Semana 12 [1/63]
Integrales impropias
October 29, 2007
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [2/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [3/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [4/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [5/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [6/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [7/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [8/63]
Definiciones
En la definición de integral de Riemann, dos condiciones fundamentales:
1 Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b
2 Se define para funciones acotadas en [a, b]
Extendemos esto a intervalos no acotados y funciones no acotadas.
Integral Impropia de Primera Especie (Intervalono Acotado)Sea f : [a, +∞) → R diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumpleque:
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x ] y además(ii) Existe el límite definido por
limx→+∞
∫ x
af =
∫ +∞
af
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [9/63]
Definiciones
Análogamente se definen:
i)∫ b
−∞f = lim
x→∞
∫ b
xf
ii)∫ ∞
−∞f =
∫ c
−∞f +
∫ ∞
cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.
Ejemplos:
Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxx
.
Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxxα
.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [10/63]
Definiciones
Análogamente se definen:
i)∫ b
−∞f = lim
x→∞
∫ b
xf
ii)∫ ∞
−∞f =
∫ c
−∞f +
∫ ∞
cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.
Ejemplos:
Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxx
.
Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxxα
.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [11/63]
Definiciones
Análogamente se definen:
i)∫ b
−∞f = lim
x→∞
∫ b
xf
ii)∫ ∞
−∞f =
∫ c
−∞f +
∫ ∞
cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.
Ejemplos:
Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxx
.
Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxxα
.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [12/63]
Definiciones
Análogamente se definen:
i)∫ b
−∞f = lim
x→∞
∫ b
xf
ii)∫ ∞
−∞f =
∫ c
−∞f +
∫ ∞
cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.
Ejemplos:
Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxx
.
Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxxα
.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [13/63]
Definiciones
Análogamente se definen:
i)∫ b
−∞f = lim
x→∞
∫ b
xf
ii)∫ ∞
−∞f =
∫ c
−∞f +
∫ ∞
cf donde la constante c ∈ R puede ser cualquiera.
Ejemplos:
Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxx
.
Dado a > 0 y α 6= 1, estudiar la convergencia de la integral∫ +∞
a
dxxα
.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [14/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [15/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [16/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
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Integrales impropias Semana 12 [17/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
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Integrales impropias Semana 12 [18/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
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Integrales impropias Semana 12 [19/63]
Definiciones
Integral Impropia de Segunda Especie(Funciones no Acotadas)Sea f : [a, b) → R una función no acotada, diremos que f es integrable en[a, b) ssi:
(i) ∀x ∈ (a, b) f es integrable en [a, x ]
(ii) El límite limx→b−
∫ x
af existe.Y si existe se anota
∫ −b
af .
En forma análoga se definen las integrales impropias siguiente:
(i)∫ b
a+f = lim
x→a+
∫ b
xf
(ii)∫ b−
a+f =
∫ c
a+f +
∫ b−
cf , c ∈ (a, b)
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [20/63]
Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ b−
a
dx(b − x)α
para diversos valores de α ∈ R.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [21/63]
Integrales Impropias de Tercera Especie o MixtasSon las que se obtienen combinando integrales impropias de 1◦ y 2◦
especie.
Por ejemplo ∫ +∞
−1
dxx2 =
∫ 0−
−1
dxx2 +
∫ 1
0+
dxx2 +
∫ +∞
1
dxx2 .
Este tipo de integral será convergente ssi cada una de sus componentes esuna integral convergente.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [22/63]
Integrales Impropias de Tercera Especie o MixtasSon las que se obtienen combinando integrales impropias de 1◦ y 2◦
especie.
Por ejemplo ∫ +∞
−1
dxx2 =
∫ 0−
−1
dxx2 +
∫ 1
0+
dxx2 +
∫ +∞
1
dxx2 .
Este tipo de integral será convergente ssi cada una de sus componentes esuna integral convergente.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [23/63]
Integrales Impropias de Tercera Especie o MixtasSon las que se obtienen combinando integrales impropias de 1◦ y 2◦
especie.
Por ejemplo ∫ +∞
−1
dxx2 =
∫ 0−
−1
dxx2 +
∫ 1
0+
dxx2 +
∫ +∞
1
dxx2 .
