistema{
4− y = 0 ,4xy = 0 ,
da cui si ottiene y = 4 e x = 0; quindi vi è un’unica soluzione z = 4i.
2. Si ha 1+i =√2(cosπ/4+i sinπ/4) e 1−i =
√2(cos−π/4+i sin−π/4),
da cui (1− i)7 = 8√2(cos−7π/4 + i sin−7π/4). Quindi
i+ 1
(1− i)7=
1
8(cos 2π + i sin 2π) =
1
8(cos 0 + i sin 0) ,
e le radici quarte si ottengono applicando la formula sulle radici:
wk =4
√1
8
(cos
kπ
2+ i sin
kπ
2
), k = 0, 1, 2, 3 .
Sostituendo i valori di k, si ricavano esplicitamente le radici richieste.
3. Per quanto riguarda il numeratore si ha
Studiare il seguente limite cos(√
1 + x− 1)−1 ∼ −
(√1 + x− 1
)2/2 ∼
− (x/2)2 /2 = −x2/8. Al denominatore invece vi è la somma dell’infini-tesimo log(1+x2) ∼ x2 di ordine 2 e dell’infinitesimo − log(1+x) ∼ −xdi ordine 1. Quindi il denominatore è equivalente a −x e il limitediventa
limx→0
cos(√
1 + x− 1)− 1
log(1 + x2)− log(1 + x)= lim
x→0
−x2/8−x
= 0 .
4. Il termine√1 + e−x−1 ∼ e−x/2 è un infinitesimo di ordine arbitraria-
mente grande, mentre il termine cos2 x+x5 ∼ x5 (in quanto compresotra x5 − 1 e x5 + 1) è un infinito di ordine 5. Quindi il prodotto è uninfinitesimo di ordine arbitrariamente grande ed il limite è uguale a 0.
14
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 gennaio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
zRe z + i Im 2z = 1 .
2. Calcolare
3
√(1 + i)2
(1− i)2.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
e1−cosx −√1 + x√
sin4 (√x)
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
arctan (e−x) ex (x2 + sinx)
x+ cosx.
5. Teoria: Funzioni pari, dispari e periodiche. Definizioni e proprietà.
6. Teoria: Limiti notevoli di tipo trigonometrico.
15
Soluzione della prova di esonero, Brindisi, 12 gennaio 2011, A
1. Posto z = x+iy, si ottiene (x+iy)x+iy2 = 1, da cui x2+xyi+iy2 = 1e separando le parti reali ed immaginarie si ottiene il sistema{
x2 = 1 ,xy + y2 = 0 ,
da cui si ricava x = ±1 e, sostituendo nella seconda, y(±1 + y) = 0,da cui y = 0 oppure y = ∓1. Quindi si hanno quattro soluzioni dateda z = ±1 e z = ±1∓ i.
2. Si ha 1 + i =√2(cosπ/4 + i sinπ/4) da cui (1 + i)2 = 2(cosπ/2 +
i sinπ/2) e analogamente 1 − i =√2(cos−π/4 + i sin−π/4) da cui
(1− i)2 = 2(cos−π/2 + i sin−π/2). Pertanto
(1 + i)2
(1− i)2=
2
2
(cos(π2−(−π2
))+ i sin
(π2−(−π2
)))= cosπ+i sinπ .
Dalla formula delle radici si ottengono le soluzioni
wk = cosπ + 2kπ
3+ i sin
π + 2kπ
3, k = 0, 1, 2 ,
che possono essere scritte in maniera esplicita sostituendo i valori dik.
3. Per quanto riguarda il numeratore si ha e1−cosx−√1 + x =
(e1−cosx − 1
)+(
1−√1 + x
)∼ (1− cosx)− x/2 e poiché 1− cosx ha ordine 2 men-
tre −x/2 ha ordine 1 tutto il numeratore è equivalente a −x/2. Perquanto riguarda il denominatore si ha
√sin4 (
√x) ∼
√(√x)
4= x.
Pertanto il limite diventa
limx→0
e1−cosx −√1 + x√
sin4 (√x)
= limx→0
−x/2x
= −12.
4. Per quanto riguarda il numeratore si ha innanzitutto limx→+∞ arctan (e−x) ex =
limx→+∞ arctan (e−x) /e−x = 1 e quindi si ottiene il limite
limx→+∞
x2 + sinx
x+ cosx= lim
x→+∞
x2
x= +∞
(si è utilizzato il fatto che x2 + sinx ∼ x2 in quanto −1 ≤ sinx ≤ 1 eanalogamente x+ cosx ∼ x).
