7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
1/59
ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR
(USULAN PENELITIAN UNTUK PROGRAM DOKTOR)
Diajukan oleh:
M. Andy Rudhito
07/260028/SPA/157
Kepada:
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Yogyakarta, Agustus 2008
i
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
2/59
USULAN PENELITIAN
ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR
yang diajukan oleh:
M. Andy Rudhito
07/260028/SPA/157
telah disetujui oleh:
Promotor
Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Tanggal: ........................................
Ko-promotor
Dr. Ari Suparwanto, M.Si. Tanggal: ........................................
Ko-promotor
Dr. Frans Susilo, S.J. Tanggal: ........................................
ii
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
3/59
USULAN PENELITIAN
ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR
yang diajukan oleh:
M. Andy Rudhito
07/260028/SPA/157
telah direvisi sesuai dengan masukan pada saat ujian komprehensif
dan disetujui oleh tim penguji:
1. Dr. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Tanggal: ........................................
2. Dr. Budi Surodjo, M.Si. Tanggal: ........................................
3. Prof Dr. Widodo, M.S. Tanggal: ........................................
iii
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
4/59
DAFTAR ISI
Halaman Judul i
Halaman Persetujuan Tim Promotor ii
Halaman Persetujuan Tim Penguji iii
Daftar Isi iv
I. PERUMUSAN MASALAH 1
I.1. Pengantar 1
I.2. Tinjauan Pustaka 4
I.3. Batasan Masalah Penelitian 7
I.4. Perumusan Masalah Penelitian 8
I.5. Keaslian Penelitian 8
II. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN 10
II.1. Tujuan Penelitian 10
II.2. Manfaat Penelitian 10
III. METODE PENELITIAN 12
IV. KERANGKA PEMIKIRAN TEORITIS 18
IV. 1. Aljabar Max-Plus Interval 18
IV.1.1. Landasan Teori 18
IV.1.2. Kerangka Pemikiran Teoritis 24
IV.1.3. Hipotesis 26
IV.1.4. Rencana Penelitian 27
IV.1.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan 27
IV. 2. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur 28
IV.2.1. Landasan Teori 28
IV.2.2. Kerangka Pemikiran Teoritis 31
IV.2.3. Hipotesis 32
IV.2.4. Rencana Penelitian 33
IV.2.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan 33
iv
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
5/59
v
IV.3. Penerapan pada Masalah Penjadwalan Kabur dan
Jaringan Antrian Kabur 34
IV.3.1. Landasan Teori 34
IV.3.2. Kerangka Pemikiran Teoritis 41
IV.3.3. Hipotesis 42
IV.3.4. Rencana Penelitian 43
IV.3.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan 43
V. RANCANGAN JADWAL PENELITIAN 45
DAFTAR PUSTAKA 46
Lampiran: 51
Curriculum Vitae Peneliti 51
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
6/59
I. PERUMUSAN MASALAH
I.1. Pengantar
Aljabar max-plus (himpunan semua bilangan real Rdilengkapi dengan
operasi max dan plus) telah dapat digunakan dengan baik untuk memodelkan dan
menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, seperti masalah:
penjadwalan (proyek) dan sistem antrian, lebih detailnya dapat dilihat pada
Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), Krivulin, N.K. (2001).
Pemodelan matematika yang dibahas di atas kebanyakan masih berupa
model deterministik, di mana waktu aktifitas dalam jaringan berupa bilangan real
(positip). Model ini mengasumsikan adanya informasi dan pengetahuan yang
sempurna/pasti mengenai waktu aktifitas dalam jaringan tersebut, sementara
dalam kenyataanya ada faktor ketidakpastian. Untuk menangani faktor
ketidakpastian dalam waktu aktifitas ini, model deterministik dikembangkan
menjadi model probabilistik. Dalam model ini waktu aktifitas dipandang sebagai
variabel random dengan distribusi tertentu. Distribusi variabel random ini
biasanya disusun berdasarkan data-data yang diperoleh setelah jaringan
dioperasikan untuk jangka waktu tertentu. Penggunaan aljabar max-plus untuk
model stokastik juga telah dikembangkan, seperti dalam Bacelli, et al. (2001),
Boom, T.J.J., et al. (2003), Heidergott, B. B, et. al. (2005).
Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu jaringan di mana waktu
aktifitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan,
data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun
distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman
1
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
7/59
maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Misalkan,
dalam masalah penjadwalan proyek, pimpinan proyek menyatakan: waktu yang
diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan ini sekitar 5 bulan. Seiring dengan
perkembangan teori kabur (fuzzy), konstanta maupun parameter seperti di atas
ditangani sebagai bilangan kabur (fuzzy number). Waktu aktifitas jaringan
dimodelkan dengan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan
bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001) dan Soltoni, A.,
Haji, R. (2007). Sedangkan untuk masalah model jaringan yang melibatkan
bilangan kabur dapat dilihat pada Lthi, J., Haring, G. (1997).
Pemodelan dan analisa pada masalah-masalah jaringan dengan waktu
aktifitas yang bilangan kabur, sejauh peneliti ketahui, belum ada yang
menggunakan pendekatan max-plus aljabar seperti halnya yang telah dilakukan
untuk model deterministik dan probabilistik. Seperti telah diketahui pendekatan
penyelesaian masalah jaringan dengan menggunakan aljabar max-plus dapat
memberikan hasil analitis dan lebih mempermudah dalam komputasinya.
Pendekatan aljabar max-plus untuk menyelesaikan masalah-masalah jaringan
menggunakan konsep-konsep dasar seperti: aljabar max-plus dan perluasannya ke
dalam matriks dan vektor, sistem persamaan linear max-plus dan nilai eigen dan
vektor eigen max-plus, seperti dalam Rudhito (2003). Dengan demikian, untuk
menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur, seperti
penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, dengan pendekatan aljabar max-
plus, aljabar max-plus perlu digeneralisasi menjadi aljabar max-plus bilangan
kaburdan konsep-konsep yang terkait di dalamnya.
2
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
8/59
I.2. Tinjauan Pustaka
Aljabar max-plus secara umum merupakan semiring idempoten komutatif,
yang lebih lanjut merupakan semifield. Konsep-konsep dasar aljabar max-plus
secara lengkap telah dibahas dalam Bacelli, et al. (2001). Secara lebih khusus
dalam Rudhito (2003), telah dibahas konsep-konsep dasar aljabar max-plus untuk
penerapan dalam masalah jaringan, yang meliputi: aljabar max-plus dan
perluasannya ke dalam matriks dan vektor, sistem persamaan linear max-plus dan
interpretasi aljabar max-plus dalam teori graf. Penerapan aljabar max-plus untuk
masalah penjadwalan telah dibahas dalam Rudhito, A. (2004), sedangkan untuk
masalah jaringan antrian telah dibahas dalam Krivulin, N.K. (1996). Secara lebih
khusus dalam Krivulin, N.K (2000) telah dibahas penerapan aljabar max-plus
dalam jaringan antrian yang banyak digunakan dalam penerapan, yaitu tipe Fork-
Join Taksiklik (Acyclic Fork-Join). Analisa waktu siklik layanan (service cycle
times) jaringan antrian tipe tersebut dengan pendekatan max-plus telah dibahas
dalam Krivulin, N.K (2001).
Banyak literatur yang membahas mengenai konsep himpunan kabur, relasi
kabur dan bilangan kabur beserta operasi dan sifat-sifatnya, di antaranya dapat
dilihat dalam Zimmermann, H.J., (1991), Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006).
Operasi-operasi aritmatika seperti +, , , /, max dan min pada bilangan kabur
pada umumnya didefinisikan dengan menggunakan Prinsip Perluasan (Extension
Principle) dan dengan menggunakan potongan- (-cut) yang didasarkan pada
Teorema Dekomposisi. Hal ini dapat dilihat dalam Zimmerman, H.J. (1991) Lee,
K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006). Dalam Susilo, F. (2006) dinyatakan bahwa,
3
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
9/59
setiap bilangan kabur, yang mana merupakan himpunan kabur, dapat dinyatakan
secara tunggal dengan menggunakan potongan--nya. Karena potongan- suatu
bilangan kabur berupa interval tertutup maka operasi-operasi aritmatika pada
bilangan kabur dapat dinyatakan menggunakan operasi-operasi aritmatika selang
tertutup. Ditegaskan juga dalam Susilo, F. (2006) bahwa operasi bilangan kabur
dengan menggunakan Prinsip Perluasan dan dengan menggunakan potongan-
adalah ekivalen.
Pembahasan mengenai semiring telah dikembangkan ke dalam Analisis
Interval Idempoten (Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001)). Analisis Interval
Idempoten ini membahas semiring dengan elemen-elemennya berupa interval
tertutup. Dalam literatur ini dikatakan bahwa himpunan semua interval tertutup
dalam suatu semiring idempoten juga merupakan semiring idempoten dengan
operasi yang bersesuaian. Ditunjukkan juga bahwa sifat-sifat yang dimiliki
semiring juga dimiliki oleh semiring himpunan semua interval tertutup tersebut.
Dengan demikian aljabar max-plus, yang merupakan semiring dapat
diperluas ke dalam aljabar max-plus interval, di mana elemen-elemennya berupa
interval tertutup dalam aljbar max-plus tersebut. Selanjutnya akan dapat dibahas
juga matriks atas aljabar max-plus interval dan matriks preseden suatu graf
berarah dengan bobot yang berupa interval.
Dengan mempertimbangkan hasil-hasil yang dapat diperoleh dalam
analisis interval idempoten (Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001)) maka akan
sangat menguntungkan jika pengoperasian bilangan kabur dilakukan dengan
menggunakan potongan-, yang berupa interval tertutup dalam himpunan semua
4
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
10/59
bilangan real. Selanjutnya dengan didasarkan pada Teorema Dekomposisi,
kiranya dapat dikembangkan struktur aljabar max-plus bilangan kabur dan
perluasannya ke dalam matriks aljabar max-plus bilangan kabur yang diharapkan
akan menjadi dasar pembahasan penelitian ini.
