8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
1/34
1 -1
“Principios da Conversao
”
Universidade Federal de Minas GeraisDepartamento de Engenharia ElétricaPrograma de Pós-graduação em Engenharia Elétrica
Ano: 2013
Prof. Selênio Rocha SilvaDepto. Eng. Elétrica
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
2/34
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
3/34
• Histórico:1820: descoberta do efeito magnético da corrente elétrica
(Oersted)
1831: descoberta da indução magnética por Faraday
1864: Maxwell estabelece as bases da teoria eletromagnética
1890: as principais formas de máquinas elétricas são
inventadas e o período até 1950 se caracteriza por intensa
pesquisa industrial
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
1 -10
• Estruturas atuais de máquinas elétricas :- máquinas síncronas: geração de energia elétrica
- máquinas assíncronas ou de indução: emprego amplo como
motores
- máquinas c.c. : uso como motor em acionamentos de altodesempenho
- motores monofásicos a comutador: eletrodomésticos (em
desuso)
- motores de passo: como servo-acionadores
- outras estruturas especiais: lineares, relutância chaveada, etc.
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
4/34
1 -2 6
RELAÇÕES FÍSICAS PRINCIPAIS• Lei de Ampère
• Relação B-H
• Lei Faraday-Lenz
∫ →→
==ℑ l d H i N ..
H B .µ=→→
=== ∫ Ad Bd d
N u . φ λ φ
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Lei de Laplace (Força de Lorentz)
→→→→→→→→
⊗==⊗= ∫ l l S
.Bvu .dEu BvE
XN S
dF
→→→
⊗= Bl d i F d .
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
5/34
1 -2 7
CIRCUITOS MAGNÉTICOS• Circuitos Magnéticos sem Entreferro:
i
N
∫ →→
==ℑ l d H i N ..
i N i N i N
l
i N H B
l
i N H l H i N
...
..
...
==
=⇒==ℑ
→→
µ µ
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Relutância do circuito magnético =
• Permeância do circuito magnético = P• Área da seção do núcleo magnético = A
• Indutância própria = L
P A
l
Al l S
1
...
==ℜ
ℜ
µ
µ
ℜ
P N N
L
i N
i.L. N
22
2
=
ℜ
=
ℜ==φ=λ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
6/34
1 -2 8
CIRCUITOS MAGNÉTICOS• Circuitos Magnéticos com Entreferro:
i
Efeito
g
Fe
Fe
g Fe
g B
l B
i N
g H l H i N
+=
+==ℑ
→→
0
...
...
µ µ
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
N
gdeespalhamento
( )
( ) g Fe
g Fe
Fe
g Fe g
S
N L N i L
A
g
A
l i N
B B A A
ℜ+ℜ=⇒==
ℜ+ℜ=
+=
=⇒==
20
Fe
..
...
AquedoConsideran
..
φ λ
φ µ µ
φ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
7/34
1 -2 9
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS• Saturação Magnética
4000500
/10.4 onde ,.
r
7
00
−=
== −
µ
π µ µ µ µ AWbr Fe
• Histerese Magnética
• Densidade de fluxo residual = Br
• Campo coercitivo = Hc
• Perdas por histerese
2,5a1,5n onde ,.. max == f Bk P n H H
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
8/34
1 - 3 0
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS
• Efeito de Correntes de Foucault
• Impedir a passagem de fluxo sobre o núcleo magnético
• Perdas Foucault
• Redução de perdas:
• Incluir Si (3,5%) no ferro
f .B.k P 22maxFF =
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Laminação do núcleo
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
9/34
1 - 3 1
Exemplo 1: Relé eletromecânicoi
N
g
• N = 500 espiras;• Comprimento do ferro = 360 mm;• g = 1,5 mm;
• B = 0,8 Tesla;
a) i = ?
g Bl H
g l Bi N Fe ... +=
+=
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
b)
c) Se o gap for nulo, qual é a corrente?
B
H
0,8 T
510 A.esp/m
Aii N
Fe
19,410.4
0015,0.2.8,036,0.510.
