8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
1/66
1
ALGEBR
I. Elemente de logic matematic
I.1. Noiunea de propoziie
Definiia I.1.1.Se numete propoziie un enundespre care se poate spune c este adevrat
sau fals, adr nui adevrati fals simultan.
Se noteaz cup,q, P, Q
Ex: 1) Q : acesta este un enun care exprim un adevr, deci o propoziie adevrat.
2) x + 5 = 3, xN este o propoziie fals, pentru c nu exist nici un numr natural
astfel ca x + 5 = 33) x y, x,yN este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o
propoziie.
Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. Dac o propoziie p este
adevrat se spune c are valoarea logic sau valoarea de adevr: adevrul; aceast valoare de
adevr se noteaz cu simbolul 1 sau ai scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziie q este
fals, se spune c are valoarea de adevr: falsul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 0
saufi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.
I.2. Operatori logici
Negaia
Definiia I.1.2.Negaia unei propoziii p este propoziia care este fals cnd p este
adevrati este adevrat cnd p este fals. Se noteaz: non p, p, p .
Tabela de adevr a propoziiei non p se ntocmete be baza relaiei v(non p) = 1
v(p).
p non p
1 0
0 1
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
2/66
2
Conjuncia
Definiia I.2.2. Conjuncia a dou propoziiipiq este propoziia care este adevrat dac
i numai dac fiecare propoziie piq este adevrat.
Se noteaz:p q
Tabela de adevr a propoziieip q este:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjuncia
Definiia I.2.3.Disjuncia a dou propoziiip iq este propoziia care este adevrat dac
i numai dac cel puin una din propoziiile p, qeste adevrat.
Se noteaz:p q
Tabela de adevr a propoziieip q este:
p qp q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Implicaia
Definiia I.2.4.Implicaia propoziiilorpiq este propoziia care este fals dac i numai
dac p este adevratiq este fals.
Se noteaz: (non p) sau q, pqi se citete: p implic q sau dac p, atunci q. Propoziia
p este ipoteza, iar propoziia q este concluzia.
Tabela de adevr a propoziieipq este:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
3/66
3
p q non p (non p)q
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Echivalena logic
Definiia I.2.4. Propoziiile p i q sunt echivalente logic , dac i numai dac p, q sunt
adevrate sau false simultan.
Se noteaz (non p)q i (non q)p; (pq) i (qp); pq; se citete: p echivalent cu q
sau p dac i numai dac q, p este condiie necesar i suficient pentru q.
Tabela de adevr a propoziiei compusepq este:
p q non p non q pq q p (pq) (qp)
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1
I.3. Expresii n calculul propoziiilor
Propoziiilep,q, r, fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , , , , putem formula
diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziii sau expresii logice. Ele se
noteaz sau (p,q,r,), (p,q,r,).
nlocuind n pep,q,r, cu diferite propoziii obinem o alt propoziie, adevrat sau nu, a
crei valoare de adevr se numete valoarea expresiei , obinut pentru propoziiile p,q,r,
respective.
Definiia I.3.1.O expresie logic care se reduce la o propoziie adevrat, oricare ar fi
propoziiilep,q,r,se numete tautologie.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
4/66
4
Definiia I.3.2. Dou expresii logice i se numesc echivalente dac i numai dac
pentru orice propoziiip,q,r, cele dou expresii reprezint propoziii care au aceeai valoare de
adevr. n scris se noteaz .
I.4. Noiunea de predicat
Definiia I.4.1.Se numete predicat sau propoziie cu variabile un enuncare depinde de o
variabil sau de mai multe variabile i are proprietatea c pentru orice valori date variabilelor se
obine o propoziie adevrat sau o propoziie fals.
Predicatele se noteazp(z,y,z,), q(x,y,z,)i pot fi unare (de o variabil), binare (de dou
variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilelex,y,z, lund valori n mulimi date.
Definiia I.4.2.Predicatelep(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc echivalente dac, oricare ar fi
valorile pe care le iaux,y,z, n unuli acelai domeniu, propoziiile corespunztoare au aceleaivalori de adevr. Scriemp(z,y,z,) q(x,y,z,).
I.5. Cuantificatori
Definiia I.5.1. Fie p(x), cu xM , un predicat. Dac exist (cel puin) un elementxM,
astfel nct propoziia p(x) este adevrat, atunci scriem xp(x), (x)p(x) sau (xM)p(x).
Simbolulse numete cuantificator existeniali se citete exist.
Definiia I.5.2. Fie p(x) cuxM, un predicat. Dac p(x) este o propoziie adevrat pentruoricexM , atunci scriem xpx, (x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolulse numete cuantificator
universali se citete oricare ar fi.
Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:
1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y);2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y);
Reguli de negare:
1. ((x)p(x)) ((x)(p(x));2. ((x)p(x)) ((x)(p(x));3. ((x)(y)p(x,y))((x)(y)p(x,y));4. ((x)( y)p(x,y))(( x)( y)p(x,y));
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
5/66
5
I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurd
Aceast metod se bazeaz pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne arat c pentru a
demonstra cpq, este totuna cu a demonstra c non pnon q.
I.7. Proprieti fundamentale ale operatorilor logici
Oricare ar fi propoziiilep,q,r, avem:
1. non(non p) p;2. (pq) (qp) (comutativitatea conjunciei);3. ((pq)r)(p(qr)) (asociativitatea conjunciei);4. (pq) (qp) (comutativitatea disjunciei);5. ((pq)r)(p (qr)) (asociativitatea discjunciei);6. ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaiei);7. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan;
non(pq) (non p)(non q)
8. (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncia este distributiv n raport cu disjuncia i(p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncia este distributiv n raport cu conjuncia
II. Mulimi
Moduri de definire a mulimilor. Mulimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor
(de pild {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprieti caracteristice a elementelor lor
(de exemplu {xRx2 3x + 2 = 0}).
Mulimile se noteaz cu litere mari: A, B, C, X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a,
b, c,
Apartenena unui element la o mulime. Dac un element a aparine unei mulimiA, acesta
se noteaz aAi se citete a aparine luiA.Definiie.Mulimea vid este mulimea care nu are nici un element. Se noteaz cu .
II.1. Egalitatea mulimlorAiB:
(A = B) (xA xB) i (yB yA)
Proprietile egalitii:
1. A, A = A (reflexivitatea);
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
6/66
6
2. (A = B) (B = A) (simetria);3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);
II.2. Incluziunea mulimiiA n mulimeaB:
(A B) (xA x B)
Mulimea A se numete o parte sau o submulime a lui B.
Proprietile incluziunii:
1. A, A A (reflexivitatea);2. (A B) (B A) (A = B) (antisimetria);3. (A B B C) (A C) (tranzitivitatea);4. A, A
Relaia de neincluziune se noteaz A B.
II.3. Reuniunea mulimilorAiB:
A B = {xxA xB}
Proprietile reuniunii:
1. A, B: A B = B A (reflexivitatea);2. A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = A;5. A, B: A A B, B A B.
II.4. Intersecia mulimilorAiB:
A B = {xxA xB}
Proprietile interseciei:
1. A, B: A B = B A (comutativitatea);2. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = 5. A, B: A B A, A B B
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
7/66
7
6. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea interseciei fa de reuniune);7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii fa de intersecie);8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbia).
Definiie.MulimileA iB care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru
ele avemA B = .
II.5. Diferena mulimilorAiB:
A \ B = {xxA xB}
Proprietile diferenei:
1. A: A \ A = ;2. A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C);3. A, B: A \ B = A \ (A B);4. A, B: A = (A B) (A \ B);5. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C;6. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);7. A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);8. A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.
II.6. Diferena simetric a mulimilorAiB:
A B = (A \ B) (B \ A)
Proprietile diferenei simetrice:
1. A: A A = ;2. A, B: A B = B A (comutativitatea);3. A: A = A = A;4. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);5. A, B, C: A (B C) = (A B) (A C);6. A, B: A B = A B \ (A B)
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
8/66
8
II.7. Complementara unei mulimiA n raport cu mulimeaE:
(A fiind o parte a luiE, adicAE)
CEA = {xxE xA}
Proprieti: (A, BE)
1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitii);2. CEA = E \ A;3. CE = E;4. CEE = ;5. A CEA = A (principiul exluderii teriului);6. A CEA = (principiul necontradiciei);7. A B CEB CEA;8. A \ B = CE(A B).II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)
CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.
II.9. Produsul cartezian a dou mulimileA iB:
A x B = {(a,b)aA bB}
Proprietile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):
1. A x B B x A, dac A B;2. (A x B) (A x C) = A x (B C);3. (A B) x C = (A x C) (B x C);4. (A B) x C = (A x C) (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D)
Definiia II.9.1.MulimileAiB se numesc echipotente dac exist o bijecie de laA laB.
Definiia II.9.2. FieEo mulime. Aceasta se numete finit dacE = sau dac exist
nN, astfel nctEeste echipotent cu mulimea {1,2,,n}.
Definiia II.9.3. O mulime E se numete infinit dac ea nu este finit. Exemple de
mulimi infinite sunt: N, Z, Q, R.
Definiia II.9.4. FieEo mulime. Aceasta se numete numrabil dac este echipoent cu
N. Exemplu: Mulimea numerelor raionale.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
9/66
9
Definiia II.9.5. O mulime se numete cel mult numrabil dac este finit sau
numrabil.
Definiia II.9.6. FieEo mulime. Se numete cardinalul acestei mulimi un simbo asociat
ei, notat E sau card E , astfel nctE = F , dac i numai dac E este echipotent cu F;
cardinalul mulimii vide se noteaz cu 0, cardinalul mulimii{1,2,,n} cu nN, senoteaz cu n,
iar cardinalul mulimiiNse noteaz cux0(alef zero).