Sebagai dasar dalam pemodelan dan penyelesaian masalah jaringan secara
aljabar, salah satu konsep yang penting adalah sistem persamaan linear. Masalah
sistem persamaan linear dengan bilangan kabur (sistem linear kabur) telah mulai
banyak dibahas dengan operasi dasar penjumlahan dan perkalian pada bilangan
kabur. Dalam Zhang, Q., et. al. (2004) dibahas latar belakang matematik, prinsip-
prinsip dan formulasi yang dapat diimplementasikan secara nyata dalam masalah
rekayasa. Dehghan, M. and Hashemi, B. (2006) membahas penyelesaian sistem
linear kabur dengan menggunakan metode iterasi dengan cara memperluas
algoritma yang telah ada ke dalam versi kabur. Penyelesaian yang lebih umum
untuk sistem linear kabur dengan bilangan kabur trapezium dapat dilihat dalam
Horcik, R. (2006). Skalna, I., et.al. (2007) membahas penyelesaian sistem linear
kabur dengan metode untuk penyelesaian interval luar, metode elemen hingga dan
metode analisis sensitifitas.
Konsep-konsep dalam aljabar max-plus mempunyai interpretasi yang kuat
dengan konsep-konsep dalam teori graf. Perkembangan teori kabur juga telah
berakibat pada perkembangan teori graf kabur. Salah satu tipe dalam graf kabur
adalah graf dengan bobot yang berupa bilangan kabur, sementara titik dan
rusuknya tegas (crisp). Secara lebih lengkap dapat dibaca dalam Blue, M. et.al.
(1997) . Dalam literatur ini dibahas tentang taxonomi graph kabur, permasalahan
5
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
11/59
standar dalam teori graph dalam versi kabur dan beberapa algoritma
penyelesaiannya dengan menggunakan peringkat (ranking) bilangan kabur.
Eslahchi, C and. Onagh B. N. (2005) menuliskan beberapa konsep dasar graph
kabur dan masalah pewarnaan dan bilangan kromatik yang terkait.
Masalah penjadwalan dalam versi kabur, di mana waktu aktifitasnya
berupa bilangan kabur juga telah dibahas oleh beberapa peneliti. Yao, J.S and
Lin, F.T., (2000) membahas metode peringkat bertanda untuk menyelesaikan
masalah lintasan kritis kabur. Chanas, S., Zielinski, P. (2001) menggunakan
Prinsip Perluasan untuk menyusun metode penghitungan derajat kekritisan
lintasan kabur. Chanas, S. et.al. (2002) membahas generalisasi durasi aktifitas
yang berupa interval ke dalam durasi kabur dan mengembangkan algoritma untuk
menentukan derajat kepastian kritis suatu lintasan dengan memperluas algoritma
standar yang sudah ada dalam masalah lintasan kritis. Penerapan masalah lintasan
kritis kabur dalam sistem operasi kargo bandar udara untuk meningkatkan
pelayanan telah dibahas dalam Han, T.C., et.al. (2006). Soltoni, A., Haji, R.
(2007) secara lebih khusus membahas masalah penjadwalan proyek untuk
bilangan kabur segitiga dengan mendasarkan pada masalah pemrograman linear.
Masalah penjadwalan PERT dengan informasi tentang durasi tugas yang tidak
lengkap telah dibahas dalam Dubois, D. et.al. (2007).
Pembahasan antrian kaburdi mana waktu layanan berupa bilangan kabur
juga telah dibahas oleh beberapa peneliti. Lthi, J., Haring, G. (1997) membahas
jaringan antrian kabur , di mana bilangan maupun parameter yang terlibat dalam
jaringan antrian digantikan dengan bilangan kabur, selanjutnya kinerja jaringan
6
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
12/59
antrian dievalusi dengan menggunakan pendekatan Analisis Nilai Tengah (Mean
Value Analysis (MVA)). Kao, et.al. (1997) menganalisa antrian kabur dengan
pendekatan pemrograman parametrik, di mana waktu antar kedatangan dan waktu
layanan antrian berupa bilangan kabur. Chen, Shih-Pin (2004) menganalisa
antrian kabur dengan pendekatan pemrograman nonlinear parametrik, di mana
kecepatan kedatangan dan kecepatan layanan antrian berupa bilangan kabur. Ke,
et.al. (2006) membahas model antrian ulangan (retrial) dengan parameter kabur.
Pardo & Fuente (2007) membahas optimisasi model antrian prioritas-disiplin
dengan menggunakan himpunan kabur.
I.3. Batasan Masalah Penelitian
Agar permasalahan dalam penelitian ini dapat terfokus dan sesuai dengan
waktu yang direncanakan, maka perlu dilakukan pembatasan masalah. Batasan-
batasan yang diberikan dala penelitian ini adalah:
1. Bilangan kabur khusus yang akan banyak dibahas adalah bilangan kabur
segitiga, hal ini dengan pertimbangan kemudahan dalam menanganinya.
2. Penerapan aljabar max-plus bilangan kabur dibatasi pada masalah jaringan
kabur lebih lanjut dibatasi pada masalah penjadwalan kabur dan jaringan
antrian kabur.
3. Masalah penjadwalan kaburmeliputi penentuan lintasan kritis kabur, aktifitas
kritis kaburdan waktu ambang (slack) kabur.
4. Jaringan antrian yang akan dibahas adalah jaringan antrian tipe Fork-Join
Taksiklik. Analisis jaringan antrian difokuskan pada waktu siklus layanan.
7
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
13/59
I.4. Perumusan Masalah Penelitian
Berdasarkan uraian dalam pengantar, tinjauan pustaka dan batasan
masalah di atas, secara umum rumusan masalah penelitian ini adalah: Bagaimana
perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus bilangan kabur dan konsep-
konsep yang terkait di dalamnya untuk menyelesaikan masalah penjadwalan kabur
dan jaringan antrian kabur. Secara terperinci masalah penelitian ini adalah:
1. Bagaimanakah perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus
bilangan kabur?
2. Bagaimanakah perluasan matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks atas
aljabar max-plus bilangan kabur?
3. Bagaimanakah eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
linear max-plus bilangan kabur ?
4. Bagaimanakah eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen max-
plus bilangan kabur ?
5. Bagaimanakah penerapan aljabar max-plus bilangan kabur untuk
menyelesaikan masalah penjadwalan kabur ?
6. Bagaimanakah penerapan aljabar max-plus bilangan kabur untuk
menganalisa jaringan antrian kabur?
I.5. Keaslian Penelitian
Berdasarkan kajian yang telah peneliti lakukan, pembahasan aljabar max-
plus dan penerapannya masih sebatas model deterministik dan stokastik.
Pembahasan aljabar max-plus dalam versi kabur maupun dalam himpunan semua
bilangan kabur, sejauh kajian yang telah peneliti lakukan, belum ada yang
8
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
14/59
membahas. Pembahasan masalah penjadwalan kabur dan jaringan antrian kabur
sejauh ini masih dengan mengembangkan metode yang sudah ada, seperti
algoritma heuristik, PERT-CPM, MVA untuk bilangan kabur dengan
memanfaatkan hasil-hasil pada analisis interval. Penyelesaian masalah di atas
dengan menggunakan pendekatan aljabar, khususnya aljabar max-plus bilangan
kabur, sejauh kajian yang telah peneliti lakukan, belum ada yang membahas.
Dengan demikian penelitian ini merupakan penelitian baru di bidang struktur
aljabar dan penerapannya dalam bidang optimisasi kombinatorik, khususnya riset
operasi.
9
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
15/59
II. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN
II.1. Tujuan Penelitian
Penelitian ini secara umum bertujuan untuk memperluas aljabar max-plus
menjadi aljabar max-plus bilangan kabur dan menerapkannya pada masalah
penjadwalan kabur dan jaringan antrian kabur. Secara terperinci tujuan penelitian
ini adalah:
1. Menghasilkan perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus
bilangan kabur.
2. Menghasilkan perluasan matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks atas
aljabar max-plus bilangan kabur.
3. Menghasilkan teori mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian
sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
4. Menghasilkan teori mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan
vektor eigen max-plus bilangan kabur.
5. Menghasilkan suatu model dan penyelesaian masalah penjadwalan kabur
dengan pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur.
6. Menghasilkan suatu model dan analisa pada jaringan antrian kaburdengan
pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur.
II.2. Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan beberapa manfaat
sebagai berikut:
10
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
16/59
1. Memberikan landasan teori bagi peneliti yang berminat mengembangkan
penelitian mengenai jaringan kaburdengan pendekatan aljabar max-plus.
2. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti dan praktisi mengenai alternatif
pendekatan penyelesaian masalah penjadwalan kabur dan analisa jaringan
antrian kabur.
3. Sebagai pengembangan ilmu aljabar dan teori kabur, khususnya struktur
aljabar bilangan kabur.
4. Memberikan teori pembanding bagi peneliti yang ingin mengembangkan
teori yang paralel dengan teori ini.
11
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
17/59
III. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian yang didasarkan pada studi literatur
yang meliputi kajian-kajian secara teoritis. Untuk mencapai tujuan penelitian ini,
langkah awal yang dapat dilakukan adalah mempelajari dan mengkaji secara
mendalam dan menyeluruh terhadap buku dan karya ilmiah yang dijadikan dasar
dan yang membangkitkan masalah pada penelitian ini.
Selain yang membangkitkan masalah, dikaji juga karya-karya ilmiah
pendukung yang dapat memberikan jembatan untuk menyelesaikan masalah
dalam penelitian ini. Pada tahap ini diperlukan ketelitian untuk mengamati
fenomena-fenomena yang muncul untuk dibuat kaitan dengan masalah-masalah
yang akan diselesaikan. Dilihat pula proses generalisasi dan penerapan struktur
aljabar yang telah dilakukan peneliti lain, yang akan digunakan sebagai dasar
penelitian ini. Proses yang analog akan dilakukan pada struktur aljabar dan
masalah yang akan diteliti. Selanjutnya dilakukan penelitian terhadap sifat-sifat
yang disajikan dalam proposisi, lemma, teorema dan akibat yang berlaku dalam
sruktur dan penerapan yang baru ini. Dalam tahap eksplorasi yang terkait dengan
perhitungan-perhitungan teknis penelitian akan mengunakan bantuan program
komputer, yaitu MATLAB, dengan menuliskan sejumlah program yang
dibutuhkan.
