8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
1/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR
ACŢIUNEA FORŢELOR
1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare.
Se cunosc:
,! " " # $ " %! " &% L m H m p kN m F kN M kN m= = = = = ×
Rezolvare:4I 0
I 0
2I 0
F 4I 0
p
L L/3
3H/4
H
1) Sta'ilirea gradului de nedeterminare statică:
(radul de nederminare statică se sta'ile te cu relaţia:* ) *& ) + sn r l c= + − = + − × =
Structura este de trei ori static nedeterminată.
+) Alegerea sistemului de 'ază:
Sistemul de 'ază reprezintă, sistemul ata at sistemului statict nedeterminat, la care se suprlegături exterioare sau interioare c t sunt necesare pentru ca acesta sa de-in static determinat.
n locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de o'icei, cu1, +,.. X X Transformare sistemului real /n sistem de 'ază se poate face /n diferite feluri, dintre toate -arian
alege cea mai con-ena'ilă din punct de -edre al calculelor.1
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
2/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
n cazul sistemului nostru, sunt prezentate mai 0os c te-a -ariante de sisteme de 'aza ce pot fi atasistemului nedeterminat.
arianta ce con-ine fig +. a).
4I 0
I 0
2I 0
F 4I 0
p
3,8 1,27
2,25
3
X 1
X 2
X 3
a)
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X 3
X 2
X 1
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X3
X 1
X 2
') c)
+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
3/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X 1 X 1
X 2
X 2
X 3
X 3
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X 1
X 2
X 2
X 2
d) e)fig +
) Ecuaţiile de ec2ili'ru elastic:
Se o'ţin prin scrierea condiţiilor de compati'ilitate pe direcţia legăturilor suprimate:3 deplasarea a'solută pe direcţia necunoscutelori X , este egală cu zero:
Explicitat:
11 1 1+ + 1 1
+1 1 ++ + + +
1 1 + +
###
p
p
p
X X X X X X X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =
%) 4alculul coeficienţilor i al termenilor li'eri
%.1) 4oeficienţii principali i secundari:
3 se calculează cu relaţiile:+
#
l i
ii
M dx EI
δ =∑∫
#
l i i
i i M M dx
EI δ δ ×= =∑∫ 3 unde: ,i M M : momentele /nco-oietoare produse pe sistemul de 'ază static determinat de necunos X
repecti- X , egale cu unitatea.Trasarea diagramelor unitare:
#i
! X ∆ =
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
4/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3 sistemul incărcat cu 1 X :
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
5,25
3
M 1
1 1 X =#" 1 " #" "
1 5, +5 5, +5 " 5, +5 " 5, +5 .
A" C" "# A " " "
"# #E # # E
M M kN m M M kN m
M kN m M kN m M kN
= = × = × = = ×= × = × = × =
3 sistemul incărcat cu + X :
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D
E
M 2
5,07
+ 1 X =# A " C # M M M M = = = =
5,#6 E M kN m= ×3 sistemul incărcat cu X :
%
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
5/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1 X =# A M = "#" 1 ,! ,! " #" ,! " ,! "C" A" "C "#C " " " # M M kN m M M kN m M kN m= = × = × = = × = ×
,! " 1,+6 #E # E M kN m M kN m= × = ×
3,8 1,27
2,25
3
A
B
C
D
E
M 3
3,8
3,8
1,27
C!lc$l$l c%&'ici&n(il%r din sis)&m$l d& &c$!(ii*
+ +111
# # ##
# # # #
1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5
+ + & %
%,5 7, + %,7% 6!, &6
l M dx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×
= + + =
∑∫
++
++# ##
1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6
% +
l M dx
EI E I EI δ = = × × × × × =×∑∫
+
# ##
+ +
#
# # # #
1 1 + 1, ! , ! , ! , ! +, +5 , !% +
5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)
& %
%,56 +, %7 %, 6% %1,!
l M dx EI E I E I
E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × ×× ×
+ × × + × − × × =×
= + + =
∑∫
5
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
6/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1 +1+ +1
# ##
1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)
% +
l M M dx
EI E I EI δ δ
×= = = − × × × = −×∑∫ 1
1 1
##
#
# # #
+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)
&
5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)
& %
5, +6 !, %+ % ,&7
l M M dx
EI E I
E I
EI EI EI
δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×
+ × × × − × × − × + ×× ×
= + =
∑∫
++ +
# ##
5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 ,!)
