Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐1/12

23/06/08 20:29

Newtonovamehanika1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile.

Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilnekoličine

2. ZapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotencialaU(x).

€

T = 2m dxE0 −U(x)a

b

∫ ,ainbtočki,vkaterihjepotencialenakenergiji.

3. Kajjevektorkotnehitrosti?Tenzor

€

QT ˙ Q jeantisimetričen,zatoobstajaosnivektor

€

ω ,daje

€

QT ˙ Q a = ω × a .Vektorkotnehitrostije

€

′ ω =Q ω .

4. ZapišiEulerjevedinamičneenačbezaprostoosnosimetričnovrtavko.

€

0 = J ˙ ω 1 −ω2ω3(J − J3)

€

0 = J ˙ ω 2 −ω3ω1(J3 − J)

€

0 = J3 ˙ ω 3

€

J := J1 = J2 5. Naštejtrinetrivialneprimereredukcijegibanjanapremočrtnogibanje.

Kajsointegraligibanjavvsakemprimeruposebej?Gibanjepokrivulji(gledenaločnodolžino),gibanjevpoljucentralnesile(gledenaradij),gibanjeosnosimetričnevrtavke(gledenakotnutacije).Integraligibanja:energija(vsitrijeprimeri),vrtilnakoličina(drugadvaprimera).

6. Kdajnatankodverotacijikomutirata?Natankotedaj,kostarotacijiokoliisteosi.

7. Opišigibanjeprosteosnosimetričnevrtavke.Težiščesegibljepremočrtno,osnivektorrotacije

€

ω paenakomerno

precesiraokrogosi

€

k .

8. KolikoparametrovimagrupaGalilejevihtransformacij?10.

9. Zapišienergijskoenačbogibanjamaterialnetočkevpoljukonzervativnesile.

€

12

m˙ x 2 + U(x) = E0,E0 = konst.

10. Zapišienačbegibanjatogegatelesaokrogstalnetočke.Newtonovzakon:

€

m ˙ ̇ ′ P * = ′ F ,Eulerjevadinamičnaenačba:

€

ω × J ω + J ˙ ω =

N

11. ZapišiGalilejevotransformacijomeddvemanaravnimaGalilejevimastrukturamana

€

R × E Transformacijamorabitiafina,veljatimora:

€

t'= t + t0 '

€

P'= c t + c'+Q(P − P0) 12. Kdajpravimo,dajepremočrtnogibanjeizokronično?

Premočrtnogibanjejeizokronično,čejeperiodagibanjaneodvisnaodenergije.

13. Kakozapišemorotacijoskvaternionom?

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐2/12

23/06/08 20:29

€

R( e ,ϕ) r = q r q*, r = cosϕ2

+ e sinϕ

2, e =1

14. ZapišisplošnooblikofunkcijeinterakcijemeddvemamaterialnimatočkamaSplošnaoblikafunkcijeinterakcijemedmaterialnimatočkamaP1inP2je:

€

f (P1 − P2,

dP1dt

−dP2dt),kjerjefizotropičnavektorskafunkcija.

15. Kolikoprostorskihstopenjimatogotelo,kisekotalipoploskvi?Konfiguracijskiprostorzakotaljenjetelesapoploskvije5‐dimenzionalen,2koordinatizadotikališčeter3zaorientacijo.Obstajata2neholonomnivezi,kiposkrbita,dasetelokotali.Torejješteviloprostostnihstopenj5‐2=3.

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐3/12

23/06/08 20:29

Lagrangevamehanika1. Alijevezpremočrtnegakotaljenjaholonomnaalineholonomnavez?

Vezjeholonomna.2. Kajjekonstantagibanjaavtonomnegasistema?

KonstantagibanaavtonomnegasistemajeJacobijevaenergijskafunkcija

€

ε(q, ˙ q ,t) = p ˙ q − L(q, ˙ q ,t) .3. Kakodobišfrekvencemajhneganihanjaokrogravnovesnelege?