Tahap-tahap yang akan dilakukan dalam pelaksanaan penelitian ini
diberikan pada diagram alur berikut:
12
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
18/59
Diagram Alur Tahap-tahap Pelaksaan Penelitian:
Nilai Eigen dan Vektor
Eigen max-plus .
Bacelli (2001), Rudhito
(2003), dll.
Aljabar max-plus, dan
Matriks atas aljabar
max- plus.Bacelli
(2001), Rudhito (2003),
Sistem persamaan
linear maxplus.Bacelli
(2001), Rudhito (2003),
dll
Himpunan, Teorema
Dekomposisi, bilangan
kabur.Lee(2005),
Analisis interval idempoten.
Litvinov(2001), dll
Susilo (2006), dll.
Penerapan aljabar max-plus
pada masalah penjadwalan.
Bacelli (2001)Rudhito (2004),
Penerapan aljabar max-plus
pada analisa jaringan
antrian. Krivulin (2001), dll
Penerapan aljabar max-plus
bilangan kabur pada
masalah penjadwalan kabur.
Penerapan aljabar max-plus
bilangan kabur pada
analisa jaringan antrian
Masalah penjadwalan kabur.
Chanas (2003), Soltoni
(2007), dll
Masalah jaringan antrian
kabur.Lthi (1997).
dll
Aljabar max-plus interval,
dan Matriks atas aljabar
maxplus interval
Sistem persamaan
linear max-plus
interval
Nilai Eigen dan
Vektor Eigen
max-plus interval
Aljabar max-plus
bilangankaburdan
Matriks atas aljabar
maxplus bilangankabur.
Sistem persamaan
linear max-plus
bilangan kabur
T. I
Nilai Eigen dan
Vektor Eigen max-
plus bil. kabur
T. II
T. III
13
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
19/59
Secara rinci dapat dijelaskan sebagai berikut:
Dalam diagram di atas, hal-hal dalam kotak yang dicetak tipis menyatakan
landasan teori yang akan diperluas dalam versi kabur. Hal-hal dalam kotak yang
dicetak putus-putus menyatakan landasan teori yang menjadi jembatan dalam
memperluas ke versi interval dan kabur. Sedangkan hal-hal dalam kotak yang
dicetak tebal merupakan masalah antara (T. I) dan masalah utama yang akan
dibahas (T. II dan T. III). Dalam landasan teori dituliskan referensi utama yang
sementara diperoleh, diharapkan sejalan dengan penelitian akan ditelusuri terus
teori pendukungnya. Penelitian ini terdiri dari tiga tahap besar.
TAHAP I ( T. I ) :
Mula-mula dicermati kembali landasan teori yang menjadi dasar dan
jembatan dalam menyelesaikan masalah-masalah pada Tahap I ini secara
komprehensif, sehingga diharapkan diperoleh hasil penelitian yang mendasari
penelitian tahap berikutnya. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian
pada tahap ini adalah sebagai berikut.
Aljabar Max-Plus Interval:
Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi dan operasi interval. Selanjutnya
dengan memperhatikan struktur aljabar max-plus, akan dikonstruksikan aljabar
max-plus interval beserta relasi urutan di dalamnya.
Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval:
Dengan memperhatikan hasil pada matriks atas aljabar max-plus dan hasil pada
aljabar max-plus interval di atas akan dikonstruksikan aljabar matriks atas aljabar
max-plus interval dan vektor max-plus interval, beserta relasi urutan di dalamnya.
14
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
20/59
Sistem Persamaan Linear Max-Plus (SPL):
Diperhatikan kembali hasil-hasil pada sistem persamaan max-plus dan hasil pada
dua pembahasan di atas akan dibahas eksistensi dan ketunggalan penyelesaian
SPL max-plus interval. SPL max-plus interval yang dibahas meliputi SPL input-
output dan SPL iteratif max-plus interval. Hasil pembahasan di sini akan
melandasi pembahasan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Interval
Dengan memperhatikan hasil nilai eigen dan vektor eigen max-plus dan hasil-
hasil pembahasan di atas akan dibahas eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan
vektor eigen max-plus interval. Hasil pembahasan di sini akan melandasi
pembahasan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
TAHAP II ( T. II ) :
Tahap ini merupakan bagian utama penelitian ini. Penelitian dilakukan
dengan mencermati kembali hasil-hasil yang telah diperoleh dalam Tahap I dan
mengkombinasikannya dengan konsep bilangan kaburdan operasiannya melalui
potongan--nya yang didasarkan pada Teorema Dekomposisi. Tahap-tahap dan
rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah sebagai berikut.
Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur:
Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi dan operasi bilangan kaburmelalui
potongan--nya yang didasarkan pada Teorema Dekomposisi. Selanjutnya dengan
memperhatikan struktur aljabar max-plus interval, akan dikonstruksikan aljabar
max-plus bilangan kabur.
Matriks atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur:
15
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
21/59
Diperhatikan kembali hasil pembahasan matriks atas aljabar max-plus interval dan
aljabar max-plus bilangan kabur pada tahap sebelumnya. Selanjutnya akan
dikonstruksikan matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur dan vektor max-
plus bilangan kabur beserta operasi dan sifat-sifatnya.
Sistem Persamaan Linear Max-Plus Bilangan Kabur:
Diperhatikan kembali hasil-hasil pada sistem persamaan max-plus interval dan
hasil pada tahap sebelumnya. Selanjutnya akan dibahas penyelesaian sistem
persamaan linear max-plus bilangan kabur, yang meliputi sistem input-output dan
sistem iteratif, beserta sifat-sifat yang terkait.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Bilangan Kabur:
Dengan memperhatikan hasil nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval dan
hasil-hasil pembahasan pada tahap sebelumnya akan dibahas nilai eigen dan
vektor eigen max-plus bilangan kabur, serta sifat-sifatnya.
TAHAP III ( T. III ) :
Dalam tahap ini yang akan dibahas penerapan hasil-hasil pada Tahap II di
atas. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah
sebagai berikut.
Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur pada Masalah Penjadwalan
Kabur: Mula-mula diperhatikan hasil-hasil pada penjadwalan dengan aljabar max-
plus. Selanjutnya dengan dengan jembatan hasil pembahasan penjadwalan kabur
yang telah diperoleh peneliti lain dan hasil-hasil penelitian di atas, akan dilakukan
pembahasan penyelesaian masalah penjadwalan kabur dengan menggunakan
aljabar max-plus bilangan kabur.
16
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
22/59
Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur pada Analisa Jaringan Antrian
Kabur:
Terlebih dahulu diperhatikan hasil-hasil pembahasan jaringan antrian type fork-
join taksiklik dengan pendekatan aljabar max-plus. Selanjutnya dengan dengan
jembatan hasil pembahasan jaringan antrian kabur yang telah diperoleh peneliti
lain dan hasil-hasil penelitian di atas, akan dilakukan pembahasan analisa jaringan
antrian type fork-join taksiklik kabur dengan menggunakan aljabar max-plus
bilangan kabur. Pembahasan meliputi pemodelan jaringan antrian dan analisa
waktu layanan siklisnya.
17
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
23/59
IV. KERANGKA PEMIKIRAN TEORITIS
Dari perumusan masalah, manfaat dan tujuan penelitian maupun
metodologi penelitian, maka dirumuskan kerangka pemikiran teoritis berikut yang
memberikan gambaran bagaimana penelitian ini secara teoritis akan menunjukkan
hubungan antara masalah dan dasar teori yang ada untuk menyelesaikan masalah
yang telah dirumuskan. Kerangka pemikiran teoritis diberikan sesuai dengan
tahap-tahap penelitian yang akan dilakukan, seperti yang diuraikan dalam metode
penelitian, yang meliputi tahap I sampai dengan tahap III.
IV. 1. Aljabar Max-Plus Interval
IV.1.1. Landasan Teori
Untuk mendukung penelitian pada tahap I, diperlukan teori-teori yang
telah dibahas pada aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, matriks atas
aljabar max-plus dan teori graf, sistem persamaan linear max-plus, nilai dan
vektor eigen max-plus, dan analisis interval idempoten. Teori-teori tersebut,
berikut ini diberikan dengan meringkas dari Rudhito, A (2003), dengan referensi
utama Bacelli, et.al. (2001), Schutter, B. De.,(1996), dan Schutter, B. De. and
Boom, T., (2000). Untuk analisis interval idempoten, landasan teori akan
diringkas dari Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001).
Aljabar Max-Plus
Diberikan R:= R{} dengan Radalah himpunan semua bilangan real
dan : = . Pada Rdidefinisikan operasi berikut:
18
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
24/59
a,b R, ab:= max(a, b) dan ab: = ab.
Telah diketahui bahwa (R, , ) merupakan semiring idempoten komutatif
dengan elemen netral = dan elemen satuan e= 0. Lebih lanjut (R, , )
merupakan semifield, yaitu bahwa (R , , ) merupakan semiring komutatif di
mana untuk setiap aR terdapat a sehingga berlaku a(a) = 0. Kemudian
(R , , ) disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan
dengan Rmax.
Dalam hal urutan pengoperasian (jika tanda kurang tidak dituliskan),
operasi mempunyai prioritas yang lebih tinggi dari pada operasi . Karena
(Rmax , ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi m yang
didefinisikan pada Rmaxdenganx m ybila dan hanya bilaxy= y merupakan
urutan parsial pada Rmax. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada
Rmax. Karena Rmax merupakan semiring idempoten, maka operasi dan
konsisten terhadap urutan m , yaitu a,b,c Rmax , jika a m b , maka ac
m bc, dan ac m b c. Aljabar max-plus Rmaxtidak memuat pembagi nol
yaitu x, y Rberlaku: jikax y= makax= atauy= .
Matriks atas Aljabar Max-Plus
Operasi dan pada Rmax dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks
dalam : = {A = (Aij)AijRmax, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}.