16
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 gennaio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z Im z +Re 2z + (i) = 0 .
2. Calcolare
4
√(1− i)2
(1 + i)2.
3. Studiare il seguente limite
limx→0
3√cosx− e
√x
cos ( 3√x)− 1
.
4. Studiare il seguente limite:
limx→+∞
log(x2 + sinx) + x arctanx√x+
1
x log(1 + x−2)
.
5. Teoria: Estremo superiore ed inferiore di una funzione e di una suc-cessione. Numero di Nepero.
6. Teoria: Forme indeterminate.
17
Svolgimento della prova di esonero, Brindisi, 12 gennaio 2011,B
1. Posto z = x+ iy e tenendo presente che (i) = −i si ottiene (x+ iy)y+x2−i = 0 e separando le parti reali ed immaginarie si ottiene il sistema{
xy + x2 = 0 ,y2 − 1 = 0 .
Dalla seconda equazione si ricava y = ±1 e sostituendo nella primax(±1 + x) = 0 da cui x = 0 oppure x = ∓1. Quindi si ottengono lequattro soluzioni z = ±i e z = ∓1± i.
2. Si ha 1− i =√2(cos−π/4+ i sin−π/4) da cui (1− i)2 = 2(cos−π/2+
i sin−π/2) e analogamente 1+ i =√2(cosπ/4+ i sinπ/4) da cui (1 +
i)2 = 2(cosπ/2 + i sinπ/2). Pertanto
(1− i)2
(1 + i)2=
2
2
(cos(−π2− π
2
)+ i sin
(−π2− π
2
))= cosπ + i sinπ .
Dalla formula delle radici si ottengono le soluzioni
wk = cosπ + 2kπ
4+ i sin
π + 2kπ
4, k = 0, 1, 2, 3 ,
che possono essere scritte in maniera esplicita sostituendo i valori dik.
3. Per quanto riguarda il numeratore si ha 3√cosx−e
√x = ( 3
√1 + (cosx− 1)−
1) + (1 − e√x) ∼ (cosx − 1)/3 −
√x ∼ −x2/6 −
√x e poiché −x2/6
ha ordine 2 mentre −√x ha ordine 1/2, tutto il numeratore è equiva-
lente a −√x. Analogamente per il denominatore si ha cos( 3
√x)− 1 ∼
−( 3√x)2/2 = −x2/3/2. Pertanto
limx→0
3√cosx− e
√x
cos ( 3√x)− 1
= limx→0
−x2/6−x2/3/2
= 0 .
4. Per quanto riguarda il numeratore si ha che il log(x2 + sinx) è uninfinito di ordine arbitrariamente piccolo in quanto x2 + sinx ∼ x2mentre x arctanx è un infinito di ordine 1 equivalente a πx/2 in quantolimx→+∞ arctanx = π/2. Quindi tutto il numeratore è equivalente aπx/2. Al denominatore vi è l’infinito
√x di ordine 1/2 sommato ad un
infinito di ordine 1 (infatti x log(1 + x−2) = (log(1 + x−2)/x−2)/x ∼1/x) equivalente ad x. Quindi il denominatore è equivalente ad x.Pertanto
limx→+∞
log(x2 + sinx) + x arctanx√x+
1
x log(1 + x−2)
= limx→+∞
πx/2
x=
π
2.
18
Facoltà di Ingegneria, LecceSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I4 marzo 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞∑n=1
(−1)n
nlog
√n− 1√n
log n .
2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =
√e2x
ex − e.
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos 3x
(sin3 3x− sin 5x
)dx .
4. Teoria: Caratterizzazione sequenziale del limite.
5. Teoria: Formula di Taylor con il resto di Peano (dim.).
19
Cenni sulla soluzione della prova di esonero Lecce, 4 marzo2011, A
1. La condizione necessaria è soddisfatta. Inoltre log√n−1√n
< 0 mentre
log n > 0 per n > 1 e quindi la serie è a segni alterni. Il termine gene-rale è un infinitesimo di ordine < 3/2 e > 3/2− ε per ogni ε ∈]0, 3/2[.Quindi la serie converge assolutamente per il criterio sull’ordine diinfinitesimo.