Lagrangevofunkcijozapišemokot

€

L =12

˙ q ⋅T(q0) ˙ q − 12

(q − q0) ⋅V (q − q0) in

rešujemoposplošenisistemlastnihvrednostitako,daiščemotakomega,daje

€

det(V −ω 2T) = 0.4. Najbosistemmaterialnihtočkinvariantenzarotacijeokrogdaneosi.

Kajjepripadajočakonstantagibanja?Konstantagibanjaje

€

e ⋅ L (P0) ,kjerjeeosrotacijeinP0točka,kiležina

osi.5. ZapišiHamiltonovvariacijskiprincip.

StacionarnatočkaakcijskegafunkcionalanadafinimprostoromtrajektorijspredpisanimivrednostminakrajiščihjenatankorešitevLagrangevihenačbspredpisanimivrednostminakrajiščih.

6. KdajjeEulerjevaenergijskafunkcijaenakavsotikinetičneinpotencialneenergije?Kadarjesistemskleronomen,t.j.kovezinisoodvisneodčasa.

7. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Konstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadanivektor.

8. Kajjeposplošenipotencialinkjenastopa?Tojepotencial,odvisentudiodhitrosti(

€

V = V (q, ˙ q ,t)).PrimerposplošenegapotencialajepotencialLorentzovesilealigibanjavrelativnemkoordinatnemsistemu.

9. Zapišiprimervezi,prikaterimožniinvirtualnipomikisovpadajo.Možniinvirtualnipomikisovpadajovprimeru,kojevezgeometričnoskleronomna.

10. Kdajmožniinvirtualnipomikisovpadajo?

Česogeometričneveziskleronomne(npr.

€

dxdt

+dydt

= 0)aličejesistem

katastatičen.11. ZapišiosnovnooblikoLagrangevihenačb.

€

ddt

(∂L∂ ˙ q

) − ∂L∂q

= 0

12. Kakopriteorijimajhnihnihanjvokoliciravnovesnelegepridemodoosnovnihfrekvenc?Tako,darešimoposplošenproblemlastnihvrednosti–rešujemo

€

det(V −ωT) = 0 13. KakorazširimoLagrangevomehanikonaprimere,kojepotencial

odvisenodgeneraliziranihhitrosti?Sposplošenimpotencialom,t.j.

€

V = V (q, ˙ q ,t)

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐4/12

23/06/08 20:29

14. Kakšneoblikemorebitigeneraliziranasila,dajolahkozapišemosposplošenimpotencialom?NajboQgeneraliziranasila.Sposplošenimpotencialom

€

V = V (q, ˙ q ,t) jo

lahkozapišemo,čejeoblike:

€

Q = −Vq +ddt

(V ˙ q ) .

15. VkateremprimeruLagrangevafunkcijamajhneganihanjaokoliravnovesnelegesovpadasprvotnoLagrangevofunkcijo?Vprimeru,dajemetričnitenzorkinetičneenergijekonstanten(tonpr.veljavkartezičnihkoordinatah)injepotencialkvadratnafunkcijakoordinat.

16. NajboLagrangevafunkcijainvariantnazatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Pripadajočakonstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadanivektor.

17. KakodaniLagrangevifunkcijipriredimoekvivalentnoLagrangevofunkcijo?Najbo

€

L(x, ˙ x ,t) Lagrangevafunkcija.Najbof(x,t)poljubnafunkcija.ČeL

dodamototalniodvodfunkcijefpočasu,bodobljenanova

€

′ L = L +dfdt

Lagrangevafunkcijaekvivalentnaprvotni.

18. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Čejesisteminvariantenzatranslacijevsmerivektorjaa,jepripadajoča

konstantagibanja

€

a ⋅ ∂L∂ ˙ q

= a ⋅ p .Vposebnem,čejesisteminvariantenzatranslacijevsmeriqi(qijecikličnaspremenljivka),jepikonstantagibanja.