7
00
=⇒+=−π
1250
10.57,1
510
8,0
H
B
?
0
Fer
3
Fe
FeFe
Fe
≅µµ
=µ
===µ
=µ
−
A368,0500
36,0.510i ==
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
10/34
1 - 3 2
CIRCUITOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS
i
N N1
1
2
2i+ +
_ _
v v1 2
φ
φ
φ φ
m
m
l l
1
1
2
2
2111
222
111
2
222
1111
.
.
.
.
mm
N
N
dt
d
ir v
dt
d ir v
φ φ φ φ
φ λ
φ λ
λ
λ
++=
=
=+=
+=
l
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
2122 mm φ φ φ φ ++= l
secundáriodoãomagnetizaçdefluxo .
primáriodoãomagnetizaçdefluxo .
secundáriododispersãodefluxo
.
primáriododispersãodefluxo .
222
111
2
22
2
1
111
m
m
m
m
i N
i N
i N
i N
ℜ=
ℜ=
ℜ=
ℜ=
φ
φ
φ
φ
l
l
l
l
112
2
22
2
2
22
2
221
1
21
1
1
21
1
.
.
i N N
i N
i N
i N N
i N
i N
mm
mm
ℜ+
ℜ+
ℜ=
ℜ+
ℜ+
ℜ=
l
l
λ
λ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
11/34
1 - 3 3
CIRCUITOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS
112
2
22
2
2
22
2
221
1
21
1
1
21
1
.
.
i N N
i N
i N
i N N
i N
i N
mm
mm
ℜ+
ℜ+
ℜ=
ℜ+
ℜ+
ℜ=
l
l
λ
λ
mm
mm
m
N N N N L
N L N L
N L
N L
ℜ=
ℜ=
ℜ=
ℜ=
ℜ=
ℜ=
1221
2112
22
m2
21
1
2
22
2
1
21
1
.L
.
l
l
l
l
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• L12 = L21 !! Ambas as indutâncias mútuas são positivas já que
implicitamente está sendo considerada a polaridade aditiva dos
fluxos produzidos pelas bobinas;
• Define-se:
• Indutância própria da bobina 1:• Indutância própria da bobina 2:
•
1212222
2121111
..
..
i Li L
i Li L
+=
+=
λ
λ
1111 m L L L += l2222 m L L L += l
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
12/34
1 - 3 4
CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM MOVIMENTO
m
mm
i. N
i. N
. N
dt
di.r v
ℜ=φ
ℜ=φφ+φ=φ
φ=λ
λ+=
l
ll
i
N
x
+
_
v
22
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
gFem
mm
.2
iLLi
ℜ+ℜ=ℜ
+= ℜ
+ℜ
=λ l
l
+=ℜ⇒==
=ℜ=ℜ
xl
A A A A
A
x
A
l
r
m g Fe
g g
Fe Fe Fe
21
.
.
0
0
µ µ
µ µ
0,)(L se-temalto,muitoforSe
2
m
0
2
〉∀=
+
=
x x
k x
xl
A N L
r
r
m
µ
µ
µ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
13/34
1 - 3 5
MÁQUINA DE RELUTÂNCIA ELEMENTAR
+
_
i
v N
θr
)(Londe i).LL(
)0(d).(w
r mm
r
t
0r r
θ+=λ
θ+ξξ=θ ∫l
• Lm(0) = Lmax => Eixos alinhados
• Mínimo entreferro;
• L 90o = L => Eixos desalinhados
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Máximo entreferro.
L m
θrπ π2
L
L
A
B
).2cos(LL)(L r BAr m θ+=θ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
14/34
RELAÇÕES DE ENERGIA
SISTEMAELÉTRICO
SISTEMAMECÂNICO
CAMPODE ACO-
PLAMENTO
W
W WW W
WpE pM
E Me m
pf W
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
1 -36
pf emf
msM pMM
esE pEE
WWWW
WWWW
WWWW
−+=
++=
++=
W WsE sMWf
• Se o campo de acoplamento é
conservativo, isto é, não tem perdas,então...
emf WWW +=
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
15/34
1 - 3 7
RELAÇÕES DE ENERGIA
i
N
x
+
_
v
M K
x0
f
f e
r l
e02
2
f
f )xx(K dt
dxD
dt
xdMf
edt
dili.r v
−−++=
++=
== dx f dt ivW E . W .. M
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
D
∫
∫
∫∫
∫∫ ∫
−=
==
==
=
===
dx f W
dt
dx M dx
dt
xd M
dt
dt
dx Ddx
dt
dx D
dt ieW
il dt dt diil dt ir W
em
f e
pE
.