& %
l M M dx
EI E I EI δ δ
×= = = × × × − × = −× ×∑∫
Suma coeficienţilor:
, 16!, &6 1#, !& %1,! + *% , &7 1&,!6 1, 5) 1!+, +6
sn
ii
δ =
= + + + × − − =∑
%.+) Termenii li'eri, se calculează cu relaţia:
#
l p i
ip M M
dx EI
×∆ =∑∫ 8nde p M , reprezintă momentul produs, pe sistemul de 'ază static determinat, de /ncărări.
11
##
#
# # #
+,+5 *+ +1&,& + 1#!,& 5,+5 +1&,& 5,+5 1#!,& )&
5,#6* + 1#!,& 5, +5 + %&7, & 5, +5 1#!,& 5, +5 %&7, & 5, +5)
& %
1%& ,5& 1+##, + +& , +%
l p
p M M dx
EI E I
E I
EI EI EI
×∆ = = − × × × + × × + × + × +×
+ × − × × + × × − × + ××−= − + =
∑∫
&
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
7/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
48 kN 30 kN/m
3,8 1,27
2,25
3
A
C B
DE
3,8 1,27
2,25
3
216,6
108,6
469,36
M p
++
# ##
5,#6 !!7,#7* + %&7, & 5,#6 1#!, & 5, #6)
& %
l p
p
M M dx
EI E I EI
×∆ = = × − × × + × = −×∑∫
6
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
8/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
##
#
#
# # #
1 1 1* ,! +1&,&) ,!
% %
+,+5*+ +1&,& ,! + 1#!, & ,! 1#!,& ,! +1&,& 1#!)
&
5,#6*+ 1#!, & ,! + %&7, & 1, +6 1#!, & 1, +6 %&7, & ,!)
& %
&5,1& 1 7#,+ +#,+7 1%
l p
p
M M dx
EI E I
E I
E I
EI EI EI
×∆ = = − × × × × −×
− × × × + × × + × + × −×
− × × × + × × − × − ××
= − − − = −
∑∫
#
65,&! EI
Suma termenilor li'eri:
1*+& ,+% !!7,#7 1%65,&!) +&+!,#1
sn
p =
∆ = − + + = −∑5) erificarea coeficienţilor i a termenilor li'eri.
4oeficienţii sunt corecţi calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:+
, 1 #
s l n s
i ssi
M dx EI
δ δ =
= =∑ ∑∫
3,8 1,27
2,25
3M ss
33,8
9,05
1,09
6,8
!
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
9/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
+
##
#+ +
#
+ +
#
# # # # #
1 1 +* )+ +1 1 +* ,! ,!) ,!% +
+,+5 *+ &,! + 7,#5 + &,! 7,#5)&
5,#6 *+ 7,#5 + 1,#7 + 7,#5 1,#7)& %%,5 %,56 1%+,+& #,7% 1!+, +6
l s
ss M dx EI E I
E I
E I
E I
EI EI EI EI EI
δ = = × × × × × +×
+ × × × × +×
+ × × + × + × × +×
+ × × + × − × ××
= + + + =
∑∫
Condiţie înde linită! coe"icienţii sunt corect calculaţi#
Termenii li'eri sunt corecţi calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:
1 #
s l n p s
p sp
M M dx
EI =×∆ = ∆ =∑ ∑∫
##
#
#
# #
1 1 1+1&,& ,! ,!% %
+,+5 *+ +1&,& &,! + 1#!,& 7,#5 1#!,& &,! +1&,& 7,#5)&
5,#6 * + 1#!,& 7, #5 + %&7, & 1, #7 %& , & 7, #5 1#!, & 1, #7)& %
&5,1& +!5 ,67 +7#,7%
l p s
sp M M
dx EI E I
E I
E I
EI EI EI
×∆ = = − × × × × × −×
− × × × + × × + × + × +×
+ × − × × − × × + × + ××
= − − +
∑∫
# #+&+!,#1
EI = −
Condiţie înde linită! termenii li$eri sunt corect calculaţi#
&) 9ezol-area sistemului de ecuaţii:
11 1 1+ + 1 1
+1 1 ++ + + +
1 1 + +
#
##
p
p
p
X X X
X X X X X X
δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
× + × + × + ∆ =
× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =
7
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
10/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1 +# # # #
1 +# # # #
1 +# # # #
6!,&6 1&,!6 % ,&7 +& ,+%#
1&,!6 1#,!& 1, 5 !!7,#7 #
% , 7 1, 5 %1,! 1%65,&!#
X X X EI EI EI EI
X X X EI EI EI EI
X X X EI EI EI EI
× − × + × − =
− × + × − × − =
× − × + × − =
Ec2i-alent cu:
1 +
1 +
1 +
6!,&6 1&,!6 % ,&7 +& ,+%1&,!6 1#,!& 1, 5 !!7,#7
% , 7 1, 5 %1,! 1%65,&!
