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Matemáticas 1ESO
El libro Matemáticas para 1.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal.
En su realización ha participado el siguiente equipo:
M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano
EDICIÓNAngélica Escoredo Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa
AVANZA
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Índice
1. Números naturales ....................................................... 6
Antes de empezar la unidad ........................................................... 7
1. Números naturales. Sistemas de numeración .......................... 8
2. Multiplicación de números naturales ...................................... 11
3. División de números naturales ................................................ 12
4. Potencias de números naturales .............................................. 13
5. Operaciones con potencias ...................................................... 14
6. Raíces cuadradas ..................................................................... 16
7. Jerarquía de las operaciones .................................................... 17
Lo esencial .................................................................................... 18
Actividades ................................................................................... 20
2. Divisibilidad .................................................................... 24
Antes de empezar la unidad ........................................................... 25
3. Múltiplos de un número .......................................................... 26
4. Divisores de un número .......................................................... 27
5. Números primos y compuestos ............................................... 28
6. Factorización de un número .................................................... 29
7. Máximo común divisor ........................................................... 32
8. Mínimo común múltiplo ......................................................... 33
Lo esencial .................................................................................... 34
Actividades ................................................................................... 36
3. Fracciones ....................................................................... 40
Antes de empezar la unidad ........................................................... 41
1. Números fraccionarios ............................................................ 42
2. Fracciones propias e impropias ............................................... 43
3. Fracciones equivalentes ........................................................... 44
4. Comparación de fracciones ..................................................... 47
5. Suma y resta de fracciones ....................................................... 49
6. Multiplicación de fracciones .................................................... 50
7. División de fracciones .............................................................. 50
8. Jerarquía de las operaciones con fracciones ............................. 51
Lo esencial .................................................................................... 52
Actividades ................................................................................... 54
4. Números decimales ..................................................... 58
Antes de empezar la unidad ........................................................... 59
1. Números decimales ................................................................. 60
2. Suma y resta de números decimales ........................................ 62
3. Multiplicación de números decimales ..................................... 63
4. División de números decimales ............................................... 64
5. Números decimales y fracciones .............................................. 66
Lo esencial .................................................................................... 68
Actividades ................................................................................... 70
5. Números enteros ........................................................... 74
Antes de empezar la unidad ........................................................... 75
1. Números enteros ..................................................................... 76
2. Comparación de números enteros ........................................... 77
3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 78
4. Suma y resta de varios números enteros .................................. 80
6. Multiplicación y división de números enteros ...................... 82
7. Operaciones combinadas con números enteros .................... 83
Lo esencial ................................................................................. 84
Actividades ................................................................................ 86
6. Iniciación al Álgebra .................................................... 90
Antes de empezar la unidad ........................................................... 91
1. Lenguaje algebraico .............................................................. 92
2. Expresiones algebraicas ........................................................ 93
3. Monomios ............................................................................ 94
4. Ecuaciones ............................................................................ 95
5. Elementos de una ecuación .................................................. 95
7. Resolución de ecuaciones de primer grado ........................... 96
8. Resolución de problemas ...................................................... 97
Lo esencial ................................................................................. 98
Actividades ................................................................................ 100
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7. Sistema Métrico Decimal ........................................... 104
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1051. Magnitudes y unidades ............................................................ 1062. Unidades de longitud .............................................................. 1073. Unidades de capacidad ............................................................ 1104. Unidades de masa ................................................................... 1115. Unidades de superficie ............................................................ 1126. Unidades de volumen .............................................................. 114Lo esencial .................................................................................... 116Actividades ................................................................................... 118
8. Proporcionalidad numérica ....................................... 122
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1231. Razón y proporción ................................................................. 1242. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ............... 1253. Porcentajes .............................................................................. 129Lo esencial .................................................................................... 132Actividades ................................................................................... 134
9. Rectas y ángulos ........................................................... 138
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1391. Rectas, semirrectas y segmentos .............................................. 1402. Ángulos ................................................................................... 1423. Operaciones con ángulos ......................................................... 1444. Sistema sexagesimal ................................................................. 146Lo esencial .................................................................................... 148Actividades ................................................................................ 150
10. Polígonos y circunferencia ...................................... 154
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1551. Polígonos ................................................................................. 1562. Triángulos ............................................................................... 1584. Teorema de Pitágoras .............................................................. 1595. Cuadriláteros ........................................................................... 1606. Propiedades de los paralelogramos .......................................... 1617. Circunferencias ........................................................................ 1628. Posiciones relativas en el plano ................................................ 1639. Polígonos regulares e inscritos ................................................. 163Lo esencial .................................................................................... 164Actividades ................................................................................... 166
11. Perímetros y áreas ...................................................... 170
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1711. Perímetro de un polígono ........................................................ 1722. Longitud de la circunferencia .................................................. 1733. Área de los paralelogramos ...................................................... 1744. Área de un triángulo ................................................................ 1765. Área de un trapecio ................................................................. 1776. Área de un polígono regular .................................................... 1787. Área del círculo ....................................................................... 1788. Área de una figura plana .......................................................... 179Lo esencial .................................................................................... 180Actividades ................................................................................... 182
12. Poliedros y cuerpos de revolución ........................ 186
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1872. Poliedros ................................................................................. 1883. Prismas .................................................................................... 1894. Pirámides ................................................................................. 1905. Poliedros regulares .................................................................. 1916. Cuerpos de revolución ............................................................ 192Lo esencial .................................................................................... 194Actividades ................................................................................... 196
13. Funciones y gráficas .................................................. 200
Antes de empezar la unidad ........................................................... 2011. Rectas numéricas ..................................................................... 2022. Coordenadas cartesianas ......................................................... 2033. Funciones ................................................................................ 2074. Interpretación de gráficas ........................................................ 208Lo esencial .................................................................................... 210Actividades ................................................................................... 212
14. Estadística y Probabilidad ....................................... 216
Antes de empezar la unidad ........................................................... 2172. Tipos de variables .................................................................... 2183. Frecuencias. Tablas de frecuencias ........................................... 2194. Gráficos estadísticos ................................................................ 2206. Sucesos. Espacio muestral ....................................................... 2228. Regla de Laplace ...................................................................... 223Lo esencial .................................................................................... 224Actividades ................................................................................... 226
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Esquema de unidad
Lectura inicial: Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.
Antes de empezar la unidad… Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.
Páginas de contenidos: En ellas encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.
En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.
Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.
31. Aunque Leonardo
da Vinci es más conocido por su pintura, su contribución a las matemáticas también es importante. Averigua alguna de sus aportaciones.
2. Busca información sobre Luca Pacioli y los trabajos que realizó con Leonardo da Vinci.
3. Investiga sobre las aportaciones a las matemáticas de Luca Pacioli y su relación con las fracciones.
DESCUBRE LA HISTORIA...
Entre la proporción divina y la humana
Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli examinando las ilustraciones de su libro.
–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.
–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, La divina proporción, lo merecía.
–Acerté al encargaros las ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me enseñasteis el boceto del Hombre de Vitruvio –remarcó Pacioli.
–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratado se ajustan a los cánones de belleza del arte actual –explicó Da Vinci–. ¿Sabéis que la distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre, que la distancia del codo a la axila es un octavo o que la longitud de la mano es un décimo?
Fracciones
Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Manejar las distintas interpretaciones de una fracción.
• Identificar y hallar fracciones equivalentes a una fracción dada.
• Comparar y ordenar fracciones.
• Realizar operaciones con fracciones.
PLAN DE TRABAJO
LECTURA DE FRACCIONES
Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.
75
Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla:
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos
Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos.
75
se lee cinco séptimos
52
se lee dos quintos
Cuando el denominador es mayor que 10:
113
se lee tres onceavos
F Denominador
Numerador F
F
FF
F
FF
Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas de la unidad.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.
a) 49
c) 23
e) 128
b) 135
d) 51
f) 1511
2 Escribe cómo se lee.
a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5.b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7.c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4.d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17.
1. Escribe en forma de fracción.
a) Siete novenos. c) Diez doceavos.b) Dos décimos. d) Trece sextos.
41
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La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide con el transportador.
RECUERDA
TriángulosSegún sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.
a = b = c
AT = BU = CUab
cA
C
B
Isósceles: tiene dos lados y dos ángulos iguales.
a = b
AT = BUab
cA
C
B
Escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.
ab
cA
C
B
Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.
ab
cA
C
B
Rectángulo: tiene un ángulo recto.
ab
cA
C
B
Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
ab
cA
C
B
Relaciones entre los lados y los ángulos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja en una ecuación
• Siuntérminoestásumandoenunmiembro,pasarestandoalotro.Ysiestárestando,pasasumando.
• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro,pasadividiendoalotro.Ysiestádividiendo,pasamultiplicando.
Dado un triángulo ABC&, siempre se cumple que:• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.
EJEMPLO
3 Calculaelánguloquefalta.
AU + BV + CV = 180°35° + 45° + CV = 180°CV = 180° - 80° = 100°
2
3 Calculaelánguloquefalta.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Clasificaestetriángulosegúnsusladosysusángulos.
Teorema de PitágorasUn triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa.
a es la hipotenusa, b y c son los catetos.
Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
ANTES, DEBES SABER…
Qué es la raíz cuadrada de un número
Laraíz cuadradadeunnúmeroesotronúmeroqueelevadoalcuadradoesigualalprimero.
4 2= ,porque22=4 62=36,entonces 36 6=
EJEMPLOS
5 Sabiendoque,enuntriángulorectángulo,loscatetosmiden3y4cm,respectivamente,¿cuántomidelahipotenusa?
Aplicando el teorema de Pitágoras:
a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2= + = + = = =" " "
6 Enuntriángulorectángulo,uncatetomide6cmylahipotenusa10cm.¿Cuántomideelotrocateto?
Supongamos que el cateto conocido es b:
a2 = b2 + c2 a = 10, b = 6-----" 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64
" c 64 8 cm= =
El otro cateto mide 8 cm.
7 Compruebasiuntriángulocuyosladosmiden6,9y11cm,respectivamente,puedeseruntriángulorectángulo.
Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:
11 1216 9 117
11 6 92
2 22 2 2!
=+ =
+" "2 No se cumple el teorema de Pitágoras.
No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.
4
B
C
A
a
c
b
G
Pasa restando
El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple
el teorema de Pitágoras.
DATE CUENTA
Conociendo la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto:
b
a
c
b a c b a c
c a b c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= - = -
= - = -
"
"
18 Enestetriángulorectángulo,¿cuántomideelotrocateto?
25 cm7 cm
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Enuntriángulorectángulo,loscatetosmiden5y12cm,respectivamente.¿Cuántomedirálahipotenusa?
x+2=7" x=7-2=5G
Pasa restando
2x=10" x=2
105=
G
Pasa dividiendo
AV = 70°
30°110°
45°
35°
CV
CV
158 159
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Lo esencial: Esta doble página es de resumen y autoevaluación.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.
HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.
Y AHORA… PRACTICA. Son actividades que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.
Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Sistema de numeración decimal
D. millar U. millar Centena Decena Unidad
3 5 1 4 2
30 000 5 000 100 40 2
Sistema de numeración romano
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1 000
Multiplicación 34 ? 2 = 68 Factores Producto
División
Potencia ? ? ? ?14 14 14 14 14 14
5
5 veces= 1 2 34444 4444
Raíz cuadrada 9 3= , porque 32 = 9
9 3=Símbolo F
de raíz
F Raíz
Radicando
F
25 3 1 8
Dividendo F
Resto F
F Divisor
F Cociente
HAZLO DE ESTA MANERA
1. LEER NÚMEROS ROMANOS
Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos.a) XXVII b) IVCXCVI
PRIMERO. Transformamos cada letra en su equivalencia en el sistema numérico decimal, teniendo en cuenta que cada letra en la que aparece una rayita encima, se multiplica por 1 000.
a) X10
X10
V5
I1 I
1
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
SEGUNDO. Examinamos los números, si un número es mayor que su número anterior, le restamos a este número el anterior.
a) X10
X10
V5
I1 I
1
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
TERCERO. Sumamos los números resultantes.
a) X10
X10
V5
I1 I
1 " 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196
1444244435 000 - 1 000
14243100 - 10
1444244434 000
1424390
2. CALCULAR UN PRODUCTO O COCIENTE DE POTENCIAS
Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25
b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25
PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.a) y b) 67 y 65 " La base de las dos potencias
es la misma, 6.c) y d) 67 y 27 " Las bases son distintas, pero
los exponentes iguales, 7.e) y f) 67 y 25 " No son iguales las bases
ni los exponentes.
SEGUNDO.
• Si las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes.a) 67 ? 65 = 67+5 = 612
b) 67 : 65 = 67-5 = 62
• Si las bases no son iguales, pero los exponentes sí, multiplicamos o dividimos las bases.c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127
d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37
• Si no son iguales las bases ni los exponentes, no se puede expresar como una sola potencia.e) 67 ? 25 = 67 ? 25
f) 67 : 25 = 67 : 25
Base Exponente
F
F
Comprende estas palabras
1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga las mismas unidades de millar que decenas y una unidad más que centenas.
2. Completa las expresiones para que sean ciertas.a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42
3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.
4. Expresa en forma de potencia, si se puede.
a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12
Leer números romanos
1. Transforma estos números romanos en números del sistema decimal.
a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV
Calcular un producto o cociente de potencias
6. Expresa, si se puede, con una sola potencia.
a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36
b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235
Realizar operaciones combinadas con potencias
2. Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.
a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3
Realizar operaciones combinadas
10. Resuelve estas operaciones.
a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6
c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1
Y AHORA… PRACTICA
4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS
Resuelve: PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.
SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.
TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.
100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) =
= 100 ? 10 : 5 - 10 : 10 =
= 1 000 : 5 - 1 =
= 200 - 1 = 199
F F
F F
F F
F
F
F F
2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS
Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.
a) 75 ? (72)3
b) 48 : (42 ? 45)
PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.
a) 75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76
b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47
SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
a) 75 ? 76 = 75+6 = 711
b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4
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ActividadesNÚMEROS DECIMALES
43. ● Descompón en unidades los siguientes números decimales.
44. ● Escribe cómo se lee cada número.
a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019
45. ● Completa.
a) En 3 unidades hay 4 décimas.b) En 12 decenas hay 4 centésimas.c) En 5 unidades hay 4 milésimas.d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas.
46. ● Escribe los números decimales que correspondan en cada caso.
a) 2 C 7 D 9 U 3 db) 1 D 2 U 4 mc) 7 U 4 cd) 8 C 9 U 6 d
e) 7 UM 6 D 7 cf) 4 CM 7 U 8 d 3 m
7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales.
a) 9,23 d) 4,065b) 12,856 e) 8,004c) 3,892 f) 65,903
47. ● Escribe con cifras.
a) Nueve décimas.b) Cuatro unidades quince centésimas.c) Nueve unidades ciento ocho milésimas.d) Dos unidades mil diezmilésimas.
48. ● Escribe los números que sean una centésima menor.
a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099
49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133.
50. ● ¿Qué número está representado en cada caso?
a) 3 4
9,71 9,72b)
8. ● Indica qué números están representados en estas rectas.
a) 6,2 6,3
9,83 9,84b)
51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda.
a) 0,231 4 0,235 c) 3,87 4 3,85b) 0,710 4 0,83 d) 5,12 4 3,12
52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.
53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.
9. ● Ordena de menor a mayor.
a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199
10. ● Copia y completa con números para que las desigualdades sean ciertas.
a) 6,145 < 6,11b) 0,734 < 0,736c) 0,407 < 0,45
11. ●● Halla todos los números decimales que cumplen la condición que se indica en cada caso. Después, ordénalos de mayor a menor.
a) 8, La suma de estas dos cifras es 9.
b) 0, El producto de estas dos cifras es 24.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
12. ● Suma estos números decimales.
a) 7,45 + 9,03 c) 8,002 + 12,4b) 0,834 + 12,8 d) 7 + 9,902
56. ● Calcula.
a) 32,35 - 0,89 c) 87,65 - 9,47b) 81,002 - 45,09 d) 4 - 2,956
57. ● Efectúa las operaciones.
a) 4,53 + 0,089 + 3,4b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28d) 78,098 - 43,68 - 0,008
13. ● Efectúa las siguientes operaciones.
a) 0,974 + 125,86 c) 82,46 + 99,6 - 70,07b) 29 - 3,756 d) 103,5 - 89,98 + 23,378
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES?
14. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto.
a) 12,99 + 4 = 98,3b) 7,45 - 4 = 3,99c) 4 - 7,774 = 987,9
PRIMERO. Se identifica el término desconocido.a) Es uno de los sumandos de una suma.b) Es el sustraendo de una resta.c) Es el minuendo de una resta.
SEGUNDO. Si el término es:• Un sumando, se obtiene restando al resultado
el otro sumando.• El sustraendo, se obtiene restando al minuendo
el resultado.• El minuendo, se obtiene sumando al resultado
el sustraendo.a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674
15. ●● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces.
a) 39,25 + 4 = 125,86b) 17,129 - 4 = 7,464c) 99,542 - 4 = 66,413d) 4 - 303,987 = 259,137e) 4 - 25,06 = 427,07f) 4 + 33,98 = 59,01
58. ●● Completa.
a) 3,313 + 4 = 6,348b) 4 + 1,47 = 5,8921c) 4,56 - 4 = 0,936d) 4 - 2,431 = 1,003
59. ●● Resuelve.
a) Suma 4 centésimas a 4,157.b) Resta 3 décimas a 1,892.c) Suma 7 milésimas a 5,794.d) Resta 23 centésimas a 3,299.e) Suma 3 milésimas a 1,777.
16. ●● Efectúa estas operaciones.
a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07.b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36.c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008.d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892.e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456.f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82.
60. ● Calcula.
a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000 b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001
61. ● Resuelve.
a) 5 : 0,06 g) 30 : 10b) 8 : 1,125 h) 636 : 100c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001
43,897
135,903
29,876
Parte entera
C D U d c m
Parte decimal
70 71
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Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.
HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.
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El profeta de los números
Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity College de Cambridge, y continuó el relato de su viaje.
En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hace la ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su camino sobre una imaginaria línea recta que el temporal parecía querer quebrar.
Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado, sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contra mi pecho el cuaderno de los descubrimientos mientras pensaba que, tal vez, todo se perdería en el fondo del mar.
La noche avanzaba y el sueño se fue apoderando de mi consciencia, al despertar las nubes habían dejado paso al sol y los negros presagios de mi mente habían sido sustituidos por estas revelaciones.
En ese momento, el joven indio le enseñó dos páginas del ajado cuaderno a su interlocutor.
El relato del viaje es apasionante pero no se puede comparar con estos sorprendentes resultados, si una inspiración divina te los ha revelado, en verdad se puede decir que eres «el profeta de los números».
1. Busca información sobre los personajes que aparecen en el texto: Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan.
2. ¿A qué episodio de la vida de estos dos personajes crees que corresponde el relato? ¿A qué viaje se refiere el joven Ramanujan?
3. Investiga sobre las aportaciones de Srinivasa Ramanujan al estudio de los números naturales.
DESCUBRE LA HISTORIA...
1Números naturales
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Escribir números romanos en el sistema de numeración decimal.
• Calcular potencias de números naturales.
• Realizar operaciones con potencias.
• Realizar operaciones combinadas con números naturales.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Propiedad conmutativa de la suma
El orden de los sumandos no altera la suma.
43 + 28 = 28 + 43 = 71 Sumandos Suma
Propiedad asociativa de la suma
El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma. Sumandos
( 21 + 37 ) + 42 = 21 + (37 + 42) 58 + 42 = 21 + 79 100 = 100
Suma
5 8 0 6 1 2 4 7 9
8 2 8 5
Resta
9 4 2 3 2 7 5 6 1
1 8 6 2
Multiplicación
2 4 5 7 3 6 0 3
7 3 7 1 .1 4 7 4 2 0 1 4 8 1 5 7 1
4 6 9 5 7 4 3 3 9 5 1 0 9 2 0 8 7 0 1
División
Para restar números naturales, el minuendo tiene que ser mayor que el sustraendo.
F Sumando F MinuendoF Sumando F SustraendoF Suma o total F Diferencia
F FactorF Factor
F Producto
F DivisorF Cociente
Dividendo F
Resto F
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza las siguientes operaciones.
a) 759 + 3 824 f) 782 ? 450b) 8 329 + 4 516 + 738 g) 695 ? 908c) 4 261 - 569 h) 5 928 : 38d) 20 347 - 865 i) 22 863 : 56e) 316 ? 273 j) 64 456 : 179
2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25 + 53
3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11 + 38) + 41
4 Calcula el término que falta.
a) 62 734 + X = 68 251 c) 584 ? X = 179 288b) X - 5 397 = 8 406 d) X : 143 = 572
7
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Para expresar números naturales solemos utilizar
el sistema de numeración decimal.
Números naturales. Sistemas de numeración
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.
EJEMPLO
1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre?
Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.
El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número.
Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.
1.1 Sistema de numeración decimal
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los órdenes de unidades del sistema de numeración decimal y sus equivalencias
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad
En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
1 D = 10 U1 C = 10 D = 100 U
1 UM = 10 C = 1 000 U 1 DM = 10 UM = 10 000 U1 CM = 10 DM = 100 000 U
1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U 1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U 1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U
1
S E P T I EMB R EL M M i J V S D
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Contesta.
a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar?b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar?c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?
2 Copia y completa estas igualdades.
a) 3 UM = X C d) 7 DM = X Cb) 8 CM = X D e) 6 UM = X Dc) 3 U. de millón = X DM f) 5 C = X D
8
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades.
EJEMPLO
1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades.
a) 14 = 1 D + 4 Ub) 256 = 2 C + 5 D + 6 Uc) 1 807 = 1 UM + 8 C + 7 Ud) 103 410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 De) 3 020 070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 Df) 906 025 000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
EJEMPLO
2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105.
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad
1 2 9 0 9 8 1 0 5
1 2 9 0 9 8 1 0 5
5 Unidades0 Decenas1 Centena = 100 unidades8 Unidades de millar = 8 000 unidades9 Decenas de millar = 90 000 unidades0 Centenas de millar9 Unidades de millón = 9 000 000 unidades2 Decenas de millón = 20 000 000 unidades1 Centena de millón = 100 000 000 unidades
F
F
F
F
F
F
F
F
F
1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.
a) 15 890 900 b) 509 123 780 c) 163 145 900
2 Escribe tres números que tengan 4 unidades de millar, 7 decenas y 4 unidades.
4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra de las centenas de millar sea 9.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Indica cómo se leen los números representados en estos ábaco.
UMDM C D U
a)
UMDM C D U
b)
El valor de cada cifra depende de su posición
en el número.
9
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1.2 Sistema de numeración romano
Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romano se utilizan siete letras distintas con estos valores:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1 000
El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene siempre el mismo valor.
Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano
• Suma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a esta su valor.
XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155
• Repetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. Las demás letras no se pueden repetir.
III = 3 XXX = 30 CCC = 300
• Sustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda de L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor.
IV = 5 - 1 = 4 XC = 100 - 10 = 90
CM = 1 000 - 100 = 900
• Multiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.
VI = 6 000 VI = 5 001 XL = 40 000
EJEMPLOS
3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal.
a) LXV " 50 + 10 + 5 = 65b) XXI " 10 + 10 + 1 = 21c) CCVII " 100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207d) MDIII " 1 000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1 503e) IX " 10 - 1 = 9f) XLVII " 50 - 10 + 5 + 1 + 1 = 47g) VCCCXL " 5 ? 1 000 + 100 + 100 + 100 + 50 - 10 = 5 340
3 Expresa las siguientes cantidades como números romanos:
14 = XIV 94 = XCIV 119 = CXIX 895 = DCCCXCV 2 011 = MMXI 9 141 = IXCXLI
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Traduce al sistema de numeración decimal:
a) XCIIb) DCCXLc) VIIIIX
d) CDXXIIIe) CMXXIf) XXIX
g) MMMCCVIh) DCCIXi) LXIX
Aunque habitualmente para escribir números naturales
utilizamos el sistema de numeración decimal, a lo largo de la historia se han empleado otros
sistemas de numeración.
6 Escribe en números romanos.
a) 194b) 426c) 2 046
d) 12 311e) 3f) 14
g) 265h) 1 569i) 2 427
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Multiplicación de números naturales
La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su-mandos iguales.
Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado final se llama producto.
EJEMPLOS
4 Expresa como un producto.
a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4 = 12 b) 12 + 12 = 12 ? 2 = 24
5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno. ¿Qué peso marcará la báscula?
75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 ? 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg. Factores Producto
La multiplicación cumple las siguientes propiedades:
• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.5 ? 7 = 7 ? 5
35 = 35
• Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera el producto.
(4 ? 7) ? 5 = 4 ? (7 ? 5)28 ? 5 = 4 ? 35
140 = 140
• Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul-tiplicado por 1 es igual al mismo número.
13 ? 1 = 13
• Distributiva. El producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número por cada término.
3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 4 ? (8 - 3) = 4 ? 8 - 4 ? 3 3 ? 7 = 6 + 15 4 ? 5 = 32 - 12 21 = 21 20 = 20
2
11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas. Si en cada caja hay 18 pinturas, ¿cuántas pinturas tiene en total?
5 Una docena de huevos son 12 huevos. ¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos? ¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Expresa como un producto.
a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11
c) 13 + 13 + 13
10 Aplica la propiedad distributiva.
a) 7 ? (4 + 10) b) 18 ? (7 - 2)
El producto de dos números se indica por
un punto (·), aunque también se puede representar
por el signo x.12 · 7 = 12 x 7
11
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División de números naturales
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.
Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.
EJEMPLO
6 Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales. ¿Qué cantidad recibirá cada uno?
630 303 210 F Cada hijo recibirá 210 €.000
• Cuando el resto es cero, la división es exacta. D d0 c
• Si el resto no es cero, la división es no exacta.
En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor ? cociente + resto
A esta igualdad se le llama prueba de la división.
EJEMPLO
7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos recibirá cada niño? ¿Sobra alguno?
43 1401 3 F Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.
Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división:
D = d ? c + r " 43 = 14 ? 3 + 1 43 = 42 + 1 43 = 43
Esto significa que hemos realizado bien la división.
3
D dr c
7 Un barco lleva 56 contenedores en los que se ha metido el mismo peso en cada uno. Si el peso de la carga total es 85 288 kg, ¿cuál es el peso de cada contenedor?
14 Calcula el dividendo de una división exacta si el cociente es 13 y el divisor es 6.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Halla el cociente y el resto de la división 6 712 : 23. Haz la prueba.
6 Determina cuáles de estas divisiones son exactas y calcula el cociente de cada una de ellas.a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22
En una división, el resto siempre tiene que ser menor que el divisor.
F Divisor
F Divisor
F Cociente
F Cociente
Dividendo F
Dividendo F
Resto F
Resto F
12
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Potencias de números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:
an = …? ? ? ?a a a an veces
1 2 3444 444
a es la base, el factor que se repite.n es el exponente, el número de veces que se repite la base.
2 ? 2 = 22 " Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».4 ? 4 ? 4 = 43 " Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34 " Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».
EJEMPLOS
8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:
5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5
14 ? 14 ? 14
56
143
«5 elevado a 6» o «5 a la sexta»
«14 elevado a 3» o «14 al cubo»
Multiplicación Potencia Se lee
9 Halla el valor de estas potencias.
a) 23 = ? ?2 2 2 8=3 veces\
b) 92 = ?9 9 81=2 vecesY
c) 34 = ? ? ?3 3 3 3 81=4 veces1 2 344 44
Potencias de base 10
Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.
EJEMPLO
10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.
a) 103 = ? ?10 10 10 1 000=3 3veces ceros1 2 344 44 X
b) 105 = ? ? ? ?10 10 10 10 10 100000=5 5veces ceros
1 2 34444 4444 \
4
F F F
18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.a) 10 ? 10 ? 10 b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6
8 Escribe como producto estas potencias y calcula su valor.a) 74 c) 85 e) 26
b) 53 d) 58 f) 62
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16 Escribe y calcula.
a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta.
b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava.
17 Indica la base y el exponente de estas potencias. Escribe cómo se leen.
a) 36 b) 102 c) 54 d) 45
CALCULADORA
Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y .
56 " 5 x y 6 = 15625212 " 2 x y 12 = 4096
F
F
34
base
exponente
13
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Para que se puedan aplicar las propiedades del producto y el cociente, las potencias han de tener la misma base.
53 • 74 " No se puede expresar como una sola
potencia.
Operacionescon potencias
Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de cuál sea el valor de la base y del exponente.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1
Cualquier número es igual a una potencia con base ese número y exponente 1.
2 = 21 5 = 51 16 = 161
5.1 Producto de potencias de la misma base
Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.
am ? an = am+n
EJEMPLO
4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.
a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214
b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 e) 57 ? 52 ? 5 = 57+2+1 = 510
c) 43 ? 4 = 43+1 = 44 f) 43 ? 4 ? 4 = 43+1+1 = 45
5.2 Cociente de potencias de la misma base
Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.
am : an = am-n
EJEMPLO
5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26
b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 67 : 63 = 67-3 = 64
c) 43 : 4 = 43-1 = 42 f) 45 : 42 = 45-2 = 43
5
24 Halla el resultado de estos cocientes de potencias.
a) 78 : 75 c) 97 : 95
b) 206 : 204 d) 127 : 125
26 Calcula.
a) (34 : 32) ? 33 b) (56 ? 52) : 54
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
20 Escribe como una sola potencia.
a) 74 ? 75 c) 93 ? 95 ? 94
b) 53 ? 53 d) 42 ? 43 ? 44
21 Halla el valor de estos productos de potencias.
a) 104 ? 105 b) 103 ? 10 ? 102
14
301279 _ 0006-0023.indd 14 08/07/11 20:30
5.3 Potencias de exponente 1 y 0
• Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1 = a.• Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0 = 1.
EJEMPLO
6 Calcula estas potencias.
a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24
5.4 Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.
(am)n = am?n
EJEMPLO
7 Calcula estas potencias.
a) (23)4 = 23?4 = 212 b) (54)6 = 54?6 = 524
5.5 Potencia de una multiplicación y una división
• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las po-tencias de sus factores.
(a ? b)n = an ? bn
• La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.
(a : b)n = an : bn
EJEMPLO
8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8 = 512b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125 = 8
30 Expresa como producto o cociente de potencias.
a) (3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5 b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4
9 Calcula el valor de estas potencias.a) (74)2 ? 73 c) (2 ? 6)7 ? 123
b) (53)7 : 58 d) (6 ? 3)9 : 185
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Calcula el valor de las potencias.
a) 151 b) 140
28 Calcula.
a) (24)3 c) (14 ? 16)5
b) (63)5 d) (216 : 24)3
Utilizando esta propiedad en sentido inverso se pueden
simplificar los cálculos. 54 · 24 = (5 · 2)4 = 104
63 : 23 = (6 : 2)3 = 33
15
301279 _ 0006-0023.indd 15 08/07/11 20:30
Raíces cuadradas
6.1 Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a.
a = b, cuando b2 = a
Llamamos radicando al número a, es el símbolo de la raíz y decimos
que b es la raíz cuadrada de a.
a b=Símbolo de raíz
Radicando
RaízF F
F
A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados perfectos.
EJEMPLOS
18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.
a) 1 = 1 porque 12 = 1 h) 64 = 08 porque 82 = 64
b) 4 = 2 porque 22 = 4 i) 81 = 09 porque 92 = 81
c) 9 = 3 porque 32 = 9 j) 100 = 10 porque 102 = 100
d) 16 = 4 porque 42 = 16 k) 121 = 11 porque 112 = 121
e) 25 = 5 porque 52 = 25 l) 144 = 12 porque 122 = 144
f) 36 = 6 porque 62 = 36 m) 169 = 13 porque 132 = 169
g) 49 = 7 porque 72 = 49 n) 196 = 14 porque 142 = 196
19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado?
ÁÁ
l l ll l
4949 49 7
rearea cm
2
22
$= =
== = =" "4
El lado mide 7 cm.
6
49 cm2
l
l
CALCULADORA
Para hallar una raíz cuadrada con la calculadora utilizamos la tecla .
361 " 361 19
1296 " 1 296 36
Como 4 = 2 porque 22 = 4, decimos
que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
32 Comprueba si estas raíces cuadradas están bien resueltas.
a) 225 = 15 c) 1 000 = 100
b) 255 = 16 d) 40 000 = 200
33 Halla con tu calculadora.
a) 289 c) 15 625
b) 10 000 d) 135 424
34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2 de área.
10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo que son raíces cuadradas exactas. Comprueba que el radicando al cuadrado es igual a la raíz.
a) 3=d c) 10=d
b) 7=d d) 14=d
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16
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Jerarquíade las operaciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta
• Paracalcularunaseriedesumas y restas sin paréntesis, se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.
• Paracalcularunaseriedesumas y restas con paréntesis, se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis.
EJEMPLO
9 Resuelve estas operaciones.
b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 =
= 63 - 23 - 21 =
= 40 - 21 =
= 19
F FF F
F F
F F
a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 =
= 38 - 2 - 12 + 8 =
= 36 - 12 + 8 =
= 24 + 8 =
= 32
F F
F F
F F
F F
Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.2.º Las potencias y las raíces.3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
22 Calcula las siguientes expresiones.
a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 = c) : :( ) ( )? ?5 16 9 3 4 2 2- + =
= 10 + 21 - 2 = = 5 ? 7 + 3 ? 2 : 2 =
= 31 - 2 = = 35 + 6 : 2 =
= 29 = 35 + 3 = 38
7
F F
FF
FF
F F
F
F F
FF
FF
F FF
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
41 Calcula.
a) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2b) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2)c) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2
11 Resuelve estas operaciones.
a) 17 - 8 - 2 + 6 + 5 - 10b) 17 - (8 - 2) + 6 + 5 - 10c) 17 - (8 - 2 + 6) + 5 - 10
17
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Sistema de numeración decimal
D. millar U. millar Centena Decena Unidad
3 5 1 4 2
30 000 5 000 100 40 2
Sistema de numeración romano
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1 000
Multiplicación 34 ? 2 = 68 Factores Producto
División
Potencia ? ? ? ?14 14 14 14 14 14
5
5 veces= 1 2 34444 4444
Raíz cuadrada 9 3= , porque 32 = 9
9 3=Símbolo F
de raíz
F Raíz
Radicando
F
25 3 1 8
Dividendo F
Resto F
F Divisor
F Cociente
HAZLO DE ESTA MANERA
1. LEER NÚMEROS ROMANOS
Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos.a) XXVII b) IVCXCVI
PRIMERO. Transformamos cada letra en su equivalencia en el sistema numérico decimal, teniendo en cuenta que cada letra en la que aparece una rayita encima, se multiplica por 1 000.
a) X10
X10
V5
I1 I
1
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
SEGUNDO. Examinamos los números, si un número es mayor que su número anterior, le restamos a este número el anterior.
a) X10
X10
V5
I1 I
1
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
TERCERO. Sumamos los números resultantes.
a) X10
X10
V5
I1 I
1 " 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196
1444244435 000 - 1 000
14243100 - 10
1444244434 000
1424390
2. CALCULAR UN PRODUCTO O COCIENTE DE POTENCIAS
Expresa, si se puede, con una sola potencia.a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25
b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25
PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.a) y b) 67 y 65 " La base de las dos potencias
es la misma, 6.c) y d) 67 y 27 " Las bases son distintas, pero
los exponentes iguales, 7.e) y f) 67 y 25 " No son iguales las bases
ni los exponentes.
SEGUNDO.
• Si las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes.a) 67 ? 65 = 67+5 = 612
b) 67 : 65 = 67-5 = 62
• Si las bases no son iguales, pero los exponentes sí, multiplicamos o dividimos las bases.c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127
d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37
• Si no son iguales las bases ni los exponentes, no se puede expresar como una sola potencia.e) 67 ? 25 = 67 ? 25
f) 67 : 25 = 67 : 25
Base Exponente
F
F
18
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Comprende estas palabras
1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga las mismas unidades de millar que decenas y una unidad más que centenas.
2. Completa las expresiones para que sean ciertas.a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42
3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.
4. Expresa en forma de potencia, si se puede.
a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12
Leer números romanos
1. Transforma estos números romanos en números del sistema decimal.
a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV
Calcular un producto o cociente de potencias
6. Expresa, si se puede, con una sola potencia.
a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36
b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235
Realizar operaciones combinadas con potencias
2. Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.
a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3
Realizar operaciones combinadas
10. Resuelve estas operaciones.
a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6
c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1
Y AHORA… PRACTICA
4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS
Resuelve: PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.
SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.
TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.
100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) =
= 100 ? 10 : 5 - 10 : 10 =
= 1 000 : 5 - 1 =
= 200 - 1 = 199F F
F F
F F
F
F
F F
2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS
Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.
a) 75 ? (72)3
b) 48 : (42 ? 45)
PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.
a) 75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76
b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47
SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
a) 75 ? 76 = 75+6 = 711
b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4
19
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ActividadesSISTEMAS DE NUMERACIÓN
12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno de los siguientes números.
a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005
48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1 en estos números.
a) 122 578 c) 1 432 000b) 438 231 d) 32 181 120
e) 1 010 101f) 3 107 251
49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras de estos números.
a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222
13. ● Escribe:
• Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra de las unidades de millar sea 8.
• Cinco números menores que 100 000 cuya cifra de las decenas de millar sea 3.
• Cinco números mayores que 29 000 y menores que 29 100 con la cifra de las decenas igual a la cifra de las unidades.
Ordena los números en cada caso, de menor a mayor, utilizando el signo correspondiente.
54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal estos números romanos.
a) XXVI c) MCCXXVb) DCXLVI d) DXXX
55. ●● Expresa los siguientes números romanos en el sistema de numeración decimal.
a) XIX c) MMCCIXb) CDXL d) CMXC
56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal.
a) XLVI f) IVCDXXXb) CXCII g) DCCXCIIIc) CMXXXIV h) MMCCIId) XXXIV i) XCXLe) MMMDLXXX j) MXXIX
14. ● Escribe en números romanos.
a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3 002
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula.
a) 6 ? (11 + 4) d) 15 ? (20 - 7 - 8)b) 25 ? (37 - 12) e) (20 + 14 - 15) ? 17c) 8 ? (17 + 12 + 10) f) (18 + 3 - 2) ? 5
58. ● Completa la tabla.
Dividendo
173
267
1 329
3
4
9
Divisor Cociente Resto
59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22. Realiza la prueba de la división.
15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba.
a) 327 : 22 c) 9 255 : 37 e) 29 001 : 132b) 4 623 : 18 d) 12 501 : 59 f) 36 102 : 205
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS?
60. Sin realizar la división, halla el resto de 453 : 23, si el cociente es 19.
PRIMERO. Se sustituye cada letra por su valor en la prueba de la división.
D = d ? c + r453 = 23 ? 19 + r " 453 = 437 + r
SEGUNDO. El resto es un número tal que, al sumarlo a 437, da 453.
r = 453 - 437 = 16. El resto de la división es 16.
61. ●● El dividendo de una división es 1 512, el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto sin efectuar la división.
62. ●● Sin realizar la división, indica cuáles de estas divisiones son exactas.
a) D = 6 099 d = 19 c = 321 r = ?b) D = 986 d = 17 c = 58 r = ?
16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7?
20
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POTENCIAS
65. ● Escribe como producto de factores.a) 43 b) 104 c) 272 d) 1025
66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma de potencia, si se puede.a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3b) 37 ? 37c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4d) 25
67. ● Indica cuál es la base y el exponente.a) 28 Base = 4 Exponente = 4b) 312 Base = 4 Exponente = 4
68. ● Expresa con números.a) Once a la quinta. b) Nueve a la cuarta.
69. ● Escribe cómo se leen estas potencias.a) 123 b) 74 c) 212 d) 1412
71. ● Completa la tabla.
Al cuadrado Al cubo A la cuarta
9
11
OPERACIONES CON POTENCIAS
73. ● Expresa como una sola potencia.a) 72 ? 73 b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 d) 45 ? 4
74. ● Escribe como una sola potencia.a) 32 ? 34 ? 33 c) 63 ? 62 ? 65
b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?
17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38
PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.32 ? 3X = 38 " 32+X = 38
SEGUNDO. Se igualan los exponentes.2 + 4 = 8
El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente buscado es 6.
75. ●● Completa.a) 92 ? 94 = 96 c) 54 ? 53 = 58
b) 24 ? 23 = 29 d) 34 ? 39 = 311
76. ●● Completa.a) 74 ? 74 ? 7 = 77 c) 13 ? 136 ? 134 = 139
b) 54 ? 5 ? 53 = 58 d) 83 ? 85 ? 84 = 812
79. ● Expresa como una sola potencia.
a) 68 : 63 b) 215 : 27 c) 65 : 35 d) 46 : 26
80. ● Expresa como una potencia.
a) (27 : 24) : 22 c) 115 : (116 : 113)b) (79 : 73) : 74 d) 43 : (45 : 42)
81. ●● Completa.
a) 47 : 53 = 54 c) 95 : 94 = 93
b) 124 : 126 =129 d) 38 : 34 = 32
84. ● Expresa como una potencia.
a) (54)2 b) (73)3 c) (65)2 d) (82)6
91. ●● Calcula.
a) (35 ? 32) : 33 c) (85 : 83) ? 82
b) 43 ? (47 : 44) d) 75 : (72 ? 72)
92. ●● Resuelve.
a) (35)2 ? (32)4 c) (95)3 ? (94)3
b) (73)3 ? (72)4 d) (116)2 ? (113)4
93. ●● Indica como una sola potencia.
a) (62)5 : (63)3 c) (108)3 : (104)5
b) (87)2 : (83)4 d) (29)2 : (23)5
94. ●● Calcula las siguientes expresiones.
a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33 b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4
RAÍCES CUADRADAS
95. ● Completa.
a) 352 = 1 225, entonces 1225 =4b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4
96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números.
a) 64 b) 100 c) 169 d) 196
97. ● Completa.
a) 4 = 5 c) 4 = 15
b) 4 = 9 d) 4 = 20
21
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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
18. ● Realiza las siguientes operaciones.
a) 31 - 20 + 15 - 4b) 12 + 7 - 8 - 5 + 14c) 17 - 9 - 5 + 24d) 49 + 7 - 54 - 2 + 25e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12
19. ● Calcula.
a) (34 + 12 - 9) - (34 - 19)b) 123 - (67 + 34 - 21)c) (29 + 78 - 54 - 32) - (9 + 5)d) (89 + 23 - 76) - (41 + 12 - 32)e) 345 - (90 - 76 - 8 + 43)f) 567 - (23 + 65 - 12 - 45)
20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan el mismo resultado.
a) 24 - 8 + 18 - 6 i) (24 + 6) - (8 + 16)b) 34 + 78 - 12 - 17 ii) (24 + 18) - (8 + 6)c) 34 + 78 + 7 - 65 - 12 iii) (34 + 78 + 7) - (65 + 12)d) 24 - 8 - 16 + 6 iv) (34 + 78) - (12 + 17)
102. ● Resuelve estas operaciones.
a) 9 ? (15 + 4 - 7)b) 12 + 4 ? (3 + 19)c) 55 - 3 ? (27 - 9)d) 33 + 6 ? 5 + 21
103. ● Calcula.
a) 15 + (12 + 6) : 3b) 31 - (13 + 8) : 7c) 4 + 15 : 5 + 17d) 42 - (3 + (32 : 4) : 2)
104. ● Realiza estas operaciones.
a) 8 ? 3 + 36 : 9 + 5b) 144 : (24 : 6) + 4 ? 7c) 48 - 5 ? 7 + 9 ? 3 - 19d) 14 - 21 : 7 + 105 : 5
105. ● Resuelve.
a) 42 ? 3 - 124 : 4 - (180 : 9) : 5b) (241 - 100 + 44) : 5 + 20 ? 7c) 7 + 8 ? (17 - 5) - 28 : 2d) (12 + 3 ? 5) : 9 + 8
106. ● Calcula el valor de estas expresiones.
a) 3 ? (100 - 90) + 12 ? (5 + 2)b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4c) 66 : (15 - 9) + 7 ? (6 : 2) - 12 : 2d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1)e) 3 ? (15 : 3 - 2) + (8 + 20) : 4 - 1f) 38 - (30 : 6 + 5) ? 2 - 6 ? 3 : 2g) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31)h) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7
107. ● Calcula mentalmente el número que falta.
a) 3 ? 5 + 3 ? 4 = 60b) 13 ? 40 - 13 ? 4 = 260c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6 = 150
PROBLEMAS CON NÚMEROS NATURALES
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS?
116. La factura telefónica del mes pasado fue de 34 €, la de este mes ha sido 5 € más cara y la de hace dos meses fue 4 € menos. ¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono en los últimos tres meses?
PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema.«El mes pasado» " 34 €
SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.«Este mes 5 € más» " 34 + 5 = 39 €«Hace dos meses 4 € menos» " 34 - 4 = 30 €
TERCERO. Se resuelve el problema.34 + 39 + 30 = 103 €
El gasto en teléfono ha sido de 103 €.
117. ●● En un partido de baloncesto, los máximos anotadores han sido Juan, Jorge y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, Jorge 5 puntos más que Juan y Mario 7 puntos menos que Jorge. ¿Cuántos puntos han obtenido entre los tres?
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118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar: 420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina para el coche, 60 € en la manutención y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €. ¿Cuánto gano al mes?
119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?
120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes a sembrar trigo. El primer día sembraron 125 kilos y el segundo día sembraron el doble de kilos que el primero.
a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día?
b) ¿Y entre los dos días?
121. ●● Observa estos precios.
a) ¿Se pueden adquirir los tres artículos con 900 €?
b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria para comprar los tres artículos?
c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone de 2 000 € para comprar los tres artículos?
122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 4 horas?
123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar hasta que ahorre 18 €?
124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra?
125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €. Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuánto dinero nos ahorramos comprando garrafas?
126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h. ¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja el primer coche al segundo al cabo de 9 horas?
127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personasy se sabe que la primera recibirá 280 €. ¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto se reparte en partes iguales?
128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta y compran 12 botellas de 2 litros de naranja, 12 de limón y 12 de cola.a) ¿Cuántos litros han comprado?b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2 €,
¿cuánto dinero se han gastado?
130. ●●● En España cada persona recicla, por término medio, 14 kg de vidrio cada año.a) Si en España hay 40 millones de personas,
¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año?b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos
más debería reciclar cada persona?
131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total?
132. ●● Marta quiere saber cuántos melocotones hay en el almacén. Para ello hace 5 montones con 5 cajas en cada montón, y en cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila. ¿Cuántos melocotones hay?
133. ●● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar?
134. ●● ¿Cuántos azulejos necesita Jorge para cubrir una pared cuadrada, si en la primera fila ha colocado 5 azulejos?
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Desde 350 € hasta 750 €
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21. Busca información
sobre Christopher Clavius y su relación con el papa Gregorio XIII.
2. Investiga qué calendario se utilizaba hasta que se estableció el calendario actual y por qué se produjo la diferencia de 10 días al cambiarlo.
3. Explica el criterio de divisibilidad que establece el calendario gregoriano para los años bisiestos.
DESCUBRE LA HISTORIA...
Después del jueves…, otro jueves
En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía distante a un jesuita que estaba visiblemente alterado.
–Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita, Christopher Clavius– que me conceda la autorización para justificar el cambio de calendario. ¡Las críticas han llegado al extremo de acusarnos de robarle 10 días al calendario!
Gregorio XIII levantó la cabeza y respondió:
–Eso no es más que un ataque de herejes e ignorantes. La Comisión de Sabios determinó que nuestros cálculos de la duración del año eran erróneos y que nuestro calendario estaba atrasado en 10 días.
El Papa continuó:
–Al 4 de octubre de 1582 le siguió el 15 de octubre, pero no robamos 10 días al calendario, sino que recuperamos lo que el calendario anterior tomó sin corresponderle. De haber seguido así, habríamos terminado por celebrar la Navidad en verano.
Divisibilidad
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Calcularlosdivisores y múltiplos de un número.
• Distinguirentrenúmeros primos y compuestos.
• Factorizarnúmeros naturales.
• Hallarelmáximocomún divisor y el mínimo común múltiplo de dos omásnúmerosnaturales.
PLAN DE TRABAJO
DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS NATURALES
Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.
Prueba de la división
Una división está bien resuelta si se cumplen estas dos condiciones:
• El resto de la división es menor que el divisor.
Resto < Divisor " 5 < 23
• El dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto.
Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto
58 034 = 23 ? 2 523 + 5
58 034 = 58 029 + 5
58 034 = 58 034
Por tanto, la división está bien resuelta.
5 8 0 3 4 231 2 0 2523 5 3 7 4 5
Dividir es repartir una cantidad en partes
iguales.
F DivisorF Cociente
Dividendo F
Resto F
EVALUACIÓN INICIAL
1 Haz la prueba de cada división y averigua cuáles están mal realizadas.
2 Halla el dividendo de estas divisiones.
a) Divisor = 3, cociente = 8, resto = 0b) Divisor = 8, cociente = 15, resto = 6c) Divisor = 12, cociente = 7, resto = 3d) Divisor = 21, cociente = 12, resto = 1
3 Calcula y completa la tabla en tu cuaderno.
Dividendo Divisor Cociente Resto
2 346 4
3 672 6
8 425 7
9 252 9
e) 1042 11 052 95 03
f) 2475 12 0075 206 03
c) 68 6 08 11 3
d) 85 7 15 12 1
a) 47 2 07 23 1
b) 54 3 24 15 9
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Múltiplosde un número
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo una división es exacta
• Unadivisión es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9
Dividendo = Divisor ? Cociente
• Unadivisión no es exacta cuando su resto 56 6es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9
Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto
Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta.
EJEMPLO
4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?
28 4 La división 28 : 4 es exacta " 28 es múltiplo de 4.
10 7
28 5 La división 28 : 5 no es exacta " 28 no es múltiplo de 5.
13 5
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales.
EJEMPLOS
5 Calcula los múltiplos de 3.
Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…
3•
= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}
Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.
1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.
Múltiplos de 12 " 12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.
3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta.
11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta.
1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.
2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.
SE ESCRIBE ASÍ
3•
" Todos los múltiplos de 3.
12•
" Todos los múltiplosde 12.
Dividendo (D) divisor (d ) resto (r) cociente (c)
26
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16 Calcula todos los divisores de:
a) 30 c) 45 e) 100 g) 90b) 27 d) 55 f) 89 h) 79
17 Di si es cierto o no.
a) 12 es divisor de 3. b) 12 es múltiplo de 3.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Di si es cierto o no.
a) 8 es divisor de 56. b) 12 es divisor de 95.
15 ¿Cuáles son divisores de 36?
2 7 12 36 15 20 1 4 40 9
Divisores de un número
Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta.
EJEMPLO
7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.
48 8 La división 48 : 8 es exacta "
8 es divisor de 48. 0 6
48 9 La división 48 : 9 no es exacta "
9 no es divisor de 48. 3 5
Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre los sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor.
EJEMPLOS
9 Calcula todos los divisores de 8.
8 1 8 2 8 30 8 0 4 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
Decadadivisiónexactaextraemosdosdivisores:eldivisoryelcociente.
8 : 1 = 8 " Es una división exacta " 1 y 8 son divisores de 8.
8 : 2 = 4 " Es una división exacta " 2 y 4 son divisores de 8.
Losdivisoresde8son1,2,4y8.Seescribeasí:Div(8)= {1, 2, 4, 8}.
2 Calcula todos los divisores de 10.
10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta:
10 : 1 = 10 " Es una división exacta " 1 y 10 son divisores de 10.10 : 2 = 5 " Es una división exacta " 2 y 5 son divisores de 10.
Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10 " Div(10)= {1, 2, 5, 10}
4
SE ESCRIBE ASÍ
Div(8) " Todos los divisores de 8.
Div(12)" Todos los divisores de 12.
8 es divisor de 48.
48 es múltiplo de 8.
F
F
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5 Escribe todos los números primos menores que 20.
6 Indica todos los números primos comprendidos entre 100 y 110.
7 Escribe cinco números primos mayores que 50 y otros cinco menores que 40.
8 Escribe los números compuestos menores que 20.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Determina si los siguientes números son primos o compuestos.
a) 11 e) 29 i) 58b) 13 f) 42 j) 65c) 18 g) 46 k) 70d) 24 h) 54 l) 80
19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?
Números primos y compuestos
• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número compuesto.
EJEMPLO
10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos.
Calculamos todos los divisores de 17:
17 1 17 2 17 3 17 4 7 17 1 8 2 5 1 4
0 17 5 2 3 " El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente.
Div(17)= {1, 17} 17 solo tiene dos divisores. 17 es un número primo.
Calculamos todos los divisores de 27:
27 1 27 2 27 3 27 4 27 5 7 27 7 13 0 9 3 6 2 5
0 1 27 6 3 4 " Como 4 es menor que 6,
no seguimos dividiendo.
Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas:
27 : 1 = 27 " 1 y 27 son divisores de 27.27 : 3 = 9 " 3 y 9 son divisores de 27.
Div(27)= {1, 3, 9, 27} " 27tienemásdedosdivisores. 27 es un número compuesto.
5
Números primos hasta 100
28
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Factorización de un número
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta
• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasielnúmeroterminaen0 o en una cifra par.