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐5/12

23/06/08 20:29

Hamiltonovamehanika1. KakodobimoHamiltonovofunkcijoizdaneLagrangevefunkcije?

HamiltonovafunkcijajeLegendrovatransformirankaLagrangeve

funkcije.Pišemojo

€

H = p ⋅ ˙ q − L(q, ˙ q ,t) ,kjerje

€

p =∂L∂ ˙ q in

€

˙ q izrazimoz

€

p in

€

q2. Zapišikanonskisistemspomočjosimplektičnematrike.

€

˙ x = J ⋅ ∂H∂x

3. Zapišidefinicijočasovnoneodvisnekanonsketransformacije.Tojetakakanonskatransformacija,kjernovespremenljivkenisoodvisneodčasa,t.j.transformacija(P,Q)=f(p,q),kiohranjakanonskisistem,Poissonovoklepajinzadoščasimplektičnemupogoju.

4. Kakoseglasikanonskisistemgibanjavpoljucentralnesile?

€

˙ r = 1m

pr

€

˙ ϑ =1mr2 pϑ

€

˙ p r =pϑ

2

mr3 −dVdr

€

˙ p ϑ = 05. ZapišiHamilton­Jacobijevoenačbozaharmoničnioscillator.

€

∂S∂t

+12m

((∂S∂q)2 + (mwq)2) = 0

6. Določinekonstantifunkcijifingtako,dabonjunPoissonovoklepajenaknič.Čejef=g=f(p,q)nekonstantna,je[f,g]=0.Polegtegaje

€

[qi,q j ] = [pi, p j ] = 0in

€

[qi, p j ] = δi, j .7. Kdajnatankojetransformacijafaznegaprostora,kipripadagibanjuz

enoprostorskostopnjo,kanonska?Natankotedaj,kadarohranjavolumenfaznegaprostora,karjezaeno

prostorskostopnjonatankotedaj,kadarje

€

det(∂ξ∂x) =1,pričemersoksi

transformiranekoordinate.8. Kakoseglasikanonskisistemenačbmajhnegagibanjaokoli

ravnovesnelege?Hamiltonovafunkcijajezamajhnagibanjaokoliravnovesnelegeenaka

€

H =12p ⋅T−1 p +

12(q − q0) ⋅V (q − q0),zatojekanonskisistem

€

˙ q = T−1 p, ˙ p = −V (q − q0).9. ČemujeenakaLegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcije?

LegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcijejeenakaLagrangevifunkciji,sajjeLegendrovatransformacijainvolutivna.

10. Zapišikanonskisistemzaharmoničnioscilator.

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐6/12

23/06/08 20:29

Zaharmoničnioscilatorje

€

L =12

m ˙ q 2 − 12

kq2 in

€

H =12m

p2 +12kq2 ,zatoje

kanonskisistem

€

˙ q = 1m

, ˙ p = −kq

11. Zapišiodvodfunkcijef=f(p,q,t)vzdolžrešitvekanonskegasistema

€

dfdt

=∂f∂t

+ [ f ,H]

12. NaštejosnovnelastnostiPoissonovegaoklepaja[f,g]=‐[g,f][f+g,h]=[f,h]+[g,h][af,g]=a[f,g]

€

∂[ f ,g]∂t

= [∂f∂t,g]+ [ f ,∂g

∂t]

[f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=013. PriredidaniHamiltonovifunkcijiHamilton­Jacobijevoenačbo

€

∂S∂t

+ H(t,q,(∂S∂q)T ) = 0

14. KajpovezujeLagrangevoinHamiltonovomehaniko?Legendrovatransformacija(glej1.Točko)

15. PrirediLagrangevifunkciji

€

12

˙ q ⋅ Π ˙ q −V (q)Hamiltonovofunkcijo.

