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Transformador monofΓ‘sico com fator de potΓͺncia constante na carga. Modelo em Simulink
Introdução
A tensΓ£o no secundΓ‘rio do transformador depende do valor de corrente e do fator de potΓͺncia (fdp) da carga, variando de valor mesmo que a tensΓ£o no lado do primΓ‘rio seja mantida constante.
Se se considerar uma situação tΓpica de um transformador a ligar duas entidades distintas, com um fornecedor de energia elΓ©trica a ligar a rede de abastecimento ao primΓ‘rio e um cliente com a instalação de utilização ligada ao secundΓ‘rio, percebe-se que esta caracterΓstica do transformador constitui um ponto a merecer especial atenção das duas entidades.
O cliente necessita de um valor de tensΓ£o adequado Γ‘s caracterΓsticas dos equipamentos instalados, mas Γ© ele que provoca a variação da tensΓ£o ao ligar e desligar equipamentos, por outro lado, o fornecedor, que sΓ³ pode agir a partir do lado do primΓ‘rio, nΓ£o sabe antecipadamente que equipamentos serΓ£o ligados pelo cliente nem o fdp daΓ resultante e assume muitas vezes compromisso contratual de manter o valor da tensΓ£o no cliente controlado, apesar das variaçáes de carga criadas por este.
A curva teórica de variação da tensão no secundÑrio em função da corrente e do fdp da carga, carateriza o funcionamento do transformador e constitui uma boa ferramenta de anÑlise desta situação.
Como a tensão depende de duas variÑveis, corrente e fdp, é usual, para simulação, fixar um valor para uma delas, por exemplo o fdp enquanto se faz variar a corrente desde zero até ao valor nominal. A curva assim obtida apresenta a variação da tensão relativamente à corrente, mas apenas para aquele fdp.
Repetindo o procedimento para outros valores de fdp, obtΓͺm-se outras tantas curvas, uma para cada fdp.
Problema
Calcular a tensΓ£o no secundΓ‘rio, mantendo constante um valor predefinido para o fdp do secundΓ‘rio.
Um cÑlculo da tensão no secundÑrio, baseada no circuito equivalente do transformador, com restrição de manter constantes a tensão e fdp no primÑrio, pode realizar-se pela aplicação simples das Leis de Ohm e Kirchhoff. Contudo o valor do fdp que resulta para o secundÑrio (carga) varia com a corrente, não permanece constante como se pretende.
A manutenção de um valor constante para o fdp da carga durante o cÑlculo, obriga a ajustar o modelo, para além da simples aplicação das Leis enunciadas.
Apresentam-se dois exemplos, em que se mantΓͺm constantes a tensΓ£o e o fdp no primΓ‘rio e se calculam a tensΓ£o e o fdp no secundΓ‘rio em dois pontos de funcionamento distintos. Comparem-se no final os valores do fdp resultantes para o secundΓ‘rio.
Vai ser usado nos exemplos um transformador mono-fΓ‘sico com as seguintes caracterΓsticas:
π = 750 ππ΄ ; π1 = 150 π ; π2 = 300 π ; π ππ = 1,88 πΊ ;
πππ = 13,19 πΊ
O modelo de transformador (fig. 1), Γ© o circuito equiva-lente aproximado reduzido ao primΓ‘rio (circuito de Steinmetz), numa versΓ£o simplificada (fig. 2) que nΓ£o influencia as conclusΓ΅es.
fig. 1 - Circuito equivalente aproximado do
transformador reduzido ao primΓ‘rio
A simplificação consiste em desprezar o ramo paralelo com a resistΓͺncia de perdas no ferro e a reatΓ’ncia de magnetização, π π π πππ, representados a cinzento na fig. 1.
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fig. 2 - Circuito equivalente simplificado como vai ser
considerado nos exemplos fig. 3 - Diagrama vetorial geral de correntes e tensΓ΅es
correspondente ao circuito da fig. 2.
π2β² e πΌ2
β² representam a tensΓ£o e a corrente do secundΓ‘rio e mantΓͺm a desfasagem observada entre π2 e πΌ2.
A tensΓ£o e o fdp do lado do primΓ‘rio sΓ£o mantidos constantes nos dois exemplos.
