O remate do RonaldoO remate do Ronaldo
...e o Modellus...e o Modellus
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
O remate do O remate do Ronaldo e o Ronaldo e o
ModellusModellus
O remate do O remate do RonaldoRonaldo Ronaldo, o melhor
avançado do mundo, corre com a bola nos seus pés ao longo da linha lateral do campo de futebol, perseguido de muito perto por um defesa da equipa adversária...Ronaldo quer rematar à baliza mas claro que só vai fazê-lo quando estiver nas melhores condições, isto é, quando o ângulo com que vê a baliza seja o maior possível.
A que distância da linha de fundo vai ele rematar?
Educação e Matemática n.º 45José Paulo Viana
A distância à linha de fundo do remate do Ronaldo
De acordo com os elementos da figura, podemos obter:
30 7 ,32
d
232,3730
32,73032,37
1
3032,37
)( d
d
dd
ddtgtg
• Quando a amplitude do ângulo for máxima também será máximo o valor da expressão anterior.Os valores obtidos são:
32,3730maxd 32,37302
32,7
Arctgmax
O Ronaldo rematará aproximadamente a 33,46 metros O Ronaldo rematará aproximadamente a 33,46 metros da linha de fundo (6,24º).da linha de fundo (6,24º).
O ângulo de remate em qualquer posição no campo de futebol
Sejam C o comprimento de meia linha de fundo,B a largura da baliza, d a distância do Ronaldo à linha de fundo e x a distância à linha lateral, conforme é esquematizado na figura.
• Em qualquer posição no campo de futebol, a amplitude do ângulo de remate é dada por:
C B
d
x
).()(
2 xCBxCd
BdArctg
A distância à linha de fundo para um ângulo de remate máximo, em qualquer posição no campo
de futebolOO ângulo de remate é máximo para a distância da linha de fundo dada pela expressão:
• sendo a amplitude máxima do ângulo de remate dada pelo valor de:
O ângulo máximo de remate é obtido O ângulo máximo de remate é obtido quando Ronaldo se posicionar no terreno quando Ronaldo se posicionar no terreno de jogo sobre uma hipérbole equilátera de de jogo sobre uma hipérbole equilátera de vértices nos postes da baliza e focos vértices nos postes da baliza e focos distanciados destes dedistanciados destes de
))(().()( xCxBCxCBxCd max
max
max d
BArctg
xCBxC
BArctg
xCBxC
xCBxCBArctg
2
).()(2
).()(2
).()(
22
2
B
1
22
22
2
2
2
B
d
B
BCx
Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo
Considerando a figura, que esquematiza uma situação de ângulo máximo de remate, obtém‑se:
Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem iguais os ângulos adjacentes a este, com um dos quando forem iguais os ângulos adjacentes a este, com um dos seus lados paralelo a um das linhas de fundo ou lateral.seus lados paralelo a um das linhas de fundo ou lateral.
máx
C B
d
x
máx
T1
T2
)(
).()(
).()(
).()()(
).()(
tg
BxC
xCBxC
xCBxC
xCBxCxC
xCBxC
xCtg
Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo
Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem semelhantes os triângulos rectângulos T1 e T2, quando forem semelhantes os triângulos rectângulos T1 e T2, sendo a razão de semelhança:sendo a razão de semelhança:
máx
C B
d
x
máx
T1
T2
BxC
xCBxC
xCBxC
xC
T
Tr
)(
).()(
).()(2
1
Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo
Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem semelhantes os rectângulos, R1 e R2, quando forem semelhantes os rectângulos, R1 e R2, construídos pelas respectivas diagonais, cujos extremos são a construídos pelas respectivas diagonais, cujos extremos são a posição do Ronaldo e cada um dos postes da baliza.posição do Ronaldo e cada um dos postes da baliza.
máx
C B
d
x
máx
T1
T2
Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo
A distância à linha de fundo, para se obter ângulo máximo de A distância à linha de fundo, para se obter ângulo máximo de remate, é meio proporcional entre a largura de R1 e o remate, é meio proporcional entre a largura de R1 e o comprimento de R2, isto é:comprimento de R2, isto é:
máx
C B
d
x
máx
T1
T2
BxC
d
d
xC max
max
)(
Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo
Para se obter ângulo máximo de remate, a distância à linha de fundo é o comprimento do lado do quadrado de área equivalente à do rectângulo cujos comprimentos dos lados são as distâncias da posição do Ronaldo às rectas que são paralelas às linhas laterais e contêm os postes das balizas. Isto é:
C + B-x
C-x
x
dm áx
dm áx
O PROBLEMA DO Ronaldo É APENAS UM O PROBLEMA DO Ronaldo É APENAS UM PROBLEMA DE QUADRATURA DE UM PROBLEMA DE QUADRATURA DE UM
RECTÂNGULO.RECTÂNGULO.
Posição no campo de futebol para um ângulo de remate constante
Para ângulo de remate constante, o Ronaldo deve Para ângulo de remate constante, o Ronaldo deve posicionar‑se sobre arcos de circunferência de raio e centros posicionar‑se sobre arcos de circunferência de raio e centros variáveis, deslocando‑se estes sobre uma recta paralela à linha variáveis, deslocando‑se estes sobre uma recta paralela à linha lateral e que contém o centro do terreno.lateral e que contém o centro do terreno.
Como já vimos, ).()(
2 xCBxCd
Bdtg
Fazendo
ktg
Podemos obter:
2222
2
1
22
k
kB
k
Bd
BCx
O remate do RonaldoO remate do Ronaldo
...e o Sketchpad...e o Sketchpad
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
Ronaldo e o Sketchpad(segundo a solução de João Janeiro)
BAC
R
O desenho está feito à escala.AB designa a baliza e R a posição do Ronaldo sobre a linha lateralPodemos deslocar o ponto R sobre a linha lateral
Segundo a solução de João Janeiro
Ronaldo e o Sketchpad
B: (37.32, 0.00)
A: (30.00, 0.00)
C: (0.00, 0.00)
Animate
m BRA = 6.24°
R: (0.00, -33.54)
yB - yR = 33.54
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Ronaldo e o Sketchpad(segundo a solução de Eduardo Veloso)
p
BAC
R
MV
O
Tangentes
C (O, OA)
C (A, MC)
Ronaldo e o SketchpadSegundo a solução de Eduardo Veloso
O desenho está feito à escala.AB designa a baliza e R a posição do Ronaldo sobre a linha lateralPodemos deslocar o ponto R sobre a linha lateral
B: (37.32, 0.00)
A: (30.00, 0.00)
C: (0.00, 0.00)
Animate
R: (0.00, -33.47)
yB - yR = 33.47
m BRA = 6.24°
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m BOA = 12.48°
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O remate do RonaldoO remate do Ronaldo
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