X X X X X X
X X X
× − × + × =− × + × − × =
× − × + × =
Soluţia sistemului:A 1&.!6−
% . 7
1#.!&
1. 5−1. 5−
%1.!
:= : !!7.#7
1%65.&!
:=
; A1−
:⋅:= detA A:=
detA 5.#&! 1#×=
;
5. +1
7%.+15
+.!++
=
1
+
5, +1
7%,+15
+,!++
X kN
X kN
X kN
===
6) Trasarea diagramelor de eforturi:
1#
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
11/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
48kN
30kN
3,8 1,27
2,25
3
5,321kN
94,215kN
32,826kN
94,215kN
13,04
53,321kN
N
T
5,321kN
32,822kN
81,178kN
53,321kN
127,037
11
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
12/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
91,84
44,06
15,963
M
75,88
22,04
!) erificarea diagramelor de eforturi:
!.1) erificări statice:
3 +&ri'ic!r&! n%d$l$i "*
1+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
13/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
48
5,321
53,21
8 1
, 1 7 8
15,963
75,88
13,04
9 4
, 2 1 5
B 9 1
, 8 4
5 , +1 %! 5, +1 #7%, +15 1 ,#% !1,16! #71,!% 65,!! 15,7& #
X , M
= − + + == − − == − − =
∑∑∑
3 +&ri'ic!r&! di! r!m&i M. prin m&)%d! LM+*
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
22,0448
5,321
94,215
32,822
30
1
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
14/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
,!* ) ++,#% %! +,+5 5, +1 5,+5 +,!++ 1,+6 # ,! * 1, +6)
+7%,+15 5,#6 #
LM+ θ θ θ θ θ
θ
= − − × − × + × − × × +
+ × =
!.+) erificărea elastică a diagramei de momente /nco-oietoare:
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
15/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
CE%&RI %E REA'E(E
+) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.+, la acţiunea cedărilor de reazem
Se cunosc:#, ! " " # $ " %! " 1 " 1,% L m H m p kN m F kN / cm ϕ = = = = = =
3,8m 1,27m
2,25m
3m
A
B
C
D E
v
Fig. 2
1) Se adoptă acela i sistem de 'ază:
15
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
16/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
4I 0
I 0
2I 0
F 4I 0
3,8 1,27
2,25
3
X 1
X 2
X 3
+) Sistemul de ecuaţii de ec2ili'ru elastic are forma:
11 1 1+ + 1 1
+1 1 ++ + + +
1 1 + +
c
c
c
X X X L X X X L X X X L
δ δ δ δ δ δ δ δ δ
× + × + × =× + × + × =× + × + × =
) 4oeficienţii au -alorile:
+ +111
# # ##
# # # #
1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5
+ + & %
%,5 7, + %,7% 6!, &6
l M dx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×
= + + =
∑∫
++
++# ##
1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6
% +
l M dx
EI E I EI δ
= = × × × × × =×∑∫ +
# ##
+ +
#
# # # #
1 1 + 1,! , ! , ! , ! +, +5 , !
% +
5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)
& %
%,56 +, %7 %, 6% %1,!
l M dx
EI E I E I
E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × ×× ×
+ × × + × − × × =×
= + + =
∑∫
1&
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
17/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1 +1+ +1
# ##
1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)
% +
l M M dx
EI E I EI δ δ
×= = = − × × × = −×∑∫ 1
1 1
##
#
# # #
+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)
&
5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)
& %
5, +6 !, %+ % ,&7
l M M dx
EI E I
E I
EI EI EI
δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×
+ × × × − × × − × + ×× ×
= + =
∑∫
++ +
# ##
5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 , !)
& %
l M M dx
EI E I EI δ δ
×= = = × × × − × = −× ×∑∫
Suma coeficienţilor:
, 16!, &6 1#,!& %1,! + *% , &7 1&,!6 1, 5) 1!+, +6
sn
ii
δ =
= + + + × − − =∑%) 4alculul termenilor li'eri:
Termenii li'eri se calculează cu relaţia generală:
* )1
ik ic i k L R= ± × ∆ ± × ∆∑
8nde :31 3 acţiunea -irtuală 1i X = "3 i∆ 3 deplasarea după direcţia 1i X = "3 * )ik R reacţiunile din reazemulk0
Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l1 1 X =
16
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
18/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
!1,1
X 1
!1,2
1,1 1 5, +5 5, +5 x R kN m= × = ×1,1 1 1 x R kN = =
11, % ,1%151 # 1 # 5, +5 #,1+!