Teorema II.9.1. FieAiB dou mulimi finite. Atunci:
A B = A + B -A B
Teorema II.9.2. FieA, BiCtrei mulimi finite. Atunci:
A B C= A +B +C - A B - A C - B C + A B C
III. Relaii binare
Relaia binar pe o mulime
Definiia III.1. Fie M o mulime nevid. Se numete relaia binar R pe M o parte a
produsului cartezian MxM. Dac x M este relaia R cu yM, atunci scriem xRy sau (x,y)R.
Deci o relaie binar se refer la perechile de elemente din M.
Proprieti ale relaiilor binare pe o mulime:
1. Relaia binarR pe mulimea Mse numete reflexiv dac aM avem pe aRa.2. Relaia binarR pe mulimea Mse numete simetric dac a,bM avem aRb implic bRa.
3. Relaia binarR pe mulimea Mse numete antisimetric dac a,bM, aRb i bRa implic a=b.
4. Relaia binarR pe mulimea Mse numete tranzitiv dac a,b,c M, aRb implic bRc implic
aRc.
Definiia III.2. Se numete greficul relaiei R definit pe M mulimea G =
{(x,y)xRy}.Definiia III.3. O relaie binar R definit pe o mulime nevid M se numete relaie de
echivalen dac ea este reflexic, tranzitivi simetric.
Exemplu: Fie N mulimea numerelor naturale i numrul 3 fixat. Pe N stabilim urmtoarea
relaieR: ai b din N sunt n relaie cuR, dac ai b mprite la 3 dau acelai rest. Scriem ab
(mod 3); de pild 4 1 (mod 3). Aceasta este o relaie de echivalen.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
10/66
10
Definiia III.4. Fie M o mulime. R o relaie de echivalen pe Mi a un element fixat din
M. Se numete clas de echivalen corespunztoare elementului a mulimea Ca = {xMxRa}.Dou clase de echivalen Cai Cb sau coincid (cndaRb) sau sunt disjuncte.
Definiia III.5. Fie M o mulime i R o relaie de echivalen pe M. Se numete mulimea
ct a lui M n raport cu relaia Ri se noteaz M/R mulimea claselor de echivalen.
Definiia III.6. Fie M o mulime nevid. Se numete relaie de ordin pe M o relaie binar
care este reflexiv, tranzitivi antisimetric.
Se noteaz:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
11/66
11
Definiia IV.1.3.Se numete funcie numeric o funcief:AB, pentru care att domeniul
de definiieA cti domeniul valorilorB sunt submulimi ale mulimilor numerelor reale (deciA,
BR).
IV.2. Funcii injective, surjective, bijective
Definiia IV.2.1. Fief:AB o funcie. Spunem cfeste o funcie injectiv, dac pentru
oricare dou elementexiy ale luiA,xy, avemf(x)f(y). Faptul cfeste injectiv se mai
exprimi altfel:x,yA: f(x) = f(y) x = y
De exemplu: f:NN, definit prin formula f(x) = x2, este injectiv, dar g:ZN, g(x) = x2 nu
este o funcie injectiv deoarece g(-2) = g(2) = 4.
Definiia IV.2.2. O funcie f:AB este o funcie surjectiv, dac pentru orice bB exist
cel puin un elementaA, astfel nctf(a) b.Decif:AB nu este surjectiv dacbB avem
f(a) b()aA.
De exemplu: f:RR, f(x) = ax, a 0 este surjectiv.
Definiia IV.2.3. O funcief:AB care este simultan injectivi surjectiv se numete
funcie bijectiv.
De exemplu: Fie A = {xRx 0} i f:RR, f(x) = x2. Funcia f este bijectiv.
IV.3. Compunerea funciilorDefiniia IV.3.1. Fie funciile f:AB if:BC (domeniul de definiie al funcieig
coincide cu codomeniul funcieif). Fie aA, atuncif(a)B, deci exist imaginea sa pring, adic
g(f(a))C. Astfel putem defini o funcie h:AC unde h(a) = g(f(a)) pentru aA . Funcia h
astfel definit se noteazgf(saugf) i se numete compunerea funcieigcu funciaf.
Observaii:
1. Dac f:AB i g:CD sunt dou funcii, are sens s vorbim de compunerea funciei g cufuncia f numai dac B = C.
2. Dac f:AB i g:BA sunt dou funcii, are sens gf:AA i fg:BB. n general fg gf.Teorem. Fie f:AB i g:BC i h:CD trei funcii. Atunci fiecare din funciile h(gf),
(hg)f are sens i exist egalitatea: h(gf) = (hg)f.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
12/66
12
IV.4. Funcia invers
Definiia IV.4.1. Fie A o mulime oarecare. Notm cu 1A:A A funcia definit astfel:1A(a) = a pentru aA. 1A se numete funcia identic a mulimii A.
Propoziie. Fie A o mulime i 1A funcia sa identic. Atunci:
1. Pentru orice mulime B i pentru orice funcie f:AB avem f1A= f2. Pentru orice mulime C i pentru orice funcie g:CA avem 1Ag = g
Definiia IV.4.2. O funcie f:AB se numete inversabil dac exist o funcie g:BA
astfel nctgf = 1Aifg = 1B.
Teorem. O funcie este inversabil dac i numai dac este bijectiv.
V. Operaii cu numere reale
V.1. Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an2. (-a)2n = +a2n3. (-a)2n+1 = -a2n+14. aman = am+n5. am:an = am-n, a 06. a
m
bm
=(ab)m
7. am:bm = m
b
a, b 0;
8. mm
ma
a1
a1 =
= , a 0;
9.(am)n = amn = (an)m;
10. a0 = 1, a 0;
11. 0n
= 0, n 0, nN.Puterile numerelor reale se extind att pentru exponeni raionali pozitivi sau negativi, ct i
pentru exponeni reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul irurilor de puteri raionale. Aceste
puteri au proprieti identice cu exponeni numere naturale.
V.2. Identiti fundamentale
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
13/66
13
Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,cRi nN, avem:
1. a2 b2 = (a b)(a + b); 4ab = (a + b)2 (a b)2;2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax by)2 + (ax + bx)2;3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax by cz bt)2 + (bx + ay dz ct)2 + (cx + + dy +az
bt)2 + (dx cy + bz + at)2;
4. a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2);5. a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2);6. x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy xz yz);7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 3(x + y)(y + z)(z + x);8. a4 b4 = (a b)(a + b)(a2 + b2);9. a4 + b4 = (a2 + b2 ab10.
a
5
b
5
= (a b)(a
4
+ a
3
b + a
2
b
2
+ ab
3
+ b
4
);11.a5 + b5 = (a + b)(a4 a3b + a2b2 ab3 + b4);12.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5;13.a6 + b6 = (a3 2ab2)2 + (b3 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);14.an bn = (a b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1);15.a2n b2n = (a2 b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + + a2b2n-4 + b2n-2);16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + + ab2n-1 +b2n);17.(1 + a + a2 + + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + + a2n+1.
V.3. Radicali. Proprieti
1. 0,1 >= aaa mm ;2. 0,11 1 >== aa
aam
mm ;
3. ( ) 0, = aaa mm ;4. 0,, = baabba mmm ;5. 0,11 >=
a
aa
m
m ;
6. 0,,,, = cbaabccba mmmm ;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
14/66
14
7. 0,0,: >= bab
aba mmm ;
8. 0, = + + aaaa nm nmnm ;
9.
0,: >=
+
aaaa
nm nmnm
;10. n mnm aaa 0, = ;11. ( ) 0, == aaaa mnnmm n ;12. 0, >= aaa n pmn mp ;13. 0,, = bababa mn qmpnn qm p ;
14. 0, == aaaa n mmnm n ;
15. 0,0,:: >= bababa mn qmpnn qm p ;
16. = aaa ,2 R;
17. 0,12121
12 == +++ aaaa nnn ;
18. ( ) 0,1212 = ++ aaa nn ;
19. 0,,2 ++=+ baabbaba ;
20.22
CACABA
+= , dac i numai dac A2 B = C2;
21.Expresia conjugat a lui ba este ba + iar pentru 33 ba este 3 233 2 baba ++
VI. Ecuaii i inecuaii de gradul nti
VI.1. Ecuaii de gradul nti sau ecuaii afine
ax + b = 0, a,b,xR
Fie S mulimea de soluii a acestei ecuaii. Dac
1. a 0, x =a
b (soluie unic). S = {
a
b }.
2. a = 0 i b 0, ecuaia nu are soluii: S = ;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
15/66
15
3. a = 0 i b = 0, orice numr real x este soluie a ecuaiei afine date; S = R.Semnul funciei afine f:RR, f(x) = ax + b, a 0
x-
a
b +
f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a
Graficul funciei de gradul nti va fi o linie dreapt.
y
A(0,b)
x
B(a
b ,0)
VI.2. Inecuaii de gradul nti sau ecuaii fine
Cazul 1. ax + b > 0, a,b,xR. Fie S mulimea soluiilor. Dac:
1. a > 0, S =(a
b , + );
2. a < 0, S = (-,a
b );
3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = .Cazul 2. ax + b = 0, a,b,xR. Dac:
1. a > 0, S = (+,a
b ]
2. a < 0, S = [a
b ,+)
3. a = 0, b = 0, S = R;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
16/66
16
4. a = 0, b > 0, S = .Inecuaiile ax + b < 0 i ax + b 0 se reduc la cele dou cazuri (prin nmulirea inecuaiei
respective cu 1 i schimbarea sensului inegalitilor).
