CALCULO INTEGRAL
41. INTEGRACION. Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada propuesta. La integración es la inversa de la derivación. Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la primera representación de la suma.
El cálculo integral podríamos expresarlo como: "Dado el diferencial de una función hallar su función original" La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada. El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.
42. FORMULAS DE INTEGRACION Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.
Cdxyy
dxydy
dxdy
y
1
'́
1
xx
x
x
x
dx
dxdy
y
y
32
2
2
3
3
3
3'
wdvdudwdvdu
dxaadx
)(
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 2 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Fórmulas elementales de integración
NOTA. Si bien es cierto que toda función es factible de derivarla, no toda integración puede ser resuelta
Cavvna
avv
dvav
Ca
varcsenva
vdvva
Cavvnav
dv
Ca
varcSen
va
dv
Cva
van
ava
dv
Cav
avn
aav
dv
Ca
varcTg
aav
dv
cctgvvcvdvC
ctgvvvdv
csenvCtgvdv
cvcvtgvdv
cvCCtgvdvvC
cvtgvdvv
cctgvvdvC
ctgvvdv
csenvvdv
cvsenvdv
cedve
ca
adva
cvv
dv
cn
vdv
cxdx
vv
vv
nn
v
)(122
.22
2.21
)(1.20
.19
12
1.18
12
1.17
1.16
)secln(sec.15
)ln(secsec.14
ln.13
seclncosln.12
sec*sec.11
sec*sec.10
sec.9
sec.8
cos.7
cos.6
.5
ln.4
ln.3
1.2
.1
222
2222
2222
22
22
22
22
22
22
2
2
1
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 3 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
directamente. Para cuando se presente estos casos, su solución requiere de métodos aproximados.
Ejemplo 54
Ejemplo 55
43. TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN: Método de sustitución. Cuando no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución. Ejemplo 56
Ejemplo 57
Sustituciones trigonométricas Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada, sugiriendo el reemplazo correspondiente:
Ejemplo 58
Cx
Cx
xdx
211
211
CxaaCuaudua
dxdu
xaunsustituciódeoceso
xadxaxaadx
)ln(ln/
Pr
//
2
2
2/1
/1/
/1
/
duxdx
xdxdu
xu
xdxe x
Ce
Ce
due
xduxe
x
u
u
u
/1
22 /*
Cxx
xCxxx
x
dxxdxdxxdx
xxx ln
2
5ln
2
5
3
353)
153(
23
2322
)(*.3
)sec(*.2
)cos(*)(*.1
22
22
22
ttgaxax
taxax
taxótsenaxxa
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 4 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
)tgsecln(
sectg
sec
1tgtg
sec
sectg1
2
2
2
2
cc
dcdd
ddxxxx
dx
12 x
x
1
cxx
xsolución
)
1
1ln(
2
Integración por partes Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la siguiente igualdad.
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten. Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la integración directa. En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la integración por partes
vduuvudv
udvvduvud
uvvuvu
vduuvudv
)*(
´´)´*(
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 5 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 59 Ejemplo 60
Integrales de la forma AX2 + BX + C Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que
podamos expresarlo como: v2 a2 ó a2 v2 Ejemplo 61
CASO ESPECIAL. Cuando la integral presente la configuración siguiente:
Cxxx
Cx
xx
wdwww
x
dxxx
xwvwdwdv
xvxdxdvdwduwu
x
dxduxuwdwwdxdwxw
xdxxxdxxCos
)3cos3sen3(9
1
4ln
2)sensen(
9
1
*2
ln2
sencos
2
lncos9
133
ln3
22
22
2
cx
arctgcw
arctgw
dw
dxdwxw
x
dx
quedaríanostrinomioeldocomple
xx
dx
2
1
2
1
22
1
4
1
4)1(
:tan
52
2
2
2
cbxaxnmx
dx
2)(
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 6 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Se sugiere utilizar el reemplazo mx+n = 1/ t, artificio que es aplicable también a la forma
la forma mx2 + n = 1/t.
43. Aplicación de la teoría de las fracciones racionales función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios. Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:
D
RC
Dx
Nx
Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados. Para descomponer fracciones vamos a considerar los siguientes casos, cada uno con un ejemplo explicativo: Primer caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite
Ejemplo 62
Segundo caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.
121 )(..........
)()()()( mx
N
mx
N
mx
N
mx
N
mx
Nnnnn
)3(15
1
)2(10
9
6
5
)3)(2(
52
15
1,
10
9,
6
5
56
223
0
6)23()(52
)3)(2(
)2()3()6(
)3)(2(
)6()23()(
32)3)(2(
52
2
222
2
xxxxxx
x
CBA
A
CBA
CBA
ACBAxCBAxx
xxx
xxCxxxBxxA
xxx
ACBAxxCBA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 7 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 63
)1(
2
)1(
1
)1(
21
)1(
1
2121
:
1:
03:
023:
1:
:mindet
)1(
)1()1()1(
)1(
1
)1()1()1()1(
1
233
3
0
2
3
3
23
3
3
233
3
xxxxxx
x
DCBA
sistemaeloresolviend
Ax
DCBAx
DCAx
DAx
adoserinescoeficientdemétodoelaplicando
xx
xDxxCxBxxA
xx
x
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Tercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.
Ejemplo 64.
Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten
52
52
62
52
5262
52
5252
656523
6252
52625262
52
x
x
x
x
))(x(x
DCBA
DBC)Ax(D)(BxA)x(C
)D)(xx(Cx)B)(x(Ax
x
DCx
x
BAx
))(x(x
x
...)()()()( 221222
nnnn QPxx
FEx
QPxx
DCx
QPxx
BAx
QPxx
N
QPxx
BAx
QPxx
N
22
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 8 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas de reducción, como la siguiente:
12212222232
12
1nnn )a(u
du)n)
)a(u
u
)a(n)a(u
dv
Ejemplo 65
Integración de funciones irracionales
Cuando la integral contiene potencias fraccionarias de la forma X ó mm
bxa , donde n es el
mínimo común múltiplo de las raíces existentes, es conveniente asumir la siguiente sustitución: x = zn ó (a + bx ) = zn
Integración de diferenciales binomias
Una diferencial de la forma dxbxax pnm
)( donde m, n, p son números racionales, se
llama diferencial binomia. Para su solución se plantea tres casos: CASO I. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desarrollar el binomio de Newton o aplicar otra forma conveniente de integración..
CASO II. Cuando n
m 1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s , se efectúa la sustitución a + bxn = zs
CASO III. Cuando s
r
n
m
1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s, se efectúa la sustitución a + bxn = zsxn.
2x
5xln
343
20
2)49(x
27
5)49(x
8
2x
dx
343
20
2)(x
dx
49
27
5x
dx
343
20
5)(x
dx
49
8
343
20
49
27
343
20
49
8
2255
25
78
103
78
22
22
22
2
22
2
,D,C,BA
x
D
)(x
C
x
B
)(x
A
dx)(x)(x
xxdx
)x(x
xx
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 9 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integración de funciones trigonométricas Para su solución se plantean diversos casos, en los cuales se utilizan reducciones trigonométricas sencillas:
CASO I. Integrales de la forma xdxxCosnm
sen
- Si m ó n son números impares, enteros, positivos se sugiere aplicar las entidades
trigonométricas Sen2x = 1 – cos2x ó cos2x = 1 - sen2x, y, resolver la integral en las formas básicas conocidas.
- Si m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las siguientes entidades trigonométricas:
xxx
xx
xx
2sen2
1cossen
2cos12
1cos
2cos12
1sen
2
2
CASO II. Integrales de la forma: nxdxmxnxdxmxmxdxmx coscossensen,cossen
Donde m n, se recomienda el uso de las siguientes fórmulas:
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
coscos2
1coscos
coscos2
1sensen
sensen2
1cossen
CAS0 III. Integrales de la forma
xdxcxdxxdxcxdx nnnn sec,sectg,tg
Se recomienda usar las fórmulas:
1sectg,1sectg 2222 xcxcxx
44. CONSTANTE DE INTEGRACION
Es el valor que adopta la constante C para un caso particular de la variable, geométricamente, permite la graficación de un número infinito de curvas (familia de curvas) de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 10 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 66. Encontrar la función cuya pendiente es y´= 2x-3 y pasa por el punto(3,5)
53
5995:tan
3
32)32(
2
2
'
xxy
ccteconsladecálculo
cxxy
dxxdxdxxdxyy
Ejemplo 67: En cada uno de los siguientes ejercicio a), b) hallar la función, si se tiene como datos la pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica: a) y’ = x ; P(1,1)
b) y´ = xy (3,5)
Ejemplo 68: En cada punto de cierta curva y” = 20/x3 hallar la función sabiendo que la curva pasa por el punto (1,0) y, es tangente a la recta y = 5x-6
12:
2
1
22
11
´
1
1
2
2
2
xySolución
xyC
Cx
xydxyy
y
x
9.22
ln
9.22
96.1
2
95ln
2ln
5
3
2
2
xy
CcC
Cx
yxdxy
dy
y
x
xdxy
dy
xydx
dy
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 11 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
251510
251*151
100
0,1
1510
)1510
(
151
105
1
,
5'
65
10'
20'
2
2
23
xx
y
cc
yxparaccalculamos
cxx
yx
y
cc
xparaccalculamos
igualessonpendienteslascomo
y
xyrectaladerivamos
cx
ydxx
y
45. EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN:
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
xxx
dxeee
dxx
xxx
dxx
xxx
dxxx
dxxx
dxxx
xxx
)35(.14
)53(.13
)7(.12
)7(.11
)4
25(.10
)3
5(.09
)8
(.08
)3
(.07
)(.06
)(.05
)ln(.04
)155
(.03
.)3(.02
)73(.01
2
2
2
2
23
2
4/1
3 53/12/1
4/5
3/2
3
2
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 12 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
57.34
33.33
57.32
1.31
.30
.29
45cos7.28
)7
6(.27
)1
(.26
)7
3(.25
)2
22(.24
)13
)(2(.23
)84)(53(.22
)12(.21
)73
14(.20
)4
3(.19
)4
5(.18
)73
14(.17
)4
3(.16
)4
5(.15
2
2
2
7
2
2
2
2
23
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
dx
dxxx
dxxx
e
e
dxe
arcsenxdx
xdx
dxx
x
dxx
x
dxx
x
dxxx
x
dxxx
xx
dxxx
dxxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
x
x
x
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 13 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
4.54
.53
1.52
25.51
11.50
5.49
7.48
)25
(.47
)1
5(.46
))8(
(.45
)11
(.44
)7
(.43
)8)((.42
)12(.41
ln.40
7cos.39
5.38
.37
1.36
1.35
2
2
2
2
23
22
2
2
2/32
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
x
dx
dx
dxxx
dxx
x
dxx
x
xx
dx
yy
dy
xx
dx
dxxx
dxx
x
dxt
t
dxx
x
dxxx
dxxx
xdxx
xdxx
dxex
dxxe
xx
dx
xx
dx
x
x
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 14 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
xx
dx
xx
dx
xdx
dx
dxea
dxsenxe
dxxe
bea
dxe
xdxsen
dxxsenx
dxax
xxe
dxxe
dxxa
bax
dx
dxxx
dxxx
x
dxxxx
xx
dxxxx
x
dxxx
xxx
dx
xx
dx
xsen
xx
cox
x
x
x
x
x
5.76
)3)((.75
sec.74
73
.72
.71
.70
.69
.68
)cos(.67
)(.66
)1((.65
)ln(.64
)(.63
)(.62
)5((61
)1()1(.60
)2)(4)(7(
127.59
)3)(73(
5.58
127
4.57
)2)(3)(4(.56
)3)(4(.55
2
2
cos1
33
3
3
23/13/1
22
23
22
2
2
2
2
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 15 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integrar las siguientes expresiones aplicando formulas directas:
46. INTEGRAL DEFINIDA
Del teorema “ La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el diferencial de la abscisa correspondiente “, así: du = y dx Si la curva AB es el lugar geométrico de y = f(x), entonces du = y dx. Siendo du la diferencial de área entre la curva, al eje de las x y dos coordenadas a, b, como se indica en la siguiente figura:
F E Y C D a b
dxx
xx
xx
dx
dxxx
dxx
dx
dxxx
dxx
x
dxxx
dxxx
3
2
24
24
32
22
2
25.85
2184
21.83
)17(.82
5.81
4.80
75.79
75.78
dxxx 25
477
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 16 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Integrando tenemos.
