1
Náhodná veličina
Rozdelenie náhodnej veličiny
2
Náhodný jav
charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne, alebo kvantitatívne – číselne.
Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu xi
3
Náhodná veličina
Je určená výsledkom náhodného pokusu
Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu
Môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
4
Diskrétna NV
Môže nadobúdať spočítateľne (konečne alebo nekonečne) mnoho hodnôt
Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty Napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov, a pod.….
5
Spojitá NV
Jej hodnotami sú všetky čísla z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný
Napr. hmotnosť, výška človeka, chyby merania v mm, príjem, ...
6
Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)
Rozdelenie pravdepodobnosti môže byť vyjadrené tromi spôsobmi matematickým vzorcom – distribučnou funkciou
F(x) pravdepodobnostnou tabuľkou, u diskrétnej
náhodnej veličiny grafom, kde na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny
xi a na osi y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)
Zákon rozdelenia NV
7
Distribučná funkciaSlúži k popisu diskrétnej aj spojitej NVKaždému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
Distribučná funkcia spojitej NV
) ( )( ii xxPxF
dxxxFix
)(
8
Vlastnosti DF Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od nuly
do jedna vrátane
Distribučná funkcia je neklesajúca
Distribučná funkcia je spojitá zľava
Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
)()0( ixxPxF
1)(0 xF
0 )(F
1)(F
)()(x 2121 xFFxx
)()()0( ii xFxxPxF
9
Graf distribučnej funkcie
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností
10
Pravdepodobnostná tabuľka
Popisuje len diskrétnu náhodnú premennúJe najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
xi x1 x2 ... xnSpolu
pi p1 p2 ... pn 1
11
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(x)
x
x
Graf distribučnej funkcie
diskrétnej NV spojitej NV
12
Pravdepodobnosť diskrétnej NV
Súčet pravdepodobností je rovný 1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny je daná vzťahom
1)( ixP
)()()( 1221 xFxFxxxP
ixx
ii xPxFxxP )()()(
13
Hustota pravdepodobnosti
(x) je hustota pravdepodobnosti alebo frekvenčná krivka
Hustota pravdepodobnosti popisuje rozdelenie spojitej NV
Má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine
x
xFxxFxFx
x
)()(lim
0
14
Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>
0x
1
dxx
dxxxxxPx
x
2
1
21
15
Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti
16
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín
Popisujú hlavné vlastnosti NV Charakteristiky polohy Charakteristiky premenlivosti Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špicatosti
Charakteristiky náhodných veličín
17
Charakteristiky polohy
Stredná hodnotaMediánModusHarmonický priemerGeometrický priemerAritmetický priemerKvadratický priemer
18
Popisuje polohu náhodnej veličiny – stred celého rozdelenia
Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny
ix
ii xPxxE )(.)(
dxxxxE )(.)(
Stredná hodnota
19
Vlastnosti strednej hodnoty
Súčin konštanty a NV
Súčet dvoch náhodných veličín x a y
Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
)(.).( xEkxkE
)()()( yExEyxE
)().().( yExEyxE
20
Momenty náhodnej veličiny
Počiatočný moment k-teho rádu
Centrálny moment k- teho rádu
kk xE
kkk xExExE 1
21
Momenty diskrétnej náhodnej veličiny
)(xPxkk
x
kk xPxEx )(
22
Momenty spojitej náhodnej veličiny
dxxxEx kk )()(
dxxxkk )(
23
Ďaľšie charakteristiky polohy
Medián
Modus – pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou
Harmonický priemer
5,0)()( medmed xxPxxP
nHP xxxnx11111
21
24
Geometrický priemer
Aritmetický priemer
Kvadratický priemer
nnGP xxxx .. 21
nAP xxxn
x 21
1
nxxx
x nQ
222
21
25
Charakteristiky premelivosti
VarianciaStredná kvadratická odchýlkaPriemerná odchýlkaPravdepodobná odchýlka
26
je mierou variability náhodnej premennej
je definovaná ako druhý centrálny moment
222 )()()()( xExExExExV
n
iii xPxExxV
1
2 )(.)()(
dxxxExxV i )()()( 2
Variancia (rozptyl, disperzia)
27
Vlastnosti variancie
Variancia konštanty
Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV
0)( kV
)().( 2 xVkxkV
)()()( yVxVyxV
28
Stredná kvadratická odchýlka
Základná charakteristika premenlivosti
Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka
)(xV
29
Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty
Prvý absolútny centrálny moment
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore = L-l hovoríme priemernej lineárnej chybe
)(1 xExE
E1
30
Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty
medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore = L-l hovoríme pravdepodobnej chybe
5,0)()( xExrPxExrP
5,0 rPrP
31
Normovaná náhodná veličina
Štandardizovaná veličina
Stredná hodnota normovanej veličiny
Variancia normovanej veličiny
)(xEx
u
0)( uE
1)( uV
32
Charakteristiky šikmosti
Tretí normovaný moment Koeficient šikmosti
Symetrické rozdelenie
33
3
3
3
)()(
xExEtA
0)(3 t
33
Charakteristiky špicatosti
Štvrtý normovaný moment
Koeficient špicatosti
Pre normálne rozdelenie je rovný 0Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako
normálne
44
4
4
4
)()(
xExEt
33)( 44
4 tE