VI.3. Modului unui numr real
>
=
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
17/66
17
b = 0 a
b >0 {a b; a + b}
2. bax > b S
b < 0 R
b = 0 R\{a}
b >0 {-,a b){a + b,}
3. bax 0 {a b; a + b}
VII. Numere complexe
Definiia VII.1. Se numete numr complex orice element z=(a,b) al mulimii RxR =
{(a,b)a,bR}, nzestrate cu dou operaii algebrice, adunarea:z=(a,b), z=(a,b)RxR, z + z = (a + a, b + b)i nmulirea: z=(a,b), z=(a,b)RxR, z z = (aa-bb, ab +a b).
Mulimea numerelor complexe se noteaz cu Ci este corp comutativ.
VII.1. Forma algebric a numerelor complexe
z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) i i = (0,1), respectiv i2 = -1.
Egalitatea a dou numere complexe z i z:
a + ib = a + ib a = a i b = b
Adunarea numerelor complexe are proprietile:
este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 0 i orice numr complex a + bi admite
un opusa ib.
nmulirea numerelor complexe are proprietile:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
18/66
18
este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 1 i orice numr complex a + bi nenul
admite un invers ( )
+
+=+ i
ba
b
ba
abia
2222
1; este distributiv fa de adunarez(z + z)
= zz + zz z,z,zC.
Puterile numrului i:mN, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.
Definiia 2.1.1. Dac z = a +bi, atunci numrul a ib se numete conjugatul lui zi se
noteaz a ib = ziba =+ .
Au loc urmtoarele proprieti, z,z,zC.
1. z+ z = 2a;2.
z - z = 2bi;
3. '' zz = ;4. '' zzzz = ;5. ))((' 22 biabiabazz +=+= ;6.
zz
zz
z
z '
'= ;
7. ( )nn zz = ;8.
z
z
z
z ''=
.
VII.2. Modulul unui numr complex
zC
zzz = sau 22 baz +=
Avem apoi:
1. zz = 2. '' zzzz ++ ;3. ''' zzzzzz ++ ;4. '' zzzz = ;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
19/66
19
5. 0,'' = zz
z
z
z.
VII.3. Forma trigonometric a numerelor complexe
z = r(cos u + isin u)
unde r = z , iar unghiul u[0,2) este soluia ecuaiilor trigonometrice rcos u = a i rsin u = b.
De exemplu: dac z = -1 i, atunci4
5,2
== uz i z = )
4
5sin
4
5(cos2
i+ .
VII.4. Formula lui Moivre
uRi nN, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)
Consecinele formulei lui Moivre
cos nu = cosnu + C2ncosn-2
u sin2u + C4ncosn-4
u sin4u + ;
sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + ;
tg nu =...1
...4422
55321
++
utgCutgC
utgCutgCtguC
nn
nnn .
VII.5. Extragerea rdcinii de ordinul n dintr-un numr complex
z = r(cos u + isin u)
( )
( )
( ) 1,...,2,1,0,)12(sin)12(cos1
1,...,2,1,0,2sin2cos1
1,...,2,1,0,2
sin2
cos1
=+
++
=
=+=
=
++
+=
nkn
ki
n
k
nkn
ki
n
k
nkn
kui
n
kurz
k
n
k
n
n
k
n
Pentru simplificare folosim urmtoarea notaie:
( )kk
n =1 i ( )kk
n =1
+
+
++
=+ 22
2222 aba
b
b
i
aba
iba
VII.6. Ecuaia binom
xn A = 0, AC, A = (cos + isin )
xk= A1/nk, k = 1,0 n , AR, A < 0;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
20/66
20
xk= A1/nk, k = 1,0 n , AR, A > 0;
xk=
++
+n
ki
n
kpn
2sin
2cos , k = 1,0 n , AC\R
VIII. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-lea
VIII.1. Ecuaii de gradul al doilea
ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 0
1. Formule de rezolvare: > 0
a
bx
21+
= ,a
bx
22
= , = b2 4ac; sau
abx ''1 += , a
bx ''2 = , b = 2b, = b2 ac.
2. Formule utile n studiul ecuaiei de gradul al II-lea:x1
2 + x22 = (x1 + x2)
2 2x1x2 = S2 2P
x13 + x2
3 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S
3 2SP
x14 + x2
4 = (x1 + x2)4 2x1
2x22= S4 4S2P + 2P2
3.Discuia naturiii semnul rdcinilorn funcie de semnele lui = b2 4ac, P = x1x2, S =
x1 + x2.
P S Natura i semnul rdcinilor
< 0 - -Rdcini complexe:
a
ibx
22,1
=
= 0 - -Rdcini reale i egale
a
bxx
221==
P > 0 S > 0 Rdcini reale pozitive
> 0 P > 0 S < 0 Rdcini reale negative
P < 0 S > 0 Rdcini reale i de semne contrare; cea pozitiv este mai mare
dect valoarea absoluta a celei negativi
P < 0 S < 0 Rdcini reale i de semne contrare; cea negativ este mai mare n
valoare absolut.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
21/66
21
4.Semnul funcieif:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR
> 0: a 0, x1 < x2.
x - x1 x2 +
f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
= 0
X - x1 = x2 +
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
< 0
X - +
f(x) semnul lui a
5. Graficul funcieif:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR este oparabol. Aceast funcie se poate
scrie i sub formaaa
bxaxf
42)(
2
+
+= , numit form canonic.
y > 0
a > 0
A(x1,0)
B(x2,0)
C(0,c)
C V
aa
b
4,
2
O A D B x
6. Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
22/66
22
1. Dac a > 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cua4
, minim ce se realizeaz pentru
x =a
b
2
2. Dac a < 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cua4
, maxim ce se realizeaz
pentru x =a
b
2
7.Intervale de monotonie pentru funcia de gradul al doilea
Teorem. Fie funcia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a0
1. Dac a > 0, funcia f este strict descresctoare pe intervalul
a
b
2,( i strict cresctoare pe
intervalul +
),
2a
b.
2. Dac a < 0, funcia f este strict cresctoare pe intervalul
a
b
2,( i strict descresctoare pe
intervalul
+
),2a
b
.
Observaie: Intervalele
a
b
2,( i
+
),2a
bse numesc intervale de monotonie ale
funciei f.
Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,cR, a0, x1i x2 fiind rdcinile
trinomului.
1. > 0, f(x) = a(X x1)(X x2);2. = 0, f(x) = a(X x1)2;3. < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c
Construirea unei ecuaii de gradul al doilea cnd se cunosc suma i produsul rdcinilor ei:
x2 Sx + P = 0, cu S = x1 + x2i P = x1x2.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
23/66
23
Teorem: Ecuaiile ax2 + bx + c = 0 i ax2 + bx + c = 0, a,b,c,a,b,cR, a,a0, au cel
puin o rdcin comun dac i numai dac:
a b c 0
0 a b c = 0 sau (ac ac)2 (ab ab)(bc bc) = 0
a b c 0
0 a b c
Condiii necesare i suficiente pentru ca numerele reale date i s fie n anumite relaii
cu rdcinile x1i x2 ale ecuaiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,cR, a0, respectiv,
pentru ca f(x) s pstreze un semn constantx,xR.
Nr.crt. Relaii ntre x1, x2, i Condiii necesare i suficiente
1 < x1 < < x2 sau
x1 < < x2 03. af() > 04. a
b
2
3 x1 < < < x2
1. af() < 0
2. af() < 0 ceea ce atrage dup sine
>0
4 x1 < < x2 1. af() < 0
5 < x1 x2
1. = 02. af() > 03. 0
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
24/66
24
3.a
b
2
<
7 f(X) = 0, x, xR 1. 02. a > 0
8 f(X) 0, x, xR 1. 02. a < 0
Observaie: Rezolvarea ecuaiei biptrate ax2n + bxn + c = 0, nN, n > 2, prin substituia xn
= y, se reduce la rezolvarea unei ecuaii de gradul al doilea n y, anume ay2 + by + c = 0 i la
rezolvarea a dou ecuaii binome de forma xn = y1, xn = y2.
VIII.2. Inecuaii fundamentale de gradul al II-lea
1. ax2 + bx + c > 0, a,b,cR, a0, S = mulimea soluiilor:
a S
> 0
> 0
= 0 = 0
< 0
< 0
a > 0
a < 0
a > 0a < 0
a > 0
a < 0
(-, x1)(x2, +)
(x1,x2)
R\{x1}
R
2. 2. ax2 + bx + c 0, a,b,cR, a0, S = mulimea soluiilor: a S
> 0
> 0
= 0
= 0
< 0
< 0
a > 0
a < 0a > 0
a < 0
a > 0
a < 0
(-, x1][x2, +)
[x1,x2]
R
{x1}
R
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
25/66
25
Inecuaiile ax2 + bx + c < 0 i ax2 + bx + c 0 se reduc la cazurile precedente (prin
nmulirea cu 1 i schimbarea sensului acestor inegaliti).
VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaii cu coeficieni reali
1. Sisteme formate dintr-o ecuaie de gradul al doilea i una de gradul ntiAceste sisteme sunt de forma:
=+++++
=++
0
0)(
1112
112
1 fyexdycxybxa
cbyaxS
Se rezolv prin metoda substituiei. n prima ecuaie putem presupune c sau a0 sau b0
(dac a = b = 0 atunci prima ecuaie dispare). Presupunnd c b0, atunci ecuaia ax + by + c =0
este echivalent cu ecuaia b
c
xb
a
b
axc
y =
= . Dac substituim n y n cea de a doua
ecuaie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:
=+
++
+
+
=
0
)'(
111
2
112
1 fb
cx
b
aexd
b
cx
b
ac
b
cx
b
axbxa
b
cx
b
ay
S
Rezolvnd ecuaia a doua a sistemului (S) obinem valorile lui x, apoi, nlocuind n prima
ecuaie din sistemul (S) obinem valorile lui y.