CxFdxxfu )()(
Para determinar C, observamos que u = 0 cuando x= a Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
0 = F(a) + C ; C = -F(a)
obteniéndose : u = F(x) - F(a) El área CEFD que se pide es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:
Area CEFD = F(b) - F(a)
TEOREMA “La diferencia de los valores de ydx para x=a y x=b da el área limitada por la
curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b”. Esta diferencia se representa por:
Que se lee: “La integral desde a hasta b de ydx”. La operación se llama operación entre límites: a es límite inferior y b es límite superior. Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA. Integral definida.- La integral definida es un valor resultante de la suma de valores infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la
integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando x O.
47. INTEGRAL IMPROPIA Se le da esta denominación a aquellas integrales cuyos límites son infinitos, en estos casos se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.
Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado entre los límites (lo que puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá
b
a
b
aydxódxxf )(
n
i
b
a
ixifx
limdxXF
1
*)(0
)(
b
ab
a
dxxflimdxxf )()(
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 17 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
para los nuevos límites un valor menor y mayor al valor donde se produce lo
discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:
b
a
b
c
c
a
dxxflimdxxflimdxxf
)()()(
00
c
48. APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo de áreas: La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la curva como un método exacto, cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el de Simpson, de los trapecios y otros, que no son considerados en el presente estudio pues se los puede enfocar en un tratado de Métodos Numéricos. Criterios para el cálculo de área bajo la curva
1. El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula b
aydxA , (deducida del área
2. de una franja vertical de base x , altura y: A=x*y) considerando siempre que a<b.
3. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o
sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de las x.
4. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula
b
aydxA , nos dará un valor resultante de áreas.
b
x
x
aydxydxA
4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 curvas, se deberá calcular los
puntos de intersección y aplicar la siguiente fórmula: dxyyAb
a 21 , donde y1 es la
función que abarca mayor cantidad de área.
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 18 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.
a b 6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de los puntos de intersección
vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las curvas lo cual deberá definirse en el gráfico.
Ejemplo 69. Calcular el área limitada por y = x3/9, ubicada en el primer cuadrante, limitado entre x=0 y x=2. Procedimiento: 1.- Ubicar la franja de análisis 2.- Calcular el área bajo la curva indicada limitada entre los puntos a, b tomando como
referencia el eje x
b
a
dxyyA
xyya
)21(
)21(
2
2
0
4
2
0
3
9
4
36
9
uA
xA
dxx
A
ydxA
b
a
Y1
Y2
y
x 2
Y=x3/9
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 19 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
49. AREAS EN COORDENADAS POLARES Deducción de la fórmula de área
dA
ddA
darco
dtagdcomo
tagdarco
arcotagd
2
2
1
2
*
*
*
Ejemplo 70. Calcular el área limitada por P = a Sen + b Cos entre = 0 y = /2.
Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la gráfica pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis se recomienda para el cálculo de áreas comunes de dos funciones.
