PRESSIONE IDRODINAMICA SULLE DIGHETeoria di Westergaard
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Propagazione onde nei fluidi
RICHIAMI: PROPAGAZIONE ONDE NEI FLUIDI
IPOTESI DI LAVORO: Fluido ideale
• Omogeneo• Isotropo• Perfettamente Elastico• Non dissipativo
EQUAZIONE DI EULERO + EQUAZIONE DI CONTINUITA’ + EQUAZIONE DI STATO (del moto) (conservazione materia) (termodinamica)
EQUAZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA
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Propagazione onde nei fluidi
RICHIAMI: PROPAGAZIONE ONDE NEI FLUIDI
EQUAZIONE DI EULERO: 2° legge dinamica su un volume di controllo contenente una massa
Forza agente nella stessa direzione in cui agisce la pressione p:
Forza agente espressa come massa per accelerazione:
Equazione del moto (hp piccole variazione di ρ):
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Propagazione onde nei fluidi
RICHIAMI: PROPAGAZIONE ONDE NEI FLUIDI
EQUAZIONE DI CONTINUITA’: variazione di massa su un volume di controllo dovuta ad uno spostamento
Variazione totale (massa/densità):
Equazione della conservazione del flusso (hp piccole variazione di ρ):
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Propagazione onde nei fluidi
RICHIAMI: PROPAGAZIONE ONDE NEI FLUIDI
EQUAZIONE DELL’ONDA
EQUAZIONE DI STATO
EQUAZIONE DI CONTINUITA’
EQUAZIONE DI EULERO
Velocità di propagazione c
Nei fluidi con Ks modulo ELASTICITA’In acqua c = 1481 m/s
Nell’aria c = 345 m/s
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CONSIDERAZIONI SUI PERIODI
• Periodo proprio sbarramento, , minore di 1
• Periodo azione sismica, T, maggiore di 1
NO AMPLIFICAZIONE DINAMICA Ω = Ti/T ≠ 1
Modello teoria di Westergaard su diga a gravità massiccia
Fonti: ‘’ H.M. WESTERGAARD Water pressures on dam during earthquake, Transaction ASCE,Paper n°1835 pagg. 419-433, 1933’’
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
IPOTESI DI LAVORO
• Uguale u, v e a per tutti i punti del terreno, per azione di αg
• Paramento di monte verticale
• Accelerazione sismica orizzontale normale al paramento
• Diga sufficientemente rigida
• Moto piano e piccoli spostamenti
• Serbatoio sufficientemente esteso in direzione normale alla diga
• Liquido comprimibile
Problema risolto come statico equivalente: applicazione forze di inerzia sulla diga
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
SOLUZIONE ESATTA DEL PROBLEMA:
Con l’hp di moto a piccoli spostamenti, l’equazione di propagazione dell’onda nei fluidi è scritta utilizzando la teoria elastica con assenza di sollecitazioni di taglio. In un volume dxdydz, la forza su una faccia scritta come massa per accelerazione vale:
Relazione sforzo-deformazione
con k modulo di compressibilità del fluido ξ, η componenti del vettore spostamento
∂𝜎∂ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=𝜌 ∂
2𝜉∂ 𝑡 2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
∂𝜎∂ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=𝜌 ∂
2𝜂∂ 𝑡2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧σ=𝑘(𝜕 𝜉𝜕𝑥 + 𝜕𝜂𝜕 𝑦 )
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CONDIZIONI AL CONTORNO:
• σ = 0 per y = 0, sforzo nullo al pelo libero
• η = 0, per y = , spostamento verticale nullo al fondo
• , uguale allo spostamento del terreno
• σ → 0 per x → ∞
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
Componenti del vettore spostamento:
Tensione e massima pressione dell’acqua sulla diga:
Valore massimo, p (= -σ per x=0) per t = 0, T, 2T, etcDistribuzione parabolica con tg orizzontale al pelo libero e verticale al fondo
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
SOLUZIONE APPROSSIMATA DEL PROBLEMA:Si elimina la dipendenza dalle frequenze introducendo una distribuzione parabolica approssimata (solo considerazioni di forma)
Distribuzione pressioni idrodinamiche sull’altezza del paramento:
Altre grandezze significative:
SPINTA AGENTE
MOMENTO FLETTENTE, b = 2/5 Distribuzione esatta e approssimata pressioni idrodinamiche
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Teoria di Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CONSIDERAZIONI
• La distribuzione approssimata non assicura la presenza della tangente verticale al fondo• L’errore associato alla distribuzione approssimata è solo di qualche punto percentuale rispetto a quella esatta• Per valori di ≥ 250 m, non si può usare l’andamento approssimato (spinta no a favore di sicurezza)• Per azioni sismiche verticali (generalmente trascurabili secondo queste teoria) si distinguono due casi:
- αg ≤ 0.1, risultante forza peso inclinata - αg ˃ 0.1, studio paramento inclinato di α sulla verticale
• Anche se generalmente assente, Westergaard studia la possibile presenza del fenomeno della risonanza• La ricerca del coefficiente C può essere effettuata uguagliando pressione esatta e approssimata in un punto
caratteristico
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Teoria di Westergaard: concetto di massa aggiunta
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CONCETTO DI MASSA AGGIUNTA
Per visualizzare l’azione dinamica dell’acqua si può pensare di considerare una certa massa attaccata al paramento della diga che si muove solidarmente con esso. L’entità di questa massa è definita dal parametro b, larghezza di massa aggiunta:
DALL’EQUILIBRIO DI FORZA DI INERZIA E PRESSIONE IDRODINAMICA
Rappresenta la quantità di massa che induce la pressione idrodinamica definita da Westergaard
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Teoria di Westergaard: Grandi spostamenti
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CINEMATICA DEI GRANDI SPOSTAMENTI
Westergaard discute la validità dell’ipotesi di base, ossia piccoli spostamenti e deformazioni. Essa non vale per:
• Fenomeno di risonanza
A partire dall’equazione:
e sapendo che la lunghezza d’onda è pari a →
Il valore di λ per il quale → 0 per n=1 è pari a 4H, dal quale si ricava il periodo di risonanza del sistema:
𝑝=− 8𝛼𝜌 𝐻𝜋 2 ∑
1,3,5. .
