Polynomial Regression on Riemannian Manifolds
Albert Thomas, Florent Renucci
SommaireIntroductionI - Définition d’un polynôme sur une variété riemannienneII – Intégration - Méthode d’EulerIII – Résultats de l’algorithme sur la sphèreIV – Régression polynomialeV – Application à l’évolution d’un crâne de ratConclusion et discussion
IntroductionObjectif : adapter la régression polynomiale paramétrique aux variétés riemanniennes.
Régression : Etablissement d’un lien entre les variables explicatives et la variable à estimer. déterminer la fonction, parmi une classe de fonctions, qui décrive ce lien de manière optimale.
Critère : moindres carrés.
I - Définition d’un polynôme sur une
variété riemannienneUn polynôme de degré k est entièrement caractérisé par la donnée de :
Par analogie, sur une variété riemannienne munie de la dérivée covariante :
II - Intégration
• Pas de formule explicite : calcul numérique
Conditions initiales :
• Schéma d’Euler
II - Intégration
III - Exemple de la sphère
• Géodésique :
IV – Régression polynomiale
• N observations y1, . . . , yN ∈ M aux temps t1,...,tN.
Calcul du polynôme riemannien. γ de degré k.
Déterminer qui minimisent le critère
Minimiser
sous contraintes
IV – Régression polynomiale
Minimiser sous contraintes
Multiplicateurs de Lagrange, minimisation du lagrangien à l’aide de la méthode des variations.
IV – Régression polynomiale
Critère à minimiser :
: écart par rapport à la valeur prédite par une constante
: somme des carrés des écarts
On peut donc définir par analogie :
V - Croissance d’un crâne de rat
• Kendal shape space
R21 = 0.79
R22 = 0.85
R23 = 0.87
ConclusionPoint positifs :• Définition d’une régression polynomiale sur une
variété• Applications
Critiques :• Choix du degré du polynôme• Choix du pas d’intégration