Se deja a interés del lector estas observaciones y su respectiva comprobación
8
)(
448
)(
24
284
22
2)(4
1
4
1
22
1
2
1
22
22
0
902222
90
0
222
90
0
90
0
22
2222
90
0
2
baA
ababIIbaA
Cosab
Senbaba
A
dSenab
dCosbadbaA
dCosbCosabSenSenaA
dbCosaSenA
A
d
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 20 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
50. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
s
y
x
Longitud de arco de curvas en coordenadas polares:
dS
2/2
Ejemplo 71: Calcular la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y = x 2 + 1 entre los límites x 1 = 3 y x 2 = 7 S 3 7
dyxS
íaanapor
dxyS
dxyds
dxs
xx
yS
xx
y
x
xS
yxs
B
A
B
A
2/
2/
2
2
2
2
2
2
2
22
1
:log
1
´1
1
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 21 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
51. CENTROS DE GRAVEDAD Es el punto CG(x,y) en el que se encuentra el cuerpo en equilibrio. Para el cálculo del centro de gravedad, se requiere del uso del efecto llamado Momento (momento es el efecto que una fuerza causa a un punto situado a una distancia de la ubicación de dicha fuerza)
Mc = Longitud * Distancia
Ma = Area * Distancia
Deducción de fórmulas
Ejemplo 72: Calcular el centro de gravedad del área limitada por y = x2, x = 4 y que está ubicada en el primer cuadrante
21.40
12
1
41
)(1
2'
2
2
2/
7
3
S
dxuS
dxxS
dxyS
xy
b
a
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
)(
*
b
a
dxYMx
dxyMx
yydxMx
dAMx
2
2
2
1
2
1
2)(
*
4.102
10
)(2
1
2
1
2
0
4
5
4
0
4
4
0
2
Mx
XMx
dxXMx
dxYMx
YXYMx
64
4
0
4
4
4
0
3
4
0
My
XMy
dxXMy
dxXYMy
xXYMy
3
64
3
4
0
3
4
0
2
4
0
A
XA
dxXA
YdxA
)8.4;3(
4.102*
64*
364
364
CG
yAMx
XAMy
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 22 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 73: Calcular el centro de gravedad de la figura
x
4
2
1 16 xy
2
42
2
0
32
2
2
0
2
0
322
2
2
2
0
2
2
4
0
32
1
4
0
4
0
322
1
2
4
0
2
1
3
84
3
16)4(
2
1
2
1
4
3
6416
3
128)16(
2
1
2
1
416
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
UdxxxxydxMy
UdxxdxyMx
UnidadesdxxydxA
FIGURA Ai Mxi Myi
1 4 128/3 64/3
2 (restar) 16/3 8/3
3 112/3 56/3
)9
112,
9
56(:gra
9
56
3
356
*
9
112
3
3112
*
CGvedaddecentro
unidadesxxxAMy
unidadesyyyAMx
2
2 4 xy
y
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 23 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
52. AREAS LATERALES O SUPERFICIES DE REVOLUCION Un área lateral o superficie de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un arco limitado de la curva y = f(x)”. Deducción de la fórmula de superficie de revolución:
Considerando la superficie de revolución del gráfico, donde la longitud de arco está definida por:
xys 2
´1
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución “CUBIERTO POR UN CASCARON EXTERNO DENOMINADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUCION”, esta superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:
B
A
L
B
A
L
LL
XdsAíaanaPor
YdsA
YdsdAYSA
2log
2
22*
Se debe recordar que ds representa la longitud de arco de una curva y es calculable por:
yxsóxys 22
´1´1
Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.
2y
y
x
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 24 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
53. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION: Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, este volumen es calculable aplicando el siguiente análisis:
1.- Girando la franja indicada alrededor del eje x, manteniendo la base de la franja fija en el
eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que el volumen es igual al área del círculo multiplicado por el espesor.
dxyV
xYV
b
a
x
2
2 *
2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la
franja se movilizará en su totalidad haciendo un recorrido de 2, formando un cilindro hueco cuyo volumen vendría dado por:
b
a
y yxdyV
yXYV
2
**2
x
Franja a girar una revolución en el eje x
x
y2
y
x
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 25 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje. El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la facilidad que el planteamiento presente para la integración y solución del problema.
Ejemplo 74. Calcular el volumen que se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la función y=x2 , ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor del eje x, b) alrededor del eje y. a) alrededor del eje x
5
256
5
4
0
54
0
4
4
0
2
xdxxdxyV
b) alrededor del eje y
x
y
y
y
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 26 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
1284
222
4
0
4
0
4
0
42
xdxxxxydxV
54. RELACION DE FORMULAS ENTRE MOMENTOS Y VOLUMENES. Con la finalidad de optimizar el tiempo de cálculo, se puede encontrar una relación de fórmulas entre momentos y volúmenes:
55. INTEGRALES MULTIPLES Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en especial de volúmenes en el espacio (tres dimensiones), se debe tomar en cuenta el siguiente criterio: ”cuando se considera a una de las variables como tal, las otras permanecen como constantes”. Aplicación de integrales dobles: Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.
dxdyAdydxAyxA
y
y
b
a
b
a
y
y
****
2
1
2
1
Y1
Y2
x
y
a b
MxV
dxyV
xyV
dxyMx
dxyMx
yydxMx
dAMx
x
b
a
x
b
a
2
*
2
1
2
1
2)(
*
2
2
2
2
MyV
yxdyV
yxyV
xydxMy
xydxMy
XydxMy
dAMy
y
b
a
y
b
a
2
2
**2
)(
*
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 27 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Nota: Se debe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.
dxYYxxdydxMyy
dxYYdxy
ydydxMxx
b
a a
y
y
y
y
b
b
b
a
y
y
b
a
12
122
1
2
2
1
2
1
2
1
En forma similar se puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.
56. VOLUMENES BAJO UNA SUPERFICIE De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que el volumen viene definido por:
dzdxdyVx
x
y
y
z
z 2
1
2
1
2
1
Se recomienda previo al análisis, y, con la finalidad de definir los límites de las integrales, trabajar previamente en el plano XY que por lo general constituye la base donde se va a levantar el volumen.