Dapat ditunjukkan bahwa ( , , ) merupakan semiring idempoten dengan
elemen netral matriks dan elemen satuan matriksE.
nmmaxR
nnmaxR
19
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
25/59
Telah diketahui bahwa merupakan semimodul atas Rmax.
Didefinisikan := { x = [ x1, x2, ... , xn]T | xi R max, i = 1, 2, ... , n}.
Perhatikan bahwa dapat dipandang sebagai , sehingga merupakan
semimodul atas Rmax. Unsur-unsur dalam disebur vektor atas Rmax. Karena
Rmax merupakan semifield maka untuk setiap x dalam dapat
didefinisikan x= [x1, x2, ... , xn ]T.
nmmaxR
n
maxR
nRmax1
max
nR nmaxR
R
n
maxR
n
max
Relasi m yang didefinisikan pada dengan Anm
maxR m B bila dan
hanya bilaA B=B merupakan urutan parsial pada . Perhatikan bahwa AnmmaxR
m B bila dan hanya bila A B=B bila dan hanya bilaAijBij=Bijbila dan
hanya bila Aij m Bij untuk setiap i danj. Dalam ( , , ), operasi dan
konsistenterhadap urutan
nmmaxR
m , yaitu A,B,C , jikaAn
max
nR m B, makaA
C m BC, danAC m B C .
Matriks atas Aljabar Max-Plus dan Teori Graf
Graf preseden dari matriksA adalah graf berarah berbobot G(A) =
(V, A) denganV= {1, 2, ... , n}, A = {(j, i)|w(i, j) = Aij}. Sebaliknya untuk
setiap graf berarah berbobot G= (V, A) selalu dapat didefinisikan suatu matriks
A denganAij= , yang disebut matriks bobotgraf
G. Suatu rumus bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A),
dilambangkan dengan max(A)), adalah max(A) = (
nnmaxR
)
(
ij
ij
,
),nn
maxR
.(jika
jika
A
Aijw
,
,),(
n
k 1 k
1ii
kn
A )(1i
).
20
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
26/59
Suatu matriks A dikatakan semi-definit jika semua sirkuit dalam
G(A) mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definitjika semua sirkuit dalam
G(A) mempunyai bobot negatif. Diberikan A . JikaAsemi-definit, maka
p n,
nnmaxR
nnmaxR
pA m E A ... . Diberikan matriks semi-definit
A , maka dapat didefinisikanA* : = E A... ... .
Suatu matriks A dikatakan irredusibel jika graf presedennya terhubung
kuat. Suatu matriks A irredusibel jika dan hanya jika (A ...
)ij, untuk setiapi, jdengan i j.
1nA
nnmaxR
1n
nA
1nA
A
nn
maxR
nnmaxR
2
A
Sistem Persamaan Linear Max-Plus
DiberikanA R anb nmaxR . r xnn
max d Vekto n
mR disebut penyele-
saiansistem persamaan linear max-plus (input-output) Ax=bjika memenuhi
A x
ax sub
m b. Suatu subpenyelesaian x dari sistem A x = b disebut
subpenyelesaian terbesar sistem A x = b jika x m x
nmax
untuk setiap
subpenyelesaian dari sistem Ax=b. DiberikanA dengan unsur-
unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan danb Rn.
x nR
Subpenyelesaian terbesar Ax=bada dan diberikanoleh = (AT
(b)). Jika A semi-definit, maka x* =A* b merupakan suatu penyelesaian
sistem persamaan linear max-plus (iteratif) x =A x b. Lebih lanjut jika A
definit, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
x
21
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
27/59
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus
Diberikan A . Skalar Rmax disebut nilai eigen max-plus
matriksAjika terdapat suatu vektor v dengan v n1sehinggaA v=
v. Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang
bersesuaian dengan . DiberikanA . Skalarmax(A), yaitu bobot rata-rata
maksimum sirkuit elementer dalamG(A), merupakan suatu nilai eigen max-plus
matriksA. UntukB = max(A) A, jika = 0, maka kolom ke-i matriks
nnmaxR
n
maxR
nnmaxR
Bii*B
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen max(A). Kolom-
kolom ke-i matriks *B di atas, yang merupakan vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen max(A), disebut vektor-vektor eigen fundamental yang
bersesuaian dengan nilai eigen max(A). Dapat ditunjukkan bahwa kombinasi
linear max-plus vektor-vektor eigen fundamental matriks A juga merupakan
vektor eigen yang berseuaian dengan max(A).
Jika skalar Rmax, merupakan nilai eigen max-plus matriksA, maka
merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalamG(A), sehingga max(A) merupakan
nilai eigen max-plus maksimum matriks A. Jika matriks irredusibel A
mempunyai nilai eigen max-plusdenganx sebagai vektor eigen max-plus yang
bersesuaian dengan, makaxi untuk setiap i {1, 2, ..., n}. Jika matriksA
irredusibel, maka A mempunyai nilai eigen max-plus tunggal, yaitu
max(A).
nnmaxR
nnmaxR
22
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
28/59
Analisis Interval Idempoten
Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dengan relasi . Suatu
interval (tertutup) dalam S adalah himpunan bagian Syang berbentuk x = [ x , x ]
= {x S x x x }, dengan x , x S berturut-turut disebut batas bawahdan
batas atasinterval [ x , x ]. Misalkan xdan y adalah interval dalam S. Perhatikan
bahwa interval xyjika dan hanya jika y x x y . Secara khusus x = yjika
dan hanya jika x = y dan x = y . Sebuah interval dengan x dengan x = x
merepresentasi suatu elemen dalam S.
Diberikan (S, +, ) adalah suatu semiring idempoten dan tidak memuat
pembagi nol, dengan elemen netral 0. Didefinisikan
I(S) = {x= [ x , x ] x , x S, 0 x x }{[0, 0]}.
Pada I(S) didefinisikan operasi dan dengan
x y= [ x + y , x + y ] dan x y= [ x y , x y] , x, yI(S).
Untuk operasi dan yang didefinisikan pada (I(S) berlaku
x y= [ x + y, x + y ] =inf{zI(S)z x + y} dan
x y = [ x y , x y ] = inf{z I(S)z x y},
x, yI(S), di mana x + y = {t St =x +y ,x x,y y} dan
x y = {t St =x y ,x x,y y}.
Dapat ditunjukkan bahwa (I(S), , ) merupakan semiring idempoten dengan
elemen netral 0I= [0, 0] dan elemen satuan 1I= [1, 1].
23
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
29/59
IV.1.2. Kerangka Pemikiran Teoritis
Dari rumusan masalah, landasan teori dan pentahapan penelitian di atas,
diberikan kerangka teoritis untuk tahap I penelitian ini sebagai berikut:
i. Karena aljabar max-plus Rmax merupakan semiring idempoten yang tidak
memuat pembagi nol, maka dapat didefinisikan I(Rmax) dengan operasi
maximum dan penjumlahan interval yang bersesuaian di dalamnya. Karena
operasi pada interval didefinisikan komponen demi komponen, maka
kemungkinan besar sifat-sifat operasi pada interval akan merupakan akibat
dari sifat-sifat operasi dari semiring idempoten yang membentuknya. Relasi
urutan pada Rmax dapat diperluas menjadi urutan pada I(Rmax) secara
komponen demi komponen. Karena interval dapat dipandang sebagai
pasangan terurut, maka relasi urutan pada interval hanya merupakan relasi
urutan parsial, bukan urutan total.
ii. Karena operasi pada matriks atas aljabar max-plus merupakan perluasan
operasi pada aljabar max-plus, maka operasi pada aljabar max-plus interval
juga dapat diperluas menjadi operasi pada matriks atas aljabar max-plus
interval. Seperti halnya dalam matriks atas aljabar max-plus, di mana sebagian
besar sifat-sifat operasinya merupakan akibat sifat-sifat operasi pada unsur-
unsurnya, demikian juga akan terjadi pada matriks atas aljabar max-plus
interval. Karena operasi pada interval didefinisikan secara komponen demi
komponen, dan dalam matriks atas aljabar max-plus operasi-operasinya
bersifat konsisten, maka operasi matriks atas aljabar max-plus interval dapat
dilakukan melalui operasi interval matriks yang bersesuaian. Interval matriks
24
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
30/59
ini merupakan interval dengan batas bawahnya adalah matriks dengan unsur-
unsurnya berupa batas-batas bawah unsur-unsur matriks interval, sedangkan
batas atasnya adalah matriks dengan unsur-unsurnya berupa batas-batas atas
unsur-unsur matiks interval. Karena interval matriks di atas dapat dipandang
sebagai himpunan matriks, maka sifat semi-definit dan irredusibel matriks
interval dapat didefinisikan melalui sifat semi-definit dan irredusibel matriks-
matriks dalam interval matriks yang bersesuaian. Dengan memperhatikan
syarat perlu dan cukup pada sifat semi-definit dan irredusibel matriks atas
aljabar max-plus, dapat ditentukan syarat perlu dan cukup pada sifat semi-
definit dan irredusibel matriks atas aljabar max-plus interval, dengan hanya
memperhatikan sifat semi-definit dan irredusibel batas-batas interval matriks
yang bersesuaian.
iii.Karena operasi-operasi pada matriks atas aljabar max-plus bersifat konsisten,
maka penyelesaian SPL max-plus interval dapat ditentukan melalui
penyelesaian SPL dengan matriks koefisiennya adalah batas-batas interval
matriks yang bersesuaian dengan matriks koefisien SPL max-plus interval
tersebut.
iv. Karena operasi-operasi pada matriks atas aljabar max-plus bersifat konsisten,
maka nilai eigen interval dari suatu matriks max-plus interval dapat
ditentukan melalui nilai eigen max-plus batas-batas interval matriks yang
bersesuaian dengan matriks max-plus interval tersebut. Karena vektor eigen
yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen dapat diperoleh dengan melakukan
kombinasi linear vektor-vektor fundamentalnya, maka dapat disusun suatu
25
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
31/59
vektor eigen interval yang bersesuaian dengan nilai eigen interval yang telah
diperoleh.