EJEMPLO
3 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 18 : 2 " Divisiónexacta,porque18terminaennúmeropar.
b) 7 514 : 2 " Divisiónexacta,porque7514terminaennúmeropar.
c) 14 930 : 2 " Divisiónexacta,porque14930terminaen0.
d) 173 : 2 " Divisiónnoexacta,porque173terminaen3,que no es par.
e) 81 : 2 " Divisiónnoexacta,porque81terminaen1,que no es par.
• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi,alsumarlascifras deesenúmero,obtenemosunmúltiplode3.
EJEMPLO
4 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 81 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 1 = 9y 9 : 3 es división exacta
b) 123 : 3 " Divisiónexacta,porque:1+ 2 + 3 = 6y 6 : 3 es división exacta
c) 876 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 7 + 6 = 21y 21 : 3 es división exacta
d) 173 : 3 " Divisiónnoexacta,porque:1+ 7 + 3 = 11 y 11 : 3 es división no exacta
• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasielnúmeroterminaen0 o en 5.
EJEMPLO
5 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 65 : 5 " Divisiónexacta,porque65terminaen5.
b) 120 : 5 " Divisiónexacta,porque120terminaen0.
c) 246 : 5 " Divisiónnoexacta,porque246noterminaen0nien5.
6
Los números pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Estudia si estas divisiones son exactas.
a) 15 : 3 c) 59 : 3 e) 103 : 3b) 26 : 3 d) 70 : 3 f) 3 104 : 3
10 Estudia si estas divisiones son exactas.
a) 37 : 2 c) 81 : 5 e) 22 305 : 5b) 48 : 3 d) 92 : 2 f) 145 236 : 3
29
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Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como producto de sus divisores primos.
Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos (2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11…
EJEMPLO
6 Factoriza el número 30.
Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primo que haga la división exacta.
30 : 2 "Divisiónexacta,porque30terminaen0.30 : 2 = 15Factorización" 30 = 2 ? 15
Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta; en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer número primo que haga la división exacta.
15 : 2 "Divisiónnoexacta,porque5noespar15 : 3 "Divisiónexacta,porque:1+ 5 = 6
y 6 : 3 es división exacta15 : 3 = 5 Factorización" 30 = 2 ? 15 = 2 ? 3 ? 5
Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1.5 : 2 "Divisiónnoexacta,porque5noespar.5 : 3 "Divisiónnoexacta.5 : 5 "Divisiónexacta.5 : 5 = 1
Cuandoobtenemoscomocociente1,lafactorizaciónestáterminada.Factorización" 30 = 2 ? 3 ? 5
Este proceso se suele escribir, indicando solo las divisiones exactas, de la siguiente manera:
30 2 30 : 2 " 15 3 15 : 3 " 5 5 5 : 5 " 1
Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores.Factorización" 30 = 2 ? 3 ? 5
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
11 Factoriza los siguientes números.
a) 10 d) 21 g) 70b) 14 e) 35 h) 105c) 15 f) 42 i) 210
12 Di a qué número corresponde cada una de estas factorizaciones.
a) 3 ? 5 ? 11 c) 5 ? 7 ? 11
b) 2 ? 11 d) 3 ? 7 ? 11
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia
Unapotencia es un producto de factores iguales.
3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34 2 ? 2 ? 2 = 23
4 veces 3 veces
56 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 72 = 7 ? 7 6 veces 2 veces
EJEMPLO
12 Descompón el número 420 como producto de factores primos.
Cocientes parciales Factorización
2 es divisor de 420 420 : 2 = 210 420 = 2 ? 210
2 es divisor de 210 210 : 2 = 105 420 = 2 ? 2 ? 105
2 no es divisor de 1053 es divisor de 105 105 : 3 = 35 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 35
2 no es divisor de 35 ni3,perosí5 35 : 5 = 7 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7
7esunnúmeroprimo,es divisor de él mismo 7 : 7 = 1 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1
Por tanto, podemos expresar el número 420 como: 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 " 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7
En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremos potencias.
Para realizar la descomposición de un número en factores primos lo escribimos, normalmente, del siguiente modo: COCIENTES FACTORES PARCIALES PRIMOS
420 2420 : 2 " 210 2 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7210 : 2 " 105 3 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7105 : 3 " 35 5 35 : 5 " 7 7 7 : 7 " 1
1442443 14243
14444244443 123
23 Descompónenproductodefactoresprimos,y escribe cómo son estos números.
a) 13 c) 29
b) 61 d) 97
24 Completa para que se cumplan las igualdades.
a) 23 ? 32 ? 4 = 360
b) 42 ? 72 ? 11 = 4 851
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
22 Descompón en producto de factoresprimos los siguientes números.
a) 36 c) 24 e) 180b) 100 d) 98 f) 120
13 Descompón en factores primos.a) 8 c) 27 e) 125b) 32 d) 81 f) 625
F F
F F
31
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Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.
Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme-ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo-
nente.3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.
EJEMPLOS
7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.
Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos.
12 2 40 2 6 2 20 2 3 3 12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 10 2 40 = 2 ? 2 ? 2 ? 5 = 23 ? 5 1 5 5 1
El único factor primo común es 2.Alelevarloalmenorexponente:22
Así,resultaque:m.c.d.(12,40)= 22 = 4
14 Calcula el máximo común divisor de 40 y 100.
Primero, descomponemos 40 y 100 en factores primos.
40 2 100 220 2 50 210 2 40 = 23 ? 5 25 5 100 = 22 ? 52
5 5 5 5 1 1 5
Los factores primos comunes son 2 y 5.
Alelevarlosalmenorexponente:22 y 5
Así,resultaque:m.c.d.(40,100)= 22 ? 5 = 4 ? 5 = 20
7
El máximo común divisor de dos números puede ser 1.
Por ejemplo:4 = 22 9 = 32
No hay factores comunes.m.c.d. (4, 9) = 1
14 Obtén el máximo común divisor.
a) 105 y 128 c) 324 y 628b) 180 y 240 d) 1 024 y 2 862
27 Hallaelmáximocomúndivisorde18,30y54.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Calcula el máximo común divisor de cada pareja de números.
a) 42 y 21 d) 12 y 35
b) 24 y 102 e) 60 y 24
c) 13 y 90 f) 72 y 11
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Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes.
Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme-ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados
al mayor exponente.3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.
EJEMPLOS
8 Obténelmínimocomúnmúltiplode4y6.
Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos.
4 2 6 22 2 3 31 1
4 = 2 ? 2 = 22 6 = 2 ? 3
El factor primo común es 2, y el no común, 3.Alelevarlosalmayorexponente:22 y 3Así,resultaque:m.c.m.(4,6)= 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12
16 Calculaelmínimocomúnmúltiplode18y60.
Primero, descomponemos 18 y 60 en factores primos.
18 2 60 2 9 3 30 2 3 3 18 = 2 ? 32 15 3 60 = 22 ? 3 ? 5 1 5 5 1 5
Los factores primos comunes son 2 y 3, y los no comunes, 5.
Alelevarlosalmayorexponente:22, 32 y 5
Así,resultaque:m.c.m.(18,60)= 22 ? 32 ? 5 = 4 ? 9 ? 5 = 180
8
15 Calculaelmínimocomúnmúltiplo.
a) 24 y 48 c) 16 y 80
b) 18 y 54 d) 22 y 52
31 Hallaelmínimocomúnmúltiplode15,25y9.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
30 Determinaelmínimocomúnmúltiplodeestasparejas de números.
a) 5 y 12
b) 6 y 14
c) 3 y 21
d) 4 y 18
e) 14 y 27
f) 12 y 20
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
HAZLO DE ESTA MANERA
1. FACTORIZAR UN NÚMERO
Descompón estos números en factores primos.
a) 84 b) 77
PRIMERO.Dividimoselnúmeroentreelprimernúmeroprimoquehagaladivisiónexacta.
• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasi el númeroterminaen0oenunacifrapar.• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi, al sumarlascifrasdeesenúmero,obtenemos
un múltiplo de 3.• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasi el númeroterminaen0oen5.
Para el resto de números primos: 7, 11, 13, 17, … es mejor realizar la división.
a) 84 : 2 "Divisiónexacta,porque4espar.
84 284 : 2 " 42
b) 77 : 2 "Divisiónnoexacta,porque7esimpar.
77 : 3 "Divisiónnoexacta,porque:7+ 7 = 14 y 14 : 3 es división no exacta.
77 : 5 "Divisiónnoexacta,porque77noterminaen 0nien5.
77 7 77 7 7 11 77 : 7 " 11 0 " Divisiónexacta
SEGUNDO. Repetimos el mismo proceso con los cocientes resultantes hasta obtener la unidad.
a) 84 2 b) 77 784 : 2 " 42 2 42 termina en par, 42 : 2 "Divisiónexacta. 77:7 " 11 11 11 es primo.42 : 2 " 21 3 21 no termina en par, 2 + 1 = 3, múltiplo de 3. 11 : 11 " 121 : 3 " 7 7 7 es primo. 7 : 7 " 1
TERCERO. Escribimos el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha y, si hay factores repetidos, los expresamos como una potencia.
a) 84 = 2 ? 2 ? 3 ? 7 = 22 ? 3 ? 7 b) 77 = 7 ? 11 22123
Lo esencial
Múltiplos y divisores
8 : 2 es una división exacta
8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8
Número primo
Div(7)= {1, 7}Div(11)= {1, 11}
Número compuesto
Div(10)= {1, 2, 5, 10}Div(12)= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
F
F F
F
FF
34
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4. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
Obténelmáximocomúndivisorde24,132 y 84.
PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosenfactores primos.
24 2 132 2 84 2 12 2 66 2 42 2 6 2 33 3 21 3 3 3 11 11 7 7 1 3 1 1 3
24 = 23 ? 3 132 = 22 ? 3 ? 11 84 = 22 ? 3 ? 7
SEGUNDO. Escogemos los factores comunes elevados al menor exponente.
Factorescomunes" 2 y 3Con menor exponente " 22 y 3
TERCERO. El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.
m.c.d.(24,132,84)= 22 ? 3 = 12
Elmáximocomúndivisorde24,132y84es12.
Comprende estas palabras
1. ¿Es 24 múltiplo de 2? ¿Y de 3?
2. ¿Es 7 divisor de 63? ¿Y de 77?
1. Escribe tres múltiplos de estos números.a) 8 c) 18b) 12 d) 24
2. Escribe tres divisores de los números.a) 24 c) 100b) 96 d) 39
3. ¿Cuántosdivisorestieneelnúmero17?¿Qué se puede decir de él?
5. Averiguacuáldelossiguientesnúmeroses primo.
a) 21 b) 82 c) 31 d) 33
Factorizar un número
7. Descompónenfactoresprimoselnúmero88.
8. ¿Cuáleslafactorizaciónde120?¿Yde240?¿Y de 480?
9. ¿Cuáleselnúmerocuyafactorizaciónes 23 ? 3 ? 52?
Calcular el máximo común divisor de varios números
10. ¿Cuáleselm.c.d.de32y48?
11. Hallaelm.c.d.de24,35y46.
Calcular el mínimo común múltiplo de varios números
12. ¿Cuáleselm.c.m.de10y8?
13. Calcula el m.c.m. de 16, 40 y 80.
Y AHORA… PRACTICA
5. CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
Obténelmínimocomúnmúltiplode135,315y 175.
PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosenfactores primos.
135 3 315 3 175 5 45 3 105 3 35 5 15 3 35 5 7 7 5 5 7 7 1 1 3 1 3
135 = 33 ? 5 315 = 32 ? 5 ? 7 175 = 52 ? 7
SEGUNDO. Escogemos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Factorescomunesynocomunes" 3, 5 y 7Con mayor exponente " 33, 52 y 7
TERCERO. El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.
m.c.m.(135,315,175)= 33 ? 52 ? 7 = 4 725El mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175 es 4 725.
35
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ActividadesMÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
52. ● Halla con la calculadora los diez primeros múltiplos de 11 y los ocho primeros múltiplos de 12.
53. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazonalas respuestas.
a) 35 es múltiplo de 5.b) 49 es múltiplo de 6.c) 56 es múltiplo de 8.d) 72 es múltiplo de 9.
54. ● ¿Cuál de estas series está formada por múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5?
a) 1, 4, 9, 16, 25, …b) 5, 10, 15, 20, …c) 8, 10, 12, 14, 16, …d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, …e) 1, 5, 10, 20, 30, …f) 20, 40, 60, 80, …
55. ● Halla los múltiplos de 4 menores que 50.
56. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y 8 menores que 50?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN MÚLTIPLO DE UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS NÚMEROS?
57. Encuentra un múltiplo de 26 que esté comprendido entre 660 y 700.
PRIMERO. Se divide el menor de los dos números, 660, entre el número del que se quiere hallar el múltiplo, 26.
660 26
010 25
SEGUNDO. Se aumenta en una unidad el cociente, y se multiplica por el número del que se quiere obtener el múltiplo.
MÚLTIPLO =(25+ 1) ? 26 = 676
Se comprueba que el número obtenido cumple la condición pedida: el número 676 es múltiplo de 26y estácomprendidoentre660y700.
58. ● Determina un número entre 235 y 289 que sea múltiplo de 29.
59. ● Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre 40 y 100.
60. ● Calcula cuatro números que sean múltiplos de 7 y que estén comprendidos entre 60 y 110.
61. ● Escribe el primer múltiplo de 32 que sea mayor que 2 000.
DIVISORES DE UN NÚMERO
66. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazonalas respuestas.
a) 12 es divisor de 48.b) 15 es divisor de 3.c) 9 es divisor de 720.d) 7 es divisor de 777.e) 44 es divisor de 44.f) 100 es divisor de 10.g) 123 es divisor de 123.h) 1 es divisor de 17.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULAN TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO?
16. Calcula todos los divisores de 63.
PRIMERO. Se divide el número entre 1, 2, 3, … hasta que el cociente sea menor que el divisor.
63 1 63 2 63 3 63 4 63 5 0 63 1 31 0 21 3 15 3 12
63 6 63 7 63 8 3 10 0 9 7 7 " El cociente, 7, es menor
que el divisor, 8.
SEGUNDO.Decadadivisiónexactaseextraendos divisores: el divisor y el cociente.
63 : 1 = 63 " 1 y 63 son divisores de 63.63 : 3 = 21 " 3 y 21 son divisores de 63.63 : 7 = 9 " 7 y 9 son divisores de 63.
El resto de divisiones no son exactas.
Los divisores de 63 son:Div(63)= {1, 3, 7, 9, 21, 63}
67. ● Completalosdivisoresde24,16,36y54.
Div(24)= {1, 2, 4, 4, 4, 8, 4, 4}Div(16)= {1, 2, 4, 4, 16}Div(36)= {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 36}Div(54)= {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 54}
36
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68. ● Halla todos los divisores de 42. ¿Cuántos divisores tiene 42?
69. ● Calcula todos los divisores de:
a) 28 c) 54
b) 64 d) 96
70. ● Si63esmúltiplode9,¿cuálesdelassiguientesafirmaciones son ciertas?
a) 63 es divisor de 9.
b) 9 es divisor de 63.
c) 9 es múltiplo de 63.
72. ● Alhacerladivisión57:5,vemosquenoesexacta. Decide si es verdadero o falso.
a) 5 no es divisor de 57.
b) 57 es múltiplo de 5.
c) 57 no es divisible por 5.
17. ● Observalassiguientesdivisionesexactas,y completa las frases que aparecen.
a) 24 : 8 = 324 es …… de 824 es …… de 38 es …… de 243 es …… de 24
b) 192 : 16 = 12196 es …… de 16196 es …… de 1216 es …… de 19612 es …… de 196
73. ● Si 175 = 5 ?35,¿cuálesdelasafirmacionesson ciertas?
a) 175 es divisible por 5.
b) 175 es múltiplo de 35.
c) 5 es divisor de 175.
74. ● Dada la relación 104 = 4 ?26,¿quéafirmaciones son verdaderas?
a) 104 es múltiplo de 4.
b) 26 es divisor de 104.
c) 104 es divisible por 26.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMO O COMPUESTO?
18. Averigua si 61 es primo o compuesto.
PRIMERO. Se calculan los divisores del número.
61 1 61 2 61 3 61 4 61 5 0 61 1 30 1 20 1 15 1 12
61 6 61 7 61 8 1 10 5 8 5 7 " El cociente, 7, es menor que
el divisor, 8.
Como solo existe una división exacta:Div(61)= {1, 61}
SEGUNDO. Se decide si el número es primo o compuesto.
• Sielnúmerodedivisoresesdos, el número es primo.
• Sielnúmerodedivisoresesmayorquedos,el número es compuesto.
Como 61 tiene dos divisores, es un número primo.
77. ● Completa la siguiente tabla:
Compuesto
Números
33
61
79
72
39
1, 3, 11, 33
Divisores Primo/Compuesto
78. ● ¿Cuáles de estos números son primos? ¿Y cuáles son compuestos?
a) 46 b) 31 c) 17 d) 43
79. ● Escribe los números primos mayores que 30 y menores que 100.
80. ● Sabiendo que un número de dos cifras tiene divisiónexactacon3,¿sepuededecir que es primo? Pon un ejemplo.
81. ●● Escribe estos números como suma de dos números primos.
a) 12 b) 20 c) 36 d) 52
37
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FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO
19. ● Escribe y comprueba.
a) Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todos los números que obtienes?
b) Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifras de cada número. ¿Es siempre la suma un múltiplo de 3?
c) Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todos los números en 0 o en 5?
20. ● Observa los siguientes números y contesta.
45 52 70 81 94 125 231
a) ¿Qué números son múltiplos de 2?b) ¿Qué números son divisibles por 3?c) ¿Dequénúmeroses 5 un divisor?
21. ● Escribelosdoceprimerosmúltiplosde10,y subraya la última cifra de cada uno.¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo de 10?
82. ● Descompón estos números en producto de factores primos.
a) 56 f) 77 k) 138
b) 100 g) 98 l) 102
c) 187 h) 47 m) 325
d) 151 i) 99 n) 226
e) 155 j) 79 ñ) 402
22. ● Lafactorización23 ? 3 ? 52,¿acuálde los siguientes números corresponde?
a) 30 c) 120 e) 300b) 60 d) 150 f) 600
83. ● ¿A qué números corresponden estas descomposiciones en factores primos?
a) 23 ? 3 ? 5 e) 23 ? 52 ? 7
b) 2 ? 32 ? 7 f) 32 ? 5 ? 72
c) 5 ? 72 ? 11 g) 3 ? 53 ? 72
d) 2 ? 3 ? 5 ? 72 h) 23 ? 32 ? 5 ? 73
84. ● ¿Cuál es la descomposición en factores primos de un número primo? Pon un ejemplo.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
89. ● Halla el máximo común divisorde los siguientes pares de números.
a) 16 y 24 c) 12 y 36 e) 28 y 49b) 45 y 72 d) 18 y 27 f) 18 y 28
90. ● Calcula el máximo común divisor de estos pares de números.
a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47
91. ●● Obtén el máximo común divisor de los siguientes números.
a) 8, 12 y 18 d) 45, 54 y 81b) 16, 20 y 28 e) 75, 90 y 105c) 8, 20 y 28 f) 40, 45 y 55
94. ● Calculaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 12 y 24 c) 27 y 54b) 16 y 18 d) 21 y 49
95. ● Hallaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 5 y 12 c) 12 y 25b) 7 y 14 d) 8 y 15
96. ●● Determinaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 12, 15 y 18 c) 6, 30 y 42b) 10, 20 y 30 d) 9, 14 y 21
PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD
97. ● José está haciendo una colección de cromos. Loscromossevendenensobrescon5cromoscada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?
23. ● Rafa ha hecho 40 croquetas.
a) ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos sin que le sobre ninguna?
b) ¿Y en 9 platos?
38
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98. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos. Loscromossevendenensobresde5cromoscada uno. Suponiendo que no se repita ningúncromo,¿cuántossobrestiene quecomprarcomomínimo?
99. ●● Luisquierepegarlas49fotosdesus vacaciones en filas de 3 fotos cada una. ¿Cuántasfilasenterasobtendrá?¿Lesobraalguna foto? Razona la respuesta.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOS IGUALES?
24. Necesitamosenvasar10rosquillasencajasque tengan el mismo número de rosquillas cada una. ¿De cuántas formas se pueden envasar?
PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.
10 1 10 2 10 3 10 4 0 10 0 5 1 3 2 2
El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto, no seguimos dividiendo.
10 : 1 = 10 "Divisiónexacta"Divisores:1y1010 : 2 = 5 "Divisiónexacta"Divisores:2y5
SEGUNDO. Los divisores son las formas en que se puede agrupar la cantidad.
Divisores:1y10Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillas o en 10 cajas de 1 rosquilla.
Divisores:2y5Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillas o en 5 cajas de 2 rosquillas.
100. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere colocarlosenfila,demodoqueencadafilahayala misma cantidad de coches. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
101. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete de 3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden en algún número? ¿Qué tienen en común dichos números?
102. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales. Hay8canariosyquiereponerlosenjaulas, conelmismonúmerodecanariosencadauna,sin que sobre ninguno. ¿De cuántas formas puede colocar los canarios en las jaulas?
103. ●● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en cestos,conelmismonúmerodepiñasencadauno,sinquelesobreninguna.¿Decuántasmaneras distintas puede repartirlas?
104. ●● Maríahahecho45pastelesylosquiereguardar en cajas. ¿De cuántas maneras los puede guardar para que no sobre ninguno?
105. ●● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que ponerlasenmontones,conelmismonúmero deláminasencadauno,sinquelesobreninguna. ¿Cuántas láminas puede poner en cada montón?
106. ●● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere colocarengrupos,demaneraquecadagrupotenga el mismo número de macetas y no sobre ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner en cada grupo?
25. ●● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus de laterraza.Riegalosgeranioscada3díasy los cactuscada9días.¿CuántosdíastienenquepasarcomomínimohastaqueMaitevuelvaa regarlasdosplantaselmismodía?
26. ●● Fran y Raquel van a patinar a la misma pista. Fran va cada 4 díasyRaquel,cada 5 días.Hoy han ido los dos. ¿Dentro de cuántos díasvolverána coincidir por primera vez en la pista de patinaje?
39
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31. Aunque Leonardo
da Vinci es más conocido por su pintura, su contribución a las matemáticas también es importante. Averigua alguna de sus aportaciones.
2. Busca información sobre Luca Pacioli y los trabajos que realizó con Leonardo da Vinci.
3. Investiga sobre las aportaciones a las matemáticas de Luca Pacioli y su relación con las fracciones.
DESCUBRE LA HISTORIA...
Entre la proporción divina y la humana
Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli examinando las ilustraciones de su libro.
–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.
–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, La divina proporción, lo merecía.
–Acerté al encargaros las ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me enseñasteis el boceto del Hombre de Vitruvio –remarcó Pacioli.
–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratado se ajustan a los cánones de belleza del arte actual –explicó Da Vinci–. ¿Sabéis que la distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre, que la distancia del codo a la axila es un octavo o que la longitud de la mano es un décimo?
Fracciones
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Manejar las distintas interpretaciones de una fracción.
• Identificaryhallarfracciones equivalentes a una fracción dada.
• Compararyordenarfracciones.
• Realizaroperacionescon fracciones.
PLAN DE TRABAJO
LECTURA DE FRACCIONES
Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.
75
Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla:
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos
Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos.
75
se lee cinco séptimos
52
se lee dos quintos
Cuando el denominador es mayor que 10:
113
se lee tres onceavos
F Denominador
Numerador F
F
FF
F
FF
Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas de la unidad.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.
a) 49
c) 23
e) 128
b) 135
d) 51
f) 1511
2 Escribe cómo se lee.
a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5.b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7.c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4.d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17.
1. Escribe en forma de fracción.
a) Siete novenos. c) Diez doceavos.b) Dos décimos. d) Trece sextos.
41
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Númerosfraccionarios1
Una fracción es una expresión ba
, donde a y b son números naturales
llamados numerador y denominador, respectivamente.
Una fracción ba
puede expresar un valor respecto a un total que llamamos
unidad. En este caso:
• Su denominador, b, representa el número de partes iguales en que se divide la unidad.
• Su numerador, a, representa el número de partes que se toman.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representa geométricamente una fracción
Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad.
• Dividimoslaunidadentantas partes como indica el denominador.
• Coloreamostantaspartescomo indica el numerador.
EJEMPLO
1 Escribe como fracción la parte coloreada de cada figura, e indica el numerador y el denominador.
a) b)
95 G NumeradorG Denominador
1813 G Numerador
G Denominador
EJEMPLO
1 Expresa como fracción esta situación: Deunbizcochodividido en 7 partes, nos comemos 4.
Tomamos 4 partes " NumeradorDividido en 7 partes " Denominador 7
4"2
La fracción representa una parte de la unidad.
1 Representa estas fracciones.
a) 43
b) 75
c) 124
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Indica cuál es el numerador y el denominador.
a) 49
b) 116
c) 221
G
103
4
7
74
G
G
G
G
42
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Fracciones propias e impropias2
• Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el deno-minador. Representa un número menor que la unidad.
• Una fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el de-nominador. Representa un número mayor que la unidad.
Si el numerador y el denominador
son iguales, la fracción es igual a la unidad.
66
= 1 " EJEMPLO
4 Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias o impropias.
a) 62
b) 68
a) 62
" Numerador < Denominador 2 < 6 2 Fracción propia
Representaunnúmeromenorquelaunidad.
b) 68
" Numerador > Denominador
8 > 6 2 Fracciónimpropia
Representaunnúmeromayorquelaunidad.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se comparan las fracciones con la unidad
• Unafracciónesmenor que la unidad si el numerador es menor que el denominador.
• Unafracciónesmayor que la unidad si el numerador es mayor que el denominador.
EJEMPLO
2 Escribe la fracción coloreada y compárala con la unidad.
a) b)
73
< 1, porque 3 < 7 611
> 1, porque 11 > 6
5 Indica si estas fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad.
a) 3517
b) 4243
c) 55
d) 1813
6 Representa gráficamente las fracciones, y di si son menores, iguales o mayores que la unidad.
a) 57
b) 74
c) 1616
d) 39
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Escribe la fracción representada y compárala con la unidad.
a)
b)
43
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13 Obténtresfraccionesequivalentespor amplificación.
a) 211
b) 79
14 Obtén, si es posible, dos fracciones equivalentesporsimplificación.
a) 75
125 b)
6048
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Representa cada una de las siguientes fracciones ydecidesisonequivalentes.
a) 86
43
y b) 75
32
y
9 Compruebasilasfraccionessonequivalentes.
a) 43
2015
y b) 86
104
y
Fracciones equivalentes3
Dos fracciones, ba
y dc
, son equivalentes, y se escribe ba
dc
= , cuando
representan la misma cantidad. Si ba
dc
= , se cumple que a ? d = b ? c.
EJEMPLO
6 ¿Sonequivalenteslas fracciones 52
208
y ? ¿Y las fracciones 53
306
y ?
52
208
= si se cumple que: y? ?2 20 5 8
40 40 52
208=
= "2 son equivalentes.
53
306
= si se cumple que: y? ?3 30 5 6
90 30 53
306
!
="2 no son equivalentes.
25
y 820
son equivalentes,
porque representan la misma cantidad.
25
"
820
"
SE ESCRIBE ASÍ
Amplificación
1812
?
?
1812
22
=
Simplificación
::
18 31812 12 3=
3.2 Cómo obtener fracciones equivalentes
• Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente multipli-cando el numerador y el denominador por el mismo número.
• Simplificación: consiste en obtener una fracción equivalente dividiendo el numerador y el denominador entre un divisor común de ambos.
EJEMPLO
8 Halladosfraccionesequivalentes a 1812
, una por amplificación y otra por simplificación.
AMPLIFICACIÓN
?
?
1812
18 212 2
3624
= =
SIMPLIFICACIÓN
::
1812
18 312 3
64
= =
•Como12? 36 = 18 ? 24:
1812
3624
y son equivalentes.
•Como12? 6 = 18 ? 4:
1812
64
y son equivalentes.
44
301279 _ 0040-0057.indd 44 08/07/11 20:33
6 ¿Tienendivisorescomunesestosnúmeros?Indica cuáles son.
a) 25 y 75 c) 13 y 25b) 12 y 36 d) 7 y 12
7 Di si es cierto o no.
a) 5esdivisorcomúnde15y25.b) 3noesdivisorcomúnde12y15.c) 2noesdivisorcomúnde12y25.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Di si es cierto o no.
a) 4 es divisor de 18.b) 9 no es divisor de 95.c) 12 no es divisor de 72.
5 Decidesi2,3o5sondivisoresdelossiguientesnúmeros.
a) 18 c) 25b) 32 d) 70
3.3 Fracción irreducible
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo un número es divisor de otro
Unnúmeroa es divisordeotronúmerobsiladivisióndeb entre a es exacta.
EJEMPLO
3 Compruebasi2y5sondivisoresde12.
12 2 La división 12 : 2 es exacta " 2 es divisor de 12. 0 6
12 5 La división 12 : 5 no es exacta " 5 no es divisor de 12. 2 2
Cuándo 2, 3 o 5 son divisores de un número
• 2esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oenunacifrapar.
• 3esdivisordeunnúmerosilasumadesuscifrasesunmúltiplode3.
• 5esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oen5.
EJEMPLO
4 Decidesi2,3o5sondivisoresdeestosnúmeros.
a) 12 b) 15¿Tienenalgúndivisorcomún?
a) 2 es divisor de 12, ya que termina en cifra par.
3 es divisor de 12, pues 1 + 2 =3esmúltiplode3.
5 no es divisor de 12, porque no termina en 0 o en 5.
b) 2 no es divisor de 15, ya que no termina en 0 o en cifra par.
3 es divisor de 15, pues 1 + 5 =6esmúltiplode3.
5 es divisor de 15, porque termina en 5.
Como3esdivisordeambos,esundivisorcomúnde12y15.
Dos números tienen un divisor común
si es divisor de ambos.
Una división es exacta si su resto es cero.
D d D = d ? c 0 6
12 2 12 = 2 ? 6 0 6
RECUERDA
45
301279 _ 0040-0057.indd 45 08/07/11 20:33
15 ¿Son irreducibles estas fracciones? En caso de que no lo sean, obtén su fracción irreducible.
a) 6040
b) 9072
9 ¿Es 4520
la fracción irreducible de 0
904
?
Indica por qué.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
8 Halla la fracción irreducible de cada una de las siguientes fracciones.
a) 10050
d) 7515
b) 9042
e) 1 01005
c) 2
457
f) 00
752
Decimos que una fracción es irreducible si no se puede simplificar.
Si una fracción es irreducible, su numerador y su denominador no pue-den tener divisores comunes.
EJEMPLO
9 Calculalafracciónirreducible de 1812
.
Simplificamos la fracción dividiendo entre los sucesivos divisores comunes del numerador y el denominador.
2 es divisor de 12 y 18 " ::
1812
18 212 2
96
= =
3 es divisor de 6 y 9 " ::
96
9 36 3
32
= =
2 y 3 no tienen divisores comunes " 32
es la fracción irreducible de 1812
.
EJEMPLO
5 Halla la fracción irreducible de 10575
.
•2noesdivisorde75,yaquenoterminaen0oencifrapar.
3 es divisor de 75, pues 7 + 5 =12esmúltiplode3,ytambiénesdivisorde 105, porque 1 + 0 + 5 =6esmúltiplode3.
Como3esdivisorde75y105" ::
10575 75
3525
105 33
= =
•2noesdivisorde25,yaquenoterminaen0oencifrapar.
3 no es divisor de 25, porque 2 + 5 =7noesmúltiplode3.
5 es divisor de 25 y de 35, porque ambos terminan en 5.
Como5esdivisorde25y35" ::
55
35 55 5
32 2
75
= =
•5esunnúmeroprimo.
7esunnúmeroprimo.
5 y 7 no tienen divisores comunes " 75
es la fracción irreducible de 10575
.
c) 1870
d) 7
25
Unnúmeroesprimosisolotiene dos divisores: él mismo y la unidad.
RECUERDA
46
301279 _ 0040-0057.indd 46 08/07/11 20:33
11 Ordena estas fracciones, de menor a mayor.
a) ,158
78
38
y b) ,13 1
417
4 4y
12 Copiaycompletaparaquelascomparacionessean ciertas.
a) 154
15<4
b) 56 6
>4
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Comparaestasfracciones.
a) 65
64
y b) 73
53
y
10 Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor.
a) ,57
53
51
y b) ,7
597
137
y
Comparación de fracciones
Dadas dos fracciones, siempre habrá una de ellas que sea menor, igual o mayor que la otra.
4.1 Fracciones con el mismo denominador
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
EJEMPLO
10 Comparalasfracciones 53
y 52
.
Como53
52
y tienen el mismo denominador y 3 > 2 53
52
>" .
53"
52"
4.2 Fracciones con el mismo numerador
Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
EJEMPLO
11 Comparalasfracciones41
21
y .
Como41
21
y tienen el mismo numerador y 2 < 4 21
41
>" .
41"
21"
4
47
301279 _ 0040-0057.indd 47 08/07/11 20:33
4.3 Fracciones con distinto denominador y numerador
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el mínimo común múltiplo
Paracalcularelmínimocomúnmúltiplodevariosnúmeros:1.° Descomponemoslosnúmerosenfactoresprimos.2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes,
elevadosal mayorexponente.3.º Elproductodeesosfactoreseselm.c.m.delosnúmeros.
Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en ob-tener otras fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.
EJEMPLO
12 Reduceacomúndenominador las fracciones 95
127
y .
Primerocalculamoselmínimocomúnmúltiplodelosdenominadores.
?
9 312 2 3
2
2
=
="3 m.c.m. (9, 12) = 22 ? 32 = 4 ? 9 = 36
Eldenominadorcomúndelasnuevasfraccioneseselm.c.m.Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
95
36 : 9 ? 5F
=F
m.c.m. (9, 12) = 363620
127
36 : 12 ? 7F
=F
m.c.m. (9, 12) = 363621
Cuando dos fracciones tienen distinto denominador y numerador, se reducen a común denominador y se comparan los numeradores.
EJEMPLO
13 Comparalasfracciones 95
127
y .
95
3620
= 127
3621
= 3620
3621
95
127
< <"F
20 < 21
22 Comparaestasfracciones.
a) 65
43
y b) 47
93
y
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Reduceacomúndenominador.
a) , ,32
41
65
b) , ,54
101
43
Descomponernúmerosenfactores primos es expresarlo como producto de sus divisores primos.
12 2
6 2 12 = 22 ? 3
3 3
1
RECUERDA
El m.c.m. de dos o más números es el menor de sus
múltiplos comunes.
48
301279 _ 0040-0057.indd 48 08/07/11 20:33
13 Expresalosnúmeroscomofracciónyopera.
a) 32711
+ b) 17127
-
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Calcula.
a) 34
65
- b) 89
31
+
Suma y restade fracciones
5.1 Fracciones con el mismo denominador
Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador, se suman (o se restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
EJEMPLO
14 Calcula.
a) 85
87
+ = 8
5 78
1223+
= = b) 69
61
- = 6
9 168
34-
= =
Simplificamos
F
Simplificamos
F
5.2 Fracciones con distinto denominador
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un número natural como fracción
Cualquiernúmeronaturalsepuedeescribirenformadefracción condenominador1.
717
=
115
15=
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador:1.º Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo deno-
minador, reduciendo a común denominador.2.º Se suman (o se restan) los numeradores, manteniendo el mismo
denominador.
EJEMPLO
6 Calcula. a)53
47
+ b) 1592
-
a) 5 = 5 4 = 22 m.c.m. (5, 4) =5 ? 22 = 20
: :
53
47
2020 5 3
2020 4 7
2012
2035
2047? ?
+ = + = + =
b) 15 - 92
115
92
99 15
92
9135
92
9133?
= - = - = - =
5
Los resultados deben simplificarse siempre.
La fracción final debe ser irreducible.
49
301279 _ 0040-0057.indd 49 08/07/11 20:33
35 Efectúalasdivisiones.
a) :109
43
b) :1548
32
d) :5
1278
14 Realizaestasdivisionesysimplifica.
a) :1552
b) :4
182
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores.
??
?
ba
dc
b da c
=
EJEMPLOS
16 Halla el producto de estas fracciones.
a) ?23
75
?
?
2 73 5
1415
= =
b) ?116
45
?
?
11 46 5
4430
2215
= = = F Fracción irreducible
F
Simplificamos
17 Obténelproductodeestosnúmeros por una fracción.
a) ?347
??
?
13
47
1 43 7
421
= = = b) ?65
8 ??
?
65
18
6 15 8
640
320
= = = =
F
Simplificamos
División de fracciones
Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.
:ba
dc
b ca d
?
?=
FF
EJEMPLO
20 Efectúalassiguientesdivisiones.
a) :32
25
??
?
32
52
3 52 2
154
= = =
b) :76
3 :?
?
76 3
7 36 1
216
72
1= = = =:
?
?
76 3
7 36 1
216
72
1= = = =:
?
?
76 3
7 36 1
216
72
1= = = =
6
7
c) :29
75
Cualquier número natural se puede considerar como
una fracción con denominador 1.
3 = 31
29 Calculaysimplifica.
a) ?83
911
c) ?152
57
b) ?54
127
d) ?67
615
30 Resuelveysimplifica.
a) ?1054
b) ?1567
50
301279 _ 0040-0057.indd 50 08/07/11 20:33
39 Opera.
a) ?5
1473
125
311
- +e o
b) : ?79
817
53
23
91
- +e o
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
38 Calcula,indicandolospasosquesigues.
b) ?54
23
27
31
+ -
a) :37
21
45
+
Jerarquía de las operaciones con fracciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales
Aloperarconnúmerosnaturalesresolvemos:1.ºLasoperacionesquehayentreparéntesis.2.ºLasmultiplicacionesylasdivisiones,deizquierdaaderecha.3.ºLassumasylasrestas,deizquierdaaderecha.
EJEMPLO
7 Resuelveestaoperación:
25 - (4 ? 3 - 2) +14:(3+ 4) =
= 25 - (12 - 2) + 14 : 7 == 25 - 10 + 14 : 7 =
= 25 - 10 + 2 =
= 17
Al realizar operaciones combinadas con fracciones, el orden que se sigue es el mismo que en las operaciones con números naturales.
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
8 Calcula. :53
56
21
54
=+ +d n
: :53
56
105
108
53
56
1013
53
5 136 10
53
6560
6539
6560
6599
?
?
= + + = + =
= + = + =
= + =
d n
8
Es importante respetar el orden de las operaciones
para obtener el resultado correcto.
FSumas y restas
FMultiplicaciones y divisiones
FParéntesis
Sumas y restas
Multiplicaciones y divisiones
F
F
F
Paréntesis
51
301279 _ 0040-0057.indd 51 08/07/11 20:33
Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
HAZLO DE ESTA MANERA
1. COMPROBAR SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES
Compruebasiestasfraccionessonequivalentes. a)32
64
y b) 35
43
y
PRIMERO. Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
a) 2 ? 9 = 18 3 ? 6 = 18
b) 5 ? 4 = 20 3 ? 3 = 9
SEGUNDO.Comprobamossiambosproductossoniguales. En ese caso, las fracciones son equivalentes.
a) 18 = 18 " 32
64
y son equivalentes.
b) 20 ! 9 " 35
43
y no son equivalentes.
FracciónNumerador
Denominador 54
Fracción propia
Numerador < Denominador75
Fracción impropia
Numerador > Denominador57
F
Menor
F
Mayor
F
F
Fracciones equivalentes
52
" 208
"
52
y 208
son equivalentes.
Fracción irreducible
54
es irreducible, porque 4 y 5 no tienen
divisores comunes.
1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE
Halla la fracción irreducible de 9072
.
PRIMERO.Calculamoselm.c.d.delnumeradory el denominador.
18= ( , ) ?72 90 2 3m.c.d. =?
? ?
72 2 390 2 3 5
3 2
22
"=
=3
SEGUNDO. Dividimos el numerador y el denominador entre su m.c.d.
::90
7290 1872 18
54
= = F Fracción irreducible
2. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
Reduceacomúndenominadorestasfracciones:157
y 98
PRIMERO. Hallamos el m.c.m. de los denominadores.
SEGUNDO. El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones.
Para obtener el nuevo numerador, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
(15, 9) 3 5 45?m.c.m. = =15 3 5 9 3? 2 2"= =
157
45 : 15 ? 7F
=F
m.c.m. (15, 9) = 454521
98
45 : 9 ? 8F
=F
m.c.m. (15, 9) = 454540
52
301279 _ 0040-0057.indd 52 08/07/11 20:33
3. COMPARAR FRACCIONES
Comparalasfracciones157
y 98
.
PRIMERO. Si tienen distinto denominador, reducimosacomúndenominador.
SEGUNDO. Si tienen el mismo denominador, es mayor la fracción que tiene mayor numerador.
157
4521
=
98
4540
=
21 404521
4540
157
98
< <
<
"
"
4. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES
Calculalasiguientesumadefracciones:47
103
+
PRIMERO.Silasfraccionesnotienenelmismodenominador,lasreducimosacomúndenominador.
$( , )4 10 2 5 20m.c.m. = =$"
4 210 2 5
22=
=3
SEGUNDO. Si las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores, y simplificamos, si se puede.
47
103
2035
206
2041
+ = + =
47
20 : 4 ? 7F
=F
m.c.m. (4, 10) = 202035
103
20 : 10 ? 3F
=F
m.c.m. (4, 10) = 20206
Comprende estas palabras
1. Halla dos fracciones equivalentes a 53
.
1. Representalasfracciones32
64
y , y decide
si son equivalentes.
Comprobar si dos fracciones son equivalentes
2. ¿Son equivalentes las fracciones 124
62
y ?
¿Y las fracciones 67
5 7y ?
Calcular la fracción irreducible
3. Halla la fracción irreducible de 1644
.
Reducir fracciones a común denominador
4. Reduceacomúndenominador123
y 166
.
Comparar fracciones
5. Ordena, de mayor a menor: , ,3325
2483
2444
Sumar y restar fracciones
6. ¿Cuáleslasoluciónde53
23
43
+ - ?
Y AHORA… PRACTICA
53
301279 _ 0040-0057.indd 53 08/07/11 20:33
ActividadesNÚMEROS FRACCIONARIOS
15. ● Indica cuál es el numerador y el denominador.
a) 1411
c) 123
e) 91
b) 43
25 d)
4513
f) 192
1
16. ● Representa estas fracciones, e indica cuál es el numerador y el denominador.
a) 106
c) 74
e) 53
b) 83
d) 159
f) 71
17. ● Expresa como fracción las siguientes situaciones.
a) Deunjardíncon12plantas,semarchitantres.b)Deunautobúscon16personas,sebajansiete.c) De una librería con 27 novelas, me venden cinco.
44. ●● Indica qué fracción determina cada una de las afirmaciones.
a) Quinceminutosdeunahora.b) Siete meses en un año.c) Treshuevosdeunadocena.d) Trece letras del abecedario.
48. ● Dadas las siguientes fracciones, indica cuál es mayor, igual o menor que la unidad.
a) 38
b) 65
c) 11
d) 27
18. ● Indica si estas fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad.
a) 51
c) 4523
e) 2921
b) 6
15 d)
88
f) 5551
19. ●● Representa las fracciones y decide si son propias o impropias.
a) 83
c) 102
e) 9
12
b) 7
25 d)
188
f) 1511
FRACCIONES EQUIVALENTES
50. ● Dadas las siguientes figuras, indica cuáles representanfraccionesequivalentes.
a) c)
b) d)
51. ● Determinasilasfraccionessonequivalentes.
a) 7
132152
y b) 43
118
y c) 6
1536
105y
53. ● Calculadosfraccionesequivalentesporamplificación y otras dos por simplificación.
a) 4214
b) 3624
c) 7550
d) 208
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO PARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES?
20. Calculaelnúmeroquefaltaparaquelas
fracciones 43
y 84
seanequivalentes.
PRIMERO. Se aplica la propiedad que cumplen dos fracciones equivalentes.
3 8 4? ?43
84
4= ="
SEGUNDO. Se calcula el producto de los dos términos conocidos.
3 ? 8 = 24TERCERO.Sebuscaelnúmeroque,almultiplicarloporel tercer término conocido, resulta el mismo producto.Para que resulte 24 multiplicamos 4 ? 6, y así: 4 = 6
52. ●● Completalasfraccionesparaqueseanequivalentes.
a) 59 184
= b) 38 244
= c) 2
134
=4
54. ●● Completalassiguientesfraccionesparaqueseanequivalentes.
a) 7
414
64= =
4 b)
54
1584
= =4
54
301279 _ 0040-0057.indd 54 08/07/11 20:33
55. ● Calculalafracciónirreducible.
a) 2012
b) 3652
c) 1881
d) 4812
56. ●● Determina las fracciones irreducibles.
a) 123
b) 3370
c) 3245
d) 3549
e) 2754
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
58. ● Comparalasfraccionescolocandoelsigno< o >.
a) ,32
34
c) ,277
174
e) ,148
169
b) ,173
184
d) ,239
179
f) ,345
187
59. ● Ordena, de menor a mayor.
a) , , ,73
74
71
76
c) , ,83
125
67
e) , ,2633
101108
32
b) , , ,73
23
53
43
d) , ,3326
108101
23
f) , ,38
512
76
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE COMPARAN UN NÚMERO Y UNA FRACCIÓN?
60. ¿Es 3 menor que 27
?
PRIMERO.Seexpresaelnúmerocomounafraccióncon el mismo denominador que la fracción dada.
?3
23 2
26
= =
SEGUNDO. Se comparan las fracciones.
26
27
327
< <"
61. ● ¿Es 4 mayor que 314
? ¿Es 5 mayor que 4
19?
OPERACIONES CON FRACCIONES
63. ● Calculaysimplificaelresultadode las siguientes operaciones.
a) 94
95
98
+ + c) 154
152
155
+ +
b) 87
85
83
- + d) 129
125
123
+ +
21. ● Calculaysimplifica.
a) 51
27
+ c) 4523
51
-
b) 8
126
15+ d)
818
32
-
64. ● Resuelveestasoperacionesysimplifica.
a) 43
65
32
+ - c) 52
307
31
+ -
b) 127
83
65
- + d) 94
41
121
- -
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS Y FRACCIONES?
65. Calcula:34
261
+ -
PRIMERO.Seexpresaelnúmeroenformade fracción, poniendo como denominador 1.
212
=
SEGUNDO. Se realiza la operación.
34
261
34
12
61
68
612
61
619
+ - = + - = + - =
F
m.c.m. (1, 3, 6) = 6
42. ● Escribeestosnúmeroscomofracción.
a) 9 b) 10 c) 23 d) 14
66. ● Resuelveysimplificaelresultado.
a) 32
491
+ - c) 341
85
- -
b) 165
47
2+ - d) 511
107
45
3- - +
67. ●● Calculaysimplifica.
a) 72
73
+ g) 72
73
79
+ +
b) 1837
811
- h)6
2567
184
- -
c) 86
76
+ i) 351
352
+ +
d) 611
811
- j) 594
4537
- -
e) 32
273
+ k) 192
307
+ +
f) 1837
914
- l) 49
142717
- -
55
301279 _ 0040-0057.indd 55 08/07/11 20:33
68. ● Efectúalossiguientesproductos.
a) ?32
57
c) $74
86
b) ?56
21
d) ?53
94
69. ● Calcula.
a) ?453
c) ?249
b) $576
d) ?865
70. ● Resuelve.
a) ? ?41
53
65
c) ? ?89
37
65
b) ? ?127
54
29
d) ? ?56
310
27
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UN NÚMERO?
22. Calcula.
a) 53de30.
b)Lacuartapartede24.
PRIMERO. Se identifica la fracción que representa la partedelnúmeroquesequierecalcular.
a) 53
b)Cuartaparte41
"
SEGUNDO. Se multiplica la fracción que representa la parteporelnúmero.
a) 53
de 30 = 3
??
53
30530
18= =
b) 41
de 24 = ??
641
244
1 24= =
43. ● Calcula.
a) 21
de 50 c) 43
de 4
b) 23
de 100 ) 18097
d de
73. ●● Calcula.
a) La tercera parte de 75.b) La quinta parte de 80.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN?
23. Calcula.
a) 62
de 53
.
b)Latercerapartede53
.
PRIMERO. Se identifica la fracción que representa la parte de la fracción que se quiere calcular.
a) 62
b) Tercera parte 31
"
SEGUNDO. Se multiplican las fracciones.
a) 62
de 53
= 62
53
6 52 3
306
??
?= =
b) 31
de 53
= 31
53
3 51 3
153
??
?= =
71. ● Calculaysimplifica.
a) 21
38
de c) 43
512
de
b) 75
152
de d) 61
34
de
24. ●● Calcula.
a) La sexta parte de 43
.
b) La mitad de 85
.
c) La cuarta parte de 5
12.
79. ● Escribelainversadecadafracción.
a) 37
b) 56
c) 49
d) 78
81. ● Efectúalassiguientesdivisiones.
a) :53
32
c) :65
34
b) :47
29
d) :94
38
82. ● Resuelve.
a) :452
c) :327
b) :4
155 d) :
43
6
56
301279 _ 0040-0057.indd 56 08/07/11 20:33
83. ●● Realiza estas operaciones.
a) 7
1251
43
- +
b) :?53
57
56
71
+
c) :2
1331
516
47
- +
d) :5
13237
542
21
- +
e) : ?76
153
57
41
-
f) : :23
517
56
21
+
84. ●● Resuelve.
a) 95
67
32
- -e o d) : :38
76
23e o
b) 57
103
31
- +e o e) : :35
215
43e o
c) 125
83
32
+ -e o f) :53
101
27
+e o
85. ●● Calcula.
a) 411
252
- +e o d) :?59
32
53e o
b) :?43
65
27e o e) :
49
83
45
-e o
c) : ?76
54
27e o f) : :
87
25
23e o
PROBLEMAS CON FRACCIONES
87. ●● Pedro ha dedicado 31
parte de su tiempo
averlatelevisión,41
a jugar y 125
a estudiar.
¿Aquéactividadhadedicadomástiempo?
90. ●● En el parque han plantado árboles:
31
son chopos,
157
son cipreses
y 51
son encinas.
¿De qué tipo de árbol se ha plantado más?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?
93. En una fiesta se colocaron bombillas de colores. Al terminar solo funcionaba un cuarto de ellas. ¿Qué parte de las bombillas se fundió?
PRIMERO. Se expresan numéricamente el total y la parte.
TOTAL: Todas las bombillas " 1
PARTE: Bombillas que funcionaban " 41
SEGUNDO. Se restan para calcular la otra parte.
141
44
41
441
43
- = - = - =
Se fundieron las tres cuartas partes de las bombillas.
94. ●● Ana está pintando una pared. Si ya ha pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda por pintar?
95. ●● En un partido de baloncesto, Pedro ha encestado la sexta parte de los puntos, CarloslamitadyJuanelresto.
a) ¿QuéfraccióndelospuntoshahechoJuan?
b) ¿Quiénhaencestadomáspuntos?
96. ●● En una merienda, las 83
partes son bebida,
61
son patatas fritas y 31
frutos secos, siendo
el resto bocadillos. ¿Qué fracción representan los bocadillos?
97. ●● En el pueblo de Rocío, las tres cuartas partes de las fincas están sembradas de trigo, un quinto de maíz, y el resto no está sembrado.
a) ¿Qué fracción de las fincas está sembrada?
b) ¿Qué fracción de las fincas no lo está?
57
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Problemas contables
Esa mañana de invierno era particularmente clara, lo que en Escocia no es habitual. Junto a la ventana, un hombre entrado en años repasaba mentalmente su vida mientras se dejaba acariciar por los rayos del sol.
Se vio en la sala despidiéndose de su madre para ir a la universidad y recordó su consejo.
–Honra a tu familia y que tu nombre, John Napier, sea sinónimo de rectitud y nobleza–. Aquella fue la última frase que escuchó de ella y la última vez que la vio.
De sus pensamientos le sacaron dos niños que jugaban con unas tablillas: eran unas tablas que él había ideado y que servían para efectuar multiplicaciones.
Después de mirar a los niños, volvió al quehacer diario de repasar los libros contables de su propiedad, donde se podían apreciar sus gastos.
John Napier fue quien popularizó el uso de la coma como separador decimal.
1. ¿Quién fue John Napier? Busca información sobre su vida y sus aportaciones al mundo de las matemáticas y otras ciencias.
2. ¿A qué etapa de la vida de Napier crees que corresponde el episodio que se narra en este texto? ¿Podrías situarlo en un año concreto?
3. Investiga sobre las aportaciones de John Napier al estudio de los números decimales.
DESCUBRE LA HISTORIA...
4Números decimales
301279 _ 0058-0073.indd 58 08/07/11 20:37
EVALUACIÓN INICIAL
Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Identificar y leer números decimales.
• Comparar números decimales.
• Operar con números decimales.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades.
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad
6 3 0 0 5 2 1 5 8
630 052 158 = 6 C. de millón + 3 D. de millón + 5 DM + 2 UM + 1 C + 5 D + 8 U == 600 000 000 + 30 000 000 + 50 000 + 2 000 +100 + 50 + 8
630 052 158 se lee «seiscientos treinta millones cincuenta y dos mil ciento cincuenta y ocho».