€

L =12

˙ q ⋅ Π ˙ q −V (q)

€

p =∂L∂ ˙ q

=Π ˙ q ⇒ ˙ q =Π−1p

€

H =Π−1p ⋅ p − 12Π−1pΠΠ−1p +V (q) =

12Π−1p ⋅ p +V (q)

16. Določinetrivialnifunkcijif=f(q,p)ing=g(q,p)tako,dabonjunPoissonovoklepajenak1.

€

[x, px ] =117. Kdajjetransformacijafaznegaprostorakanonska?

Kozadoščasimplektičnemupogoju:

€

(∂ξ∂x)J(∂ξ

∂x)T = J = (∂ξ

∂x)T J(∂ξ

∂x),ξ(x) − transformacija

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐7/12

23/06/08 20:29

Kinematikamehanikekontinuuma1. Kdajnatankojetenzordeformacijetrivialen?

Natankotedaj,kojedeformacijatoga.2. ZapišizvezoprideformacijimeddpindP.

€

dp = FdP 3. Zapišimaterialniodvodhitrostnegapolja.Kajpredstavlja?

€

D v Dt

=∂ v ∂t

+ grad( v ) v .Predstavljaprostorskopoljepospeškov.

4. Izračunajodvodprostorskegavolumenskegaelementapočasu.

€

DDt

dv = div( v )dv

5. Kajjeosnivektorpoševnosimetričnegadelaprostorskegagradientahitrostnegapolja?

€

12

rot( v )

6. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimvolumenskimelementom?

€

dv = det(F)dV 7. Kajjesledtenzorjadeformacijskihhitrosti?

€

sl(d) = sl(12(grad( v ) + (grad( v ))T ) = sl(grad( v )) = div( v )

8. Alilahkopriravninskemhitrostnempoljutokovniceinvrtinčnicesovpadajo?Ne,tokovnicetečejovzdolžpoljav,vrtinčnicepavzdolžpoljarot(v),tidvepoljipastapravokotni(

€

rot( v ) =∇ × v )

9. Zapišitenzordeformacijeinnjengeometrijskipomen.

€

E =12(FT F − I) .Primajhnihdeformacijahdiagonalnielementipovejo

relativnospremembodolžinvsmerikoordinatnihosi,izvendiagonalnielementipapolovicokotadeformacije.

10. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimločnimelementom?

€

ds2 = ( A ⋅ 2E

A +1)dS2 ,kjerje

€

A = dP

dP.

11. Čemujeenakosnivektorpoševnosimetričnegadelatenzorjadeformacijskihhitrosti?

€

ω =

12

rot( v )

12. Kajsotokovniceinkajsotirnice?

Najbo

€

F(p0,to,t) = p(t) rešitevdiferencialneenačbe

€

dpdt

= v (p,t), p(t0) = p0 .

Tokovnicavčasut0jekrivulja,kisedotikahitrostnegapoljav(p,t0).Tirnica,kigreskozitočkop0včasut0jekrivulja

€

F(p0,to,t) = p(t) 13. Zakateravektorskapoljapomikovjeinfinitezimalendeformacijski

tenzortrivialen?ČejeUpoljeinfitezimalnihtogihpremikov,tojenatankotedaj,kojegrad(U)poševnosimetričentenzor.

14. Kajsotirnice?

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐8/12

23/06/08 20:29

Tirnica,kigrevčasut0skozitočkop0jerešitevdiferencialneenačbe

€

dpdt

= v(p,t)

15. Zapišitransportniizrekzavolumenskiintegral.

€

DDt

f dv

b( t )∫ = (D

f

Dt+ f

b( t )∫ div( v ))dv

16. Napišiprimernestacionarnegahitrostnegapolja,prikateremtokovniceintirnicesovpadajo.

Takšenprimerjenpr.polje:

€

V (x,y,z,t) = (1+ t 2) * (x,0,0)

17. Zapišipogoj,datokovniceinvrtinčnicesovpadajo.Pogojje,daobstajagladkafunkcijaf=f(x,y,z),zakateroveljaV=f*rot(V),oziroma–poljistavzporedni.