π1 = 150 β 0ΒΊ
cos π1 = 0,8π (π1 = β36,87ΒΊ)
Exemplo 1: CΓ‘lculo da tensΓ£o e fdp no secundΓ‘rio para uma corrente de 2 A.
πΌ1 = 2 β β 36,87ΒΊ π΄
Aplicando a lei de Kirchhoff na malha do circuito equivalente,
π2β² = π1 β (π ππ + ππππ)ΓπΌ1
π2β² = 150 β 0 β (1,88 + π13,19)Γ2 β β 36,87 = 132,51 β β 8,18ΒΊ π
Como πΌ2β² = πΌ1, a desfasagem entre a corrente e a tensΓ£o no secundΓ‘rio Γ©
π2 = π(πΌ2β²) β π(π2
β²) = β36,87 β (β8,18) = β28,69 ΒΊ
No ponto de funcionamento deste exemplo, o fdp resultante para o secundΓ‘rio Γ©:
cos π2 = 0,88π
π2 = β28,69 ΒΊ
Como pode ser observado na fig. 4.
fig. 4 - Diagrama vetorial de correntes e tensΓ΅es correspondente ao exemplo 1.
Exemplo 2: CΓ‘lculo da tensΓ£o e fdp no secundΓ‘rio para uma corrente de 5 A.
πΌ1 = 5 β β 36,87 π΄
π2β² = 150 β 0 β (1,88 + π13,19)Γ5 β β 36,87 = 113,18 β β 24,60 π
Desfasagem entre a corrente e a tensΓ£o no secundΓ‘rio
π2 = π(πΌ2β²) β π(π2
β²) = β36,87 β (β24,60) = β12,27 ΒΊ
O fdp resultante para o secundΓ‘rio neste exemplo Γ©:
cos π2 = 0,98π
π2 = β12,27 ΒΊ
Como pode ser observado na fig. 5.
fig. 5 - Diagrama vetorial de correntes e tensΓ΅es
correspondente ao exemplo 2.
Conclusão: do primeiro para o segundo exemplo o objetivo de manter constante o valor do fdp do secundÑrio não é atingido só com a aplicação das leis de Ohm e Kirchhoff.
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A variação da corrente de 2 para 5 A, teve como consequΓͺncia a passagem do fdp de 0,88 para 0,98 com a correspondente variação na desfasagem entre a tensΓ£o e a corrente no secundΓ‘rio de -28,69ΒΊ para -12,27ΒΊ.
Pode ver-se na fig. 6 e na fig. 7, a variação do valor do fdp e do angulo quando a simulação é alargada a todos os
valores de corrente no secundΓ‘rio entre 0 e 5 A (πΌ2πβ² ).
fig. 6 - Variação do angulo de desfasagem entre tensão
e corrente no secundÑrio em função da corrente no
secundΓ‘rio
fig. 7 - Variação do fdp do secundÑrio em função da
corrente no secundΓ‘rio
solução
A solução para manter o fdp constante no secundÑrio tem de respeitar a restrição de manter constante a tensão no primÑrio.
Se a questão se resumisse ao cÑlculo num ponto de funcionamento único, a solução estaria facilitada, com o desenvolvimento de um método de cÑlculo iterativo e as leis de Ohm e Kirschhoff seriam suficientes.
Como se pretende desenhar uma curva e esta é obtida com os resultados da aplicação repetida do cÑlculo a uma elevada quantidade de pontos de funcionamento, o processo jÑ requere uma abordagem diferente da aplicação simples das leis enunciadas.
Propáe-se uma solução que tem por base algum desenvolvimento matemÑtico envolvendo grandezas do diagrama vetorial de tensáes e correntes como o da fig. 5, trigonometria, teorema de PitÑgoras e equaçáes de grau superior a 1. Ao tornar desnecessÑrio o cÑlculo iterativo, fica facilitada a implementação da solução num programa de simulação tipo Simulink, em que o modelo é repetidas vezes aplicado para se obter a curva pretendida.
Como resultado obter-se-Γ£o algumas expressΓ΅es matemΓ‘ticas que constituirΓ£o o modelo de simulação, apesar de cada uma delas nΓ£o representar em particular qualquer lei ou expressΓ£o do domΓnio da eletrotecnia.