1!#c L ×= × + × − × = −
Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l+ 1 X =
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
!2,1
X 2
!2,2
+,1 1 5,#6 5,#6 x R kN m= × = ×+,1 1 1 x R kN = =
+1, % ,1%15
1 # 1 # 5, #6 #,1+%1!#c
L ×= × + × + × =
1!
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
19/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
Sis)&m$l 1nc rc!) c$ !c(i$n&! /ir)$!l 1 X =
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
!3,2
X 3
!3,1
,1 1 1, +6 1, +6 x R kN m= × = ×,1 1 1 x R kN = =
+1, % ,1%151 #,#1 1 # 1, +6 #,#+1
1!#c L ×= − × + × + × =
1#,1+! #,1+% #, #+1 #, #16
sn
ici
L=
= − + + =∑
5) erificarea termenilor li'eri:
Termenii li'eri sunt corect calculaţi dacă este /ndeplinită următoarea relaţie:
* )
1* 1 ) * )
sn sk ic sc i k
i L L R
== = ± × ∆ + ± × ∆∑ ∑ ∑
17
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
20/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
s3
X 3
s2
X 1
X 2
s1
1 1 s R kN =+ + s R kN =
1 1,+6 1 5, +5 1 5,#6 1,#7 s R kN = × − × + × =1, % ,1%151 #,#1 1 # + # 1,#7 #,#16
1!# sc L ×= − × + × + × + × =
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
21/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
; +. #+ 1#×+5!.665−
=
6) Trasarea diagramelor de eforturi:
Sistemul de 'ază de-ine:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
258,775
2302
391,395
#i! r!m! d& '%r(& !xi!l&*
+1
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
22/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
2302
2043,225
391,395
#i! r!m! d& '%r(& ) i&)%!r&*
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
391,395
258,775
391,395
2043,225
++
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
23/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
#i! r!m! d& m%m&n)&*
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
983,345
1071,478
1174,185 190,84 9287,672
1071,478
M
!) erificarea diagramei de momente, prin >M :
391,395
2302
258,775
9 2 8 7
, 6 7 2
* ) 7+!6,&6+ +5!,665 + #+ 1, +6 + #+ 5,#6 71, 75 5, +511&61,1% 11&61,1% #
LM+ θ θ θ θ θ = − × − × + × × + × × − ×= − =
+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
24/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
ACŢIUNEA )ARIAŢIEI %E *E(+ERA*UR&
) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura. , la acţiunea -ariaţiilor neuniforme temperatură, din fig. :
5 5 + %# %# ,! " " 1# " +,1 1# $ " 1+) L m H m E d!N cm I cmα − ×= = = = × =
+%
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
25/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D
E
10 0 10 0
10 0 20 0
8 0
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
26/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3 se adoptă acela i sistem de 'ază i, ca urmare, coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie numodifică.
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
10 0 10 0
10 0 20 0
8 0
X 1
X 2
X 3
+) Sistemul de ecuaţii de condiţii:
11 1 1+ + 1 1
+1 1 ++ + + +
1 1 + +
###
)
)
)
X X X X X X X X X
δ δ δ δ δ δ δ δ δ
× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =× + × + × + ∆ =
) 4oeficienţii:
+&
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
27/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
+ +111
# # ##
# # # #
1 1 + +, +5 1* ) * ) *+ + 5, +5 + 5, +5) 5, +5 5, #6 5, +5
+ + & %
%,5 7, + %,7% 6!, &6
l M dx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × + × + × × + ×× × ×
= + + =
∑∫
++
++# ##
1 1 + 1#,!&5,#6 5,#6 5,#6
% +
l M dx
EI E I EI δ = = × × × × × =×∑∫
+
# ##
+ +
#
# # # #
1 1 + 1, ! , ! , ! , ! +, +5 , !
% +
5,#6*+ , ! + 1, +6 + , ! 1, +6)
& %
%,56 +, %7 %, 6% %1,!
l M dx
EI E I E I
E I
EI EI EI EI
δ = = × × × × × + × × ×× ×
+ × × + × − × × =×
= + + =
∑∫
1 +1+ +1
# ##
1 5,#6 1&,!6*5,+5 5,#6)% +
l M M dx EI E I EI
δ δ ×= = = − × × × = −×∑∫ 1
1 1##
#
# # #
+,+5*+ ,! + 5,+5 ,! , ! 5,+5 ,!)
&
5,#6*+ 5, +5 ,! + 5, +5 1, +6 5, +5 1, +6 5, +5 ,!)