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
5 decenas = 50 unidades
F
630 052 158
F
5 decenas de millar = 50 000 unidades
1 Descompón los siguientes números en sus diferentes órdenes de unidades.
a) 53 478 d) 23 002b) 3 408 924 e) 1 003c) 700 401 f) 67 003 984
2 Descompón estos números y escribe cómo se leen.
a) 45 009 c) 3 689b) 1 568 002 d) 56 005
3 Indica el valor de la cifra 3 en estos números.
a) 23 778 d) 13 003b) 3 008 204 e) 1 303c) 730 001 f) 37 003 934
1. Indica el valor de las cifras de estos números: 10 926 y 253 418.
En el sistema decimal, 10 unidades de un orden
forman una unidad del orden inmediato superior.
59
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Númerosdecimales
ANTES, DEBES SABER…
Qué son las unidades decimales
1 unidad → 1 U
1 U = 10 d1 d = 0,1 U
1 décima → 1 d
1 U = 100 c1 c = 0,01 U
1 centésima → 1 c
1 U = 1 000 m1 m = 0,001 U
1 milésima → 1 m
F F
F
Para expresar cantidades que representan partes de la unidad utilizamos las unidades decimales: décimas (d), centésimas (c), milésimas (m)…
Un número decimal es un número que se compone de:
• Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas…
• Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési-mas, diezmilésimas…
Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra decimal.
EJEMPLO
2 Descompón en sus órdenes de unidades el número 16,027.
Parte entera Parte decimal
Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas
1 6 0 2 7
16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001
El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».
1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Escribe con cifras.
a) Treinta y siete milésimas.b) Nueve unidades cuatro décimas.c) Cuatro unidades trescientas milésimas.
2 Escribe cómo se lee cada número.
a) 1,033 b) 0,09 c) 21,0021
3 Indica la parte entera y decimal.a) 112,45 c) 42,1 e) 25,07b) 0,25 d) 7,25 f) 0,003
4 Descompón en unidades estos números.a) 5,439 c) 0,88 e) 0,028b) 17,903 d) 75,043 f) 7,009
El número 3,4 se puede leer de estas maneras:
• 3 unidades 4 décimas• 3 unidades 40 centésimas• 3 coma 4• 3 con 4
...
1 U = 1 000 m1 m = 0,001 U
1 milésima → 1 m
60
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1.1 Representación de números decimales
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan números naturales
Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta.
1 2 3 4 5 6 7
Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas partes es una unidad de orden inmediatamente inferior.
EJEMPLO
3 Representa en la recta numérica 2,6 y 2,66.
El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3.
1.2 Comparación de números decimales
Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal:
1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.
2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con ma-yor parte decimal, comparada cifra a cifra.
EJEMPLO
4 Compara estos números: 7,1 y 7,101.
Expresamos 7,1 como 7,100.
Vemos que 7,100 y 7,101 tienen igual la parte entera e iguales también las cifras de las décimas y las centésimas, pero la cifra de las milésimas en 7,101 es mayor que en 7,1 → 7,1 < 7,101.
7 Representa, en una recta numérica,estos números: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32.
8 Completa con el signo que corresponda.
a) 3,2 4 3,08
b) 0,086 4 0,087
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Escribe los números representados.
a) 7 8
b) 8,3 8,4
c) 9,8 9,9
Al añadir ceros a la derecha de un decimal, el número sigue siendo
el mismo.
1,351,3501,35001,35000
• 5 > 25 es mayor que 2
• 2 < 52 es menor que 5
SE ESCRIBE ASÍ
Dividimos la unidad correspondiente en 10 partes iguales, que son las décimas.
Dividimos cada décima en 10 partes iguales, que son las centésimas.
El número 2,66 está comprendido entre 2,6 y 2,7.
2 2,6 3
2,6 2,66 2,7
61
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Suma y resta de números decimales
Para sumar o restar números decimales:
1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales.
2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, mante-niendo la coma en su lugar correspondiente.
EJEMPLOS
5 Efectúa 124,6 + 45,802 + 4,18.
Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales.
6 Calcula 3,4 - 0,987.
13,4 0 0- 0,9 8 7
2,4 1 3
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan sumas y restas combinadas
Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha.
Sin paréntesis Con paréntesis 14 - 5 + 3 = 9 + 3 = 12 14 - (5 + 3) = 14 - 8 = 6
EJEMPLO
7 Resuelve esta operación: 75,06 - 32,005 + 2,45
7 5,0 6 0- 3 2,0 0 5
4 3,0 5 5
4 3,0 5 5+3 2,4 5 0
4 5,5 0 5
F
2
1 2 4,6 0 04 5,8 0 2
+ 0 24,1 8 01 7 4,5 8 2
Solo podemos sumar o restar unidades
con unidades, décimas con décimas, centésimas
con centésimas...
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
11 Calcula.
a) 32,98 + 45,006 d) 0,56 - 0,249 b) 7 + 8,003 e) 8,42 - 5,3 + 0,77c) 3,456 - 0,098 f) 4,001 + 2,11 - 0,723
2 Realiza estas operaciones.
a) 345,98 + (56,008 - 22,98)b) 54,009 - 2,87 + (7,8 - 5,6)c) 19,79 - (34,57 + 97,28)
62
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Multiplicación de números decimales
Para multiplicar dos números decimales:
1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.
2.º Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda.
EJEMPLO
9 Calcula.
a) 34,5 ? 0,17 b) 6,815 ? 3,08
1 cifra decimal+
2 cifras decimales
3 cifras decimales
3 4,5# 0,1 7
2,4,1 53 4,5 05,8 6 5
G
G
G
3 cifras decimales+
2 cifras decimales
5 cifras decimales
6,8 1 5# 3,0 8
5 4 5,2 0 2,0 4 4 50 02 0,9 9 0 2 0
G
G
G
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se multiplica un número natural por la unidad seguida de ceros
Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, se le añaden al número tantos ceros como tenga la unidad.
12 ? 10 = 120 12 ? 100 = 1 200 12 ? 1 000 = 12 000
• Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.
• Para multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001…, despla-zamos la coma del número decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el factor 0,1; 0,01; 0,001…
EJEMPLO
10 Calcula.
a) 102,35 ? 10 = 1 023,5 F La coma se desplaza a la derecha un lugar.b) 59,87 ? 1 000 = 59 870 F La coma se desplaza a la derecha tres lugares.c) 12,39 ? 0,1 = 1,239 F La coma se desplaza a la izquierda un lugar.d) 8,17 ? 0,01 = 0,0817 F La coma se desplaza a la izquierda dos lugares.
3
G G G
16 Realiza estas multiplicaciones.
a) 42,6 ? 10 b) 123,77 ? 0,001 c) 765,3 ? 100
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
15 Calcula.
a) 42,6 ? 5,9 b) 24,8 ? 0,05 c) 765,3 ? 3,8
DATE CUENTA
Al multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros o por 0,1; 0,01; 0,001…, si no hay suficientes decimales, añadimos ceros.
63
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División de númerosdecimales
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los términos de la división
Dividendo F 25 2 F Divisor05 12 F Cociente
Resto F 1
4.1 Un número decimal entre un número natural
Para dividir un número decimal entre un número natural:
1.º Realizamos la división como si fueran números naturales. 2.º Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el co-
ciente. 3.º Continuamos la división.
EJEMPLO
11 Calcula 11,35 : 5.
1 1,3 5 5 1 3 2,2 7 3 5 0
Al bajar la primera cifra decimal, 3, ponemos una coma en el cociente y continuamos la división.
4.2 Un número natural entre un número decimal
Para dividir un número natural entre un número decimal:
1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
2.º Realizamos la división como si fueran números naturales.
EJEMPLO
12 Calcula 1 914 : 1,5.
1 914 : 1,5 F 1,5 10 15??
1914 10 19 140==
) F 1 9 1 4 0 150 4 1 1 2 7 6 1 1 4 0 9 0 0
4
19 Calcula.
a) 42,6 : 3 b) 399,5 : 17 c) 23,4 : 9
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Realiza estas operaciones.
a) 34,5 : 2 b) 14,06 : 7 c) 3,108 : 5
Propiedad de la división
Al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo
número, el cociente no varía.
64
301279 _ 0058-0073.indd 64 08/07/11 20:37
4.3 Un número decimal entre un número decimal
Para dividir un número decimal entre un número decimal:
1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
2.º Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el caso de la división de un número deci-mal entre uno natural.
EJEMPLO
13 Calcula 7,2 : 0,16.
7,2 : 0,16 F ,
,??
07 2 100 7200 16 100 16
==
) F 7 2 0 1 60 8 0 4 5 0
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se dividen decenas, centenas y millares por la unidad seguida de ceros
Se suprimen tantos ceros en el dividendo como ceros tenga la unidad.
2 300 : 10 = 230 2 700 : 100 = 27 12 000 : 1 000 = 12
• Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, des-plazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.
• Para dividir un número decimal entre 0,1; 0,01; 0,001…, desplaza-mos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga 0,1; 0,01; 0,001…
EJEMPLO
14 Calcula.
a) 56,87 : 10 = 5,687 d) 56,87 : 0,1 = 568,7
b) 4,6 : 100 = 0,046 e) 4,6 : 0,01 = 460
c) 13 735 : 1 000 = 13,735 f) 13 735 : 0,001 = 13 735 000
G G G
25 Resuelve.
a) 9 268 : 1 000 c) 3,85 : 0,01 e) 1,8 : 100b) 3,24 : 100 d) 46,97 : 10 f) 61,2 : 0,1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Calcula.
a) 129,6 : 3,6 c) 16,32 : 0,34b) 19,1 : 3,82 d) 19,8 : 1,65
Si en el dividendo quedan decimales:
5,67 : 3,4 F )5,67 · 10 = 56,7
3,4 · 10 = 34
5,67 3,4 F 56,7 3422,7 1,622,3
DATE CUENTA
• Multiplicar por 0,1 es lo mismo que dividir entre 10.
7,4 ? 0,1 = 7,4 : 10
• Dividir entre 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10.
7,4 : 0,1 = 7,4 ? 10
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Números decimales y fracciones
ANTES, DEBES SABER…
Cuál es la prueba de la división
Si una división está bien hecha, se cumple: 26 6 2 4
2 < 626 = 6 ? 4 + 2
• Resto < divisor• Dividendo = divisor ? cociente + resto
5.1 Obtención de decimales en un cociente
Si la división no es exacta, podemos obtener en el cociente tantas cifras decimales como queramos. Para ello añadimos una coma en el dividendo y tantos ceros como decimales queremos obtener.
EJEMPLO
15 Divide 17 entre 6 y escribe en cada caso el cociente y el resto.
a) Cociente sin cifras decimales.
1 7 6 5 2
Dividendo = 17 ?
65 17 6 2 5
DivisorResto
==
= +"2Cociente = 2
b) Cociente con una cifra decimal.
1 7,0 6 5 0 2,8 2
Si el cociente debe tener una cifra decimal, hay que añadir al dividendo una coma y un cero.
Dividendo = 17 , , ,?6
0 2 17 6 2 8 0 2DivisorResto
==
= +"2Cociente = 2,8
c) Cociente con dos cifras decimales.
1 7,0 0 6 5 0 2,83 2 0 2
Si el cociente debe tener dos cifras decimales, hay que añadir al dividendo una coma y dos ceros.
Dividendo = 17 , , ,?6
0 02 17 6 2 83 0 02DivisorResto
==
= +"2Cociente = 2,83
d) Cociente con tres cifras decimales.
1 7,0 0 0 6 5 0 2,833 2 0 2 0 2
Si el cociente debe tener tres cifras decimales, hay que añadir al dividendo una coma y tres ceros.
Dividendo = 17 , , ,?6
0 002 17 6 2 833 0 002DivisorResto
==
= +"2Cociente = 2,833
5
4 Divide 517 entre 4.
a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal.
28 Calcula los cocientes con dos cifras decimales.
a) 23 : 3 b) 47 : 12 c) 102 : 7 d) 143 : 22
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
66
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5.2 Expresión de una fracción como número decimal
ANTES, DEBES SABER…
Qué son las fracciones decimalesLas fracciones decimales son las fracciones que tienen por denominador la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1 000…
, ,1025
10034
100075
" Son fracciones decimales.
Cómo se expresa una fracción decimal como número decimalPara escribir una fracción decimal en forma de número decimal, se escribe el numerador de la fracción y se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador.
EJEMPLO
1 Escribe estas fracciones como números decimales.
a) 1025
b) 10034
c) 1000
75
,1025
2 5= ,10034
0 34= ,1 000
750 075=
Para expresar una fracción como número decimal se divide el nume - rador entre el denominador.
EJEMPLO
16 Expresa estas fracciones como número decimal.
a) : ,4 5 0 854
=" b) 635
" 35 : 6 = 5,83…
35 6 50 5,83 20 2
40 5 0 0,8
G G G
Si es necesario, al escribir una fracción
decimal como número decimal se añaden ceros.
341 000
= 0,034
3 ceros " 3 cifras decimales
5 Decide si estas fracciones son fracciones decimales.
a) 103
b) 2012
c) 1 000233
6 Escribe estas fracciones como números decimales.
a) 10
172 b)
10047
c) 1 000
2
32 Expresa estas fracciones como número decimal.
a) 10039
c) 1077
b) 63
d) 129
34 Expresa como números decimales.
a) 313
b) 113
c) 127
d) 133
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
67
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Unidades decimales
17,208
Número decimal
17,208
2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES
Calcula. a) 123,456 + 34,06 b) 12,71 - 9,327
PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.
a) 1 2 3,4 5 6+ 3 4,0 6 0
b) 1 2,7 1 0- 9,3 2 7
SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en el lugar correspondiente.
a) 1 2 3,4 5 6+ 3 4,0 6 0
1 5 7,5 1 6
b) 1 2,7 1 0- 9,3 2 7
3,3 8 3
Décimas
Centésimas
Milésimas
F
F
F
Parte decimalParte entera F F
HAZLO DE ESTA MANERA
1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES
PRIMERO. Comparamos la parte entera de los distintos números. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.
El número menor es 11,901.
SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamos su parte decimal.
Para ello, añadimos ceros hasta tener las mismas cifras decimales en ambos números. Después, comparamos las cifras que representan las décimas; si son iguales, pasamos a las centésimas, milésimas…, hasta que las cifras sean diferentes.
Es mayor el número con mayor parte decimal, comparado cifra a cifra. 11,901 < 12,9 < 12,901
Ordena, de menor a mayor: 12,9; 12,901; 11,901.
12,9 12,901 11,901
= >
12,900 12,901
12,9 < 12,901
=
=
<
68
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Comprende estas palabras
1. Descompón estos números.a) 27,45 b) 3,786 c) 1 203,003
1. Indica la parte entera y la parte decimal de estos números decimales.a) 13,24 b) 3,86 c) 0,007
Comparar números decimales
3. Ordena, de menor a mayor, estos números:
7,009 7 7,9 7,09
Sumar y restar números decimales
4. Calcula: 4,339 + 0,589 - 2,365
Multiplicar números decimales
5. Realiza las siguientes multiplicaciones.
a) 6,59 ? 4,3 b) 65,9 ? 4,3 c) 0,659 ? 43
Dividir números decimales
6. Efectúa estas divisiones.
a) 13 824 : 3,2 b) 13,824 : 3,2 c) 13,824 : 32
Y AHORA… PRACTICA
4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES
• División de un número decimal entre un número natural
PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales.
SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente.
• División de un número natural entre un número decimal
PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
b) : ,,
??
1306 0 41306 10 13 0600 4 10 4
==
" )
SEGUNDO. Realizamos la división como si fueran números naturales.
• División de un número decimal entre un número decimal
PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
c) :13,06 0,413,06 10 130,60,4 10 4
??
==" )
SEGUNDO. Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el primer caso.
3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES
Calcula 13,076 ? 14,02.
PRIMERO. Multiplicamos los decimales como si fueran números naturales.
SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda.
Calcula. a) 13,06 : 4 b) 1 306 : 0,4 c) 13,06 : 0,4
1 3,0 7 6# 1 4,0 2
2 6 1 5 25 2 3 0 4
1 3 0 7 61 8 3,3 2 5 5 2
3 cifras decimales
2 cifras decimales
5 cifras decimales
F
F
F
a) 1 3,0 6 41 0 3,2 6
2 62
1 3 0 6 0 41 0 3 2 6 5
2 62 0
0
1 3 0,6 41 0 3 2,6
2 62
69
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ActividadesNÚMEROS DECIMALES
43. ● Descompón en unidades los siguientes números decimales.
44. ● Escribe cómo se lee cada número.
a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019
45. ● Completa.
a) En 3 unidades hay 4 décimas.b) En 12 decenas hay 4 centésimas.c) En 5 unidades hay 4 milésimas.d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas.
46. ● Escribe los números decimales que correspondan en cada caso.
a) 2 C 7 D 9 U 3 db) 1 D 2 U 4 mc) 7 U 4 cd) 8 C 9 U 6 d
e) 7 UM 6 D 7 cf) 4 CM 7 U 8 d 3 m
7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales.
a) 9,23 d) 4,065b) 12,856 e) 8,004c) 3,892 f) 65,903
47. ● Escribe con cifras.
a) Nueve décimas.b) Cuatro unidades quince centésimas.c) Nueve unidades ciento ocho milésimas.d) Dos unidades mil diezmilésimas.
48. ● Escribe los números que sean una centésima menor.
a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099
49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133.
50. ● ¿Qué número está representado en cada caso?
a) 3 4
9,71 9,72b)
8. ● Indica qué números están representados en estas rectas.
a) 6,2 6,3
9,83 9,84b)
51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda.
a) 0,231 4 0,235 c) 3,87 4 3,85b) 0,710 4 0,83 d) 5,12 4 3,12
52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.
53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.
9. ● Ordena de menor a mayor.
a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199
10. ● Copia y completa con números para que las desigualdades sean ciertas.
a) 6,145 < 6,11b) 0,734 < 0,736c) 0,407 < 0,45
11. ●● Halla todos los números decimales que cumplen la condición que se indica en cada caso. Después, ordénalos de mayor a menor.
a) 8, La suma de estas dos cifras es 9.
b) 0, El producto de estas dos cifras es 24.
43,897
135,903
29,876
Parte entera
C D U d c m
Parte decimal
70
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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
12. ● Suma estos números decimales.
a) 7,45 + 9,03 c) 8,002 + 12,4b) 0,834 + 12,8 d) 7 + 9,902
56. ● Calcula.
a) 32,35 - 0,89 c) 87,65 - 9,47b) 81,002 - 45,09 d) 4 - 2,956
57. ● Efectúa las operaciones.
a) 4,53 + 0,089 + 3,4b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28d) 78,098 - 43,68 - 0,008
13. ● Efectúa las siguientes operaciones.
a) 0,974 + 125,86 c) 82,46 + 99,6 - 70,07b) 29 - 3,756 d) 103,5 - 89,98 + 23,378
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES?
14. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto.
a) 12,99 + 4 = 98,3b) 7,45 - 4 = 3,99c) 4 - 7,774 = 987,9
PRIMERO. Se identifica el término desconocido.a) Es uno de los sumandos de una suma.b) Es el sustraendo de una resta.c) Es el minuendo de una resta.
SEGUNDO. Si el término es:• Un sumando, se obtiene restando al resultado
el otro sumando.• El sustraendo, se obtiene restando al minuendo
el resultado.• El minuendo, se obtiene sumando al resultado
el sustraendo.a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674
15. ●● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces.
a) 39,25 + 4 = 125,86b) 17,129 - 4 = 7,464c) 99,542 - 4 = 66,413d) 4 - 303,987 = 259,137e) 4 - 25,06 = 427,07f) 4 + 33,98 = 59,01
58. ●● Completa.
a) 3,313 + 4 = 6,348b) 4 + 1,47 = 5,8921c) 4,56 - 4 = 0,936d) 4 - 2,431 = 1,003
59. ●● Resuelve.
a) Suma 4 centésimas a 4,157.b) Resta 3 décimas a 1,892.c) Suma 7 milésimas a 5,794.d) Resta 23 centésimas a 3,299.e) Suma 3 milésimas a 1,777.
16. ●● Efectúa estas operaciones.
a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07.b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36.c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008.d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892.e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456.f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82.
60. ● Calcula.
a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000 b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001
61. ● Resuelve.
a) 5 : 0,06 g) 30 : 10b) 8 : 1,125 h) 636 : 100c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001
71
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?
62. Calcula 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65).
PRIMERO. Se realizan las operaciones entre paréntesis.
4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27
SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, las sumas y restas en el mismo orden.
4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09
63. ●● Opera, respetando la jerarquía de las operaciones.
a) 134,5 : 2,5 + 12,125b) 2,75 ? (4,605 - 3,5) + 1,37c) 5,7 + 6,225 : 7,5 - 0,39d) (4,987 + 0,875) : 1,5 + 3,094e) 12,3 : 8,2 ? 2,5 - 3,29f) 9,6 ? 2,4 - 8,5 ? 1,27g) 0,05 + (11,3 - 3,2) : 0,09h) 44,4 : 0,002 ? 1,7 - 2,9 ? 3,1
NÚMEROS DECIMALES Y FRACCIONES
17. ● Divide 238 entre 5 y escribe en cada caso el cociente y el resto.
a) Sin cifras decimales.b) Con una cifra decimal.
18. ● Calcula cada uno de estos cocientes con tres cifras decimales.
a) 54 : 7 c) 29 : 7 e) 105 : 11b) 87 : 9 d) 76 : 13 f) 245 : 32
19. ● Decide si son fracciones decimales.
a) 10
156 b)
4517
c) 6237
d) 1008
20. ● Expresa como número decimal estas fracciones decimales.
a) 1035
c) 10023
e) 10047
b) 1 000234
d) 1 0003
f) 1005
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE ESCRIBEN ALGUNOS NÚMEROS DECIMALES COMO FRACCIÓN DECIMAL?
21. Expresa como fracción decimal estos números decimales.
a) 24,03 b) 0,147
PRIMERO. Se escribe como numerador de la fracción el número decimal sin coma.a) Numerador " 2 403b) Numerador " 147
SEGUNDO. Se escribe como denominador de la fracción la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
a) ,24 031002 403
=
2 cifras decimales " 2 ceros
b) ,0 1471 000147
=
3 cifras decimales " 3 ceros
22. ● Escribe en forma de fracción decimal estos números decimales.
a) 89,003 d) 12,044b) 45,02 e) 0,097c) 0,009 f) 9,3
23. ● Expresa como fracción decimal.
a) 9,87 d) 1,2345b) 1,023 e) 8,00064c) 0,0099 f) 6,7321
72. ●● Escribe en forma de fracción. Simplifica siempre que sea posible.
a) 7 décimas. b) 13 centésimas. c) 4 milésimas.d) 11 diezmilésimas.e) 35 décimas.f) 9 centésimas.
73. ●● Completa.
a) ,9 696
=4
c) ,1 23123
=4
b) ,12 38912 389
=4
d) ,0 331331
=4
GG
72
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PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES
80. ● En un pueblo hay cuatro líneas de autobuses. Observa en la tabla la distancia que recorre cada uno de ellos. ¿Cuál recorre mayor distancia? ¿Y menor?
Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4
8,409 km 8,5 km 8,45 km 9,05 km
81. ●● La suma de dos números decimales es 52,63. Si uno de los sumandos es 28,557, calcula el otro sumando.
82. ●● Cierto día, la temperatura a las 8 de la mañana era de 10,5 °C, y a las 12 del mediodía era de 17,3 °C. ¿Cuántos grados hay de diferencia?
83. ●● Las alturas de tres amigos suman 5 m. María mide 1,61 m y Luis mide 1,67 m. Halla cuánto mide Alberto.
84. ●● En un ascensor se cargan 5 bolsas de 12,745 kg cada una. Suben dos personas que pesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más que pese 86,7 kg?
85. ●● Jaime va a la compra y lleva una cesta que pesa 1,5 kg. Compra dos bolsas de naranjas que pesan 3,4 kg cada una. ¿Cuántos kilos pesa en total la compra?
86. ●● En una fábrica de refrescos se preparan 4 138,2 litros de refresco de naranja y se envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes necesitan?
87. ●● Andrés corta un listón de madera de 3,22 m en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos obtiene?
88. ●● Laura ha hecho 43,5 kg de pasta y la quiere empaquetar en cajas de 0,250 kg. ¿Cuántas cajas necesita?
89. ●● En un río de 7,2 km de largo se han puesto carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km. ¿Cuántos carteles se han puesto?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA LA FRACCIÓN DE UN DECIMAL?
90. Se dispone de 24,88 kg de mezcla de café de distinta procedencia. Si las tres cuartas partes son de origen africano, ¿qué cantidad de café africano hay?
PRIMERO. Se multiplica por el numerador de la fracción. 3 ? 24,88 = 74,64
SEGUNDO. Se divide el resultado entre el denominador. 74,64 : 4 = 18,66En la mezcla hay 18,66 kg de café africano.
91. ●● La mitad del peso de un bote de mermelada de 500 g corresponde a fruta.
a) ¿Cuál es el peso de la fruta en kilos?b) ¿Cuántos botes se necesitan para que el total
de fruta sea 6,75 kg?
92. ●● Una camisa cuesta 20,95 €. Por estar rebajada nos descuentan la quinta parte de su valor, y por pagar en efectivo, la veinteava parte. ¿Cuál es su precio final?
93. ●● María ha ido al banco a cambiar 45,50 € en dólares. Por cada euro le han dado 0,96 dólares. ¿Cuántos dólares tiene en total?
73
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51. Busca información
sobre las matemáticas en la antigua China.
2. Investiga sobre la dinastía Tang y el funcionamiento de la sociedad china en esa época.
3. Averigua cuáles fueron los orígenes de los números negativos y su utilización en las distintas culturas.
DESCUBRE LA HISTORIA...
Los números rojos
Fu Chang estaba seguro de que el comité reconocería su valía tanto en redacción, literatura y poesía como en matemáticas. El acceso al puesto de funcionario durante la Dinastía Tang (618-907) era muy difícil, pero merecía la pena por sus beneficios económicos y sociales.
–Cuando den su aprobación –pensaba Fu–, seré funcionario imperial.
El aspirante a mandarín se veía a sí mismo vestido con maravillosas prendas de seda bordada, con criados que lo transportaban en un palanquín finamente adornado.
La escalera que nacía entre los dos dragones lo condujo al recinto donde el tribunal esperaba para notificarle los resultados.
El más anciano de los sabios le dijo:–Tu forma de diferenciar las deudas y las cantidades que tenemos mediante los colores rojo y negro, respectivamente, representa una innovación y merece ser premiada con el puesto.
En la actualidad nadie recuerda a Fu Chang; sin embargo, las deudas bancarias se siguen denominando números rojos en lugar de números negativos.
Números enteros
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Conocer y representar números enteros.
• Hallar el valor absoluto y el opuesto de un número entero.
• Comparar números enteros.
• Operar con números enteros.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Operaciones de suma y resta
Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.
10 - 7 + 8 - 3 - 2 = 3 + 8 - 3 - 2 = 11 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7
Operaciones de suma y resta con paréntesis
Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
10 + 5 - (7 - 3 + 2) - 1 = 10 + 5 - (4 + 2) - 1 = 10 + 5 - 6 - 1 = 15 - 6 - 1 = 9 - 1 = 8
Operaciones de suma, resta, multiplicación y división
Primero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
4 + 3 ? 2 - 15 : 3 = 4 + 6 - 15 : 3 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5
Operaciones de suma, resta, multiplicación y división con paréntesis
El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 10 + (5 - 3) ? 4 - 6 : 2 =
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. = 10 + 2 ? 4 - 6 : 2 =
2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. = 10 + 8 - 3 =
3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. = 18 - 3 = 15
Si hay paréntesis debemos eliminarlos resolviendo primero
las operaciones de su interior.
FF
F
FF
F F
FF
F
FF
F
Paréntesis
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza estas operaciones de suma y resta.
a) 4 + 7 – 5 + 3 – 6 b) 12 - 5 + 6 - 7
2 Resuelve estas operaciones con paréntesis.
a) 15 - (4 + 7) + (5 - 3 + 1) b) 9 + (5 - 3 + 4) - (4 - 3)
3 Halla el resultado de estas operaciones.
a) 4 + 3 · 2 - 7 + 10 : 2 b) 12 + 18 : 2 - 3 · 2 + 1
4 Calcula.
a) 2 + (7 + 4) · 3 - 12 : (5 + 1) b) 5 - ( 6 - 4) : 2 + ( 4 + 3) · 2
75
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Númerosenteros
Hay expresiones cotidianas que no pueden indicarse con números natura-les. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros.
ANTES, DEBES SABER…
Para qué se utilizan los números enteros
Hay situaciones en las que es necesario utilizar números negativos:• 4 grados bajo cero " -4 °C• Debemos 100 € " -100 €• El garaje está en el tercer sótano " -3
Los números enteros son números precedidos del signo + o -, depen-diendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero.
En el conjunto de los números enteros podemos diferenciar:
• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…, que son los números naturales.
• El número 0.• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…
1.1 Representación en la recta numérica
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan los números naturales en una recta
• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos números como unidad.
• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números.
1 2 3 4 5
Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica:
• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.• Fijamos el 1 y elegimos como unidad su distancia al origen.• Desplazamos dicha unidad a la derecha del cero, para representar
los enteros positivos, y a la izquierda, para representar los negativos.
1El 0 es el único número
entero que no es positivo ni negativo.
SE ESCRIBE ASÍ
Los números positivos se escriben habitualmente sin el signo + que los precede:
+7 = 7 +23 = 23
Números enteros negativos Números enteros positivos
0-8… …-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8644444444444474444444444448 644444444444474444444444448
2 Completa los números que faltan.
a)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa con un número.
a) Debo cuatro euros a mi amigo.b) Estamos a cinco grados bajo cero. -9 -7 -5 -2 04 4 44 4
76
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NO OLVIDES
El valor absoluto de cero es cero.
0 0; ;=
1.2 Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero se escribe entre dos barras, ; ;, y es igual al número sin su signo:
b b; ;+ = a a; ;- =
EJEMPLO
2 Calcula el valor absoluto de -3 y +6.
3 3; ;- = 6 6; ;+ =
1.3 Opuesto de un número entero
Para calcular el opuesto de un número se le cambia de signo.
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
EJEMPLO
3 Halla el opuesto. a) -4 b) +5
a) Op (-4) = +4 b) Op (+5) = -5
Comparación de números enteros
De dos números enteros es mayor el que está situado más a la derecha en la recta numérica.
EJEMPLO
4 Compara estos números. a) +5 y +2 b) -4 y -7 c) +6 y -3
a) +2 < +5
0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6
b) -7 < -4
0-5-7 -6 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5
c) -3 < +6
0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
2
14 Ordena, de menor a mayor.
-6, +5, +7, 0, -11, -4, +9, +13, -16
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Calcula.
a) 7; ;+ b) 1; ;- c) 22; ;+ d) 41; ;-
El cero es mayor que cualquier número negativo
y menor que cualquiera positivo.
77
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Suma y restade dos números enteros
3.1 Suma de dos números con el mismo signo
Para sumar dos números enteros del mismo signo:1.º Se suman sus valores absolutos.2.º Al resultado se le añade el mismo signo de los números.
EJEMPLO
6 Resuelve estas sumas de números enteros.
a) (+3) + (+4) = +7
3 34 4
3 4 7; ;
; ;
+ =
+ =+ ="4
b) (-2) + (-7) = -9
2 27 7
2 7 9; ;
; ;
- =
- =+ ="4
c) (+8) + (+4) = +12
4
4 128 84
8; ;
; ;
+ =
==
++"4
d) (-5) + (-3) = -8
5 5
335 3 8
; ;
; ;
- =
- ==+"4
3.2 Suma de dos números con distinto signo
Para sumar dos números enteros de distinto signo:1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor).2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor
absoluto.
EJEMPLO
6 Resuelve estas sumas de números enteros.
a) (-7) + (+5) = -2
27 75 5
7 5; ;
; ;
+ =
+ ==-"4
b) (-5) + (+9) = +4
5 59 9
9 5 4; ;
; ;
- =
==
+-"4
c) (+5) + (-4) = +1
5 54 4
5 4 1; ;
; ;
+ =
- =- ="4
d) (+8) + (-11) = -3
8 811 11
11 8 3; ;
; ;
+ =
- =- ="4
3
Al sumar 0 a cualquier número entero, se obtiene
el mismo número.(+5) + 0 = +50 + (–7) = –7
18 Calcula.
a) (+4) + (+12) b) (+4) + (-12)
20 Indica, sin realizar la operación, qué signo tendrá el resultado.
b) (-7) + (+5) c) (-7) + (-5)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula.a) (+5) + (+7) b) (-5) + (-7)
2 Calcula.a) (+5) + (-7) c) (+6) + (-3)b) (-5) + (+7) d) (-6) + (+3)
78
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3 Calcula.
a) (+9) - (-15) e) (-12) - (+8)b) (+9) - (-15) f) (+12) - (+8)c) (-9) - (+15) g) (-12) - (-8)d) (-9) - (+15) h) (+12) – (-8)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
19 Resuelve.
a) (+5) - (-6) e) (-3) - (+9)b) (+5) - (+6) f) (-3) - (-9)c) (-5) - (-6) g) (+3) - (+9)d) (-5) - (+6) h) (+3) - (-9)
3.3 Resta de dos números
Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo.
EJEMPLO
7 Resuelve estas restas de números enteros.
a) (+3) - (+4) = (+3) + Op (+4) = (+3) + (-4) = -1
3 34 4
4 3 1; ;
; ;
=
- =
+- ="4
b) (+8) - (-11) = (+8) + Op (-11) = (+8) + (+11) = +19
8 8
11 118 11 19
; ;
; ;
+ =
+ =+ ="4
c) (-3) - (-7) = (-3) + Op (-7) = (-3) + (+7) = +4
3 37 7
7 3 4; ;
; ;
=
+ =
-- ="4
d) (+11) - (-8) = (+11) + Op (-8) = (+11) + (+8) = +19 F
1 11 18 8
11 8 19; ;
; ;
+ =
- =+ ="4
e) (-6) - (+5) = (-6) + Op (+5) = (-6) + (-5) = -11 F
6 65 5
6 5 11; ;
; ;
- =
=-+ ="4
f) (-5) - (+6) = (-5) + Op (+6) = (-5) + (-6) = -11 F
5 56 6
5 6 11; ;
; ;
- =
- =+ ="4
F
F
F
79
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Suma y restade varios números enteros
En las operaciones de sumas y restas seguimos estas reglas:
REGLA 1. Al primer sumando se le eliminan los paréntesis, y si su sig-no es positivo, se escribe sin signo.
(+5) + (-4) = 5 + (-4) (-5) + (-4) = -5 + (-4)
REGLA 2. Al quitar los paréntesis precedidos del signo +, el signo que se mantiene es el del número.
(-7) + (+2) = -7 + 2 (-7) + (-2) = -7 - 2
REGLA 3. Al quitar los paréntesis precedidos del signo -, el signo que se escribe es el de su opuesto.
(-4) - (+3) = (-4) + (-3) = -4 - 3
Tras aplicar estas reglas, la expresión queda escrita en forma abreviada.
EJEMPLOS
1 Escribe de forma abreviada la siguiente expresión.
F
Regla 1. Eliminamos paréntesis del primer sumando.
(-7) - (+3 ) + (-9 ) - (-4) = -7 - (+3) + (-9 ) - (-4) =
F
Regla 2. Quitamos paréntesis precedidos de +.+ (+a) = +a + (-a) = -a
= -7 - (+3) - 9 - (-4) =
F
Regla 3. Quitamos paréntesis precedidos de -.- (+a) = -a - (-a) = +a
= -7 - 3 - 9 + 4
8 Escribe de forma abreviada esta expresión.
F
Regla 1
(+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 + (-5) - (+7) - (-3) == 4 - 5 - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3
F
Regla 2
F
Regla 3
4En la práctica:
+(+a) = +a –(+a) = –a
+(–a) = –a –(–a) = +a
22 Escribe de forma abreviada.
a) (-5) + (+8) - (-13) - (+9)b) (+23) - (-14) - (+35) + (-53)c) (-1) + (+5) + (+2) - (-12)d) (+3) - (+11) + (-6) + (+12)e) (-22) - (+11) - (-4) - (-1)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Escribe de forma abreviada.
a) (-5) - (+3) + (-7) b) (+5) - (+3) - (-7)c) (-5) - (-3) - (-7)d) (+5) + (+3) - (+7)e) (-5) - (+3) - (+7)
80
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Para resolver sumas y restas de varios números enteros:1.º Escribimos dicha operación de forma abreviada.2.º Sumamos los números que llevan signo +.3.º Sumamos los números que llevan signo -.4.º Restamos al primer resultado el segundo.
EJEMPLOS
2 Resuelve las siguientes operaciones expresadas en forma abreviada.
a) -4 - 2 + 8 - 1 + 3 = 11 - 7 = 4
F F
8 + 3 = 11 4 + 2 + 1 = 7
Números con signo +
Números con signo +
b) 5 - 7 + 4 - 10 + 6 = 15 - 17 = - 2
F F
5 + 4 + 6 = 15 7 + 10 = 17
Números con signo +
Números con signo +
9 Calcula:
F
Forma abreviada
(+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 = 7 - 12 = -5
F F
4 + 3 = 7 5 + 7 = 12
Números con signo +
Números con signo +
3 Halla el resultado de esta operación escribiéndola primero en forma abreviada.
F
Forma abreviada
(-2) + (+5) + (-6 ) - (-8) = - 2 + 5 - 6 + 8 = 13 - 8 = 5
F F
5 + 8 = 13 2 + 6 = 8
Números con signo +
Números con signo +
23 Calcula.
a) -5 - 8 - 4 + 15 - 18b) 10 + 12 - 11 + 9
d) 4 - 7 - 9 + 5e) 2 + 7 - 15 - 9f) -1 + 12 - 5 - 7c) 4 - 10 + 17 - 8 + 2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Calcula.
a) 5 + 7 d) -3 - 9b) -3 + 8 e) 7 - 9c) 9 - 6 f) -8 + 2
81
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Multiplicación y divisiónde números enteros
6.1 Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros:1.º Multiplicamos sus valores absolutos.2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de
igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLO
13 Resuelve estos productos.
a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24
b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24
6.2 División de números enteros
Para dividir dos números enteros:
1.º Dividimos sus valores absolutos.
2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLO
14 Resuelve estas divisiones.
a) (-18) : (-3) = +6 c) (+18) : (-3) = -6
b) (+18) : (+3) = +6 d) (-18) : (+3) = -6
6
F
Mismo signo
FMismo signoF
Mismo signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
Regla de los signos
+ ? +- ? -+ ? -- ? +
++--
F
Mismo signo
+ ? + = + – ? – = + + ? – = – – ? + = –
+ : + = +– : – = ++ : – = –– : + = –
6 Calcula.
a) (+5) ? (-7) d) (-18) : (+6) b) (-9) ? (+5) e) (+21) : (-7)c) (-3) ? (-6) f) (-25) : (-5)
30 Indica qué signo tendrá el resultado.
a) (-7) ? (+6) b) (-42) : (-6)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
28 Calcula.
a) (+17) ? (+5) c) (-13) ? (+9)
b) (+21) ? (-8) d) (-14) ? (-7)
29 Resuelve estas divisiones.
a) (+35) : (+5) c) (-45) : (+9)b) (+24) : (-6) d) (-42) : (-7)
82
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33 Calcula.
[(-4) ? (+5) + (-6) ? (-4)] : (6 - 4)
34 Resuelve:
[(-4) ? (-3)] - [(+10) : (-2)]
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Calcula.
a) (+5) + (-3) ? (+4)b) (+7) ? (-5) - (+16) : (-2)c) (-3) +[ (-4) + (+5)] ? (-3)d) [(-4) + (-7)] - (+5) ? (+3)
Operaciones combinadas con números enteros
Al igual que con los números naturales, las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo este orden:
1.º Se resuelven las operaciones que hay dentro de los corchetes y los paréntesis.
2.º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.
3.º Se efectúan las sumas y las restas en el mismo orden.
EJEMPLOS
11 Resuelve esta operación: 4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2)
F
F
4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) = 4 + (-12 + 3) - (-7) =
= 4 + (-9) + 7 = 4 - 9 + 7 = 11 - 9 = 2
12 Resuelve esta operación: (-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4)
(-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) = (-8) - [-3 + 6 + 5] - (+4) = = (-8) - [+3 + 5] - (+4) = = (-8) - (+8) - (+4) = = -8 - 8 - 4 = -16 - 4 = -20
4 Calcula.
a) (-6) ? (+3) + (-10) : (-2) =FMultiplicaciones y divisiones
= (-18) + (+5) =FSumas y restas
=-18 + 5 = -13
b) (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =FCorchetes y paréntesis
= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) == (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =FMultiplicaciones y divisiones
= (-20) + (-3) =FSumas y restas
= -20 - 3 = -23
7
F
Es importante respetar el orden
de las operaciones para obtener el resultado
correcto.
83
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Números enteros
• Números enteros positivos:+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7…
• El número 0.• Números enteros negativos:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…
Valor absoluto
a a; ;+ = a a; ;- = 0 0; ;=
Opuesto de un número
Op (+a) = -a Op (-a) = +aOp (0) = 0
Regla de los signos
(+) ? (+) = + (+) : (+) = +(-) ? (-) = + (-) : (-) = +(+) ? (-) = - (+) : (-) = -(-) ? (+) = - (-) : (+) = -
2. SUMAR DOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula.
a) (+7) + (+5) c) (-7) + (+5)
b) (-7) + (-5) d) (+7) + (-5)
• Si los sumandos tienen el mismo signo.
PRIMERO. Sumamos sus valores absolutos.
SEGUNDO. Añadimos el mismo signo de los sumandos.
a)
7 75 5
7 5 12; ;
; ;
=
=+ =
+
+"4
(+7) + (+5) = +12
b)
7 75 5
7 5 12; ;
; ;
- =
- =+ ="4
(-7) + (-5) = -12
• Si los sumandos tienen distinto signo.
PRIMERO. Restamos sus valores absolutos, al mayor el menor.
SEGUNDO. Añadimos el signo del sumando con mayor valor absoluto.
c)
7 75 5
7 5 2; ;
; ;
- =
+ =- ="4
(-7) + (+5) = -2
d)
7 75 5
7 5 2; ;
; ;
+ =
- =- ="4
(+7) + (-5) = +2
1. RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula.
a) (+8) - (+12) c) (-8) - (+12)
b) (-8) - (-12) d) (+8) - (-12)
PRIMERO. Hallamos el opuesto del númeroque restamos.
Op (-12) = +12 Op (+12) = -12
SEGUNDO. Sumamos al primer número el opuesto que hemos hallado.
a) (+8) - (+12) = (+8) + Op (+12) == (+8) + (-12) = -4
8 8
12 1212 8 4
; ;
; ;
=
- ==
+-"4
b) (-8) - (-12) = (-8) + Op (-12) == (-8) + (+12) = +4
8 8
12 1212 8 4
; ;
; ;
=
=- =
-
+"4
c) (-8) - (+12) = (-8) + Op (+12) == (-8) + (-12) = -20
8 8
12 128 12 20
; ;
; ;
=
- ==
-+"4
d) (+8) - (-12) = (+8) + Op (-12) == (+8) + (+12) = +20
8 8
12 128 12 20
; ;
; ;
+ =
==
++"4
HAZLO DE ESTA MANERA
FF
FF
84
301279 _ 0074-0089.indd 84 08/07/11 20:36
Comprende estas palabras
1. ¿Cuál es el valor absoluto de -7? ¿Y de +3?
2. ¿Cuál es el opuesto de -7? ¿Y de +3?
Sumar dos números enteros
4. Halla: (-6) + (-12)
1. Halla: (+3) - (-5)
Restar dos números enteros
5. Resuelve: (-6) - (-12)
2. Halla: (+5) - (+9)
Sumar y restar varios números enteros
6. Calcula:(-7) + (-5) - (-2) - (+4) + (+5)
Multiplicar y dividir números enteros
7. Halla: (-12) ? (-3)
Realizar operaciones combinadas con números enteros
8. Calcula (-4) + (-3) ? (-5) - (+8).
Y AHORA… PRACTICA
4. SUMAR Y RESTAR VARIOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula: (+5) + (-5) - (-7) - (+4) + (+9)
PRIMERO. Eliminamos los paréntesis del primer sumando, y si es positivo, se escribe sin signo.SEGUNDO. Quitamos los paréntesis precedidos del signo +, manteniendo los signos de los sumandos.TERCERO. Eliminamos los paréntesis precedidos del signo -, transformando los signos de los sumandos en sus opuestos.
CUARTO. Sumamos los números que llevan signo + y los números que llevan signo -.
QUINTO. Restamos al primer resultado el segundo.
5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) = = 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 = = 5 - 5 + 7 - 4 + 9 = = 21 - 9 =
= 12
5. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS
Calcula. a) (-5) ? (-4) b) (+20) : (-4)
PRIMERO. Multiplicamos o dividimos sus valores absolutos.a) ? ?5 4 5 4 20; ; ; ;- - = =
b) : :20 4 20 4 5; ; ; ;+ - = =
SEGUNDO. Al resultado le añadimos el signo + si ambos números tienen el mismo signo, o el signo - si son de signo distinto.a) (-5) ? (-4) = +20 b) (+20) : (-4) = -5
6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
Resuelve.
PRIMERO. Resolvemos los corchetes y paréntesis.SEGUNDO. Realizamos las multiplicaciones y divisiones.TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.
F
Mismo signo
F
Distinto signo
= (-10) ? (-3) - (+2) =
(-10) ? [(+6) : (-2)] - (+2) =
= +30 - (+2) =
= +28
F
F
F F
F
F
85
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ActividadesNÚMEROS ENTEROS
36. ● Utiliza los números enteros para expresar el valor numérico de estas afirmaciones.
a) El avión vuela a 2 700 m de altura.b) Luis trabaja en el segundo sótano.c) Marisa está en la planta baja.d) Estamos a 4 grados bajo cero.e) Ocurrió en el año 540 a.C.f) Debo 15 euros a mi madre.
37. ● Invéntate situaciones que correspondan a estos números.
a) +3 b) -3 c) +15 d) -330
38. ● Completa la siguiente recta:
-3 14 4 4 4 4
39. ● Representa estos números enteros en la recta numérica.
1 -3 5 -2 7 -6
40. ●● Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica.
a) A B C D
0 1
b) A B C D
0 1
41. ● Escribe todos los números enteros.
a) Mayores que -4 y menores que +2.b) Menores que +3 y mayores que -5.c) Menores que +1 y mayores que -2.d) Mayores que -5 y menores que +6.
42. ● Escribe los números enteros comprendidos entre -10 y +5.
43. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -3 y 3?
44. ●● ¿Cuántos números enteros están comprendidos entre -256 y 123?
45. ● De los siguientes números, ¿cuáles son enteros?
-5 45 32,12 -1 403 27
46. ● Halla el valor absoluto de estos números.
a) -3 b) -22 c) 15 d) 21
47. ● Calcula.
a) ;+3; d) ;-4;
b) ;-3; e) ;+5;
c) ;-7; f) ;-9;
48. ● ¿Qué valores puede tomar a en cada caso?
a) ;a; = 3 b) ;a; = 12
50. ● Escribe el opuesto de -3, 7, -12 y 5.
51. ● Indica cuántos números enteros están comprendidos entre:
a) +5 y su opuesto.
b) -7 y su opuesto.
c) Los opuestos de -3 y +2.
d) El opuesto de -4 y el opuesto de +5.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
52. ● Escribe el signo < o >, según corresponda.
a) -7 4 -12 c) -3 4 0
b) -2 4 2 d) -5 4 -3
53. ● Escribe el número anterior y posterior de los siguientes números.
a) 4 < 3 < 4 c) 4 < 12 < 4b) 4 < -3 < 4 d) 4 < -8 < 4
54. ● Halla un número entero que esté comprendido entre estos números.
a) -3 < 4 < 0 c) -8 < 4 < -5
b) 7 < 4 < 10 d) -4 < 4 < 1
55. ● Completa.
-8 < 4 < 4 < 4 < 4 < -3
56. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números:
-4 0 -6 7 -11 21 -3 12 -7 9
57. ● Escribe dos números enteros.
a) Menores que +4 y mayores que -2.
b) Menores que -3.
c) Mayores que -5.
d) Mayores que -3 y menores que 1.
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SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
58. ● Efectúa estas sumas.
a) (+12) + (+5) b) (-21) + (-11) c) (-14) + (+2)d) (+32) + (-17)
59. ● Completa la siguiente tabla:
a
-5
-8
-6
+4
+3
-2
+7
+9
b a + b b + a
60. ● Calcula.
a) 15 - (+4) c) 9 - (-7)b) 17 - (-3) d) 21 - (+9)
61. ● Resuelve.
a) -4 - (+7) b) -21 - (-13) c) -19 - (+8)d) -11 - (-6)
62. ● Completa la siguiente tabla:
a
-5
-8
-6
+4
-3
-2
+7
+9
b a - b b - a
63. ● Opera.
a) (+7) + (+5) + (-4) + (-4)b) (-8) + (+13) + (+21) + (-7)c) (+4) + (-9) + (+17) + (-6)d) (-16) + (+30) + (+5) + (-12)
8. ● Calcula.
a) (-8) + (-5) + (+7)b) (+ 6) + (+11) + (-2) + (+5)c) (-9) + (-8) + (+5) + (+4)d) (+ 12) + (-4) + (-7)
67. ● Calcula.
a) -7 - (-12) - (+3)b) +34 - (+11) - (+13)c) -9 - (-6) - (+12)d) -5 - (+11) - (-20)
68. ● Realiza las operaciones.
a) (+8) - (+9) + (-7)b) (-12) - (-3) + (+5)c) (+9) + (-13) - (-21)d) (-17) + (+5) - (+20)
69. ● Calcula.
a) -3 + (-2) + 7 - (-4)b) 9 - (+4) - (-6) - (-2)c) 5 - (-12) - (+9) + 8d) -4 + (-7) - (+9) - (-5)
72. ● Calcula.
a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19g) 3 + 5 - 9 - 7 - 5 - 7h) 2 - 2 - 2 - 2 + 4 - 1
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
9. ● Calcula.
a) (+ 3) ? (+4) c) (+ 3) ? (-4)b) (-3) ? (+4) d) (-3) ? (-4)
77. ● Calcula.
a) (+4) ? (-5) c) (-3) ? (-8)b) (+7) ? (+6) d) (-9) ? (+9)
78. ● Completa la siguiente tabla:
a
-3
+5
-8
+9
+6
-7
-4
+2
b a ? b b ? a
87
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE MULTIPLICAN VARIOS NÚMEROS ENTEROS A LA VEZ?
84. Resuelve: (-7) ? (-2) ? (+10)
PRIMERO. Se calcula el signo del resultado.
(-) ? (-) ? (+)
(+) ? (+) = +
SEGUNDO. Se multiplica el valor absoluto de los números y se añade el signo del resultado.
(-7) ? (-2) ? (+10) = +(7 ? 2 ? 10) = +140
85. ● Calcula.
a) (-2) ? (-3) ? (+5) c) (+7) ? (-2) ? (+3)b) (-4) ? (+3) ? (-2) d) (-9) ? (-5) ? (-2)
86. ● Halla estas divisiones.
a) (+35) : (+5) e) (+105) : (-3)b) (+45) : (-5) f) (+48) : (+12)c) (-42) : (+7) g) (-49) : (-7)d) (-54) : (-9) h) (-63) : (+3)
87. ● Resuelve.
a) (+290) : (+10) c) (-40) : (-10)b) (+1 500) : (-100) d) (-70) : (-10)
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIVIDEN VARIOS NÚMEROS ENTEROS A LA VEZ?
90. Resuelve: (-8) : (-2) : (+4)
PRIMERO. Se calcula el signo del resultado de la operación.
(-) : (-) : (+)
(+) : (+) = +
SEGUNDO. Se dividen los valores absolutos de los números y se añade el signo del resultado.
(-8) : (-2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1
91. ●● Calcula.
a) (+35) : (-7) : (-5)b) (-21) : (-7) : (-1)c) (-10) : (-5) : (+2)d) (+32) : (-8) : (-2)
OPERACIONES COMBINADAS
10. ●● Calcula.
a) (+ 5) - (-3) + [(+ 2) - (+7)] - (+3)b) (+7) + [(-8) - (+5)] - (-7)c) (- 2) - [(+ 3) + (-5) - (+7)] + (-5)d) [(-5) - (-8)] + (+5) - [ (+4) + (-3)]
70. ● Resuelve.
a) [-3 + 7] - [9 - (-2)]b) [-5 - (-9) - (+4)] + (-2)c) -14 - [-6 + (-11)]d) [12 - (+5)] + [-4 - (-6)]
71. ● Opera.
a) -5 - [3 + (-7) - (-6)]b) 19 + [-8 + (-5) + 3]c) [-6 + (-8)] - [9 - (+4)]d) 6 + [3 - 5 + (-9) - (-2)]
73. ● Realiza estas operaciones.
a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)e) 10 - (8 - 7) + (-9 - 3)f) 7 - (4 + 3) + (-1 + 2)g) -1 - (-1 + 2 - 5 + 4)h) 3 + (5 - 9) - (7 - 5 - 7)
11. ● Calcula.
a) (+ 5) - (-3) ? (+2)b) (-7) + (-8) : (+4) c) (+ 3) + (-5) - (+7) ? (-2)d) (-4) - (-8) : (+2) - (-3)
12. ●● Calcula.
a) (+ 4) - [(-3) + (-5)] ? (-2)b) [(-6) + (-7) + (+8)] ? (-3) + (+1)c) [(-3) + (-9)] ? (+2) + (-5) d) (-8) ? (+2) -[(+ 5) - (+4)] + (-7)
13. ●● Calcula.
a) (+ 5) - [(-8) + (-4) : (-2)] + (+5)b) [(-6) + (-3) ? (-2)] + (-4)
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92. ●● Calcula.
a) (-12) : 3 - [13 + 6 - (-2)]b) 21 : 3 - 4 ? (-3)c) 36 : (-4) + 5 ? (-2)d) (-3) ? 2 - (4 - 10 : 2)
93. ●● Realiza las operaciones.
a) (-4) - (-6) : (+3)b) (+5) : (-5) - (-7) ? (+2)c) (-11) - (+3) ? (-4) : (-6) - (-9)d) (-18) - [(+4) + (-6)] : (+2) + (+5)
94. ●● Resuelve.
a) 8 + 7 - 6 + 5 - 11 + 2b) (-12) ? 7 : 3c) 9 - 12 : 4d) 100 - 22 ? 5e) (-26) : 2 - 6 : 3 + 4
PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS
96. ● ¿Cuántos metros separan a un avión, que vuela a una altura de 8 500 m, de un submarino que está a 350 m bajo el nivel del mar?