Discuie. 1. Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini reale, atunci
sistemul (S) are o soluie real.
2. Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini egale, sau n cazul
cnd aceasta este o ecuaie de gradul nti, atunci sistemul (S) are dou soluii reale.
3. Dac ecuaia a doua a sistemului (S) nu are nici o rdcin real, atunci
sistemul (S) nu are soluii reale.
2. Sisteme de ecuaii omogeneUn astfel de sistem este de forma:
=++
=++
22
222
2
12
112
1)(dycxybxa
dycxybxaS
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
26/66
26
Sistemul (S) se numete omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y
2i a2X2 + b2XY
+ c2Y2 sunt omogene, n sensul c toate monoamele care apar n scrierea lor au acela i grad.
Presupunem mai nti c d10 i d20. Exist n aces caz numerele reale i diferite de
zero astfel nct d1 + d2 = 0. Se nmulete prima ecuaie cu i cea de a doua cu i apoi se
adun. Se obine sistemul echivalent:
=+++++
=++
0)()()()'(
22121
222
12
112
1
yccxybbxaa
dycxybxaS
Notm coeficientul ecuaiei a doua din (S) cu a3,b3,c3. Atunci:
=++
=++
0)'(
233
23
12
112
1
ycxybxa
dycxybxaS
Deoarece d10 sistemul (S) nu are soluia x = 0 i y = 0. Putem presupune c x0. mprim
ecuaia a doua din (S) cu x2i obinem ecuaia de gradul al doilea nx
y: c3
2
x
y+ b3
x
y+ a3 = 0
care, rezolvat, ne d n general dou valori k1i k2 pentrux
yadic,
x
y= k1i
x
y= k2.
Rezolvarea sistemului (S) este echivalent cu rezolvarea urmtoarelor dou sisteme:
=++
=
12
112
1
1
1
)(dycxybxa
xkyS i
=++
=
12
112
1
2
2
)(dycxybxa
xkyS
Cnd d1 = 0 i d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S) i rezolvarea se continu ca pentru
sistemul (S).
3. Sisteme de ecuaii simetriceDefiniia VIII.3.3. O ecuaie n dou necunoscute se zice simetric dac nlocuindx cuyi
y cux, ecuaia nu se schimb.
Rezolvarea sistemelor de ecuaii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliares ip date de relaiile: x + y = s i xy = p.
Prin introducerea acestor noi necunoscutesip, n foarte multe cazuri sistemul se reduce la
un sistem de ecuaii format dintr-o ecuaie de gradul nti i o ecuaie de gradul al doilea n
necunoscutelesip.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
27/66
27
IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV i V
IX.1. Ecuaia reciproc de gradul al treilea
ax3 + bx2 bx a = 0, a,bR, a0
Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaiei (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0
IX.2. Ecuaia reciproc de gradul al patrulea
ax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,cR, a0
Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaii de gradul al doilea, prin substituia y = x +
x
1: a(x2 +
2x
1) b(x +
x
1) + c = 0 sau ay2 + by + c 2a= 0.
IX.3. Ecuaia biptrat
ax4 + bx2 + c = 0, a,b,cR, a0
Cu x = y2, rezult ecuaia ay2 + by + c = 0, decia
acbbx
2
424,3,2,1
=
X. Logaritmi
Definiia X.1. Fie aR*+, a 1 i bR*+ dou numere reale. Se numete logaritm alnumrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numrul a, numit baz, pentru a
obine numrul b.
Logaritmul numrului b n baza a se noteaz logab
Evident baablog= . Pentru a = 10 obinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obinem
logaritmi naturali.
Proprieti:
1. logab = logac b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;3. loga1 = 04. logaac = c; loga
b
1=- logab; logax
2n = 2n logax , x0
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
28/66
28
5. )2,,0(,log1log >= mNmbbm
ba
m
a;
6. logab logba = 1;
7.
Formula de schimbare a bazei logaritmului: a
b
b c
c
a log
log
log =
8. x>0 i y>0 logaxy = logax + logay;9. x>0 i y>0 loga
y
x= logax logay; cologax = - logay
10.a>1 i x(0,1) logax < 0; a>1 i x>1 logax > 0;11.00, b>0, a1, b1
y
x
y
x
b
b
a
a
log
log
log
log= ;
14.x>0, a>0, a1, nN logax = logaxn;15.xR, a>0, a1 ax = exlna.
Operaii cu logaritmi zecimali
1. Suma a doi logaritmi: se adun separat caracteristicile (se adun algebric, ntruct exist
caracteristici pozitive i caracteristici negative) i separat mantisele (care sunt ntotdeauna pozitive
n afar de cazul n care ntregul logaritm este negativ); apoi cele dou rezultate se adun algebric.
2. Scderea a doi logaritmi: se adun desczutul cu logaritmul scztorului.
3. nmulirea unui logaritm cu un numr ntreg: cnd caracteristica este pozitiv, nmulirea se face
n mod obinuit; cnd caracteristica este negativ se nmulete separat mantisa i separat
caracteristica i se adun algebric rezultatele.
4. mprirea unui logaritm printr-un numr ntreg: n cazul cnd caracteristica este pozitiv,
mprirea se face obinuit. n cazul n care este negativ se mparte separat mantisa i separat
caracteristica; dac nu se mparte exact cu caracteristica prin numrul dat, atunci se adaugcaracteristicii attea uniti negative cte sunt necesare pentru a avea un numr divizibil prin
mpritorul respectiv i, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaug i mantisei tot attea uniti,
dar pozitive.
X.1. Ecuaii i inecuaii logaritmice fundamentale
1. logax = b, a>0, a1, bR. Soluia: x = ab.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
29/66
29
2. logax > b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a S
a > 1
0 < a < 1
(a , +)
(0, ab)
3. logax < b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:
a S
a > 1
0 < a < 1
(0, a )
(ab, +)
X.2. Ecuaii i inecuaii exponeniale fundamentale
1. ax = b, a>0, a1, b>0. Soluia x = logab, bR2. ax = b, a>0, a1, b0, nu are nici o soluie real3. ax > b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:
a b S
a > 1
0 < a < 1
a > 0
a 1
b > 0
b > 0
b < 0
(logab, +)
(-, logab)
R
4. ax < b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a b S
a > 1
0 < a < 1
a > 0
a 1
b > 0
b > 0
b < 0
(-, logab)
(logab, +)
XI. Metoda induciei matematice
XI.1. Axioma de recuren a lui Peano
Fie A o parte a lui N astfel c:
1. 0A2. (nN), nA n+1A. Atunci rezult A = N.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
30/66
30
XI.2. Metoda induciei matematice
Fie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural n. Dac avem:
1. P(0) adevrat;2. n N, P(n) adevrat P(n+1) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice numr
natural n.
n demonstraie prin metoda induciei matematice (recuren) poate aprea n loc de 0, un
numr natural n0, dac n propoziia P(n) pe care vrem s demonstrm am constatat nn0.
XI.2. Variant a metodei induciei matematice
Fie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural nn0. Dac avem:
1. P(n0) adevrat;2. (m N, n0mk) P(m) adevrat P(k) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice
numr natural nn0.
XII. Analiz combinatorica
XII.1. Permutri
Definiia XII.1.1. O mulime mpreun cu o ordine bine determinat de dispunere a
elementelor sale este o mulime ordonati se notaz (a1,a2,,an).
Definiia XII.1.2.Se numesc permutri ale unei mulimi A cu n elemente toate mulimile
ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numrul permutrilora n elemente,
nN*, este Pn=123n = n!; 0! = 1 (prin definiie).Factoriale (proprieti): n! = (n 1)!n; n! =
1n
1)!(n
++
XII.2. Aranjamente
Definiia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (mn) ale uneimulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte m elemente care se pot forma din
cele n elemente ale mulimii A. Se noteaz Amn.
Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
31/66
31
Amn = n(n 1)(n m + 1) =m)!(n
n!
, nm.
Proprieti: Ann = Pn; Ann =
0!
n!sau Ann= n!; 1;
01 ==n
n
n
n
nAAA .
XII.3. Combinri
Definiia XII.3.1.Se numesc combinri a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimiA cu n elemente toate submulimile cu cte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale
mulimii A. Se noteaz mn
C .
Proprieti:
1. 1; 0001 ==== CCCnC nnnn ;2. 111; +== mnmnmnmnnnn CCCCC ;3. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n;4. 111111111 ... + +++++= mmmmmmmnmnmn CCCCCC ;5. )...(
2111
2
1
1 ...!!...!
!++
=mppn
p
pn
p
n
n
CCCppp
nunde p1 + pm-1 < n
XII.4. Binomul lui Newton
(x + a)n = nnn
kknk
n
n
n
n
naCaxCaxCxC +++++ ......110
(x a)n = nnn
nkknk
n
kn
n
n
naCaxCaxCxC )1(...)1(...110 ++++ unde nN
Proprieti:
1. Termenul de rankk+1 este Tk+1 = (-1)k knC xn-kak;2. knknknkn Ck knCCk knC 1;1 111 +=+= +++ ;3. Tk+2 =
x
a
k
kn
+
1Tk+1 sau Tk+2 =
x
a
k
kn
+
1
Tk+1;
4. Numrul termenilor dezvoltrii (x a)n este n+1;5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
32/66
32
Relaii importante:
221202
15311420
1010
)(...)()(
;2...;2...
;0)1(...;2...
n
nnn
n
n
n
nnn
n
nnn
n
n
n
nn
nn
nnn
CCCC
CCCCCC
CCCCCC
+++=
=+++=+++
=++=+++
Dezvoltri particulare uzuale:
1. (a b)2 = a2 2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.
XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Dac Sp = 1p + 2p + + np, pN, atunci avem:
12
)122()1(;
30
)196)(1(
2
1(;
6
)12)(1(;
2
)1(
222
5
23
4
2
321
++=
+++=
+=++
=+
=
nnnnS
nnnnnS
nnS
nnnS
nnS
O relaie care permite calculul lui Sp, cnd se cunosc Sp-1, Sp-2,, S1 este formula lui Pascal:
(n+a)p+1 = 1+ nSCSCSC pppPpp
++++ +++ 1112
11
1 ...
XIII. Progresii
XIII.1. Progresii aritmetice
Definiia XIII.1.1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere a1,a2,a3,,an , n
care fiecare termen, ncepnd cu a2 , se obine din cel precedent prin adugarea unui numrconstant numit raia progresiei. Se noteaz a1,a2,a3,an,
Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), rraia, n numrul
termenilori Sn suma celorn termeni, atunci avem:
an = an-1 + r, n2 (prin definiie)
an = a1 + (n 1)r, n2 (prin definiie)
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
33/66
33
Sn = a1 + a2 + + an, Sn =2
)na(a n1 +
n2
1)r(n2aS 1n
+=
Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma termenilor echidistani
de extremieste egal cu suma termenilor extremi: ak+ an-k+1 = a1 + an.
Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n
mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1.
Condiia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate n aceast ordine, s
formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b = a + c.
XIII.2. Progresii geometrice
Definiia XIII.2.1. Se numete progresie geometric un ir de numere a1,a2,a3,,an , ncare fiecare termen, ncepnd cu a2 , se obine din cel precedent prin nmulirea acestuia cu un
acelai numr q (q0) numit raie. Se noteaz a1,a2,a3,an,Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raia, n numrul
termenilori Sn suma celor n termeni, atunci avem:
an = qan-1, n2 (prin definiie)
an = a1qn-1, n2 (an n funcie de a1, q i n)
Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 1q 1qa
n
1
Sn = 1q,q1
qaa n1
Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric, produsul a doi termeni
echidistani de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.
Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la
mijloc, am+1, astfel nct 1212
1 ++ =mm aaa .
Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o
progresie geometric este s avem b2 = ac.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
34/66
34
XIV. Polinoame
XIV.1. Forma algebric a unui polinom
fC[x] este f = a0Xn + a1X
n-1 + a2Xn-2 + + an, unde n este gradul, a0 coeficientul dominant, an
termenul liber.
Funcia polinomial asociat lui fC[x] este f~
:CC f~
() = f() C; f() fiind
valoarea polinomului f n .
Teorema mpririi cu rest: f,gC[x], g0 exist polinoamele unice q,rC[x] astfel nct f
= gq + r, grad r< grad g.
mprirea unui polinom cu X-a: Restul mpririi polinomului fC[x], f0 la X-a este f(a).
Schema lui Horner: ne ajut s aflm ctul q = b0Xn-1 + b1X
n-2 + + bn-1 al mpririi
polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + + an la binomul X-a; precum i restul acestei mpriri r
= f(a);
a0 a1 an-1 an
a b0 = a0 b1 = ab0+a1 bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an
XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor
Definiia XIV.2.1. Fie f,gC[x], spunem c g divide pe fi notm gf dac qC[x] astfelnct f=gq.
Proprieti:
1. a f, aC*, fC[x];2. g fi f0 r = 0;3. g fi f0 gradf gradg;4. aC* aff;5. ff (refelexivitate);6. fg i g h fh (tranzitivitate);7. fg i g f aC* cu f = ag (f,g sunt asociate n divizibilitate).
Definiia XIV.2.2. Un polinom dse numete cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al
polinoamelorfigdac: 1) dfi dg.
2) dfi dgddi notm d=(f,g)
Definiia XIV.2.3.Dac d=1 atuncifigse numesc prime ntre ele.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
35/66
35
Definiia XIV.2.4. Un polinom m se numete cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al
polinoamelorfigdac: 1) fm igm.
2)fmigmm m
Teorem. Dac d=(f,g) atunci m =d
gf
XIV.3. Rdcinile polinoamelor
Definiia XIV.3.1.NumrulC se numete rdcin a polinomuluifdaci numai dacf~
() = 0.Teorema lui Bezout: Numrul Ceste rdcin a polinomului f0(X-a) f.
Definiia XIV.3.2. Numrul se numete rdcin multipl de ordinulp a polinomuluif0 dac i numai dac (X-a) fiar(X-a)p+1nu-l divide pef.
Teorem: Dac fC[x] este un polinom de gradul n i x1,x2,x3,,xn sunt rdcinile lui cu
ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,,mn atunci nm
n
mm xXxXxXaf )...()()( 21 210 = unde
a0este coeficientul dominant al luif, iarm1 + m2 + + mn = gradf.
XIV.4. Ecuaii algebrice
Definiia XIV.4.1. O ecuaie de forma f(x) = 0 unde f0 este un polinom, se numeteecuaie algebric.
Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare dect patru nu se pot
rezolva prin radicali.
Teorema lui DAlambert-Gauss: Orice ecuaie algebric de grad mai mare sau egal cu unu,
are cel puin o rdcin (complex).
Formulele lui Viete: Dac numerelex1,x2,,xn sunt rdcinile polinomului fC[x], f = a0Xn
+ a1Xn-1 + + an, a00 atunci:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
36/66
36
=
=+++
=+++
=+++++
=+++
+++
021
021112121
0
312421321
0
2132121
0
121
)1(...
.......................................................
)1(............
......................................................
...
......
...
a
axxx
a
axxxxxxxxxx
a
axxxxxxxxx
a
axxxxxxxx
a
axxx
nn
n
kk
mkmkmkkk
nnn
nnn
n
XIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z
Teorem: Dac fR[x] admite pe = a + ib, b0 ca rdcin atunci el admite ca rdcin i
pe = a ib, iari au acelai ordin, de mutiplicitate.
Teorem: Dac un polinom fQ[x] admite pe = a + b d (a,bQ, b0, dR\Q) ca
rdcin, atunci el admite i pe= a b d , iari au acelai ordin, de mutiplicitate.
Teorem: Dac un polinom fZ[x], grad f1, admite o rdcin = 2p Q, (p,q) = 1 atunci
p ani q a0.
n particular dac fZ[x] are rdcina =pZ atunci p an.
XV. Permutri, matrici, determinani
XV.1. Permutri
Definiie XV.1.1. Fie A={1,2,n}, se numete permutare de graduln daac :AA i bijectiv.
=
(n)...(2)(1)
n...21
Sn mulimea permutrilor de grad n; card Sn = n!
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
37/66
37
1A = e, permutarea identic e =
n...21
n...21
Compunerea permutrilor
Fie ,Sn atunci o =
(n))(...(2))((1))(
n...21
Sn
Transpoziii
Definiia XV.1.2. Fie i,jA, ij, ijSn,ij se numete transpoziie dac:
=
=
=
ji,kdacak,
jkdacai,
ikdacaj,
)(kij
=
n...i...k...j...21
n...j...k...i...21)(k
ij
Observaii: 1. (ij)-1
= ij;2. Numrul transpoziiilor de grad n este 2
nC
Signatura (semnul) unei permutri
Definiia XV.1.3. Fie (i,j)AxA, i
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
38/66
38
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
i notm Mm,n(C) mulimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente
numere complexe.
Definiia XV.2.2. Dac m=n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n , iar
mulimea lor se noteaz Mn(C).
Definiia XV.2.3. Dou matrici A,BMm,n(C) sunt egale dac i numai dac aij = bij(i,j)MxN.
Operaii cu matrici:
1. AdunareaFie A,BMm,n(C) atunci C = A + BMm,n(C) unde cij=aij + bij (i,j)MxN este suma lor.
ProprietiA,B,CMm,n(C):
1. A+B = B+A (comutativitate);2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este A).5.
2. nmulirea cu scalariFie AMm,n(C) i C atunci B=AMm,n(C) unde bij=ij (i,j)MxN este produsul
matricei A cu scalarul .
Proprieti A,BMm,n(C) i C.
1. 1A = A;2. A = A;3. (A+B) = A + B;4. (+)A = A + A;5. (A) = ()A = (A).
3. Transpusa unei matriciFie AMm,n(C) atunci
tAMm,n(C) undetaij = aji, (i,j)MxN
4. nmulirea matricelor
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
39/66
39
Fie AMm,n(C) i BMn,p(C) atunci C=ABMm,p(C) unde =
=n
kkjikij
bac1
, (i,j)MxN
este produsul lor
Proprieti:
1. (AB) C = A(BC) (asociativitate);2. AIn = InA (element neutru-matricea unitate)
=
1...00
............
0...10
0...01
nI
3. (A+B)C = AC + BC;4. A(B+C) = AB + AC.
XV.3. Determinani
Fie Mn(C) mulimea matricilor ptrate de ordin n cu elemente din C:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
, AMn(C)
Definiia XV.3.1.Se numete determinantul matricii A, numrul
det A = nS
nnaaa
)()2(2)1(1 ...)(
det A =
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din
matriceaA:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
40/66
40
Aij = (-1)i+j
a...aa...aa
.....................
a...aa...aa
a...aa...aa
......................
a...aa...aa
a...aa...aa
nm1nj1-njn2n1
1ni11ji1-1ji12i11i
1n-i11j-i1-1j-i12-i11i
2n12j1-2j2221
1n11j1-1j1211
+
++++++
+
+
+
Dac C = AB, atunci det C= detA det B (A,B,CMn(C))
Determinantul de ordinul 2:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa=
Determinantul de ordinul 3:
331221233211132231312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
++=
XV.4. Inversa unei matrici
Fie AMn(C), dac det A0 exist A-1Mn(C) astfel nct AA-1 = In, InMn(C), In matricea unitate:
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AA
...