2. Per quanto riguarda la funzione, essa è definita nell’intervallo ]1,+∞[.Ha un asintoto verticale in alto a destra nel punto 1 e non ha asinto-ti orizzontali o obliqui. È derivabile infinite volte (l’argomento dellafunzione radice non si annulla mai e le altre funzioni sono derivabiliinfinite volte) e si ha, per ogni x ∈]1,+∞[
f ′(x) =ex − 2e2(ex − e)
√e2x
ex − e, f ′′(x) =
e2x − 2ex+1 + 4e2
4(ex − e)2
√e2x
ex − e.
Si omette per brevità lo studio del segno.
3. Conviene dividere l’integrale in due parti:∫cos 3x
(sin3 3x− sin 5x
)dx =
∫cos 3x sin3 3x dx−
∫cos 3x sin 5x dx .
Il primo integrale è immediato (una primitiva è la funzione sin4 3x/4)e il secondo si calcola facilmente usando le formule di prostaferesi.
20
Facoltà di Ingegneria, LecceSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I4 marzo 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞∑n=1
(−1)n(e1/n
2 − e1−cos 1/n)
.
2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =
√ex − 1e2x
.
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin 2x
(cos4 2x− sin 6x
)dx .
4. Teoria: Proprietà delle estratte di una successione e Teorema di Bol-zano (dim.).
5. Teoria: Formula di Taylor con il resto di Lagrange.
21
Cenni sulla soluzione della prova di esonero Lecce, 4 marzo2011, B
1. Si ha
e1/n2 − e1−cos 1/n = e1/n2 − 1−
(e1−cos 1/n − 1
)∼ 1
n2−(1− cos 1
n
)∼ 1
n2− 1
2n2=
1
2n2,
e quindi il termine generale è un infinitesimo di ordine 2. Pertanto laserie è assolutamente convergente e quindi convergente.
2. Per quanto riguarda la funzione, essa è definita nell’intervallo [0,+∞[.Non ha asintoti verticali ma ha un asintoto orizzontale a destra diequazione y = 0. È derivabile infinite volte in ]0,+∞[ (nel punto0 invece è solo dotata di derivata uguale a +∞) e si ha, per ognix ∈]0,+∞[,
f ′(x) =2− ex
2ex√ex − 1
, f ′′(x) =e2x − 6ex + 4
4ex(ex − 1)√ex − 1
.
Si omette per brevità lo studio del segno.
3. Conviene dividere l’integrale in due parti:∫sin 2x
(cos4 2x− sin 6x
)dx =
∫sin 2x cos4 2x dx−
∫sin 2x sin 6x dx .
Il primo integrale è immediato (una primitiva è la funzione− cos5 2x/5)e il secondo si calcola facilmente usando le formule di prostaferesi.
22
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I28 febbraio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞∑n=1
(−1)n(√
1 +1
n2− 1
).
2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = e(x−1)/|x| .
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫6x
(x− 2)(x3 − 8)dx .
4. Teoria: Criterio di convergenza di Cauchy (dim.).
5. Teoria: Integrabilità delle funzioni monotone (dim.).
23
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I28 febbraio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞∑n=1
(−1)n log(cos
1
n+ sin
1
n3
).
2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = ex/|x−1| .
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫3x
(x− 1)(x3 − 1)dx .
4. Teoria: Definizione di massimo e minimo limite di una successione.
5. Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.).
24
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I7 marzo 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare le radici seste del numero complesso:
z =(3 + (1 + 2i)2
)2.
2. Dire se si può applicare il criterio di Leibnitz alla seguente serie nu-merica (giustificare la risposta):
+∞∑n=1
(−1)n log n+ (−1)n
n.
3. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = ecosx | sinx| .
4. Calcolare il seguente integrale indefinito usando preferibilmente le for-mule di ricorrenza: ∫
log7 x dx .
25
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I7 marzo 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =((3− 2i)2 + 12i
)2.
2. Dire se si può applicare il criterio di Leibnitz alla seguente serie nu-merica (giustificare la risposta):
+∞∑n=1
cos(nπ) sinπ
n.
3. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = ecosx | cosx| .
4. Calcolare il seguente integrale indefinito usando preferibilmente le for-mule di ricorrenza: ∫
log5 x dx .
26
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 7 marzo 2011
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =((3− 2i)2 + 12i
)2.
2. Dire se si può applicare il criterio di Leibnitz alla seguente serie nu-merica (giustificare la risposta):
+∞∑n=1
cos(nπ) sinπ
n.
3. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = ecosx | cosx| .
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e1
log2 x dx .