& %
5, +6 !, %+ % ,&7
l M M dx
EI E I
E I
EI EI EI
δ δ ×= = = × × × + × × + × + × +× ×
+ × × × − × × − × + ×× ×
= + =
∑∫
++ +# ##
5,#6 1, 5*+ 5, #6 1, +6 5, #6 , !)& %
l M M dx EI E I EI δ δ
×= = = × × × − × = −× ×∑∫
%) 4alculul termenilor li'eri:
Termenii li'eri se calculează ce relaţia generală:
%%
i) ) !x i ) i) ) N M 4α α ∆∆ = ± × ×Ω + ± × ×Ω∑ ∑
n care:) α 3 coeficientul de dilatare termică liniară"
%!x) 3 temperature /n axul 'arei: +
% %% i &!x
) ) ) += "%) ∆ 3 diferenţa de temperatură /ntre fi'rele extreme ale secţiunii trans-ersale a 'arei:% %i &) ) ) ∆ = −
+6
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
28/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
4 3 /nălţimea secţiunii trans-ersale a 'arei"
3 Tr!s!r&! di! r!m&l%r d& '%r(& !xi!l&*
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X "11
N 1
1
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X "12
N 2
1
+!
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
29/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X "12 N 3
1
3
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
30/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
10 0
10 0
10 0 20 0
8 0
X 1
X 2
X 3
Termenii li'eri:
1 1 1 111 , , , , ,
5 5
5
* )
1# 1 +1# 7 5,#6 1# * # # 5,#6 5,+5)#,!1 + #,7&%
15&,%1 1#
% % % %% A" "# "C #E
) ) !x #E ) N M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E
) ) ) ) ) 4 4 4 4
α α
− −
−
∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ×Ω + × − ×Ω + ×Ω + ×Ω − ×Ω
= − × × + × − × × × + + − × × =
= − ×
+ + + +++ , ,+, , , , , ,
5 5
5
* ) * )
+ 11# * 15 1# +,+5) 1# *# # # 5,#6 5,#6)
#,7&% +
%#,!% 1#
% % % %% % A" "# "C #E
) ) !x A" !x "# ) N A" N "# M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E
) ) ) ) ) )
4 4 4 4α α
− −
−
∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ± ×Ω ± ×Ω + × ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω
= × − × − × + × + + + × × × =
= − ×
, , , , , ,
5 5
5
* )
1# 1 + 1 11# 1# +,+5 1# @# # ,! ,! * ,! ,! 1,+6 1,+6)A#,7&% + #,7&% + +
7,#!& 1#
% % % %% A" "# "C #E
) ) !x "# ) N "# M A" M "# M "C M #E A" "# "C #E
) ) ) ) )
4 4 4 4α α
− −
−
∆ ∆ ∆ ∆∆ = × ×Ω + × ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω ± ×Ω
= − × × + × + + × × × + × − × × + × ×
= ×
5 5* 15&,%1 %#,!% 7,#!&) 1# 15!,1&% 1#i) − −∆ = − − + × = − ×∑#
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
31/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
5) erificarea termenilor li'eri:
Termenii li'eri sunt corect calculaţi dacă este /ndeplinită condiţia:
%%
i) s) ) !x s ) s) ) N M 4
α α ∆∆ = ∆ = ± × ×Ω + ± × ×Ω∑ ∑ ∑
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
N s
1
2
1
3,8 1,27
2,25
3M ss
33,8
9,05
1,09
6,8
5 5
5
1# 1 1# 11# * 15 1# %,5 7 5,#6) 1# @ ,! ,!
#,!1 + #,7&% ++ 1 1
* %,+5 7,#5 1,#7 #,5%5)A 15!,1% 1##,7%& + +
s) − −
−
∆ = × − × − × − × + × − × × × + × ×
+ × − × × + × × = − ×
&) 9ezol-area sistemului de ecuaţii:
6 % +# +,1 1# 6+ 1# 151, + 1# E I kN m−× = × × × = ×
1
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
32/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1 +
1 +
1 +
6!,&6 1&,!6 % ,&7 + &,51&,!6 1#,!& 1, 5 &1,65
% ,&7 1, 5 %1,! 57,1
X X X X X X
X X X
× − × + × =− × + × − × =
× − × + × = −
Soluţia:
; 55.!#7
&. 67−
=
6) Trasarea diagramelor de efortui secţionale:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
10 0 10 0
10 0 20 0
8 0
36,379
55,809
35,177
+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
33/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
55,809kN
19,43kN
35,177kN
N #
35,177kN
19,43kN
36,379kN
105,53
138,24
52,07
46,44
M
32,71
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
34/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
ECUAŢIA CELOR *REI (O(EN*E
Calculul ,rinzilor continue
B C D
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
A
1) (radul de nedeterminare:
& sn = − =
+) Sistemul de 'ază:
Structura este static nedeterminată de ori, sistemul de 'ază static determinat se o'ţine suprim nlegaturile de continuitate corespunzătoare momentelor din /ncastrarea 1, respecti-e din reazemele +
%
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
35/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
*apar articulaţii), care legături se /nlocuiesc cu momentele corespunzătoare, care constituie ne pro'lemei.