Este tipo de integral será convergente ssi cada una de sus componentes esuna integral convergente.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [24/63]
Algunos criterios de convergencia
Veremos algunos criterios de convergencia para integrales impropias nonegativas.
Un par de cosas previas:
1 Si F es creciente en [a, +∞), entonces, cuando x → +∞, F (x) → L ∈ Ro bien F (x) → +∞.
2 Si F es una función creciente en [a, b), entonces cuandox → b−; F (x) → L ∈ R o bien F (x) → +∞.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [25/63]
Algunos criterios de convergencia
Veremos algunos criterios de convergencia para integrales impropias nonegativas.
Un par de cosas previas:
1 Si F es creciente en [a, +∞), entonces, cuando x → +∞, F (x) → L ∈ Ro bien F (x) → +∞.
2 Si F es una función creciente en [a, b), entonces cuandox → b−; F (x) → L ∈ R o bien F (x) → +∞.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [26/63]
Algunos criterios de convergencia
Veremos algunos criterios de convergencia para integrales impropias nonegativas.
Un par de cosas previas:
1 Si F es creciente en [a, +∞), entonces, cuando x → +∞, F (x) → L ∈ Ro bien F (x) → +∞.
2 Si F es una función creciente en [a, b), entonces cuandox → b−; F (x) → L ∈ R o bien F (x) → +∞.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [27/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio de comparación)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) tales que:
(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)
entonces:
Si∫ +∞
ag converge entonces
∫ +∞
af converge .
Recíprocamente si∫ +∞
af diverge ⇒
∫ +∞
ag diverge
Ejemplo:
Estudiar la integral∫ +∞
1
|sen x |x2 dx .
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [28/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio de comparación)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) tales que:
(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)
entonces:
Si∫ +∞
ag converge entonces
∫ +∞
af converge .
Recíprocamente si∫ +∞
af diverge ⇒
∫ +∞
ag diverge
Ejemplo:
Estudiar la integral∫ +∞
1
|sen x |x2 dx .
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [29/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio de comparación)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) tales que:
(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)
entonces:
Si∫ +∞
ag converge entonces
∫ +∞
af converge .
Recíprocamente si∫ +∞
af diverge ⇒
∫ +∞
ag diverge
Ejemplo:
Estudiar la integral∫ +∞
1
|sen x |x2 dx .
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [30/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio de comparación)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) tales que:
(∃b ≥ a)(∀x ≥ b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x)
entonces:
Si∫ +∞
ag converge entonces
∫ +∞
af converge .
Recíprocamente si∫ +∞
af diverge ⇒
∫ +∞
ag diverge
Ejemplo:
Estudiar la integral∫ +∞
1
|sen x |x2 dx .
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [31/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio del cociente de funciones)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) y no negativas en [b, +∞), dondeb ≥ a y tales que:
limx→+∞
f (x)
g(x)= L 6= 0
Entonces las integrales impropias∫ +∞
af y
∫ +∞
ag son ambas convergentes
o ambas divergentes.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [32/63]
Algunos criterios de convergencia
Teorema (Criterio del cociente de funciones)Sean f y g funciones continuas en [a, +∞) y no negativas en [b, +∞), dondeb ≥ a y tales que:
limx→+∞
f (x)
g(x)= L 6= 0
Entonces las integrales impropias∫ +∞
af y
∫ +∞
ag son ambas convergentes
o ambas divergentes.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [33/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [34/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [35/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [36/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [37/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Integrales impropias Semana 12 [38/63]
Algunos criterios de convergencia
Usualmente se compara con integrales de la forma:∫ ∞
1
1xα
dx o bien∫ b−
a
1(b − x)α
dx
Y se obtiene:
1
∫ +∞
af (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (x) = L > 0, con α > 1.
2
∫ b
−∞f (x)dx converge si lim
x→+∞xαf (−x) = L > 0 con α > 1.
3
∫ b−
af (x)dx converge si lim
x→b−(b − x)αf (x) = L > 0 con α < 1.