97. ● El congelador de un frigorífico tenía una temperatura de -12 °C y, después, subió 5 grados. ¿Qué temperatura marca ahora?
98. ● En el indicador de un coche leemos que la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior de -3 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior?
99. ●● En una ciudad, a las seis de la mañana, el termómetro marcaba -10 °C, y a las 12 horas indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la temperatura en grados?
100. ● Sara aparca el coche en el tercer sótano y sube a la quinta planta. ¿Cuántas plantas sube Sara?
101. ●● María trabaja en la planta 15 de un edificio y aparca su coche 19 plantas más abajo. ¿En qué planta lo aparca?
102. ●● Cristina vive en el 3.er piso. Baja 4 plantas en ascensor para ir al trastero y luego sube 6 plantas para visitar a una amiga. ¿En qué piso vive su amiga?
103. ●● El matemático griego Tales de Mileto nació en el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió?
104. ●● Euclides, famoso geómetra, murió en el año 265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació?
105. ●● Cierto día, en una ciudad hubo 9 °C de temperatura máxima y -4 °C de mínima.
a) ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día?
b) ¿En algún momento del día, la temperatura pudo ser de 5 °C? ¿Por qué?
c) ¿Y de -7 °C? ¿Por qué?
106. ●● En un laboratorio de biología están estudiando la resistencia de un microorganismo a los cambios de temperatura. Tienen una muestra a 3 °C bajo cero, suben su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es la temperatura final de la muestra?
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61. Busca información
sobre la aparición del Álgebra y su desarrollo a lo largo de la historia.
2. Investiga qué es la heráldica y la simbología que utiliza.
3. Establece la relación que puede existir entre la heráldica y el Álgebra.
DESCUBRE LA HISTORIA...
El escudo de armasPor el camino que ascendía a la fortaleza avanzaba un soberbio caballo y, sobre él, un caballero cubierto por su armadura.
El guardia se dispuso a darle el alto para que se identificara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó pasar al desconocido.
–¿Qué haces, necio? –dijo el sargento encarándose con el guardia–. Puede que no sepas quién es, pero los símbolos de su escudo denotan su condición: el bezante y el aspa nos dicen que ha combatido en las cruzadas y nunca ha sido derrotado, y el cetro asegura que es de sangre real, así que en adelante fíjate más.
–Me fijaré más la próxima vez. La heráldica es una ciencia de símbolos –respondió el soldado, aliviado después de haber pasado el trance.
–No hace mucho tiempo hablé con un médico judío que había leído un manuscrito que explica cómo resolver situaciones con la ayuda de las matemáticas y los símbolos –explicó el sargento–. Creo que lo llamó Álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir cantidades desconocidas por símbolos o letras y operar, después, con los números.
En ese momento sonó la voz de alarma y un tropel de gente entró en el castillo. El jefe de la partida dio las novedades:
–Hemos capturado a tres exploradores enemigos; dicen que la mitad de su partida es infantería y el resto son exploradores y caballería; ellos son la cuarta parte de los exploradores y hay ochenta caballeros.
Iniciación al Álgebra
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Reconocer las expresiones algebraicas.
• Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.
• Sumar y restar monomios.
• Resolver ecuaciones sencillas de primer grado.
• Resolver problemas planteando ecuaciones sencillas de primer grado.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Valor absoluto
|+7| = 7 |0| = 0 |-7| = 7
Suma y resta de números enteros
Los números positivos se escriben
habitualmente sin el signo + que
los precede:
+3 = 3 +7 = 7
• Mismo signo
Sumamos los valores absolutos y dejamos el mismo signo.
3 + 7 = 10 -3 - 7 = - 10
9 + 4 = 13 -9 - 4 = - 13
• Mismo signo
Multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo positivo.
3 ? 4 = 12 210
5=
(-3) ? (-4) = 12 210
5-
-=
• Distinto signo
Restamos al mayor el menor y dejamos el signo del mayor
-3 + 7 = 4 3 - 7 = - 4
9 - 4 = 5 -9 + 4 = - 5
• Distinto signo
Multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo negativo.
(-3) ? 4 = -12 210
5-
=-
3 ? (-4) = -12 2
105
-=-
Multiplicación y división de números enteros
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza estas operaciones con números enteros.
a) 3 + 4 c) 5 - 7 e) -7 + 8b) 6 - 2 d) -3 - 7 f) -9 + 5
2 Calcula.
a) 3 - 4 + 5 d) -7 + 5 - 6 b) -9 + 2 + 4 e) -4 - 6 - 8 c) 12 - 3 - 9 f) 9 + 3 + 4
3 Obtén el resultado de estas multiplicaciones.
a) 3 ? 5 c) (-7) ? 3b) 4 ? (-3) d) (-3) ? (-6)
4 Calcula estas divisiones.
a) 28
c) 4
12-
b) 39-
d) 24
-
-
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Lenguajealgebraico
El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números.
EJEMPLO
1 Expresa en lenguaje numérico.
Lenguaje usual Lenguaje numérico
La suma de cuatro más tres 4 + 3 0Diez menos ocho 10 - 8 0El cuadrado de tres es nueve 32 = 90El triple de cinco es quince 3 ? 5 = 15
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo se utilizan letras para sustituir a números
• Paraexpresarlasrelacionesentrelostérminosdeunadivisiónsesuelenutilizar letras que representan cada uno de ellos.
D d Pruebadeladivisión" D = d ? c + rr c
• Paraexpresar,deformageneral,cómosecalculaeláreadealgunasfigurasgeométricasseutilizanletrasquerepresentansusmedidas.
A = b ? a
b
a h
b
?A
b h2
=
El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras.
EJEMPLO
2 Expresa en lenguaje algebraico.
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
La suma de dos números a + bUn número aumentado en 3 unidades y + 3El cuadrado de un número x2
El triple de un número 3 ? x
La mitad de un número es igual a 3 c2
3=
1
Las letras más utilizadas en el lenguaje
algebraico para representar cualquier número son:
x, y, z, a, b, c, d…
2 Expresa en lenguaje algebraico.
a) El doble de un número.b) La tercera parte de un número.c) El triple de un número menos su cuadrado.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa en lenguaje numérico.
a) El doble de cinco.b) La tercera parte de ochenta y siete.c) La mitad de ocho más tres.
92
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Expresiones algebraicas
Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizaremos expresio-nes algebraicas.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas.
EJEMPLO
1 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.
Expresiónescrita Expresiónalgebraica
Un número menos 2 unidades x - 2El triple de un número menos 2 3 ? (x - 2)
La mitad de un número más 1 x2
1+
Valor numérico
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calculan potencias
Unapotenciaesunaformaabreviadadeescribirunamultiplicaciónde factoresiguales.
52 = 5 ? 5 = 25 (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) = -125
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resul-ta de sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar las operaciones que se indican.
EJEMPLO
5 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores que se indican.
a) 2 ? x + 3,parax = 1.
2 ? x + 3 x = 1
---" 2 ? 1 + 3 = 2 + 3 = 5
b) x2 - 3 ? x,parax = -1 y para x = 2.
x2 - 3 ? x x = -1
-----" (-1)2 - 3 ? (-1) = 1 + 3 = 4
x2 - 3 ? x x = 2
-----" 22 - 3 ? 2 = 4 - 6 = -2
2
El valor numérico de una expresión algebraica varía
en función de los valores que toman las letras.
7 Hallalosvaloresnuméricosdelaexpresiónalgebraica x ? (x + 1) ? (x - 1) + 3 para:
a) x = 1 b) x = -1 c) x = 3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para x = 2.a) 3 ? x - 5 b) x2 + 3 ? x
93
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Monomios
Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están for-mados por productos de letras y números de manera que:
• El número (incluido su signo) se llama coeficiente.• La letra o las letras que lo acompañan se denominan parte literal.
EJEMPLO
6 Completa la tabla.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman o restan objetos
• Objetosiguales
• Objetosdiferentes
Suma y resta de monomios
Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes (números) de los sumandos, y mantiene la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma o resta se deja indicada.
EJEMPLO
7 Realiza estas operaciones entre monomios.
a) 3x + 2x = 5x
Semejantes
3 + 2
F
c)
3
8x + 7a
No semejantes
La suma se deja indicada.
F
SE ESCRIBE ASÍ
• En los monomios suprimimos el signo del producto.
3 ? x " 3x
• Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es 1.
7x " 7x1
• Cuando un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1.
x 3 " coeficiente 1
12 Efectúa.a) x + x + x b) 5a - 4a + 10a - a d) -2x2 + x2 + x2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Indicaelcoeficienteylaparteliteral.a) 2x3 c) 3zb) y 4 d) 8t3
+ = +
- =
c) 2t + 5r
Monomio Coeficiente Parteliteral
3 ? x 3 x
-5 ? a2 ? b3 -5 a2 ? b3
-2 ? a ? b -2 a ? b
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Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras.
EJEMPLO
2 Comprueba que 10 + x =16esunaecuación.
Si x = 1 " 10 + 1 = 11 " 11 ! 16. No se cumple la igualdad.Si x = 6 " 10 + 6 = 16 " 16 = 16. Se cumple la igualdad.La igualdad solo se cumple para algunos valores de x " Es una ecuación.
Elementos de una ecuación
• Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad.
• Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.
• Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en los términos, cuyos valores son desconocidos.
EJEMPLO
10 Indicalosmiembros,lostérminos ylasincógnitas deestaecuación.
a) 6x + 5 = 23 "6x + 5 = 23
Primer miembro Segundo miembro
Incógnita: xTérminos
La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.
EJEMPLO
3 Comprueba si x = 3 y x = -2sonsolucióndelaecuación6x + 5 = 23.
6x + 5 x = 3" 6 ? 3 + 5 = 23 " 23 = 23 " x = 3 es solución.
6x + 5 x = -2" 6 ? (-2) + 5 = -7 " -7 ! 23 " x = -2 no es solución.
4
5
El símbolo =/ se lee «distinto de».
6 =/ 9«6 es distinto de 9»
18 Decidedequéecuacionesessoluciónx = 2.a) x + 3 = 4 b) x + 7 = 9
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Indica,enlassiguientesecuaciones,susmiembros,términoseincógnitas.
a) x + 5 = 8 c) x2 - 4 = -x3 + 6
95
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Resolución de ecuacionesde primer grado
Resolver una ecuación es encontrar su solución, si esta existe.
Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita, utilizando estas reglas:
• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.
• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la so-lución de la ecuación.
EJEMPLO
14 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x + 2 = 4
Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. El 2, que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo:
x + 2 = 4 " x = 4 - 2
" x = 2Pasa restando
F
b) 2x = 4
Para despejar la x, pasamos el 2 que está multiplicando en el primer miembro, al segundo miembro, dividiendo:
Pasa dividiendo
F
2 4 2x x x24
= = =" "
b) 3x - 1 = x + 3
Pasamos el 1 del primer miembro al segundo, y la x del segundo al primer miembro.3x - 1 = x + 3 " 3x = x + 3 + 1 " 3x = x + 4 " 3x - x = 4 " 2x = 4
Para despejar la x, pasamos el 2 del primer miembro dividiendo al segundo:
2x = 4 " x = 24
" x = 2
7
Las ecuaciones 2x = 4 y 4 = 2x tienen
la misma solución:
x = 42
= 2
24 Hallalasolucióndelasecuaciones.
a) -2x + 4 = x +1 d) 2x - 1 = x - 1b) x - 8 = 2x - 6 e) 4x - 5 = 2x + 7c) 8x - 2 = 10x f) 5x - 1 = x + 7
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Resuelve estas ecuaciones.
a) x + 4 = 15 d) 3x = 6b) x - 8 = 9 e) 5x = -20c) x - 4 = -6 f) 6x = 18
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Resolución de problemas
Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos: 1.º Identificamos la incógnita. 2.º Planteamos la ecuación. 3.º Resolvemos la ecuación. 4.º Comprobamos e interpretamos la solución.
EJEMPLOS
4 El doble de una cantidad más 15 es igual a 27. ¿Cuál es la cantidad?
• Identificamos la incógnita. Llamamos x a la cantidad desconocida.
• Planteamos la ecuación.
Una cantidad x
El doble de esa cantidad 2x
El doble de la cantidad más 15 2x + 15
El doble más 15 es igual a 27 2x + 15 = 27
• Resolvemos la ecuación.
2x + 15 = 27 " 2x = 27 - 15 " 2x = 12 " x = 2
12 " x = 6
• Comprobamos e interpretamos la solución. La cantidad es 6. El doble de 6 es 12. Si le sumamos 15: 12 + 15 = 27 " La solución es válida.
5 El triple de un número menos 2 es igual al mismo número más 8. ¿Cuál es ese número?
• Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.
• Planteamos la ecuación.
Un número x
El triple de ese número 3x
El triple del número menos 2 3x - 2
El triple del número menos 2 es igual al mismo número más 8 3x - 2 = x + 8
• Resolvemos la ecuación.
3x - 2 = x + 8 " 3x - x = 8 + 2 " 2x = 10 " x = 2
10 " x = 5
• Comprobamos e interpretamos la solución. El número es 5. El triple menos 2: 3 ? 5 - 2 = 15 - 2 = 13
"3 La solución es válida. El número más 8: 5 + 8 = 13
8
5 El doble de un número más su triple es igual a 25. ¿De qué número se trata?
6 Un número es igual a su triple menos 8. ¿Cuál es el número?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 El triple de una cantidad menos 5 es igual a 7. Averigua la cantidad.
4 Una cantidad menos 15 es igual al doble de la cantidad menos 18. ¿De qué cantidad se trata?
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Lo esencial
1. CALCULAR EL VALOR NUMéRICO DE UNA ExPRESIÓN ALgEBRAICA
Hallaelvalornuméricodelaexpresiónalgebraicax2 - 3x +2,parax = -2.
PRIMERO. Sustituimos las incógnitas por el valor numérico que nos dan.
x2 - 3x + 2 x = -2---$ (-2)2 - 3 ? (-2) + 2
SEGUNDO. Realizamos las operaciones. (-2)2 - 3 ? (-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
El valor numérico de la expresión x2 - 3x + 2, para x = -2, es 12.
HAZLO DE ESTA MANERA
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lenguaje numérico
Tres menos dos es uno " 3 - 2 = 1
Lenguaje algebraico
El doble de un número "
más uno
2x + 1Expresión algebraica
Parte literal
Coeficiente
F
F
Segundo miembro
Términos
Primer miembro
2. SUMAR y RESTAR MONOMIOS
PRIMERO. Analizamos si los monomios que queremos sumar o restar son o no semejantes.
a) 3x2 + 5x2 → Misma parte literal, x2.Son semejantes.
b) 3x2 - 5x2 → Misma parte literal, x2.Son semejantes.
c) 3a + 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.
d) 3a - 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.
SEGUNDO. Operamos, si es posible.• Si los monomios son semejantes: se suman
o restan sus coeficientes y se mantiene la misma parte literal.
a) 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
b) 3x2 - 5x2 = (3 - 5)x2 = -2x2
• Si los monomios no son semejantes: la suma o la resta no se puede realizar, y se deja indicada.
c) 3a + 5b " No se puede realizar.d) 3a - 5b " No se puede realizar.
Calcula.a) 3x2 + 5x2 c) 3a + 5b
b) 3x2 - 5x2 d) 3a - 5b
Monomio
4 x3
Ecuación
3x + 4 = 12 " Incógnita: x
98
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Comprende estas palabras
1. Expresa en lenguaje algebraico.a) El triple de un número menos seis.b) La quinta parte de un número es 12.
2. Determina si las siguientes expresiones algebraicas son una ecuación o una identidad.a) 6x - 2x = 12 b) 3x + x = 4x
Calcular el valor numérico de una expresión algebraica
1. Halla el valor numérico de la expresión 3x - 4x2, para x = 1.
y AHORA… PRACTICA
Sumar y restar monomios
5. Calcula: x + 4x - 10x + 5x
Resolver una ecuación de primer grado
2. Resuelve estas ecuaciones.
a) x - 5 = 7 b) 3x = 9
3. Resuelve.
a) 5x - 5 = 4x + 7 b) 4x - x = 27
Resolver un problema mediante ecuaciones
4. El doble de un número menos 3 es igual a 7. ¿Cuál es ese número?
1. RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER gRADO
Resuelvelaecuación:10x + 7 = 6x - 5
PRIMERO. Agrupamos los términos con x en un miembro y los números en el otro.10x + 7 = 6x - 5 10x - 6x = -5 - 7
SEGUNDO. Sumamos y restamos los términos semejantes.4x = -12
TERCERO. Despejamos la incógnita.
x = 412-" x = - 3
2. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE ECUACIONES
Un número más su doble es igual a 27. ¿Cuál es el número?
PRIMERO. Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.
SEGUNDO. Planteamos la ecuación.
Un número x
El doble de ese número 2x
El número más su doble x + 2x
El número más su doble es igual a 27 x + 2x = 27
TERCERO. Resolvemos la ecuación.
x + 2x = 27 " 3x = 27" x = 327
" x = 9
CUARTO. Comprobamos e interpretamos la solución. El número 9 más su doble es: 9 + 2 ? 9 = 9 + 18 = 27 " La solución es válida.
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ActividadesExPRESIONES ALgEBRAICAS
36. ● Relacionacadaenunciadoconlaexpresiónalgebraica correspondiente.
a) Perímetro de un triángulo equilátero.b) Al triple de un número le sumamos 2 unidades.c) El doble de la suma de dos números.d) El producto de un número y su consecutivo.
1) 3a + 2 3) 3x2) x(x + 1) 4) 2(x + y)
37. ● Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones.
a) El cuadrado de un número.b) Un número menos tres.c) El doble de un número más tres.d) La mitad de un número menos cinco.e) El triple de un número más el doble del mismo
número.f) La cuarta parte de la suma de un número
menos tres.g) La quinta parte de un número menos el triple
de dicho número.h) La suma de dos números cualesquiera.i) El triple de la suma de dos números
cualesquiera.j) La sexta parte de un número más seis.
38. ●● Si xesunnúmerocualquiera,expresaen el lenguaje usual cada una de las expresiones algebraicas.
a) x - 2 e) x3 - 5b) x + 5 f) 3x - x4
c) 2x g) 2x + 2x2 + 2x3
d) x2
h) x
40. ● Calcula el valor numérico de 6x - 3 para:
a) x = 1 c) x = -1 b) x = 2 d) x = -3
41. ● Determinaelvalornuméricodelaexpresiónalgebraica 7x - 4 para los siguientes valores: x = -2,x = 1,x = -3.
42. ● Halla los valores numéricos de estas expresiones algebraicas para a = 3.
a) 2a - 5 c) a(a - 1)(a + 2)b) 3a2 + 2a - 1 d) (-a - 2)(-2a)
44. ● Halla el valor de las expresiones cuando toman el valor indicado.
Valor de x 3x - 4 x2 + 1
x = 1
x = 2
x = -1
x = 0
x = -2
x = -4
x = 7
x = -5
MONOMIOS
45. ● Completa la siguiente tabla:
Expresiónalgebraica Coeficiente Parteliteral
6x3
-4x
xy
-2a2b
7. ● Escribe un monomio que tenga:
a) Coeficiente 7 y parte literal x.b) Coeficiente -2 y parte literal x3.c) Coeficiente 1 y parte literal x3.
8. ● Escribe dos monomios que tengan los mismos coeficientesydistintaparteliteral.¿Sonsemejantes esos monomios?
50. ● Indica las parejas de monomios que son semejantes y escribe sus opuestos.
a) 2x 3 y 2x c) 12a 2 y -3a 2 b) 3x y -2x d) a 3 y 3a
51. ● Escribe dos monomios semejantes para cadauno de estos monomios.
a) 12a b) -5x 2 c) 13y 3
52. ● Efectúalassumasyrestasdemonomios.
a) 2x + 3x j) -4a + 2ac) 17x 2 - 4x 2 k) -5x 2 - (-x 2)f) 7a + 5a + 3a l) 4a 2 + 6ag) 5x 4 - 2x 2 - 3x 2 m) 2x + 4x - 8xi) 2x 2 - 4x 2 + 5x 2 n) 2y + 2y2
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53. ● Suma y resta estos monomios.
a) 3x 2 y -9x2 d) -36x3 y 45x3 b) 4x y 12x e) 12a y -8ac) 4x y 3x2 f) 12x y -4
ECUACIONES
56. ● Completa la siguiente tabla:
EcuaciónPrimer
miembroSegundo miembro
Términos Incógnita
7 + s = 2
18 = 2t
5x = 1 + x
0 = 8 - y
10r = 3
57. ● Comprueba si estas igualdades son ciertas para los valores de la variable que se indican.
a) 4x - 7 = 2, para x = 3.b) 10 - x = 13, para x = -3.c) 15 + x = 11, para x = -4.d) 3(x - 2) = 6, para x = 4.e) (8 - x)4 = 8, para x = 2.f) (9 - x)(6x + 2) = 16, para x = 8.
g) x2
16= , para x = 8.
h) x3
5 8+ = , para x = 9.
i) x
25
1 6+
+ = , para x = 5.
j) x x3 2
5+ = , para x = 6.
k) ( )x
x38
2 1 3+
+ - = , para x = 1.
58. ● Indica cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = -2.
a) x + 2 = 0 c) 3x - 1 = 5b) 2x + 4 = -8 d) 5x + 8 = -2
59. ● Di si el valor de xessolucióndelaecuacióny,sinoesasí,hállalo.
a) 2x - 5 = 7, para x = 5.b) 3x - 6 = 2x - 5, para x = 3.c) x + 1 + 5 = 2x + 2, para x = 4.d) 3(x + 2) - 5 = 4x + (x - 1), para x = 1.
60. ●● Escribe tres ecuaciones de primer grado con unaincógnitaquetengancomosoluciónx = 2.
61. ●● Indica,sinoperar,paraquévalordexse cumplen estas igualdades.
a) x + 3 = 4 g) 7 - x = 5b) 2x = 16 h) 4x - 3 = 1c) 6 - x = 1 i) 4 + x = 6d) 9x = 36 j) 2x + 1 = 5
e) x5
5= k) x
279=
f) 4 = -x l) 9 = 3x
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
62. ● Calculaelvalordelaincógnita.
a) x + 3 = 7 e) x - 3 = 7b) 9 + x = 12 f) x + 5 = 6c) x - 5 = 9 g) 15 + x = 9d) 7 + x = 18 h) x - 3 = -5
63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 4x = 16 e) -5x = -25b) -7x = 49 f) 2x = -238c) -5x = -125 g) -3x = 36d) 27x = -81 h) -9x = 81
64. ● Hallalasolucióndelasecuaciones.
a) 4x = 5 + 3x e) 10 - 3x = -2xb) 6x = 12 + 4x f) 6 + 2x = x c) x - 8 = 3x g) 14x + 6x = 40d) 20 + 6x = 8 h) 30 + 8x = -7x
65. ●● ¿Sehanresueltocorrectamentelasecuaciones?Sinoesasí,resuélvelas.
a) 3x - 1 = 0 d) 4x = 10
3x = 0 x = 10 - 4
x = 0 x = 6
b) 2x + 3 = 5 e) 4x + 2 = 6
2x = -2 4x = 6 + 2
x = -1 x = 1
c) 7x = 8 f) 2x + 1 = 8
x = 8 - 7 2x = 8 + 1
x = 2 x = 4,5
101
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66. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 25 - 2x = 3x - 35 i) 100 - 3x = 5x - 28
b) 4x + 17 = 3x + 24 j) 10x - 17 = 4x + 85
c) 7x - 3 = 21x - 9 k) 3x + 1 = 7x - 11
d) 1 + 8x = -64x + 46 l) 11x - 100 = 2x - 1
e) 5x - 11 = 15x - 33 m) 25 - 2x = 3x - 80
f) 2x + 17 = 3x + 2 n) 19 + 8x = 12x + 14
g) 70 - 3x = 14 + x ñ) 21y - 3 = 10y + 195
h) 60 - 5x = x - 12 o) 2 - 6y = 36y - 5
9. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 3x = 5x + 2 - 3x b) 5x - 3x = 2 + xc) 4x + 2 = x + 3 - 2xd) 7x + 1 - 2x = 3x - 1 e) 7x - 4 + 3x = 5 - 2x + 2f) 5x - 12 - 4x = 8 + 7x - 3c) x + 8 - 6x = 12 - 10x + 5 g) 3x - 4 + 6x = 1 + 4x - 8h) 4 - 4x + 5 = 7x - 4 + 5xi) 12 - x - 8 = 6x - 3 + 2xj) 4 + 10x - 8 = 5x - 3 + 4xk) 3 - 4x + 9 = 23 - 4x + 5
¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓNCON UN SOLO DENOMINADOR?
71. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x34
8= b) x35
3 7- =
PRIMERO. Se multiplica cada uno de los términos de la ecuación por el denominador.
a) ? ?x
x
334
3 8
4 24
=
=
b) ? ? ?x
x
335
3 3 3 7
5 9 21
- =
- =
SEGUNDO. Se resuelve la ecuación sin denominadores que resulta.
a) 4x = 24 " x4
24= " x = 6
b) 5x - 9 = 21 " 5x = 30 " x530
= " x = 6
HAZLO ASÍ
72. ●● Hallalasolucióndelasecuaciones.
a) x32
4= c) x34
2 6+ =
b) x
76
2 4- = d) x
38
16-
=
73. ●● Resuelve.
a) x
76 4
4+
= c) x
716
1-
=
b) x2
3 52
-= d)
x3
45
+=
10. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x32
3=
b) x23
3=-
c) x
23
3-
=
d) x25
2 3- =
e) x2
52 7+ =
f) x25
2 3+ =-
g) x2
52 7- =-
74. ●● Calculalasolucióndelasecuaciones.
a) x
107
28 4+ = + c) x
x4 38
53 2
- =+
b) x
x x3
2 1 2+ = + d) x32
24=
76. ●● Resuelve,simplificandotodoloquepuedas.
a) xx
421
23 4
+ =-
b) x x3
4 426+
=+
c) ( ) ( )xx
x3 222
4 3- - = +
d) ( )( )
xx
3 13
6 25+ -
-=
e) ( ) ( )x x
x3
3 15
10 12
41-
++
= +
f) ( ) ( ) ( )x x x
x2
2 13
3 14
8 25 1
++
-+
+= -
g) ( ) ( )x x
x5
2 37
2 25 1
--
+- = +
102
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PROBLEMAS CON ECUACIONES
78. ● Expresa,utilizandoellenguajealgebraico,estos enunciados.
a) Un número cualquiera.b) La suma de dos números.c) El doble de la suma de dos números.d) El doble de un número más otro.
79. ● Expresa los siguientes enunciados mediante el lenguaje algebraico.
a) La cuarta parte de una cantidad más 3 unidades.b) A cinco veces una cantidad le sumamos
8 unidades.c) La mitad de una cantidad más la mitad
de la mitad de dicha cantidad.d) El cuarto de una cantidad más la mitad
del cuarto de dicha cantidad.
80. ● Si llamamos xalabase,e yalaalturadeunrectángulo,completa la siguiente tabla:
Área
Perímetro
Doble del área
Mitaddelperímetro
81. ● CompletalatablasabiendoquePedrotieneeldobledeedadqueAndrés,Martatiene6añosmásquePedro,yRosatiene10añosmenos quePedro.
Marta Andrés Rosa Pedro
Si la edad actual de Andrésfuese10años 10
Si desconocemos la edad de Andrés x
85. ●● Expresa,enformadeecuación,lossiguientesenunciadosyobténsusolución.
a) ¿Qué número sumado con 3 da 8?b) ¿Qué número multiplicado por 5 da 60?c) ¿Qué número dividido entre 12 da 84?
86. ●● Escribelaecuaciónqueresultadelaexpresión:«Eltripledeunnúmeromáscincoes igual a veintiséis». ¿De qué número se trata?
87. ●● Si«eldobledeunnúmeromenoscincoesigualaonce»,escribelaecuaciónyresuélvela.
x
y
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS gEOMéTRICOS CON ECUACIONES?
11. Elperímetrodelrectángulodelafiguraes66cm.Calcula sus dimensiones.
3x cm
(x + 1) cm
PRIMERO. Se expresa el perímetro de este rectángulo.Perímetro = 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1)
SEGUNDO. Se plantea la ecuación.Como sabemos que el perímetro es igual a 66:
3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) = 66
TERCERO. Se resuelve la ecuación.8x + 2 = 66 8x = 64
x = 8 cm
CUARTO. Se comprueba la solución.Tenemos un rectángulo de lados x + 1 = 9 cm y 3x = 24 cm. Su perímetro será:
Perímetro = 9 + 9 + 24 + 24 = 66 cm
12. ●● Calculaellargoyelanchodeunrectángulo
de lados x y x3,ycuyoperímetroes136dm.
13. ●● Elperímetrodeunrectánguloes106m.¿Cuál es la medida de sus lados sabiendo queellargoeseldobledelanchomás5m?
14. ●● Untriánguloisóscelestienecomoperímetro35 cm.Sicadaunodelosladosigualesmide10 cm,¿cuáleslaecuaciónparahallarelotrolado?
a) x + x + 10 = 35 c) 2x + 35 = 10
b) 10 + 10 + x = 35 d) x + 35 = 20
93. ●● En un bolsillo tengo una cantidad de dinero y en el otro tengo el doble. Entotalhay6€. ¿Cuánto dinero hayencadabolsillo?
103
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Libertad, igualdad y fraternidad
Tres mujeres esperaban para comprar paño en un puesto que anunciaba manufacturas de Flandes.
La mayor de ellas pidió tres varas de longitud de un grueso tejido de color verde. Mientras el comerciante, con la vara más corta, medía y comenzaba a cortar el paño, ella se quejaba:
–Tienes dos varas de medir, larga para comprar y corta para vender. ¡Eres un ladrón!
La más joven dijo:–He oído decir que la Academia de las Ciencias ha inventado una nueva medida y que sustituirá a todas las que existen.
La tercera mujer tomó entonces la palabra:–Mi padre trabaja en la Academia y es cierto; la medida se llama metro, y están fabricando el modelo patrón.
La mayor se dirigió al comerciante:–François, tus timos se acaban. –Y pagando la pieza se alejaron las tres en dirección al río.
Diez millones de metros mide la cuarta parte de un meridiano. La estimación de esta medida y la construcción del metro patrón finalizaron en 1799.
Sistema Métrico Decimal7
1. Busca información sobre cómo y por qué se creó el Sistema Métrico Decimal.
2. Investiga sobre si esta fue la primera vez que se planteó unificar el sistema de medidas, o si hubo propuestas anteriores.
3. Explica cómo se definen las unidades de medida más importantes según el Sistema Métrico Decimal.
DESCUBRE LA HISTORIA...
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Sistema Métrico Decimal
Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Reconocer magnitudes.
• Aplicar las equivalencias entre unidades de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
• Pasar de forma compleja a incompleja, y viceversa.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades.
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima
1 0 0 2 5 6 7 8 9 0 5 2
100 256 789,052 = 1 C. de millón + 2 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U + 5 c + 2 m == 100 000 000 + 200 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9 + 0,05 + 0,002
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
2 CM = 200 000 unidades
2 m = 0,002 unidades
100 256 789,052
5 c = 0,05 unidades
5 DM = 50 000 unidades
F
F
F
F
En el sistema decimal, 10 unidades de un orden
forman una unidad del orden inmediato superior.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Descompón los siguientes números en sus distintas unidades.a) 23 453 c) 4 334b) 234 d) 324 501
2 Escribe en cada caso un número:a) Que tenga el valor de la cifra 3 igual a 300 unidades.b) Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 7 000 unidades.c) Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 000 unidades.
3 Copia y completa las siguientes igualdades.a) 10 DM = 4 U c) 50 CM = 4 Ub) 20 CM = 4 U d) 70 CM = 4 U
4 Copia y completa las siguientes igualdades.a) 20 U = 4 D = 4 C c) 5 000 U = 4 UM = 4 Db) 300 U = 4 C = 4 UM d) 70 000 U = 4 CM = 4 C
105
301279 _ 0104-0121.indd 105 14/07/11 14:52
Magnitudes y unidades
Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número.
Para medir una cantidad de una magnitud, la comparamos con otra cantidad que es fija, a la que llamamos unidad de medida.
EJEMPLO
1 Escribe ejemplos de magnitudes y de unidades de medida.
Magnitudes son:• La longitud de una carretera.• La temperatura del agua de una piscina.• El peso de un remolque.• La capacidad de una garrafa.
Unidades de medida son:• Los kilómetros de una carretera.• Los grados centígrados del agua de una piscina.• Los kilogramos que pesa un remolque.• Los litros que caben en una garrafa.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calculan las potencias de 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.
10 3 = 1 000 10 5 = 100 000
Sistema Métrico DecimalEn la actualidad, y exceptuando algunos países anglosajones, para medir magnitudes se utiliza el mismo sistema de medida, llamado Sistema Mé-trico Decimal.
El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa.
Decimos que es un sistema decimal porque sus unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10.
1
3 ceros
F
5 cerosF
2 Escribe la unidad que utilizarías para medir las magnitudes del ejercicio anterior.
1 ¿Qué ocurriría si midiésemos la distancia entre dos poblaciones en milímetros? ¿Y si midiésemos el grosor de una hoja de papel en kilómetros?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Indica si son magnitudes o no.
a) La capacidad de un bidón.b) La simpatía.c) La distancia entre dos ciudades.d) El amor.e) La altura de un árbol.
106
301279 _ 0104-0121.indd 106 08/07/11 20:07
4 Expresa en kilómetros.
a) 275 m c) 3,7 hmb) 5 dam d) 24,3 dam
5 Expresa en hectómetros.
a) 0,85 dam c) 56 damb) 3,12 km d) 325 m
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Unidades de longitud
Los múltiplos y submúltiplos del metro son unidades mayores y meno-res, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro son:
Múltiplos del metro Submúltiplos del metro
kilómetro (km)
1 000 m
hectómetro (hm)
100 m
decámetro (dam)10 m
metro(m)
decímetro (dm)0,1 m
centímetro (cm)
0,01 m
milímetro (mm)
0,001 m
En las unidades de longitud, cada unidad es 10 veces mayor que la inme-diata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros
• Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad.82 ? 100 = 8 200 23 ? 10 000 = 230 000
• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros.
3,4073 ? 1 000 = 3 407,3 23,4 ? 100 = 2 340
Cómo se divide por la unidad seguida de ceros
Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales se añaden ceros.
3 452 : 1 000 = 3,452 5,4 : 100 = 0,054
Para transformar una unidad de longitud en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10.
km hmF
F
? 10
: 10
dam
F
F
? 10
: 10
m
F
F
? 10
: 10
dm
F
F
? 10
: 10
cm
F
F
? 10
: 10
mm
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
2 Expresa en decámetros.
a) 265,83 m -" 265,83 : 10 = 26,583 damb) 5,04 hm --" 5,04 ? 10 = 50,4 damc) 16 dm ---" 16 : 100 = 0,16 damd) 4,567 km -" 4,567 ? 100 = 456,7 dame) 225,73 cm " 225,73 : 1 000 = 0,22573 dam
2
Para transformar unidades de longitud,
multiplicamos o dividimos por
potencias de 10.
107
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2.1 Forma compleja e incompleja
Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarla utilizamos una única unidad de medida.Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja.
EJEMPLOS
3 Determina si las siguientes medidas están expresadas en forma complejao incompleja.
a) 23 cm --" Incompleja c) 2 m 6 cm -----------" Complejab) 3,45 hm " Incompleja d) 4 km 5 dm 27 m " Compleja
4 Expresa 2 m 8 dm 6 cm en forma incompleja.
Usamos el cuadro de unidades, colocando cada unidad en su lugar.
2 8 6
m dm cmForma incompleja286 cm
Forma compleja2 m 8 dm 6 cmF
F
5 Escribe en decámetros estas medidas expresadas en forma compleja.
a) 5 hm 3 dam 4 m
Para expresar una medida en forma compleja en una unidad concreta, transformamos todas las unidades en la unidad que se pide.
5 hm 3 dam 4 m = (5 ? 10) dam + 3 dam + (4 : 10) dam = 53,4 dam
b) 1 hm 3 m 9 cm = (1 ? 10) dam + (3 : 10) dam + (9 : 1 000) dam = 10,309 dam
6 Expresa en forma compleja estas medidas.
a) 3,06 hm
3 0 6
hm dam mForma incompleja3,06 hm
Forma compleja3 hm 6 mF
F
b) 102,005 dam
1 0 2 0 0 5
km hm dam m dm cmForma incompleja102,005 dam
Forma compleja1 km 2 dam 5 cmF F
Para escribir una medida compleja en el cuadro
de unidades, se completan con ceros las unidades
que no aparecen.
3 0 2 0
m dm cm mm3 m 2 cm F
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Expresa en metros.
a) 2 km 17 dam 8 mb) 3 m 52 dm 13 cmc) 5 dam 17 m 13 dm 1 cm
d) 8 hm 7 m 4 mm
10 Expresa en forma compleja las siguientes medidas.
a) 2 284 cm c) 8 793 damb) 0,045 km d) 13 274 hm
11 El circuito de la carrera de atletismo mide 3 km 4 hm 2 dam. ¿Cuántos metros mide el circuito?
2 Paula ha comprado 2 hm 6 dm 4 cm de tela para confeccionar un traje de carnaval. Calcula los metros de tela que ha comprado.
3 Según el plano se necesitan 27 dam 8 m de cable para realizar la instalación de luz de toda la casa. Calcula los metros de cable necesarios para la instalación.
108
301279 _ 0104-0121.indd 108 08/07/11 20:07
2.2 Operaciones con medidas de longitud
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman o restan números decimales
1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales.
2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente.
21,34021,34 + 3,271 F + 3,271
24,611
15,23715,237 - 9,35 F - 9,350
5,887
Cómo se multiplican números decimales
1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.2.º Colocamos la coma en el resultado, separando
tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda.
Para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación con medidas de longitud utilizamos el cuadro de unidades. Es importante colocar cada uni-dad en su lugar correspondiente.
EJEMPLO
7 Calcula y expresa en decímetros.
a) 34,72 m + 8 569 mm c) (2 m 9 cm) ? 14b) 6 km 4 dam 1 m - 49 845,2 dm
a) dam m dm cm mm
+
3 4
8
7
5
2
6
0
9
4 3 2 8 9F 432,89 dm
b) km hm dam m dm cm
-
6
4
0
9
4
8
1
4
0
5
0
2
1 0 5 6 4 8F 10 564,8 dm
5,108# 0,42,0432
G 3 cifras +G 1 cifraG 4 cifras
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Realiza las siguientes operaciones, y expresa el resultado en metros.
a) 4 322 cm + 57 dmb) 34,78 dam - 3,57 dme) 12,432 cm ? 5
4 Realiza estas operaciones, y expresa el resultado en decámetros.
a) 234 m + 3,29 hmb) 4 km 6 hm 8 m - 32,53 mc) (43 hm 4 dm 8 m) ? 23
c) dam m dm cm
#
2 01
94
280
39
6
2 9 2 6
F 292,6 dm
109
301279 _ 0104-0121.indd 109 08/07/11 20:07
Unidadesde capacidad
El litro es la unidad principal de capacidad. Se escribe ¬.
Algunos múltiplos y submúltiplos del litro son:
Múltiplos del litro Submúltiplos del litro
kilolitro (kl)
1 000 ¬
hectolitro (hl)
100 ¬
decalitro (dal)10 ¬
litro(¬)
decilitro (dl)0,1 ¬
centilitro (cl)
0,01 ¬
mililitro (ml)
0,001 ¬
En las unidades de capacidad, cada unidad es 10 veces mayor que la in-mediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de capacidad en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10.
kl
F
hlF? 10
: 10
dal
F
F
? 10
: 10
¬
F
F
? 10
: 10
dl
F
F
? 10
: 10
cl
F
F
? 10
: 10
ml
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
9 Expresa en decalitros.
a) 265,83 ¬ ---" 265,83 : 10 = 26,583 dal
b) 4,567 kl ---" 4,567 ? 100 = 456,7 dal
c) 225,73 cl ---" 225,73 : 1 000 = 0,22573 dal
d) 1 hl 3 ¬ 9 cl " (1 ? 10) + (3 : 10) + (9 : 1 000) = 10,309 dal
1 0 3 0 9
hl dal ¬ dl clForma compleja
1 hl 3 ¬ 9 clForma incompleja
10,309 dalF
F
3
Para transformar unidades de capacidad,
multiplicamos o dividimos por potencias de 10.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Transforma en litros.
a) 7,5 kl c) 0,4 dalb) 593 cl d) 6 300 ml
19 Expresa en litros.
a) 1 kl 4 hl 25 dlb) 7 hl 1 dl 16 clc) 1 kl 4 dal 3 dl 12 mld) 4 hl 12 dal 1 dl 1 cl
5 Transforma la cantidad 1 kl 23 dl 4 ¬ 54 dl.a) En decilitros.b) En kilolitros.
20 Un tonel tiene una capacidad de 30 hl 5 dal 500 ¬. ¿Cuántos litros son?
21 Un depósito de agua tiene una capacidad de 3 kl 50 dal 5 000 ¬. ¿Cuál es su capacidad en decalitros?
110
301279 _ 0104-0121.indd 110 08/07/11 20:07
Unidadesde masa
El kilogramo es la unidad principal de masa. Se escribe kg.
Aunque la unidad principal de masa es el kilogramo, vamos a utilizar el gramo por similitud con el resto de unidades de medida.
Algunos múltiplos y submúltiplos del gramo son:
Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramo
kilogramo (kg)
1 000 g
hectogramo(hg)
100 g
decagramo (dag)10 g
gramo(g)
decigramo (dg)0,1 g
centigramo (cg)
0,01 g
miligramo (mg)
0,001 g
En las unidades de masa, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de masa en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10.
kg hg
F
F
? 10
: 10
dag
F
F
? 10
: 10
g
F
F
? 10
: 10
dg
F
F
? 10
: 10
cg
F
F
? 10
: 10
mg
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
1 Expresa en hectogramos.
a) 32,25 g " 32,25 : 100 = 0,3225 hg
b) 3,12 kl " 3,12 ? 10 = 31,12 hg
d) 1 kl 3 g 5 dg " (1 ? 10) + (3 : 100) + (5 : 1 000) = 10,035 hg
d) 5 kg 24 hg 2 g 45 cg " (5 ? 10) + 24 + (2 : 100) + (45 : 10 000) = 74,0245 hg
Para medir grandes masas se utilizan la tonelada métrica, el quintal métri-co y el miriagramo, cuyas equivalencias con el kilogramo y el gramo son:
Unidades Símbolo kg gTonelada métrica t 1 000 kg 1 000 000 g
Quintal métrico q 100 kg 100 000 g
Miriagramo mag 10 kg 10 000 g
4
En el lenguaje cotidiano a la masa se le llama peso.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Expresa en gramos.
a) 4,27 hgb) 523,46 mgc) 3 hg 23 dg 34 mgd) 3 dg 41 g 3 cg 37 dg
23 Expresa en gramos y ordena, de menor a mayor.
31 dg 1,02 kg 8,34 cg 0,4 t 0,09 q
24 Realiza las siguientes operaciones.
a) 123 hg 35 g + 3 kg 15 dagb) 30 t 20 q - 250 dag 120 kg 200 hg
111
301279 _ 0104-0121.indd 111 08/07/11 20:07
Unidades de superficie
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se miden superficiesPara medir la superficie de una figura, se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que ocupa esa figura.
Qué es un metro cuadradoUn metro cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado de lado un metro.
La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado. Se escribe m2.
Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:
Múltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado
kilómetro cuadrado
(km2)1 000 000 m2
hectómetro cuadrado
(hm2)10 000 m2
decámetro cuadrado(dam2)100 m2
metro cuadrado
(m2)
decímetro cuadrado
(dm2)0,01 m2
centímetro cuadrado
(cm2)0,0001 m2
milímetro cuadrado
(mm2)0,000001 m2
En las unidades de superficie, cada unidad es 100 veces mayor que la in-mediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de superficie en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 100.
km2 hm2
F
F
? 100
: 100
dam2
F
F
? 100
: 100
m2
F
F
? 100
: 100
dm2
F
F
? 100
: 100
cm2
F
F
? 100
: 100
mm2
F
F
? 100
: 100
EJEMPLO
11 Expresa en decámetros cuadrados.
a) 265,83 m2 -" 265,83 : 100 = 2,6583 dam2
b) 5,04 hm2 ---" 5,04 ? 100 = 504 dam2
c) 16 dm2 ---" 16 : 10 000 = 0,0016 dam2
5
Unidad F
1 m
1 m2
1 m
Para transformar unidades de superficie,
multiplicamos o dividimos por potencias de 100.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Transforma en m2 las siguientes medidas.
a) 32 dam2 c) 1,0005 km2
b) 3,6 dam2 d) 1,16 hm2
7 Transforma en dm2 las siguientes medidas.
a) 3,007 dam2 c) 0,00001 km2
b) 0,008 km2 d) 0,0035 hm2
Superficie: 8
112
301279 _ 0104-0121.indd 112 08/07/11 20:07
5.1 Forma compleja e incomplejaLas medidas de superficie también se pueden expresar de forma compleja e incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 100 en 100 y que a cada unidad le corresponden dos cifras.
EJEMPLOS
12 Expresa en forma compleja 41 327,25 m2.
4
hm2
13
dam2
27
m2
25 4 hm2 13 dam2 27 m2 25 dm2
dm2
F
13 Expresa 3 hm2 8 dam2 4 cm2 en m2.
3 hm2 = 3 ? 10 000 = 30 000,0004 m2
8 dam2 = 8 ? 100 = 35.800,0004 m2
4 cm2 = 4 : 10 000 = 5.820,0004 m2
30 800,0004 m2
2 Expresa 23 km2 231 hm2 5 m2 62 dm2 en dam2.
23 km2 = 23 ? 10 000 = 230 000 dam2
231 hm2 = 231 ? 100 = 23 100 dam2
5 m2 = 5 : 100 = 0,05 dam2
62 dm2 = 62 : 10 000 = 0,0062 dam2
253 100,0562 dam2
5.2 Unidades agrariasPara expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fin-cas, campos, terrenos, etc., utilizamos las unidades agrarias.
Las equivalencias de las unidades agrarias con las unidades de superficie son:
Unidades Símbolo Equivalencia Equivalencia en m2
Hectárea ha 1 hm2 10 000 m2
Área a 1 dam2 100 m2
Centiárea ca 1 m2
EJEMPLO
3 Expresa cada medida en la unidad indicada.
a) 0,25 ha en m2 " 0,25 ? 10 000 = 2 500 m2
b) 1,23 dam2 en ca " 1,23 ? 100 = 123 m2 = 123 ca
c) 24 000 ca en ha " 24 000 : 10 000 = 2,4 ha
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
29 Expresa en m2: 2 km2 17 hm2 2 dam2
30 Reduce a dm2:45 dam2 23 m2 945 cm2
31 Transforma en hm2: 1 km2 69 dam2
32 ¿A cuántos dam2 equivalen 6 hectáreas? ¿Cuántas hectáreas son 2 km2?
En una medida compleja de longitud,
capacidad o masa, a cada unidad le corresponde
una cifra. En una medida compleja de superficie,
a cada unidad le corresponden
dos cifras.
113
301279 _ 0104-0121.indd 113 08/07/11 20:07
Los cuerpos tienen tres dimensiones: largo,
ancho y alto.
Unidadesde volumen
6.1 Volumen de un cuerpo
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se miden volúmenesPara hallar el volumen de un cuerpo geométrico se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que caben en ese cuerpo.
Unidad F
3
42
Hay 4 # 2 # 3 = 24 cubitos.
Volumen: 24
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
EJEMPLO
16 Si cada cubo ocupa 1 cm3, halla el volumen de esta figura:
La figura tiene 14 cubos de 1 cm3.
Vfigura = 14 cm3
6.2 Unidades de volumen
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un metro cúbico 1 m
1 m
1 m
Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de lado un metro.
El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe m3.
Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:
Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico
kilómetro cúbico(km3)
1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico(hm3)
1 000 000 m3
decámetro cúbico(dam3)
1 000 m3
metro cúbico(m3)
decímetro cúbico(dm3)
0,001 m3
centímetro cúbico(cm3)
0,000001 m3
milímetro cúbico(mm3)
0,000000001 m3
6
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
35 Si cada cubo ocupa 1 cm3, indica el volumen de la figura.
8 Copia y completa.
a) 4 m3 = 4 dm3 c) 8 dm3 = 4 cm3
b) 8 m3 = 4 dm3 d) 3,5 dm3 = 4 cm3
114
301279 _ 0104-0121.indd 114 15/07/11 10:07
6.3 Transformación de unidadesEn las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 1 000.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3
F
F
? 1 000
: 1 000
mm3
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
FF
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
EJEMPLO
17 Expresa en decámetros cúbicos.
a) 265,83 m3 --" 265,83 : 1 000 = 0,26583 dam3
b) 5,04 hm3 --" 5,04 ? 1 000 = 5 040 dam3
c) 16 dm3 ---" 16 : 1 000 000 = 0,000016 dam3
d) 4,567 km3 -" 4,567 ? 1 000 000 = 4 567 000 dam3
e) 225,73 cm3 " 225,73 : 1 000 000 000 = 0,00000022573 dam3
6.4 Forma compleja e incomplejaLas medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incom-pleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 1 000 en 1 000 y que a cada unidad le corresponden tres cifras.
EJEMPLOS
18 Expresa en forma compleja 41 327,25 m3.
41
dam3
327
m3
250 41 dam3 327 m3 250 dm3
dm3
F
19 Expresa 3 hm3 8 dam3 4 cm3 en m3.
3 hm3 = 3 ? 1 000 000 = 3 000 000,000004 m3
8 dam3 = 8 ? 1 000 = 35 08 000,000004 m3
4 cm3 = 4 : 1 000 000 = 35 08.200,000004 m3
3 008 000,000004 m3
Para transformar unidades de volumen,
multiplicamos o dividimos por potencias de 1 000.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
38 Expresa en metros cúbicos estas medidas.
a) 83 dam3 c) 1 233,33 cm3 e) 0,049 km3
b) 231 hm3 d) 123,44 mm3 f) 0,034 dm3
9 Ordena de mayor a menor.
a) 5 m3 7 000 dm3 8,2 m3 8 250 m3
b) 3 500 cm3 2,9 dm3 3,01 dm3 3 499 cm3
39 El volumen de un bote es de 30 dm3 5 cm3 500 mm3. ¿Qué volumen ocupa en mm3?
40 El volumen de una lata es de 3 dm3 50 cm3 5 000 mm3. ¿Qué volumen ocupa en m3?
41 Calcula.
a) 17 hm3 + 340 dm3 b) 1 km3 + 100 hm3 - 1 m3
115
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Magnitud " Longitud, capacidad, masa, superficie, volumen…
Unidades de medida
Medidas expresadas en forma incompleja " 45 ml 34,6 kg 0,876 m2
Medidas expresadas en forma compleja --" 4 kg 6 dag 44 g 34 dam2 6 m2 120 m 34 dm 8 mm
2. TRANSFORMAR UNIDADESDE MEDIDA DE SUPERFICIE
Expresa. a) 34 dam2 en m2. b) 8,2 dm2 en dam2.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresarlo.a) 1 salto hacia la derecha.b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por la unidad seguida del doble de ceros que de saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos.a) 34 ? 100 = 3 400 m2
b) 8,2 : 10 000 = 0,00082 dam2
3. TRANSFORMAR UNIDADESDE MEDIDA DE VOLUMEN
Expresa. a) 34 dam3 en m3. b) 8,2 dm3 en dam3.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresarlo.a) 1 salto hacia la derecha.b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por la unidad seguida del triple de ceros que de saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos.a) 34 ? 1 000 = 34 000 m3
b) 8,2 : 1 000 000 = 0,0000082 dam3
1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD
Expresa. a) 34 dam en m. b) 8,2 dl en dal.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida.a) 1 salto hacia la derecha.b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.• Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos por
la unidad seguida de tantos ceros como saltos. • Si es hacia la izquierda, dividimos.a) 34 ? 10 = 340 m b) 8,2 : 100 = 0,082 dal
HAZLO DE ESTA MANERA
kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro
kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo
kilómetro cuadrado
hectómetro cuadrado
decámetro cuadrado
metro cuadrado
decímetro cuadrado
centímetro cuadrado
milímetro cuadrado
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
metro cúbico
decímetrocúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
Longitud
Capacidad
Masa
Superficie
Volumen
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5. PASAR MEDIDAS DE FORMA COMPLEJA A INCOMPLEJA
Expresa:a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 en dam2.b) 3 km3 1 dam3 en dam3.
