พชีคณิตของพหุนาม-การแยกตวัประกอบ ทฤษฎเีศษเหลอื การแยกเศษส่วนย่อย การหาผลเฉลยของสมการพหุนามก าลงัมากกว่าสอง
ฟังก์ชันและกราฟ- กราฟของสมการเชิงเส้น เส้นโค้ง-ภาคตดักรวย วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา-การย้ายแกน กราฟและพชีคณติของรูปทรงพืน้ฐาน
ผศ.ดร.เจษฎา ตณัฑนุช
พชีคณติของพหุนาม
พนุนามเป็นการขยายความคิดจากฟังก์ชนัเชิงเส้น โดย พนุนามและสมการพนุนาม มีความยุ่งยาก และซับซ้อนในการหาผลเฉลยมากกว่าปัญหาเชิงเส้น แต่สามารถน าไปประยกุต ์แกปั้ญหาในชีวิตประจ าวนัไดห้ลากหลายมากข้ึนเช่นกนั
พหุนามเราเรียกพจน์ซ่ึงอยูใ่นรูป
1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
วา่พหุนาม (polynomail) ระดบัขั้น (degree) n
โดยท่ี 0na
1 2 1 0, , , , ,n na a a a a
ซ่ึงเป็นค่าคงตวัวา่ สัมประสิทธ์ิ (coefficients) ของพหุนาม
และเรียก
naเรียก
1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ nx
1na เรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ 1nx
1aเรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ x
0aเรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ 1
ตัวอย่าง2 2 1x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
(quardratic polynomail)
2 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
2 1x เป็นพหุนามระดบัขั้น
22 x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
ตัวอย่าง3 23 3 1x x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
(cubic polynomail)
310x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
3 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
ตัวอย่าง4 3 24 6 4 1x x x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
(quartic polynomail)
4 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น
4 1x เป็นพหุนามระดบัขั้น
ก าหนดให้ 2( ) 4 2 5P x x x
จงหาค่า (1)P (0.5)P ( 2)P ( )P y
การเท่ากนัของพหุนามสองพหุนามใดๆ จะมีค่าเท่ากนักต่็อเม่ือ มีสมัประสิทธ์ิหนา้ เท่ากนัทุก k=1,…,nkx
ตัวอย่าง3 2 3 22 4 7 10x x x Ax Bx Cx D
A
B
C
D
ตัวอย่าง3 2 2 4Ax Bx Cx D x
A
B
C
D
คุณสมบตัิความเป็นเชิงเส้นของพหุนาม
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
n n
n n
n n
n n
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
ตัวอย่าง
3 24 2 4 7 10x x x
1. การคูณดว้ยค่าคงตวัใดๆ
ตัวอย่าง
3 2( 2) 2 4 7 10x x x
3 2(0) 2 4 7 10x x x
2. การบวกกนัของพหุนามใหท้ าการบวกและลบกนัเฉพาะสมัประสิทธ์ิท่ีอยูห่นา้ kx
ตรงกนัเท่านั้น
1 0 1 0
1 1 0 0
n n
n n
n
n n
a x a x a b x b x b
a b x a b x a b
1 0 1 0
1 1 0 0
n n
n n
n
n n
a x a x a b x b x b
a b x a b x a b
ตัวอย่าง
3 2 4 22 4 7 10 2 4 1x x x x x x
3 2 3 22 4 7 10 2 4 1x x x x x x
แบบฝึกหัด
3 2 22 4 7 10 4 2 5x x x x x
3 2 22 4 7 10 4 5x x x x
3 2 22 2 4 7 10 3 4 5x x x x
จงหาค่า
การคูณกนัของพหุนาม
การคูณกนัของพหุนามใหท้ าการคูณกระจายเหมือนการคูณตวัเลขทัว่ไป
( 1)(1 )x x
(2 1)(2 )x x
(2 )(2 1)x x
สังเกตไดว้า่การคูณกนัของพหุนาม มีคุณสมบติัสลบัที่( ) ( ) ( ) ( )P x R x R x P x
ก าหนดให้ ( )P x และ ( )R x เป็นพหุนาม
2( 1)(1 )x x x
2( 1)( 1)x x x
จงหาค่า ( ) ( )P x R x เม่ือ( ) 4 5P x x 3 2( ) 3 4 6R x x x x
แบบฝึกหัด
( ) ( ) ( ) ( )n
n times
P x P x P x P x
การยกก าลงัของพหุนาม
2( 1) ( 1)( 1)x x x
3( 1)x
8( 1)x
สามเหลีย่มปาสคาล (Pascal Triangle)1
0( )x y
1( )x y
2( )x y
3( )x y
4( 2)x
4( 2)x
2 5 6 ( )( )x x x A x B ถา้จงหาค่า A และ B
การหารพหุนาม
การหารพหุนาม ท าไดโ้ดยการหารยาว ซ่ึงในการหารน้ีเราจะได ้ผลหาร (quotient) และ เศษเหลอื(remainder)
จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย4 3 2( ) 2 3 5 6P x x x x x
2 2x x
จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x
พหุนาม = ตวัหาร x ผลหาร + เศษเหลือ
ถ้าเศษเหลอืมค่ีาเป็น 0พหุนาม = ตวัหาร x ผลหาร
ตวัประกอบ (factor)
3 2 21 ( 1)( 1) 2x x x x x
เศษเหลือ (remainder) คือ 23 2 22 ( 1)( 1) 1x x x x x
เศษเหลือ (remainder) คือ -13 2 21 ( 1)( 1)x x x x x
ตวัประกอบ (factor)
3 21 ( 1)( 1)x x x x
ตวัประกอบของ 3 1x
3 21 ( 1)( 1)x x x x
ตวัประกอบของ 3 1x
2 5 6 ( 3)( 2)x x x x
ตวัประกอบของ 2 5 6x x
2 22 1 ( 1) ( 1)( 1)x x x x x
ตวัประกอบของ 2 2 1x x
ทฤษฎบีท1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
เศษเหลือจากการหารพหุนาม
ดว้ย x a คือ ( )P a
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x
ตัวอย่าง
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x
ตัวอย่าง
จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3 2( ) 3 2 4 9P x x x x 2x
ตัวอย่าง
จงหาค่า a เม่ือเศษเหลือจากการหารพหุนาม ดว้ย3 22x x a 2x
แบบฝึกหัด
คือ -9
สมการพหุนาม
สมการพหุนามคือสมการท่ีอยูใ่นรูป( ) 0P x
1
1 1 0 0n n
n na x a x a x a
หรือ
1
1 1 0 0n n
n na x a x a x a
รากของสมการ(root of the equation.)