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐9/12

23/06/08 20:29

Fizikalniprincipmehanikekontinuuma1. Zapišizakonoohranitvimasevintegralskiobliki.

€

DDt

ρdVb( t )∫ = 0

,zavsakiteloVpodtelesomB

2. Kakojedefinirantenzornapetosti?PoCauchyjevihipotezijegostotapovršinskesilefunkcija

€

t (p,t, n ) .Čeza

vektor,kinienotski,definiramo

€

t (p,t, a ) =

a t (p,t,

a a ),jetafunkcijav

zadnjemargumentulinearna,zatolahkodefiniramonapetostnitenzortspredpisom

€

t (p,t, n ) = t(p,t) ⋅ n

3. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbo.

€

ρD v Dt

= ρ f + div(t)

4. Kolikoenačbnamdajoprincipioohranitvimase,ogibalniinvrtilnikoličiniinkolikoneznanknastopavtehenačbah?Enačbje7:1oohranitvimase,3ogibalniin3ovrtilnikoličini.Neznankeso

€

ρ, p, v ,t ,torejzanepolarnasredstva13neznank(takratjenapetostnitenzorsimetričen),sicer16.(Alternativa:10neznank–preveri!)

5. Vkaterismerijenormalnanapetostmaksimalna?Normalnanapetostjemaksimalnavsmerilastnegavektorjamatriket,kipripadanajvečjilastnivrednosti.

6. Zapišizakonoohranitvimasevlokalniobliki.

€

DρDt

+ ρdiv( v ) = 0

7. Kjeležismermaksimalnestrižnenapetosti?Smermaksimalnestrižnenapetostileživsmerivsotelastnihvektorjevmatriket,kipripadatanajvečjiinnajmanjšilastnivrednosti.

8. Zapišikontinuitetnoenačbo.

€

DρDt

+ ρdiv( v ) = 0

9. Kajjenormalnanapetostinkajjestrižnanapetost?Normalnanapetost:

€

tn = (t=

n ) ⋅ n .

Strižnanapetost:

€

ts = t 2− tn

2 10. Kdajjetenzornapetostisimetričeninzakaj?

Čejesredstvonepolarno,jetenzornapetostisimetričen.Vtemprimerunamrečizprincipaovrtilnikoličinizavsakohelikoidalnopolje

€

ω sledi

€

DDt

v ⋅ ω dmb∫ +

t ⋅ ω da

∂b∫ ,odkoderizGaussovegaizrekainCauchyjeve

momentneenačbesledi

€

t :W = 0zavsakpoševnosimetričnitenzor

€

W .11. Kakšajezvezamedvektorjemnapetostiintenzorjemnapetosti?

€

t = t n

12. Kdajnatankojetenzornapetostisimetričen?Tenzornapetostijesimetričenčejesredstvonepolarno.

13. Alijelahkomaksimalnastrižnanapetostvečjaodmaksimalnenormalnenapetosti?Čeda,kdaj?

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐10/12

23/06/08 20:29

Velja,dajemaksimalnastrižnavrednostenakapolovicirazlikemedmaksimalnoinminimalnonormalnonapetostjo.Zatojepoabsolutnivrednostimanjšaodmaksimalnenormanenapetosti,vendarpajelahkovečjačesovsenormalnenapetostimanjšeodnič,maksimalnastrižnapavečjaodnič.

14. Nakateremprincipuinpredpostavkitemeljisimetričnosttenzorjanapetosti?Simetričnostnapetostnegatenzorjatemeljinaprincipihogibalniinvrtilnikoličiniternapredpostavkinepolarnegakontinuuma.

15. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbozaravnovesnipoložajbrezupoštevanjavolumenskihsil.

€

div(t) = 0 ,tnapetostnitenzor.16. Napišiprimernapetostnegatenzorja,kiimaničelnonormalnonapetostv

smerikoordinatneosiinneničelnostrižnonapetost.

€

t ∍: t1,2 = t 2,1 =1,ostalo0.