A adar sistemul de 'ază:
2 3 4
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
1M 1 M 2 M 2 M 3 M 3 M 4
Ecuaţia celor trei momente, se aplică astfel:
$%1 $ M $%1 M $%1 M $ M $
$&1M $&1M $&1
' $ ' $&1
=entru noduli*BB B
1 1 1 1 , 1 1 , 1+ * ) #i i i i i i i i i i i i il M l l M l M l m l m− + + + − + +× + × + × + × + × + ×
C%n'%rm r&l!(i&i d& m!i s$s.p&n)r$ rind! d!) s& p%) scri& $rm )%!r&l& r&l!(ii*
1 + 1,+1 # # + *# &, ) &, # # &, B #n%d M M m⇒ × + × + × + × + × + ×1 + +,1 +,+ &, + *&, ,15) ,15 &, BB ,15 B #n%d M M M m m⇒ × + × + × + × + × + ×
+ % ,+ ,%,15 + * ,15 %,+) %,+ ,15 BB %,+ B #n%d M M M m m⇒ × + × + × + × + × + ×
3 p& 3!r! 5-2. n$ s$n) inc rc!rc ri &x)&ri%!r&. d&ci
1 +
1 + +,
+ ,+ ,%
1+,& &, #&, 1!,7 ,15 ,15 BB
,15 1%,6 * ,15 BB %,+ B )
M M M M M m
M M m m
++ + = −
+ = − +
C%&'ici&n(ii m66. r&sp&c)i/& m6 s& !s&sc 1n )!3&l& s)!nd!rdi7!)&0
5
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
36/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
S& inl%c$i&sc c%&'ici&n(ii m66 8i m6 . s& r&7%l/! sis)&m$l. !p%i c$ r&7$l)!)&l& %3(in$)&. s& s&p!r!)& inc rc!) c$ m%m&n)&l& r&7$l)!)& din sIs)&m. 8i s& r&7%l/ c! % rind simpl$ r&7&m!) 0
9n 'in!l s& !s!m3l&!7 )%!)& di! r!m&l&0
++, ,+B BB #,+5 *%# ,15 ) 77,++5m m= = × × =
+,% %,B BB #,+5 *%# %,+ ) 16&,%m m= = × × =
1 +
1 +
+
1+,& &, #&, 1!,7 ,15 1+,5&
,15 1%,6 1#5 ,%%
M M M M M
M M
++ + = −
+ = −
S%l$(i! sis)&m$l$i*
1
+
%
+.!!35.65736#.%+!#
M M M M
=
2
6,3m
1
2,88 5,759
1,37 1,37
#1,37
M 2,88
5,759
&
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
37/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
2 3
3,15m42,47 83,53
5,759 70,428
40
#
42,47
83,53
1,062
M
70,428
22,55
5,759
3 4
4,2m
40kN 70,428 0
100,77 67,23
#
100,77
67,23
2,51
70,428
56,5
M
6
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
38/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
B C D
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
A
100,77
67,53
42,47
83,53
1,37
70,428
31,218 22,55
5,759
2,88
#
M
CA%RE -*A*IC NE%E*ER(INA*E
%) 9ezol-area grinzii de mai 0os, prin metida forţelor.
!
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
39/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3m
42kN
3m 3m
42kN
2,25m
1
3 5
2 4 6
5: S)!3ilir&! r!d$l$i d& n&d&)&rmin!r& s)!)ic *
* ) + * 1#) + & 1 sn r 3 N = + − × = + − × =3 structura este static nedeterminată 1 dată.
2: Al& &r&! sis)&m$l$i d& 3!7 *
3 se inlocuie te 'ara +35, cu necunoscuta X 5
3m
42kN
3m 3m
42kN
2,25m X 1
X 1
1
3
2 4 6
5
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
40/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
n cazul general c nd gradul de neterminare este mai mare de +:
3 coeficienţii principali se calculează cu relaţia:+i
ii 3
N l
EAδ
×= ∑
"
3 coeficienţii secundari:
i i
3
N N l EA
δ × ×=∑8nde: ,i N N =forţele axiale din 'arele sistemului de 'ază, statict determinat, produse de /ncărcări egale cuunitatea.