..W
....W
..
....W ..
2
21
2
2
sM
2
pM
2
21
sE
2
∫ −=+= dx.f dt.i.eWWW ef mef
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
16/34
1 - 3 8
RELAÇÕES DE ENERGIA• Em um sistema de múltiplas entradas elétricas e mecânicas:
CAMPO DE
We1
We2
Wm1
Wm2 ∑∑==
+=K
1k
mk
J
1 j
ejf WWW
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
ACOPLAMENTO
Wej Wmk
∫∑∫∑==
−=K
1k
k ek
J
1 j
jfjf dx.f dt.i.eW
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
17/34
1 - 3 9
ENERGIA E CO-ENERGIA
• “A energia armazenada em um
campo conservativo é função
apenas dos estados das variáveis
do sistema, e não da forma nas
quais estes estados são atingidos”.• Logo, se dx = 0, tem-se:
==J
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
∫∑=
λ=J
1 j
j jf di.'W
• Define-se co-energia:
∫∑=
=
λ=⇒λ
=J
1 j
j jf f
1 j
jfjf m
d.iW dt
de
..
∑=
λ=+J
1 j
j jf f i.'WW
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
18/34
1 -4 0
ENERGIA E CO-ENERGIA
• Escolha das variáveis de estado eletromagnéticas:
• Sex),i(i e )x,(WW
ou
x)(i, e x)(i,WW
f f
f f
λ=λ=
λ=λ=
λ∂+
λ∂=λ
λ=λ
dx.)x,i(
di.)x,i(
d
x)(i,
• Se
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
∫∫
∫∫
∫
ξξλ=λ=
ξξ∂ξλ∂
ξ=∂
λ∂=
=λ=
i
0
f
i
0
f
f
d).x,(di).x,i()x,i('W
d.)x,(
.dii
)x,i(.i)x,i(W
0dx para d.i)x,i( WComo
x
∫∫∫∫
∫
λ
λ
ξξ∂
ξ∂ξ=λ=λ
ξξ=λλ=λ
=λλ=λ
∂λ∂+λ
λ∂λ∂=
=
0
f
0f
f
d.)x,(i
di.)x,('W
d.)x,(id).x,(i)x,(W
0dx para d).x,(i)x,( WComo
dx.x
)x,(id.
)x,(idi
x,
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
19/34
1 -4 1
ENERGIA E CO-ENERGIA
• Exemplo 1: Em um sistema magneticamente linear:
2
21
f
2
21
f
'
i).x(Ldi.i).x(Ldi.'W
i).x(Li.L(x).di.diWdi).x(Ld
L(x)x),i( e L(x).ix)(i,
==λ=
==λ==λ
λ=λ=λ
∫∫∫ ∫
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Exemplo 2: Em um sistema linear multi-excitado:
f f
[ ] [ ]
2
22221
2112
2
11121
21f
12212222211211112211
2
1 j
j j21f
2221212
2121111
2112222121212
212111211
i.Li.i.Li.L)x,i,i(W
di.i.Ldi.i.Ldi.i.Ldi.i.Ld.id.id.i)x,i,i(W
(x).diL(x).diLd
(x).diL(x).diLd
LL e (x).iL(x).iLx),i,(i
(x).iL(x).iLx),i,(i
++=
+++=λ+λ=λ=
+=λ
+=λ
=+=λ
+=λ
∫∫∫∑=
0
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
20/34
1 -4 2
ENERGIA E CO-ENERGIA
• Exemplo 3: Considere o sistema magnético descrito por:
2
21
f
221
f
'
i).x
k 1,0(di.i).