4
∫ b
a+f (x)dx converge si lim
x→a+(x − a)αf (x) = L > 0 con α < 1.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [39/63]
Definición
SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))
donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.
(an) se llama el término general de la serie.
Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n
k=0 ak .
El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [40/63]
Definición
SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))
donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.
(an) se llama el término general de la serie.
Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n
k=0 ak .
El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [41/63]
Definición
SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))
donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.
(an) se llama el término general de la serie.
Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n
k=0 ak .
El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [42/63]
Definición
SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))
donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.
(an) se llama el término general de la serie.
Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n
k=0 ak .
El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [43/63]
Definición
SerieUna serie es un par ordenado (A, (an))
donde A es un subconjunto de R numerable y (an)n≥0 es una numeración(ordenamiento) del conjunto A.
(an) se llama el término general de la serie.
Definimos la sucesión (sn) de las sumas parciales por sn =∑n
k=0 ak .
El valor de la serie existe cuando la sucesión (sn) posee límite. Decimosque la serie converge.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [44/63]
Condiciones para la convergencia
Teorema (Criterio de Cauchy)Sea (an) una sucesión y (sn) la sucesión de sus sumas parciales. La serie∑
ak converge si y sólo si
∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒
∣∣∣∣∣m∑
k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ < ε (1)
Ejemplo:∑ 1k no converge.
TeoremaSi la serie
∑ak converge entonces la sucesión (an) → 0.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [45/63]
Condiciones para la convergencia
Teorema (Criterio de Cauchy)Sea (an) una sucesión y (sn) la sucesión de sus sumas parciales. La serie∑
ak converge si y sólo si
∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒
∣∣∣∣∣m∑
k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ < ε (1)
Ejemplo:∑ 1k no converge.
TeoremaSi la serie
∑ak converge entonces la sucesión (an) → 0.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [46/63]
Condiciones para la convergencia
Teorema (Criterio de Cauchy)Sea (an) una sucesión y (sn) la sucesión de sus sumas parciales. La serie∑
ak converge si y sólo si
∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒
∣∣∣∣∣m∑
k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ < ε (1)
Ejemplo:∑ 1k no converge.
TeoremaSi la serie
∑ak converge entonces la sucesión (an) → 0.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [47/63]
Condiciones para la convergencia
Teorema (Criterio de Cauchy)Sea (an) una sucesión y (sn) la sucesión de sus sumas parciales. La serie∑
ak converge si y sólo si
∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n, m ≥ N, m > n ⇒
∣∣∣∣∣m∑
k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ < ε (1)
Ejemplo:∑ 1k no converge.
TeoremaSi la serie
∑ak converge entonces la sucesión (an) → 0.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [48/63]
Álgebra de series
TeoremaSean
∑ak y
∑bk dos series convergentes. Entonces
1
∑(ak + bk) es convergente y su valor es (
∑ak) + (
∑bk).
2 Para todo λ ∈ R,∑
(λak) es convergente y su valor es λ (∑
ak).
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [49/63]
Álgebra de series
TeoremaSean
∑ak y
∑bk dos series convergentes. Entonces
1
∑(ak + bk) es convergente y su valor es (
∑ak) + (
∑bk).
2 Para todo λ ∈ R,∑
(λak) es convergente y su valor es λ (∑
ak).
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [50/63]
Álgebra de series
TeoremaSean
∑ak y
∑bk dos series convergentes. Entonces
1
∑(ak + bk) es convergente y su valor es (
∑ak) + (
∑bk).
2 Para todo λ ∈ R,∑
(λak) es convergente y su valor es λ (∑
ak).
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [51/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
TeoremaUna serie de términos no negativos converge si y sólo si las sumas parcialesson acotadas superiormente.
TeoremaSea
∑ak una serie de términos no-negativos y convergente. Sea (bk) una
numeración del conjunto A = {ak : k ∈ N}.Entonces
∑bk es convergente y
∑bk =
∑ak .
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [52/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
TeoremaUna serie de términos no negativos converge si y sólo si las sumas parcialesson acotadas superiormente.
TeoremaSea
∑ak una serie de términos no-negativos y convergente. Sea (bk) una
numeración del conjunto A = {ak : k ∈ N}.Entonces
∑bk es convergente y
∑bk =
∑ak .