............
...
...
det
1
21
22212
12111
1
XVI. Sisteme lineare
XVI.1. Notaii:
aij coeficieni, xI necunoscute, bi termeni liberi;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
41/66
41
(S)
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
.......................................
...
...
2211
22222121
11212111
, m ecuaii, n necunoscute;
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
,
=
nmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
,
r rangul matricii A = rangul sistemului
XVI.2. Compatibilitatea
Sistemul (S) este compatibil determinatdac:
1. r = m = n (sistem de tip Cramer) i det A = 0, atunci xI =
i , unde
=
nn
n
n
nnn
i
a
a
a
baa
baa
baa
...
...
...
...
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
2. r = n < m i rang = r.Sistemul (S) este incompatibildac r min (m,n) i rang = r + 1.
XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)
1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = = xn = 0) dac r = n;2.
Sunt compatibile nedeterminate dac r < n.
XVII. Structuri algebrice
XVII.1. Monoid
Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevid.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
42/66
42
Axiomele monoidului:
M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea);
M2. eM astfel nct x*e = e*x = x xM (e element neutru);
dac M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ.
Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi;
2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulimea funciilor f:EE, E nevid, o
compunerea funciilor).
XVII.2. Grup
Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevid.
Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG(asociativitatea);
G2. eG astfel nct x*e = e*x = x xG (e element neutru);
G3. xG xG astfel nct x*x = x*x = e (x simetricul lui x);
dac G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).
Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) grupuri comutative;
2. (Rn,) grupul resturilor modulo n, comutativ;
3. (Mn(Z),+) grupul matricilor ptrate de ordin n cu elemente din Z;
4. (K, o) grupul lui Klein (al simetriilor fa de sistemul de coordonate),comutativ;
5. (n, o) grupul simetric de grad n (al permutrilor de n elemente) nu este
comutativ;
Definiia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dac x,yHx*yHi
xHxH(x este simetricul lui x n raport cu operaia *);
Fie grupurile (G1,), (G2,):
Definiia XVII.2.2. f:G1G2 se numete morfism de grupuri dac f(xy)=f(x)f(y),x,yG1.
Definiia XVII.2.3. f:G1G2 se numete izomorfism de grupuri dac f este bijectiv i
f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.
Definiia XVII.2.4. f:G1G2se numete automorfism (endomorfism) al grupuluiG1, dac
feste un izomorfism (morfism).
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
43/66
43
XVII.3. Inel
Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y i AxAA, (x,y)xy, A nevid;
Definiia XVII.3.1. (A,+,) este inel dac:
G. (A,+) este grup abelian;
M. (A,) este monoid i
D. este distributiv fa de +:
x(y+z) = xy + yz
(y+z)x = yx + yz, x,y,zA
dac C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ.
Exemple de inele:
1. (Z,+,) inelul numerelor ntregi;2. (Z[i],+, ) inelul ntregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ}3. (Rn,,) inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,) inelul matricelor ptratice (cu elemente din inelulA);5. (Zn,+,) inelul claselor de resturi modulo n.
Fie inelele (A,,*) i (A,,o):
Definiia XVII.3.1. f:AA se numete izomorfism de inele dacfeste bijectiv if(xy)
= f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA.
Definiia XVII.3.2. (A,+,) este inel fr divizori ai lui zero dac x0, y0 implic xy0.
Definiia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puin dou elementei fr divizori ai lui zero
se numete domeniu integritate.
Definiia XVII.3.4. Dac (A,+, ) este inel, atunci (A[X],+, ) este inelul comutativ alpolinoamelor cu coeficieni nA.
fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + + anX
n este forma algebric a unui polinom de
nedeterminatXcu coeficieni nA:
- dac an0, gradf= n (an coeficient dominant);- dac a0 = a1 = = an,f= 0 (polinom nul), grad 0 = -.
Proprieti: 1. grad (f+g) max{gradf, gradg};
2. gradfg gradf+ grad g.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
44/66
44
Teorem. DacA este domeniu de integritate atunciA[X] este domeniu de integritate i grad
fg= gradf+ gradg, f,gA[X].
XVII.4. Corp
Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y i KxKk, (x,y)xy, K nevid.
Definiia XVII.4.1. (K,+,) este corp dac (K,+,) este inel, 01 ixK, x0 x-1K,astfel nct xx-1 =x-1x = 1.
Dac xy = yx x,yK, corpul este comutativ.
Exemple de corpuri:
1. (Q,+,) corpul numerelor raionale;2. (R,+, ) corpul numerelor reale;3. (C,+, ) corpul numerelor complexe;4. (Q( d ),+,) corpul numerelor ptratice (dZ, d liber de ptrate);5. (Zp,+, ) corpul claselor de resturi modulop (pN*,p >1,p numr prim).
Definiia XVII.4.2. Fie corpurile (K,,*) i (K, ,o), f:KK este izomorfism de corpuridacfeste bijectiv,f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.
Teorema mpririi cu rest n mulimea K[X], K corp comutativ i gK[X], g0:
fK[X], exist polinoamele q,rK[X], unic determinate astfel nct f = qg+r, grad r < grad g
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
45/66
45
TRIGONOMETRIE SI GEOMETRIE ANALITICA
I. Formule trigonometrice
I.1. Relaii ntre funciile trigonometrice ale unui argument:
1. 1cossin 22 =+ ; 22 sin1cos;cos1sin ==
2.
cos
sin=tg
22
1
1cos;
1
sin
tgtg
tg
+
=
+
=
3. cos2
sin =
ctgtg =
2,
ctgtg =
2
4. sin)sin( = cos)cos( = ; tgtg = )(
5. cos2
sin =
+
sin2
cos =
+ ,
ctgtg =
+
2
6. sin)sin( =+ cos)cos( =+ ; tgtg =+ )(
7. sin)2sin( = cos)2sin( = ; tgtg = )2(
I.2. Formule de adunare:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
46/66
46
tgtg
tgtgtg
=
=
=
m
m
1)(
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
I.3. Formule pentru multiplii de argument:
..sincossincossincoscos
...sincossincoscossin
1
12cos;
1
22sin
cos3cos43cos
sin4sin33sin
22
12
2
1
22
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
55533311
444222
2
2
2
3
3
2
2
2222
+=
+=
+
=
+=
=
=
=
=
=
=
===
=
nn
nn
nn
nn
nn
n
CCCn
CCn
tg
tg
tg
tg
tgctg
ctg
ctgctg
tgctgtg
tgtg
I.4. Formule pentru jumti de argument:
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
sin
2
2
cos1
2cos;
2
cos1
2sin
+
=
=+
=
+=
=
tg
I.5. Sume, diferene i produse:
2cos2sin2sinsin
+
=+
2cos
2sin2sinsin
+=
2cos
2cos2coscos
+=+
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
47/66
47
2sin
2sin2coscos
+=
coscos
)sin(;
coscos
)sin(
=+
=+ tgtgtgtg
=
+=+
4cos2
4sin2cossin
=
+=
4cos2
4sin2cossin
ctgctg
tgtgtgtg
++
=
++=
++=
+=
)]sin()[sin(2
1cossin
)]cos()[cos(2
1
coscos
)]cos()[cos(2
1sinsin
II. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple
II.1. Ecuaii fundamentale
}{,.4
{,.3
}2arccos{]1,1[,cos.2
}arcsin)1{(]1,1[,sin.1
ZkkaccctgaxRaactgx
ZkkarctgaxRaatgx
Zkkaxaax
Zkkaxaax k
+=
+=
+=
+=
II.2. Tabele de valori:x
funcia
0
6
4
3
2
2
3
2
sinx 0
2
1
2
2
2
3
1 0 -1 0
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
48/66
48
cosx 1
2
3
2
2
2
3
0 -1 0 1
x
funcia
0
6
4
3
2
2
3
2
tgx 0
3
3
1 3 / 0 / 0
ctgx / 3 1
3
3
0 / 0 /
x
funcia
-1
2
3 2
2 2
1
0
2
1 2
2 2
3
1
arcsinx
2
3
4
6
0
6
4
3
2
arcosx
6
5
4
3
3
2
2
3
4
6
0
xfunctia
3 -133 0
33 1 3
arctgx
3
4
6
0
6
4
3
arcctgx
6
5
4
3
3
2
2
3
4
6
III. Elemente de geometrie analitic
III.1. Segmente
1. Distana dintre dou puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 212212 )()( yyxx +
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
49/66
49
2. Panta dreptei AB:12
12
xx
yymAB
=
3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:2
,2
2121 yyyxx
x+
=+
=
4. Coordonatele punctului Mcare mparte segmentul (AB) n raportul k:
2,
12121 kyyy
k
kxxx
+=
++
=
III.2. Ecuaia dreptei
1. Drepte paralele cu axele de coordonate:(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)
2. Dreapta determinat de punctul Mo(xo,yo) i vectorul nul atrrdvua o +=:)(:),( , tR, or -
vectorul de poziie a lui Mo; r-vectorul de poziie a unui punct Mal dreptei d.
