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• Dres. Löbel, Borndörfer und Weider GbR
• Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)
Steffen Weíder
LBWLBW
Integrierte Umlauf- und Dienstplanung im ÖPNV
Steffen Weider
Frico 2007
Steffe
n
Weider
LBW
LBW
Planung im
Nahverkehr
KostendeckungFahrpreiseBaukosten
NetzwerktopologieFahrzeiten
LinienBedienungshäufigkeit
TakteVerbindungen
FahrplanSensitivität
FahrzeugumläufeAblösestellen
DiensteDienstmix
DienstreihenfolgeFairness
PersonaleinsatzStörungen
Betriebsleitung
bereich
sübergreife
nd
Bereich
hofübergreife
nd
Betrie
bsh
of
gruppenübergreife
nd
Liniegruppen
linienübergreife
nd
Linien
umlaufübergreife
nd
Umläufe
B1
VS-O
PT
B1
DS-O
PT
TS-O
PT
IS-O
PT
B15
BS-O
PT
Roste
r
Steffen Weider
LBWLBW
Graphentheoretisches Modell� Umlaufplanung
� Integrierte Planung
� Dienstplanung
Steffen Weider
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IP Modell
=
1, falls Leerfahrt Dienstelement enthält:
0, sonstdt
d tC
=
1, falls Dienstelement von Dienst überdeckt wird:
0, sonstdt
t dD
δ δδ
κ∈
= = ∀
= ∀ ∈
≤ ∀ ∈ Κ
∈
+
− =
=
≤
∈
∑
T
out in
out
T
( ( )) ( ( )) 0, depots , trips
( ( )) 1, \ { , }
,
(ISP) min
(1a)
(1b)
(1c)
(2a)
{0,1} ,
1
(2b)
(3) 0
{0,1}
k
g g
ak a
A
m n
k
a
d y
Ay
B
c x
x v x v g v
x v v V s t
f x K
y b
y
Cx Dy
x
Steffen Weider
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Struktur des Problems
DSPVSP
Kopplungsbedingungen 150.000 Zeilen
28.000 Zeilen
6.000 Zeilen
700.000 Bögen 1.000.000 Dienste
Steffen Weider
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Branch-&-Generate Algorithmus
Rapid BranchingBündelmethode
Löse Umlauf-planungs-problem
Löse Dienst-planungs-problem
Bündel-Update
Stop?
Beginn
Branchingauf Leer-fahrten
Alle fixiert?Branching
auf Diensten
Ende
JaNein
Ja
Nein
Dienst-generator
LP Re-laxierung
Steffen Weider
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Untere Schranke
λλ
λ+− +T T T Tmax min min
s.t.
( )
ist Umlaufplan s.t
( )
ist Dienstp n. la
c D x
x
d C y
y
Problemeigenschaften:
• Das Lagrange-Problem liefert i.A. untere Schranken, keine kompatiblen Lösungen.
• Das Lösen der Einzelprobleme dauert lange.
• Die Einzelprobleme können nur approximativ gelöst werden.
Lagrange-Relaxierung der Kopplungsbedingungen
� Dekomposition in bekannte Einzelprobleme.
Gesuchtes Verfahren:
• Wenig Iterationen bis zu einer guten Lösung,
• Primale Information,
• Schnell.
���� Bündelmethode
Steffen Weider
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Bündel-Methode(Kiwiel [1990], Helmberg [2000])
� Max , X konvex
� � f polyedrisch (stückweise linear)
λ
f
λ1
1fλ
λ2
f̂
λ3
µ µ µλ λ= + −T T( ) ( )f c x b Ax
+ = − −2
1ˆ ˆargmax ( )
2k
k k k
uf
λλ λ λ λ
∈=ˆ ( ) : min ( )
k
kJ
f fµµ
λ λ
∈= + −T T( ) : min ( )x X
f c x b Axλ λ
Steffen Weider
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Dualisierung des quadratischen Problems
2ˆ ˆmax ( )2n
kk k
uf
Rλ
λ λ λ∈
− −(1)
µ µ µ µµ µ
µµ
µ
α λ α
α
α µ
∈ ∈
∈
− −
=
≤ ≤ ∈
∑ ∑
∑
2
1ˆmax ( ) ( )2
s.t. 1
0 1, for all
k k
k
kJ J
J
k
f b Axu
J
(2)⇔
und µ µµ
α ∗
∈
→∑kJ
x x so daß x* eine optimale Lösung von min c Tx , s.t. x ∈X, Ax=b
ist.