Z
z
x y
x
y
Se debe recordar que al trabajar con tres ejes (x,y,z), el espacio se divide en octantes, como lo indica el siguiente gráfico:
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 28 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
57. EJERCICIOS DE Aplicación Identificada el área limitada por las funciones indicadas y UBICADA EN EL PRIMER CUADRANTE , calcular: - El área plana limitada por las funciones indicadas - El perímetro que bordea dicha área - El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje x - El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor
del eje y. - El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje x - El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje y - El centro de gravedad de dicha área -
0,4,94
0,2,93
00,4,2592
0,4,91
4,5,0,63.90
,5,5.89
0,03,54.88
0,5.87
0,586
22
222
22
2
2
22
2
yxyxy
yxyxy
yxxxyyx
xxxyxy
xxyxyxy
xyxyy
xyyxxy
yxxy
yxxy
95. Calcular el volumen limitado arriba por la superficie z = 6 - x – y, dentro de y = 5 – x, y los planos coordenados
96. Calcular el volumen limitado arriba por z = 4 – y2, abajo por el plano z = 0, y, dentro de
los planos y = x2 , y=2, x=0 97. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2 – y2 , sobre el plano z = 0 y en el
interior de x2 + y2 = 9 98. Calcular el volumen limitado arriba por z = x2 , sobre z = 0, y por los planos y = 0, y = 5,
x = 2, x = -2.
99. Calcular el volumen limitado arriba por z = 16 - x2 , y los planos y=4 – x, x=0, y=0, 2 = 0 100. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2 – y2 , y por los planos z = 0, y = 0, x = 0, x + y = 3
Se recomienda resolver para fines de aprendizaje los ejercicios 93 y 94 aplicando franja vertical y franja horizontal
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 29 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
58. SOLUCION DE LOS PROBLEMAS PLANTEADOS
)3
5;
3
10(
6
250
6
125
3
250
3
125
25502252252550102
25
86
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)2
15;
4
15(
4
625
2
62575.981
2
62549.1963625
006.16925025164.63162587.25303
125
87
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)673.1;938.2(6
209
6
119
3
209
3
1675
3
119
3
1645
87684412858.1115
88
CGMyMxVyVx
ALyALxPerímetroArea
)389.4;344.1(719.2878.8
438.5354.7208.1225755.17493.7652.3056
554.17466.7088.5.5300.58148.15792.20360.22
617.6848.1533.2236.2022.2835.1343.720.11
89
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)603.3;299.4(417.44234.37
833.88167.11100467.74533.378
087.17249.2299597.50613.102613.9811024
493.1940168.391333.10667.112
90
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)2;1(667.2333.5
333.58333.13667.104.6067.17
587.18071.7515.11216.37984.16232.20
294.9647.4647.4667.2667.2333.5
91
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 30 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
)743.2;267.2(334.2060.24
667.40667.42333.8320.49133.34333.83
832.77834.11509464.11525464.4050
147.23293.91854.75968.8667.10635.19
92
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.12333.136.2533.5667.28
935.33971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.32333.5
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)80.0;8402.1(134.6667.2
267.124.6667.1833.5833.13
935.33971.16964.16172.17657.5515.11
476.9222647.4333.3667.26
93
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42298.185.013.1
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1619.0943.0
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
verticalfranjaconsolución
)634.0;28.1(299.0
42698.1526.4507.6
512.154182.733.4841.8188.4453.4
647.62085.2562.2562.1886.1448.3
94
CGMyMx
VyVx
ALyALx
PerímetroArea
horizontalfranjaconsolución
00.27100
67.10699
67.2698
24.12797
31.496
33.3395
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 31 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
ECUACIONES DIFERENCIALES, CONCEPTOS BASICOS
59. ecuación diferencial. Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y(n) Simbólicamente se representa como:
F( x, y, y', y'', y''', y... y(n)) = 0 Otra forma de representar es:
0..,.........,,,(2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF
60. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 32 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población. 61. Tipo de una ecuacion.
Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales. Ecuacion diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable independiente, así:
Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas parciales " así.
03 dy
du
dx
du
62. Orden de una ecuación diferencial. El orden es la máxima derivada que aparece en una ecuación, así.
)(0'2'''
)0'
ordenterceryy
ordenprimery
63. Grado de una ecuación. Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:
),(0'5)''(3''' 2 gradoprimerordenterceryyy
Ejemplo 75 1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:
IIIVparcialydz
yd
dx
dy
IIIordinadiadx
yd
IIIVaordinadiriydx
yd
dx
dy
ORDENGRADOTIPO
03
5
03
5,,,
2
2
2
2
5,,,
2
2
023
033''
2
2
dx
dy
dx
yd
yy
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 33 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
64. Solución de una ecuación diferencial. Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.
Ejemplo 76 Determinar si y = e-2x es solución de la ecuación diferencial
)(00
0
''
'
02'3''
264
4
2
222
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
y
y
y
yyy
eee
e
e
e
xxx
x
x
x
Comprobar si y = 3e-2x +5e-x es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0
)(00
''
'
512
56
53
2
2
2
SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo
lduferenciaecuaciónlaenosreemplazam
y
y
y
ee
ee
ee
xx
xx
xx
65. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales Solución particular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores iniciales y de valores en la frontera.
Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así; si la ecuación es:
F( x, y, y', y'', y''',... y(n)) = 0 (ecuación que define el problema) , x = a el punto inicial,
entonces, y(a)= y(o) , y'(a) = y'(o) , y''(a) = y''(o) , y''' = y'''(o) , y(n) (a) = y(n)
(o) Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 34 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
F(x,y) = 0 X = a
Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en
particular, si x = a y x = b, es decir que el dominio de soluciones está en el intervalo
cerrado [a , b] Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx3, y, si es solución, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2
Derivando la solución: Y' = 3cx2
Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx2) - 3 (cx3) = 0
3cx3 - 3cx3 = 0 , 0 = 0 , por lo tanto, y = cx3 Si es solución
Reemplazando las condiciones iniciales en la solución, se obtiene que 27
2C
Por lo tanto, la solución particular es xC3
27
2
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la constante arbitraria.