27
Facoltà di Ingegneria, LecceProva integrativa di Analisi Matematica I7 marzo 2011
Prof. Michele Campiti
1. Dire a quali delle seguenti serie si può applicare il criterio di Leibnitz(giustificare la risposta):
+∞∑n=1
(−1)n log n+ (−1)n
n,
+∞∑n=1
cos(nπ) sinπ
n.
2. Scrivere il polinomio di Taylor di grado 4 nel punto 0 della funzione:
f(x) = esinx .
28
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I7 marzo 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =i+ 1
(i− 1)3.
2. Dire se si può applicare il criterio di Leibnitz alla seguente serie nu-merica (giustificare la risposta):
+∞∑n=1
arctan
((−1)n
n
)1
n.
3. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = cosx+ 2| sinx| .
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10
x3 cos(πx) dx .
29
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I7 marzo 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare le radici quadrate del numero complesso:
z =
√3 i+ 1
(√3 i− 1)3
.
2. Dire se si può applicare il criterio di Leibnitz alla seguente serie nu-merica (giustificare la risposta):
+∞∑n=1
(−1)n tan(cos(nπ))n
.
3. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = | sinx|+ 2 cosx .
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10
x2 sin(π2x)dx .
30
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 270 — 21 marzo 2011, traccia A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x+ 1| e−x .
2. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =(1− i)2
(1−√3 i)3
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n2en
πn.
4. Dire quale dei seguenti integrali impropri è convergente e calcolarlo:∫ 10
log
(1 +
1√x
)dx ,
∫ +∞1
log
(1 +
1√x
)dx .
31
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 270 — 21 marzo 2011, traccia B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x| e1−x .
2. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =1− i
(√3 + i)3
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n2 2n
(n+ 1)3 3n.
4. Dire quale dei seguenti integrali impropri è convergente e calcolarlo:∫ 10
arctan1√xdx ,
∫ +∞1
arctan1√xdx .
32
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 21 marzo 2011 - B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x| e1−x .
2. Calcolare le radici quarte del numero complesso:
z =1− i
(√3 + i)3
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
n2 2n
(n+ 1)3 3n.
4. Calcolare il seguente integrale:∫ √21
arctan1
xdx .
33
Facoltà di Ingegneria, LecceProva Integrativa di Analisi Matematica Idal DM 509 al DM 270 — 21 marzo 2011 - A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n2en
πn.
2. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 4 della funzione
f(x) = log(1 + arctanx2
)nel punto x0 = 0.
34
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I21 marzo 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x+ log x
x.
2. Calcolare le radici terze del numero complesso:
z =(1− i)4
1−√3 i
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n(1 + cosn)(n+ 1)3
.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log3 x+ log2 x
) dx .
35
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I21 marzo 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x+ log x
x.
2. Calcolare le radici terze del numero complesso:
z =(1 + i)4√
3− i.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n√n | cosn|(n+ 1)2
.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log2 x+ 1
)2 dx .
36
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 270 — 16 maggio 2011, traccia A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x2 − x| e−x .
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
x− log(1 + x)3 3√ex − 3− x
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n! cos(nn)
nn.
4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ +∞0
sin(πx)√|x2 − x|3
dx .
37
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 270 — 16 maggio 2011, traccia B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x2 + x| ex .
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
sinx+ e−x − 1log(1 + x2)− x2
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n (n+ 1)! sin(n!)(n+ 1)n
.
4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ +∞0
1− cos(πx)√|x(x− 2)|5
dx .
38
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 16 maggio 2011 - B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x2 − x| e−x .
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
x− log(1 + x)3 3√1 + x− 3− x
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n! cos(nn)
nn.
4. Calcolare il seguente integrale:∫ e1
log x
x(1 + log2 x)dx .
39
Facoltà di Ingegneria, LecceProva Integrativa di Analisi Matematica Idal DM 509 al DM 270 — 16 maggio 2011 - A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n (n+ 1)! sin(n!)(n+ 1)n
.
2. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 4 della funzione
f(x) = arctan(log(1 + x2
))
nel punto x0 = 0.
40
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I17 maggio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = x e−|x2−x| .
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
sinx− xex2 − x2 − 1
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n (n+ 1)! arctan(nn)
nn.
4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ π/20
(2x− π) tanxx3/2
dx .
41
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I17 maggio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = x e−|x2+x| .
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
log(1 + x)− xcosx+ ex2
.
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n! arctan(n!)(n+ 1)n
.