IV.1.3. Hipotesis
Berdasarkan kerangka teoritis di atas, diajukan hipotesis-hipotesis untuk
tahap I penelitian ini sebagai berikut:
i. Himpunan I(Rmax) dengan operasi maximum dan penjumlahan interval yang
bersesuaian di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi
urutan yang didefinisikan dalam aljabar I(Rmax) di atas merupakan relasi
urutan parsial. Himpunan semua bilangan kabur dengan operasi maximum dan
penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi
urutan yang didefinisikan dalam aljabar himpunan semua bilangan kabur di
atas merupakan relasi urutan parsial.
ii. Himpunan semua matriks interval persegi dengan operasi maximum dan
penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten. Himpunan semua
interval matriks (dari suatu matriks interval tersebut) dengan operasi
maximum dan penjumlahan di dalamnya juga merupakan semiring idempoten.
Kedua semiring idempoten tersebut isomorfis. Himpunan semua matriks
interval dengan operasi maximum dan perkalian skalar di dalamnya
merupakan semimodul atas aljabar max-plus interval. Himpunan semua
interval matriks (dari suatu matriks interval tersebut) dengan operasi
maximum dan perkalian skalar di dalamnya juga merupakan semimodul atas
aljabar max-plus interval. Kedua semimodul tersebut isomorfis. Suatu matriks
interval semidefinit jika dan hanya jika batas atas interval matriks yang
26
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
32/59
bersesuaian semidefinit. Suatu matriks interval irredusibel jika dan hanya jika
batas bawah interval matriks yang bersesuaian irredusibel.
iii.Eksistensi dan ketunggalan SPL max-plus interval dijamin berturut-turut oleh
eksistensi dan ketunggalan penyelesaian SPL dengan matriks koefisiennya
adalah batas-batas interval matriks yang bersesuaian dengan matriks koefisien
SPL max-plus interval tersebut.
iv. Eksistensi dan ketunggalan nilai eigen max-plus interval suatu matriks atas
aljabar max-plus interval dijamin berturut-turut oleh eksistensi dan
ketunggalan nilai eigen batas-batas interval matriks yang bersesuaian.
IV.1.4. Rencana Penelitian
Langkah-langkah yang akan ditempuh dalam penelitian tahap I ini adalah:
1.Melakukan perluasan dari aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus
interval.
2.Melakukan perluasan dari matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks
aljabar max-plus interval.
3.Menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus interval.
4.Menentukan nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval.
IV.1.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan
Untuk mendukung penelitian pada tahap I ini, dibutuhkan modal
pengetahuan yang berupa konsep-konsep dasar pada semiring, semimodul dan
teori graf. Secara lebih rinci pengertian-pengertian dan konsep-konsep dasar
adalah sebagai berikut.
27
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
33/59
Semiring
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi: pengertian dan sifat-sifat
semiring yang meliputi semiring idempoten, semiring komutatif, semifield, relasi
urutan, konsistensi urutan, semiring yang tidak memuat pembagi nol. Di samping
itu juga diperlukan konsep-konsep dasar matriks atas semiring, yang meliputi
operasi matriks dan sifat-sifatnya, operasi perpangkatan, relasi urutan di
dalamnya dan sifat-sifat semiring yang terkait.
Semimodul
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi: pengertian dan sifat-sifat
semimodul atas semiring, yang juga meliputi relasi urutan di dalamnya. Di
samping itu diperlukan juga konsep-konsep dasar dalam semimodul khusus untuk
matriks atas semiring dan vektor atas semiring.
Teori Graf
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi: pengertian dan sifat-sifat
graf berarahyang meliputi konsep-konsep dasar titik, busur, lintasan,sirkuit, graf
berarah yang terhubung kuat, matriks adjesens, graf berarah berbobot, graf
preseden, dan bobot suatu lintasan.
IV. 2. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur
IV.2.1. Landasan Teori
Untuk mendukung penelitian pada tahap II, selain hasil-hasil yang
diperoleh dalam tahap I di atas, juga diperlukan teori-teori yang telah dibahas
28
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
34/59
pada himpunan dan bilangan kabur. Berikut diberikan teori-teori yang diringkas
dari Zimmermann, H.J., (1991), Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006).
Himpunan dan Bilangan Kabur
Teorema Dekomposisi
Jika A adalah potongan- himpunan kabur A~
dalam semesta X dan A~
adalah
himpunan kabur dalam X dengan fungsi keanggotaan A~ (x) = A (x) , di
mana A adalah fungsi karakteristik himpunanA, maka
~=
1][0,
~
A .
Teorema Dekomposisi menyatakan bahwa suatu himpunan kabur dapat
dinyatakan dengan menggunakan potongan-potongan--nya. Sifat-sifat himpunan
tegas dapat digeneralisir ke dalam himpunan kabur melalui representasi potongan-
potongan--nya, dengan mempersyaratkan bahwa sifat tersebut dipenuhi oleh
semua potongan-dari himpunan kabur yang bersangkutan.
Operasi-operasi aritmatika pada bilangan kabur dapat didefinisikan dengan
menggunakan prinsip perluasan (extension principle) atau dengan menggunakan
potongan-. Dengan menggunakan prinsip perluasan dapat didefinisikan operasi-
operasi aritmatika pada bilangan fuzzy, di antaranya adalah operasi maximum dan
penjumlahan berikut. Misalkan a~ dan b~
adalah bilangan-bilangan fuzzy. Operasi
maximum bilangan fuzzy a~ dan b~
, yaitu max( a~ , b~
) adalah bilangan fuzzy
dengan fungsi keanggotaan:)
~,~ bamax{
(z) = min{},ymax{
supxz
a~ (x), b~ (x)}. Operasi
29
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
35/59
penjumlahan bilangan fuzzy a~ dan b~
, yaitu a~ + b~
adalah bilangan fuzzy dengan
fungsi keanggotaan:)
~~ ba (z) = min{yxz
sup a~ (x), b~ (x)}.
Dengan menggunakan potongan-, operasi maximum dan penjumlahan pada
bilangan fuzzy dapat didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan a~ dan b~
adalah bilangan-bilangan fuzzy dengan potongan-berturut-
turut adalah a = [ , a ] dan b = [
a
b ,b ], dengan
a dan a berturut-turut
adalah batas atas dan batas bawah interval a, untuk banalog.
i) Operasi maximum bilangan fuzzy a~ dan b~
, yaitu a~ ~ b~
= max( a~ , b~
)
adalah bilangan fuzzy dengan potongan-:
(ab) := [
a
b , a b ], untuk setiap [0, 1]
ii) Operasi maximum bilangan fuzzy a~ dan b~
, yaitu a~ ~ b~ = a~ + b~
adalah
bilangan fuzzy dengan potongan-:
(ab) := [
a b , a b ], untuk setiap [0, 1].
Dapat ditunjukkan bahwa potongan- yang didefinisikan pada operasi di atas
memenuhi syarat sebagai potongan- dari suatu bilangan kabur, yaitu berupa
interval tersarang (nested interval). Selanjutnya dengan menggunakan Teorema
Dekomposisi diperoleh bahwa a~ ~ b~
= c =~ [0,1]
~ cc , di mana
~ adalah himpunan
kabur dalam R dengan fungsi keanggotaan (x) = (x) , di mana
adalah fungsi karakteristik himpunan (a b). Sedangkan untuk operasi
c~ )ba
(
ba
)(
a~ ~ b~
analog.
30
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
36/59
Telah diketahui bahwa operasi maximum dan penjumlahan bilangan kabur
dengan menggunakan prinsip perluasan dan dengan menggunakan potongan-
adalah ekivalen. Dalam Hanss, Michael (2005) disebutkan bahwa operasi bilangan
kabur dengan menggunakan potongan- dalam implementasinya tidak lebih
rumit. Sementara dalam Buckley, James J (2005) disebutkan bahwa operasi
bilangan kabur dengan menggunakan potongan- lebih memudahkan pengguna
dan perhitungannya dengan menggunakan komputer. Dengan demikan, dalam
penelitian ini operasi maximum dan penjumlahan bilangan kabur akan
didefinisikan melalui potongan--nya.
IV.2.2. Kerangka Pemikiran Teoritis
Dari rumusan masalah dan landasan teori di atas diberikan kerangka
teoritis sebagai berikut:
i. Karena operasi pada bilangan kabur dengan menggunakan potongan-, yang
berupa interval tertutup, maka sifat-sifat operasi pada bilangan kabur akan
sejalan dengan sifat-sifat operasi pada interval. Relasi urutan pada bilangan
kabur dapat didefinisikan melalui potongan--nya.
ii. Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka
operasi dalam matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur dapat dilakukan
melalui matriks potongan-yang berupa matriks interval, sehingga hasil-hasil
yang serupa pada matriks interval dapat digunakan.
iii.Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka SPL
max-plus bilangan kabur dapat ditentukan melalui SPL potongan--nya, yang
31
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
37/59
berupa SPL max-plus interval. Sifat interval tersarang potongan--
penyelesaian dapat dijamin karena sifat konsisten operasi-operasi matriks atas
aljabar max-plus.
iv. Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka nilai
eigen dan vektor eigen max-plus bilangan kabur dapat ditentukan melalui nilai
eigen potongan--nya. Sifat interval tersarang potongan-- nilai eigen dapat
dijamin karena sifat konsisten operasi-operasi matriks atas aljabar max-plus.
Sifat interval tersarang potongan-- vektor eigen dapat dijamin karena vektor
eigen dapat ditentukan dengan melakukan kombinasi linear vektor-vektor
eigen fundamentalnya.
IV.1.3. Hipotesis
Berdasarkan kerangka teoritis di atas, diajukan hipotesis berikut:
i. Himpunan semua bilangan kabur dengan operasi maximum dan penjumlahan
di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi urutan yang
didefinisikan dalam aljabar himpunan semua bilangan kabur di atas
merupakan relasi urutan parsial.
ii. Himpunan semua matriks bilangan kabur persegi dengan operasi maximum
dan penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten. Himpunan
semua matriks bilangan kabur dengan operasi maximum dan perkalian skalar
di dalamnya merupakan semimodul atas aljabar max-plus bilangan kabur.