Para maior clareza, revejam-se as variÑveis e a sua localização antes de se passar ao desenvolvimento.
fig. 8 - Diagrama vetorial correspondente ao circuito equivalente
fig. 9 - Grandezas a manter constantes durante a
simulação: π1 = 150 β 0ΒΊ e πππ π2 = 0,8π
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fig. 10 - Grandeza a calcular fig. 11 - Grandeza a variar entre os limites 0A e 5A
fig. 12 - Grandezas a variar de forma dependente ππππ ;
ππ ππ ; ππππ
e π1 fig. 13 β Triangulo de tensΓ΅es
Passe-se Γ anΓ‘lise e observe-se em particular do triangulo de tensΓ΅es formado pelos vetores [π1, π2β² , ππππ
] e os
Γ’ngulos π2 e π da fig. 13.
π2 = angulo correspondente ao fdp pretendido
π = ππ‘ππ (πππ
π ππβ )
SΓ£o ambos independentes do ponto de funcionamento, tΓͺm por isso valores constantes durante a simulação
(Nota: neste exemplo considera-se uma carga indutiva, logo o angulo π2 de desfasagem entre a tensΓ£o e corrente no secundΓ‘rio Γ© negativo e o angulo π correspondente Γ impedΓ’ncia equivalente Γ© positivo.)
Observem-se agora os Γ’ngulos πΌ e π½.
π½ = 180ΒΊ + π2 [1]
πΌ = 360ΒΊ β π½ β π [2]
Os Γ’ngulos πΌ e π½, em consequΓͺncia tambΓ©m mantΓͺm valores constantes durante a simulação.
Considere-se o angulo πΌ dividido em dois Γ’ngulos, π1 e π2 e as variΓ‘veis assinaladas na fig. 14.
Desenvolvendo o seno do angulo Ξ±.
b c
d
a1 a2
1V
'
2V
ZeqV
fig. 14 β Diagrama com as variΓ‘veis a considerar no cΓ‘lculo.
π ππ πΌ = π ππ(π1 + π2) = π ππ π1 πππ π2 + π ππ π2 πππ π1 [3]
Como
π ππ π1 =π
π2β² πππ π1 =
π
π2β²
π ππ π2 =π
ππππ πππ π2 =
π
ππππ
Substituindo na eq. [3].
π ππ πΌ =π
π2β²
π
ππππ+
π
ππππ
π
π2β² =
π(π + π)
π2β²ππππ
Como.
π1 = π + π [4]
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π ππ πΌ =π1π
π2β²ππππ
π =π2
β²πππππ ππ πΌ
π1 [5]
Aplicando agora o teorema de PitΓ‘goras aos triΓ’ngulos [π2β², b, d] e [ππππ, d, c].
{π2
β²2= π2 + π2
ππππ2 = π2 + π2
{π2β²2
βππππ2 = (π2 + π2) β (π2 + π2)
β¦{π2
β²2βππππ
2 = π2 β π2
β¦
Substituindo π = π1 β π, retirado da eq. [4].
{π2β²2
βππππ2 = (π1 β π)2 + π2
β¦{π2
β²2βππππ
2 = π12 + π2 β 2π1π + π2
β¦{π2
β²2βππππ
2 = π12 β 2π1π
β¦
Explicitando π.
π =π1
2 β π2β²2
+ππππ2
2 π1 [6]
Aplicando o teorema de PitΓ‘goras ao triangulo [ππππ, d, c]
ππππ2 = π2 + π2 [7]
Substituindo d e c das equaçáes [5] e [6].
ππππ2 = (
π2β²πππππ ππ πΌ
π1)
2
+ (π1
2 β π2β²2
+ππππ2
2 π1)
2
Desenvolvendo.
ππππ2 =
π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ
π12 +
(4 π12) (4)
(π12 β π2
β²2+ππππ
2)2
4 π12
(1)
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + (π1
2 β π2β²2
+ππππ2)
2 [8]
Considerando temporariamente uma variΓ‘vel intermΓ©dia β2.