PRIMERO. Expresamos todas las cantidades de la medida compleja en la unidad que se pide. Para ello multiplicamos o dividimos por la unidad seguida de tantos ceros como corresponda.
a) Expresamos todas las cantidades en dam2.
3 km2 = 3 ? 10 000 = 30 000 dam2
1 dam2 = 1 dam2
5 m2 = 5 : 100 = 0,05 dam2
6 dm2 = 6 : 10 000 = 0,0006 dam2
b) Expresamos todas las cantidades en dam3.3 km3 = 3 ? 1 000 000 = 3 000 000 dam3
1 dam3 = 1 dam3
SEGUNDO. Sumamos los resultados.a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 =
= 30 000 + 1 + 0,05 + 0,0006 == 30 001,0506 dam2
b) 3 km3 1 dam3 en dam3 == 3 000 000 + 1 == 3 000 001 dam3
dm3
4. PASAR MEDIDAS DE FORMA INCOMPLEJA A COMPLEJA
Expresa de forma compleja.
a) 301,56 dal. b) 301,56 dam2.
PRIMERO. Colocamos cada una de las cifras en el cuadro de unidades, teniendo en cuenta que:• Si la medida es de longitud, capacidad
o masa, en cada casilla solo va una cifra.• Si es de superficie, van dos cifras por casilla.• Y si es de volumen, van tres cifras por casilla.
a) kl hl dal ¬ dl
3 0 1 5 6
b) hm2 dam2 m2
3 01 56
SEGUNDO. El número anterior a la coma representa la unidad en la que está expresada la medida. a) Forma
incompleja
301,56 dal
kl hl dal ¬ dl Forma compleja
3 kl 1 dal 5 ¬ 6 dl3 0 1 5 6
b) Forma incompleja
301,56 dam2
hm2 dam2 m2 Forma compleja
3 hm2 1 dam2 56 m23 01 56
Comprende estas palabras
1. ¿Es el hectolitro una unidad de capacidad?
Transformar unidades de medida de longitud, masa y capacidad
2. ¿Cuántos kg son 32 547,8 g?
3. ¿Cuántos dl son 3,72 hl?
Transformar unidades de medida de superficie
4. ¿Cuántos m2 son 15 ha?
5. ¿Cuántos hm2 son 0,34 dam2?
Transformar unidades de medida de volumen
6. ¿Cuántos dm3 son 1 002,5 cm3?
1. ¿Cuántos dam3 son 345,27 km3?
Pasar medidas de forma incompleja a compleja
7. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 056,3 cm2?
8. Expresa en forma compleja 3,241 hl.
Pasar medidas de forma compleja a incompleja
9. ¿Cuántos metros son 4 hm 1 dam?
10. Expresa 1 hg 3 g 2 mg en g.
2. Expresa en forma incompleja.a) 5 km 34 hm 9 m 25 dmb) 23 dal 4 ¬ 25 cl 37 ml
3. Expresa 3 km2 2 hm2 8 dam2 en m2.
4. Expresa 3 dam3 4 m3 34 dm3 en m3.
Y AHORA… PRACTICA
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ActividadesUNIDADES DE LONGITUD
52. ● Expresa en kilómetros.
a) 3 500 m d) 9 759 mb) 450 m e) 755 mmc) 12 450 m f) 200 dam
53. ● Escribe en centímetros.
a) 3 m 5 dm d) 6 m 3 dmb) 3 m 4 dm e) 7 m 4 dmc) 6 m 8 dm f) 7 m 2 dm
54. ● Expresa en metros.
a) 4 km 3 hm d) 3 km 6 hmb) 5 km 2 hm e) 9 km 5 hmc) 8 km 6 hm f) 4 km 4 dam
55. ● Transforma en decámetros.
a) 32,5 m d) 137,6 cmb) 2 389 mm e) 0,003 kmc) 2,34 hm f) 398 dm
56. ● Expresa en decímetros.
a) 0,34 m d) 0,00003 kmb) 325 mm e) 38,2 damc) 2,4 cm f) 0,27 hm
57. ● Completa esta tabla de equivalencias:
km
13,5
hm
135
0,72
dam
45
m
4 130
dm
12 345
58. ● Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas.
a) 425 dm = 42,5 m = 4,25 4b) 72,4 m = 724 4 = 0,724 4c) 512,4 dam = 5,124 4 = 5 124 4d) 13,18 hm = 1 318 4 = 131,8 4
59. ● Transforma en metros estas medidas de longitud.
a) 3 km 5 dam 7 dm c) 14 dam 8 m 2 dmb) 8 hm 9 m 16 cm d) 5 km 19 dam 12 m 8 mm
60. ● Transforma estas medidas en centímetros.
a) 3 m 8 dm 5 cmb) 8 hm 16 mmc) 24 dam 18 m 2 mmd) 5 km 12 m
10. ● Transforma en kilómetros.
a) 3 km 54 dam 4 m
b) 32 m 431 cm 5 mm
c) 7 hm 26 m 45 dm
d) 5 km 231 m
11. ● Expresa en forma compleja.
a) 234 m
b) 435 hm
c) 3 459 mm
d) 4 703 dam
61. ● Expresa en forma compleja.
a) 245,2 dam b) 87,002 m c) 1 458,025 cmd) 0,3402 km
12. ●● Calcula.
a) 32,3 m + 4,5 dm + 321,2 cm
b) 45,3 hm + 2 m + 234 dm
c) 436 cm + 5 dm + 325 m
13. ●● Calcula.
a) 34,56 m - 2,3 dm + 723 cm
b) 45,67 hm + 3,42 km - 732,27 m
c) 345 dam - 23,4 m - 435 dm
62. ●● Calcula.
a) 342 dam + 17 mb) 76,69 m + 23 cmc) 92,4598 hm + 0,025 kmd) 3 hm 4 dam 21 dm + 34 dam 7 m 9 cme) 25,34 m - 146 cmf) 8,02 km - 1 324,2 mg) 35 dam 23 dm 9 mm - 36,75 mh) 17 dam ? 3i) 32,24 cm ? 12
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UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA
14. ● Escribe en litros.
a) 43,23 kl c) 457 mm
b) 2,345 dl d) 452 hl
63. ● Expresa en litros.
a) 25 kl 27 hl 81 dlb) 13 dal 21 ¬ 7 dlc) 43 hl 13 dal 15 ¬
64. ●● Completa las igualdades con las unidades adecuadas.
a) 45,18 dal = 0,4518 4 = 451,8 4b) 542,37 hl = 54,237 4 = 54 237 4c) 125,42 ¬ = 0,12542 4 = 125 420 4
15. ● Escribe en gramos.
a) 37,4 kg c) 361 mg
b) 3,47 dg d) 352 hg
65. ● Expresa en kilogramos.
a) 18 372 g c) 32 t 15 q 17 kg
b) 17,42 t d) 82 hg 3 dag 16 g
66. ●● Completa las igualdades con las unidades adecuadas.
a) 5 025 g = 50,25 4 = 5,025 4b) 18 hg = 1,8 4 = 1 800 4c) 542,5 kg = 5,425 4 = 542 500 4d) 12,5 q = 1,25 4 = 12 500 4 = 125 000 4
16. ● Expresa en forma compleja.
a) 432,35 dal
b) 34,56 cl
c) 2 364 dg
d) 45,3 hg
17. ● Expresa en forma incompleja.
a) 32 hg 4 dag 34 g 4 dg
b) 3 kg 5 hg 55 g 23 cg
c) 34 dal 4 ¬ 56 dl
d) 35 hl 4 dal 45 ¬ 3 dl
67. ●● Calcula en gramos.
a) 12 kg 38 dg + 4 dag 15 cgb) 3 hg 17 dag - 1 hg 12 mgc) 3 t 4 q + 31 kg 15 dgd) 42 t 17 q - 32 t 27 kge) 32 dag 8 g 25 dg - 145 dgf) (25 hg 10 dag 16 cg) ? 20
¿CÓMO SE OPERA CON MEDIDAS COMPLEJAS?
68. Expresa en gramos.
(8 kg 15 dag 10 g) : 50
PRIMERO. Se transforman las medidas complejas en incomplejas.
8 kg 15 dag 10 g = 8 ? 1 000 + 15 ? 10 + 10 = 8 160 g
SEGUNDO. Se realiza la operación.
8 160 : 50 = 163,2 g
HAZLO ASÍ
69. ●● Realiza estas operaciones.
a) 12 hl 58 ¬ + 283 dal 15 ¬b) 20 000 dal - 1 000 ¬ 25 000 dlc) 15 kl 28 hl 7 dal + 235 hl 17 ¬d) (32 hl 45 dal 17 dl) ? 200e) (4 kl 12 hl 135 dal) : 25
70. ●● Completa estas igualdades con la medida necesaria.
a) 16 hm 8 dam 5 cm + 4 = 3 km 9 hm 6 mmb) 85 dal 25 cl 32 ml - 4 = 32 ¬ 4 dlc) 4 ? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cgd) (25 km 15 m 40 cm) : 4 = 5 hm 3 dm 8 mm
UNIDADES DE SUPERFICIE
71. ● Expresa en metros cuadrados.
a) 3,6 dam2 c) 9,4 km2
b) 3,63 dam2 d) 9,45 km2
72. ● Escribe en hectómetros cuadrados.
a) 5,1 km2 c) 8 976 m2
b) 35,78 km2 d) 125 763 dm2
119
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73. ● Expresa en centímetros cuadrados.
a) 4,3 dm2 c) 223 mm2
b) 34,79 m2 d) 4 mm2
74. ● Transforma en metros cuadrados.
a) 18 km2 b) 5 hm2 13 dam2 15 m2
75. ● Expresa en decímetros cuadrados.
a) 18 m2
b) 45 dam2
c) 14 hm2 32 dam2 38 m2
d) 12 dam2 32 m2 19 dm2
76. ● Escribe en forma compleja.
a) 4 321,5 m2 c) 9 823,152 m2
b) 34 587,52 dam2 d) 1 234,56 dm2
77. ● Expresa en áreas.
a) 18 ha 15 a 19 ca c) 15 ha 18 a 52 ca
b) 3 ha 4 a 6 ca d) 12 ha 4 a 32 ca
¿CÓMO SE EXPRESA EL RESULTADO DE UNA OPERACIÓN EN UNA UNIDAD CONCRETA?
78. Expresa en m2.
48 hm2 + 2,5 dam2 + 20 000 cm2
PRIMERO. Se transforman las unidades en la unidad que se pide.
48 hm2 = 48 ? 10 000 = 480 000 m2
2,5 dam2 = 2,5 ? 100 = 250 m2
20 000 cm2 = 20 000 : 10 000 = 2 m2
SEGUNDO. Se opera con los resultados obtenidos.480 000 + 250 + 2 = 480 252 m2
HAZLO ASÍ
79. ●● Transforma en metros cuadrados.
6 hm2 + 12 dam2 + 55 dm2
80. ● Expresa en hm2 las siguientes sumas.
a) 0,0075 km2 + 7 000 m2
b) 0,5 km2 + 45 dam2
c) 7 879 m2 + 87 622 dm2
d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2
e) 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2
f) 1 389 456 cm2 + 123 m2
UNIDADES DE VOLUMEN
81. ● Expresa en decímetros cúbicos.
a) 0,18 hm3 b) 17 dam3 82 m3
e) 0,4 dam3
f) 5 dam3 2 dm3
g) 0,5 hm3 4 m3
h) 1 km3 0,2 dm3c) 5 km3
d) 14 m3 8 dm3
18. ● Expresa en kilómetros cúbicos.
a) 0,425 hm3
b) 42 dam3 125 dm3
c) 12 hm3 25 dam3 45 m3
d) 32 dam3 158 m3 325 cm3
82. ● Escribe en hectómetros cúbicos.
a) 18 dam3
b) 43 215 m3
c) 25 418,75 dm3
d) 812,75 km3
e) 7,4 km3
f) 45 002,547 m3
g) 7 000 000 001 mm3
h) 0,425 dam3
19. ● Copia en tu cuaderno y completa los huecos.
km3 hm3 dam3 m3
3 425 953 864 = 4 hm3
23 250 530 640 = 4 km3
123 500 300 400 = 4 m3
12 405 903 804 = 4 dam3
84. ● Completa con las unidades adecuadas.
a) 18 dam3 = 0,018 4 = 18 000 4b) 0,42 hm3 = 420 000 4 = 420 000 000 4c) 12,5 dm3 = 0,0125 4 = 12 500 4d) 427,68 m3 = 0,42768 4 = 427 680 000 4
85. ●● Calcula las siguientes operaciones, y expresa el resultado en metros cúbicos.
a) 1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3
b) 34 256 dam3 - 8 hm3 15 dam3
c) 135 dam3 458 m3 - 75 000 m3
d) 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3
e) (4 hm3 15 dam3 7 m3) ? 50f) (123 hm3 456 dam3) : 100
20. ●● Calcula las siguientes operaciones.
a) 123 m3 - 0,12 dam3
b) 35 hm3 + 1,2 km3
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PROBLEMAS CON MEDIDAS
87. ● Nos hemos sumergido a 20 pies de profundidad. ¿Cuántos metros son?
88. ● Estamos a 300 millas marítimas de la costa. ¿Cuántos kilómetros son?
89. ●● Quiero hacer dos vestidos con un trozo de tela que mide 8 m 14 dm 80 cm. ¿Qué cantidad de tela tengo que utilizar para cada vestido?
90. ●● Una carretera de 8 km 2 hm 20 dam 50 m de largo tiene, en ambos lados, árboles separados entre sí por 10 m. ¿Cuántos árboles hay en la carretera?
91. ●● Observa el plano de este parque de atracciones, y expresa en metros cada una de las distancias que se indican.
6 hm 4 dam94 dam 5 m
3 hm 1 dam 5 m
42 dam 53 dm 9 hm 3 dam
a) ¿Cuántos decámetros hay desde la Noria a la Montaña rusa?
b) ¿Cuántos kilómetros hay desde los Coches de choque a la Montaña rusa?
c) ¿Cuántos kilómetros habrá desde la Montaña rusa al Tiovivo, pasando por los Coches de choque?
d) ¿Cuántos metros recorremos desde los Coches de choque a la Noria, pasando por el Tiovivo y la Barca?
e) Si recorremos todas las atracciones del parque, ¿cuántos decámetros andamos?
92. ●● La torre del ayuntamiento de mi pueblo tiene una altura de 20 m y 35 dm.
a) ¿A cuántos centímetros se encuentra el punto más alto?
b) ¿A cuántos metros?c) ¿Y a cuántos decímetros?
94. ●● Con un rollo de plástico de 20 m de largo se envuelven bocadillos, cada uno de los cuales necesita 20 cm de plástico. ¿Cuántos bocadillos podemos envolver con los metros que tenemos?
96. ●● Un camión contiene una carga de 4 toneladas y 3 quintales. Expresa dicha carga en kilogramos.
97. ●● Un tren lleva un vagón con 18 toneladas y 15 quintales de carga. Exprésalo en kilogramos.
98. ●● ¿Cuántas botellas de vino de un litro de capacidad se pueden llenar con un tonel de un hectolitro?
99. ●● ¿Cuántas botellas de litro y medio se precisan para vaciar un depósito de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal?
100. ●● El precio de un frasco de colonia de 100 ml es de 18,60 €. ¿Cuánto cuesta un litro y medio?
102. ●● Una caja de cerillas tiene un volumen de 40 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar en otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3 ?
103. ●● Se han fabricado 25 628 piezas de jabón. Cada pieza tiene 750 cm3 de volumen. ¿Cuántos m3 de jabón se han fabricado?
104. ●● Si 1 dm3 de mercurio pesa 13,6 kilos, ¿cuánto pesarán 375 cm3 de mercurio?
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8 Proporcionalidad numérica
1. Cristóbal Colón fue un navegante que vivió entre los siglos xv y xvi. Investiga sobre los avances de la ciencia durante estos siglos.
2. ¿Qué fueron las capitulaciones de Santa Fe? ¿Cuáles son los acuerdos más importantes a los que se llegó?
3. Investiga sobre los avances matemáticos de la época que hicieron posible el viaje de Colón hasta América.
DESCUBRE LA HISTORIA...
La parte del almirante
El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada) comenzaba una de las gestas más importantes de la historia.
Isabel de Castilla y Fernando de Aragón, los Reyes Católicos, y un desconocido marino llamado Cristóbal Colón habían llegado a un acuerdo. Juan de Coloma leía los términos del mismo:
–Y de lo que quedare limpio tome la décima parte para sí, quedando el resto para Vuestras Altezas…
En ese punto la imaginación de Colón se disparó, alzó los ojos y dijo para sí:
–El primer paso está dado y si el destino nos acompaña seré Grande de España.
Así nació el descubrimiento de América. Cuando Colón regresó, los reyes lo esperaban en Barcelona, donde se presentó llevando, entre otras mercaderías, papagayos de vivos colores y las primeras muestras de oro americano. La parte del oro que le correspondió a él, aproximadamente 400 gramos, la donó a la catedral de Barcelona.
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Averiguar si dos razones forman una proporción.
• Reconocer magnitudes directa e inversamente proporcionales.
• Calcular valores de magnitudes directa e inversamente proporcionales.
• Calcular porcentajes.
PLAN DE TRABAJO
FRACCIONES
Una fracción es una expresión del tipo ba
, donde a y b son números naturales y b es distinto de 0.
El número a se llama numerador y b es el denominador.
Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas o partes de una unidad.
F
F
F
Partes que se toman de la unidad
Partes iguales en que se divide la unidad
65
Fracciones equivalentes
Dos fracciones ba
y dc
son equivalentes, y se escribe ba
dc
= , si a ? d = b ? c.
32
64
= , ya que: 2 ? 6 = 3 ? 4 = 12
Amplificación y simplificación de fracciones
• Amplificación: multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.
?
?
32
3 52 5
1510
= = 75
?
?
75
1212
8460
= =
• Simplificación: dividimos el numerador y el denominador entre un mismo número distinto de cero.
::
1216
12 416 4
34
= = ::
3984
39 384 3
1328
= =
La amplificación y la simplificación se utilizan
para calcular fracciones equivalentes a una fracción.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura, e indica su numerador y su denominador.
a) b)
1. Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no.
a) 21
y 45
b) 1612
y 76
c) 34
y 6080
2. Calcula una fracción equivalente a 6
50 que cumpla:
a) Tiene como denominador un número mayor que 50.b) Tiene como numerador un número menor que 30.c) Tiene como denominador 36.
123
301279 _ 0122-0137.indd 123 08/07/11 20:19
Razóny proporción
1.1 Razón
Una razón entre dos números, a y b, es el cociente indicado ba
.
EJEMPLO
1 En un centro escolar hay 9 profesoras y 12 profesores. ¿Qué relación numérica existe entre el número de profesoras y profesores?
La relación entre las profesoras y los profesores es de 9 a 12.
Esta relación la podemos expresar mediante la razón 129
.
1.2 Proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Si la razón entre a y b es ba
y entre c y d es dc
, y se cumple que ba
dc
= ,
decimos que a, b, c y d forman una proporción.
EJEMPLOS
2 Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos, y para 8 raciones, 4 huevos. ¿Forman una proporción en esta receta los huevos y las raciones?
Las razones entre el número de huevos y el de raciones son iguales.
63
84
6 raciones3 huevos
8 raciones4 huevos
= =" porque 3 ? 8 = 6 ? 4
El número de huevos y el número de raciones forman una proporción.
1 En 2 primeros minutos han pasado 15 coches por la calle, y cuando habían pasado 5 minutos llevaba contados 20 coches. ¿Guardan proporción el número de coches y el tiempo transcurrido?
Las razones entre el número de coches y el tiempo no son iguales.
152 5
20 152
205
cochesminutos minutos
coches! !" porque 2 ? 20 ! 5 ? 15
El tiempo transcurrido y el número de coches que pasan no forman proporción.
1
En una fracción ab ,
los números a y b son enteros. En una razón no es necesario.
132
" Es una razón y una fracción.
3,52
"� Es una razón, pero no es una fracción.
2 En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa mediante una razón.a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas.
124
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Relación de proporcionalidadentre dos magnitudes
2.1 Magnitudes directamente proporcionales
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se dividen dos números decimales
Si el divisor es un número decimal, se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor.
3,5 21 5 1,75 10 0
32 : 2,5 ? 10$ 320 25
070 12,2 050 00
18,24 : 5,7 ? 10$ 182,4 57
114 3,2 00
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multipli-car (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.
Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:
Magnitud A a1 a2 a3 … m
Magnitud B b1 b2 b3 … n
Si al formar razones con los valores correspondientes de ambas magnitu-des, la constante de proporcionalidad es la misma:
…ba
ba
ba
nm
k1
1
2
2
3
3= = = = =
diremos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales.
EJEMPLO
6 Un coche gasta de media 10 litros de gasolina por cada 125 km. La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionado con la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales?
Distancia (kilómetros) 125 250 500 1 000
Consumo (litros) 10 20 40 80
? 2
? 2
? 2
? 2
? 2
? 2
F
F
F
F
F
F
Magnitudes: distancia y consumo de gasolina. Al doble de distancia, doble de consumo. Al cuádruple de distancia, cuádruple de consumo...
Además: ,10125
20250
40500
801000
12 5= = = =
El resultado es el mismo, por tanto, son directamente proporcionales.
2
Hay magnitudes que están relacionadas,
pero no son directamente proporcionales.
Peso (kg) 4,5 5 6Meses 1 2 3
Al aumentar el tiempo aumenta el peso, pero no proporcionalmente.
4,5 1
=
5 2
1 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50 €, y otro de 35 páginas cuesta 32 €. Indica si las magnitudes número de páginas y precio son directamente proporcionales.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Comprueba si las magnitudes A y B son directamente proporcionales.
Magnitud A 2 6 8 10
Magnitud B 8 24 32 40
125
301279 _ 0122-0137.indd 125 08/07/11 20:19
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones
• Si la incógnita está en el numerador.Se multiplica por el denominador de la otra fracción.
Fx18 3
2= "�x ? 3 = 18 ? 2 "�
18 2?x
312= =
F
Pasa dividiendo
• Si la incógnita está en el denominador. Se multiplica por el numerador de la otra fracción. F
x2418 45= "�18 ? x = 24 ? 45 "�
24 45?x
1860= =
F
Pasa dividiendo
EJEMPLOS
2 Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura y su precio. Determina los valores que faltan.
Pintura (kg) 1 2 3 b
Precio (€) 8 16 a 48
Las magnitudes cantidad de pintura y precio son directamente proporcionales porque:
,81
162
0 125= =
Para calcular los valores desconocidos establecemos las proporciones.
a81 3
= "�1 ? a = 8 ? 3 " a = 24
b81
48= " 1 ? 48 = 8 ? b " b =
848
= 6
3 Si un coche tiene un consumo de 6,2 ¬ de gasolina por cada 100 km, ¿cuántos litros de gasolina gastará en un viaje de 350 kilómetros?
Las magnitudes kilómetros recorridos y litros consumidos son directamente proporcionales ya que:
• Si la distancia recorrida fuese el doble, el consumo de gasolina se multiplicaría por 2.
• Si el trayecto fuese la mitad, el consumo se reduciría a la mitad.
Si llamamos x a la cantidad de gasolina que se gastará en un viaje de 350 km y establecemos las proporciones:
, x1006 2
350= " 6,2 ? 350 = 100 ? x " x =
6,2 350,
?
10021 7= ¬
2 Ayer en la frutería me cobraron 4 euros por 5 kilos de patatas. Si hoy no ha cambiado el precio, cuánto me cobrarán por 7 kilos de patatas.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 Completa la tabla sabiendo que A y B son directamente proporcionales.
Magnitud A 2 4 80
Magnitud B 10 20 50 60
126
301279 _ 0122-0137.indd 126 08/07/11 20:19
2.2 Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi-plicada) por el mismo número.
EJEMPLO
7 Un tren, a una velocidad de 30 km/h, tarda 42 minutos en recorrer un trayecto. Si fuera a 60 km/h tardaría 21 minutos, y si fuera a 90 km/h tardaría 14 minutos. La velocidad y el tiempo, ¿son inversamente proporcionales?
Las magnitudes son velocidad y tiempo. Su tabla de valores será:
F
F
F
F
? 3
: 3
? 2
: 2
Velocidad (km/h) 30 60 90
Tiempo (minutos) 42 21 14
Al doble de velocidad, mitad de tiempo. Al triple de velocidad, la tercera parte del tiempo… Son inversamente proporcionales.
Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:
Magnitud A a1 a2 a3 … m
Magnitud B b1 b2 b3 … n
Si al formar productos con los valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es la misma:
a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k
diremos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.
EJEMPLO
4 Comprueba que estas magnitudes son inversamente proporcionales.
Magnitud A 6 9 12 2Magnitud B 6 4 3 18
Al formar los productos con los valores correspondientes:6 ? 6 = 9 ? 4 = 12 ? 3 = 2 ? 18 = 36
Las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 36.
42 min
30 km/h
3 Con un solo grifo tardo 6 minutos en llenar una garrafa. Si utilizo dos grifos tardaría 3 minutos. ¿Son el número de grifos y el tiempo inversamente proporcionales?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Comprueba que A y B son inversamente proporcionales.
Magnitud A 12 24 6
Magnitud B 4 2 8
127
301279 _ 0122-0137.indd 127 08/07/11 20:19
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos
Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro.
3 ? 4 = 6 ? x " x = 3 ?
64
612
= = 2
F
Pasa dividiendo
EJEMPLOS
5 La tabla muestra el tiempo empleado en recorrer una distancia en relación con la velocidad. Determina los valores que faltan.
Velocidad (km/h) 1 2 4 b
Tiempo (min) 24 12 a 8
Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales ya que:
1 ? 24 = 2 ? 12 = 24Para calcular los valores desconocidos aplicamos la relación de proporcionalidad inversa.
1 ? 24 = 4 ? a " 24 = 4a " a = 4
24 = 6
1 ? 24 = b ? 8 " 24 = 8b " b = 248
= 3
6 Los alumnos de 1.º de ESO quieren hacer un viaje de fin de curso. Necesitan alquilar un autobús y el precio depende del número de alumnos que realicen el viaje. La empresa les entrega la siguiente tabla con el precio que tiene que pagar cada alumno.
N.º de alumnos 10 20 30 40 50
Precio por alumno (€) 96 48 32 24 19,20
Si el viaje lo realizan 32 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno?
Comprobamos si las magnitudes son inversamente proporcionales.10 ? 96 = 20 ? 48 = 30 ? 32 = 40 ? 24 = 50 ? 19,20 = 960
El número de alumnos y el precio que tiene que pagar cada alumno son magnitudes inversamente proporcionales.El valor que desconocemos es el precio por alumno si realizan el viaje 32 alumnos. Aplicamos la relación de proporcionalidad inversa:
10 ? 96 = 32 ? x " x = 10 ?
3296
= 30 €
16 Con un consumo de 4 horas diarias, un depósito de gas dura 24 días. ¿Son magnitudes inversamente proporcionales? ¿Cuánto duraría el depósito con un consumo de 6 horas al día?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Completa la tabla para que sean magnitudes inversamente proporcionales.
1
72
3
24
6
12
9 12
4
Magnitud A
Magnitud B
128
301279 _ 0122-0137.indd 128 08/07/11 20:19
CALCULADORA
Para hallar un tanto por ciento en la calculadora:
45 % de 860
8 6 0 #
4 5 % �� 387
4 Expresa las siguientes cantidades en forma de fracción y número decimal.a) 17 % c) 31 %b) 92 % d) 43 %
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Escribe en forma de porcentaje y de fracción.a) Tres por ciento.b) Quince por ciento.c) Setenta por ciento.
Porcentajes
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresan algunos números decimales como fracción
Para escribir como fracción un número decimal con un número limitado de cifras decimales, escribimos como numerador de la fracción el número decimal sin coma, y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
,3 21032
= ,12 27100
1227= ,0 307
1000307
=
Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razón cuyo consecuente es 100.
%aa
100=
Un porcentaje también se puede expresar mediante una fracción o un nú-mero decimal.
, %43
0 7510075
75= = "
EJEMPLO
8 Completa la tabla.
ExpresiónTanto por
cientoSe lee Significa Fracción
Número decimal
El 55 % de la población son mujeres
55 %Cincuenta
y cinco por ciento
De cada 100 habitantes, 55 son mujeres 100
55 0,55
El 30 % de los alumnos son rubios
30 %Treinta
por ciento
De cada 100 alumnos, 30 son rubios 100
300,3
Rebajas del 40 % 40 %Cuarenta por ciento
De cada 100 € de compra se
descuentan 40 €10040
0,4
Efectividad del 9 % en tiros de tres puntos
9 %Nueve
por ciento
De cada 100 tiros
lanzados se encestan 9
1009
0,09
El 16 % de IVA 16 %Dieciséis por ciento
De cada 100 € se pagan 16 €
de IVA 10016 0,16
3
129
301279 _ 0122-0137.indd 129 08/07/11 20:19
Cálculo de porcentajes
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se divide por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad.
435 : 10 = 43,5 23,04 : 100 = 0,2304
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.
% ?
t Ct C100
de =
EJEMPLOS
7 Calcula los siguientes porcentajes.
a) El 20 % de 300.
% ??
2010020
10020
300100
20 30060de 300 de 300= = = =
b) El 2 % de 300.
2 % de 300 = 100
2 de 300 =
1002
? 300 = 2 ?
100300
= 6
c) El 120 % de 300.
120 % de 300 = 100120
de 300 = 100120
? 300 = 120 ?
100300
= 360
8 Calcula: 3,2 % de 80
3,2 % de 80 = 3,2 ?
10080
= 2,56
10 Calcula estos porcentajes expresándolos primero en forma de fracción.
Porcentaje Fracción Equivalencia Resultado
50 % de 650 %5010050
21
= = Es lo mismo que dividir entre 2 650 : 2 = 325
25 % de 600 %2510025
41
= =Es lo mismo que dividir entre 4 600 : 4 = 150
20 % de 300 %2010020
51
= =Es lo mismo que dividir entre 5 300 : 5 = 60
5 Calcula mentalmente y di cómo lo haces.
a) El 50 % de 100. c) El 25 % de 1 000.b) El 20 % de 500. d) El 10 % de 800.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Calcula.
a) El 65 % de 3 200. c) El 75 % de 1 000.b) El 60 % de 60. d) El 5,5 % de 200.
Podemos calcular mentalmente algunos porcentajes.
10 % = 10100
= 110
Es lo mismo que dividir entre 10.
130
301279 _ 0122-0137.indd 130 08/07/11 20:19
t % de C = t ? C 100 = A
Los porcentajes se utilizan para resolver numerosos problemas de la vida cotidiana.
EJEMPLOS
11 ¿Cuánto habrá que pagar por un coche, cuyo precio de fábrica es de 15 000 €, si hay que sumarle el 16 % de IVA?
Calculamos el aumento del precio de fábrica:
�% ?
16100
16 15 0002 400de 15 000= =
Luego el precio final del coche será:
15 000 + 2 400 = 17 400 €
9 En una tienda de muebles han rebajado un 12 % los precios. ¿Cuánto tendré que pagar por una mesa cuyo precio sin descuento es de 450 €?
Calculamos el descuento que nos hacen:
12 % de 450 = 12 ?
100450
= 54 €
Luego el precio final de la mesa será:450 - 54 = 396 €
12 El 85 % de las camas de un hospital están ocupadas. Si hay 300 camas en total, ¿cuántas camas suponen ese porcentaje?
Calculamos el 85 % de las 300 camas.
85 % de 300 = 300 085
25530??
10085
10085
100300
de = = =
Hay 255 camas ocupadas.
13 El 60 % de los alumnos de mi clase son chicas. Si somos 30 alumnos en total, ¿cuántas chicas habrá? ¿Y chicos?
Calculamos el 60 % de los 30 alumnos de la clase.
60 % de 30 = ??
10030
10030
10030
1860 60 60
de = = =
En la clase hay 18 chicas.Como hay 18 chicas, el número de chicos es: 30 - 18 = 12En la clase hay 18 chicas y 12 chicos.
26 El prensado de 1 500 kg de aceituna produjo el 36 % de su peso en aceite. Calcula la cantidad de aceite obtenida.
27 Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20 % de los 30 alumnos, ¿cuántos alumnos hemos asistido? ¿Cuántos han faltado?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
22 El precio de una reparación es 600 € sin IVA. ¿Cuánto costará con el 16 % de IVA?
23 Unos pantalones vaqueros costaban 50 €, pero me hacen una rebaja del 12 %. ¿Cuánto tengo que pagar?
131
301279 _ 0122-0137.indd 131 08/07/11 20:19
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Razón
ba
61
122
244
366
= = =1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4
Proporción
ba
dc
= a es a b como c es a d.
Porcentajes
% ?
t Ct C100
de =
1. AVERIGUAR SI DOS RAZONES FORMAN UNA PROPORCIÓN
2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Averigua si 53
y 159
forman una proporción.
PRIMERO. Realizamos los productos cruzados.
53
159
= "??
3 15 455 9 45
==
(
SEGUNDO. Comparamos los resultados. Si son iguales, forman una proporción.
En este caso decimos que 35
y 159
forman una proporción.
En un supermercado, cada bolsa de naranjas cuesta 2,50 €. ¿Existe relación de proporcionalidad directa entre el número de bolsas compradas y el precio total?
PRIMERO. Construimos una tabla donde relacionamos los valores de las magnitudes.
N.º de bolsas 1 2 3 4 ...
Precio (€) 2,50 5 7,50 10 ...
SEGUNDO. Calculamos el cociente de los datos correspondientes. Si el cociente es constante, las magnitudes son directamente proporcionales.
, ,0,4
2 501
52
7 503
104
…= = = = =
3. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Una fotocopiadora tarda 12 minutos en realizar un trabajo. Si tuviéramos 2 fotocopiadoras, tardaríamos 6 minutos... ¿Existe relación de proporcionalidad inversa?
PRIMERO. Construimos una tabla donde relacionamos los valores de las magnitudes.
Fotocopiadoras 1 2 4 ...
Tiempo (min) 12 6 3 ...
SEGUNDO. Calculamos el producto de los datos correspondientes. Si el producto es constante, las magnitudes son inversamente proporcionales.
1 ? 12 = 2 ? 6 = 4 ? 3 = … = 12
HAZLO DE ESTA MANERA
G FG
F
Magnitudes directamente proporcionales
1
6
2
12
4
24
6
36
Magnitud A
Magnitud B
? 3
? 3
: 2
: 2
FF
FF
Magnitudes inversamente proporcionales
1
24
2
12
4
6
6
4
Magnitud A
Magnitud B
? 3
: 3
: 2
? 2
FF
FF
132
301279 _ 0122-0137.indd 132 08/07/11 20:19
5. CALCULAR EL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD
1. AVERIGUAR CANTIDADES DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Calcula el 18 % de 550.
PRIMERO. Expresamos el tanto por ciento como una razón.
18 % = 10018
SEGUNDO. Multiplicamos la cantidad por esa razón.
18 % de 550 = 18
??
10018 550
550100
= = 99
Los datos de la tabla corresponden a diferentes cantidades de aceite y su precio.
N.º de litros 1 2 7
Precio (€) 2,50 5 a
Completa los valores que faltan.
PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes son directamente proporcionales.
,2 501
52
= = 0,4
SEGUNDO. Establecemos proporciones en las que solo hay un dato desconocido.
, a2 501 7
= " 1 ? a = 7 ? 2,50 " a = 17,50
2. AVERIGUAR CANTIDADES DE MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Los datos de la tabla corresponden a diferentes tiempos empleados en llenar una piscina en relación con el número de grifos utilizados.
Número de grifos 2 4 a
Tiempo (horas) 18 9 2
Completa los valores que faltan.
PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes son inversamente proporcionales.
2 ? 18 = 4 ? 9 = 36
SEGUNDO. Establecemos la relación de la proporcionalidad inversa con los valores desconocidos.
2 ? 18 = a ? 2 " 36 = 2a " a = 2
36 = 18
Comprende estas palabras
1. ¿Cuántas razones se necesitan para formar una proporción?
Averiguar si dos razones forman una proporción
3. ¿Forman una proporción 47
y ,2
3 2 ?
Averiguar si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales
5. Un pastelero tarda 2 horas en hacer una tarta, y 3 horas y media en hacer dos tartas. ¿Es directamente proporcional el número de tartas que realiza con el tiempo que tarda?
6. En un establo de 15 vacas hay comida para 9 días. Si tuviéramos 20 vacas, habría para 6 días. ¿Es inversamente proporcional el número de vacas y la duración de la comida?
Averiguar cantidades de magnitudes directamente o inversamente proporcionales1. Si A y B son directamente proporcionales,
y C y D inversamente proporcionales, calcula x e y.
a) A 2,1 x 3,6
B 7 15 y
b) C 8 x 10
D 5 20 y
Calcular el tanto por ciento de una cantidad7. Calcula el 25% de 24.
Y AHORA… PRACTICA
133
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ActividadesRAZÓN Y PROPORCIÓN
6. ● Expresa mediante una razón.
a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.b) Teníamos 68 huevos y se nos han roto 12.c) En el primer turno de comida comen
94 alumnos; en el segundo, 65.d) Un frutero tiene 7 cajas de tomates
y 3 de pimientos.
34. ●● Si mi habitación tiene las siguientes medidas: 6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, halla:
a) La razón entre el largo y el ancho.b) La razón entre el largo y la altura.
35. ●● Marta encesta 6 de cada 10 tiros libres. Encuentra la razón entre el número de tiros y el de aciertos. ¿Es la misma que entre el número de aciertos y el de tiros? Averigua qué relación hay entre ambas razones.
36. ●● Escribe dos números cuya razón sea 3.
37. ● De los siguientes pares de razones, indica cuáles forman proporción.
a) 4
16 y
520
c) 301
y 217
b) 54
y 10080
d) 173
y 346
7. ● Identifica las razones que forman una proporción.
a) ; ;;12
28
36
59
c) ; ; ;,3 4
7 564
23 10
b) ; ; ;8
3052
101050 20
d) ; ; ;7
52 4
89
7 14
44. ● Forma diferentes proporciones con los números 3, 4, 9 y 12.
46. ●● Averigua si los números 2 y 3 mantienen proporción con 8 y 12, respectivamente.
48. ●● Forma una razón con estos datos: «5 litros de aceite valen 15,25 €». Establece proporciones de esta razón con los siguientes datos, y calcula su constante de proporcionalidad.
a) 20 litros c) 76,25 €b) 25 litros d) 61 €
MAGNITUDES PROPORCIONALES
49. ● En dos puestos, A y B, se venden manzanas, con los siguientes precios:
Puesto A
1 kg
0,53 €
2 kg
1,06 €
3 kg
1,59 €
Puesto B
1 kg
0,60 €
2 kg
1 €
3 kg
1,50 €
¿En cuál de estos puestos son directamente proporcionales las magnitudes peso y precio?
50. ●● De los siguientes pares de magnitudes, indica cuáles son directamente proporcionales.
a) Longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.
b) Número de grifos y tiempo de llenado de un depósito.
c) Número de ovejas y pienso que comen.d) Velocidad de una motocicleta y tiempo
empleado en recorrer una distancia.
52. ● Completa las tablas, sabiendo que ambas magnitudes son directamente proporcionales.
26
15
6
12
2
4
12 14Magnitud A
Magnitud B
105
20
7
14
21 8
16
42Magnitud A
Magnitud B
15 0,15
0,2
0,3
0,5 1,4 1
1,5
Magnitud A
Magnitud B
54. ● Completa estas tablas comprobando que ambas magnitudes son inversamente proporcionales.
6
90
2
270
5 30
54
A
B
9 45
10
10 15
30
25A
B
2 10
30
6 15 4
75
A
B
134
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PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
55. ●● En un puesto aparecen estas tablas de precios para dos tipos de melocotones.
kg 1 2 5
€ 0,90 1,80 4,50
TIPO A TIPO B
kg 1 2 5
€ 0,95 1,85 4,25
a) ¿En cuál de las tablas son directamente proporcionales las magnitudes peso y precio?
b) En este puesto, ¿cuánto costarán 12 kg de melocotones del tipo A?
56. ●● Los siguientes datos de la tabla son medidas de espacios y del tiempo que se tarda en recorrerlos.
120
9
30
2,25
60
a
b
6
Espacio (m)
Tiempo (s)
a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales?b) Encuentra la constante de proporcionalidad
entre el espacio y el tiempo.c) Averigua los valores que faltan.
57. ●● El agua de un pozo se saca en 210 veces utilizando un cubo de 15 ¬ de capacidad. Si empleamos un cubo de 25 ¬, ¿cuántas veces necesitaremos introducir el cubo en el pozo para sacar la misma cantidad de agua?
58. ●● Un coche tarda 6 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tardaría en recorrer ese mismo trayecto si circula a una velocidad de 60 km/h?
59. ●● Enrique ayuda a unos familiares en su tienda en Navidad. Por cada cinco días de trabajo le dan 160 �. ¿Cuánto le darán por diecisiete días?
60. ●● En un frasco de legumbres de 500 g hay 2,5 g de grasa, y en otro frasco de 400 g de legumbres hay 2,1 g.
a) ¿Están en proporción estos datos?b) Si no están en proporción, ¿en cuál de
los dos hay más grasa proporcionalmente?
61. ●● En la carnicería, las salchichas cuestan 5,25 €/kg. También tienen paquetes de salchichas de 0,5 kg que cuestan 2,10 €. ¿Qué salchichas son más baratas?
62. ●● Con un consumo de 3 horas diarias, un depósito de gas dura 20 días. ¿Cuánto duraría con un consumo de 6 horas diarias?
63. ●● Un ganadero tiene pacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿para cuántos días tiene alimento?
64. ●● En una botella de zumo aparece esta tabla.
Valores medios 100 mlCarbohidratos (g) 10,6Kilocalorías 43Proteínas (g) 0,2
a) ¿Cuántas kilocalorías aportará una botella de zumo de un litro? ¿Y proteínas?
65. ●● Los ingredientes necesarios para realizar un bizcocho son directamente proporcionales al tamaño del bizcocho. Para hacer un bizcocho para 4 personas, se precisan 2 huevos, 6 cucharadas de azúcar y un cuarto de litro de leche, entre otros ingredientes.
Calcula la cantidad necesaria de estos ingredientes para hacer un bizcocho para 2, 6 y 8 personas.
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PORCENTAJES
66. ● Expresa estos porcentajes como fracción y como número decimal.
a) 25 % c) 37 %b) 110 % d) 16 %
67. ● Escribe los números decimales en forma de porcentaje.
a) 0,34 c) 0,723b) 0,45 d) 1,23
68. ● Expresa en porcentaje las siguientes fracciones.
a) 83
c) 511
b) 25
d) 47
69. ● Halla el 22 % de:
a) 144 b) 236 c) 1 256 d) 5 006
70. ● Calcula mentalmente.
a) El 10 % de 40. c) El 50 % de 2 000.b) El 20 % de 500. d) El 30 % de 40.
71. ● Calcula mentalmente.
a) El 15 % de 30. c) El 60 % de 200.b) El 40 % de 60. d) El 25 % de 8 000.
73. ● Halla estos porcentajes utilizando la calculadora.
a) El 51 % de 30. c) El 21 % de 60.b) El 76 % de 100. d) El 8 % de 951.
PROBLEMAS CON PORCENTAJES
76. ● Por ingresar un cheque de 644 € me han cobrado un 2 % de comisión. ¿Qué cantidad he tenido que pagar al banco?
77. ● El 60 % del cuerpo humano es agua. ¿Qué cantidad de agua hay en una persona de 75 kg?
78. ● Una viga de hierro de 25 metros de longitud, debido al calor, se dilata un 1,5 %. ¿Cuál será su medida después de calentarla?
79. ●● ¿Cuánto tendrá que pagar el dueño de un restaurante por la compra de 492 vasos a 3,25 € la docena, si pagando al contado le hacen un 8 % de descuento?
80. ● Al tirar un dado trucado 30 veces, ha salido 12 veces el número 5. Si decido apostar al número 5, ¿qué porcentaje de aciertos tendré?
81. ●● Un agente inmobiliario cobra un porcentaje de un 2 % del valor de la finca vendida: una tercera parte del comprador, y el resto, del vendedor. Si acaba de vender un piso por 150 000 €:
a) ¿Cuál será su comisión?b) ¿Cuánto le pagará el vendedor del piso?c) ¿Y el comprador?
8. ● «LA POBLACIÓN DE ORIGEN POLACO EN ESPAÑA HA DESCENDIDO UN 8 % EN EL ÚLTIMO AÑO.»
Si el año pasado había 270 000 polacos residiendo en España, ¿cuántos ciudadanos polacos viven en España en la actualidad?
¿CÓMO SE RESUELVE UN PORCENTAJE CON LA CALCULADORA?
72. Halla con la calculadora el 12 % de 310.
PRIMERO. Se teclea el porcentaje y se divide entre 100.
12 ' 100 = 0.12SEGUNDO. Se multiplica el resultado por la cantidad de la que se quiere hallar el porcentaje.
0,12 # 310 = 37,2También se puede calcular este porcentaje utilizando las teclas específicas de la calculadora.
12 % 310 = 37,2
HAZLO ASÍ
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82. ●● Para calcular la cantidad de carne que tiene un cerdo, a su peso hay que quitarle un 40 % de vísceras y huesos, y un 15 % de grasa. Si un cerdo pesa 184 kg, ¿qué cantidad de carne tiene?
83. ●● Un CD de música cuesta 16 €, pero al comprar tres hacen un 10 % de descuento. ¿Cuánto costarán 6 CD de música teniendo en cuenta el descuento?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL PORCENTAJE CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE?
9. De 120 entrevistas realizadas a los alumnos de un instituto, 876 contestan que se cepillan los dientes a diario. ¿Qué porcentaje de alumnos se cepillan los dientes cada día?
PRIMERO. Se establece la proporción.Si de 1 200 alumnos " 876 se cepillan
3de 100 alumnos " x se cepillan
" x100
1200 876=
SEGUNDO. Despejamos el valor de x.
x1001200 876
= " 1 200 ? x = 100 ? 876
" x = 100 ?
1200876
= 73
El 73 % de los alumnos se cepillan los dientes cada día.
74. ● ¿Qué tanto por ciento de pérdida representa la venta de un objeto que ha costado 450 € por 423 €?
10. ● Se ha hecho una encuesta en la que se ha entrevistado a 250 personas. De las personas encuestadas, 137 eran mujeres. Calcula el porcentaje de hombres a los que se ha entrevistado.
11. ● Cada comprimido de 650 mg de un determinado antibiótico contiene 500 mg de amoxicilina. ¿Cuál es el porcentaje de amoxicilina contenido en una cápsula de este antibiótico?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIDOS EL PORCENTAJE Y LA PARTE?
12. En una empresa 540 empleados donan sangre. Si estos suponen el 20 % del total de la plantilla, ¿cuántas personas trabajan en la empresa?
PRIMERO. Se establece la proporción.Si de 100 trabajadores " 20 donan sangre
3de x trabajadores " 540 donan sangre
" x
10054020
=
SEGUNDO. Despejamos el valor de x.
x100
54020
= " 100 ? 540 = x ? 20
" x = ?
20100 540
= 2 700
Trabajan 2 700 personas en la empresa.
75. ● Si 324 casas, que representan el 25 % de todas las viviendas de un pueblo, tienen dos dormitorios, ¿cuántas casas hay en el pueblo?
88. ●● En un instituto de 1 100 alumnos, se comprobó que 350 son rubios, 200 tienen los ojos azules y a 750 les gusta el fútbol. Expresa estas cantidades en porcentajes.
89. ● El 24 % de los alumnos de una clase de Matemáticas aprueban con notable o sobresaliente. Si en la clase hay 25 alumnos, averigua cuántos obtienen una calificación menor que notable.
90. ● En mi buzón de correos había cartas de amigos y cartas del banco. Si había en total 40 cartas y el 25 % es de cartas del banco, averigua el número de cartas de amigos.
92. ●● Decidimos hacer una excursión escolar. El 20 % de los alumnos de la clase quiere ir al Museo de la Ciencia, mientras que el 60 % quiere ir al Planetario. Si 15 alumnos deciden ir al Planetario, ¿cuántos alumnos han elegido la otra excursión? ¿Cuántos alumnos habrá en la clase?
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El nacimiento de un signoDesde que María Tudor había subido al trono, Robert Recorde vivía atemorizado de que alguna denuncia lo llevara a la cárcel, cuando no a la hoguera.
Robert Recorde había desempeñado importantes cargos cuando reinó Eduardo, el hermanastro de María, y aunque continuaba teniendo un buen cargo, sentía que sus enemigos eran ahora muy poderosos.
Sus cavilaciones cesaron cuando abrió la puerta de la imprenta donde trabajaban en su última creación: La piedra de afilar el ingenio. El artesano que imprimía el libro se levantó para saludarlo:
–Buenos días, señor Recorde. Su trabajo no está todavía terminado, y además quería consultaros algo.
–Preguntad –lo invitó Recorde.
–He de señalaros que he encontrado un símbolo en el manuscrito para el que no tengo matriz –dijo el impresor señalando el símbolo =.
–Tenéis razón, he inventado el símbolo para denotar la igualdad entre los dos miembros de una ecuación –contestó Recorde viendo la extrañeza del impresor–. Escogí este símbolo porque nada hay más igual que dos rayas de igual longitud y paralelas.
Corría el año de 1557 y era la primera vez que se utilizaba el signo =. Sin embargo, su uso se popularizó dos siglos más tarde acortando los segmentos.
Rectas y ángulos
1. Robert Recorde nació en Gales en el seno de una familia acomodada. Busca información sobre su vida y su relación con la corte.
2. ¿Qué símbolo utiliza Recorde para expresar la igualdad? ¿Por qué eligió este signo?
3. ¿Cuál se considera la principal contribución de Robert Recorde al estudio de las matemáticas?
DESCUBRE LA HISTORIA...
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Reconocer rectas, semirrectas y segmentos.
• Distinguir las posiciones de dos rectas en el plano.
• Diferenciar los distintos tipos de ángulos.
• Manejar el sistema sexagesimal.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
En este sistema, cada 10 unidades de un orden forman una unidad de un orden inmediatamente superior.
FFFFFFF
DM UM C D U d c m
? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
F F F F F F F: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
5 C " 5 ? 100 = 500 U 5 C " 5 : 10 = 0,5 UM
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad
4 7 0 2 5 7 1
4 7 0 2 5 7 1
1 Unidades
7 Decenas = 70 unidades
5 Centenas = 500 unidades
2 Unidades de millar = 2 000 unidades
0 Decenas de millar = 0 unidades
7 Centenas de millar = 700 000 unidades
4 Unidades de millón = 1 000 000 de unidades
F
F
F
F
F
F
F
EVALUACIÓN INICIAL
2. Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas.
a) 512,4 D = 5,124 d = 5 124 db) 13,18 C = 0,1318 d = 131,8 d
c) 4,351 U = 43,51 d = 4 351 d
1 Copia y completa las siguientes igualdades con los números adecuados.
a) 325 C = d D c) 436 m = d D
b) 43,24 d = d U d) 56 D = d d
2 Indica el valor de la cifra 3 en los siguientes números.
a) 43 009 c) 532,21
b) 70,031 d) 5,39
Un sistema es decimal cuando sus unidades se relacionan entre sí
mediante potencias de 10.
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Rectas, semirrectas y segmentos
1.1 Línea recta
Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos.
Como la recta no tiene principio ni final, no podemos dibujarla entera, y por eso representamos solo una parte de ella.
• Por un punto pasan infinitas rectas.
• Por dos puntos pasa una sola recta.
A
B
C
1.2 Semirrecta y segmento
Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no final.
Un punto cualquiera de una recta es origen de dos semirrectas.
sr A
Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos. El segmento tiene principio y final.
A y B se llaman extremos A B
del segmento.
A un segmento se le nom-bra por sus extremos, AB.
1
A B
sASemirrecta s
r
Semirrecta rA
SE ESCRIBE ASÍ
Las rectas se nombran mediante una letra minúscula: a, b, c, r, s, t…Los puntos se indican mediante letras mayúsculas: A, B, C, P, Q, R…
1 Marca en tu cuaderno cuatro puntos situados de esta manera y dibuja:
a) Dos rectas que pasen por A.b) Dos semirrectas cuyo origen sea B.c) Un segmento cuyos extremos sean C y D.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Dibuja un punto en tu cuaderno y traza tres líneas rectas que lo contengan.
2 Traza una recta en tu cuaderno, sitúa un punto sobre ella y nombra las dos semirrectas que resultan.
3 Dibuja un segmento de 5 cm de longitud y nómbralo señalando sus extremos.
C• •D
A• B•
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Rectas, semirrectas y segmentos
1.1 Línea recta
Como la recta no tiene principio ni final, no podemos dibujarla entera, y por eso representamos solo una parte de ella.