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 35 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ejemplo 78: resolver la ecuación y’ +x2 =7, para la condición inicial P(3,5)
73
7tan
7:,Re
37
)7(
)7(
7
7'
3
3
2
2
2
2
xxYtoloPor
Csoluciónlaenyxemplazando
Cx
xY
dxy
dxdy
dx
dy
y
x
x
x
x
UNA ECUACION DIFERENCIAL SE CONSIDERA RESUELTA CUANDO SE HA REDUCIDO A UNA EXPRESION EN TERMINOS INTEGRALES, PUEDA O NO EFECTUARSE LA INTEGRACION
66. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden y de 1er grado. Este tipo de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son funciones de x o de y. Las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase o forma son: I. Ecuaciones diferenciales con variables separadas II. Ecuaciones homogéneas III. Ecuaciones Lineales IV. Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal. Ecuaciones con variables separadas: Cuando la ecuación diferencial puede reducirse a la forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y únicamente. El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución se obtiene por integración directa así:
donde C es una constante arbitraria. Ecuaciones homogéneas.
CdyyFdxxF )()(
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 36 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Para aplicar el método de solución es necesario previamente comprobar la homogeneidad de la función de análisis, de acuerdo al siguiente análisis: FUNCION HOMOGENEA: la función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si
para todo valor se cumple la siguiente Identidad f(x, y) = n f(x,y) donde es una constante arbitraria o un número real
Ejemplo 79. Comprobar si las funciones 3 33),( yxyxf y 2),( yxyyxf
son homogénea e identificar el grado.
En conclusión, la función es homogénea y de grado 1
La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de ).
La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son
funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se sugiere el siguiente procedimiento:
1. Se expresa el ejercicio como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
2. Se comprueba si M, N son homogéneas y del mismo grado
3. Al comprobarse el criterio de homogeneidad, se utiliza el artificio y = vx 4. Se sustituye y = vx lo cual da como resultado una ecuación diferencial
dependiente de las variables v, x, luego de lo cual se puede separar las variables y para su resolución aplicar el método de separación de variables.
Ejemplo 80
),(),(
3 33),(
3 3333),(
3 3)(
3)(),(
),(),(
yxfyxf
yxyxf
yxyxf
yxyxf
yxfn
yxf
),(2
),(
)2
(2
),(
222),(
2)())((),(
yxfyxf
yxyyxf
yxyyxf
yyxyxf
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 37 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
)()1)(1(
ln)1)(1(
ln
)1)(1(lnln
)1ln(2
1ln)1ln(
2
1
)1()1(:Re
22
22
22
22
22
generalsoluciónyxcx
cyx
x
cyxx
Cyxx
Cy
ydy
x
dx
x
xdxsolver
Ejemplo 81
Ejemplo 82: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y cuya pendiente en
un punto cualquiera es: )1(´x
yy
)()2)(3(
)2ln()3ln(0)2()3(
0)3)(2(
)3(
)3)(2(
)2(
0)3()2(Re
generalsoluciónCyx
yxy
dy
x
dx
xy
dyx
xy
dxy
dyxdxysolver
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 38 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y’+ Py = Q donde P y Q son
funciones de x únicamente, ó constantes. Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = 0, es Homogénea. Procedimiento de solución (según sugerencia de Granville):
1. Expresar el problema en la forma y’+ Py = Q
2. Utilizar el artificio y = uz, derivar considerando que u , z son funciones de x, y,
reemplazar en la ecuación propuesta:
QzPudx
du
dx
dzu
QPuzdx
duz
dx
dzu
*
3. Calcular u integrando 0 Pudx
du ,Por facilidad de resolución, en el cálculo de u
es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.
4. Calcular z integrando integrando Qdx
dzu , reemplazando previamente el valor
de u calculado en el punto .
5. Expresar la respuesta multiplicando u*z Ejemplo 83 Resolver la ecuación y’ – y = ex
)(082
81*2*222
ln2ln2
ln
)21ln(ln
0)21(
0)21()21(
21(
0)21(
0)1(
0)()(
1hom,
0)(
2
22
2
21
particularsolucionxyx
cccxyx
CxyxCx
yxx
cvx
v
dv
x
dx
xv
xdv
xv
vdx
xdvdxv
dxvxdvvdx
dxvxxxdvvdxx
xdvvdxdyvxy
gradodeogeneasfuncionessonyxNxM
dxyxxdyx
yx
dx
dy
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 39 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Sugerencia de aplicación del método anterior Este método parte del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación y’ +py = q.