4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ π/20
x cotx
(2x− π)3/2dx .
42
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 23 maggio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =|x|
x− 1ex .
2. Calcolare le soluzioni complesse della seguente equazione:
z2 |z|2 − 27 i z̄ = 0 .
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
+∞∑n=1
(−1)n n3 sin 1n
(1
n− sin 1
n
).
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ log 5log 4
ex
e2x − 5ex + 6dx .
43
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I11 luglio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =x ex
1− x.
2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z + |z|2 = i(z + Im (z)) .
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n(2n+ 3
5n+ 7
)n.
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10
√x− 5
x+ 3√x+ 2
dx .
44
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I11 luglio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =x e−x
x+ 1.
2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z2 + |z|2 = iz + 1 .
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n(2n2 + 3n
3n2 + 5
)n.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫2√x+ 1
x− 3√x+ 2
dx .
45
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 11 luglio 2011 - B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =x ex
1− x.
2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z + |z|2 = i(z + Im (z)) .
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n(2n+ 3
5n+ 7
)n.
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10
x2 − 5x2 + 3x+ 2
dx .
46
Facoltà di Ingegneria, LecceProva Integrativa di Analisi Matematica Idal DM 509 al DM 270 — 11 luglio 2011 - A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n(2n+ 3
5n+ 7
)n.
2. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 della funzione
f(x) =x ex
1− x.
nel punto x0 = 0.
47
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I11 luglio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =(x+ 1) e−x
x.
2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso:
z2 − |z|2 = iz .
3. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n(3n3 + 2n2 + 1
5n3 + 2
)n.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x2
x2 − 3x+ 2dx .
48
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I25 luglio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x− 2 log x
x.
2. Trovare le radici quarte del numero complesso:
1− i(√3 + i)3
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→2
1√x− 2
log9(x− 1)3
(x+ 1)2.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log3 x+ log x
) dx .
49
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I25 luglio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x− log x
x.
2. Trovare le radici quarte del numero complesso:
(1− i)2
(1−√3 i)3
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→1
1√x− 1
log(3x− 2)3
x2.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log3 x− log2 x
) dx .
50
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica IDM 509 — 25 luglio 2011 - B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x− log x
x.
2. Trovare le radici quarte del numero complesso:
(1− i)2
(1−√3 i)3
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
1√x
log(2x− 1)4
(x+ 1)2.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log2 x− log x
) dx .
51
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I25 luglio 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =2 log2 x− 3 log x
x.
2. Trovare le radici quarte del numero complesso:
−2 (1 + i)(1 +√3 i)
(√3 + i)3
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
(1− cos 3x) log3(1 + 2 sinx)(√1− sin3 x− 1
)(2x+ tan4 x)
.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log2 x− 2 log x+ 3
) dx .
52
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I25 luglio 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 x+ 2 log x
x.
2. Trovare le radici quarte del numero complesso:
−2 (√3 + i)3
(1 + i)(1 +√3 i)
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
sin2(2x) log3(1 + tanx)
(cos3 x− 1) (2x+ arcsin3 x).
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
x(log2 x− 7 log x+ 6
) dx .
53
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I12 settembre 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x2 − 1| e−|x| .
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n arctann log nn2
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
log(cos2 x)
ex2 − cosx.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cosx
sin3 x− sin2 xdx .
54
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I12 settembre 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = |x| e−|x2−1| .
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n n3 e−n .
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
3√1 + x3 − cosx
x2.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sinx
(cos2 x+ 1)2dx .
55
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I13 settembre 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = log |sinx+ cosx| .
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n sinnn2
.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
arctanx
xlog x .
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sinx
cos2 x− 1dx .
56
Facoltà di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I13 settembre 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) = log |sinx− cosx| .
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
(−1)n e−n cosn .
3. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
e− arctanx log x
log(log x).
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1
cosx tan2 xdx .
57
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I6 dicembre 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =
∣∣log2 x− log x∣∣x
.
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
n2 4n
(−5)n.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
arctan(1− esin2 x
)1− cos(ex − 1)
.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x3 − 1x2 − 9
dx .
58
Facoltà di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I6 dicembre 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:
f(x) =log2 |x| − log |x|
x.
2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie nu-merica:
+∞∑n=1
n3 2n
(−e)n.
3. Calcolare il seguente limite:
limx→0
arcsin(1− cos2 x
)1− ex2
.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x3 − 27x2 + 4
dx .