1.2 Semirrecta y segmento
Un punto cualquiera de una recta es origen de dos semirrectas.
A y B se llaman extremos del segmento.
A un segmento se le nom-bra por sus extremos, AB.
7 Clasifica las siguientes rectas.
a) r y sb) r y tc) u y td) r y u
2 Dibuja dos rectas secantes que no sean perpendiculares y traza una recta perpendicular a cada una de ellas.
t sr
u
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Estudia la posición relativa de las rectas que se determinan en estos casos.
a) Las vías del tren.b) Las tres calles que convergen
en una rotonda.c) Los bordes de los peldaños de una escalera.d) El largo y el ancho de una ventana.e) Los radios de la rueda de una bicicleta.f) Las huellas de un trineo en la nieve.
1.3 Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas se denominan:• Secantes: cuando se cortan en un punto. Si además dividen el
plano en cuatro partes iguales decimos que son perpendiculares. • Paralelas: si no tienen ningún punto en común.• Coincidentes: cuando todos sus puntos son comunes.
EJEMPLOS
1 Traza rectas paralelas y perpendiculares utilizando la escuadra y la regla.
Para trazar rectas paralelas deslizamos el borde de la escuadra sobre una regla.
Para trazar rectas perpendiculares utilizamos los bordes perpendiculares de la escuadra.
2 Dibuja una recta paralela a la recta r y que pase por el punto P.
Apoyamos uno de los bordes perpendiculares de la escuadra sobre la recta r. Después, colocamos la regla pegada al otro borde.
Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta que el borde coincida con el punto P.
La recta s es paralela a la recta r y pasa por P.
3 Traza una recta perpendicular a la recta r y que pase por el punto P.
Apoyamos uno de los bordes perpendiculares de la escuadra sobre la recta r.
Deslizamos la escuadra sobre la recta r, hasta que el otro borde coincida con el punto P.
La recta s es perpendicular a la recta r y pasa por P.
Pr
s
s
P
r
La escuadra es un instrumento
con dos bordes de igual medida que son perpendiculares.
Rectas secantes
Rectas paralelas
Rectas coincidentes
Rectas perpendiculares
141
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SE ESCRIBE ASÍ
Este ángulo lo podemos representar de dos formas:
• Con el símbolo U sobre la letra F (vértice del ángulo): FU.
• Con el símbolo U sobre las tres letras que determinan el ángulo: HFG%, de manera que quede en el centro la letra que determina el vértice, en este caso F.
Ángulos
Llamamos ángulo a la abertura for-mada por dos semirrectas que parten de un mismo punto.A cada semirrecta se le denomina lado y el punto se llama vértice.Lado
Lado
Vértice
EJEMPLO
4 Determina los elementos de este ángulo:
C
A B
• Los lados son AB y AC.
• El vértice es el punto A.
• El ángulo se denota BAC% o AU.
2.1 Clasificación de ángulos
Atendiendo a la posición de sus lados
• Ángulo nulo. Sus lados son dos semirrec-tas coincidentes.
• Ángulo recto. Sus lados son perpendicu-lares.
• Ángulo llano. Sus lados están sobre la mis-ma recta y no son coincidentes.
Atendiendo a su abertura
• Ángulo agudo. Su abertura es inferior a la de un ángulo recto.
• Ángulo obtuso. Su abertura es superior a la de un ángulo recto.
2
F H
G
10 Indica en esta figura cuáles son los ángulos agudos, rectos y obtusos.
3 Escribe el tipo al que corresponde cada ángulo.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Señala el nombre de los ángulos queforman las piernas de los gimnastas.
C
DE
B
G
A
F
AUBUCU
142
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13 Observa los siguientes ángulos y contesta.
¿Son adyacentes AU y BV? AUBU
¿Y suplementarios?
4 Dibuja en tu cuaderno dos rectas secantes. Clasifica todos los tipos de ángulos que veas.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
12 Observa la figura.
BUCU
DU EUAU
a) Indica qué ángulos son opuestos por los vértices.
b) Señala los ángulos adyacentes.
2.2 Posición relativa de dos ángulos
• Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que tienen en común el vértice y sus lados están sobre las mismas rectas.
AOB% y COD%
son ángulos opuestos por el vértice.
A D
O
B C
• Ángulos consecutivos. Son ángulos que tienen en común el vértice y un lado.
AOB% y BOC%
son ángulos consecutivos.
A B
C
O
• Ángulos adyacentes. Son ángulos que tienen un lado común y forman entre los dos un ángulo llano.
AOB% y BOC%
son ángulos adyacentes.
A
B
CO
• Ángulos complementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecu-tivos, forman un ángulo recto.
AU AUBU BUF AU y BU son complementarios.
• Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecuti-vos, forman un ángulo llano.
AUAU BU BUF AU y BU son suplementarios.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Los ángulos suplementarios son adyacentes si tienen
un lado común.
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Operacionescon ángulos
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un arco en una circunferencia
Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
EJEMPLO
5 Utiliza el compás para construir un ángulo como este.
Dibujamos un arco sobre el ángulo dado, con centro en el vértice. Sobre una recta marcamos un punto que será el vértice del nuevo ángulo.
Y con la misma amplitud, trazamos otro arco en el ángulo en construcción.
Medimos con el compás la amplitud de ese arco sobre el ángulo dado.
Trasladamos esa amplitud al ángulo en construcción, y unimos su extremo con el nuevo vértice.
3.1 Suma de ángulos
Para sumar ángulos los dibujamos de forma que sean consecutivos.
El ángulo suma es el comprendido entre los lados no comunes.
EJEMPLO
6 Suma estos ángulos:
AUBU BU AU
AU + BUF1
Utilizando el compás construimos un ángulo igual a AV. A continuación del ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, de modo que ambos sean consecutivos.El ángulo suma, AV + BV, es el comprendido entre los lados no comunes.
3
AB
16 Suma en tu cuaderno los ángulos.
AU BU CU
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
15 Suma estos ángulos:
AU BU
144
301279 _ 0138-0153.indd 144 08/07/11 20:39
5 Dibuja en tu cuaderno estos ángulosy halla.
AU BUCU
a) BV - CVb) AV - CVc) 2 ? CV
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Dibuja estos ángulos en tu cuaderno, y realiza las operaciones que se indican.
BUAU
a) AV - BVb) 2 ? AVc) BV - AV
3.2 Resta de ángulos
Para restar dos ángulos los dibujamos, uno sobre el otro, de modo que coincidan los vértices y uno de sus lados.
El ángulo diferencia es el comprendido entre los lados no comunes.
EJEMPLO
7 Dados estos ángulos, calcula AU - BV.
AUBU AU
AU - BUBUF2
Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a AV. Sobre el ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, tal y como se ve en la figura.
El ángulo diferencia, AV - BV, es la parte de AV que no ocupa BV.
3.3 Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural sumamos el mismo ángulo tantas veces como nos indique el número.
EJEMPLO
8 Calcula 3 ? BV.
BU BUBUBU
F
Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a BV.De manera consecutiva al ángulo BV construimos tantos ángulos iguales a BV como nos indique el número que multiplica.
El ángulo 3 ? BV es el ángulo comprendido entre los lados no comunes del primer y del último ángulo.
En la resta de ángulos, para construir
el ángulo diferencia, AU – BV, es necesario que el ángulo AU sea
mayor que BV.
145
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Sistemasexagesimal
El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos y medidas de tiempo menores que el día. Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediato inferior.
4.1 Unidades de medida de ángulos
El grado se representa °, y es la unidad principal de medida de ángulos.
Para medir ángulos con más preci-sión, se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo.
1 grado = 60 minutos 1° = 60' 1 minuto = 60 segundos 1' = 60"
EJEMPLO
9 Expresa estas medidas de ángulos en las unidades que se indican.
a) 34° en minutos --" 34° = 34 ? 60 = 2 040'
c) 340" en grados --" 340" = 340 : 3 600 = 0,094°
Una medida está escrita en forma incompleja cuando está expresada con una única unidad de medida. Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se transforman unidades complejas en incomplejas
En un cuadrado de unidades, colocamos cada unidad en su lugar.
1 0 2 0 0 5
km hm dam m dm cmForma incompleja102,005 dam
Forma compleja1 km 2 dam 5 cmF F
EJEMPLO
10 Un ángulo mide 2° 4' 55". ¿Cuántos segundos son?
Transformamos cada una de las unidades en segundos. 2° " 2 ? 3 600 = 7 200"
4' " 4 ? 60 = 240"
55"
7 495" " 2° 4' 55" equivalen a 7 495 segundos.
4
F
F
: 3 600
? 3 600
? 60
: 60
? 60
: 60
grado minuto segundo
F
F
F
F
Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir.Magnitudes son: la longitud,
la masa, la capacidad...Unidades de medida son: el kilómetro, el kilogramo,
el litro…
23 Expresa en forma compleja.
a) 14 824" b) 832' c) 18,5° d) 24,8'
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Expresa en minutos.
a) 90° b) 45° c) 150° d) 75°
146
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4.2 Medidas de ángulos
Un ángulo recto mide 90°.
90º
Un ángulo llano mide 180°.
180º•
Un ángulo agudo mide menos de 90°.
Un ángulo obtuso mide más de 90°.
Un ángulo completo mide 360º.
360º•
Para medir un ángulo utilizamos el transportador.
60º
35º 120º
O
B
A
O
D
C
O
F
E
EJEMPLOS
11 Dibuja un ángulo de 60°.
Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta y, a continuación, hacemos una marca en 60°.
Finalmente, utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.
12 Dibuja el ángulo AU.
AUBU
Medimos con el transportador el ángulo BV.BV = 135°
Calculamos la medida del angulo AV.AV = 360° - BV = 360° - 135° = 225°
AU
El vértice del transportador debe estar siempre situado
en el vértice del ángulo.
Vértice del transportador
27 Dibuja.
a) Un ángulo agudo mayor de 80°.
b) Un ángulo obtuso menor de 100°.
6 Dibuja en tu cuaderno un ángulo agudo. Después utiliza el transportador para medirlo. Haz lo mismo con un ángulo obtuso.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Mide con tu transportador estos ángulos.a) b) d)c)
26 Dibuja estos ángulos.
a) 30° b) 45° c) 160° d) 180°
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Líneas
Posiciones relativas de dos rectas
Ángulo
Tipos de ángulos
1. OPERAR GRÁFICAMENTECON ÁNGULOS
Dados los ángulos AU y BV :
calcula AU + BV y AU - BV.• Suma de ángulos
PRIMERO. Construimos con el compás un ángulo igual a AV.SEGUNDO. Construimos, a continuación del ángulo AV, un ángulo igual a BV, de modo que sean consecutivos. El ángulo AV + BV es el ángulo rojo.
• Resta de ángulosPRIMERO. Construimos un ángulo igual a AV.SEGUNDO. Llevamos sobre el ángulo AV un ángulo igual a BV, tal y como se indica en la figura. El ángulo AV - BV es el ángulo rojo.
AU
AU + BU
BU
AUBU
AU - BUAU
BU
sr
PA B
RectoSemirrecta
Recta Segmento
r s
Paralelas
rs
Secantesr
s
Coincidentes
r
s
Perpendiculares
Llano Agudo
Posiciones relativas de dos ángulos
Opuestos por el vértice
Consecutivos Adyacentes
Complementarios Suplementarios
Obtuso
A B
C
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDO EL COMPÁS
Utiliza el compás para construir un ángulo como el dibujado.
PRIMERO. Trazamos una semirrecta, que será uno de los lados del ángulo que vamos a construir, con origen en un punto, que será el vértice del ángulo.
SEGUNDO. Dibujamos un arco sobre el ángulo dado con centro en su vértice y, con el mismo radio, otro arco en el ángulo en construcción.
TERCERO. Medimos con el compás la amplitud de ese arco sobre el ángulo dado y lo trasladamos al ángulo en construcción.
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Expresa.
a) 34° en minutos. b) 82" en grados.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida.
a) Un salto hacia la derecha.b) Dos saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por 60 si es un salto, o por 3 600 si son dos saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos la medida entre 60 si es un salto, o entre3 600 si son dos saltos.
a) 34 ? 60 = 2 040' b) 82 : 3 600 = 0,023°F
F
F
F
? 60 ? 60
: 60 : 60
grados minutos segundos
2. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDO UN TRANSPORTADOR
Utiliza la regla y el transportador para dibujar un ángulo de 70º.
PRIMERO. Utilizamos la regla para dibujar una semirrecta con origen en un punto A.
SEGUNDO. Situamos el centro del transportador sobre el punto A y hacemos que la semirrecta pase por el 0º del transportador.
TERCERO. Hacemos una marca sobre la medida del ángulo que queremos dibujar.
CUARTO. Unimos el punto A con la marca que acabamos de hacer.
A
AV70º
A
A
Comprende estas palabras
1. ¿Puedes hallar la longitud de una línea recta?¿Y de una semirrecta? ¿Y de un segmento?
2. ¿Cuántas perpendiculares a una recta que pasen por un punto exterior a ella puedes trazar? ¿Y cuántas paralelas?
3. Señala en la figura un par de ángulos consecutivos y un par de ángulos adyacentes.
AUEUBUCU
DU4. Dada la siguiente figura,
AUBUCU¿cómo son entre sí las parejas de ángulos que se pueden formar?
Construir ángulos utilizando el compás
1. Construye, con ayuda del compás, un ángulo como este.
Operar gráficamente con ángulos
2. Dados los ángulos AV y BV, representa AV + BV y AV - BV.
AUBU
Transformar unidades de medida de ángulos
6. Transforma en segundos estas medidas.
a) 10' b) 5° c) 14,5' d) 60,6°
Construir ángulos utilizando el transportador
3. Construye con ayuda del transportador un ángulo de 55º.
Y AHORA… PRACTICA
2. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS
149
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ActividadesRECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS
37. ● Dibuja una línea recta en tu cuaderno, marca de rojo una semirrecta y de verde un segmento de longitud 2 cm.
38. ● Fíjate en el dibujo, y realiza las siguientes actividades.
A B EF
G
C D
a) Nombra las semirrectas.b) Señala el nombre de los segmentos.c) ¿Qué segmentos tienen en común
el extremo D?
39. ● Observa el plano y contesta.
c/ Verde
c/ Añil
c/ Roja
c/ Blanco
c/ A
zul
c/ A
mar
illo
c/ A
rco
Iris
Si consideras las calles como líneas rectas:a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris?b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle
Arco Iris?c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris?d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde?e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?
40. ● Dibuja en tu cuaderno la recta m y marca un punto P.
m• P
Dibuja tres rectas: una paralela, una secante y otra perpendicular a la recta m, y haz que pasen por el punto P.Clasifica, dos a dos, las rectas que has dibujado.
41. ●● ¿Cuántos puntos se necesitan, como mínimo, para definir una recta? ¿Y como máximo?
¿CÓMO SE TRAZA LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO?
42. Dibuja un segmento AB de 8 cm y traza con regla y compás su mediatriz.
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y es perpendicular al mismo.Para construirla se siguen estos pasos:
PRIMERO. Se pincha el compás en cada uno de los extremos, y con amplitud el segmento, se dibuja una circunferencia.
SEGUNDO. Se unen con una recta los puntos de intersección de las circunferencias.
Esta recta es la mediatriz del segmento AB.
HAZLO ASÍ
A B
7. ● Dibuja en tu cuaderno un segmento AB de 7 cm de longitud, y traza con regla y compás su mediatriz.
8. ● Las rectas rojas, ¿son mediatrices de los segmentos? Justifica la respuesta.
a)
A B
b)
C D
9. ● Dibuja en tu cuaderno triángulos como estos y traza la mediatriz de sus lados. ¿Se cortan en un solo punto?
150
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10. ● Dibuja en tu cuaderno la recta r y los puntos A y B.
B• A•
r
a) Dibuja el segmento AB.b) Dibuja la mediatriz del segmento AB.c) Estudia la posición relativa de la mediatriz
y la recta r.
11. ● Los segmentos AB y AC se encuentran en rectas perpendiculares.
A
B
C
Dibuja la mediatriz del segmento AB y la del segmento BC. ¿Cuál es la posición relativa de las dos mediatrices que has calculado?
12. ● Dibuja una recta en tu cuaderno. Con la regla y la escuadra, traza una recta paralela y otra perpendicular a la recta que has trazado. ¿Qué posiciones relativas tienen la recta paralela y la perpendicular que has dibujado?
43. ●● Dibuja dos segmentos, AB y CD, paralelos entre sí, de 8 cm y 10 cm, y traza con la escuadra sus mediatrices. ¿Cómo son entre sí las mediatrices?
ÁNGULOS
44. ● Escribe estas letras en tu cuaderno, y señala de color rojo los ángulos agudos, de azul los rectos y de amarillo los obtusos.
13. ● Dibuja en tu cuaderno dos rectas r y s que se corten como las de la figura. Mide con el transportador los cuatro ángulos que forman.
a) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos?b) ¿Hay algunos ángulos iguales?c) ¿Siempre se da este resultado?
45. ● Contesta si es verdadero o falso.
a) Dos ángulos adyacentes son siempre consecutivos.
b) Dos ángulos consecutivos son siempre adyacentes.
c) Dos ángulos complementarios son siempre agudos.
d) Dos ángulos complementarios son siempre obtusos.
e) Dos ángulos de lados perpendiculares son iguales.
f) Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
46. ● Observa la siguiente figura y señala.
a) Los pares de ángulos opuestos por el vértice.b) Los pares de ángulos adyacentes.
AUBU
DUCU
EU FUGU
HVIU
LU JUKU
47. ● Observa este plano de una zona de la ciudad de Castelldefels y dibuja los ángulos que forman.
ParcMontanyetaPlaça de
la Lluna
Avin
guda
31
2Av
ingu
da
311
Avin
guda
31
0
Avin
guda
30
9
Avinguda
D
iagonalAv
ingu
da
306
D. A
rcad
i Bal
ague
r
Avin
guda
313
Avinguda 300Avinguda 301
Avinguda 302
Avinguda 303
Plaça deSant Jaume
Avin
guda
30
8Doctor
Fleming
728044U09P012
a) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 309.
b) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 310.
c) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 302.
¿Cómo son entre sí las Avingudas 309 y 310?¿Y las Avingudas 302 y 309?
48. ● Dado el ángulo de la figura,
AUdibújalo en tu cuaderno y construye sus ángulos adyacentes y el ángulo opuesto por el vértice.
r
s
151
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49. ●● Dibuja en tu cuaderno dos ángulos como estos.
AU BUUtiliza el compás para representar las operaciones.
a) AV + BV b) BV - AV c) 3 ? AV d) 2 ? BV14. ● Dibuja en tu cuaderno tres ángulos como
estos.
Utiliza el compás para representar las siguientes operaciones.
a) AV + CV c) 2 ? AV b) AV - BV d) AV + BV + CV
50. ●● Traza en tu cuaderno un ángulo AV que sea menor que un ángulo recto, y un ángulo BV que sea menor que uno llano y mayor que uno recto. Dibuja los ángulos indicados.
a) AV + BV c) 3 ? AV b) BV - AV d) 2 ? BV
SISTEMA SEXAGESIMAL
51. ● Expresa en minutos las medidas de ángulos.
a) 3° b) 10° c) 5° d) 20°
52. ● Transforma en segundos estas medidas de ángulos.
a) 12' b) 20' c) 1° 15' d) 10° 10'
53. ● Expresa en grados las siguientes medidas.
a) 120' c) 240' e) 420' b) 180' d) 360' f) 600'
15. ● Expresa en minutos estas medidas de ángulos.
a) 135" d) 300"
b) 156" e) 288"
c) 198" f) 468"
54. ● Indica en segundos.
a) 35° 54' 55" d) 4° 27' 56"
b) 65° 53' 12" e) 7° 33' 49"
c) 18° 23' 4" f) 11° 3' 2"
16. ● Expresa en minutos.
a) 4º 52' 30" c) 15º 42' 15"
b) 32º 12' 45" d) 42º 38' 10"
55. ● Con la ayuda del transportador, dibuja los ángulos AV = 45°, BV = 120° y CV = 135°. Después, dibuja y mide los ángulos.
a) AV + CV c) 3 ? BV b) CV - AV d) 8 ? CV
17. ● Con la ayuda del transportador, dibuja los ángulos AV = 147º y BV = 72º. Después, dibuja y mide los ángulos.
a) AV + BV c) 2 ? AV b) AV - BV d) 3 ? BV
18. ● Mide estos ángulos y clasifícalos.
19. ● Recuerda cuánto miden los ángulos de una escuadra y de un cartabón.
Dibuja los siguientes ángulos, repasando dos lados de una escuadra o un cartabón.
a) 30° c) 60°
b) 45° d) 90°
20. ●● Utiliza la suma de dos ángulos de la escuadra o del cartabón para dibujar estos ángulos.
a) 75° = 45° + db) 105° = 60° + dc) 120° = 90° + dd) 135° = d + de) 150° = d + d
AU BU CU
90º90º
45º 45º 30º
60º
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21. ● Copia un ángulo como el de la figura y traza las perpendiculares a las rectas r y s. ¿Qué ángulo forman?
22. ● Dibuja el ángulo AV.Traza la perpendicular t a la recta r desde B.
¿Cuánto medirán los cuatro ángulos que forma la recta t con la recta s?
¿CÓMO SE CONSTRUYE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO?
56. Traza la bisectriz de este ángulo.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por su vértice y divide el ángulo en dos partes iguales.
PRIMERO. Con centro en el vértice O y cualquierabertura, se traza un arco.
SEGUNDO. Con la misma amplitud se trazan dos arcos, uno con centro en A y otrocon centro en B.
TERCERO. Los arcos se cortaránen un punto P. La recta que pasa por O y P es la bisectriz del ángulo.
HAZLO ASÍ
O
O
O
B
A
O
B
A
P
23. ● Dibuja un ángulo como este. Traza su bisectriz.
57. ●● Dibuja un ángulo de 60° con el transportador. Traza su adyacente. ¿Cuánto mide? Dibuja las bisectrices de los dos ángulos. ¿Qué ángulos forman?
64. ● Mide con el transportador el ángulo AU. ¿Cuánto mide el ángulo BV?
AUBU
r
s
s
rB
AU
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE SUMAN ÁNGULOS EXPRESADOS EN FORMA COMPLEJA?
24. Calcula esta suma de ángulos:6º 24' 28" + 52' 47"
PRIMERO. Se colocan los sumandos agrupados por unidades y se realiza la suma.
6° 24' 28"+ 52' 47"
6° 76' 75"
SEGUNDO. Si en el resultado de la suma, los segundos sobrepasan 60, se transforman en minutos.
6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 76' 75"
6° 77' 15"
TERCERO. Si en el resultado de la suma, los minutos sobrepasan 60, se transforman en grados.
6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 77' 15"
7° 17' 15"
58. ● Realiza las siguientes sumas de ángulos.
a) 23° 45' 10" + 54° 7' 32"
b) 21° 45' 19" + 54° 7' 42"
c) 23° 45' 10" + 54° 37' 52"
PROBLEMAS CON MEDIDAS DE ÁNGULOS
73. ●● Los rayos del sol entran por la mañana en la habitación de Luis y dan en la pared con una determinada inclinación. A las 7 de la mañana de un día de verano, ese ángulo es de 22° 14'. Cada hora que pasa, el ángulo de inclinación aumenta en 2° 10' 20".
a) ¿Qué ángulo tendrá a las 8 de la mañana?b) ¿Y a las 9 de la mañana?
74. ●● Tres amigos, Marcos, Roberto y Ricardo, se están comiendo un pastel circular:
• Marcos se ha comido un trozo equivalente a 35° 10'.• Roberto se ha comido un trozo de 40° 30'.• Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40'.
a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han comido entre los tres?
b) ¿Cuánto mide el trozo que queda?
FF75" = 1' + 15"
FF77' = 1° + 17'
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10Historias de sobremesa
Cada vez que Farkas Bolyai y su hijo se juntaban, el tema predilecto de conversación eran las matemáticas, y siempre salía a relucir el nombre de Gauss.
–Janos –le decía a su hijo–, el 29 de marzo de 1796 debería instaurarse como festivo para todos los matemáticos del mundo.
¡Otra vez la vieja historia del heptadecágono! Janos miró a su padre con una sonrisa.
–Gauss tiene suerte de contar con amigos como tú.
El padre, sin prestar atención, continuó con la historia:
–Él mismo me lo contó, después de uno de nuestros paseos por los alrededores de Göttingen.
Hizo una pausa y en voz baja continuó:
–El día 29, después de encontrar la forma de construir el polígono regular de 17 lados solamente con ayuda de la regla y el compás, tomó la decisión de estudiar matemáticas en detrimento de la filosofía.
Este descubrimiento fue tan importante para Gauss que el epitafio de su sepultura contiene un heptadecágono regular.
Polígonos y circunferencia
1. ¿Quiénes fueron Farkas Bolyai y Janos Bolyai? ¿Qué relación tienen con Gauss? ¿Cuáles son las circunstancias que les llevaron a enemistarse?
2. ¿Por qué Farkas Bolyai piensa que el 29 de marzo debería ser festivo para los matemáticos?
3. Busca información sobre Friedrich Gauss y sus importantes aportaciones a la geometría.
DESCUBRE LA HISTORIA...
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Clasificar polígonos según sus lados y ángulos.
• Utilizar el teorema de Pitágoras.
• Identificar los elementos de una circunferencia.
• Determinar posiciones relativas en el plano.
PLAN DE TRABAJO
RECTAS Y ÁNGULOS
Posiciones relativas de dos rectas
Paralelas Secantes
No se cortan. Se cortan en un punto.
Ángulos
Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto.
Los ángulos pueden ser:
Agudo Recto Obtuso Llano
Mide menos de 90°. Mide 90°. Mide más de 90° y menos de 180°.
Mide 180°.
EVALUACIÓN INICIAL
Cuando dos rectas secantes forman cuatro ángulos rectos, decimos que son rectas
perpendiculares.
1 Escribe cuál es la posición relativa de estas rectas. ¿Algunas de ellas son perpendiculares?
2 Clasifica estos ángulos.
Vértice Lado
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Polígonos1.1 Elementos de un polígono
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un segmento
Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.
Tiene principio y final. A y B son los extremos del segmento.
Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.
EJEMPLO
1 Decide si son polígonos. a) b)
a) Es un polígono.b) No está cerrada,
no es un polígono.
Los elementos de un polígono son:
• Lados: segmentos que delimitan el polígono.
• Vértices: puntos donde se unen dos lados.
• Diagonales: segmentos que unen dos vérti-ces no consecutivos.
• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.
1.3 Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos
Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono es irregular.
Polígono irregular
Polígono regular
1
Vértice
Diagonal
Lado
Ángulo interior
2 Determina cuáles de estos polígonos son regulares o irregulares.
a) b) c)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Dibuja este polígono en tu cuaderno. Señala sus lados, vértices, ángulos interiores y diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene?
156
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1.4 Clasificación de polígonos según su número de lados
N.o de lados Nombre Regular Irregular
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
EJEMPLO
2 Cuenta el número de lados y clasifica estos polígonos.
a) b) c)
a) 5 lados " Es un pentágono.
b) 8 lados " Es un octógono.
c) 6 lados " Es un hexágono.
A partir de 12 lados, los polígonos se nombran: polígono de 13, 14… lados.
1 ¿Cuántos lados tienen estos polígonos? Decide si son regulares o irregulares.
a) b)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Cuenta el número de lados e indica el nombre de estos polígonos.
a) b)
157
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La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide con el transportador.
RECUERDA
TriángulosSegún sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.
a = b = c
AT = BU = CUab
cA
C
B
Isósceles: tiene dos lados y dos ángulos iguales.
a = b
AT = BUab
cA
C
B
Escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.
ab
cA
C
B
Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.
ab
cA
C
B
Rectángulo: tiene un ángulo recto.
ab
cA
C
B
Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
ab
cA
C
B
Relaciones entre los lados y los ángulos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja en una ecuación
• Siuntérminoestásumandoen un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.
• Siuntérminoestámultiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
Dado un triángulo ABC&, siempre se cumple que:• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.
EJEMPLO
3 Calcula el ángulo que falta.
AU + BV + CV = 180°35° + 45° + CV = 180°CV = 180° - 80° = 100°
2
3 Calcula el ángulo que falta.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Clasifica este triángulo según sus lados y sus ángulos.
x + 2 = 7 " x = 7 - 2 = 5G
Pasa restando
2x = 10 " x = 2
105=
G
Pasa dividiendo
AV = 70°
30°110°
45°
35°
CV
CV
158
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Teorema de PitágorasUn triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa.
a es la hipotenusa, b y c son los catetos.
Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
ANTES, DEBES SABER…
Qué es la raíz cuadrada de un número
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero.
4 2= , porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 6=
EJEMPLOS
5 Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Aplicando el teorema de Pitágoras:
a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2= + = + = = =" " "
6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Supongamos que el cateto conocido es b:
a2 = b2 + c2 a = 10, b = 6-----" 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64
" c 64 8 cm= =
El otro cateto mide 8 cm.
7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm, respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.
Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:
11 1216 9 117
11 6 92
2 22 2 2!
=+ =
+" "2 No se cumple el teorema de Pitágoras.
No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.
4
B
C
A
a
c
b
G
Pasa restando
El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple
el teorema de Pitágoras.
DATE CUENTA
Conociendo la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto:
b
a
c
b a c b a c
c a b c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= - = -
= - = -
"
"
18 En este triángulo rectángulo, ¿cuánto mide el otro cateto?
25 cm7 cm
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 En un triángulo rectángulo, los catetosmiden 5 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa?
159
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CuadriláterosLos cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en:
• Paralelogramos: cuadriláteros que tienen los lados paralelos, dos a dos.
• Trapecios: cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos. • Trapezoides: cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
5.1 Paralelogramos
Los paralelogramos se clasifican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. • Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos. • Rombo: tiene los cuatro lados iguales. • Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no
tiene ángulos rectos.
5.2 Trapecios
Los trapecios pueden ser:
Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno
• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos. • Trapecio isósceles: tiene dos lados iguales. • Trapecio escaleno: no tiene lados iguales ni ángulos rectos.
5
Un paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos y sus ángulos
opuestos.
Trapezoide
Trapecio
Paralelogramo
4 Dibuja un cuadrado y un rombo sabiendo que la longitud de sus lados es de 2 cm.
a) ¿Qué características tienen en común?b) ¿En qué se diferencian?
5 ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado, un rectángulo y un rombo? Dibuja las tres figuras y compáralas.
6 Dibuja dos trapecios diferentes y explica cuáles son sus diferencias.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Clasifica estos cuadriláteros, e indica si son regulares o irregulares.
a)c)
e)
b) d)
160
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Propiedades de los paralelogramos
Cualquier paralelogramo cumple las siguientes propiedades:
• La suma de los ángulos de un paralelogramo es 360°.
AT + BU + CV + DV = 360°
• Un paralelogramo tiene dos diagona-les que lo dividen en dos triángulos iguales y que se cortan en el punto medio de ambas.
EJEMPLOS
4 Calcula el ángulo que falta.
AU + BV + CV + DV = 360°95° + 90° + 45° + DV = 360°DV = 360° - 230° = 130°
8 Halla la medida de la diagonal de un cuadrado si el lado mide 4 cm.
La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales, en los que los catetos son los lados, y la hipotenusa, la diagonal. Aplicando el teorema de Pitágoras:
d 2 = l2 + l2
d 2 = 42 + 42 " d 2 = 16 + 16 " d 2 = 32 " d 32 5,66 cm.=
9 Determina la diagonal menor (d) de un rombo
8 cm
5 cmc
b
de lado 5 cm y cuya diagonal mayor (D) mide 8 cm.
El rombo queda dividido, por sus dos diagonales, en cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es el lado (l), y los catetos, la mitad de sus diagonales (b y c).
cD2 2
84 cm= = =
Aplicando el teorema de Pitágoras:
l2 = b2 + c2 " 52 = 42 + b2 " b2 = 52 - 42 = 9 " b 9 3 cm= =
bd2
= " d = b ? 2 = 3 ? 2 = 6 cm
La diagonal menor del rombo mide 6 cm.
6
4 cmd
4 cm
G
Pasa restando
G
Pasa multiplicando
Al trazar las diagonales en un cuadrado, un
rectángulo o un rombo se forman triángulos rectángulos iguales.
A B
MD C
MA MC MB MD= =
45° 90°
95°DV
25 Halla la diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 4 cm.
26 Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado 50 cm y diagonal menor 28 cm.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Calcula el ángulo que falta.
a) b)
DV 120°
120°60°
DV130°
130°50°
161
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Circunferencias
7.1 Elementos de la circunferencia
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están si-tuados a la misma distancia de otro punto llamado centro, O.
Los elementos de una circunferencia son:
• Centro de la circunferencia: es el punto que está a la misma distancia de todos los puntos que la forman.
• Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Arco: es la parte de la circunferencia compren-dida entre dos puntos de ella.
A cada cuerda le corresponden dos arcos. Si la cuerda coincide con el diámetro, las longitudes de los dos arcos son iguales, y cada arco se llama semicircunferencia.
EJEMPLOS
5 Si el radio de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide su diámetro?
d = 2 ? r = 2 ? 7 = 14 cm
6 ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia si su diámetro mide 18 cm?
d = 2 ? r " 9r2
18cm= =
7
Radio
Diámetro
Cue
rda
Arco
O
B
A
31 Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señala sobre ella un diámetro, un radio, un arco y una cuerda. ¿Cuánto mide el diámetro?
8 Dibuja una circunferencia cuyo diámetro mida 7 cm.
a) Traza el diámetro y marca en la circunferencia las dos semicircunferencias que se forman.
b) ¿Cuánto mide el radio?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
29 Indica el nombre de cada uno de los elementos de la siguiente circunferencia:
30 Dibuja una circunferencia de radio 5 cm.
Semicircunferencia
Semicircunferencia
El diámetro de una circunferencia mide el doble que su radio.
DATE CUENTA
Diámetro
Radio644444744
44864474
48
162
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Posicionesrelativas en el plano
8.2 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta, s, puede situarse en tres posiciones respecto de una circunfe-rencia:
AO
Secante
B
OExteriorO
P
Tangente
• Si corta a la circunferencia en dos puntos, A y B: la recta s es secante a la circunferencia.
• Si la recta y la circunferencia tienen un único punto, P, en común: la recta s es tangente a la circunferencia.
• Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común: la recta s es exterior a la circunferencia.
Polígonos regularese inscritos
Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tiene todos sus vértices situados en la circunferencia.
Cualquier polígono regular está inscrito:
• El centro de la circunferencia, O, se llama centro del polígono y su radio, r, se denomina radio del polígono.
• El segmento trazado desde el centro de la circunferen-cia al punto medio de un lado, a, es la apotema del polígono regular.
8
9
O
a
r
9 Decide si están inscritos estos polígonos.
a) b)
39 Traza un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Después, traza los tres diámetros que unen sus vértices opuestos. ¿En cuántos triángulos queda descompuesto el hexágono?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
33 Indica cuál es la posición relativa de cada una de las rectas respecto de la siguiente circunferencia:
r
v
s
t
w
O
u
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
163
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Polígono
Triángulos
CuadriláterosVértice
Paralelogramos
Trapezoides
Trapecios
Rectángulo Isósceles Escaleno
Romboides Rombos Cuadrados Rectángulos
Equilátero Isósceles
Acutángulo
Escaleno
Rectángulo Obtusángulo
Ángulo interior
Diagon
al
Lado
Cue
rda
Polígono regular Circunferencia
Apotema
O
Radio
Arco
Diámetro
O Radio
F
G
B
A
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CALCULAR UN ÁNGULO DESCONOCIDO DE UN TRIÁNGULO O UN CUADRILÁTERO
Calcula la medida del ángulo que falta en cada uno de estos polígonos.
a) b)
PRIMERO. Identificamos los ángulos conocidos de cada figura teniendo en cuenta que:
• Suman 180° si es un triángulo.• Suman 360° si es un cuadrilátero.
a) AU = 35° BV = 50° b) AU = 115° BV = 65° CV = 65°
Triángulo " 35° + 50° + CV = 180° Cuadrilátero " 115° + 65° + 65° + DV = 360°
SEGUNDO. Despejamos el ángulo desconocido.
a) CV = 180° - 85° = 95° b) DV = 360° - 245° = 115°
65°
65°
115°
DV50°
35°
CV
164
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4. CALCULAR LA DIAGONAL DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO
Halla la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm.
PRIMERO. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados de la figura.
b = 5 cm c = 7 cm
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.
d 2 = b2 + c2 b = 5, c = 7------" d 2 = 52 + 72 = 74
" d = 74 . 8,6 cm
La diagonal mide aproximadamente 8,6 cm.
2. HALLAR UNO DE LOS LADOSDE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Determina el lado que falta en estos triángulos rectángulos.
a) b)
PRIMERO. Sustituimos, en el teorema de Pitágoras, cada letra por su valor. La letra a representa la hipotenusa, y b y c son los catetos.
a) a2 = b2 + c2 b = 8, c = 6------" a2 = 82 + 62
b) a2 = b2 + c2 a = 10, c = 6------" 102 = b2 + 62
SEGUNDO. Despejamos la letra desconocida en la ecuación resultante.a) a 2 = 82 + 62 " a 2 = 100 " a = 100 = 10 cm
b) 102 = b2 + 62 " b2 = 102 - 62 = 64 " b2 = 64 " b = 64 = 8 cm
3. DETERMINAR SI UN TRIÁNGULO ES RECTÁNGULO
Determina si el triángulo cuyos lados miden 5, 12 y 13 cm, respectivamente, es rectángulo.
PRIMERO. Asignamos la medida mayor a la hipotenusa y las otras dos a los catetos.
a = 13 b = 5 c = 12
SEGUNDO. Comprobamos si se cumpleel teorema de Pitágoras.
• Si se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.
• En caso contrario, no es un triángulo rectángulo.
a2 = b2 + c2 a = 13, b = 5, c = 12-----------" 132 = 52 + 122 " 169 = 25 + 144 " 169 = 169
En este caso se cumple la igualdad, y el triángulo es rectángulo.
Comprende estas palabras
1. Di cuál de estos polígonos es regular.
a) Un triángulo equilátero. c) Un rectángulo.
b) Un cuadrado. d) Un rombo.
2. ¿Puede haber un triángulo isósceles y rectángulo a la vez?
Calcular un ángulo desconocido de un triángulo o un cuadrilátero
1. Dos ángulos iguales de un triángulo miden 60°. ¿Cuánto mide el otro ángulo?
Hallar uno de los lados de un triángulo rectángulo
5. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 21 cm y 28 cm.
Determinar si un triángulo es rectángulo
6. Un triángulo tiene dos lados que miden 15 cm y 12 cm. ¿Cuánto tiene que medir el tercer lado para que sea un triángulo rectángulo?
Calcular la diagonal de un cuadrado o un rectángulo
7. Determina la diagonal de un cuadrado de 4 cm de lado.
Y AHORA… PRACTICA
6 cm 6 cm10 cm
8 cm
5 cmd
7 cm
?
?
165
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ActividadesPOLÍGONOS
42. ● Indica el nombre de cada uno de los elementos del polígono.
a) Señala sus vértices.b) ¿Cuántos lados tiene?c) ¿Cuántas diagonales puedes dibujar?d) ¿Cuántos ángulos tiene?e) ¿Cómo se llama este polígono?f) ¿Es regular? ¿Por qué?g) ¿Es cóncavo o convexo?
43. ● Indica el nombre de estos polígonos según su número de lados.
10. ● Dibuja dos polígonos que sean regulares y otros dos irregulares.
45. ● Dibuja la siguiente figura en tu cuaderno.
a) ¿Cuántos lados tiene?b) Por su número de lados, ¿qué nombre recibe?c) Dibuja sus diagonales. ¿Cuántas tiene?d) Señala sus ángulos. ¿Cuántos tiene?
11. ● Dibuja un pentágono regular y un octógono irregular.
TRIÁNGULOS
¿CÓMO SE DIBUJA UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LA MEDIDA DE SUS LADOS?
50. Construye un triángulo con lados a = 5 cm, b = 4 cm y c = 3 cm.
PRIMERO. Se traza un segmento igual a un lado, a. Los extremosson los vértices C y B.
B
A
C
A'
4 cm
5 cm
3 cm
SEGUNDO. Se construyen dos arcos, uno con centro en C y radio b, y otro con centro en B y radio c.
TERCERO. Se unen B y C con los dos puntos de intersección de los arcos. Se obtienen dos triángulos, siendo ambos solución.
HAZLO ASÍ
51. ● Construye un triángulo rectángulo e isósceles cuyos catetos midan 3 cm.
52. ● Clasifica estos triángulos según sus lados y ángulos.
a)b)
c)
d)
Determina el número de ángulos agudos, rectos y obtusos que tiene cada uno.
53. ● En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45°. ¿Cuánto miden los otros ángulos?
54. ● En un triángulo, dos de sus ángulos miden 20° y 70°, respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? ¿Cómo se llama el triángulo?
12. ● Calcula el ángulo que falta.
a) b)
56. ● Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
CV
35°
80°CV110°
30°
166
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TEOREMA DE PITÁGORAS
13. ● Calcula la medida del lado que falta en estos triángulos rectángulos.
a) b)
65. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden 12 y 16 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa.
66. ● En un triángulo rectángulo, un cateto mide 21 cm y la hipotenusa 75 cm. Halla el otro cateto.
67. ● En un triángulo rectángulo isósceles, los catetos miden 12 cm. Determina el valor de la hipotenusa.
68. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden 25 y 60 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa.
69. ● Indica si los siguientes triángulos son rectángulos o no. Si no lo son, calcula el valor de la hipotenusa para que lo sean.
a) Lados: 12, 16 y 20 cm.b) Lados: 5, 6 y 13 cm.c) Lados: 18, 24 y 32 cm.
14. ● ¿Cuánto mide la diagonal de este rectángulo?
70. ● Calcula la diagonal de un cuadrado sabiendo que el lado mide 8 cm.
71. ● Determina el lado de un cuadrado si la diagonal mide 7 cm.
72. ●● Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL LADO DE UN ROMBO CONOCIDAS SUS DIAGONALES?
15. ¿Cuánto mide el lado de un rombo si sus diagonales miden 10 y 24 cm?
PRIMERO. Se dibuja el rombo y se trazan sus diagonales para identificar un triángulo rectángulo.
SEGUNDO. Se divide por 2 cada una de las diagonales para obtener la medida de los catetos del triángulo.
210
5 cm= 2
2412 cm=
TERCERO. Se aplica el teorema de Pitágoras.
5 12l2 2 2= + " l 1692= " l 169 13 cm= =
16. ● Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide el lado?
CUADRILÁTEROS
73. ● Dibuja un cuadrilátero, señala las diagonales, los vértices, los ángulos y los lados.
74. ● Clasifica los siguientes cuadriláteros en función del paralelismo de sus lados. Di si son regulares o irregulares.
a) c)
b) d)
75. ● Clasifica estos cuadriláteros en función de sus ángulos y del paralelismo de sus lados.
a) d)
c)
b) e)
12 cm
13 cm
9 cm
40 c
m
x
7 cm
4 cm
167
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76. ● Calcula el ángulo que falta en cada uno de los cuadriláteros.
105°
105°75°
DUc)a)128°
XU
XU b)
100°
100°
42°
d)
115°
50°
90°
¿CÓMO SE CALCULAN LOS ÁNGULOS DE UN PARALELOGRAMO?
77. Halla el valor de todos los ángulos de este paralelogramo.
A B
C
110°
D
PRIMERO. Los ángulos contiguos son suplementarios.
AT + BV = 180° " AT = 180° - 110° = 70°
SEGUNDO. Los ángulos opuestos son iguales.
DV = BV = 110°CV = AT = 70°
HAZLO ASÍ
78. ●● Halla los ángulos de cada paralelogramo.
a) b)
A 54°
B
D C
143°A B
D C
79. ● Un ángulo de un rombo vale 35°. Determina el valor del resto de ángulos.
80. ●● Un trapecio isósceles tiene dos ángulos de 45°. ¿Cuánto valen los otros ángulos?
81. ●● Calcula el valor del ángulo CV del cuadrilátero.
80°
45°A B
D
C
82. ●● Indica si las afirmaciones son verdaderaso falsas.
a) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, todos sus ángulos son rectos.
b) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto, tiene al menos otro ángulo recto.
c) Si un cuadrilátero tiene dos diagonales iguales, es un paralelogramo.
d) Hay cuadriláteros que no son paralelogramos y que tienen las diagonales iguales.
e) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener dos ángulos rectos.
f) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener tres ángulos rectos.
CIRCUNFERENCIAS
83. ● Dibuja una circunferencia con un compás. Después, traza una cuerda y señala con colores diferentes los dos arcos que determina.
84. ● Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señala en ella un radio, un diámetro y una cuerda.
85. ● En la circunferencia D
CO
A
B
de la figura se han trazado varios segmentos. Indica el nombre de cada uno de ellos.
86. ● Observa la circunferencia de la figura. Completa y responde.
a) El segmento AB es una…
b) El segmento AC es un…
c) Si los segmentos cortan a dos puntos de la circunferencia, ¿por qué no reciben el mismo nombre?
17. ● Determina la posición de las rectas respecto de la circunferencia.
A
B
O
C
168
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87. ● Dibuja una circunferencia y señala dos puntos interiores en rojo, tres puntos de la circunferencia en verde y cuatro puntos exteriores a la circunferencia en azul.
88. ● Dibuja una circunferencia y señala una recta secante que no pase por el centro de rojo, una recta exterior de verde y dos rectas tangentes a la circunferencia de azul.
89. ● En la siguiente circunferencia se han trazado una recta exterior, otra recta secante y una tangente. También se han dibujado los segmentos perpendiculares a las rectas indicadas desde el centro, O, de la circunferencia.
B
AO
C
Compara los segmentos OA, OB y OC con el radio, r, y escribe el signo <, > o =, según corresponda.
a) OA d r b) OB d r c) OC d r
POLÍGONOS REGULARES E INSCRITOS
94. ●● Halla el centro del siguiente polígono regular, y explica cómo lo haces.
95. ●● ¿Puedes dibujar la circunferencia circunscrita a este triángulo? Indica el proceso.
A
B
C
96. ● ¿Puedes circunscribir una circunferencia a este cuadrilátero? ¿Por qué?
A
D
CB
97. ●● ¿Puede inscribirse cualquier polígono en una circunferencia? ¿Y todos los polígonos regulares?
PROBLEMAS CON POLÍGONOS
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTEEL TEOREMA DE PITÁGORAS?
100. Calcula la longitud de unaescalera si está apoyada en la pared a una distancia de 1,8 m y sube hasta una altura de 7 m.
PRIMERO. Se hace un gráfico que aclare la situación.Si se considera que el ángulo que forman la pared y el suelo es un ángulo recto, será un triángulo rectángulo en el que se conocen sus dos catetos.
SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.l2 = (1,8)2 + 72 = 52,24
,l 52 24 7,23 m= =
La escalera mide 7,23 m.
HAZLO ASÍ
101. ●● Una escalera de 5 m apoyada en la pared tiene su pie a 1,5 m de la base de la pared. ¿A qué altura llegará la escalera?
102. ● Calcula la longitud de la diagonal de una parcela rectangular de un terreno si sus dimensiones son 150 y 60 m, respectivamente.
103. ●● En un jardín rectangular de 8 # 5 m, determina cuántos metros recorre un niño que lo cruza siguiendo la diagonal.
104. ●● Halla la altura de un triángulo isósceles con dos lados iguales de 12 cm y un lado desigual de 16 cm.
105. ●● Calcula la dimensión de todos los lados de un triángulo como el de la figura.
C
A B
D4,5 cm
4 cm
1,5 cm F
169
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111. Busca información
sobre la vida de Eratóstenes, geógrafo, matemático y astrónomo griego.
2. Eratóstenes es famoso por haber llevado a cabo la primera medición de la circunferencia de la Tierra. Investiga cómo lo hizo.
3. Averigua qué otros trabajos realizó Eratóstenes relacionados con la geometría.
DESCUBRE LA HISTORIA...
La visión del ciego
El soldado miraba con lástima al anciano ciego que, apoyado en su bastón, tomaba el sol mientras sus ojos extintos intuían la posición del astro en el horizonte.
Ahmés, su compañero de guardia a la entrada de la biblioteca de Alejandría, interrumpió sus pensamientos diciéndole:
–Es Eratóstenes, el cual no hace mucho tiempo dirigía la biblioteca.
–¡Es una pena que sea ciego!
–No siempre fue así, y lo único que ahora lamenta es no poder leer el pensamiento del mundo encerrado en estas paredes –dijo Ahmés, y continuó con su explicación–: Pero el maestro todavía es capaz de ver más lejos que tú, que tienes tus ojos sanos.
–¡Eso es imposible!
Ahmés, con una sonrisa, intentó explicárselo:
–Tú y yo, con nuestros ojos, vemos la Tierra plana como la palma de nuestra mano; sin embargo él, que ahora está ciego, la ve con forma de bola y dicen que incluso ha calculado su tamaño.
Eratóstenes, utilizando ángulos y proporcionalidad, cifró la circunferencia polar de la Tierra en 252 000 estadios egipcios (1 estadio = 157,2 m).
Perímetros y áreas
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Antes de empezar la unidad... FIGURAS PLANAS
Clasificación de polígonos
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
Clasificación de cuadriláteros
• Paralelogramos
Cuadrado Rectángulo
4 lados iguales4 ángulos rectos 4 ángulos rectos
Rombo Romboide
4 lados iguales Lados y ángulos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos.
• Trapecios
Rectángulo Isósceles Escaleno
2 ángulos rectos 2 lados iguales No tiene lados ni ángulos iguales.
• Trapezoides
No tienen lados paralelos.
Un paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos
y sus ángulos opuestos.
En esta unidad aprenderás a…
• Hallar perímetros de polígonos.
• Calcular la longitud de la circunferencia.
• Determinar el área de:– Paralelogramos.– Triángulos.– Trapecios.– Polígonos regulares.– Círculos.
PLAN DE TRABAJOEVALUACIÓN INICIAL
1 Clasifica estos polígonos.
2 Clasifica estos cuadriláteros.
3 Dibuja un polígono de cuatro lados iguales dos a dos. ¿Cómo son sus ángulos? ¿De qué polígono se trata?
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Perímetro de un polígono
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son las unidades de longitud
kilómetro (km)
hectómetro(hm)
decámetro (dam)
metro (m)
decímetro(dm)
centímetro(cm)
milímetro(mm)
? 10
: 10
? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10
Cuando el polígono es regular podemos utilizar una fórmula que facilita el cálculo del perímetro.
1
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.
Si el lado de un polígono regular de n lados es l, entonces su perímetro será: P = n ? l
1 Calcula el perímetro de este pentágono irregular:
Sumamos las medidas de sus lados:
P = AB + BC + CD + DE + EA = = 4 + 0,5 + 3 + 2 + 1,5 = 11 cm
El perímetro de esta figura es 11 cm.
EJEMPLO
2 cm
3 cm
0,5 cm
4 cm
1,5 cm
A
E
D
C
B
2 Llamando l al lado de estos polígonos regulares, busca fórmulas para expresar su perímetro.
EJEMPLO
P = 3 ? l P = 4 ? l P = 6 ? l
l l
l
SE ESCRIBE ASÍ
El perímetro de un polígono se suele representar con la letra P.
l
DATE CUENTA
En algunos polígonos irregulares podemos utilizar fórmulas para calcular su perímetro, por ejemplo:
P = 2 ? a + 2 ? b
P = 4 ? l
a
b
Rectángulo
Rombo
1 Determina el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm.
2 ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un pentágono regular si su perímetro es 25 cm?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Halla el perímetro de:
a) Un rombo cuyo lado mide 10 cm.b) Un trapecio isósceles con bases de 4 cm
y 8 cm, y los otros lados de 5 cm.
172
301279 _ 0170-0185.indd 172 08/07/11 20:42
Longitud de la circunferencia
ANTES, DEBES SABER…
Elementos de la circunferencia
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro.
• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: mide el doble que el radio.
La longituddeunacircunferencia, L, se puede calcular mediante la expresión L = r ? d, o bien L = 2 ? r ? r, donde d es el diámetro y r es el radio.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja en una ecuación
• Siuntérminoestásumandoenunmiembro,pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.
x - 3 = 7 " x = 7 + 3 = 10
• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro,pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
3x = 15 " x = 315
5=
EJEMPLOS
3 Halla la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.
L = 2rr = 2 ? r ? 2 = 4 ? r = 4 ? 3,14 = 12,56 cm
1 La longitud de una circunferencia mide 31,4 cm. ¿Cuánto mide su radio?
L = 2rr " 31,4 = 2 ? 3,14 ? r " 2 ,
,5
?r
3 1431 4
cm= =
2
G
Pasa sumando
G
Pasa dividiendo
G
Pasa dividiendo
Aunque el número π es igual a 3,141592…;
para resolver problemas se suele tomar un valor
aproximado:π = 3,14
7 Silalongituddelacircunferenciaes25cm,¿cuánto mide su radio?
3 La longitud de una circunferencia mide 40,82 cm. ¿Cuánto mide su diámetro?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 ¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia de 6 cm de diámetro?
2 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 4 cm.