Resolviendo la ecuación 0 Pudx
du tenemos:
ePdx
uPdxuPdxu ln0ln
Sustituyendo en Qdx
dzuenudoSustituyen e
Pdx
uzyendosustituyenyegrandodxQdz ePdx
int
CuQdxuy
uegrantefactoruncomodoconsideran ePdx
*
:int
1
Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de solución
Ejemplo 84 55
3'
x
x
yyresolver
cxyuzy
Solución
cxzdx
dz
dx
dzu
zdecálculo
uudx
du
udeCálculo
zudx
du
dx
dzu
uzdx
dzu
dx
duz
dx
dzu
dx
duz
dx
dyzuyArtificio
yy
e
eee
e
e
e
e
x
xxx
x
x
x
x
.5
.4
0
.3
,*.2
'.1
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 40 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuaciones diferenciales exactas (EDE). “La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 se llama EDE si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y). La condición necesaria y suficiente para que sea M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 EDE es:”
dx
dN
dy
dM
Para la solución de este tipo de ecuaciones se sugieren varios métodos, que los explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios: Método sugerido por Earl Rainville: Ejemplo 85. resolver la ecuación 3x(xy – 2)dx + (x3 + 2y)dy = 0 1.- Comprobamos si es una EDE:
23
22
32
363
xdx
dNyxN
EDEdx
dN
dy
dM
xdy
dMxyxM
Cy
Cdxy
CuQdxuy
u
u
arítmicriteriosAplicando
u
xx
yy
xx
xxx
x
exe
ee
x
xx
dx
5
(*(
(*(*(
*
(
ln*ln(lnln
:coslog
55
3'
)5)5
)5)5)5
)5
)5
5
3
33
1
3
3)5ln(
)5ln(5
3
3
3
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 41 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
2. Determinamos F tomando M = dF/dx ó N = dF/dy según la facilidad que presente. dF/dx = M = 3x2y – 6x entonces: F = x3y – 3x2 + C(y) Se integró respecto a X manteniendo constante Y Determinamos C(y) considerando que la función F calculada satisface también a dN/dy:
)(3
3
2'
2'
223
223
2
)()(
3
)(
3
SoluciónCyxyxCFcomo
yxyxF
yCyC
yxNdy
dFCx
dy
dF
yy
y
Ejemplo 86 . resolver la ecuación 03223 dyyydyxdxxydxx utilizando la sugerencia
de Kisielov-Makarenko. Se comprueba que es EDE; y, a continuación:
SoluciónCyxyx
cywx
dyywdwdxx
xdyydxdwdx
dyxy
dx
dwxywsi
dyyxdyydxxydxx
dyyydyxdxxydxx
424
424
33
33
3223
)(2
424
0
:
0)(
0
Factores integrantes
Para aplicar estos factores integrantes, es suficiente recordar las siguientes diferenciales exactas que frecuentemente se presentan
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 42 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
22
2
2
)(arctg
)(
)(
)(
yx
ydxxdy
x
yd
y
ydxxdy
x
yd
y
xdyydx
y
xd
ydxxdyxyd
Determinación de factores integrantes.
Se sigue el siguiente procedimiento: Siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una
función (x,y) que sea factor integrante de tal manera que la ecuación Mdx + Ndy = 0
sea exacta.
xdeexclusivafunción
dx
dN
dy
dM
N
dx
dN
dy
dM
dx
dN
dy
dM
dx
dN
dx
dN
dy
d
dy
dM
dy
dM
dx
dN
dx
dN
Ndx
dM
dy
d
yxx
x
x
yxyxyxyx
'
1'
)(
0
}{}{
),()(
)(
)(
),(),,(),(),,(
De lo anterior, se deduce que:
1.- Si )(1
xfdx
dN
dy
dM
N
es función exclusiva de x , entonces
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 43 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
egrantefactorseráedxxf
int)(
2.- Si )(1
ygdx
dN
dy
dM
M
es función exclusiva de y, entonces
egrantefactorseráedyyg
int)(
Si ninguna de las condiciones indicadas se verifica, la ecuación no tiene ningún factor de
integración que sea función exclusivamente de x o de y. Ejemplo 86
CyyxyyxF
cc
Ncyxdy
dF
cyyxF
dxxyyyxMdxF
dx
dN
dy
dMcompruebasederivando
dyyxdxxyyyx
dyyxdxxyyyx
yx
yx
dx
dN
dy
dM
Nxf
xdx
dNxyx
dy
dM
dyyxdxxyyyx
eeee
ee
ee
eee
eeeee
e
eee
xxxx
yy
yxx
y
xx
xxx
xxxxx
x
xdxdxxf
22222222
)()(,
)(,́222
)(
2222
22222
22222222
2222
22)(
2
2
2
222
00
2
)222(
:
0])2()222[(
0])2()222[(
2)2(
)2(2)(
1)(
2242
0)2()222(
Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal Y´+ pY = Qyn
Si n = 0 Es una ecuación lineal Si n = 1 se puede resolver por separación de variable Si n > 1 No es lineal Y = uz
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 44 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
a. calculamos u manteniendo la constante de integración C=0. b. Calculamos z (como en el análisis del tema anterior, manteniendo la igualdad a Q unzn ,
es decir:
nnzQudx
dzu
Ejemplo 87. Resolver la ecuación diferencial xydx
xdy22 considerándola como lineal y,
COMPROBAR SU RESPUESTA RESOLVIENDOLA COMO ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA
Solución como ecuación lineal:
64. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de II orden con coeficientes constantes. Sea la ecuación Y’’ + PY’ + QY = 0 (1) donde P, Q son constantes, para encontrar la solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:
nn zQuPuzdx
zdu
dx
udz
xcxyuzy
xcz
dx
dzu
xux
u
dx
du
zx
u
dx
du
dx
dzu
x
zu
dx
duz
dx
dzuuzy
Qpyyx
yy
2
22
02
22
2*
*2
'22
´
2
2
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 45 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
20Pr0Pr
0Pr
:
'''
:
22
2
2
QrQre
qeeer
doSustituyen
eryrey
Derivando
ey
rx
rxrxrx
rxrx
rx
Entonces, si r es la solución de la ecuación (2), será la solución de la ecuación (1). A la ecuación (2) se la conoce como SOLUCION AUXILIAR O ECUACION CARACTERISTICA DE LA ECUACION, y, dependiendo de las soluciones de la ecuación (2), se presentan tres casos:
1. Si r1 y r2 son raíces reales e iguales (r1 = r2), la solución es: eCeCrr
xy2
2
1
1
2. Si r1 y r2 son raíces reales y distintas (r1 r2), la solución es: eCeCxx
y2
2
1
3. Si r1 y r2 son raíces imaginarias, la solución es: bxbxy CCeax
sencos21
Donde a, b donde a, b se determinan resolviendo la
ecuación cuadrática por medio de la fórmula Ax2 + Bx + C:
biar
A
ACB
A
Br
A
ACBBr
2
4
2
2
4
2
2
Donde: a = A
B
2 , b =
A
ACB
2
42
Para una mejor comprensión, la ecuación característica se la expresará con D en lugar de r, lo que permitirá relacionar con la DERIVADA.
