MATEMATIKA BISNIS
Kelompok 1 :Titi Anisah
43211110015Okky Damayanti
43211110017Lyanti
43211110067Inry Purba 43211110256Alfin Ramdani 43211110102
Fungsi & Hubungan Linear
1Created by Kelompok 1
DEFINISI FUNGSIFungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub. fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
y = a + b x Independent Variabel
Dependent
Variable
Koefisien Variabel X
Konstanta
BAB 5
2Created by Kelompok 1
NOTASI FUNGSI
Y = f (x)Y = 5 + 0.8 x
f (x) = 5 + 0.8 x5 Konstanta0,8 Koef. Variabel xX Variabel bebasY Variabel Terikat
3Created by Kelompok 1
Jenis – Jenis Fungsi
Fungsi
Fungsi Aljabar Fungsi non aljabar
(transenden) Fungsi Fungsi RasionalIrrasional
F. Polinom F. Pangkat F. EksponensialF. Linear F.
LogaritmikF. Kuadrat F. TrigonometrikF. Kubik F.
HiperbolikF. Bi kuadrat
4Created by Kelompok 1
Fungsi Rasional
Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.
Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).
a1 ≠ 0
y = a₀ + a₁x + a₂x² +…...+ anxⁿ
y = a₀ + a₁x
5Created by Kelompok 1
Fungsi Rasional
Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.
a₂ ≠ 0
Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).
an ≠ 0
y = a₀ + a₁x + a₂x²
y = a₀ + a₁x + a₂x² + …+ an-1xⁿ¯¹ + anxⁿ
6Created by Kelompok 1
Fungsi Rasional
Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.
n = bilangan nyata bukan
nol.
y = xⁿ
7Created by Kelompok 1
Fungsi Non Aljabar
Fungsi Eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol.
n > 0
Fungsi Logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
y = nˣ
y = ⁿ log x
8Created by Kelompok 1
Fungsi Non Aljabar
Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik.
persamaan hiperbolik y = arc cos x
persamaan trigonometrik y = sin x
9Created by Kelompok 1
Bentuk Umum Persamaan Fungsi yang Eksplisit dan
Implisit
Fungsi Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit
Umum Y = f ( x ) f ( x , y ) = 0
Linear Y = a ₀ + a ₁ x a ₀ + a ₁ x – y = 0
Kuadrat Y = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² - y = 0
KubikY = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³
a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ - y = 0
10Created by Kelompok 1
Penggal
Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku sebaliknya).
Contoh : y = 16 – 8x + x2 penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4 penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16
11Created by Kelompok 1
Simetri
Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus teradap segmen garis yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi.
12Created by Kelompok 1
Perpanjangan
Konsep perpanjangan menjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau y tertentu.
Jika sebuah variabel berpangkat genap, maka penyelesaian untuk variable yang bersangkutan akan melibatkan akar berpangkat genap
13Created by Kelompok 1
Asimtot
Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut.
Jarak tersebut tidak akan menjadi nol. Tidak akan terjadi perpotongan antara garis
lurus dan kurva. Penyelidikan asimtot berguna untuk
mengetahui pola kelengkungan kurva yang akan digambarkan
14Created by Kelompok 1
FAKTORISASI
Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. Contohnya :
f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
Persamaan 2x² – xy – y² = 0Maka Faktorisasinya adalah
(x – y) (2x + y) = 0
15Created by Kelompok 1
Hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi.Materi yang dipelajari : Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear
* Cara dwi- kordinat* Cara koordinat- lereng* Cara Penggal lereng* Cara dwi- penggal
Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear
* Cara substitusi* Cara eliminasi* Cara determinan
BAB 6
16Created by Kelompok 1
a1 2 3 4 5 x
y
y = a + bx
∆x∆y=b
bb
b
b
a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0
b: lereng garis, yakni pada x = 0, pada x = 1, pada x = 2,
lereng fungsi linear selalu konstan
Penggal dan Lereng Garis Lurus
y
x
a
c0
x =
c
y=a
y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y
x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x 17Created by Kelompok 1
Pembentukan Persamaan Linear
1. Cara Dwi- Koordinat
• Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan linearnya adalah:
12
1
yy
yy
=
12
1
xx
xx
y
x0
A (x1, y1)
B (x2, y2)
18Created by Kelompok 1
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah:
2. Cara Koordinat-Lereng
y – y1 = b (x – x1)b = lereng
garis
3. Cara Penggal- Lereng
• Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut.
• y = a + bx
(a= penggal, b= lereng)19Created by Kelompok 1
Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, o penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) o penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0).
Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah :
4. Cara Dwi-Penggal
xc
aay
a = penggal vertikalb = penggal horizontal
y
x0
AP
b
B
c
1 2 3 4 5 6
a1
2
3
-x
3,5
5
4
y = 2 + 0,5x
20Created by Kelompok 1
Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat(y2 – y1) terhadap selisih antara dua absis (x2 - x1). Menurut cara dwi koordinat, rumus persamaan linear adalah :
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
• Bila di uraikan :
12
12
11
112
121
12
1121
berarti
)(
: lereng-koordinat caramenurut sedangkan
xx
yyb
xxbyy
xxxx
yyyy
xx
xxyyyy
21Created by Kelompok 1
Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang :
Hubungan Dua Garis Lurus
* Berimpit :
y1 = ny2
a1 = na2
b1 = nb2
* Sejajar :
a1 ≠ a2
b1 = b2y 1 = a 1
+ b 1x
y 2 = a 2
+ b 2x
x
y
0
y 1 = a 1
+ b 1x
y 2 = a 2
+ b 2x
x
y
0
y 1 = a 1 + b 1
x
y2 = a2 + b2x
y
0 x
* Berpotongan :
b1 ≠ b2
y 1 = a 1
+ b 1x
y
0 x
* Tegak Lurus :
b1 = - 1/b2
22Created by Kelompok 1
Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan tak diketahui (bilangan anu) dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penylesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui 3 macam cara :
cara substitusi cara eliminasi cara determinan
Pencarian Akar-akar Persamaan Linear
1. Cara Substitusi• Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat
diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain.
• Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y
2x + 3y = 212(23 – 4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 2146 – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5
23Created by Kelompok 1
2. Cara Eliminasi • Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara
menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.
5 ,255
4682
2132
2
1
234
2132
yy-
yx
yx
yx
yx
3. Cara Determinan• Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan
persamaan yang jumlahnya banyak.• Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi
afhdbigecchdbfgaei
ihg
fed
cb
ed
ba
a
3 derajad determinan
db-ae
2 derajad determinan
24Created by Kelompok 1
Ada 2 persamaan :ax + by = cdx + ey = f
Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
dbae
dcaf
ed
ba
fd
ca
D
Dyy
dbae
fbce
ed
ba
ef
bc
D
Dxx
Determinan
25Created by Kelompok 1
Thanks For Your
Attention..
!! Hope This Mathematics Materi Can Be Usefull For
You
26Created by Kelompok 1