3 termenii li'eri se calculează cu:
p iip
3
N N l EA× ×∆ =∑ "
8nde p N =forţele axiale produse de /ncărcările reale pe sistemul de 'ază static determinat.
%eterminarea "orţelor i N
3m 3m 3m
2,25m
1
1
3
2 4 6
5
1
( "0 1
H "0 1
( "0 6
H "0 6 N2%4 N4%2
N3%5 N5%3
N 3 % 4 N 4 % 3
N2%3
N2%4
2 , 2
5 ) *
s NN
2%3
3%2
%#
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
41/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
3 r&!c(i$nil&*
1 & # H H = =1 & #+ + = =
+ 5 7 5,#&+5 ,65l − = + =+,+5 +,+5#,65" cos #,!" sin #,&
,65 ,65) α α α = = = = = =
L! % prim /&d&r& s& p%!)& c%ns)!)! c *
1 + 1 & 5 & % # N N N N − − − −= = = =
S&c(i%n m 3!r&l&* 2-;.
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
42/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
+ %# cos X N α −= → = −∑+# sin, N α −= → = −∑
%eterminarea "orţelor p N
3m
42kN
3m 3m
84kN
2,25m
1
3
2 4 6
5
( "56kN 1
H "0 1
( "70kN 6
H "0 6
N%d$l 5*
1
( "56kN 1
H "0 1 N 1%2
N 1 % 3
1 +1 1 + 1
11
cos5 cos # sin1# %+ sin # 5&
sin
N X H N N , N N
α α α
α α
−− −
−−
= − = → + + × = → = → − × = =
∑∑
N%d$l 2*%+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
43/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
2 N 2%1 2%4N
N 2%3
1 + + % + %
++
cos# # 5&sin
# # #
X N N N , N N
α α
− − −
−−
= → + = = → = → = =∑∑
N%d$l <
42kN 3
N 3 % 1
N 3 % 4
N 3%5
N 3%2
%1 % 5
+ 1 %5
11%# cos cos # sincos# sin sin %+ # 6#sin
N X N N N , N N N N
α α α α α α α
−− − −
− − −−
= − = →− × + × + = → = → + × + × − = =∑∑
>rin !n!l% i&*
& %
& 5
cos6#sin16#
sin
N
N
α α
α
−
−
= −
=
B+ + '-. $m +' 1 N EA p N +1 N l × 1 p N N l 1 X N
1%2 3 0 EA %74,67 0 0 38,34 %74,67
1%3 3,75 0 EA 94,33 0 0 38,34 94,33
2%4 3 %0,8 EA 74,67 1,92 %179,208 38,34 43,998
%
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
44/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
2%3 2,25 %0,6 EA 0 0,81 0 38,34 %23,004
3%5 3 %0,8 EA 94,33 1,92 %226,392 38,34 63,658
3%4 3,75 1 EA %24,33 3,75 %91,2375 38,34 14,01
4%6 3 0 EA %94,33 0 0 38,34 %94,33
5%6 3,75 0 EA 116,67 0 0 38,34 116,67 4%5 2,25 %0,6 EA 0 0,81 0 38,34 %23,004
9,21/EA 496,838/EA
d 11 D1p
11 1
7,+1 %7&,! ! ,65 !, % X X X kN EA EA EA
×+ = − → =
ARCE -*A*IC NE%E*ER(INA*E
5) 9ezol-area arcului din figură prin metoda forţelor
70kN 40kN
1
2
3
18m 9m 9m
5m
50 ?r!d$l d& n&d&)&rmin!r&*
5 + sn = − =
20 Al& &r&! sis)&m$l$i d& 3!7 *
%%
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
45/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
70kN 40kN/m
A
C
B
18m 9m 9m
5m X 1
X 2
! $s m + +
70kN 40kN/m
$. + $.)+s + + + +s+ + s$s m-'-$ + +
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
46/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1
2
3
18m 9m 9m
5m X 1
! $s m + +
! $
ntr3o secţiunei putem scrie:
11 1
11 1
, cos, * )
N N X M M X @ x
ϕ = − ×= − ×
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
47/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
Momentul dintr3o secţiunei :
+
% +#* ) * ) * & )&
' x x @ x l x xl
× × ×= × − = × −
1* ) * ) M x X @ x= − ×
3 c%sid&r m sis)&m$l d& 3!7 1nc rc!) c$ n&c$n%sc$)!+ X
1
2
3
18m 9m 9m
5m
X 1
! $s m + +
!