Centro Radio
Diámetr
o
173
301279 _ 0170-0185.indd 173 08/07/11 20:42
Área de los paralelogramos
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son las unidades de superficie
kilómetro cuadrado
(km2)
hectómetro cuadrado
(hm2)
decámetro cuadrado
(dam2)
metro cuadrado
(m2)
decímetro cuadrado
(dm2)
centímetro cuadrado
(cm2)
milímetro cuadrado
(mm2)
? 100
: 100
? 100 ? 100 ? 100 ? 100 ? 100
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100
3.1 Área del rectángulo
3.2 Área del cuadrado
3
4 cm # 2 cm = 8 cm2
G F
G F
G F1 cm
G F1 cm
G F1 cm
G F1 cm
1 cm
1 cmEl áreadeunrectángulo de base b y altura a es:
A = a ? b
El áreadeuncuadrado de lado l es:
A = l 2
a
b
l
Como un cuadrado es un rectángulo con los lados
iguales: A = l · l = l 2 EJEMPLOS
5 Halla el área de un rectángulo de 30 cm de base y 12 cm de altura.
Para calcular el área aplicamos la fórmula:
A = a ? b a = 12, b = 30
-------" A = 12 ? 30 = 360 cm2
2 El área de un rectángulo mide 24 cm2.Sisubasemide6cm,¿cuánto mide su altura?
A = a ? b " 24 = a ? 6 " 4a6
24cm= =
30 cm
12 cm
G
Pasa dividiendo
4 Silaalturadeunrectángulomide8cmy su área, 104 cm2, ¿cuánto mide la base?
5 Calcula el lado de un cuadrado sabiendo que su área mide 256 cm2.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Obtén el área y el perímetro del suelo de una habitación rectangular de lados 3 m y 7 m.
10 Determina el área de una finca cuadradade lado 1 200 m.
174
301279 _ 0170-0185.indd 174 08/07/11 20:42
3.3 Área del rombo
El áreadeunrombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es:
2?
AD d
=
El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área de un rectángulo cuya base es d y altura D.
Las dos diagonales de un rombo
son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
3.4 Área del romboide
ANTES, DEBES SABER…
Qué son la base y la altura de un romboide
• Labase de un romboide es cualquiera de sus lados.• Laaltura es un segmento perpendicular
a una base, trazado desde el vértice opuesto.
Altura
Base
El área de un romboide de base b y altura h es igual al área de un rec-tángulo con base b y altura h.
El áreadeunromboide de base b y altura h es: A = b ? h
7 Halla el área de un rombo de diagonales 6 y 8 cm, respectivamente.
Para calcular el área aplicamos la fórmula:
2?
AD d
= D = 8, d = 6
-------" 2
8 624
?A cm2= =
8 Calcula el área de este romboide:
Para obtener el área aplicamos la fórmula:
A = b ? h b = 6, h = 4
-------" A = 6 ? 4 = 24 cm2
EJEMPLOS
8 cm
6 cm
b b
h hF
6 cm
4 cm
15 Determina el área de un romboide de base 8 cm y altura 5 cm.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Halla el área de un rombo de diagonal mayor 24 cm y diagonal menor 18 cm.
6 Calcula el área de un romboide cuya base mide 7 cm y su altura, 3 cm.
8 cm
5 cm
d
d
DDF
175
301279 _ 0170-0185.indd 175 08/07/11 20:42
Área de un triángulo
ANTES, DEBES SABER…
Qué son la base y la altura de un triángulo
• Labase de un triángulo es cualquiera de sus lados.
• Laaltura es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.
4
h
b
El área de un triángulo de base b y altura h es:
2?
Ab h
=
En un triángulo rectángulo podemos considerar uno de
los catetos como la base del triángulo y el otro
como su altura.
El área de un triángulo de base b y altura h es la mitad del área de un romboide de base b y altura h.
7 El área de un triángulo mide 48 cm2.Sisualturamide 8 cm, ¿cuánto mide su base?
8 El área de un triángulo mide 30 cm2, y la base mide 12 cm. ¿Cuánto mide la altura?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Determina el área de un triángulo de base4 cm y altura 7 cm.
19 Calcula el área de un triángulo rectángulode catetos 6 cm y 7 cm.
Altura
9 Obtén el área de un triángulo con altura 3 cm y base 4 cm.
Aplicando la fórmula del área del triángulo:
2 24 3
6 ? ?
Ab h
cm2= = =
El triángulo tiene un área de 6 cm2.
3 Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente.
2 23 4
6? ?
Ab h
cm2= = =
4 El área de un triángulo mide 10 cm2.Sisubasemide4cm,¿cuánto mide su altura?
? ?? ?
?A
b h hh h
210
24
10 2 44
10 25 cm= = = = =" " "
G
Pasa dividiendo
EJEMPLOS
4 cm
3 cm
3 cm
4 cm
GG
176
301279 _ 0170-0185.indd 176 08/07/11 20:42
Área de un trapecio
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los elementos de un trapecio
• Labase mayor y la base menor de un trapecio son sus dos lados paralelos.
• Laaltura es un segmento perpendicular a la base mayor, trazado desde el vértice opuesto.
Si unimos dos trapecios iguales de base mayor B, base menor b y altura h, obtenemos un romboide de base (B + b) y altura h.
5
El áreadeuntrapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es:
( ) ?A
B b h2
=+
b b
B B
h h h
b B
B + b
F
9 El área de un trapecio mide 92 cm2.Sisusbasesmiden 13 cm y 10 cm, ¿cuánto mide su altura?
10 El área de un trapecio mide 38 cm2.Sisusbasesmiden 12 cm y 7 cm, ¿cuánto mide su altura?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Calcula el área de un trapecio de altura7 cm, y bases de 3 cm y 5 cm.
24 En un trapecio rectángulo, las bases miden 4 cm y 7 cm, y la altura 4 cm. Determina el valor del otro lado y su área.
EJEMPLOS
5 Calcula el área de este trapecio.
2( )
2(5 8) 4
26? ?
AB b h
cm2=+
=+
=
6 El área de un trapecio isósceles mide 55 cm2.Sisusbasesmiden8cmy 14 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su altura?
( ) ( )
( )
? ?
? ??
AB b h h
h h
255
28 14
55 2 8 148 1455 2
5 cm
=+
=+
= + =+
=
"
" "
Base menor
Altura
Base mayor
5 cm
4 cm
8 cm
En un trapecio rectángulo la altura coincide con uno de
los lados del trapecio.
Altura
177
301279 _ 0170-0185.indd 177 08/07/11 20:42
Área de un polígono regular
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un polígono regular
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.• Elsegmentotrazadodesdeelcentroalpunto
medio de un lado es la apotema del polígono regular.
6
13 Calcula el área de este pentágono regular:
Hallamos el perímetro del pentágono:
Perímetro = 5 ? lado = 5 ? 6 = 30 cm
Sustituyendo en la expresión general:
Áí ,
, ? ?
2 230 4 1
61 5reaper metro apotema
cm2= = =
EJEMPLO
6 cm
4,1 cm
El áreadeunpolígonoregular de perímetro P y apotema a es:
?A
P a2
=
Área del círculo
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un círculo
Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.
7
15 Calcula el área de un círculo de radio 3 cm.
Aplicamos la fórmula y sustituimos: A = rr2 = r ? 32 = 3,14 ? 9 = 28,26 cm2
EJEMPLO
El áreadelcírculo de radio r es: A = rr 2
Diámetro
Radio
11 ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo radio mide 6,5 cm?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Obtén el área de un heptágono regularde lado 6 cm y apotema 6,2 cm.
Apotema
G
178
301279 _ 0170-0185.indd 178 08/07/11 20:42
38 Obtén el área de la zona verde.
12 El área de un triángulo mide 14 cm2. Siseleañadeuncuadradodelado4cm,¿cuánto mide el área de la nueva figura?
4 cm
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
37 Calcula el área de estas figuras.
a)
b)
Área de una figura plana8
17 Calcula el área del polígono.
Esta figura se puede descomponer en dos
polígonos: el triángulo ABC y el trapecio CDEF.
Área del triángulo ABC ( )
, ?
212 9 9
94 5 cm2=+
=
Área del trapecio CDEF 2
(8 12) 440
?cm2=
+=
Área total del polígono = 94,5 + 40 = 134,5 cm2
18 Determina el área de la figura de la derecha con los datos que se indican.
Descomponemos la figura en:
– Cuerpo, la parte de abajo: un trapecio al que habrá que restar el área del círculo que hay en su interior.
– Mástil: un rectángulo.
– Clavijero, la parte de arriba: otro trapecio.
( ) ( )
? ?A
B b h2 2
40 10 38950 cm2
Cuerpo=+
=+
=
ACírculo = rr2 = r ? 62 = 113,04 cm2
AMástil = b ? h = 65 ? 10 = 650 cm2
2( )
2(20 10) 18
270 ? ?
AB b h
cm2Clavijero=
+=
+=
El área total será la suma de las áreas menos el área del círculo de la figura:
ATotal = 950 - 113,04 + 650 + 270 = 1 983,04 cm2
EJEMPLOS
A
B
C D
E
F
9 cm
9 cm
4 cm
8 cm
12 c
m
40 cm
20 cm
18 cm
10 cm
38 cm
65 cm
12 cm
F
F
El área de una figura plana cualquiera se puede hallar descomponiendo la figura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular.
4 cm 5 cm
2 cm 6 cm
8 cm 14 cm
17 cm9 cm4 cm
179
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2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO
Halla el lado de estos polígonos.
a) b) c)
PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Perímetro Área
A = r ? r 2
A = a ? b A = l2 A = b ? h
1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR ALTURAS
Halla la altura de estos polígonos.
a) b) c)
PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.a) 52 = 32 + h2 b) 102 = 82 + h2 c) 82 = 42 + h2
h2 = 52 - 32 h2 = 102 - 82 h2 = 82 - 42
h2 = 16 " 16 4 h cm= = h2 = 36 " 36 6 h cm= = h2 = 48 " 48 6,93 h cm= =
HAZLO DE ESTA MANERA
a) 372 = 122 + b2
b2 = 372 - 122
b2 = 1225 35 b 1225 cm= ="
b) l2 = 152 + 82
l2 = 289
l 289 17 cm= =
c) , ,l l
13 10 52 2
58 752 22 2
= + ="e eo o
, 7,66 15,3 l
l2
58 75 cm= = ="
O
a
r
e
d c
b
a
b
h
b
h h
b
b
d D
l
B
a
r
l
h
3 cm
5 cm h
16 cm
10 cm h
22 cm4 cm
14 cm
8 cm
l
13 c
m
10,5
cm
b
12 cm37 cm
P = a + b + c + d + e
L = 2 ? r ? r
l16 cm
30 cm
G
G
2?
AD d
=
2?
Ab h
=2
( ) ?A
B b h=
+
2?
AP a
=
180
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3. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Comprende estas palabras
1. ¿Cuánto vale el área de un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 5 cm?
2. ¿Cuál es el área de un círculo de radio 3 cm?
Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular alturas
3. Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
4. Calcula el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 8 cm, y el lado oblicuo 5 cm.
Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono
5. Si las diagonales de un rombo miden 40 y 42 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su lado?
6. Si la diagonal de un cuadrado mide 10 cm, ¿cuánto mide su área?
Calcular el área de una figura plana
7. Calcula el área de esta figura:
8. Halla el área de la zona coloreada.
Y AHORA… PRACTICA
20 m
20 m
10 m
10 m
10 m5 m
5 m
Halla el área de esta figura.
PRIMERO. Descomponemos la figura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular.
Esta figura está formada por:
• Un triángulo de base 4 cm y altura 3 cm.
• Un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, y al que le quitamos un círculo cuyo diámetro mide 4 cm.
ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo
SEGUNDO. Calculamos cada una de las áreas.
ATriángulo = 2 2
4 36
? ?b hcm2= =
ACuadrado = l 2 = 42 = 16 cm2 ACírculo = r ? r 2 = 3,14 ? 22 = 12,56 cm2
TERCERO. Sumamos y restamos para obtener el área total.
ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo = 6 + 16 - 12,56 = 9,44 cm2
4 cm3 cm
181
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ActividadesPERÍMETRO
40. ● Dibuja cinco figuras planas que tengan 30 cm de perímetro. Indica los datos que las definen.
41. ● Sobreunacuadrícula,dibujacincofigurasdistintas que se puedan formar con 5 cuadraditos. Estasfigurassedenominanpentaminos.Sepide:
a) Obtén el perímetro de cada figura.b) ¿Tienen todas la misma área?
42. ● ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un octógono regular si su perímetro es de 32 cm?
44. ●● Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales son 12 y 16 cm, respectivamente.
45. ●● ¿Cuánto mide el perímetro y la diagonal de un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm?
46. ●● Calcula la diagonal y el perímetro de un cuadrado de lado 5 cm.
47. ●● Halla el lado y la diagonal de un cuadrado de perímetro 40 cm.
48. ●● Silosladosdelrectángulomiden12cmy 8 cm, y los puntos E, F, G y H son los puntos medios de los lados del rectángulo, calcula el perímetro del rombo de la figura.
49. ● Obtén la longitud de las siguientes circunferencias.
a) De 12 cm de radio.b) De 10 cm de diámetro.c) Si la tercera parte del radio es 5 cm.
50. ● La diagonal de un cuadrado inscrito en unacircunferencia mide 4 cm. Halla la longitud de la circunferencia.
51. ●● Calcula el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5 cm.
52. ●● Dado un cuadrado de 10 cm de lado, obtén:
a) La longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado.
b) La longitud de la circunferencia circunscrita en el cuadrado.
53. ● En una circunferencia de radio 12 cm, calcula la longitud de los siguientes arcos.
a) 30° c) 90°b) 60° d) 120°
54. ●● En una circunferencia, la longitud de un arco de 270° es 628 cm. ¿Cuál será la longitud de la circunferencia?
¿CÓMO SE CALCULA EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO SI NO SE CONOCE UN LADO?
43. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 3 cm y 4 cm?
PRIMERO. Se calcula cuánto mide el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras.
a 2 = 33 + 42
9 16 25 5 a cm= + = =
SEGUNDO. Se halla el perímetro.
P = 3 + 4 + 5 = 12 cm
HAZLO ASÍ
3 cm
4 cm
5 cm
E
G
F H
4 cm
10 c
m
182
301279 _ 0170-0185.indd 182 08/07/11 20:42
ÁREA DE PARALELOGRAMOS
55. ● Calcula el área de las siguientes figuras.
a) c)
b) d)
56. ●● Un cuadrado tiene una superficie de 3 600 m2. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
57. ●● En un rectángulo de 320 cm2 de superficie, uno de sus lados mide 20 cm. ¿Cuánto mide el otro?
58. ●● Un rombo tiene un área de 400 cm2 y una de sus diagonales mide 40 cm. ¿Cuánto medirá la otra diagonal?
59. ●● Siunromboidetieneunáreade66cm2 y su altura mide 6 cm, ¿cuánto mide su base?
61. ● Obtén el área de las siguientes figuras.
a) c)
b) d)
13. ●● Calcula el área y el perímetro de un rectángulo si su altura mide 8 cm y su diagonal, 10 cm.
14. ●● ¿Cuánto mide el área y el perímetro de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 9 cm?
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
64. ● Obtén el área de los siguientes triángulos.
a) Base = 5 cm y altura = 12 cmb) Base = 8 dm y altura = 13 cmc) Base = 5 dm y altura = 15 cm
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIDO SU LADO?
15. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 8 cm.
PRIMERO. Se identifica un triángulo rectángulo.
8 cm
SEGUNDO. Se calcula la altura del triángulo aplicando el teorema de Pitágoras.
h2 = 82 - 42
h2 = 48 " 48 6,93h cm= =
TERCERO. Se calcula el área.
2 28 6,93
27,72? ?
Ab h
cm2= = =
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN ROMBOCONOCIENDO SU LADO Y UNA DE SUS DIAGONALES?
60. Halla el área de un rombo en el que una de las diagonales mide 12 cm y el lado 10 cm.
PRIMERO. Se calcula la diagonal desconocida aplicando el teorema de Pitágoras.
OC = 12 : 2 = 6 cm CD = 10 cmCD2 = OC2 + OD2
10 6 64 8 OD cm2 2= - = =
Diagonal mayor = 2 ? 8 = 16 cm
SEGUNDO. Se halla el área.
Área del rombo 2 2
16 1296
? ?D dcm2= = =
HAZLO ASÍ
12 cm
10 cm
O
D
B
CA
6 cm
10 cm
CO
D
10 cm
4 cm
6 cm
20 cm20 cm 46 cm
18 cm
10 cm
7 cm
4 cm3 cm
6 cm
5 cm
8 cm
12 cmG
G
183
301279 _ 0170-0185.indd 183 08/07/11 20:42
16. ● Halla el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 cm.
17. ● Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 17 cm y uno de sus catetos, 15 cm.
65. ● En este triángulo isósceles, calcula.
a) El perímetro del triángulo.b) La altura del triángulo.c) El área del triángulo.
66. ● En un triángulo isósceles, los lados iguales AC y BC miden 20 cm, y la base AB tiene 24 cm de longitud. Calcula su perímetro, su altura y su área.
67. ● Halla el área de un triángulo equilátero de perímetro 60 cm.
68. ●● Un triángulo isósceles tiene de perímetro 32 cm y la medida del lado desigual es 12 cm.
a) ¿Cuánto mide su altura?b) ¿Cuál es su área?
70. ● Calcula la altura de un triángulo cuya base mide 18 cm y su área 9 dm2.
71. ● Halla la altura de un triángulo de 2 cm de base y 1 dm2 de área.
72. ● Determina la altura de un triángulo de 8 cm de base y 64 cm2 de área. ¿Cómo es el triángulo?
73. ●● En un triángulo rectángulo isósceles,el área mide 50 m2. Calcula la base y la altura.
ÁREA DE UN TRAPECIO
74. ● Las bases de un trapecio miden 0,8 dm y 7 cm. ¿Qué superficie tendrá, si la altura es 4 cm?
75. ● Las bases de un trapecio rectángulo miden10 m y 15 m, y su altura 8 m. Calcula su área.
76. ● Halla el área de un trapecio rectángulo de bases 8 cm y 12 cm, y de lado perpendicular a las bases 5 cm.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO SI SU ALTURA ES DESCONOCIDA?
18. Calcula el área de este trapecio:
PRIMERO. Se identifica un triángulo rectángulo.
SEGUNDO. Se calcula la altura del trapecio aplicando el teorema de Pitágoras.
h2 = 102 - 62 " h2 = 64
" 64 8h cm= =
TERCERO. Se calcula el área.
( ) (24 12) 8144
? ?A
B b h2 2
cm2=+
=+
=
19. ● Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus bases miden 16 cm y 10 cm y el otro lado, 5 cm.
ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES
82. ● Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 20 cm y su apotema 13,76 cm.
83. ● Obtén el área de un hexágono regular cuyo lado mide 25 cm y su apotema 21,65 cm.
84. ●● Halla el lado de un hexágono regular de apotema 6 cm y área 124,7 cm2.
85. ●● Determina el perímetro de un heptágono regular de área 215,75 dm2 y apotema 8 dm.
86. ●● Calcula la apotema de un octógono regular de lado 56 cm y radio 73,17 cm.
87. ●● Halla el área de un decágono regular de lado 22,87 cm y radio 37 cm.
13,7
6 cm
20 cm
10 cm
12 cm
10 cm
C
A B
12 cm
24 cm
10 cm
6 cm
h
10 cmh
10 cm
184
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ÁREA DEL CÍRCULO
20. ● Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 13 cm.
21. ● ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo diámetro mide 20 cm?
89. ●● Dada una circunferencia de 6 cm de diámetro:
a) Calcula su radio.b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.c) Halla el área del círculo.
90. ●● Considerando un círculo de 46 cm2 de área:
a) Calcula el radio y el diámetro.b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.c) Obtén la longitud de la circunferencia.
91. ● Determina el área de un círculo, sabiendo que la longitud de la circunferencia que lo delimita es 25,12 cm.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
99. ●● Obtén el área de las zonas coloreadas.
a) b)
100. ●● Calcula el área de esta figura:
101. ●● Determina el área y el perímetro de las siguientes figuras, y explica cómo lo haces.
a)
b)
PROBLEMAS DE ÁREAS
104. ● ¿Cuál es el área de un tablero de ajedrez si cada casilla tiene 25 mm de lado?
105. ●● ¿Cuántas baldosas hay en un salón cuadrado de 6 m de longitud si cada baldosa es cuadrada y mide 20 cm de lado?
106. ●● Calcula cuánto medirá el lado de una baldosa cuadrada que tiene de superficie 324 cm2.
107. ●● ¿Cuánto costará empapelar una pared cuadrada de 3,5 m de lado con un papel que cuesta 4 €/m2?
108. ●● Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2.Sevaaponerunacenefaalrededor que cuesta 2 €/m. ¿Cuánto valdrá?
109. ●● Plantamos árboles en un jardín cuadrado de 256 m2deárea.Sicada4mseponeunárbol,¿cuántos árboles se plantarán?
110. ●● ¿Cuántos árboles podremos plantar en un terreno con forma de paralelogramo de 30 m de largo y 32 m de ancho, si cada árbol necesita una superficie de 4 m2?
111. ●● ¿Cuánto costará cubrir de plástico un terreno en forma de rombo, con diagonales de 68,65 m y 43,8 m si cuesta 30 €/m2?
112. ●● Sevaasembrarde césped un campo de golf que tiene forma de trapecio. Susbasesmiden: 4 hm, 9 dam y 5 m, y1hmy5m.Sisu altura es de 80 m, ¿cuánto costará, si sembrar un metro cuadrado vale 2 €?
A B10 cm
8 cm
A B
D C
16 cm
7 cm
8 cm
6,9
cm
2 cm
3 cm
1 cm
185
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12Poliedros y cuerpos de revolución
1. ¿Quién fue Leonhard Euler? ¿Cuáles fueron sus aportaciones más importantes al estudio de las matemáticas?
2. ¿A qué episodio de la vida de Euler se refiere el texto? ¿Por qué Federico el Grande lo apodó cíclope matemático?
3. El texto hace referencia a la relación de Euler, ¿qué otros descubrimientos matemáticos se le atribuyen a Euler en el campo de la geometría?
DESCUBRE LA HISTORIA...
El cíclope matemático
La tensión se apreciaba en el rostro de los presentes. La operación de cataratas parecía un éxito, pero la luz se fue apagando y Euler se quedó ciego.
Euler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad, era el menos afectado de todos y bromeaba contando anécdotas de su vida.
–Si Federico el Grande de Prusia me viera ahora no sabría cómo llamarme –decía Euler, pues el monarca lo llamaba el cíclope matemático, porque había perdido un ojo en su juventud.
Euler continuaba con sus bromas y afirmaba:
–¡Ahora me llamaría Polifemo! –pero solo él rió un chiste que a los demás les pareció inoportuno.
Recuperando la seriedad, Euler se dirigió a su familia:
–No os preocupéis, la vista no lo es todo; de hecho ahora evitaré distracciones y me concentraré más. Lo que sí lamento es no poder escribir o dibujar.
–No te preocupes por eso –le dijo su hijo–. Tú solo piensa y dicta, que yo estaré aquí para escribir y dibujar lo que tú imaginas.
Esto ocurría en 1766 en San Petersburgo. Varios años antes, durante su estancia en Prusia, Euler publicó uno de sus trabajos más conocidos: la relación de Euler, que afirma que, en cualquier poliedro simple, el número de caras más el de vértices es igual al número de aristas más 2.
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Poliedros y cuerpos de revolución
Antes de empezar la unidad... POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Sus elementos son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono.• Vértices: puntos donde se unen dos lados.• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.
Clasificación de polígonos
N.o de lados Nombre Regular Irregular
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
Vértice
Diagon
alLado
Ángulo interior
En esta unidad aprenderás a…
• Distinguir los elementos de los poliedros y los cuerpos de revolución.
• Calcular el número de caras, aristas y vértices de poliedros.
• Determinar cuerpos de revolución a partir de una figura plana.
PLAN DE TRABAJO
Para comprobar si un polígono es regular
o irregular nos fijamos en sus lados
y sus ángulos.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Dibuja un polígono de siete lados e identifica sus elementos.
2 Clasifica estos polígonos según su número de lados.
187
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Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.
Poliedros2
2.1 Elementos de un poliedro
Los elementos de un poliedro son:
• Caras: son los polígonos que limitan el po-liedro.
• Aristas: son los lados de las caras.
• Vértices: son los puntos comunes de las aristas.
• Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.
2.2 Desarrollo plano de un poliedro
El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al exten-derlo sobre un plano.
Diagonal
Diagonal
Ari
sta
F
F
Vértices
EJEMPLO
1 Determina los elementos de este poliedro.
F
Cara
AristaVértice
F
F
F
5 Cuenta el número de vértices, caras y aristas del poliedro.
1 Dibuja un poliedro cuyas caras sean todas rectángulos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Nombra y dibuja los elementos de estos poliedros.
a) b)B G
H E
C D
A F
188
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9 Dibuja el desarrollo plano de un prisma de base cuadrada.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
8 Calcula el número de vértices, aristas y caras de un prisma cuya base es un hexágono.
Prismas
ANTES, DEBES SABER…
Qué son los paralelogramos y cómo se clasifican
Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
4 lados iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Lados y ángulos 4 ángulos rectos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos.
Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre sí y cuyas caras restantes son paralelogramos.
3.1 Elementos de un prisma
Los elementos de un prisma son:
• Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos.
• Caras laterales: son paralelogramos.• Aristas básicas: son los lados de los polígonos de
las bases.• Aristas laterales: son los lados de las caras late-
rales. • Vértices: son los puntos en los que se cortan las
aristas.• Altura de un prisma: es la distancia entre las bases.
3.2 Tipos de prismas
Para clasificar los prismas nos fijamos en los polígonos de las bases.
Prisma triangular
Prisma cuadrangular
Prisma pentagonal
3
Base
Altura
Vértice
Arista básica
Arista lateral
G
G
Cara lateral
G
G
G
G
Desarrollo plano de un prisma hexagonal
189
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Desarrollo plano de una pirámide hexagonal
Pirámides
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se clasifican los triángulos
Según la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser:
Equilátero
Tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.
Isósceles
Tiene dos lados y dos ángulos iguales.
Escaleno
Tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.
4.1 Elementos de una pirámide
Los elementos de una pirámide son:
• Base: es un polígono cualquiera.• Caras laterales: son triángulos que concurren
en un punto llamado vértice de la pirámide.• Aristas básicas y aristas laterales: son las aris-
tas de la base y de las caras laterales, respecti-vamente.
• Altura de la pirámide: es el segmento perpendi-cular trazado desde el vértice a la base.
4.2 Tipos de pirámides
Como en los prismas, para clasificar las pirámides nos fijamos en el polí-gono de la base.
Pirámide triangular
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
4
Base
Vértice
Altura
Cara lateral
G
G
G
G
3 Dibuja el desarrollo plano de las pirámides del ejercicio anterior. ¿Cuántas aristas, vértices y caras tienen?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Dibuja una pirámide hexagonal y otra de base triangular. ¿Tienen alguna característica común?
190
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Poliedrosregulares
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un polígono regular
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Un poliedro es regular cuando cumple las siguientes condiciones:
• Todas sus caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño.• En cada vértice concurre el mismo número de aristas.
5.1 Tipos de poliedros regulares
Solo existen cinco poliedros regulares.
5
TetraedroTiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.
CuboTiene 6 caras, que son cuadrados.
OctaedroTiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.
DodecaedroTiene 12 caras, que son pentágonos regulares.
IcosaedroTiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.
F
F
F
F
F
El triángulo equilátero es el único polígono regular
de tres lados, y el cuadrado, el único polígono regular
de cuatro lados.
5 Dibuja un cubo cuyas aristas miden 4 cm y su desarrollo plano.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Dibuja en tu cuaderno un tetraedro y su desarrollo plano.
191
301279 _ 0186-0199.indd 191 08/07/11 20:25
r
r
h
G
F
Cuerposde revolución
Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.
6.1 Cilindro
ANTES, DEBES SABER…
Qué es una circunferencia y cuáles son sus elementos
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro.
• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: cuerda que pasa por el centro.
Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Elementos del cilindro
• Eje: es la recta determinada por el lado sobre el que gira el rectángu-lo que genera el cilindro.
• Altura: es la longitud del lado so-bre el que gira el rectángulo.
• Generatriz: es el lado del rectán-gulo opuesto al eje.
• Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje.
• Radio: es el radio de las bases, es decir, la longitud de los lados per-pendiculares al eje.
Desarrollo plano del cilindro
El desarrollo de un cilindro está formado por un rectángulo y dos círculos iguales que constituyen las bases:
• La altura del rectángulo es la generatriz del cilindro.
6
Radio
Diámetro
O
21 Dibuja un cilindro que tiene 2 cm de radio y 7 cm de altura.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Dibuja un cilindro de altura 3 cm y marca en él sus elementos.
Desarrollo plano de un cilindro
Altura
Radio
Base
Gen
erat
riz
Base
F
F
F
F
F Eje de giro
192
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6.2 Cono
Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un trián-gulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Elementos del cono
• Eje: es la recta determinada por el cateto sobre el que gira el triángulo.• Altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo. • Generatriz: es la hipotenusa del triángulo. • Base: es el círculo que se genera al girar el cateto perpendicular al eje.• Radio: es el radio de la base, es decir, la longitud del cateto perpendicular
al eje.
Desarrollo plano del cono
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un sector circular
Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
El desarrollo de un cono está formado por un sector circular y un círculo:
• El radio del sector circular es la generatriz.
6.3 Esfera
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un semicírculo
Un semicírculo es la mitad de un círculo. Está limitado por un diámetro.
Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro.
Elementos de la esfera
• Eje: es la recta determinada por el diá-metro sobre el que gira el semicírculo.
• Centro: es el centro del semicírculo.
• Radio: es el radio del semicírculo.
La esfera no tiene desarrollo plano.
Radio
Gen
erat
riz
Alt
ura
Eje de giro
Base
F
F
F
F
Radio
Centro
Eje de giro
FF
GGF
r
g
Desarrollo plano de un cono
8 Dibuja un semicírculo y la esfera que genera al girar.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Dibuja un triángulo rectángulo y el cono que genera al girar.
193
301279 _ 0186-0199.indd 193 08/07/11 20:25
Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Prisma
Triangular Cuadrangular Pentagonal
Pirámide
Triangular Cuadrangular Pentagonal
Poliedros regulares
Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro
Cilindro
Generatriz
Eje
Radio
FF
G
G
Cono
Generatriz
EjeRadio
FF
G
F
EsferaEje F
G GF
Radio
CentroF
HAZLO DE ESTA MANERA
1. IDENTIFICAR POLIEDROS
Identifica cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros.
a) b) c)
PRIMERO. Decidimos si las caras son polígonos. Si no lo son, no es un poliedro.
a) Rectángulos " Es un poliedro.
b) Triángulos " Es un poliedro.
c) Superficie curva " No es un poliedro.
SEGUNDO. Si es un poliedro, contamos el número de bases:
• Si tiene dos bases es un prisma.
• Si tiene una base es una pirámide.
a) Dos bases " Es un prisma.
b) Una base " Es una pirámide.
2. IDENTIFICAR CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Identifica cuáles de estos cuerpos geométricos son cuerpos de revolución.
a) b) c)
PRIMERO. Decidimos si las caras no son planas. Si es así, es un cuerpo de revolución.a) y b) Caras no planas " Es un cuerpo
de revolución.c) Rectángulos " No es un cuerpo
de revolución.
SEGUNDO. Si es un cuerpo de revolución, contamos el número de bases:
• Si tiene dos bases es un cilindro.• Si tiene una base es un cono.a) Dos bases " Es un cilindro.
b) Una base " Es un cono.
194
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2. DETERMINAR EL CUERPO DE REVOLUCIÓN QUE GENERA UNA FIGURA PLANA
Halla el cuerpo de revolución que genera esta figura al girar alrededor de su eje.
PRIMERO. Dibujamos una figura simétrica respecto del eje.
SEGUNDO. Damos volumen a esa figura, teniendo en cuenta que en la superficie lateral de la figura no hay polígonos.
Comprende estas palabras
1. Dibuja un prisma triangular y un cono.
Identificar cuerpos geométricos
2. Identifica los siguientes cuerpos geométricos.
Calcular el número de caras, aristas y vértices de prismas y pirámides
2. Determina el número de caras, aristas y vértices de este poliedro:
Determinar el cuerpo de revolución que genera una figura plana
3. Dibuja el cuerpo de revolución que determina esta figura al girar sobre su eje.
Y AHORA… PRACTICA
1. CALCULAR EL NÚMERO DE CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
Calcula el número de caras, aristas y vértices de estos poliedros.
PRIMERO. Contamos las caras, aristas y vértices de las bases del poliedro.
a) Bases: dos pentágonos " é
??
22 5 102 5 10
carasaristasv rtices
==
*
b) Base: un hexágono é
166
caraaristasv rtices
*
SEGUNDO. El número de caras laterales es igual que el de lados de la base. El número de aristas es el mismo que el de vértices de la base, y solo en el caso de la pirámide hay que añadir un vértice más, el vértice de la pirámide.
a) 55
Prisma pentagonal carasaristas" ( b) á
é
661
Pir mide hexagonalcarasaristasv rtice
" *
TERCERO. Sumamos el número de caras, aristas y vértices obtenido en los pasos anteriores.a) Caras = 2 + 5 = 7 b) Caras = 1 + 6 = 7 Aristas = 10 + 5 = 15 Aristas = 6 + 6 = 12 Vértices = 10 Vértices = 6 + 1 = 7
a) b)
195
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ActividadesPOLIEDROS
31. ● Determina cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros.
a)c)
e)g)
b)
d)
f)
h)
32. ● Dibuja un poliedro que tenga una base que sea un pentágono.
33. ● Un cuerpo geométrico cuya base sea un círculo, ¿puede ser un poliedro?
34. ●● Observa la figura.
a) ¿Cuántos vértices, aristas y caras existen?
35. ●● Justifica si es verdadero o falso.
a) Un poliedro puede tener el mismo número de vértices y de aristas.
b) Un poliedro puede tener igual número de caras que de aristas.
c) Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de vértices.
36. ●● Dibuja un poliedro con hexágonos y rectángulos. ¿Cuántas caras se unen en un vértice?
37. ●● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un poliedro formado por dos triángulos y tres rectángulos?
PRISMAS
38. ● Determina cuáles de estos poliedros son prismas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
39. ● Dibuja un prisma de base triangular.
HAZLO ASÍ
¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un prisma con base un polígono regular?
9. Dibuja el desarrollo plano de este prisma.
PRIMERO. Se identifica el polígono que forma las bases del prisma.En este caso, las bases son cuadrados.
SEGUNDO. Se dibuja una de las bases y sobre ella se traza uno de los paralelogramos que forman las caras laterales.
TERCERO. A continuación, se añade la otra base y se dibuja el resto de paralelogramos de las caras, iguales al que ya se ha dibujado.
196
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40. ● Dibuja el desarrollo de un prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm.
41. ● Dibuja el desarrollo plano de un cubo de lado 3 cm.
10. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma cuyas bases sean cuadrados de 2 cm de lado, y su altura mida 3 cm.
11. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de bases pentagonales y cuya altura mida 4 cm.
12. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de bases hexagonales y altura 5 cm.
42. ● Calcula el número de vértices, aristas y caras de un prisma cuyas bases son octógonos.
13. ●● Si el número de aristas de un prisma es 21, ¿qué polígonos forman las bases?
14. ●● El número de vértices de un prisma es 20. ¿Qué polígonos forman sus bases?
15. ●● El número total de caras de un prisma es 18. ¿Qué polígonos forman sus bases?
45. ● Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20, ¿cuántas caras tiene?
46. ● Un prisma tiene 10 vértices. ¿Puedes indicar cómo son los polígonos de las bases? Si es posible, hazlo.
47. ●● Calcula la superficie de metal necesario para construir esta caja con forma de prisma regular hexagonal.
PIRÁMIDES
48. ● Determina cuáles de estos poliedros son pirámides.
a) c) e)
b) d) f)
49. ● Dibuja una pirámide de base cuadrangular.
16. ● Dibuja una pirámide cuya base sea un pentágono e identifica todos sus elementos.
17. ● Dibuja una pirámide con cinco caras que sean triángulos isósceles. ¿Qué polígono forma su base?
6 cm12 cm
G
¿CÓMO SE DETERMINAN LOS POLÍGONOS QUE FORMAN LAS BASES DE UN PRISMA, SABIENDO SU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?
43. Determina, en cada caso, los polígonos que forman la base de los siguientes prismas.
a) Número de vértices = 10b) Número de caras = 9c) Número de aristas = 18
PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras y aristas.• El número total de vértices es el de las dos bases.
a) Cada base tiene: 2
105= vértices
• El número total de caras corresponde a las caras laterales más las dos bases.b) Número de caras laterales: 9 - 2 = 7
• El número total de aristas es el de las dos bases más el de las caras laterales, que es igual al de las bases.
c) La base tiene: 3
186= aristas
SEGUNDO. Se estudia el resultado.N.º de vértices de la base = N.º de caras laterales = = N.º de aristas de la basea) N.º de vértices de la base = 5 " Pentágonob) N.º de caras laterales = 7 ---" Heptágonoc) N.º de aristas de la base = 6 -" Hexágono
HAZLO ASÍ
197
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52. ●● Averigua el polígono que forma la base de una pirámide en los siguientes casos.
a) 12 aristas y 7 vértices.b) 8 caras laterales.c) 8 aristas y 5 vértices.d) 9 caras laterales y 10 vértices.e) 20 aristas.f) 13 vértices.g) 10 caras laterales.h) 13 caras en total y 24 aristas.
53. ●● Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cuántos lados tendrá el polígono de la base?
54. ●● Entre los poliedros regulares, ¿hay alguna pirámide?
55. ●● Sabiendo que el número de vértices de una pirámide es 11 y el número de aristas es 20, ¿cuántas caras tiene en total?
56. ●● ¿Cuál es el mínimo número de aristas de una pirámide?
57. ●● ¿Cuál de estas afirmaciones es falsa?
a) En una pirámide, todas sus caras laterales y su base son triángulos equiláteros.
b) La base de una pirámide puede ser un polígono cualquiera.
58. ●● Dibuja el desarrollo de una pirámide cuya base sea un triángulo isósceles. Describe la relación entre sus caras laterales.
59. ●● ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales sean todas triángulos rectángulos?
60. ●● ¿Cuál es el mínimo número de vértices y de caras de una pirámide?
POLIEDROS REGULARES
61. ● En el siguiente dibujo hay un cubo y, en su interior, un octaedro cuyos vértices están situados en el punto medio de cada cara del cubo. Completa la tabla.
Caras
Aristas
Vértices
Cubo Octaedro
18. ● Dibuja el desarrollo plano de un octaedro.
19. ● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un tetraedro? ¿Y un dodecaedro? Dibuja sus desarrollos planos.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
65. ● Determina cuáles son cuerpos de revolución.
a) c) e)
b) d) f)
¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONO QUE FORMA LA BASE DE UNA PIRÁMIDE, SABIENDO SU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?
51. Determina, en cada caso, el polígono que forma la base de las siguientes pirámides.a) Número de vértices = 10b) Número de caras = 9c) Número de aristas = 18
PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras y aristas.• El número total de vértices es el de la base más
uno.a) Número de vértices de la base: 10 - 1 = 9
• El número total de caras es el de las caras laterales más uno.b) Número de caras laterales: 9 - 1 = 8
• El número total de aristas es el de la base más el de las caras laterales, que es el mismo.
c) La base tiene: 2
189= aristas
SEGUNDO. Se estudia el resultado.N.º de vértices de la base = N.º de caras laterales = = N.º de aristas de la basea) N.º de vértices de la base = 9 " Eneágonob) N.º de caras laterales = 8 " Octógonoc) N.º de aristas de la base = 9 " Eneágono
HAZLO ASÍ
198
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66. ● Dibuja los cuerpos que se generan al girar las siguientes figuras en torno a los ejes indicados.
a) b) c)
67. ●● Dibuja los polígonos y el eje de estas figuras de revolución.
a) b)
HAZLO ASÍ
¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un cilindro?
20. Dibuja el desarrollo plano de este cilindro.
PRIMERO. Se calcula la longitud de la circunferencia de la base.
L = 2rr = 2 ? 3,14 ? 3 = 18,84 cm
SEGUNDO. Se dibuja un rectángulo cuya altura es la generatriz del cilindro y la base es la longitud de la circunferencia de la base.
TERCERO. Se añaden los dos círculos que forman las bases, unidos por un punto, cada uno, al rectángulo.
21. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro cuya altura sea 4 cm.
22. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro si su altura mide 6 cm y el radio de su base, 3 cm.
23. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro sabiendo que su generatriz mide 5 cm y el radio de su base, 2 cm.
71. ●● Dibuja el desarrollo de un cilindro cuya altura mide 12 cm y el radio de la base 6 cm.
72. ●● Dibuja el desarrollo de un cono con radio de la base 4 cm y altura 8 cm.
73. ●● ¿Cuánto vale la altura de un cono cuyo radio de la base mide 8 cm y la generatriz 10 cm?
PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS
74. ●● El cilindro de cartón de un rollo de papel tiene un radio de 2,3 cm y un ancho de 24 cm. ¿Qué dimensiones tiene el cartón?
G
F
2,3 cm
G
24 cm
75. ●● Un orfebre ha realizado un brazalete cilíndrico cuyo exterior quiere cubrir de plata. El radio del brazalete es de 3 cm y su altura de 4 cm. ¿Qué área tiene que cubrir de plata?
76. ●● Lola pinta joyeros de madera. Hoy ha pintado dos joyeros como el de la figura. ¿Qué área ha pintado en total?
6 cm
6 cm
10 cmG
6 cm
77. ●●● Delia trabaja en una fábrica donde hacen latas cilíndricas de conservas. Si las latas tienen un área de 500 cm2 y un radio de 5 cm, ¿cuál es su altura?
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131. Busca información
sobre la vida de María Gaetana Agnesi, matemática que vivió en el siglo XVIII.
2. María Agnesi estudió con detalle una curva llamada, debido a una mala traducción, la bruja de Agnesi. Investiga cómo se genera dicha curva y describe sus propiedades.
3. Averigua qué otros trabajos realizó María Agnesi relacionados con las matemáticas.
DESCUBRE LA HISTORIA...
La bruja de AgnesiLos ágiles dedos acariciaban las cuerdas y arrancaban dulces sonidos al arpa. María Agnesi se relajó por un momento. Oír a su hermana Teresa tocar el arpa hacía que se olvidara de todo, y que solo existieran notas y compases.
Después de concluir la pieza, Teresa le preguntó a su hermana por su enfado y esta le contestó:
–Esta mañana ha vuelto a suceder: uno de mis alumnos de la universidad ha vuelto a llamarla la bruja de Agnesi.
–María –le cortó su hermana–, olvida ya esa historia. Nadie tiene la intención de ofenderte al nombrar la gráfica así.
–¡Pero lo hacen! –dijo María–. La culpa la tiene el traductor que al traducir mi libro al inglés llamó a la curva la bruja de Agnesi, y han terminado llamándomelo a mí.
Actualmente a esta gráfica se le sigue llamando la bruja de Agnesi, en honor de María Gaetana Agnesi, que fue la primera mujer en impartir clases en una universidad.
1
2
1
X
Y
Funciones y gráficas
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad aprenderás a…
• Usar las coordenadas cartesianas para representar puntos.
• Hallar las coordenadas de un punto del plano.
• Interpretar gráficas de funciones.
PLAN DE TRABAJO
COMPARACIÓN DE NÚMEROS
Números enteros
De dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.Comparamos -5 y -8:
8 8| || |
5 55 8 5 8< >
- =- = - -" "3
Números decimales
•Paracompararnúmerosdecimalespositivosloscomparamosunidadaunidad.Es mayor el número que tiene mayor parte entera. Si esta es igual, es mayor el número con mayor parte decimal, comparada cifra a cifra.Comparamos 6,25 y 6,28:
6,25 6,28 " 5 < 8 " 6,28 > 6,25=
=<
•Silosnúmerosdecimalessonnegativos,comparamossus valores absolutos. Es mayor el que tiene menor valor absoluto.Comparamos -6,25 y -6,28:
, ,, , , ,
| |6 25 6 256 25 6 28 6 25 6 28< >
- =- -" "6,28 6,28| |- =
3
Fracciones
Para comparar fracciones las expresamos como números decimales.
Comparamos 43-
y 21-
:
, ,43
0 7521
0 5-=-
-=-
| , | ,, , , ,
0 75 0 750 5 0 75 0 5 0 75
21
43
< > >- =
- -- -
" " "| , | ,0 5 0 5- =2
El mayor de dos números es el que está
situado más a la derecha en la recta numérica.
-10 -8 -5 0
6,28 6,36,256,2
-6,25 -6,2-6,28-6,3
0-143
-21
-
EVALUACIÓN INICIAL
1 Ordena estos números enteros de mayor a menor.
5 -5 7 13 -7 8 -13 -8 6 -6
2 Ordena estos números decimales de mayor a menor.
7,25 -7,48 -7,09 8,48 -7,7 8,84
3 Ordena estos números de mayor a menor.
0,5 21-
4 1,25 -3 43
-2
201
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3 El punto A está situado a la derecha de cero. ¿Qué afirmación es correcta?
a) A es positivo.b) A es negativo.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Representa los siguientes números en una recta horizontal: -1, 5, 7 y -4.
2 Representa estos números en una recta vertical: -8, 5, 7 y -4.
Rectasnuméricas1
Para representar un número en una recta numérica se marca un punto de referencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder el número 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza.
• Sidibujamoslarectadeformahorizontal,losnúmerosconsignopositivo se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.
• Siladibujamosdeformavertical,losnúmerospositivossecolocanpor encima del cero y los negativos por debajo, respetando siempre el orden natural.
ANTES, DEBES SABER…
Qué son fracciones propias e impropias
Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador, y es impropia
53" Propia
57" Impropia
cuando el numerador es mayor.
EJEMPLO
1 Representa los números -2, 4 y 49
en una recta horizontal.
Para representar -2, partiendo del 0, contamos 2 unidades a la izquierda, por ser un número negativo. Para representar 4, partiendo del 0, contamos 4 unidades a la derecha, por ser un número positivo.
0-2 -1-3-4 1 2 3 4
Para representar 49
, como es una fracción impropia, la descomponemos
como suma de un número natural más una fracción propia. 9 41 2
" 49
241
= +
Dividimos la unidad comprendida entre 2 y 3 en tantas partes como indica el denominador de la fracción propia, 4, y tomamos tantas partes como indica el numerador, 1.
0-2 -1-3-4 1 2 3 449
876543210-1-2-3-4-5-6-7-81444444424444444314444444244444443
Números enteros negativos Números enteros positivos
Las rectas numéricas se pueden representar de forma horizontal
o vertical.
202
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7 Señala cinco puntos con:
a) Abscisa -2. c) Igual abscisa y ordenada.b) Ordenada -2.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Dibuja unos ejes de coordenadas, y colorea de azul el eje de abscisas, y de rojo, el de ordenadas.
Coordenadascartesianas2
ANTES, DEBES SABER…
Qué son rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas per-pendiculares, denominadas ejes de coordenadas.
Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por:
• Eje de abscisas, que es la recta horizontal y se representa por X.
• Eje de ordenadas, que es la recta vertical y se representa por Y.
• Origen de coordenadas, que es el punto de corte de los ejes y se representapor O. El origen de coordenadas coincide con el 0 de ambasrectasnuméricas.
Un punto P del plano queda determinado por un par de números, (a, b), llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(a, b).
• El número a es la abscisa del punto P y se mide en el eje horizontal.
• El número b es la ordenada del punto P y se mide en el eje vertical.
• El punto O representa el punto (0, 0).
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, cada una de las cuales se llama cuadrante.
EJEMPLO
1 Escribe las coordenadas de este punto.
Abscisa: 5 a la izquierda del origen Ordenada: 3 por encima del origen Por tanto, A(-5, 3).
Segundo cuadrante
Primer cuadrante
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
Y
P (a, b)b
aO X
Eje de ordenadas
Eje de abscisas
Origen de coordenadas
F
• Si la abscisa es positiva, el punto está a la derecha del origen de coordenadas, y si es negativa, a la izquierda.
• Si la ordenada es positiva, el punto está por encima del origen de coordenadas, y si es negativa, por debajo.
DATE CUENTA
X
Y
1
1
A
203
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2.1 Puntos del primer cuadrante
Un punto P(a, b) del primer cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y la ordenada, b, positiva.
EJEMPLO
2 Representa el punto A(2, 3).
• La primera coordenada x = 2 es positiva: nos desplazamos 2 unidades a la derecha.
• La segunda coordenada y = 3 también es positiva: nos desplazamos 3 unidades hacia arriba, desde la abscisa anterior.
2.2 Puntos del segundo cuadrante
Un punto P(a, b) del segundo cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y la ordenada, b, positiva.
EJEMPLO
3 Representa el punto B(-2, 3).
• La primera coordenada x = -2 es negativa: nos desplazamos 2 unidades a la izquierda.
• La segunda coordenada y = 3 es positiva: nos desplazamos 3 unidades hacia arriba, desde la abscisa anterior.
Y
XO
A(2, 3)
2
3
Y
X
3
-2 O
B(-2, 3)
Al representar puntos que están escritos
en coordenadas comenzamos siempre
a contar desde el origen.
13 Indica las coordenadas cartesianas de estos puntos:
¿Qué característica común tienen los puntos del primer y segundo cuadrantes?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 Representa los siguientes puntos e indica en qué cuadrante se encuentran.
A(-2, 5) B (3, 5) C (7, 2) D (-4, 5)
11 Representa los puntos y señala su cuadrante.
A(-3, 1) B (5, 3) C (-1, 3) D (5, 4)
12 Indica, sin representarlos, el cuadrante en el que se sitúa cada punto.
A(-8, 3) B (5, 10) C (-7, 2) D (4, 6)
Y
A
B
C
D
O X
1
1
204
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2.3 Puntos del tercer cuadrante
Un punto P(a, b) del tercer cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y la ordenada, b, negativa.
EJEMPLO
4 Representa el punto A(-2, -3).
• La primera coordenada x = -2 es negativa: nos desplazamos 2 unidades a la izquierda.
• La segunda coordenada y = -3 también es negativa: nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, desde la abscisa anterior.
2.4 Puntos del cuarto cuadrante
Un punto P(a, b) del cuarto cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y la ordenada, b, negativa.
EJEMPLO
5 Representa el punto B(2, -3).
• La primera coordenada x = 2 es positiva: nos desplazamos 2 unidades a la derecha.
• La segunda coordenada y = -3 es negativa: nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, desde la abscisa anterior.
17 Indica las coordenadas de los puntos.
¿Qué característica común tienen los puntos del tercer y cuarto cuadrantes?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Representa los siguientes puntos en el plano, e indica en qué cuadrante se encuentran.
A(-1, 5) B (-2, 5) C (-7, -2) D (4, -5)
15 Representa los puntos en el plano y señala su cuadrante.
A(-3, -1) B(5, -10) C(-3, -3) D(-6, 4)
16 Indica, sin representarlos, el cuadrante en el que se sitúa cada punto.
A(-8, 3) B (8, -2) C (-7, -3) D (4, 6)
-2
-3
O
A(-2, -3)
Y
X
El orden de las coordenadas
es importante. No es igual el punto (-4, 3)
que el punto (3, -4).
Y
AB C
DO X
1
1
2
-3
Y
XO
B(2, -3)
205
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2.5 Puntos sobre los ejes de coordenadas
Los puntos que están situados sobre el eje X son de la forma (a, 0), es decir, su ordenada es 0.
Si la coordenada a es positiva, están a la derecha del origen de coordenadas, y si es negativa, a la izquierda.
Los puntos que están situados sobre el eje Y son de la forma (0, b), es decir, su abscisa es 0.
Si la coordenada b es positiva, están por encima del origen de coordenadas, y si es negativa, por debajo.
EJEMPLO
6 Representa los puntos A(2, 0), B(-4, 0), C(0, 2) y D(0, -3).
A(2, 0) " Nos desplazamos 2 unidades a la derecha, x = 2. La ordenada es cero, y = 0. El punto A se sitúa en el mismo eje de abscisas.
B(-4, 0) " Nos desplazamos 4 unidades a la izquierda, x = -4.La ordenada es cero, y = 0. El punto B se sitúa en el mismo eje de abscisas.
C(0, 2) " La abscisa es cero, x = 0. Nos desplazamos 2 unidades hacia arriba, y = 2.El punto C se sitúa en el mismo eje de ordenadas.
D(0, -3) " La abscisa es cero, x = 0. Nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, y = -3.El punto D se sitúa en el mismo eje de ordenadas.
izquierda derecha
O (+, 0)(-, 0)
Y
X
arriba
abajoO
(0, -)
(0, +)Y
X
C(0, 2)
D(0, -3)
O X
Y
Y
O X
B(-4, 0) A(2, 0)
2-4
20 Indica, sin representarlos, sobre qué eje se encuentra cada punto.
A(0, 2) C (0, -1) B (-1, 0) D (-7, 0)
21 ¿Existe algún punto que se sitúe en los dos ejes simultáneamente? ¿Qué punto es?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Representa los siguientes puntos en el plano:
A(-1, 0) C (7, 0) E(0, -1) G(0, 3)B (0, 5) D (0, -3) F(5, 0) H(-10, 0)
19 Escribe tres puntos situados en el eje X de abscisa positiva, y otros tres en el eje Y de ordenada negativa.
206
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Funciones33.1 Concepto de función
Se denomina función a la relación que asocia a cada valor de una mag-nitud un único valor de otra magnitud.