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐11/12

23/06/08 20:29

Mehanikafluidov1. Zapišimatematičnodefinicijofluida

Fluidjekontinuum,vkateremjerazlikamednapetostjovdanismeriinhidrostatskimtlakomodvisnaleodlokalnegadeformacijskegagibanja.Alternativno:Kontinuumjefluid,čejenapetostnitenzorizotropičnafunkcijatenzorjadeformacijskihhitrosti(t=f(d)).Pritemmoraveljatif(0)=‐pI.

2. ZaNewtonovfluidzapišinapetostnitenzor.

€

t = (−p + λdiv( v ))I + 2µd ,dtenzordeformacijskehitrosti.3. Zapišikonstituivnozvezomednapetostjointenzorjemdeformacijskih

hitrosti.Glej2.

4. Zakajjevizkoznostnikoeficient

€

µpozitiven?Iz2.zakonatermodinamikesledi

€

V : d = λ(div( v ))2 + 2µd : d ≥ 0 .Vbazi,vkaterije

€

d diagonalen,topomeni

€

λ(d1 + d2 + d3)2 + 2µ(d1

2 + d22 + d3

2) ≥ 0 ,karjezagotovole,čeje

€

µ ≥ 0 5. KakšenjehitrostniprofilpriPoiseulliejevemutokuskozicevskrožnim

presekom?

€

v =A4µ(R2 − x 2 − y 2) ,hitrostkvadratnopadazoddaljenostjoodsredišča.

6. NapišipogojeveljavnostiBernoullijevegaizrekaIdealenfluid,izenotropičenalihomogeninnestisljiv,potencialnovolumenskasila,stacionarnohitrostnopolje.

7. Kajje

€

Δv ?

€

Δv = div(grad( v )) 8. Kolikšnajecirkulacijaizvoraokrogkrivulje,kiobkrožaizvor?

€

Γ = v ⋅ dp

c∫ =

Q2π(log r + iϑ )dz

c∫ = Q

,cirkulacijajeenakaizvoru.

9. Zapišikompleksnipotencialtoka,sestavljenegaizenakomernegatokavsmeriosix,dipolackoodrinatnemizhodiščuinvrtincaspolomvkoordinatnemizhodišču.Kajpredstavljatatok?Kolikšnajerezultantanapetostinaobtekajočetelo?

€

F(z) =Uz +UR2 1z

+Γ2πi

log z .PredstavljaobtekanjevaljaspolmeromR.

Silanaobtekajočetelo:

€

D = − iρ

2(dF

dz)2dz

c∫ = −iΓρ

10. Zapišienačbohidrostatike

€

−grad(p) + ρ f = 0

11. NapišiNavier­Stokesovoenačboinobkrožinjennelinearendel.

€

ρD v Dt

= ρ f − grad(p) + (λ + µ)grad(div( v )) + µΔ

v .

Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐12/12

23/06/08 20:29

12. Kakšenjehitrostniprofiltokaviskoznegafluidameddvemavzporednimastenama,kigapoganjagibanjeenestene?

Profiltokajelinearen:

€

v =Vhy

13. Zapišisplošnooblikoizotropičnetenzorskefunkcijedefiniranenaprostorusimetričnihtenzorjev.

€

t(ψ) = a0(ψ) + a1(ψ) + a2(ψ)‐tunekimanjka!

14. NapišiNavier­Stokesovoenačbozanestisljivfluid

€

R D

V Dt

= −grad(P) + R F + µΔ

V

15. AlijeEulerjevaenačbanelinearna?Čeje,kajjenjennelinearnidel?Eulerjevaenačbajenelinearna.Nelinearenčlenprideizmaterialnega

odvoda

€

DvDt

=∂v∂t

+ x,x–konvektivenčlen,kijenelinearen.

16. SkicirajtokovnicepriTaylor­CouettovemutokumeddvemavaljemaTokovnicesokoncentričnekrožnicessrediščinaosiobehvaljev.