x
k 1,0(di.'W
i).xk 1,0(di).
xk 1,0.(i.di
i)x,i(i..diW
).ix
k (0,1x)(i,
+=+=λ=
+=+=∂λ∂=λ=
+=λ
∫∫
∫ ∫∫
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Exemplo 4: Considere que:
f f
f f
3
312
f
3
3
2
f
2
'WW
i).x
k 1,0(di.i).
x
k 1,0(di.'W
i).x
k
1,0(di.i)x
k
1,0(2.i.dii
)x,i(
i..diW
).ix
k (0,1x)(i,
≠
+=+=λ=
+=+=∂
λ∂
=λ=
+=λ
∫∫∫ ∫∫
Obs.: Normalmente W’f >Wf,este exemplo é apenas
demonstrativo do processode cálculo!!!!
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
21/34
1 -4 3
ENERGIA E CO-ENERGIA
• Interpretação Gráfica da Conversão deEnergia
A
BD
C
0 i
λ x=x
x=xa
b
[ ] [ ]
[ ]
[ ] !!! 0AB0AreaWWW
CABDCAread.iW
0AC0Area0BD0AreaW
WWW
ef m
e
f
fAfBf
b
a
−=∆−∆=∆
=λ=∆
−=∆
−=∆
∫λ
λ
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Se ∆∆∆∆Wm é negativa, para a conversão desinais utilizada, a energia é fornecida aosistema mecânico e a operação é motor.
A
BD
C
0 i
λ x=x
x=xa
b
• Observe que a energia é cedida aosistema elétrico e que neste é maior quea energia recebida no caso anterior;operação gerador.
[ ] !!! 0AB0AreaWWW ef m +=∆−∆=∆
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
22/34
1 -4 4
ENERGIA E CO-ENERGIA
• Interpretação Gráfica da Conversão deEnergia
• Em um ciclo de ida e volta ao ponto B, a
partir de A (A→→→→B e B→→→→A) há uma energiaresultante para o sistema elétrico, fornecidapelo sustema mecânico, já que a energiaarmazenada no campo de acoplamento não se
A
BD
C
λ x=x
x=xa
b
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Isto é, ∆∆∆∆Wm = - ∆∆∆∆We;
•Concluindo-se:• Se a trajetória é A->B e B->A: ∆∆∆∆Wm > 0
• Se a trajetória é B->A e A->B: ∆∆∆∆Wm < 0
0 i
Operação motor Operação gerador
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
23/34
1 -4 5
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO
∑∑
∫∑∫∑
∑∑
==
==
==
−λ=
−=
+=
K
1k
k ek
J
1 j
j jf
K
1k
k ek
J
1 j
jfjf
K
1k
mk
J
1 j
ejf
dx.f d.idW
dx.f dt.i.eW
WWW
J,...2,1 j )x,...,x,x,i,...i,i(
)x,...,x,x,i,...i,i(WW
K 21J21 j j
K 21J21f f
=∀λ=λ
=
• Como
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
f
J
1 j
j j
K
1k
k ek
K
1k
k
k
jJ
1n
n
n
j
j
K
1k
k
k
f J
1 j
j
j
f f
dWd.idx).x,i(f
dx.x
)x,i(di
i
)x,i(d
dx.x
)x,i(Wdi
i
)x,i(WdW
−λ=
∂
λ∂+
∂
λ∂=λ
∂∂
+
∂∂
=
∑∑∑∑
∑∑
==
==
==
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
24/34
1 -4 6
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO
∂∂
+
∂∂
−
+
∂
λ∂+
∂
λ∂=
−λ=
∑∑
∑ ∑∑∑
∑∑
==
= ===
==
K
1k
k
k
f J
1 j
j
j
f
J
1 j
K
1k
k
k
jJ
1n
n
n
j
j
K
1k
k ek
f
J
1 j
j j
K
1k
k ek
dx.x
)x,i(Wdi
i
)x,i(W
dx.x
)x,i(di
i
)x,i(.idx).x,i(f
dWd.idx).x,i(f
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Separando os termos em dx
∑∑ ∑
∑∑∑∑
== =
====
∂∂
−
∂
λ∂
+
∂∂
−
∂
λ∂=
J
1 j
j
j
f J
1 j
J
1n
n
n
j
j
K
1k
k
k
f K
1k
k
k
jJ
1 j
j
K
1k
k ek
dii
)x,i(Wdii
)x,i(
.i
dx.x
)x,i(Wdx.
x
)x,i(.idx).x,i(f
• Observe que a diferencial “dx” não pode depender de “di”!!!