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [53/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
TeoremaUna serie de términos no negativos converge si y sólo si las sumas parcialesson acotadas superiormente.
TeoremaSea
∑ak una serie de términos no-negativos y convergente. Sea (bk) una
numeración del conjunto A = {ak : k ∈ N}.Entonces
∑bk es convergente y
∑bk =
∑ak .
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [54/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.
Se tiene que si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an
bnexiste. Se tiene:
1 Caso c = 0. Si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
2 Caso c > 0. Se tiene que∑
bk < +∞ si y sólo si∑
ak < +∞.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [55/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.
Se tiene que si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an
bnexiste. Se tiene:
1 Caso c = 0. Si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
2 Caso c > 0. Se tiene que∑
bk < +∞ si y sólo si∑
ak < +∞.
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Series numéricas Semana 12 [56/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.
Se tiene que si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an
bnexiste. Se tiene:
1 Caso c = 0. Si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
2 Caso c > 0. Se tiene que∑
bk < +∞ si y sólo si∑
ak < +∞.
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Series numéricas Semana 12 [57/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.
Se tiene que si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an
bnexiste. Se tiene:
1 Caso c = 0. Si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
2 Caso c > 0. Se tiene que∑
bk < +∞ si y sólo si∑
ak < +∞.
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Series numéricas Semana 12 [58/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Mayoración de series)Sean (an) y (bn) dos sucesiones no negativas de modo que existen n0 yα > 0 tales que, para todo n ≥ n0, an ≤ αbn.
Se tiene que si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
Teorema (Comparación por cuociente)Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que, para todo n ≥ 0, 0 < an, bn ysupongamos que c := lim an
bnexiste. Se tiene:
1 Caso c = 0. Si∑
bk < +∞ entonces∑
ak < +∞.
2 Caso c > 0. Se tiene que∑
bk < +∞ si y sólo si∑
ak < +∞.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [59/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio del couciente)Sea (an) una sucesión de términos positivos y supongamos que r := lim an+1
anexiste.
1 Si r < 1 entonces∑
ak converge.
2 Si r > 1 o r = +∞ entonces∑
ak diverge.
3 Si r = 1 entonces∑
ak puede converger o divergir, es decir, en este casoel criterio no nos ayuda a determinar la convergencia de la serie.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [60/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio del couciente)Sea (an) una sucesión de términos positivos y supongamos que r := lim an+1
anexiste.
1 Si r < 1 entonces∑
ak converge.
2 Si r > 1 o r = +∞ entonces∑
ak diverge.
3 Si r = 1 entonces∑
ak puede converger o divergir, es decir, en este casoel criterio no nos ayuda a determinar la convergencia de la serie.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [61/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio del couciente)Sea (an) una sucesión de términos positivos y supongamos que r := lim an+1
anexiste.
1 Si r < 1 entonces∑
ak converge.
2 Si r > 1 o r = +∞ entonces∑
ak diverge.
3 Si r = 1 entonces∑
ak puede converger o divergir, es decir, en este casoel criterio no nos ayuda a determinar la convergencia de la serie.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [62/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio del couciente)Sea (an) una sucesión de términos positivos y supongamos que r := lim an+1
anexiste.
1 Si r < 1 entonces∑
ak converge.
2 Si r > 1 o r = +∞ entonces∑
ak diverge.
3 Si r = 1 entonces∑
ak puede converger o divergir, es decir, en este casoel criterio no nos ayuda a determinar la convergencia de la serie.
Integrales impropias
Series numéricas Semana 12 [63/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio de la integral impropia)Sea f : [1, +∞) → R
+ una función decreciente.
Se tiene que∑n≥1
f (n) < +∞ equivale a∫ +∞
1f (x) dx < +∞.
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Series numéricas Semana 12 [64/63]
Criterios para analizar convergencia de series de términos no negativos
Teorema (Criterio de la integral impropia)Sea f : [1, +∞) → R
+ una función decreciente.
Se tiene que∑n≥1
f (n) < +∞ equivale a∫ +∞
1f (x) dx < +∞.
Integrales impropias