Suatu matriks bilangan kabur semidefinit jika dan hanya jika batas atas
interval matriks yang bersesuaian dengan matriks potongan-, untuk = 0
32
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
38/59
semidefinit. Suatu matriks bilangan kabur irredusibel jika dan hanya jika batas
bawah interval matriks yang bersesuaian dengan matriks potongan-, untuk
= 0 irredusibel.
iii.Eksistensi dan ketunggalan SPL max-plus bilangan kabur dijamin oleh SPL
potongan--nya, yang berupa SPL max-plus interval, yang menyusunnya.
iv. Eksistensi dan ketunggalan nilai eigen max-plus bilangan kabur dijamin oleh
nilai eigen max-plus matriks potongan--nya, di mana matriks potongan--
nya berupa matriks atas aljabar max-plus interval.
IV.2.4. Rencana Penelitian
Langkah-langkah yang akan ditempuh dalam tahap II penelitian ini adalah:
1. Melakukan perluasan dari aljabar max-plus interval menjadi aljabar max-
plus bilanganfuzzy.
2. Melakukan perluasan dari matriks atas aljabar max-plus interval menjadi
matriks aljabar max-plus bilanganfuzzy.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilanganfuzzy.
4. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval bilangan
fuzzy.
IV.2.5. Modal Pengetahuan Awal yang Dibutuhkan
Untuk mendukung penelitian pada tahap II ini, selain modal pengetahuan
awal yang telah diberikan pada tahap I di atas, juga diperlukan pengertian dan
33
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
39/59
konsep-konsep dasar pada himpunan dan bilangan kabur. Secara lebih rinci
pengertian-pengertian dan konsep-konsep dasar adalah sebagai berikut.
Himpunan Kabur
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi pengertian dan sifat-sifat
dasar himpunan kabur, pendukung (support), tinggi (height), sifat normal,
potongan-, sifat konvekssuatu himpunan kabur.
Bilangan kabur
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi pengertian dan sifat-sifat
dasar bilangan kabur, operasi-operasi pada bilangan kabur, bilangan kabur
segitiga.
IV.3. Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kaburpada Masalah
Penjadwalan dan Jaringan Antrian Kabur
IV.3.1. Landasan Teori
Untuk mendukung penelitian tahap III, selain hasil-hasil yang diperoleh
dalam tahap IIdi atas, juga diperlukan teori-teori tentang penjadwalan (proyek)
dengan pendekatan aljabar max-plus, pemodelan dan analisa jaringan antrian
dengan pendekatan aljabar max-plus.
Masalah Penjadwalan dengan Pendekatan Aljabar Max-Plus
34
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
40/59
Teori-teori tentang pemodelan dan analisa penjadwalan proyek
menggunakan aljabar max-plus berikut ini diringkas dari Bacelli, F (2001) dan
Rudhito, A. (2004) serta pengembangan yang telah dilakukan peneliti.
Misalkan = waktu paling awal titiki dapat mulai aktif ,eix
Aij =
.j, i
ij,ij
A
A
)(jika),(
)(jika,titikketitikdariaktifitaswaktu
Diasumsikan bahwaxi= 0, kemudian dapat dituliskan
ex
e
x
i = (1)
.1jika,)(max
1jika,0
1ixA
ie
jijnj
Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus persamaan di atas dapat dituliskan
menjadi
i= (2)
1ijika,)(1ijika,0
jijnj1 .
e
xA
Misalkan A adalah matriks bobot graf berarah berbobot jaringan tersebut, xe =
[ , , ... , ]Tdanbe= [0, , ... , ]T, persamaan (2) dapat dituliskan menjadiex1
ex2exn
xe = A xebe (3)
Karena jaringan proyek merupakan graf berarah taksiklik, maka tidak terdapat
sirkuit, sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot nonpositif.
Dengan demikian
xe =A*be (4)
merupakan penyelesaian sistem (3) di atas. Karena jumlah titik dalam jaringan
proyek ini adalah n , maka panjang lintasan terpanjangnya tidak akan melebihi
n 1. Dengan demikian dalam hal ini persamaan (4) dapat ditulis menjadi
35
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
41/59
xe =A*be = (E A... ) be (5)1nA
Perhatikan bahwa (A*)n1 merupakan bobot maksimum lintasan dari titik awal
hingga titik akhir proyek, sehinggaxnmerupakan waktu penyelesaian proyek.
Arah sebaliknya (backward):
Misalkan = waktu paling lambat titik i harus mulai aktif ,lix
Bij =
.)(jika),(
)(jika,titikketitikdariaktifitaswaktu
A
A
j, i
ij,ji
Diasumsikan bahwayn=xn, kemudian dapat dituliskan
l
l
ix = (6)
.1jika,)(min
jika,
1ixB
nixl
jijnj
n
Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus persamaan di atas ekivalen dengan
= (7)ix
.1jika,)(max
jika,
jij1
ixB
nix
lnj
n
Perhatikan bahwa matriks B = AT, dengan A adalah matriks bobot graf berarah
berbobot jaringan tersebut. Misalkan z = [z1,z2, ... ,zn]T= xl= [ , , ... ,
]T danbl= [, , ... , xn]T, persamaan (7) dapat dituliskan menjadi z =
ATz bl. (8)
lx1lx2
lxn
Dengan alasan seperti di atas, sistem persamaan (8) mempunyai penyelesaian
z = (AT)* bl. (9)
Dengan demikian diperoleh vektor waktu paling lambat yaituxl = z.
Waktu ambang (slack) untuk titik ke-iadalahsi = , untuk i = 1, 2, ..., n.lxiexi
Jika dituliskan dalam bentuk vektor, diperoleh vektor waktu ambang s =xlxe
36
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
42/59
Waktu ambang (slack) untuk aktifitas (i, j) Aadalah Sij= Aij.ljxe
ix
Jika dituliskan dalam bentuk matriks akan diperoleh matriks waktu ambang
S =L KA denganLadalah matriks dengan semua kolomnya adalah vektor xl
danK adalah matriks dengan semua barisnya adalah vektor baris (xe)T.
Penjadwalan Kabur
Teori-teori tentang penjadwalan kabur berikut ini diringkas dari Chanas,
S., Zielinski, P. (2001) dan Soltoni, A., Haji, R. (2007).
Misalkan: St~
= waktu proyek dimulai,
je~ =waktu paling awal kabur dari kejadianj,
ijse~ = waktu mulai paling awal kabur aktifitas (i,j),
ij
fe~
= waktu penyelesaian paling awal kabur aktifitas (i,j),
Ft~
= waktu kabur proyek diselesaikan. Waktu paling awal dan
penyelesaian proyek kabur ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
perhitungan maju kabur (fuzzy forward pass calculation), melaluipersamaan-
persamaan berikut:
je~ =
)(
)(}{max)(
jP,t~
jP,d~~e~
s
ijijPi , ijse~ = je~ , ijfe~ = ijse~ ~ ijd~ ,
Ft~
= {Vi
max ie~ }.
Misalkan il~
= waktu mulai paling lambat kabur kejadian i.
ijf~l = waktu penyelesaian paling lambat kabur aktifitas (i,j)
ijs~l = waktu mulai paling lambat kabur aktifitas (i,j)
37
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
43/59
Waktu paling lambat kabur kejadian iini dapat diselesaikan dengan menggunakan
perhitungan mundur kabur (fuzzy backward pass calculation), melaluipersamaan-
persamaan berikut:
il~
=
)(
)(}{min
iS,t~
iS,d~~
e~
F
ijj)i(Sj , ijf
~l = il
~, ijs
~l = ijf~l
~ijd
~
Misalkan ijf~t = waktu ambang total kabur aktifitas (i,j)
ijf~
f = waktu ambang bebas kabur aktifitas (i,j)
ijf~i = waktu ambang independen kabur aktifitas (i,j).
Metode CPM yang sudah dikenal, dapat diterapkan untuk menghitung waktu-
waktu ambang tersebut, melalui persamaan-persamaan berikut:
ijf~t = ijf
~l
~ijfe
~, ijf
~f = je
~~
ijfe~
, ijf~i = je
~~
il~
~
ijd~
.
Pemodelan dan Analisa Jaringan Antrian dengan Pendekatan Aljabar Max-
Plus
Teori-teori tentang pemodelan dan analisa jaringan antrian menggunakan
aljabar max-plusberikut ini diringkas dari Krivulin, N.K., 2000 dan Krivulin,
N.K., 2001, serta pengembangan oleh peneliti.
Misalkan ai(k) = waktu kedatangan pelanggan ke-kpada titik i.
di(k) = waktu keberangkatan pelanggan ke-kpada titik i.
tik = lama waktu layanan untuk pelanggan ke-kpada pelayan i.
38
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
44/59
Diasumsikan jaringan mulai beroperasi pada nol waktu, yaitu bahwa di(0) = 0 dan
di(k) = untuk semua k 0, i = 1, ..., n. Dinamika antrian pada titik i dapat
dinyatakan dengan
di(k) = max(tik + ai(k), tik + di(k1)) (10)
ai(k) = (11)
.)(jika,
,)(jika)),((max)(
iP
iPkdjiPj
Dengan notasi aljabar max-plus persamaan (10) dan (11) dapat dituliskan sebagai
berikut
di(k) = tik ai(k) tik di(k1) (12)
ai(k) = (13)
.)(jika,,
,)(jika),()(
iP
iPkdjiPj
Misalkan d(k) = [ d1(k), d2(k), ... , dn(k)]T, a(k) = [ a1(k), a2(k), ... , an(k)]
Tdan
Tk= . Persamaan (12) dan (13) di atas dapat dituliskan menjadi
nk
k
t
t
1
d(k) = Tk a(k) Tk d(k 1). (14)
a(k) = G d(k), (15)
dengan matriks G yangunsur-unsur adalah Gij= .
lainyanguntuk,
)(jika,0
iPj
Perhatikan bahwa G merupakan matriks adjesensi dari graf stuktur jaringan
antrian. Dari persamaan (5) dan (6) dapat dituliskan persamaan
d(k) = Tk G d(k) Tk d(k 1). (16)
39
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
45/59
Diberikan jaringan antrian fork-join tak siklik dengan graf struktur
jaringannya yang mempunyai panjang lintasan terpanjang pdan matriks adjesensi
G. Persamaan state eksplisit jaringan tersebut adalah
d(k) =A(k) d(k 1), (17)
denganA(k)= (E (TkG))p Tk .