Si representamos los pares de valores que obtenemos en un sistema de coordenadas obtenemos la representación gráfica de una función.
3.4 Expresión de una función mediante una gráfica
La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que define a esa función.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se construye una tabla numérica
A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.
Número 1 2 3 4
Su triple 1 ? 3 = 3 2 ? 3 = 6 3 ? 3 = 9 4 ? 3 = 12
Para representar una función se forma una tabla con algunos de sus valo-res. Después, tomando esos pares de valores como puntos se representan en unos ejes de coordenadas.
En ocasiones, también tiene sentido unir los puntos obtenidos.
EJEMPLO
16 Cristina está enferma. Su madre le ha tomado la temperatura cada dos horas y ha anotado los resultados en una tabla.
Variable x (hora)
Variable y (temperatura en °C)
10
37
12
39
14
38
16
38
18
36
20
38
Representa los resultados en una gráfica.
Los puntos a partir de la tabla son:(10, 37), (12, 39), (14, 38), (16, 38), (18, 36) y (20, 38)
Representamos estos puntos en un sistema de coordenadas y los unimos mediante rectas. En este caso tiene sentido unirlos porque a cada momento del día (hora) le corresponde una temperatura.
Cuando los valores que toma una de las magnitudes de la tabla son demasiado grandes, para representar sus puntos sobre los ejes se hace de esta forma:
Esto significa que en el eje Y, por debajo de 40,
hay una parte de eje de la que hemos prescindido.
Y
X
40
Y
X
39
38
37
36
10 12 14 16 2018
Tem
per
atu
ra (
°C)
Hora
Una magnitud es cualquier característica que se puede medir y expresar mediante una cantidad o un número.
RECUERDA
22 Asocia a cada número natural del 1 al 9 su doble, y halla los pares de coordenadas que resultan. Construye una gráfica con ellos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Construye una tabla que relacione cada número del 1 al 10 con su mitad, y escribe los puntos que se obtienen.
207
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41 La gráfica muestra los asistentes a una obra de teatro los siete primeros días desde el estreno.
b) ¿Qué día hubo más asistentes? ¿Y menos?
42 Construye una gráfica con la temperatura de tu ciudad durante una semana e interprétala.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
40 Esta gráfica representa el número de barras de pan que se han vendido en una panadería durante los primeros nueve meses del año.
Realiza una interpretación de esta gráfica.
Interpretación de gráficas4
Observando una gráfica podemos extraer rápidamente
información sobre las magnitudes
que representa.
Interpretar una gráfica es extraer información de ella a través de su estudio, de izquierda a derecha.
EJEMPLOS
17 Interpreta esta gráfica, que representa el tiempo empleado por dos autobuses en realizar una vez su trayecto.
Los autobuses A y B están a la misma distancia del eje vertical, y tardan lo mismo en realizar su trayecto, 20 minutos. Sin embargo, el autobús A está más alejado del eje horizontal que el autobús B.Es decir, el autobús A recorre más distancia, 15 km, que el autobús B, que recorre 5 km.
18 Interpreta esta gráfica, que representa las reservas de agua de un pantano durante el último año.
Las reservas de agua del pantano crecen durante el invierno y alcanzan su punto máximo en la primavera, en el mes de mayo.
Las reservas decrecen durante el verano, desde mayo hasta septiembre, llegando a su punto mínimo durante el mes de septiembre. A partir de este punto, las reservas del pantano vuelven a crecer hasta situarse en diciembre a un nivel similar con el que comenzó el año.
Y
X
80
60
40
20
E F M A M J J A S O N D
Res
erva
s (%
)
Meses
Y
X
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30
Dis
tanc
ia (
km)
Autobús A
Autobús B
Tiempo (min)
54321
Meses
N.º
de
bar
ras
(en
mile
s)
FE M A M Jn Jl A S X
Y
Y
25020015010050
X1 2 3 4 5 6 7
208
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44 Representa el texto mediante una gráfica.
Tomás salió a pasear a las 18:00 h. A las 18:30 h se encontró con Juan y se detuvo media hora.Luego siguió andando hasta que a las 19:30 h llegó a una ermita. Allí decidió pararse a descansar durante una hora. Después, regresó a su casa: tardó una hora en llegar y no hizo ninguna parada en el camino.
45 Realiza una gráfica que represente el trayecto que realizas para ir al instituto.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
43 Representa este enunciado mediante una gráfica.
Cuatro amigos van de excursión. • El primero de ellos recorre 6 kilómetros
en 75 minutos. • El segundo recorre 4 kilómetros y tarda
60 minutos.• El tercero tarda lo mismo que el primero,
y el cuarto tarda lo mismo que el segundo.
Razona si tiene sentido unir los puntos que obtienes.
Al representar mediante gráficas la información extraída de un enunciado, debemos tener en cuenta los puntos que pertenecen a dicha gráfica y si estos se pueden unir o no.
EJEMPLOS
19 Representa este enunciado mediante una gráfica, y decide si es posible unir los puntos que obtienes o no.
El número de clientes de un restaurante durante la semana ha sido: el primer día 20 clientes, el segundo y el tercero 30 clientes cada día, el cuarto el mismo número de clientes que el primero. El quinto día cerraron por descanso, y el fin de semana solo hubo 10 clientes cada día.
No tiene sentido unir los puntos, ya que no podemos afirmar que en cierto momento hubo 10,5 clientes o 12,33 clientes.
20 Representa este enunciado mediante una gráfica.
El domingo fuimos a la casa de mis abuelos, que está situada a 150 km.
Partimos a las 9:00 h y a las 10:30 h paramos a desayunar durante media hora.
A las 12:00 h entramos en la ciudad, y nos detuvimos a hablar con un amigo. Llegamos finalmente a la casa de mis abuelos a las 12:30 h.
En este caso hay que unir los puntos porque se puede determinar, por ejemplo, a qué distancia se encontraban a las 11:30 h.
No siempre se pueden unir los puntos
de una gráfica.
Y
X9 10 11 12
Dis
tan
cia
(km
)
Hora del día
150125100755025
Y
30
20
10
X1 2 3 4 65 7
N.º
de
clie
ntes
Día de la semana
209
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
2. CALCULAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO REPRESENTADO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
PRIMERO. Trazamos una recta perpendicular al eje X que pase por el punto. El punto de corte de esta recta con el eje X es la primera coordenada del punto.
SEGUNDO. Trazamos una recta perpendicular al eje Y que pase por el punto. El punto de corte de esta recta con el eje Y es la segunda coordenada del punto.
Los puntos representados son: A(3, 2), B(-1, 3) y C(-4, -2).
Determina las coordenadas de estos puntos.
PuntoPrimera
coordenada
A
B
C
3
-1
-4
PuntoSegunda
coordenada
A
B
C
2
3
-2
Sistema de coordenadas cartesianas
BA
C
X
Y
O
1
1
A (a, b)
O
Eje de ordenadas
Origen de coordenadas
Eje de abscisas
Abscisa Ordenada
B(c, d)
X
YF
F F
a c
b
d
Funciones
Peso (kg)
Pre
cio
(€
)
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 X
Y
HAZLO DE ESTA MANERA
1. REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Representa los puntos: (-1, 3), (3, -1), (2, 2) y (-4, -5).
PRIMERO. En el eje horizontal, y partiendo del origen de coordenadas, nos desplazamos tantas unidades como nos indique la primera coordenada del punto. Hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa.
SEGUNDO. Desde ese punto, nos desplazamos tantas unidades como nos indique la segunda coordenada del punto. Hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.
1
1 X
Y
(2, 2)(-1, 3)
(-4, -5)
(3, -1)
210
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1. REPRESENTAR UNA GRÁFICA A PARTIR DE UNA TABLA
La tabla relaciona cada número con su doble.
Número 1 2 3 4
Su doble 2 4 6 8
Representa los datos en una gráfica.
PRIMERO. A partir de la tabla obtenemos los puntos que definen la función.Los puntos que obtenemos a partir de la tabla son:
(1, 2) (2, 4) (3, 6) (4, 8)
SEGUNDO. Representamos estos puntos en un sistema de coordenadas y decidimos si los podemos unir.
En este caso los podemos unir ya que a cualquier número le podemos hacer corresponder su doble.
2. INTERPRETAR GRÁFICAS
Interpreta esta gráfica que muestra el gasto de agua por trimestres de una familia.
PRIMERO. Analizamos cómo se modifican los datos en los distintos tramos de la gráfica.Durante el primer trimestre del año la familia llega a consumir 30 000 litros de agua. Y sigue aumentando su consumo hasta el tercer trimestre. Durante el último trimestre el consumo disminuye.
SEGUNDO. Identificamos los datos donde se producen los mayores o menores resultados.En el paso del tercer al cuarto trimestre se produce el punto de máximo consumo de agua, 50 000 litros. El consumo ha ido aumentando hasta que en ese punto comienza a disminuir.
Comprende estas palabras1. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa
el punto (3, 5).
Representar puntos2. Decide en qué cuadrante se encuentra
el punto (2, -1).
Calcular las coordenadas de un punto3. ¿Cuáles son los puntos
representados?
Determinar las coordenadas de un punto que pertenece a una función4. Determina el valor de y = x + 4 para x = 2.
Representar una gráfica a partir de una tabla
1. Esta tabla relaciona cada número con su triple más 1.
Número 1 2 3 4
Su triple + 1 4 7 10 13
Representa los datos en una gráfica.
Interpretar gráficas
2. Interpreta esta gráfica que muestra el gasto de luz de una familia durante un año por trimestres.
1
1
Y
X
Y
X1
2
Y
XTrimestre
Gas
to (€
)
1 2 3 4
10 000
Y
XTrimestre
Gas
to (
kWh
)
10
250
2 3 4
Y AHORA… PRACTICA
211
301279 _ 0200-0215.indd 211 08/07/11 20:45
ActividadesCOORDENADAS CARTESIANAS
46. ● Representa los siguientes númerossobre una recta numérica horizontal.
-15 -7 -10 1
47. ● Representa estos números sobre una recta numérica vertical.
-15 -7 10 1
48. ● Representa los números.
-4 7 -11 0
a) En una recta numérica horizontal.b) En una recta numérica vertical.
49. ● Sitúa cada punto en el cuadrante que corresponda.
(2, 4) (5, -8) (3, 1)(-9, 0) (-6, -4) (0, -3)
50. ● Representa en tu cuaderno los puntos y únelos ordenadamente.
P1(4, 5) P7(1, -1) P13(10, 2)P2(3, 4) P8(-2, -4) P14(11, 0)P3(2, 4) P9(-2, -7) P15(9, -1)P4(1, 5) P10(8, -7) P16(3, -1)P5(-1, 3) P11(12, -3) P17(6, 1)P6(-1, 1) P12(12, 1) P18(6, 3)
51. ● Representa en tu cuaderno estos puntos y únelos ordenadamente.
P1(14, 14) P7(0, -10) P13(-12, 2)P2(15, 9) P8(-2, -8) P14(-7, 6)P3(11, 5) P9(6, -7) P15(-8, -2)P4(7, 5) P10(2, -12) P16(-10, 0)P5(-6, -8) P11(-7, -12) P17(-10, -4)P6(-4, -10) P12(-12, -7) P18(-8, -6)
52. ● Un punto tiene abscisa 7 y ordenada 8. Representa dicho punto e indica en qué cuadrante se encuentra.
53. ● Un punto tiene abscisa 4 y ordenada -12. Represéntalo y señala el cuadrante en el que se sitúa.
54. ● Un punto tiene abscisa -11 y ordenada -8. Represéntalo e indica en qué cuadrante se localiza.
2. ● ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos?
55. ● Indica las coordenadas cartesianasde los siguientes puntos:
A
B
C
D
1
1E
F G
H
Y
X
56. ● Dados los puntos de la gráfica, señala cuáles son sus coordenadas.
AB
C
DE
FG
Y
X1
1
3. ●● Dibuja un sistema de coordenadas. A continuación, dibuja un punto en el primer cuadrante y escribe sus coordenadas.
4. ●● Dibuja un punto en cada cuadrante y escribe sus coordenadas.
Y
1
A
B
C
DX1
212
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57. ●● El punto de la figura es uno de los vértices de un cuadrado con los lados verticales y horizontales, y 6 unidades de lado. Determina las coordenadas de todos los vértices.
Y
X
1
1
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIBUJAN LOS EJES DE COORDENADAS CONOCIDAS LAS COORDENADAS DE UN PUNTO?
5. Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, -4).
PRIMERO. Se dibuja el eje X teniendo en cuenta la segunda coordenada del punto:• Si es positiva, se traza por debajo del punto a tantas
unidades como indica.• Si es negativa, se traza por encima del punto
a tantas unidades como indica.
SEGUNDO. Se dibuja el eje Y teniendo en cuenta la primera coordenada del punto:• Si es positiva, se traza a la derecha del punto
a tantas unidades como indica.• Si es negativa, se traza a la izquierda del punto
a tantas unidades como indica.
58. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(-2, -1).
A
6. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(3, 5).
7. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(-4, 3).
8. ●● Dibuja unos ejes de coordenadas para que las coordenadas del punto A sean A(4, 3). ¿Coinciden estos ejes con los que se deben trazar para que las coordenadas de B sean B(-3, 1)?
FUNCIONES
59. ● Dados los números 3, 5, 7 y 9, halla los números que les corresponden si a cada uno le asociamos:
a) Su doble más 1. c) Su cuádruple.b) Su mitad. d) Su cuadrado.
A
X
Y
F
2
A
A
A
B
XF
4
A
A
213
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66. ●● Una relación entre números enteros se expresa de la siguiente manera: «A cada número entero lo relacionamos con su doble más una unidad». Escribe la expresión de la función y completa la tabla.
x
y
-2 -1 0
3
3 7 10
69. ●● La gráfica muestra las precipitaciones en una localidad durante un año. En el eje de abscisas están representados los meses del año, y en el de ordenadas, las precipitaciones, en ¬/m2.
FE M A M J J A S O N DMeses
Pre
cipi
taci
ones
(¬/m
2 )
X
Y
600
400
200
a) ¿Cuál fue el mes más lluvioso? b) ¿Y el más seco?c) ¿Qué mes tuvo unas precipitaciones de 300 ¬/m2?d) ¿Cuáles fueron las precipitaciones en enero?e) ¿En qué estación se produjeron más
precipitaciones?
f) ¿En qué meses se produjeron menos de 200 ¬/m2? ¿Y en cuáles más de 400 ¬/m2?
PROBLEMAS CON FUNCIONES
80. ● Un automóvil circula por una autopista a una velocidad constante de 120 km/h.
a) Haz una tabla de valores donde se relacionen el tiempo y la distancia recorrida.
71. ●● La tabla refleja el número de asistentes en un cine durante los días laborables de una semana.
Día
Asistentes
1
150
2
280
3
140
4
420
5
750
Representa los datos en un sistema de coordenadas cartesianas.
70. ●● El precio de una bebida es 1,75 €/¬.a) Construye una tabla que relacione el número
de litros con el precio.
c) Representa los datos gráficamente.
72. ●● Un globo sonda mide la temperatura de la atmósfera a distintas alturas. Se comprueba que, cada 200 m de ascensión, la temperatura disminuye 1 ºC.
a) Construye una tabla de valores para la función que determina este experimento.
c) ¿Qué temperatura habrá si ascendemos a 1 000 m?
73. ●● El precio de una carrera de taxi es 1,20 € de bajada de bandera y medio céntimo por cada segundo.
a) Construye una tabla con diferentes valores para la relación Tiempo–Precio.
b) Representa los valores en una gráfica.
74. ●● Dos ciclistas salen en la misma dirección. Uno parte de una ciudad con una velocidad media de 20 km/h. El otro sale de una ciudad situada a 10 km de distancia de la primera, al mismo tiempo y con igual velocidad.
a) Realiza una tabla para cada uno de los ciclistas, y representa los datos en dos gráficas distintas.
b) Representa ambas gráficas en los mismos ejes de coordenadas.
c) ¿Qué relación hay entre las funciones?
75. ●● Un río tiene riesgo de desbordarse e inundar un pueblo si el agua alcanza 270 cm de altura. En la tabla aparecen las medidas del nivel del río, tomadas entre las 6:00 horas y las 18:00 horas.
Tiempo (h)
Altura (cm)
6
180
8
210
10
240
12
245
14
255
16
265
18
250
a) Haz una gráfica que refleje la crecida del río.
c) ¿Ha sido inundado el pueblo?
d) ¿A qué hora se ha tenido más riesgo de inundación?
214
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE REPRESENTA E INTERPRETA UNA GRÁFICA CUYOS PUNTOS NO SE PUEDEN UNIR?
9. La tabla muestra el número de asistentes a las distintas sesiones de una película el día del estreno.
Sesiones 16:00 18:00 20:00 22:00
Asistentes 20 50 100 75
Representa los datos en una gráfica e interpreta el resultado.
PRIMERO. A partir de la tabla se obtienen los puntos que definen la función.Los puntos que obtenemos son:
(16, 20) (18, 50) (20, 100) (22, 75)
SEGUNDO. Se representan estos puntos en un sistema de coordenadas y se decide si se pueden unir.
En este caso no los podemos unir, ya que a cada sesión asiste un número de personas y no hay sesiones a cualquier hora.
TERCERO. Se analiza cómo varían los datos y en qué momento se producen mayores o menores resultados.A la primera sesión asiste el menor número de personas, 20. Después, el número de asistentes sube y es en la sesión de las 20:00 donde el número es mayor, 100. En la última sesión vuelve a disminuir el número de asistentes.
76. ●● En un partido de baloncesto se elabora una tabla con los puntos marcados por cada equipo. Antes de llegar al final del 2.º cuarto tenemos la siguiente tabla:
Minuto
Equipo A
Equipo B
4
10
6
6
12
8
8
15
14
10
18
18
12
20
18
14
22
24
16
24
26
a) Haz las gráficas de ambos equipos (la del equipo A en azul y la del equipo B en rojo).
b) Realiza un resumen del partido a la vista de la gráfica.
77. ●● Observa la gráfica que representa el paseo que ha dado Julio: ha salido de casa, ha ido a comprar y ha regresado.
6
5
4
3
2
1
1 2Tiempo (h)
Dis
tan
cia
(km
)
3 4
Y
X
a) ¿Qué magnitud se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y?
b) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo?c) ¿Cuál es la distancia más lejana a la que ha ido?d) ¿Cuándo ha caminado más rápido, a la ida
o a la vuelta?e) ¿Qué crees que significan los tramos
horizontales?
78. ●● La siguiente gráfica expresa la relación entre los minutos y los kilómetros que José ha recorrido durante una hora, caminando y montando en bicicleta en línea recta.
10
8
6
4
2
Tiempo (min)
Dis
tan
cia
(km
)
10 20 30 40 50 60 70
Y
X
a) ¿Cuántos kilómetros ha caminado?b) ¿Y cuántos ha hecho en bicicleta?c) ¿Cuánto tiempo ha caminado?d) ¿Y cuánto ha montado en bicicleta?
e) ¿Qué distancia ha recorrido cuando lleva 50 minutos?
f) ¿Cuánto tiempo ha tardado en recorrer los dos primeros kilómetros?
g) ¿Ha hecho algún descanso en el recorrido? ¿Cómo se representan esos tiempos de descanso?
Y
X
20
16 18 20 22
60
80
215
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14 Estadística y Probabilidad
1. Busca información sobre la vida de Pierre Simon Laplace, matemático francés que realizó importantes estudios sobre probabilidad.
2. La lectura narra la presentación de Laplace a Napoleón de su Tratado sobre mecánica celeste. Investiga cuándo y cómo se produjo este acontecimiento.
3. Averigua qué otros trabajos realizó Laplace relacionados con las matemáticas.
DESCUBRE LA HISTORIA...
El matemático y el emperador
El azar, o quizás la Providencia, fue quien en 1785 puso ante Pierre Simon Laplace, siendo profesor en la Escuela Militar de París, a un joven de 16 años que destacaba en matemáticas y que, en el futuro, se convertiría en el hombre más poderoso de Europa, Napoleón Bonaparte.
Ahora las tornas habían cambiado, era Laplace quien presentaba un trabajo sobre mecánica celeste al emperador de Francia.
–Monsieur Laplace, ha escrito este libro sobre las leyes del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su creador.
–Sire, es que no he necesitado esa hipótesis –repuso el matemático.
La respuesta hizo que el emperador mostrase una de sus escasas sonrisas y, después, continuó con la audiencia.
Diez años después de este suceso, Laplace publicó la obra Teoría analítica de las probabilidades, que él llamaba La geometría del azar.
Al recibir el libro, Laplace se paró a pensar precisamente en el azar, esa cualidad que tienen los experimentos de no ser predeterminados, y cómo él los había atado a leyes matemáticas.
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En esta unidad aprenderás a…
• Reconocer variables cualitativas y cuantitativas.
• Realizar tablas de frecuencias.
• Interpretar y representar datos mediante gráficos.
• Hallar la probabilidad de un suceso.
PLAN DE TRABAJO
Una fracción es una expresión ba
, donde a y b son números naturales llamados numerador
y denominador, respectivamente.
Comparación de fracciones
• Sitienenelmismodenominador,esmayorlaquetienemayornumerador.
Comparamos 73
71
y :
3 > 1 " 73
71
>
• Sitienendistintonumeradorydenominador,reducimos a común denominador, y comparamos los numeradores.
Comparamos ,32
54
65
y :
m.c.m. (3, 5, 6) = 30
32
3020
54
3024
65
3025
32
54
65
< <= = = "
Transformación de fracciones en números decimales
Para expresar una fracción como números decimales se divide el numerador entre el denominador.
635
" 35 6 635
= 5,83… 50 5,83… 20 2
Si una fracción es decimal, se escribe el numerador y se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros
tiene el denominador.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Ordena estas fracciones de mayor a menor.
a) ,65
62
64
y b) ,87
81
83
y c) ,124
129
125
y d) ,1711
1715
1713
y
3. Ordena, de menor a mayor, estas fracciones.
a) , ,43
512
64
b) , ,34
2014
57
2 Expresa estas fracciones como números decimales.
a) 643
b) 732
c) 1264
d) 1711
Antes de empezar la unidad... FRACCIONES
217
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Tipos de variables
Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquier cualidad que estudiamos.
Según sean sus valores, las variables estadísticas pueden ser:
Tipos Propiedades Ejemplos
CualitativasLos valores de la variable no son números, sino cualidades.
• Géneroliterario(novela, teatro…).
• Sexo(mujer, hombre).
CuantitativasLos valores que toma la variable son números.
• N.o de páginas de un libro.• Altura.
EJEMPLOS
1 Se va realizar un estudio estadístico en un instituto. Pon ejemplos de variables estadísticas.
Al realizar un estudio estadístico podemos estudiar cualidades como el peso, la altura o la edad de los alumnos del instituto. Estas cualidades son variables estadísticas.
2 Clasifica estas variables estadísticas y pon ejemplos de los valoresque pueden tomar.
a) Raza de un perro Cualitativa: no toma valores numéricos.
Raza = {Pequinés, cocker…}
b) Peso al nacer Cuantitativa: toma valores numéricos.
Peso al nacer = {2 kg; 3 kg; 3,22 kg…}
c) Lugar que se ocupa en una fila Cuantitativa: toma valores numéricos.
Lugar en una fila = {1, 2, 3, 4…}
2
A los valores de las variables cualitativas
se les puede llamar modalidades.
4 Clasifica las siguientes variables estadísticas.
a) Marca de un teléfono. f) Nombre.b) Color de ojos. g) Talla.c) Deporte favorito. h) N.º de hermanos.d) Altura. i) Gustos musicales.e) Edad. j) N.º de aprobados.
5 Escribe tres variables cualitativas, y otras tres cuantitativas.
6 Para clasificar los perros abandonados, los empleados de la perrera rellenan una ficha con los siguientes datos.
a) Raza. e) Sexo.
b) Edad. f) Color de pelo.
c) Alzada (cm). g) Nivel de adiestramiento.
d) Peso (kg). h) Nivel de peligrosidad.
Clasifica las variables.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
218
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Frecuencias.Tablas de frecuencias
3.2 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
• Lafrecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite. Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos esta-dísticos es el número total de datos.
• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se representa por hi.
La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadís-ticos es igual a la unidad.
Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuen-cias colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en las siguientes columnas.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman números decimales
Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios para que tengan el mismo número de decimales.
EJEMPLO
5 Con estos datos, realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias.
F
Dato xi
Frecuencia absoluta fi
Frecuencia relativa hi
0 06 ,506
0 12=
1 16 ,5016
0 32=
2 15 ,5015
0 3=
3 10 ,5010
0 2=
4 03 ,503
0 06=
N = 50 Total = 1
Recuento
0 //// /1 //// //// //// /2 //// //// ////3 //// ////4 ///
N.º de hermanos
1 3 1 4 2 1 2 1 3 22 1 3 1 0 2 3 2 1 13 2 0 4 2 1 0 1 2 31 1 4 2 1 3 1 2 3 20 1 0 2 3 2 1 0 3 2
3
1 2 4,6 0 0 4 5,8 0 2
+ 4,1 8 01 7 4,5 8 2
7 Realiza un recuento de las siguientes calificaciones:
3 2 7 1 9 5 3 4 5 6 7 4 5 7 3 6 8 9 7 5 77 8 4 5 6 6
8 Después de lanzar 20 veces una moneda, los resultados (C = cara, + = cruz) han sido:
C C + C + + + + + CC + C C + C C + C +
Efectúa un recuento y organiza los datos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
La recogida de datos se suele realizar mediante encuestas o cuestionarios.
Después de recoger los datos hay que
contarlos y agruparlos.
• fi es la frecuencia absoluta del valor xi .
• hi es la frecuencia relativa del valor xi .
DATE CUENTA
219
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Gráficosestadísticos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan puntos en el plano
Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas.
Un punto del plano queda determinado por un par de números, (a, b), llamados coordenadas cartesianas.
Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos es mediante las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos per-miten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio estadístico.
4.1 Diagrama de barras
Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomen pocos valores.
• Enelejehorizontalrepresentamoslosvaloresdelavariable.• Enelejevertical,lasfrecuencias.
La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra. Las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes fre-cuencias.
EJEMPLO
6 Representa mediante un diagrama de barras los valores que hemos recogido en la siguiente tabla:
Deportes
Fútbol
Baloncesto
Tenis
Atletismo
Balonmano
Frecuencia fi
8
12
6
10
4
fi
1012
Fútbol Baloncesto Atletismo BalonmanoTenis
86
4
2
4
G
Eje de ordenadas
Eje de abscisas
Origen de coordenadas
Y
XO
b
a
P(a, b)
14 Realiza un diagrama de barras con el número de macetas que tienen 100 viviendas.
N.º de macetas 0 1 2 3 4
N.º de viviendas 10 14 18 25 33
15 El color de pelo de 30 personas es:M = moreno R = rubio P = pelirrojo
M R P M M M M R R P P M M M MM M P R R R P M M M M R M M MOrganiza los datos en un diagrama de barras.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
220
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17 Haz un diagrama de sectores con estos datos:
Color Rojo Verde Blanco
N.º de coches 150 84 126
18 Dibuja un diagrama de sectores con estos datos:
Música Clásica Pop Rock
N.º de CD 125 78 52
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4.2 Diagrama de sectores
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un sector circular
Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.
• Losdatosserepresentanenuncírculo,divididoensectores.Cadasector representa un valor de la variable.
• Laamplituddeunsector,suángulo,esproporcionalalafrecuen-cia del dato que representa:
Ángulo del sector circular ° °? ?Nf
h360 360i
i= =
EJEMPLO
7 Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos:
Deportes Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Balonmano
Frecuencia fi 8 12 6 10 4
Completamos la tabla con hi , el porcentaje y la amplitud de cada sector.
Deportes fi
Fútbol
Baloncesto
Tenis
Atletismo
Balonmano
8
12
6
10
4
N = 40
hi %
0,2
0,3
0,15
0,25
0,1
Amplitud (°)
0,2 ? 360° = 72°
0,3 ? 360° = 108°
0,15 ? 360° = 54°
0,25 ? 360° = 90°
0,1 ? 360° = 36°
20 %
30 %
15 %
25 %
10 %
Balonmano10 %
Atletismo 25 %
Tenis
15 %
Baloncesto
Fútbol
20 %
30 %
36°
90°
54°
72°
108°
En los diagramas de sectores, además
del valor de la variable, se suele escribir el tanto
por ciento que representa.
Para dibujar ángulos utilizamos el transportador.
RECUERDA
221
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23 En los siguientes experimentos aleatorios, determina su espacio muestral, sus sucesos elementales y dos sucesos compuestos.
a) Extraer una bola de una urna que contiene 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 1 bola azul.
b) Extraer una carta de una baraja.c) Lanzar dos dados y anotar la suma
de sus puntuaciones.d) Extraer una bola de una urna que contiene
5 bolas numeradas del 1 al 5.
24 Referidos a la extracción de una carta de la baraja española, clasifica los siguientes sucesos en elementales o compuestos.
a) A = «Sacar el rey de oros»
b) B = «Sacar una carta de copas»
c) C = «No sacar un as»
d) D = «Sacar un caballo»
25 Pon un ejemplo de experimento aleatorio cuyo espacio muestral tenga tres sucesos elementales.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Sucesos.Espacio muestral
En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado, es decir, hay más de un resultado posible al realizar el experimento.
Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso elemental.El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral, y se representa con la letra E.Un suceso es un suceso compuesto cuando contiene dos o más suce-sos elementales.
EJEMPLO
9 Define el espacio muestral, sus sucesos elementales y varios sucesos compuestos en los siguientes experimentos aleatorios.
a) Lanzar un dado y anotar su resultado.
Los resultados que podemos obtener al tirar un dado son las puntuaciones: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Espacio muestral --" E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6} «Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6} «Obtener divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.
Si lanzamos dos monedas al aire podemos obtener cara en las dos monedas, cara en una de ellas o ninguna cara.
Espacio muestral --" E = {2 caras, 1 cara, 0 caras} Sucesos elementales " {2 caras}, {1 cara} y {0 caras} Sucesos compuestos " «Sacar alguna cara» = {2 caras, 1 cara} «Sacar alguna cruz» = {1 cara, 0 caras} «Sacar más de 1 cara» = {2 caras}
6
Para describir un suceso compuesto hay que indicar qué sucesos elementales
contiene.
222
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Regla de Laplace
La probabilidad, P, de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayor probabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra.
Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables.
La regla de Laplace es una forma sencilla de calcular probabilidades de distintos sucesos si el experimento aleatorio es regular.
Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementales que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos ele-mentales.
Para recordarla se suele utilizar esta expresión:
ºº
( )P AA
n. de casos posiblesn. de casos favorables en
=
EJEMPLO
11 Lanzamos un dado de parchís y anotamos el resultado. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) A = «Sacar un número menor que 3»
b) B = «Sacar un divisor de 6»
El experimento aleatorio es regular porque todas las caras de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " N.º de casos posibles = 6
a) A = «Sacar número menor que 3» = {1, 2} " N.º de casos favorables = 2
P (Sacar número menor que 3) = P(A) 62
0,33= =
b) B = «Sacar divisor de 6» = {1, 2, 3, 6} " N.º de casos favorables = 4
P (Sacar divisor de 6) = P(B) 64
0,67= =
8
29 Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos en el experimento aleatorio que consiste en tirar un dado y anotar el número de su cara superior. ¿Es un experimento regular?
a) A = «Salir número par»
b) B = «Salir múltiplo de 3»
c) C = «Salir número mayor que 10»
30 Un dado de quinielas tiene tres 1, dos X y un 2. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una X? ¿Y un 2?
31 Lanzamos dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras? ¿Y una cara y una cruz?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Antes de aplicar la regla de Laplace hay que comprobar que el
experimento es regular.
DATE CUENTA
El experimento consistente en tirar una chincheta y observar la posición en la que cae no es regular.
Es más posible que la chincheta caiga con el pico hacia arriba que hacia abajo.
223
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS
Realiza una tabla de frecuencias para organizar los siguientes datos:8 8 7 5 6 9 6 7 6 8 7 7 9 7 5 5
PRIMERO. Colocamos, en la primera columna, los posibles valores de la variable.
5 6 7 8 9
SEGUNDO. Contamos el número de veces que aparece cada dato para calcular las frecuencias absolutas, y completamos la segunda columna de la tabla.
5 " /// 6 " /// 7 " //// 8 " /// 9 " ///
TERCERO. Dividimos las frecuencias absolutas entre el número total de datos, para hallar las frecuencias relativas, y lo anotamos en otra columna.
2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS
Representa estos datos en un diagrama de barras.
PRIMERO. Dibujamos unos ejes de coordenadas, poniendo en el eje de abscisas los valores o modalidades de la variable, y en el eje de ordenadas, las frecuencias.
SEGUNDO. Sobre cada valor levantamos una columna con altura igual a la frecuencia.
TERCERO. Cuando la variable es cuantitativa, podemos unir los extremos superiores de las barras para obtener el polígono de frecuencias.
Estadística
• Variable cualitativa Los valores de la variable son cualidades.Por ejemplo: sexo
• Variable cuantitativa Los valores de la variable son números.Por ejemplo: n.º de hermanos,Estatura
fi
6
5
4
3
2
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probabilidad
Espacio muestral
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso elemental
{6}
Suceso elemental
{5}
Suceso elemental
{4}
F
FF
Dato xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia relativa
hi
5 3 0,1875
6 3 0,1875
7 5 0,3125
8 3 0,1875
9 2 0,125
N = 16 Total = 1
Dato xi
Frecuencia fi
2
1
3
1
4
2
5
3
6
2
7
5
8
3
9
2
10
1
xi
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Comprende estas palabras
2. Pon ejemplos de los diferentes tipos de variables estadísticas.
3. En el experimento que consiste en lanzar dos monedas al aire:
a) Determina el espacio muestral. b) Pon ejemplos de diferentes sucesos.
Construir tablas de frecuencias
4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 2? 2 3 1 0 2 4 2 2 3 1 3 3 2 1 1 1 2 3 2 4
Construir un diagrama de barras
5. Construye el diagrama de barras de los datos anteriores.
Construir un diagrama de sectores
6. ¿Qué diagrama de sectores corresponde a los datos del ejercicio 4?a)
b)
Calcular probabilidades mediante la regla de Laplace
7. Al extraer al azar una carta de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as?
Y AHORA… PRACTICA
3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES
Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opiniones sobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza.
PRIMERO. Calculamos la amplitud del sector de cada valor de la variable multiplicando su frecuencia relativa por 360°.
SEGUNDO. Dibujamos en un círculo los sectores, y ponemos cada dato en su lugar correspondiente.
4. CALCULAR PROBABILIDADES MEDIANTE LA REGLA DE LAPLACE
Halla la probabilidad del suceso A = «Que salga número impar» en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado.
PRIMERO. Determinamos el espacio muestral y los distintos sucesos.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " N.º de casos posibles = 6
A = {1, 3, 5} " N.º de casos favorables = 3
SEGUNDO. Comprobamos si el experimento es regular. El experimento es regular porque todas las caras de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.
TERCERO. Aplicamos la regla de Laplace.
( ) ,P AA
63
0 5n. de casos posibles
n. de casos favorables en o
o
= = =
Malas
Regulares
Buenas
Valoración hi Amplitud (°)
Buenas 0,5 0,5 ? 360° = 180°
Regulares 0,28 0,28 ? 360° = 100,8°
Malas 0,22 0,22 ? 360° = 79,2°
225
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ActividadesVARIABLES ESTADÍSTICAS
34. ● Indica el tipo de variable: cualitativa o cuantitativa.
a) Número de hermanos. d) Número de calzado.b) Sexo. e) Edad.c) Nacionalidad.
TABLAS DE FRECUENCIAS
36. ● Una variable estadística toma estos valores:3 5 4 2 6 1 2 3
a) Realiza un recuento.b) Calcula las frecuencias absolutas.c) Halla las frecuencias relativas.d) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
37. ● Las notas que se obtienen en un examen, de 0 a 5, son las siguientes:
0 1 0 5 4 5 4 2 5 3
a) Realiza un recuento.b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
38. ● Las temperaturas máximas, en °C, que se han registrado en los últimos quince días del mes de agosto han sido:
40 39 41 39 40 38 37 40 40 41 42 39 40 39 39
a) Realiza un recuento de estas temperaturas.b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
39. ● Luis lanza 10 veces un dado, con cuatro caras numeradas del 1 al 4, y anota los resultados en su cuaderno.
a) ¿Cuántas veces se han repetido los resultados? Realiza un recuento.
b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
HAZLO ASÍ
¿Cómo se construye una tabla de frecuencias si la variable es cualitativa?
1. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo (A), y se obtienen estos resultados:
F F F B B B A B B AF F B B A B B F F AA A A A A B B A F B
Realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias.
PRIMERO. Se escribe cada modalidad y se anota el número de veces que aparece cada una de ellas para realizar el recuento.
Fútbol //// ///
Baloncesto //// //// //
Atletismo //// ////
SEGUNDO. Se construye la tabla de frecuencias indicando en la primera columna los datos y en la siguiente las frecuencias absolutas.
Dato fiLas frecuencias absolutas coinciden con los datos obtenidos en el recuento.Fútbol 8
Baloncesto 12
Atletismo 10
TERCERO. Se completa la tabla añadiendo las frecuencias relativas, dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de datos.
Dato fi hi
Fútbol 8 308
0,27=
Baloncesto 12 ,30
012
4=
Atletismo 10 ,30
010
33=
30 1
40. ● Estos son los nombres de 10 alumnos de una clase de 1.º ESO.
Carlos Rosa Eduardo Fernando JuliaLola Fátima Consuelo Paco Isabel
Considerando la variable sexo del alumno (chico/chica), realiza una tabla de frecuencias.
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43. ● Los siguientes datos corresponden al número de empleados de una cadena de tiendas.
4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4 3 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 3 3 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3
a) Indica cuál es la variable y de qué tipo es.
b) Efectúa el recuento de datos y realiza una tabla de frecuencias.
44. ● Lanzamos un dado 48 veces, obteniéndose estos resultados:
3 4 5 1 6 2 2 3 4 2 6 5 1 4 2 3 1 4 5 3 2 1 4 6 4 4 3 2 1 6 2 5 6 2 3 1 5 4 1 6 3 2 4 6 6 2 1 2
Efectúa el recuento de datos, y obtén una tabla con todas las frecuencias.
45. ●● Se ha preguntado a 50 alumnos por su deporte favorito: 16 han escogido fútbol, 12 baloncesto, 6 balonmano, 10 equitación y 6 ciclismo. Considerando estos datos:
a) Calcula las frecuencias absolutas.b) ¿Qué frecuencia absoluta representa el 20 %?c) Obtén las frecuencias relativas.d) ¿Qué frecuencia relativa representa el 32 %?
46. ●● Completa los datos de la siguiente tabla de frecuencias:
DatoFrecuencia
absolutaFrecuencia
relativa
2 4 0,2
4 0,15
6
8 0,1
10 6
47. ●● Completa la tabla, sabiendo que hay el doble de suspensos que de notables.
NotasFrecuencia
absolutaFrecuencia
relativa
Suspenso
Aprobado 0,3
Notable
Sobresaliente 5 0,1
48. ●● Las edades de los socios de un club son:
19 21 24 24 24 25 24 21 26 1920 22 29 23 28 27 22 23 24 19
a) Construye una tabla de frecuencias en la que figuren sus porcentajes.
b) ¿Qué porcentaje de socios tiene más de 25 años?
49. ●● Para estudiar cómo influye trasnochar en el rendimiento académico, se ha preguntado a los alumnos de un centro universitario cuántos días salen de fiesta por semana, obteniéndose los siguientes resultados:
0 2 3 2 1 1 1 4 0 11 2 2 1 3 1 3 0 1 2
Efectúa el recuento de datos y obtén la tabla de frecuencias.
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
50. ● En una clase de 1.º ESO se pregunta a los alumnos por sus refrescos preferidos.
Refrescos
Cola
Naranja
Limón
Piña
N.º de alumnos
10
4
6
3
Representa estos datos en un diagrama de barras.
51. ● La música preferida por los alumnos de 1.º ESO, según una encuesta realizada, es:
Música
Rock
Pop
Bacalao
Clásica
Dance
N.º de alumnos
18
12
24
10
6
Representa estos datos en un diagrama de barras.
227
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52. ● Los resultados obtenidos al lanzar una moneda 25 veces son 11 caras y 14 cruces. Represéntalos en un diagrama de sectores.
53. ● En un edificio de 24 viviendas, el número de personas que habitan en cada una es:
3 4 2 5 6 4 2 0 1 2 3 46 8 4 3 5 4 6 2 8 4 1 3
a) Construye una tabla de frecuencias.b) Representa los datos con un diagrama
de barras y un diagrama de sectores.
54. ●● Una familia gasta mensualmente 1 800 �. El siguiente gráfico muestra lo que destina a cada concepto.
Gastos generales
Hipoteca60 %30 %
10 %
Otros
¿Cuánto dinero gasta en cada concepto?
55. ●● Se ha preguntado a los alumnos de una clase sobre su deporte favorito, y este ha sido el resultado.
Fútbol: 32 Baloncesto: 16Tenis: 9 Otros: 17Atletismo: 5 Ninguno: 3
Representa, en un diagrama de sectores, estos resultados, e indica el porcentaje de cada sector.
56. ●● En una encuesta realizada a 2 500 personas, sobre el funcionamiento de los autobuses urbanos, se han obtenido los siguientes datos:
Muy bien: 30,7 % Mal: 1 %Bien: 48 % Muy mal: 0,4 %Regular: 10,9 % NS/NC: 9 %
a) Construye una tabla de frecuencias.b) ¿Cuántas personas responden Bien o Muy bie n?c) Representa los datos en un diagrama de sectores.
SUCESOS. ESPACIO MUESTRAL
61. ● En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y anotar el resultado, distingue los sucesos elementales de los sucesos compuestos.
a) «Salir número par»b) «Salir número primo»c) «Salir número mayor o igual que 5»d) «Salir múltiplo de 4»
En los sucesos que consideres compuestos, indica cuántos sucesos elementales contienen.
63. ● Escribe el espacio muestral en cada caso.
a) Se extrae una moneda de una hucha que contiene monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos.
b) Se coge una papeleta de una urna que contiene papeletas numeradas del 1 al 10.
c) Se extrae una carta de la baraja y se anota si es figura o no.
64. ● En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja española, define el espacio muestral y estos sucesos.
a) Sacar un rey.
b) Sacar una carta con un número par.
c) Sacar espadas.
d) No sacar oros.
e) Sacar una figura.
REGLA DE LAPLACE
65. ● En una bolsa tenemos 4 bolas azules, 3 rojas, 2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola al azar.
a) ¿Qué es más probable, que salga azul o blanca?
b) ¿Es más probable que salga roja o verde?
c) Calcula las probabilidades de cada resultado (azul, roja, verde o blanca). ¿Cuánto vale la suma de estas probabilidades?
66. ● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 6 azules, 4 verdes y 3 naranjas.
a) ¿Cuántas bolas hemos de sacar para estar seguros de obtener una bola azul?
b) ¿Qué color es más probable al sacar una bola de la bolsa?
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63. ● Escribe el espacio muestral en cada caso.
a) Se extrae una moneda de una hucha que contiene monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos.
b) Se coge una papeleta de una urna que contiene papeletas numeradas del 1 al 10.
c) Se extrae una carta de la baraja y se anota si es figura o no.
64. ● En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja española, define el espacio muestral y estos sucesos.
a) Sacar un rey.
b) Sacar una carta con un número par.
c) Sacar espadas.
d) No sacar oros.
e) Sacar una figura.
REGLA DE LAPLACE
65. ● En una bolsa tenemos 4 bolas azules, 3 rojas, 2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola al azar.
a) ¿Qué es más probable, que salga azul o blanca?
b) ¿Es más probable que salga roja o verde?
c) Calcula las probabilidades de cada resultado (azul, roja, verde o blanca). ¿Cuánto vale la suma de estas probabilidades?
66. ● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 6 azules, 4 verdes y 3 naranjas.
a) ¿Cuántas bolas hemos de sacar para estar seguros de obtener una bola azul?
b) ¿Qué color es más probable al sacar una bola de la bolsa?
67. ●● Una bolsa A tiene 3 bolas rojas y 2 verdes, y otra bolsa B, 1 bola roja y 2 verdes. Se elige una bolsa, se saca una bola y gana quien saca bola verde. Para ganar habrá que elegir:
a) La bolsa A. b) Cualquier bolsa. c) La bolsa B.d) No se puede saber.
68. ●● Define un suceso seguro y otro imposible para cada uno de los siguientes experimentos.
a) Lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6.
b) Lanzar dos monedas.c) Extraer una bola de una bolsa que contiene
bolas numeradas del 1 al 4.d) Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos.
69. ●● ¿Son equiprobables los sucesos elementales de estos experimentos?
a) Extraer una carta de la baraja española y anotar si es figura o no.
b) Lanzar dos monedas.c) Extraer una pieza de fruta de un frutero
que contiene cinco manzanas, tres naranjas y cuatro ciruelas.
70. ● Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el resultado de la cara superior. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Número par. b) Número impar.c) Número mayor que 2.d) Número menor que 1.e) Número mayor o igual que 6.f) Múltiplo de 3.g) Múltiplo de 4.
71. ● En una baraja española de 40 cartas se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea de oros. b) Sea el rey de copas.c) Sea un rey. d) No sea el as de espadas.e) Sea de copas.f) Sea de bastos.g) Sea de copas o de bastos.h) No sea un as.i) Sea una figura.j) No sea una figura.
72. ● En un monedero hay seis monedas de 20 céntimos, cuatro de 50 céntimos y tres de 1 euro. Se extrae una moneda al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una moneda de 20 céntimos.b) Una moneda de 50 céntimos.c) Una moneda de 1 euro.
73. ● En una bolsa hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 3 bolas rojas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Una bola azul. c) Una bola blanca.b) Una bola roja.
PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
79. ●● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg, 5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg.
a) Organiza estos datos mediante una tabla de frecuencias.
b) Representa, en un diagrama de barras, las frecuencias absolutas.
c) Dibuja un diagrama de barras donde representes las frecuencias relativas.
80. ●● Las edades, en años, de los 10 primeros visitantes al parque de atracciones de una ciudad son las siguientes:
12 10 14 12 14 10 11 12 12 12
Dibuja un diagrama de barras con las frecuencias absolutas y otro con las frecuencias relativas.
229
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230
Y ahora... practica (Soluciones)UNIDAD 1
1. Respuesta abierta. Por ejemplo: 3 435, 6 162
2. a) d = 11 b) d = 14
3. r = 5
4. a) 175 b) No se puede.
1. a) 126 b) 959 c) 3 474
6. a) 25 d) 424
b) 7 e) No se puede.c) No se puede. f) 1236
2. a) 38 b) 9
10. a) 19 b) 7 c) 4
UNIDAD 2
1. 24 es múltiplo de 2. 24 es múltiplo de 3.
2. 63 es múltiplo de 7. 77 es múltiplo de 7.
1. Respuesta abierta. Por ejemplo:a) 16, 24, 32 c) 36, 54, 72b) 24, 36, 48 d) 48, 72, 96
2. Respuesta abierta. Por ejemplo:a) 12, 6, 3 c) 2, 5, 10b) 2, 3, 32 d) 1, 3, 13
3. Solo dos, 1 y 17.Es primo.
5. Es primo 31.
7. 88 = 23 ? 11
8. 120 = 23 ? 3 ? 5240 = 24 ? 3 ? 5480 = 25 ? 3 ? 5
9. 600
10. m.c.d. (32, 48) = 24 = 16
11. m.c.d. (24, 35 y 46) = 1
12. m.c.m. (10, 8) = 2
13. m.c.d. (16, 40 y 80) = 23 = 8
UNIDAD 3
1. Respuesta abierta.
Por ejemplo: 106
, 5030
1.
Son equivalentes.
2. 124
62
y son equivalentes.
675 7
y no son equivalentes.
4. 123
4812
166
4818
= =
5. 3325
2444
2483
< <
6. 2027
UNIDAD 4
1. a) 2 ? 10 + 7 + 4 ? 0,1 + 5 ? 0,02b) 3 + 7 ? 0,1 + 8 ? 0,01 + 6 ? 0,001c) 1 ? 103 + 2 ? 102 + 3 + 3 ? 0,001
1. a) Parte entera: 13 Parte decimal: 24 b) Parte entera: 3 Parte decimal: 86 c) Parte entera: 0 Parte decimal: 007
3. 7 < 7,009 < 7,09 < 7,94. 2,563 5. a) 28,337 b) 283,37 c) 28,337 6. a) 4 320 b) 4,32 c) 0,432
UNIDAD 5
1. |-7| = 7 |+3| = 32. Op (-7) = +7 Op (+3) = -33. Es cierta la expresión b).4. -18
1. 8
5. +6
2. -4
6. -97. +368. +3
UNIDAD 6
1. a) 3x - 6 b) x5
12=
2. a) Ecuación b) Identidad
1. -1
5. 0
2. a) x = 12 b) x = 3
3. a) x = 12 b) x = 9
4. 2x - 3 = 7 " x = 5
UNIDAD 7
1. Sí 4. 150 000 m2
2. 32,5478 kg 5. 0,0034 hm2
3. 3 720 dl 6. 1,0025 dm3
1. 345 270 000 dam3
7. 30 dm2 56 cm2 30 mm2 9. 410 m8. 3 hl 2 dal 4 ¬ 1 dl 10. 103,002 g
2. a) 8 411,5 m b) 234,287 ¬3. 3 020 800 m2
4. 3 004,034 m3
UNIDAD 8
1. Se necesitan dos razones.3. No forman proporción.5. No es directamente proporcional. 6. No es inversamente proporcional.
1. a) x = 4,5 y = 12
b) x = 2 y = 4
7. 0,25 ? 24 = 6
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231
UNIDAD 9
1. No se puede hallar la longitud de una línea recta ni de una semirrecta. Sí se puede hallar la longitud de un segmento.
2. Solo se puede trazar una perpendicular. Solo se puede trazar una paralela.
3. Consecutivos: BV y CVAdyacentes: DV y EV
4. Los ángulos AV y BV son complementarios. Los ángulos BV y CV son consecutivos. Los ángulos AV y CV son iguales.
1. Trazamos una semirrecta y dibujamos un arco sobre el ángulo dado. Con el mismo radio trazamos otro arco en el ángulo que estamos construyendo, y con el compás trasladamos la amplitud del arco sobre este ángulo.
2. a)
AV + BVAV
BV
b)
AV - BVAV
BV
6. a) 600m c) 870l b) 18 000m d) 218 160m
3. Dibujamos una semirrecta que pase por el 0° del transportador. Marcamos el 55° del transportador y dibujamos el ángulo.
UNIDAD 10
1. a) Sí c) No b) Sí d) No
2. Sí
1. 60º
5. Mide 35 cm.
6. Tiene que medir 9 cm.
7. Mide 5,66 cm.
UNIDAD 11
1. Mide 15 cm2.
2. Mide 28,26 cm2.
3. Mide 6,93 cm.
4. Mide 31,005 cm2.
5. Mide 29 cm.
6. Mide 50 cm2.
7. Mide 175 m2.
8. Mide 243 m2.
UNIDAD 12
1.
2. Cubo Cono Pirámide de base cuadrada
2. Caras: 10 Vértices: 16 Aristas: 24
3.
UNIDAD 13
1.
1
1 X
Y
2. Se encuentra en el cuarto cuadrante.
3. Son los puntos (1, 2) y (-2, 1).
4. y = 6
1.
2
1 X
Y
2. En el primer trimestre la familia consume 1 000 kWh, en el segundo baja el consumo a los 500 kWh, mínimo anual. Aumenta hasta 1 500 kWh, el máximo anual, para bajar en el último trimestre hasta los 750 kWh.
UNIDAD 14
2. Respuesta abierta. Por ejemplo: Edad, color favorito, peso, n.° de libros que se leen…
3. E = {2 caras, cruz y cara, 2 cruces}
Respuesta abierta. Por ejemplo: Sacar menos de 2 caras, sacar cara y cruz, sacar 2 cruces…
4. 0,35
5. fi
Datos
7
5
3
1
0 1 2 3 4
6. El gráfico a).
7. 0,1
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Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transfor-mación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.
© 2011 by Santillana Educación, S. L.Torrelaguna, 60. 28043 MadridPRINTED IN SPAINImpreso en España por
ISBN: 978-84-680-0349-8CP: 301279Depósito legal:
Dirección de arte: José Crespo
Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Rosa María Barriga, Manuel García
Ilustración: Jorge Arranz, José María Valera
Fotografía de cubierta: Antonio Fernández
Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés
Dirección técnica: Ángel García Encinar
Coordinación técnica: Lourdes RománConfección y montaje: Alfonso García, Luis González, Hilario Simón, Marísa Valbuena
Corrección: Marta López, Nuria del PesoDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas
Fotografías: A. Toril; B. Vilanova; J. Jaime; J. V. Resino; P. Esgueva; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; EFE/Federico Velez, AP Photo/Matthew Craig; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Photos.com Plus; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA
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