Ejemplo 88 : Resolver la ecuación y” +4y’ +4y = 0 Ecuación característica: r2 + 4r + 4 = 0
(r + 2)2 = 0 r1 = r2 = -2
eCeCxx
Xy2
2
2
1
Ejemplo 89. resolver la ecuación y” +y’- 2 = 0
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 46 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
Ecuación característica: r2 + r - 2 = 0
(r + 2)(r – 1) = 0 r1 = -2 r2 = 1
eCeCxx
y2
2
1
Ejemplo 90: Encontrar la solución particular de la ecuación y” + 2y’ + 5y = 0 para las condiciones iniciales y=0, x=0, y’=1.
D2 + 2D + 5 = 0 su solución es: D = -1 2i a = -1, b = 2
)2sen2
1
2
1)0cos20sen(1
00sen0cos0
)2cos22sen()2sen22cos('
)(2sen2cos
2
00
2
1
0
2
0
1
21
21
particularsoluciónxy
xxxxy
generalsoluciónxxy
e
CeeC
CeCeC
eeCeeC
eCeC
x
xxxx
xx
64. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes Dada la ecuación diferencial de la forma: Yn + p1Y n-1 + p2Y n-2 + ..............+ pnY = 0 su ecuación característica será: rn + p1r n-1 + p2r n-2 + ..............+ pn = 0, donde r es un factor diferencial que representa a cada derivada y su grado correspondiente, algunos editores prefieren expresarlo como Dn + p1D n-1 + p2Dn-2 + ..............+ Dn = 0 Resolviendo la ecuación característica, se encuentran sus raíces o soluciones y, dependiendo de ellas el resultado se irá CONSTRUYENDO según se presenten los tres casos antes indicados.
Ejemplo 91: resolver 0512104 yyyyyIIIIIIIV
0512104 rrrrIIIIIIIV
r1 = r2 = 1; r3 = r4 = 1 2i
xxxy eCeCeCeCxxxx
2sen2cos4321
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 47 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
65. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes Sea la ecuación: Yn + p1Y n-1 + p2Y n-2 + ..............+ pnY = R(x) La solución viene dada por: Y = yh + yc, donde: Yh es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y,
Yc es cualquier solución particular de la ecuación originalmente planteada. Una vez que se ha explicado la solución de Yh, a continuación se detalla las sugerencias para resolver Yc, y completar el estudio para resolver una EDLNH, para lo que se requiere, aprender a CONSTRUIR UNA ECUACION HOMOGENEA PARTIENDO DE UNA SOLUCION PARTICULAR, como se explica a continuación: La propuesta es encontrar la ecuación homogénea partiendo de la solución, es decir, por
ejemplo, si el resultado es Ceax, proviene de una raíz D=a o del factor (D-a); análogamente,
CX eax , aparece cuando proviene de (D-a)2, respuestas como C eaxcosbx ó C eaxsenbx
corresponden a D=a bi o al factor [(D – a)2 + b2]. Lo que se deberá considerar simplemente es que si en la solución particular existen coeficientes, estos son irrelevantes, Ejemplo 92: Encontrar la ecuación homogénea cuya solución es y = 4e2x + 3e-x
4e2x Ce2x m = 2 (m – 2)
3e-x Ce-x m = -1 (m + 1) (D – 2)(D + 1) = 0
D2 - D – 2 = 0 Y” - Y’ – 2Y = 0 Una vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS, que consiste en definir o calcular dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
Se debe recordar que la propuesta del método es convertir a la EDLNoH propuesta en una EDLHcon coeficientes constantes.
Ejemplo 93 Resolver la ecuación: Y” + Y’ – 2Y = X + 5cos2X
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 48 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
senxxxececYg
generalSolución
ecuacionesdesistemasiguienteelobtienese
propuestaldiferenciaecuaciónlaenemplazo
xDsenxCcy
xDxCsenBcy
xDsenxCBxAyc
YcdeecoeficientdeaciónDeter
xDsenxCBxAececYg
parcialgeneralSolución
DDDD
YcyYhdenUnificació
DbaDbax
DDxeex
YcdeCálculo
ececyDDDD
YhdeCálculo
xx
xx
oxx
xx
k
DCBA
AB
B
DC
DC
22cos62
1
.6
Re
242cos4
2cos222
22cos
min.5
22cos
.4
0)4()1)(2(
.3
2)(2,02cos5
0,0
.2
0)1)(2(02
.1
2
2
1
,,
,
2
2
1
22
2222
0
2
21
2
2612
1
02
22
062
4026
Hemos visto que el método de los coeficientes indeterminados es aplicable a la solución de ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución particular de la E.D.L.H. con coeficientes constantes.
Matrices y Cálculo Diferencial e integral 49 Ing. M.Sc. Washington Medina G.
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