Jaringan antrianfork-join taksiklik kapasitas penyangga takhingga, dengan
persamaan state eksplisit jaringan tersebut adalah d(k) =A(k) d(k 1), dengan
k = 1, 2, ..., mempunyai waktu siklus layanan
= ))((max1
lim kdk
iik
= max(A) = (n
k 1 k
1trace ),)(
kA
yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam graf preseden matriks A
tersebut.
Jaringan Antrian Kabur
Dalam Lthi, J., Haring, G. (1997), masalah jaringan antrian kabur
dilakukan dengan memandang waktu dan parameter sebagai bilangan kabur.
Misalkankd
~ = parameter permintaan layanan kabur pada pelayan ke-k,
~ = rata-rata waktu kedatangan kabur jaringan,
ku~ = banyaknya rata-rata pekerjaan kabur pada pelayan ke-k,
kr~ = waktu respon kabur pada pelayan ke-k,
kq~ = panjang antrian rata-rata kaburpada pelayan ke-k.
40
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
46/59
Bilangan-bilangan kabur di atas berturut-turut dapat dinyatakan potongan- dan
diperoleh hasil, dengan menggunakan aritmatika kabur dan teori antrian, sebagai
berikut: = [
kd
kd ,
kd ] , = [ ,
], = . = [
ku
kd .
kd , kd ]
= / (1 ) = [kr
kd
ku
kd /(1 .
kd ), /(1
kd kd )].
kq = / (1 ) = [
ku
ku /(1 . kd ),
/(1 kd ).
Dengan demikian dalam jaringan fork-join di atas dapat dilakukan dengan
membawa waktu dan parameter ke dalam versi kabur, seperti:
ia~ (k) = waktu kedatangan kabur pelanggan ke-kpada titik i
id~
(k) = waktu keberangkatan kabur pelanggan ke-kpada titik i.
ikt~
= lama waktu layanan kabur untuk pelanggan ke-kpada pelayan i.
~
= waktu siklus layanan kabur.
IV.5.2. Kerangka Pemikiran Teoritis
i. Masalah penjadwalan proyek dapat dimodelkan dengan menerapkan metode
PERT/CPM dengan pendekatan aljabar max-plus ke dalam sistem persamaan
linear iteratif max-plus. Karena penjadwalan kabur dapat dimodelkan dengan
menerapkan metode PERT/CPM ke dalam versi kabur, maka penjadwalan
kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur
dengan menyatakannya ke dalam sistem persamaan linear iteratif max-plus
bilangan kabur. Karena penyelesaian model masalah penjadwalan dapat
dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear iteratif max-plus,
41
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
47/59
maka penyelesaian model masalah penjadwalan kabur dapat dilakukan dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur.
ii. Dinamika jaringan antrian fork-join dapat dimodelkan dengan pendekatan
aljabar max-plus ke dalam suatu persamaan state eksplisit yang berupa suatu
sistem persamaan linear max-plus. Karena jaringan antrian kabur adalah
jaringan antrian dengan membawa waktu ke dalam versi waktu kabur, maka
jaringan antrian fork-join kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar
max-plus bilangan kabur dengan menyatakannya persamaan state eksplisitnya
ke dalam sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Karena analisis
input-output dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear
max-plus, maka analisis input-output penjadwalan kabur dapat dilakukan
dengan menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
Lebih lanjut analisis waktu siklus layanan kabur (sifat periodik jaringan) dapat
dilakukan dengan menganalisi nilai eigen max-plus bilangan kabur dari
matriks dalam sistem persamaan linear yang terlibat.
IV.5.3. Hipotesis
i. Masalah penjadwalan kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar
max-plus bilangan kabur ke dalam sistem persamaan linear max-plus bilangan
kabur. Pemodelan masalah penjadwalan kabur di atas dapat dilakukan dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
ii. Dinamika jaringan antrian fork-join kabur dapat dimodelkan dengan
pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur dengan menyatakannya
42
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
48/59
persamaan state eksplisitnya ke dalam sistem persamaan linear max-plus
bilangan kabur. Analisis input-output penjadwalan kabur dapat dilakukan
dengan menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.
Lebih lanjut analisis waktu siklus layanan kabur dapat dilakukan melalui nilai
eigen max-plus bilangan kabur dari matriks persamaan statenya.
IV.3.4. Rencana Penelitian
Untuk menyelesaikan masalah kelima dan keenam, maka langkah-langkah
yang akan ditempuh dalam penelitian ini adalah:
1. Memodelkan dan menyelesaikan masalah penjadwalan fuzzy dengan
menggunakan aljabar max-plus bilanganfuzzy.
2. Memodelkan dan menganalisa jaringan antrianfuzzytipefork-jointaksiklik
dengan menggunakan aljabar max-plus bilanganfuzzy.
IV.3.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan
Untuk mendukung tahap III penelitian ini, selain modal pengetahuan yang
dibutuhkan dalam tahap I dan II di atas, juga diperlukan pengetahuan dan konsep-
konsep dasar dalam riset operasi, khususnya tentang penjadwalan proyek dan
jaringan antrian dengan fork-join. Secara lebih rinci pengertian-pengertian dan
konsep-konsep dasar adalah sebagai berikut.
43
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
49/59
Penjadwalan Proyek
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi pengertian dan sifat-sifat
dasar jaringan proyek S, aktifitas,waktu aktifitas, lintasankritis, aktifitas kritis.
Jaringan AntrianFork-join
Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi pengertian dan sifat-sifat
dasar jaringan antrian, prinsipFirst-In First-Out (FIFO), operasi fork, operasi
join, sifat periodik waktu layanan.
44
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
50/59
V. RANCANGAN JADWAL PENELITIAN
No Kegiatan Waktu Smt
TAHAP I
1 Mengambil kuliah pendukung danmemperdalam landasan teori.
Melakukan perluasan dari aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus interval.
Melakukan perluasan dari matriks atasaljabar max-plus menjadi matriks
aljabar max-plus interval.
Sep 2007 Pebr 2008 I
2 Menyelesaikan sistem persamaan linearmax-plus interval. Menentukan nilai eigen dan vektor
eigen max-plus interval.
Mar 2008 Agt 2008 II
TAHAP II
3 Melakukan perluasan dari aljabar max-plus interval menjadi aljabar max-plusbilangan kabur.
Melakukan perluasan dari matriks atasaljabar max-plus interval menjadimatriks aljabar max-plus bilangan
kabur.
Sept 2008 Peb 2009 III
4 Menyelesaikan sistem persamaan linearmax-plus bilangan kabur.
Menentukan nilai eigen dan vektoreigen max-plus interval bilangan kabur.
Mar 2009 Agt 2009 IV
TAHAP III
5 Menerapkan aljabar max-plus bilangankabur pada masalah penjadwalan kabur.
Menerapkan aljabar max-plus bilangankabur pada jaringan antrian kabur.
Sept 2009 Peb 2010 V
6 Menyusun Laporan Keseluruhan. Mar 2010 Agt 2010 VI
45
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
51/59
DAFTAR PUSTAKA
Bacelli, F., et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley &
Sons.
Ban, X., et.al. 2003. Traffic Assignment Model with Fuzzy Travel Time
Perception. 83rd Annual Meeting of the Transportation Research Board.
November 15, 2003.
Blue, M., Bush, B. and Puckett, J. 1997. Application of Fuzzy Logic to Graph
Theory. Los Alomos National Laboratory Report, LA-UR-96-4792.
Boom, T.J.J., et al. 2003. , Identification of stochastic max-plus-linear systems.
Proceedings of the 2003 European Control Conference (ECC'03),
Cambridge, UK, 6 pp., Sept. 2003. Paper 104.
Buckley, James J. 2005., Simulating Fuzzy Systems. Berlin: Spinger-Verlag.
Chanas, S., Zielinski, P. 2001. Critical path analysis in the network with fuzzy
activity times.Fuzzy Sets and Systems. 122 (2001) 195204.
Chanas, S. et.al. 2002. On the Sure Criticality of Task in Activity Networks with
Imprecise Duration.IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics-
Part B: Cybernetics, Vol. 32., No. 4 August 2002.
Chen, Shih-Pin. 2004. Parametric nonlinear programming for analyzing fuzzy
queues with finite capacity. European Journal of Operational Research
157 (2004) 429438.
Dehghan, M. and Hashemi, B., 2006. Iterative solution of fuzzy linear systems.
Applied Mathematics and Computation 172 (2006) 645-674.
46
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
52/59
Dubois, D. et.al. 2007. Criticality analysis of activity-networks under interval
uncertainty. Instytut Matematyka I Informatyki Politechnika Wroclawska.
Raport serii: Preprinty nr 030.
Eslahchi, C and. Onagh B. N. 2005. Vertex-strength of fuzzy graphs.
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Volume
2006 (2006).
Han, T.C., et.al. 2006. Application of Fuzzy Critical Path Method to Airports
Cargo Ground Operation System. Journal of Marine Science and
Technology. Vol.14. No.3, pp. 139-146.
Hanss, Michael. 2005. Applied Fuzzy Arithmetic: An Introduction with
Engineering Applications.Berlin: Spinger-Verlag.
Heidergott, B. B, et. al. (2005). Max Plus at Work. Princeton: Princeton
University Press.
Horcik, R. 2006. Solution of System of Linear Equations with Fuzzy Numbers.
Preprint submitted to Elsevier Science. 20 October 2006.
Kao, Chiang. Li, Chang-Chung. Chen, Shih-Pin. 1999. Parametric programming
to the analysis offuzzyqueues.Fuzzy Sets and Systems 107(1999) 93-100.
Ke Jau-Chuan. Huang, Hsin-I. Lin, Chuen-Horng. 2007. On retrial queueing
model with fuzzy parameters.Physica A 374 (2007) 272280.
Krivulin, N.K., 1996. The Max-Plus Algebra Approach in Modelling of Queueing
Networks Proc. 1996 SCS Summer Computer Simulation Conference
(SCSC-96), July 21-25, The Society for Computer Simulation, 485-490.