+=
+=
vtyy
utxxd
o
o:)( , tR, ecuaiile parametrice;
3. Ecuaia explicit: y =mx + n (mR*, nR, m panta, n ordonata la origine);
4. Ecuaia prin tieturi: *);,(,01 Rbab
y
a
x=+
5. Ecuaia dreptei de pant m, prin punctul M
o(x
o,y
o): y y
o= m(x x
o), (m
0);
6. Ecuaia dreptei determinat de puncteleA(x1,y2),B(x2,y2):),(,),( 2121
12
1
12
11
12
121 yyxx
xx
xx
yy
yyxx
xx
yyyy
=
= sau
0
1
1
1
22
11 =
yx
yx
yx
7. Ecuaia general: ax + by + c = 0;8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC =
2
1, unde
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
50/66
50
1
1
1
22
11
yx
yx
yx
= , dac = 0 atunci A, B, C sunt colineare
9. Poziia relativ a dreptelor (d1) i (d2):0:)( 1111 =++ cybxad i 0:)( 2222 =++ cybxad
d1 = d2, dac2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a==
d1d2, dac2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a= ;
d1 d2i d1 d2, dac
2
1
2
1
b
b
a
a
10.Distana de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0
22
00),(ba
cbyaxhMd
+
++=
11.Unghiul determinat de dreptele:111 :)( nxmyd += i 222 :)( nxmyd +=
)1(,1 2121
12
+
= mmmmmm
tg
d1 d2, dac m1m2 = -1
III.3. Cercul
Cercul C de centru M(a,b) i raz r:
1. Ecuaia cercului (x a)2 + (y b)2 = r2; dac M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;
2.
Ecuaia general: x
2
+ y
2
+ mx + ny + p = 0, unde 2
m
a = , b = 2
n
i
r2 =4
1(m2 + n2) p.
III.4. Conice raportate la axele de simetrie
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
51/66
51
1. ElipsaE: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), B(0,b), B(0,-b), MF + MF = 2a, ME
Ecuaia elipsei: 2222
2
2
2
,01 acbb
y
a
x=+=+
Ecuaia tangentei n punctul M(xo,yo), ME:01
22=+
b
yy
a
xx oo
2. HiperbolaH: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), MF MF= 2a, MH.
Ecuaiea hiperbolei: 2222
2
2
2
,01 abcb
y
a
x==
Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoH.012
020
= b
yy
a
xx
3. ParabolaP: F(2
p,0), h:x = -
2
p(h dreapta directoare): d(M,h) = MF, MP.
Ecuaia parabolei P:y2 = 2px
Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoP:yyo = p(x + xo)
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
52/66
52
ANALIZ MATEMATIC
I. iruri
I.1. iruri i limiteDefiniia I.1.1.Se numete ir de numere reale o funcie f:NR, f(n) = an.Definiia I.1.2. irul (an)n0 se numete cresctor (respectiv descresctor ) dac an an+1,
nN (respectiv an an+1,nN). irurile cresctoare iirurile descresctoare se numesciruri monotone.
Definiia I.1.3. irul (an)n0 este mrginit dac i numai dac M>0 astfel nctanM,nN.
Notaie: (an)n0, anR, R =R {-, +}.
Definiia I.1.4.irul (an)n0, anRare limita ai scriem aann
=
lim , aRdac n orice
vecintate a punctuluia se afl toi termeniiirului ncepnd de la un anumit rang.
Definiia I.1.5. irul este convergent, aann
=
lim , aR, dac>0, NN astfel nct
n> N, an - a0, NN astfel nctan >, n > N.
Definiia I.1.7. =
nn
alim dac >0, NN astfel nctan < -, n > N.
Dac =
nn
alim , atunciirul este divergent.
I.2. Criterii suficiente de convergen sau de existen a limitei unui ir
1. dac 0lim =
nn
b , bn 0 i an - abn atunci aann
=
lim ;
2. dac =
nn
blim i anbn atunci +=
nn
alim ;
3. dac =
nn
blim i anbn atunci =
nn
alim ;
4. orice ir monoton i mrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);5. dac bnancni acb n
nn
n
==
limlim atunci aann
=
lim ;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
53/66
53
6. criteriul lui Stolz:- dac (bn)n0 cresctor: =
n
n
blim i existnn
nn
n bb
aa
+
+
1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
= ++
1
1
limlim ;
- dac (an)n0, an > 0 i existn
n
n a
a 1lim +
atunci n nn
alim
=n
n
n a
a 1lim +
(Cesaro);
- - dac (bn)n0 cresctor: 0limlim ==
nn
nn
ba i existnn
nn
n bb
aa
+
+
1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n
bb
aa
b
a
=
+
+
1
1limlim ;
I.3. Operaii cu iruri convergente
aann
=
lim , bbnn
=
lim , a,bR
)0daca(,lim.3
;,lim.2
;)(lim,)(lim.1
=
=
=+=+
bba
ba
Raa
babababa
n
n
n
nn
nnn
nnn
I.4. Operaii cu iruri care au limit
aann
=
lim , bbnn
=
lim , a,bR
1. dac =
nn
alim i bbnn
=
lim , bR atunci 01
lim,)(lim =+=+ nn
nnn a
ba ,
+=
0daca,
0daca,lim
b
bba nn
n
2. +==
nn
nn
ba limlim atunci +=+
)(lim nnn
ba , +=
)(lim nnn
ba ;
3. dac =
nn
alim i bbnn
=
lim , bR, atunci =+
)(lim nnn
ba
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
54/66
54
=
0daca,
0daca,lim
b
bba nn
n
;
4. ==
nn
nn
ba limlim atunci =+
)(lim nnn
ba , +=
)(lim nnn
ba ;
5. dac = nn alim i = nn blim atunci = )(lim nnn ba ;6. dac 0lim =
n
n
a atunci = nn a
1lim dac an > 0 i =
nn a
1lim dac an < 0.
I.5. iruri tip
.!
1...
!2
1
!1
11lim.9
;1
1lim.8
;1,1...21lim.7
;0,1lim.6
;)1
...3
1
2
11(lim.5
;1daca,1
1)...1(lim.4
daca,
0sidaca,
0sidaca,
daca,0
...
...lim.3
0daca,
0daca,lim)...(lim.2
1dacaexista,nu
1daca,
1daca,1
11daca,0
lim.1
2
00
11
10
11
10
0
001
110
en
en
pn
aa
n
qqq
pkb
a
papk
papk
pk
nnbnbnb
ananana
a
anaananana
q
q
q
q
q
n
n
n
n
n ppp
n
n
n
n
n
n
oo
oo
pppp
kkkk
n
k
nkk
kk
n
n
n
=
++++
=
+
=+++
>=
+=++++
>+
+
=
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
55/66
55
II. Limite de funcii
Notaii:f:DR, DR, - punct de acumulare a lui D;
II.1. Definiii ale limitei
Definiia II.1.1. R,)(lim =
llxfx
, dac pentru orice vecintate V a lui l exist o
vecintate Ua luiastfel nct xDU, x, s rezultef(x)V.
Definiia II.1.2. R,)(lim =
llxfx
, dac pentru orice ir (xn)n0, xnD\{} , avnd
=
n
n
xlim rezult lfn
=
)(lim (criteriul cuiruri);
Definiia II.1.3. R,)(lim =
llxfx
, dac >0, >0 astfel nct xD\{} i x -
< rezultf(x) - l< ;
Definiia II.1.4. lfx
=
)(lim
, dac ls = ld= l, unde )(lim xfl
xx
s
= .
II.2. Operaii cu limite de funcii
f:DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxfx
=
, 2)(lim lxgx
=
, l1,l2R;
.)(
)(lim,0daca.4
;)(lim.3
;)()(lim.2
;))()((lim.1
2
12
1
21
21
l
l
xg
xfl
laxaf
llxgxf
llxgxf
x
x
x
x
=
=
=
+=+
II.3. Limite tip
nnn
nnn
x
aaaaxaxa +++=+++
...)...(lim.11
101
10
;lim)...(lim 01
10n
xn
nn
x
xaaxaxa
=+++
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
56/66
56
mmm
nnn
mmm
nnn
x bbb
aaa
bxbxb
axaxa
+++
+++=
+++
+++
...
...
...
...lim.2 1
10
110
110
110
;lim
...
...lim
0
01
10
110
m
n
xm
mm
nnn
x
xb
xa
bxbxb
axaxa
=
+++
+++
2,,,lim.3 = +
nNnRx nn
x
=
n
x
xlim , =+
12lim nx
x ;
4. }1{\,,lim*+
= RaRaax
x
=
x
x
alim , 0lim =
x
x
a , dac a > 1;
0lim =
x
x
a , =
x
x
alim , dac 0 < a < 1;
5. }1{\finita,0,logloglim*+
>= Rx aa
x
=>
xa
xx
loglim00
i +=
xax
loglim dac a > 1;
+=
>
xa
x
x
loglim
0
0i =
xa
x
loglim dac 0 < a < 1;
6.
sinsinlim =
xx
,
coscoslim =x
Ztgtgxx
+= 2
,lim , Zctgctgxx
=
,lim
=
tgx
x
x
lim
2
2
7. =>
ctgxxxlim
00 , =
=
aZna
xx
n
x
10. ;)1(lim,1
1lim1
0exe
xx
x
x
x
=+=
+
11. ;1)1ln(
lim0
=+
x
x
x
12. 0,ln1
lim0
>=
aa
x
ax
x
,
13. Rrrx
x r
x
=+
,
1)1(lim
0.
II.4. Continuitatea funciilor
Definiia II.4.1. Fie f:DR,xoD,xo punct de acumulare a luiD,feste continu nxo,
dac )()(lim 00
xfxfxx = ,
xo se numete punct de continuitate.
Definiia II.4.2. Fie D, este punct de discontinuitate de prima spe dac exist i
sunt finite limitele laterale n , dar funcia nu este continu n .
Definiia II.4.3. Fie D, este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu este de
prima spe.
Teorem.Dac f:IR,I intervalifcontinu peI, atunciJ = f(I) este interval ( o funcie
continu pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).