β2 = ππππ2 β π2
β²2 [9]
e substituindo ππππ2 β π2
β²2 por β2 na eq. [8].
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + (π1
2 + β2)2
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + (π1
2)2
+ (β2)2 + 2π12β2
Voltando a substituir a variΓ‘vel temporΓ‘ria β2 pela eq. [9].
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + π1
4 + (ππππ2 β π2
β²2)
2+ 2π1
2(ππππ2 β π2
β²2)
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + π1
4 + ((ππππ2)
2+ (π2
β²2)
2β 2ππππ
2π2β²2
) + 2π12ππππ
2 β 2π12π2
β²2
4 π12ππππ
2 = 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ + π1
4 + ππππ4 + π2
β²4β 2ππππ
2π2β²2
+ 2π12ππππ
2 β 2π12π2
β²2
Reordenando as parcelas para melhor clareza do passo seguinte.
π2β²4
+ 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ β 2ππππ
2π2β²2
β 2π12π2
β²2+ π1
4 + ππππ4 + 2π1
2ππππ2 β 4 π1
2ππππ2 = 0
π2β²4
+ 4π2β²2
ππππ2π ππ2 πΌ β 2ππππ
2π2β²2
β 2π12π2
β²2+ π1
4 + ππππ4 β 2π1
2ππππ2 = 0 [10]
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π2β²4
+ π2β²2
(4ππππ2π ππ2 πΌ β 2ππππ
2 β 2π12) + π1
4 + ππππ4 β 2π1
2ππππ2 = 0 [11]
Considerando temporariamente uma variΓ‘vel intermΓ©dia z.
π§ = π2β²2
[12]
E duas constantes w e k.
π€ = 4ππππ2π ππ2 πΌ β 2ππππ
2 β 2π12
π = π½ππ + π½πππ
π β ππ½πππ½πππ
π
[13]
[14]
Pode reescrever-se a eq. [11].
π§2 + π€π§ + π = 0 [15]
Como equação do segundo grau tem as seguintes soluçáes para z:
π§ =βπ€ + βπ€2 β 4π
2 [16]
π§ =βπ€ β βπ€2 β 4π
2
[17]
Substituindo agora nas equaçáes [16] e [17] π por π2β²2
da eq. [12].
π2β²2
=βπ€ + βπ€2 β 4π
2
π2β²2
=βπ€ β βπ€2 β 4π
2
TΓͺm-se finalmente as soluçáes para a equação [11] que Γ© do grau 4.
π2β² = +ββπ€ + βπ€2 β 4π
2 [18]
π2β² = βββπ€ + βπ€2 β 4π
2 [19]
π2β² = +ββπ€ β βπ€2 β 4π
2 [20]
π2β² = βββπ€ β βπ€2 β 4π
2 [21]
As quatro expressΓ΅es acima constituem as raΓzes da equação [11] numa conceção puramente matemΓ‘tica, contudo, numa anΓ‘lise ao circuito equivalente, rapidamente se encontrarΓ£o as que nΓ£o fazem sentido nesse contexto, ficando apenas naturalmente a que constitui a solução procurada.
Tome-se como exemplo um ponto de funcionamento correspondente aos seguintes dados do exemplo 1:
Elementos do circuito equivalente : π ππ = 1,88 πΊ; πππ = 13,19 πΊ;
TensΓ£o constante no primΓ‘rio : π1 = 150 π;
Fator de potΓͺncia pretendido para o secundΓ‘rio : cos π2 = 0,8π (π2 = β36,87ΒΊ);
Corrente no ponto de funcionamento do exemplo : πΌ1 = 2 β β 36,87ΒΊ π΄.
Desenvolvimento do cΓ‘lculo.