47
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
53/59
Krivulin, N.K., 2000. Algebraic Modelling and Performance Evaluation of
Acyclic Fork-Join Queueing Networks. Advances in Stochastic Simulation
Methods, Statistics for Industry and Technology. Birkhauser, Boston, 63-
81.
Krivulin, N.K. 2001. Evaluation of Bounds on Service Cycle Times in Acyclic
Fork-Join Queueing Networks. International Journal of Computing
Anticipatory Systems 9(2001), 94-109.
Lee, K.H. 2005.First Course on Fuzzy Theory and Applications. Berlin: Spinger-
Verlag.
Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. 2001. Idempotent Interval Anaysis and
Optimization Problems. Reliab. Comput., 7, 353 377 (2001); arXiv:
math.SC/010180.
Lthi, J., Haring, G. 1997. Fuzzy Queueing Network Models of Computing
Systems. Proceedings of the 13th UK Performance Engineering
Workshop, Ilkley, UK, Edinburgh University Press, July 1997.
Pardoa, Mara Jose. Fuente, David de la. 2007. Optimizing a priority-discipline
queueing model using fuzzy set theory. Computers and Mathematics with
Applications 54 (2007) 267281.
Rudhito, Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program
Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.
------------------. 2004. Penerapan Sistem Persamaan Linear Max-Plus
x = A x bpada Masalah Penjadwalan. Math Info Jurnal Ilmiah
48
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
54/59
Bidang Matematika, Informatika dan Terapannya., Volume 1. No:4 , pp.
14 19.
Schutter, B. De., 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event
Systems, PhD thesis Departement of Electrical Enginering Katholieke
Universiteit Leuven, Leuven.
Schutter, B. De. and Boom, T. van den., 2000. Model predictive control for max-
plus-linear discrete-event systems: Extended report & Addendum,
Technical report bds: 99-10a, Faculty of Information Technology and
System, Delft University of Technology, Delft.
Skalna, I., et.al.(2007).Systems of fuzzy equations in structural mechanics. The
University of Texas at El Paso Departement of Mathematical Sciences
Research Reports Series No. 2007-01.
Soltoni, A., Haji, R. 2007. A Project Scheduling Method Based on Fuzzy Theory.
Journal of Industrial and Systems Engineering. Vol. 1, No.1, pp 70 80.
Spring.
Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya Edisi kedua.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
Yao, J.S and Lin, F.T., 2000. Fuzzy Critical Path Method Based on Signed
Distance Ranking of Fuzzy Numbers. IEEE Transactions on Systems,
Man, and Cybernetics-Part A: Sistems and Humans, Vol., 30, No. 1
January 2000.
Zhang , Q., et. al., 2004. Fuzzy analogy of linear systems. Intelligent Control and
Automation,Volume 3, Issue , 15-19 June 2004 Page(s): 2055 - 2059.
49
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
55/59
Zimmermann, H.J., 1991.Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Kluwer
Academic Publishers.
50
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
56/59
Lampiran:
Curriculum Vitae Peneliti
1. Nama : M. Andy Rudhito, S.Pd., M.Si
2. NPP : P.1629
3. Tempat / Tanggal Lahir : Purworejo/2 Juni 1971
4. Pangkat / Golongan : Penata Tk. I / IIIc
5. Jabatan : Lektor
6. Program Studi / Jurusan : Pendidikan Matematika / Pendidikan MIPA7. Fakultas : FKIP Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
8. Riwayat Pendidikan:
i. SD Negeri Pekutan I, Bayan Purworejo, 1978 1984
ii. SMPN 1 Kutoarjo, Purworejo, 1984 1987
iii. SMA Pius Bakti Utama, Bayan Purworejo, 1987 1990
iv. S1: Pendidikan Matematika, FKIP USD, 1990 1995
v. S2: Matematika, UGM, 2000 2003.
9. Pengalaman Mengajar:
i. Aljabar Vektor dan Matriks
ii. Aljabar Linear
iii. Pengantar Teori Probabilitas
iv. Statistika Elementer
10. Pengalaman Penelitian:
1. Metode Respon Teracak: Tinjauan Matematis dan Implikasi
Penggunaannya, Biaya: Kopertis (1998/1999, Mandiri)
2. Graf Euler-Hamilton: Karakteristik, Konsekwensi dan Aplikasinya,
Biaya: LPUSD (1998/1999, Mandiri)
3. Pembelajaran Matematika Berbantuan Microsoft Excel: Suatu Eksplorasi
Penyusunan Template Dan Handout Untuk Topik Grafik Fungsi
Trigonometri, Biaya: LPUSD (2002/ 2003, Anggota)
51
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
57/59
4. Penyusunan Model Simulasi Pembelajaran Persamaan Kuadrat untuk
Kelas 1 SMA dengan Pendekatan Matematisasi Berjenjang Biaya
LPUSD (2004, Mandiri)
5. Eksplorasi Program Komputer Wingeom Untuk Mendukung Pembelajaran
Geometri Dimensi Tiga Di SMU. Penelitian Dosen Muda, Biaya Dikti
(2005, Mandiri)
6. Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Matematika yang
Konstruktivistik, Kontekstual dan Kolaboratif Pada Materi Pokok
Trigonometri Di Kelas X SMA, Biaya: LPUSD (2006, Ketua).
7. Tingkat-Tingkat Berpikir Mahasiswa dalam Menerjemahkan Pernyataan
Matematis Berkuantor dari Bentuk Kalimat Biasa Menjadi Bentuk Kalimat
Formal, Biaya: LPUSD (2007, Ketua)
8. Eksplorasi Program Komputer Wingeom 2-Dim untuk Mendukung
Pembelajaran Geometri Di SMP. Biaya: Kopertis Wil V Yogyakarta
(2007, Mandiri)
9. Pengembangan Kurikulum dan Buku Ajar Matematika SMA yang
Mengintegrasikan Pendekatan Konstruktivistik, Kontekstual dan
Kolaboratif melalui Model Pembela-jaran Matematisasi Berjenjang.
Penelitian Hibah Bersaing Tahun I. Biaya: Dikti (2007, Ketua)
11. Pengalaman Penulisan Karya Ilmiah:
1. Kesetimbangan Diri Model Garis Produksi Bucket Brigade.
(Matematika Jurnal Matematika atau Pembelajarannya, Tahun VIII, Edisi
Khusus, Juli 2002, pp. 1020 1024., Mandiri)
2. Pembelajaran Geometri Dimensi Tiga Berbantuan Wingeom. (JMAP
Jurnal Matematika, Aplikasi dan Pembelajarannya, Vol.2 No. 1 Juni 2003,
pp. 21 23., Penulis Kedua).
3. Pembelajaran Matematika Berbantuan Microsoft Excel untuk Topik Grafik
Fungsi Trigonometri. (JMAP Jurnal Matematika, Aplikasi dan
Pembelajarannya, Vol.2 No. 1 Juni 2003, pp. 345 349., Penulis Kedua).
52
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
58/59
4. Penerapan Sistem Persamaan Linear Max-Plus x = A x b pada
Masalah Penjadwalan. (Math Info Jurnal Ilmiah Bidang Matematika,Informatika dan Terapannya., Volume 1 / No:4 / Januari 2004, pp. 14
19., Mandiri)
5. Potensi Program Maple untuk Mendukung Pembelajaran Matematika di
Perguruan Tinggi. (Prosiding Seminar Nasional Pemanfaatan Teknologi
Informasi dan Komunikasi pada Perguruan Tinggi, FT USD 26-27 Mei
2004., pp. 15 22., Mandiri).
6. Semimodul atas Aljabar Max-Plus. (Sigma Jurnal Sain dan Teknologi,
Vol. 7, No. 2, Juli 2004, pp. 131 139., Mandiri).
7. Pemecahan Masalah Matematika dengan Menggunakan Spreadsheets
Excel. (Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan
MIPA FMIPA UNY 2-3 Agustustus 2004, pp.M-328 M-334, Mandiri).
8. Sistem Persamaan Max-Plus. . (Sigma Jurnal Sain dan Teknologi, Vol. 8,
No. 2, Juli 2005, pp. 158 164., Mandiri).
9. Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Persamaan Kuadrat
untuk Kelas X SMA dengan Pendekatan Matematisasi Berjenjang. Widya
Dharma, Vol. 16. No. 1, pp. 67-76. Th. 2005., Mandiri)
10.Eksplorasi Program Komputer Wingeom Untuk Mendukung Pembelajaran
Geometri Dimensi Tiga Di SMU. Widya Dharma, Vol. 16. No.2. Th.
2006, pp.125 134., Mandiri).
11.Penerapan Diagram Voronoi pada Masalah Penentuan Wilayah Bisnis.
(Jurnal Penelitian LPPM Universitas Sanata Dharma No. 18, Mei 2006.,
Penulis Kedua).
12.Aljabar Max-Plus Matriks dan Teori Graf. (Sigma Jurnal Sain dan
Teknologi, Vol. 10, No. 2, Juli 2007, pp. 61 70., Mandiri).
13.Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Matematika yang
Konstruktivistik, Kontekstual dan Kolaboratif Pada Materi Pokok
Trigonometri Di Kelas X SMA. Widya Dharma, Vol. 18. No.2. Th. 2007,
pp.1 10, Penulis Pertama).
53
7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3
59/59
14.Semimodul BilanganFuzzyn
Rmax
atas Aljabar Max-Plus BilanganFuzzy
Rmax.Proseding Seminar Nasional Matematika,Permasalahan
Matematika dan Pendidikan Matematika Terkini FMIPA UPI dan
IndoMS, Bandung 8 Desember 2007 (Penulis Pertama).
15.Pemodelan Aljabar Max-Plus Dan Evaluasi Kinerja Jaringan Antrian
Fork-Join Taksiklik Dengan Kapasitas Penyangga Takhingga.Proseding
Seminar Nasional Sain dan Pendidikan Sain, Pembelajaran Sain yang
Menarik dan Menantang FSM UKSW, Salatiga 12 Januari 2008.
(Penulis Pertama).
Yogyakarta, Agustus 2008
(M. Andy Rudhito, S.Pd, M.Si)