1
1 1 0 0n n
n na x a x a x a
รากของสมการ(roots of the equation.)
รากของสมการพหุนาม
รากของสมการพหุนาม (roots of the equation)คือ ค่า x0 ท่ีท าใหส้มการพหุนามมีค่าเท่ากบั 0
0( ) 0P x
1
0 1 0 1 0 0 0n n
n na x a x a x a
หรือ
3 1 0x
ตัวอย่างมีรากของสมการคือ x=
2 5 6 0x x มีรากของสมการคือ
2 1 0x มีรากของสมการคือ
10( 1) 0x มีรากของสมการคือ
1
0 1 0 1 0 0
n n
n na x a x a x a
ถา้พหุนาม
สามารถแยกตวัประกอบ (factor)ไดเ้ป็น
0 1 0 0 ( ) ( )n
na x a x a x a R x
a จะเป็นรากของสมการพหุนาม1
0 1 0 1 0 0 0n n
n na x a x a x a
ตัวอย่าง3 1 ( )( )x
รากของสมการพหุนาม 3 1 0x คือ
2 5 6 ( 3)( 2)x x x x
รากของสมการพหุนาม 2 5 6 0x x คือ
วธีิการหารากของสมการพหุนามระดบัขั้นสองMethod for finding roots of quadratic equations
2 0ax bx c
2 4
2
b b acx
a
2
1
4
2
b b acx
a
2 4 0b ac 1.
2 0ax bx c
มีสองรากท่ีแตกต่างกนัคือ
2
2
4
2
b b acx
a
2
bx
a
2 4 0b ac 2.
2 0ax bx c
มีเพียงรากเดียว คือ
2 4 0b ac 3.
2 0ax bx c
หาผลเฉลยท่ีเป็นจ านวนจริงไม่ได้
2 5 6 0x x จงหารากของสมการ
2 5 7 0x x จงหารากของสมการ
24 4 1 0x x จงหารากของสมการ
ถา้พหุนามสามารถแยกตวัประกอบ (factor)ได้เรากจ็ะไดร้ากของสมการ และในทางกลบักนั ถา้ไดร้ากของสมการพหุนาม เรากจ็ะสามารถแยกตวัประกอบได้
2 5 6 0x x มีรากคือ
ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น
2 5 6x x
2 5 6 0x x มีรากคือ
ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น
2 5 6x x
มีรากคือ
ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น
3 2 1 0x x x 1
3 2 1 0x x x
มีรากคือ
ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น
3 2 1 0x x x 1
3 2 1 0x x x
หารสังเคราะห์ (synthetic division)
หารสังเคราะห์เป็นวิ ธีหน่ึงท่ีจะช่วยในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชเ้พียงแค่สมัประสิทธ์ิหนา้ เท่านั้นมาท าการค านวณ
nx
2 -3 -4 51
เศษเหลือ
3 22 3 4 5 0x x x
ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x
3 2 1 0x x x
ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x
3 2 1 0x x x
ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x
3 1 0x
ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x
การประยกุตใ์ชห้ารสงัเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 1 2
1 2 1 0
n n
n na x a x a x a x a
1 2 1 0 n na a a a a
0
b
B เป็นค่าท่ีไดจ้าก ตัวประกอบของ หารด้วยตัวประกอบของ
0ana
เศษเหลือตอ้งเป็น 0
จงประยกุตใ์ชห้ารสังเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 3 22 2x x x
จงประยกุตใ์ชห้ารสังเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 3 22 5 6x x x
แบบฝึกหัด1. จงหาผลหาร และ เศษเหลือท่ี ไดจ้ากการหารพหุนามต่อไปน้ี
1.1 หารดว้ย1.2 หารดว้ย1.3 หารดว้ย1.4 หารดว้ย
1.5 หารดว้ย
3 22 1x x- -
5 4x x+ -
1x -
1x+
1x+
1x -
3x+
5 4x x+ -
3 22 1x x- -
5 32x -
2. จงแยกตวัประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
2.12.22.32.4
2.5
3 22 2x x x- - +
3 2 1x x x+ - -
4 225 144x x- +
3 218 9 5 2x x x- - +
5 32x -