Steffen Weider
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Vergleich Bündel- u.a. Verfahrenauf einem Dienstplanungsproblem
Dienstplanungsproblem Ivu41:• 870.500 Spalten,• 3.570 Zeilen • 10,5 Non-zeroes pro Spalte
Primal+dual optimalDual Simplex:
Primal+dual optimalBarrier:
Konvergiert theoretischSubgradient:
Kovergenz + Primalapprox.Bundle+AS:
PrimalapproximationVolume:
SchnellCoordinate Ascent:
250
300
350
400
450
0 20 40 60 80 100
Coordinate Ascent Subgradient Volume Bundle+AS Dual Simplex Barrier
[s]
Steffen Weider
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Primal-Heuristik
� (ISP) zu komplex für einfache Diving/PlungingHeuristiken:
� Backtracking ist notwendig.
� Degeneriertes IP mit sehr vielen Spalten, daher versagen Standard-Branching-Regeln wie
� Branching on Arcs (Ryan, Foster) und
� Branching on Variables (Least Fractional, StrongBranching, etc.).
� LP-Relaxierung ist aufwändig zu berechnen
� Möglichst geringe Tiefe des Suchbaums.
Steffen Weider
LBWLBW
�Perturbation Branching
� Iteratives Perturbieren der Zielfunktion und Lösen des
LPs bis viele Variablen 1 sind.
�Node Selection
� „binäres“ Backtracking
�Untere Schranke mit approx. Bündelmethode
Rapid Branching
Qj2
Qjm/4
Qjm/2
Qjm
Qj-1i
Qj1
Qj4
Steffen Weider
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Vergleich: ZielfunktionswerteRapid Branching und CPLEX 10.0
0
100
200
300
400
500
600
Ivu01 Ivu06 Ivu41 Ivu52
LP Rapid Branching CPLEX
Zielfkt.wert
Steffen Weider
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Vergleich: LaufzeitenRapid Branching und CPLEX 10.0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Ivu01 Ivu52 Ivu41 Ivu06
0
2000
4000
6000
8000
10000
Zeilen Spalten/1e2 NZ/Spalte*1e3
Rapid Branching CPLEX
Bis zu 3.600 Zeilen, 1.200.000 Spalten und durchschnittlich 14 Einträgen pro Spalte
Zeit [s]Anzahl
Steffen Weider
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Stand der Forschung
(ISP) mit Kapazitäts- und
Ressourcenbedingungen
2602093.6987Weider [2006]
(ISP)11767653--Huisman [2004]
(ISP)2394761Freling et al. [2000]
Zwei gekoppelte (SPP) (optimal gel.)----301Friberg & Haase [1997]
(ISP)90382961Freling [1997]
(ISP) ohne Ablösestellen654425728Gaffi & Nonato [1997]
Set Covering + Min. Cost Flow4520111--Patrikalakis et al. [1992]
(DSP) mit Nebenbedingungen41--1821Falkner & Ryan [1992]
Mehrgüterflußproblem mit
Nebenbedingungen
----30017Tosini & Vercellis [1988]
Kostenabschätzung--544561Scott [1985]
Sequentiell gelöst133--1.0001Ball et al. [1983]
AnmerkungdvfgArtikel
Steffen Weider
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Auftragnehmerplanung
6+1Dienstarten6.583 (3.966)Dienstelemente
3:2849:55CPU Std.
2Fahrzeugtypen5+2Depots
121.217Leerfahrten3.698Fahrgastfahrten
4Fahrzeugmengen25Dienstmengen
Dienstschnitt
Fahrzeuge
Dienste
Bezahlte Zeit
Lenkzeit
Methode
—
104
104
—
463:22
7:10
105
155
1.023:16
890:29
IS-OPT
Unternehmen Subunternehmen
DS-OPT
Unternehmen
160
6:45
—
1.032:43
895:47
Steffen Weider
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�Besonders geeignet für Probleme mit vielen 0/1-Variablen oder
mit Blockstruktur.
Weitere Anwendungen vonBündelmethode und Rapid Branching
� Airline Crew Scheduling + Rotationsplanung,
� Umlaufplanung + Wartungsplanung,
� ...
Vielleicht in Zukunft auch für:
� Airline Crew Scheduling (Netline Crew von LH Systems),
� Rostering (Prototyp),
� Umlaufplanung (VS-OPT2).
Wird bereits verwendet für:
Steffen Weider
LBWLBW
Vielen Dank für
Ihre Aufmerksamkeit