III. Funcii derivabile
III.1. Definiia derivatei ntr-un punct
f:ER, xoE,xo punct de acumulare a lui E:
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
58/66
58
f(x0) =h
xfhxf
xx
xfxf
Ehxhxx
)()(lim
)()(lim 00
00
0
0
0
+=
+
fs(x0) =0
0 )()(lim
00 xx
xfxf
xx xx
f(x0) = fs(x0) = fd(x0)Interpretarea geometric:
- dac f(x0)R, y - f(x0 ) = f(x0 )(x x0) este ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctulA(x0,f(x0));
- dac feste continu n x0, fd(x0) = +, fs(x0) = -, sau invers, x0 este punct de ntoarcere algraficului;
- dacfeste continu nx0i exist derivatele laterale nx0, cel puin una fiind finit, darfnu estederivabil nx0,x0 este punct unghiular al graficului.
III.2. Reguli de derivare
f,g:ER,f,gderivabile nxE:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x);2. (cf)(x) = cf(x), cR;3. (fg)(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)4. dacg(x)0,
)(
)(')()()(')(
2
'
xg
xgxfxgxfx
g
f =
;
5. dac f:IJ, g:JR, f derivabil n x0I i g derivabil n y0 = f(x0), atunci (gof)(x0) =g(y0)f(x0);
6. dacf:IJ continu, bijectiv i derivabil nx0cuf(x0)0, atuncif-1:JI este derivabil ny0,y
0= f(x
0)if-1(y
0) =
)('
1
0xf.
III.3. Derivatele funciilor elementare
Funcia (condiii) Derivata (condiii)
C 0
xn, nN* nxn-1
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
59/66
59
xr, rR,x>0 rxn-1
0, xx 0,2
1>x
x
logax, a1, a>0, x>0
xa
1
ln
1
lnx, x>0
x
1
ax, a1, a>0, x>0 a
xln a
ex
ex
sinx cosx
cosx -sinx
tgx, x Zkk + ,2
)12( 2cos
1
ctgx,x Zkk , 2sin
1
arcsinx, x[0,1])1,0(,
1
12
xx
arcosx, x[0,1])1,0(,
1
1
2
x
x
arctgx21
1
+
arcctgx21
1
+
III.4. Derivata funciilor compuse
Funcia (condiii) Derivata (condiii)
un, nN* nun-1u
ur, rR, u>0 uxn-1u
0, uu 0,2
'>u
u
u
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
60/66
60
logau, a1, a>0, u>0
u
u
a
'
ln
1
ln u, u>0'
1u
u
au, a1, a>0 auln au
eu
euu
sin u cos uu
cos u - sin uu
tg u, cos u0'
cos
12
uu
ctg u, sin u0
'sin
12 uu
arcsin u, u[-1,1])1,1(,'
1
12
uuu
arccos u, u[-1,1])1,1(,'
1
12
uuu
arctg u'
1
12
uu
+
arcctg u'
1
12
uu
+
uv
, u>0 uvvln u + vuv-1u
III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcii elementare
Funcia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))
xm, mN, mn m(m-1)(m-n+1)xm-n
Nmxm
,1
(-1)nm(m-1)(m+n-1)
nm+
1
ex
ex
ax (ln a)nax
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
61/66
61
lnx(-1)
n-1(n-1)!
nx
1
Funcia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))
sinx
+ 2sin
n
x
cosx
+
2cos
nx
Formula lui Leibniz:
ffgfC
gfCgfCgfCgfCgfgf
n
k
kknk
n
nnn
nnn
nn
nn
nn
= =
=++++=
=
)0(
0
)()(
)()1(1)2(2)1(1)()(
,
'...''')(
III.6. Proprieti ale funciilor derivabile
Teorema lui Fermat:
Fief:IR derivabil pe I. n orice punct extrem local din interiorul lui I,feste nul.
Teorema lui Rolle:
Dac funcia continu f:[a,b]R este derivabil pe (a,b) i f(a) = f(b) atunci exist c(a,b)
astfel nctf(c) = 0.
Teorema lui Lagrange:
Dac funcia continu f:[a,b]R este derivabil pe (a,b), atunci exist c(a,b) astfel nct
)(')()(
cfab
afbf=
.
Teorem. Dac funciafeste continu i derivabil pe I (I interval deschis), atunci:
1. ntre dou rdcini consecutive ale funciei exist cel puin o rdcin a derivatei;2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei.Teorema lui Cauchy:
Dacf,g:[a,b]R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) i g(x)0, x(a,b) atunci c(a,b)
astfel nct)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf=
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
62/66
62
IV. Asimptote
IV.1. Asimptote orizontale (f:DR)
Definiia IV.1.1. Dac 1)(lim lxfx
=
+
sau 2)(lim lxfx
=
, l1,l2R, drepteley=l1iy=l2
sunt asimptote orizontale a luifspre +, respectiv -IV.2. Asimptote oblice (f:DR)
Definiia IV.2.1. Dac 0)(
lim =
mx
xf
x
i Rnmnmxxfx
=+
,,])([lim dreapta y
= mx + n este asimptot oblic a luifspre +.Definiia IV.2.2. Dac 0')(lim =
m
xxf
x
i Rnmnxmxfx
=+
',',']')([lim dreapta
y = mx + neste asimptot oblic a luifspre -.IV.3. Asimptote verticale (f:DR)
Definiia IV.3.1.Dac =
)(lim xf
xx
, - punct de acumulare a luiD, dreaptax=este
asimptot vertical la dreapta a luif.
V. Primitive
(integrale nedefinite)
Definiia V.1. Fie funcia f:JR, J interval, F:JR este primitiva luif , dac F este
derivabil pe JiF(x) = f(x), xJ.
Se noteaz: += cxFdxxf )()(
Proprieti ale primitivelor:
1. [ ] += + dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 ;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
63/66
63
2. = dxxfadxxaf )()( ;3. = dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( .
V.1. Prima metod de schimbare a variabilei
Dac :IJ,f:JR,derivabil pe I,fadmite primitive (F), atunci
+= ctFdtttf )()('))(( o
V.2. A doua metod de schimbare a variabilei
Dac :IJ, f:JR, bijectiv, derivabil, cu derivata nenul pe I, ')( = ofh
admite primitive (H) atunci += cxHdxxf )()( 1o .
V.3. Tabel de primitive: (I interval,IR)
1. NnRxcn
xdxx
nn +
+=
+
,,1
1
;
2. +++
=+
}1{\),,0(,1
1
Rxcx
dxx
;
3.
1,0,,ln >+= aaRxcaa
dxa
xx
;
4. RIIxcxx
dx+ = ,,ln ;
5. },{\,,ln2
1122
aaRIIxcax
ax
adx
ax+
+
=
;
6. 0,,1122
+=+
aRxca
xarctg
adx
a;
7. Rxcxxdx += ,cossin ;8. Rxcxxdx += ,sincos ;9.
++= ZkkRIIxctgxdx
x 2)12(\,,
cos
12
;
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
64/66
64
10. { }ZkkRIIxcctgxdxx
+= \,,sin
12
;
11.
++= ZkkRIIxcxtgxdx
2)12(\,,cosln
;
12. { } += ZkkRIIxcxctgxdx \,,sinln ;13. ( ) Rxcaxxdx
ax+++=
+,ln
1 2222
;
14. 0),,(sau),(,ln1 2222
>+++=
aaxaxcaxxdxax
;
15. 0),,(,arcsin122
>+=
aaaxc
a
xdx
xa
V.4. Primitivele funciilor raionale
1. 0,1,,)()1(
1)( 1 ++
+= +
+ anNncbaxan
dxbax nn ;
2. ++=+
0,)ln(1
acbaxabax
dx;
3. ++
=+
0,1,,)()1(
1
)( 1anNnc
baxanbax
dx
nn
;
4. bacax
bx
babxax
dx+
++
=
++,ln
1
))((;
5. =+
+
=++
0,4bunde,
42
1 22
22
aacc
aa
bx
dx
acbxax
dx.
Substituiile lui Euler:
1. 0daca,2 >=++ aaxtcbxax ;2. 0daca,2 >=++ cctxcbxax ;3. 1212 si04daca),( xacbxxtcbxax >=++ este o rdcin a ecuaiei
ax2
+ bx + c = 0.
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
65/66
65
VI. Integrale definite
IV.1. Definiia integrabilitii (integrale Riemann)
Notaii:f:[a,b]R, = (a = x0, x1, x2, , xn = n) diviziune,xi-1ixi , i puncte intermediare,
(f, ) suma Riemann: ==
n
iiii xxff
11))((),(
Definiia VI.1.1.f se numete integrabil dac exist numrul realIfcu proprietatea:
> 0, >0 astfel nctr pentru orice divizune a lui [a,b] cu
8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu
66/66
Formula de schimbare de variabil:
Dac :[a,b]J,f:JR,fcontinu pe J, derivabil cu derivata continu pe [a,b], atunci
= )(
)()()('))((
b
a
b
a
dxxfdtttf
Proprieti de paritate:
Dacf:[-a,a]R continu atunci:
=
a
a
a fdxxf
f
dxxf
0paradaca,)(2
imparadaca,0)(
VI.1. Aplicaii ale integralei definite
1. Aria subgraficului f,f:[a,b]R+,fcontinu:aria =
b
af dxxf )(
Aria subgraficului f,g,f,g:[a,b]Ri f(x) g(x) x[a,b]
aria =b
agf dxxgxf )]()([,
2. Volumul corpurilor de rotaie,f:[a,b]R+,fcontinu:
=
b
af dxxfCvol )()(
2
3. Lungimea graficului f:[a,b]R+,fderivabil cu derivata continu:
+=b
a
dxxffl 2))('(1)(
4. Aria suprafeelor de rotaie:
+=b
a
f dxxfxfA2))('(1)(2