0!!
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
25/34
1 -4 7
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO
• Logo:
• E se:
∑∑∑∑====
∂∂
−
∂
λ∂=
K
1k
k
k
f K
1k
k
k
jJ
1 j
j
K
1k
k ek dx.x
)x,i(Wdx.
x
)x,i(.idx).x,i(f
1,2,...K k )x,i(W)x,i(
.i)x,i('W
Wi.'W
f J
jf
f
J
1 j
j jf
=∀∂
−
λ∂
=∂
−λ= ∑=
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
xxx k 1 j k k =
1,2,...K k x
)x,i('W)x,i(f
dx.x
)x,i('Wdx).x,i(f
k
f ek
K
1k
k
k
f K
1k
k ek
=∀∂
∂=
∂∂
= ∑∑==
• Procedimento idêntico produziria:
1,2,...K k x
)x,(W)x,(f
k
f ek
=∀∂
λ∂−=λ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
26/34
1 -4 8
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO
• Para movimento linear tem-se:
1,2,...K k x
)x,i('W)x,i(f
k
f ek =∀∂
∂=
1,2,...K k x
)x,(W)x,(f
k
f ek =∀∂
λ∂−=λ
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• Para movimento rotativo tem-se:
1,2,...K k ),i('W
),i(Tk
f ek =∀θ∂
θ∂=θ
1,2,...K k ),(W
),(Tk
f ek =∀θ∂
θλ∂−=θλ
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
27/34
1 -4 9
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADO
• Exemplo 5: Considere o dispositivo de conversão rotativo:
Máquinas Elétricas & Eletrônica de PotênciaMáquinas Elétricas & Eletrônica de Potência -- Unidade 1Unidade 1
+
_
i
v N
θr
)(Londe i).LL(
)0(d).(w
r mm
r
t
0r r
θ+=λ
θ+ξξ=θ ∫l
).2sen(..
).2sen(..2.)(
.),('
)].(['
).2cos()(
2
2
212
21
2
21
r Be
r B
r
r m
r
r f
e
r m f f
r B Ar m
LiT
Li L
iiW
T
i L LW W
L L L
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
−=
−=∂
∂=
∂
∂=
+==
+=
l
á é & ô êá é & ô ê
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
28/34
1 - 5 0
• Se o dispositivo é alimentado em corrente alternada:
• Obtem-se que:
eee
emax
t.
)sen(.Ii
ρ+ω=θ
θ=
CÁLCULO DE FORÇA E CONJUGADOMáquinas Elétricas & Eletrônica de PotênciaMáquinas Elétricas & Eletrônica de Potência -- Unidade 1Unidade 1
ee f ..2 π=ω
).2sen()].2cos(.[L.IT
).2sen(.sen.L.I).2sen(.L.)sen.I(T
112
r e
2
B
2
maxr B
2
emaxe
θθ−−=
θθ−=θθ−=
• Para existência de conjugado médio, os argumentos das funções
senoidais devem ser constantes (independentes do tempo), logo:
[ ]{ }).2.2sen().2.2sen().2sen(.L.IT)].2sen().2cos().2sen(.[L.IT
er er 41
r 21
B
2
maxe
r e21r 21B
2
maxe
θ−θ+θ+θ−θ−=θθ−θ−=
er
er
r 0
ω−=ω
ω=ω
=ω
!