𝑛 1𝑛2𝑐𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝑦2𝐻 con𝑐𝑛=√1− 16 𝜌 𝐻 2
𝑛2𝑘𝑇 2
Ad esempio:Per H = 100 m, Ti = 0.273 s e per T = 0.3 s → Ω = Ti/T = 0.90 → AMPLIFICAZIONE DINAMICA
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Teoria di Westergaard: Grandi spostamenti
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIA DI WESTERGAARD(H. M. Westergaard (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
CINEMATICA DEI GRANDI SPOSTAMENTI
Westergaard discute la validità dell’ipotesi di base, ossia piccoli spostamenti e deformazioni. Essa non vale per:
• Spostamenti verticali
Imponendo il valore di e scrivendo le espressioni dello spostamento verticale, η, si ricava che η e la sua derivata tendono ad infinito per x = y = 0. In questo caso i grandi spostamenti, secondo l’autore, sono da trascurare in quanto la porzione di fluido interessata da η grandi è molto piccola.
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Teorie successive a Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETeoria di Von Karman
In questa teoria si introduce una notevole semplificazione:
• INCOMPRIMIBILITA’ DEL FLUIDO per frequenze dei moti sismici
A partire da sole considerazioni meccaniche, i valori massimi (al piede del paramento) di pressione, spinta e momento flettente sono date dalle espressioni:
(T. Von Karman (1933) su un paramento verticale per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
ESPRESSIONI UTILIZZATE NELLA PRECEDENTE NORMATIVA ITALIANA
(Regolamento Italiano Dighe – D.P.R. 1° Novembre 1959, n. 1363)
Fonti: ‘’ T. VON KARMAN, Water pressures on dam during earthquake, Transaction ASCE, 1933’’
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Teorie successive a Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETeoria di Zangar
Lo studio condotto è su un modello analogico elettrico e si cercano le soluzioni di una equazione differenziale della pressione nella forma di Laplace, determinando il flusso della corrente elettrica a regime. Applicabile con le hp:
• Moto piano e piccoli spostamenti• Diga sufficientemente rigida• Serbatoio infinito• Fluido incomprimibile
(C.N. Zangar & R.J. Rafaeli (1952) su un paramento per effetto di αg, accelerazione sismica orizzontale)
ESPRESSIONI UTILIZZATE NELLA ATTUALE NORMATIVA ITALIANA«Decreto Ministeriale 6/2014 – Norme tecniche per il progetto e la costruzione degli sbarramenti di ritenuta (dighe e traverse)»
Fonti: ‘’C.N. ZANGAR & R.J. RAFAELI, Electric analog indicates effect of horizontal earthquake shock on dams, Civil Engineering, April 1952’’
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Teorie successive a Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
Chopra analizza per la prima volta l’interazione tra diga e serbatoio e il fenomeno dell’amplificazione dinamica; l’intero sistema è visto come la somma di due problemi:
1) Risposta diga indipendentemente dal serbatoio2) Pressioni idrodinamica che sulla diga supposta rigida
PROBLEMA N°2 : Ricerca delle pressioni idrodinamiche nelle condizioni di Westergaard per effettuare un confronto
Hp di lavoro:- Diga rigida e paramento di monte verticale- Fluido comprimibile- Serbatoio infinitamente esteso nella direzione del moto- Moto piano e piccoli spostamenti- Moto ondoso trascurabile Fonti: ‘’ A. K. CHOPRA, Journal of the Engineering Mechanics Division,
ASCE, Dicembre 1967, pagg. 205-223’’
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Teorie successive a Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra
CONSIDERAZIONI PRELIMINARI RISPETTO ALLA TEORIA DI WESTERGAARD:
• Range di periodi sismici: Nei casi reali, il periodo T può essere minore di 1 s e si possono verificare casi in cui Ω è prossimo all’unità
• Non applicabilità della teoria di Westergaard: Per T > Ti, con Ti = 4H/v, periodo di risonanza del sistema accoppiato, l’espressione per il calcolo delle pressioni
