Medidas de Sensibilidade:Duração
José Augusto Carvalho FilhoAgosto 2013
Proposta do Curso
2
Aula Tema Conteúdo
1 Princípios Gerais • Mercado Futuro de DI e a estimacao da Estrutura a Termo da Taxa de Juros;
2 Estrutura a Termo da taxa de juros
• Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;
3 Estrutura a Termo da taxa de juros • Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;
4 Sensitividade da taxa de juro
• Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;
• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
5 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
6 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas; • Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
AgendaAula 4
Prazo Médio
Motivacao
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
Qual é o prazo do título de renda fixo apresentado abaixo?
a) T
b) t1
c) t2
d) t3
e) t4
Prazo Médio
O fato de haver fluxos espalhados temporalmente cria uma
dificuldade natural na comparação com outros títulos.
Faz-se necessário, portanto, definir alguma medida (um único
número) que nos dê uma idéia sobre o prazo da aplicação;
Uma medida inicial, bastante intuitiva, é o prazo médio,
calculado como a média ponderada pelos prazos.
Medidas de Sensibilidade
Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
Prazo Médio
Perceba que uma vez calculada a média do prazo, tem-se um fluxos similar ao
de um título de cupom zero:
Medidas de Sensibilidade
t0
d
P
FV
Prazo Médio Exemplo: Considere a seguinte carteira de duplicatas que será
descontada na data t0:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
R$150.000 25 R$200.000 30 R$250.000 38 R$300.000 33 R$100.000 35
R$1.000.000 d = ?
Prazo Médio Exemplo:
Calculando-se os produtos dos Fluxos pelos seus respectivos
prazos, tem-se:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000
Prazo Médio Exemplo:
Finalmente, tem-se o valor do prazo médio d:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000
Prazo Médio Exemplo:
Supondo que o valor da taxa de desconto seja de 4% a.m.,
podemos calcular o valor do desconto D:
Com o valor do desconto, podemos calcular o valor do a ser
recebido PV:
Medidas de Sensibilidade
Prazo Médio Exemplo:
Finalmente, podemos calcular o valor do retorno efetivo:
Se tivéssemos calculado o retorno, como YTM, que valor
teríamos encontrado ?
Medidas de Sensibilidade
Duration
Duration Sabendo-se que o preço de um título pode ser expresso como
uma função da yield e do tempo, podemos escrever a seguinte
expressão de diferenças infinitesimais:
onde o primeiro termo da direita refere-se a variação do preço em
relação a uma pequena variação do valor da Yield y.
Medidas de Sensibilidade
Duration Portanto, podemos calcular o primeiro termo de diferença para
um preço de um título:
Medidas de Sensibilidade
Duration Seguindo com as derivadas internamente:
que é o mesmo que
Medidas de Sensibilidade
Duration Dividindo ambos lados por P:
Se considerarmos apenas o termo entre colchetes, tem-se a
conhecida Duration de Macaulay (DM).
Medidas de Sensibilidade
Duration A função Duration de Macaulay pode ser expressa de forma mais
geral, como sendo:
Medidas de Sensibilidade
Duration Se decidirmos por considerar todo o termo, temos a chamada
duration modificada D:
Portanto, temos que a variação infinitesimal relativa de preço é
igual a –D.
Medidas de Sensibilidade
Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a
3,5 anos de seu vencimento com notional de R$100, cupom anual
8% e considerando uma yield de 11% a.a.
Medidas de Sensibilidade
Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos
valores presentes:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV
0,5 R$3,9230 3,72361,0 R$3,9230 3,53431,5 R$3,9230 3,35462,0 R$3,9230 3,18402,5 R$3,9230 3,02223,0 R$3,9230 2,86853,5 R$103,9230 72,1243
Price 91,81
Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108
Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield. De forma análoga, podemos a duration
modificada DM.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800
Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
O valor da Duration nos dá uma idéia de prazo médio do título.
No nosso exemplo, teríamos 3,108 anos como sendo o prazo médio do título.
Logo, é muito comum associar todo fluxo do título apresentado a um título
sintético de prazo 3,108 anos cujo valor de face é R$ 100.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800
Duration como Medida de Variação do Preço Até o momento, as medidas de Duration (Macaulay e Modificada) nos deram
idéia de prazo médio.