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
29/34
sVα
r Vα
r θEixo estacionário
•
r ω
Exemplo 6:
Conversor rotativo eletromecânico a quatro enrolamentos
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
1 -51
sVβr Vβ
Eixo girante
Considerações:
• Entreferro uniforme e liso;
• Saturação desprezada;
• Enrolamentos em
quadratura;• Enrolamentos idênticos;
• Resistências constantes
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
30/34
1 - 5 2
d
dtdir v
dt
dir v
r
s
sss
ssss
α
βββ
ααα
λ
λ+=
λ+=
.
.
r r r r r r s sr s sr r
r r sr r s s s s s s s s
r r sr r s s s s s s s s
iiii
iiii
iiii
β β α α α α β β α α α α α
β β β α α β β β β α α β β
β β α α α α β β α α α α α
λ
λ
λ
....
....
....
llll
llll
llll
+++=+++=
+++=
Equações de TensãoEquações de Enlace de Fluxo
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
dt
dir v
dtr
r r r
r r r
βββ
αα
λ+= .
.r r r r r r s sr s sr r β β β α α β β β β α α β β ....=
r
r r r s s f
eiiiiW T
θ θ β α β α
∂∂= ),,,,('
Equação de conjugado:
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
31/34
1 - 5 3
Indutâncias do conversor rotativo:
=r r r r sr sr
r r r r sr sr
r sr s s s s s
r sr s s s s s
β β α β β β α β
β α α α β α α α
β β α β β β α β
β α α α β α α α
llll
llll
llll
llll
L
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
mútuassIndutância
)(.
)(.
)cos(.
0
rotor de própriassIndutânciaestator de própriassIndutância
==
−======
====
⇒+==⇒+==
r sr r s
r sr r s
r sr r s sr r s
r r r r s s s s
mr r r r r r
ms s s s s s
sen M
sen M
M
L L L L
θ
θ
θ
β α α β
α β β α
β β β β α α α α
α β β α α β β α
β β α α
β β α α
ll
ll
llll
llll
llll
l
l
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
32/34
1 - 5 4
...
..
21' T
f
r
r
s
s
r r r r sr sr
r r r r sr sr
r sr s s s s s
r sr s s s s s
r
r
s
s
energiacoenergiaW
i
i
i
i
β
α
β
α
β β α β β β α β
β α α α β α α α
β β α β β β α β
β α α α β α α α
β
α
β
α
λ
λ
λ
λ
−=⇒=
=
⇔=Λ
iLi
iL
llll
llll
llll
llll
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
)]..(cos)..(.[
...21
r sr sr r sr sr e
r
T
e
iiiiiiii sen M T
éticoeletromagnconjugadoT
α β β α β β α α θ θ
θ
−++−=
⇒∂∂
= iL
i
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
33/34
1 - 5 5
Cálculo das condições de produção de conjugado médio útil:
• Se alimentarmos com corrente alternada, tanto estator como
rotor, com fontes independentes e genéricas sendo contudoque, as bobinas de um mesmo enrolamento (estator ou rotor)
são alimentadas por ondas defasadas de 90 graus
elétricos(!!), isto é:
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
RRRRr r
Rr r
eee
ess
ess
tIi
Ii
tIi
Ii
ρ+ω=θ
θ−=
θ=
ρ+ω=θ
θ−=θ=
β
α
β
α
.)cos(.
)sen(.
.)cos(.
)sen(.
max
max
max
max
8/19/2019 Principios de conversão eletromecanica
34/34
1 - 5 6
Conjugado eletromagnético vale:
ror r r Rer se t I I M T θ ω θ θ θ θ +=⇒−−= .)sen(... maxmax
• Esta fórmula é similar a:
)sen(... sr r se F F k T δ =
Dinâmica de Motores ElétricosDinâmica de Motores Elétricos -- Unidade 1Unidade 1
• on ç o para ex s nc a e con uga o m o n o-nu o:
• Máquina C.C. :• Máquina Síncrona:
• Máquina Assíncrona:
)sen(.. .maxmax ro Rer ser Re I I M T θ ρ ρ ω ω ω −−=⇒+=
r Re
r e R
r Re
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
+=
=⇒=
−=⇒=
0
0