Fonti: [1] ‘’S. KOTSUBO, Dynamic water pressure on dams during earthquake, Memoirs Faculty of Engineering, Kyushu University, Fukuoka, Japan, 1969, vol. 18 n.4’’
idrodinamiche non è utilizzabile (non fornisce risultati) [1]
(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
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Teorie successive a Westergaard
PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra
CONSIDERAZIONI PRELIMINARI RISPETTO AL MODELLO DI CALCOLO:
• Rapporto L/H: La condizione di serbatoio infinito nella direzione del moto si ottiene per valori del rapporto L/H > 3 [2], [3]
• Comprimibilità del fluido: L’ipotesi viene utilizzata solo da Westergaard e Chopra; nel caso di fluido incomprimibile le distribuzioni di pressioni idrodinamiche non variano con il periodo della forzante sismica (errori significativi)
Fonti: [2] ‘’J. I. BUSTAMANTE et all., Presion hidrodinamica en presas y depositos, Boletin Sociedad Mexicana de Ingenieria Sismica, Vol. 1, n°2, Ottobre 1963’’
[3] ‘’H. A. BRAHTZ et all., Discussion of «Water pressure on dams during earthquakes, Transaction, ASCE, Vol. 98, 1933’’ [4] ‘’CHZEN’-CHEN, The effect of dynamic fluid pressure on dam during earthquake, Journal of Applied Mathematics and
Mechanics (P.M.M.), Vol. 25, n°1, 1961’’
(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
• Moto ondoso: Non considerare il moto sulla superficie libera induce un errore massimo del 5% (dipendente da Hi e Ti) [4]
• Accelerazioni sismiche verticali: Esistono delle condizioni per le quali (a parità di a = αg) le pressioni dovute ad accelerazioni verticali sono maggiori di quelle che si avrebbero per accelerazioni orizzontali [1]
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PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
EQUAZIONI DEL MOTO E SOLUZIONE DEL PROBLEMA ACCOPPIATO
Definizione del potenziale φ, per il quale:
𝜕2𝜙𝜕𝑥2
+𝜕2𝜙𝜕 𝑦2
=𝜌𝑘𝜕2𝜙𝜕𝑡 2
𝑝=𝜌 ∂𝜙∂𝑡
𝑝𝑥 (0 , 𝑦 , 𝑡 )=− 4𝛼𝜌𝜋 [𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 ∑𝑛=1
𝑛 1− 1 (−1 )𝑛−1
(2𝑛−1 ) √𝜔2
𝑐2− 𝜆𝑛
2
cos 𝜆𝑛 𝑦+cos𝜔𝑡 ∑𝑛=𝑛1
∞ (−1 )𝑛−1
(2𝑛−1 ) √𝜆𝑛2− 𝜔
2
𝑐2
cos 𝜆𝑛 𝑦 ]Considerando l’accelerazione del terreno nella sola componente x e le condizioni al contorno (alla Westergaard):
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PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
CONFRONTO CON LA TEORIA DI WESTERGAARD
Westergaard utilizza un’oscillazione armonica del tipo e la sua relazione è del tipo:
𝑝𝑥 (0 , 𝑦 , 𝑡 )=− 4𝛼𝜌𝜋 [𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 ∑𝑛=1
𝑛 1− 1 (−1 )𝑛−1
(2𝑛−1 ) √𝜔2
𝑐2− 𝜆𝑛
2
cos 𝜆𝑛 𝑦 ]• Le due equazioni sono identiche per n1 = 1 o per ω < ωi (T > Ti) dal momento che il termine in seno
(nell’equazione di Chopra) si elimina;
• Per ω > ωi (T < Ti), il termine in seno non scompare ed esso rappresenta la parte non in fase con l’eccitazione (inapplicabilità della teoria di Westergaard) [1]
In cui n1 è il minimo valore di n per il quale si ottiene
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PRESSIONE IDRODINAMICA: TEORIE SUCCESSIVETrattazione di Chopra(A. K. Chopra (1967), Interazione diga-serbatoio per evento sismico casuale)
CONCLUSIONI:
• La risposta diventa grande quando il valore di Ω è pari a 1,3,5,7...; in ogni caso il fenomeno di risonanza diventa molto più pronunciato per valori bassi del rapporto tra le frequenze circolari (in particolare quando è pari a 1);
• Per Ω <3, la risposta per moto del terreno verticale è maggiore di quella ottenuta per moto orizzontale; anche la risposta verticale è soggetta al fenomeno di risonanza;
• Sia la risposta verticale che orizzontale decresce velocemente con l’aumentare di Ω;
• Se il fluido è incomprimibile c → ∞ e la risposta risulta identica al caso di Ω uguale o prossimo a 0, non variando con la frequenza della forzante. L’errore associato a questa ipotesi diventa molto grande quando Ω è prossimo a 1.