Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.
1º Seminário do projeto 1º Seminário do projeto Multigrid - abril/2008 Multigrid - abril/2008
Otimização do método multigrid Otimização do método multigrid geométrico para sistemas de geométrico para sistemas de
equações 2D em CFDequações 2D em CFD
Programa de Pós-Graduação emEngenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR
Objetivos dessa apresentação
Apresentar um resumo de resultados já obtidos.
Atividades em andamento
Resultados esperados
Objetivos dessa etapa da pesquisa
Obter parâmetros ótimos do método multigrid geométrico para 2 sistemas de equações.
Os parâmetros estudados são:
- Iterações internas (ITI);- Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L);- Número de níveis (L); - Número de variáveis (N).- Número de variáveis (N). Verificar se os parâmetros ótimos são os mesmos para os esquemas CS e FAS.
Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação.
Modelos Matemáticos – 2D
• Equação de Laplace
02
2
2
2
y
T
x
T
Solução analítica:Solução analítica:
1,0 yx
xyyxT ,
TT representa o campo de temperaturas. representa o campo de temperaturas.
Modelos Matemáticos – 2D• Equações de Navier (Termoelasticidade)
uSx
TC
y
u
x
u
y
v
x
u
xC
2
2
2
2
2
vSy
TC
y
v
x
v
y
v
x
u
yC
2
2
2
2
21,0 yx
Onde : Onde :
1
1C
)sinh(
sinhsin,
y
xyxT
ee
sol. analíticasol. analítica 11
11sin,
2
2
ee
eexyxu
yx
2, xyyxv ee
é o campo de temperaturasé o campo de temperaturas
é a razão de Poisson,é a razão de Poisson,
uu e e v v representam os deslocamentos.representam os deslocamentos.
uS vSee são termos fontessão termos fontes
By
v
x
v
y
p
y
v
x
uv
y
u
x
u
x
p
y
vu
x
u
2
2
2
22
2
2
2
22
)(
)(
Modelos Matemáticos – 2D• Equações de Burgers
1,0 yx
Onde : Onde : p é a pressão estáticaé a pressão estáticaB é o termo fonteé o termo fonte
yyxxxyxu 2428, 3234
2423 2648, yyxxxyxv
pp, , uu ee vv são dados analíticamente por são dados analíticamente por Shih et al. (1989)Shih et al. (1989)
Sol. analíticaSol. analítica
uu e e v v representam as velocidades.representam as velocidades.
Modelo numéricoModelo numérico
- Discretização com o Método de Diferenças FinitasDiscretização com o Método de Diferenças Finitas
- Malha uniformeMalha uniforme
- Aproximações: UDS/CDS para os termosAproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamenteadvectivos e difusivos, respectivamente
- Solver: MSI e tolerância - Solver: MSI e tolerância
- Condições de contorno de DirichletCondições de contorno de Dirichlet
-
Para os três problemas:Para os três problemas:
1210
Linguagem: Fortran/95Linguagem: Fortran/95 Multigrid Geométrico com Ciclo VMultigrid Geométrico com Ciclo V Engrossamento da malha: 2 (padrão)Engrossamento da malha: 2 (padrão) Restrição: injeçãoRestrição: injeção Prolongação: interpolação bilinearProlongação: interpolação bilinear Algoritmos: Algoritmos:
• Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)• Equações de Burgers (FAS)Equações de Burgers (FAS)
ImplementaçãoImplementação
Iterações internas (ITI): Equação de Laplace x Equações de Navier
Conclusão: ITIoptimum = 2 para os dois problemas
Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS
ResultadosResultados
(a) Iterações internas com CS (b) Iterações internas com FAS
Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier ITIoptimum = 8 para Laplace
ótimoCPUmáximoCPU LtLt
Número de malhas (L): Equação de Laplace x Equações de Navier
ResultadosResultados
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS
(a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS
ResultadosResultados Número de variáveis (N): Equação de Laplace x Equações de Navier
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS
(a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS
MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis.SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.
Iterações internas (ITI): Equações de Burgers (Somente esquema FAS)
ResultadosResultados
Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS
Fig. 5: Comparação do número de níveis
Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers
Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5. ótimoCPUmáximoCPU LtLt
Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis.
Na Fig. 5,
Esquema CS ITIoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o
tempo de CPU.
O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, Loptimum ≈ Lmaximum. O número de malhas pode afetar
significativamente o tempo de CPU
O acoplamento das duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação.
O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis.
Verificou–se que:
Algumas conclusões Algumas conclusões
Equação de Laplace x Equações de Navier
Esquema FAS
ITIoptimum = 8, (Equação de Laplace) ITIoptimum = 2, (Equações de Navier)O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.
Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).
Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).
O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)
Algumas conclusões Algumas conclusões
ITIoptimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.
Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).
Acoplamento (Idem aos casos anteriores).
O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).
Algumas conclusões Algumas conclusões
Equações de Burgers (apenas esquema FAS)
Próximas etapasPróximas etapas
Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas V para as equações de Navier-Stokes nas formulações:formulações:
Função Corrente-Velocidade (mai/jun);Função Corrente-Velocidade (mai/jun);
Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);
Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);
Modelo numérico:Modelo numérico:
Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.
Atividades em andamentoAtividades em andamento
Desenvolvimento do texto de qualificação;Desenvolvimento do texto de qualificação;
Texto de artigo para Cilamce/2008 sobre osTexto de artigo para Cilamce/2008 sobre os resultados obtidos até agora; resultados obtidos até agora;
Implementação dos algoritmos SG/MG-FAS para aImplementação dos algoritmos SG/MG-FAS para a formulação função corrente-velocidade formulação função corrente-velocidade..
Próximas etapasPróximas etapas
Resultados esperados:Resultados esperados:
Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V geométrico ciclo V para problemas com duas equações; para problemas com duas equações;
Mostrar que o acoplamento das equações nãoMostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método degenera a performance do método multigrid.multigrid.
Otimizar o método Otimizar o método multigrid multigrid para as equações depara as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. Navier-Stokes em formulações alternativas.
AgradecimentosAgradecimentos
- Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR;- Prof. Marchi- Meus amigos do LENA.