Consideremos mais uma vez a expressão da Duration:
Multiplicando-se ambos lados da equação por dy temos a seguinte relação:
Medidas de Sensibilidade
Duration como Medida de Variação do Preço Essa equação nos diz a variação relativa do preço em função de uma
determinada taxa de retorno dy.
No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, poderíamos a variação do preço do título em
função de uma variação da taxa de retorno de 11% para 12% (100bp).
Medidas de Sensibilidade
Duration como Medida de Variação do Preço Portanto, é imediato perceber que a Duration pode ser usada para calcular
uma medida aproximada do de um título de renda Fixa.
Lembrando que quanto menor for o valor de dy, menor é a estimação do
preço baseado apenas na duration.
Medidas de Sensibilidade
Duration como Medida de Variação do Preço
Medidas de Sensibilidade
Erro
Erro
Duration como Medida de Variação do Preço No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, calcule:
a) os valores dos preços com base em variações da taxa de retorno e os compare
com os preços obtidos a partir da fórmula do preço de um título.
b) faça um gráfico mostrando as diferenças entre as duas abordagens.
Medidas de Sensibilidade
Duration de Carteiras e o Título Sintético
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Com base nas informações acima, podemos usar a Duration como forma de representar a carteira como um título sintético de cupom zero e prazo T.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Nossa carteira pode ser representada da seguinte forma:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
t0t
LTN
t1 t2 t3
CDB
Debênture
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Nosso objetivo é encontrar um título sintético que represente toda a carteira, com apenas um prazo e uma taxa de retorno.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
t0t
FV
PV
D
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
FV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Taxa EfetivaFV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91 1,694%
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Portanto, a seguinte carteira de renda fixa
pode ser aproximada através de um título sintético, conforme o seguinte fluxo:
Medidas de Sensibilidade
= R$5.569,91
= R$5.251,96
= 77 dias úteis
= R$1.580,00 = R$1.300,00
= R$2.700,00
= 29 = 42 = 125
Duration de Carteiras e o Título SintéticoEstudo de Caso
Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Além disso, considere a seguinte curva de taxas Spot dos títulos:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73
Curva Spot (%a.a.252)du LTN CDB_1 CDB_2 Debêntures
1 9,500% 10,140% 10,647% 11,925%10 9,673% 10,165% 10,673% 11,954%20 9,618% 10,190% 10,700% 11,983%30 9,643% 10,215% 10,726% 12,013%40 9,870% 10,240% 10,752% 12,042%50 9,798% 10,265% 10,778% 12,072%60 9,899% 10,290% 10,805% 12,101%70 9,957% 10,315% 10,831% 12,130%80 10,147% 10,340% 10,857% 12,160%
Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Com base nas informações disponíveis, calcule:
a) A Duration da carteira;
b) O valor presente da carteira;
c) O valor futuro da carteira;
d) A taxa de retorno da carteira baseada na Duration;
e) Para fins de interpolação, responda as questões acima considerando o método exponencial e o spline spectral.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73
Mercados, Análise e Estrategias de Bônus; Fabozzi,
Frank J. ed. Qualitymark, 2000.
Securato, Jose Roberto, 1947, Cálculo Financeiro das
Tesourarias: Bancos e Empresas.
Fortuna, Mercado Financeiro – Produtos e Serviços.
Mercado Aberto no Brasil – Aspectos Históricos e
Operacionais; Araújo, Carlos H. , in Notas Tecnicas do
Banco Central do Brasil, nº 12 – Jan/2002.
BibliografiaBásica
Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives,
6th Edition.
Yield Curve Modelling at the Bank of Canada; Bank of
Canada Technical Report #84, 1999.
Understanding the Yield Curve; Salomon Brothers –
United States Research Portfolio Strategies, 1995
(mimeo).
BibliografiaComplementar
http://www.anbima.com.br/
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/
http://www.bcb.gov.br/
http://www.bmfbovespa.com.br
http://www.wolframalpha.com
Fontes Eletrônicas
Contatos
Prof. Augusto Carvalho