$
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
48/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
49/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
&+ +
++# ## # #
1 1555+l l x x xds dx EI EI EI EI
δ = = = × =∫ ∫
&%
1+ +# # ## # #
#
1 1 +# 1 5 5* * & )) * )& +6 1+7&
+1
l l x x x @ xdx x xdx EI EI EI
EI
δ × × ×= − × = − × − × = − × −
= −
∫ ∫
=e grinda /ncastrată, ata ată sistemului de 'ază, momentul are urmăoarea lege de -ariaţie:3 pe inter-alul:
# 1! # p M ÷ → =1! +6 6# * 1!) p M x÷ → = − × −
* +6)+6 & 6# * +6) %# * +6)+ p
x M x x −÷ → = − × − − × − ×
Asadar a-em:
+6 +6+
1 + +# ## 1! 1!
# #
1 1 +# +#@ * 6# * 1!) * & ) * 6# * +6) +# * +6) ) * & )
& &
1 ++##5* 1+%# ,1+5 7,!65)
l
p p x x
M @ds x x dx x x x dx EI EI
EI EI
× ×∆ = − × = − − × − × × − + − × − − × − × × −
= − × − − =
∫ ∫ ∫
+6 +6+
+# ## 1! 1!
# #
1 1@ * 6# * 1!) * 6# * +6) +# * +6) )
1 5+76%#* +6+1 +565!#)
l
p p M xds x xdx x x xdx EI EI
EI EI
∆ = × = − − × − × + − × − − × − ×
= − − = −
∫ ∫ ∫
9ezol-ăm sistemul i o'ţinem:
1 +# # #
1 +# # #
%!1 +1 ++##5#
+1 1555+ 5+76%##
X X EI EI EI
X X EI EI EI
× − × + =
− × + × − =
A cărui soluţie este:
%7
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
50/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1
+
+!56%
X kN
X =
70kN 40kN
A
C
B
5m
!
4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5
1
2 3 4
5
6
74
285
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
51/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
+
+
+
+!5 cos 6% sin +!5 #,7&% 6% #,+&! +75+ +!5 sin 6% cos +!5 #,+&! 6% #,7&% 5
6% 7 +!5 ,! %16
N T M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − × = − × − × = −= − × + × = − × + × = −= × − × = −
+!5 cos 6% sin +!5 #,77 6% #,1 ! +7++!5 sin 6% cos +!5 #,1 ! 6% #,77 %+!5 1 ,5 6% %,6 5##
N T M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − × = − × − × = −= − × + × = − × + × == × − × =
+!5 cos 6% sin +!5 1 +!5+!5 sin 6% cos 6% 1 6%+!5 1! 6% 5 %6
C
C
C
N C T
M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − × = − × = −= − × + × = × == × − × =
%
%
%
+!5 cos *6% 6#) sin +!5 #,77 *6% 6#) * #,1 !) +!+% +!5 sin *6% 6#) cos +!5 * #,1 !) *6% 6#) #,77 %
+!5 ++,5 6% %,6 6# %,5 565#
N T M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − − × = − × − − × − = −= − × + − × = − × − + − × == × − × − × =
5
5
5
+!5 cos *6% 6#) sin +!5 #,7&% *6% 6#) * #,+&!) +6%5 +!5 sin *6% 6#) cos +!5 * #,+&!) *6% 6#) #,7&% !#
+!5 +6 6% ,! 6# 7 &6!%
N T M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − − × = − × − − × − = −= − × + − × = − × − + − × == × − × − × =
&
&
&
+!5 cos *6% 6# %# %,5) sin +!5 #,7+ *6% 6# %# %,5) * #, !5)& +!5 sin *6% 6# %# %,5) cos +!5 * #, !5) *6% 6# %# %,5) #,7+%,5+!5 1,5 6% +,+ 6# 1 ,5 %# %,5 6%&5+
N T
M
ϕ ϕ ϕ ϕ = − × − − − × × = − × − − − × × − = − × + − − × × = − × − + − − × × =
= × − × − × − × × =
+!5 cos *6% 6# %# 7) sin +!5 #,!6% *6% 6# %# 7) * #,%!&) %+!5 sin * 6& 6# %# 7#) cos +!5 #,%!& *6% 6# %# 7) #,!6% 16
7+!5 & 6% # 6# 1! %# 7 6 !#+
"
"
"
N " T
M
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − × − − − × × = − × − − − × × − = −= − × + − − × × = × + − − × × = −
= × − × − × − × × =
51
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
52/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1
2 3 4
5 6
C
A BT
74
41
5
34
74
443
80
53
173
1
2
3 45
6
C
A B
N 285
292
295 292
285 282
331
422
274
5+
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
53/54
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA2
1
2
3 4
5
6
C
A B
M
294
417
3500
4760
5750
7465 7380
6784
5
8/16/2019 lucrarea 2 STATICA
54/54