π½ = 180ΒΊ + π2 = 180 + (β36,87) = 143,13ΒΊ
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π = ππ‘ππ (πππ
π ππβ ) = (13,19
1,88β ) = 81,89ΒΊ
πΌ = 360ΒΊ β π½ β π = 360 β 143,13 β 81,89 = 134,98ΒΊ
πππ = βπ ππ2 + πππ
2 = β1,882 + 13,192 = 13,32 πΊ
ππππ = ππππΌ1 = 13,32Γ2 = 26,65 π
π€ = 4ππππ2π ππ2 πΌ β 2ππππ
2 β 2π12
π€ = 4(26,65)2π ππ2(134,98) β2(26,65)2 β 2(150)2 = β44999,10
π = π14 + ππππ
4 β 2π12ππππ
2
π = (150)4 + (26,65)4 β 2(150)2(26,65)2 = 474802269,64
Calculando as raΓzes
π2β² = +ββ(β44999,10) + β(β44999,10)2 β 4Γ474802269,64
2= 167,65 π
π2β² = βββ(β44999,10) + β(β44999,10)2 β 4Γ474802269,64
2= β167,65 π
π2β² = +ββ(β44999,10) β β(β44999,10)2 β 4Γ474802269,64
2= 129,98 π
π2β² = βββ(β44999,10) β β(β44999,10)2 β 4Γ474802269,64
2= β129,98 π
Confrontando estes valores com o circuito equivalente, verifica-se a existΓͺncia de duas raΓzes negativas que podem ser excluΓdas por nΓ£o fazerem sentido no contexto. Restam os valores positivos.
Como se pode observar na fig. 15, o vetor π2β² desloca-se
sobre a linha ponteada que representa o lugar geomΓ©trico da ponta do vetor π2
β² , quando a corrente do secundΓ‘rio varia da situação de vazio (πΌ1 = 0 π΄ ; π2
β² = 150 π ) atΓ© Γ situação de curto-circuito ( π2
β² = 0 π ), sendo por isso sempre inferior ao valor de π1 = 150 π, por esse motivo pode desprezar-se o valor 167,65 V.
1V
'
2V
ZeqV
fig. 15 β Lugar geomΓ©trico da ponta do vetor π2β².
O valor procurado é 129,98 V e correspondente à equação [20] que é a que se deve usar na simulação.
Implementação em Simulink.
O modelo consiste apenas na implementação das equaçáes [1], [2], [13], [14] e [20], todavia, no modelo da fig. 16, tambΓ©m foram implementadas as equaçáes [18], [19] e [21] para se poderem observar as outras raΓzes.
O Clock representa o mΓ³dulo de πΌ2β² . Os valores
mΓnimo e mΓ‘ximo para a simulação sΓ£o 0 e 2 como pode ver-se na fig. 17 com janela da opção:
βSimulation/Configuration Parameters β¦β.
fig. 16 βModelo implementado em Simulink.
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Para facilitar a compreensΓ£o do modelo, os cΓ‘lculos estΓ£o divididos em dois subsistemas: βCΓLCULO DAS CONSTANTES W; Kβ e βCΓLCULO DE V'2β.
Apresentam-se a seguir e crΓͺ-se que sejam suficientemente claros para dispensarem explicaçáes adicionais.
fig. 17 β Atribuição de limites Γ variΓ‘vel πΌ2β² .
fig. 18 β Interior do subsistema ββCΓLCULO DAS CONSTANTES W; Kββ da fig. 16.
fig. 19 β Interior do subsistema βCΓLCULO DE V'2β da fig. 16.
Observe-se que na fig. 16, para πΌ2β² = 2 π΄ , constam os
quatro valores calculados teoricamente para π2β², dos quais
apenas interessa o correspondente Γ eq. [20], π2β² =
129,98 π.
Alterando os limites da corrente πΌ2β² (fig. 17) para 0 e 5,
obtΓ©m-se a curva para todos os valores de corrente.
Podem comparar-se na fig. 20 a curva de π2β² obtida com a
solução proposta para fdp constante no secundΓ‘rio (linha contΓnua), com a que se obtΓ©m com um modelo de fdp constante no primΓ‘rio (linha ponteada).
Para a corrente nominal, observa-se uma redução aproximada de 19,5% no valor da tensΓ£o π2
Ⲡcalculada com a solução proposta.
fig. 20 βTensΓ£o π2β² com fdp constante no secundΓ‘rio
e fdp constante no primΓ‘rio.
Considera-se que este valor percentual (19,5%) possa ter alguma variação consoante o transformador, contudo o valor encontrado não é negligenciÑvel e justifica a adoção de uma metodologia mais rigorosa com a da solução proposta.