1
Informatica industriala
Prelucrarea digitala a semnalelorFiltre numerice (cont)
2
Filtre cu raspuns infinit (IIR) ieşirea la un anumit moment depinde nu numai de semnalul de
intrare ci şi de valorile anterioare ale semnalului de ieşire un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite conditii se poate
propaga la infinit (de unde si numele filtrului) formula iesirii pentru un filtru IIR:
k-1 k
y(kT) = Σ bk-i*y(iT) + Σ ak-i*x(iT) i=0 i=0
Aplicând transformata în Z asupra expresiei de mai sus se obţine: m n
Y(z) = Σ bi*Y(z)*z-i + Σ ai*X(z)*z-i
i=0 i=0
unde: m - indexul maxim al coeficienţilor bi diferiţi de zero
n - indexul maxim al coeficienţilor ai diferiţi de zero
3
Filtre cu raspuns infinit (IIR)
transformata in Z a unui filtru IIR: n m
H(z) = Y(z)/X(z) = (Σ ai*z-i)/( 1- Σ bi*z
-i) i=0 i=0
Proprietati ale filtrelor IIR pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru IIR are un
efect mai pregnant (calitativ mai bun) decat un filtru FIR filtrele IIR sunt “reactive” sau cu reactie inversa (feed-back),
datorita termenilor ce contin esantioane ale iesirii pentru anumite valori ale coeficienţilor ai şi bi filtrul IIR devine
instabil şi are tendinţa de a oscila
4
Implementarea filtrelor IIR
forma canonica de implementare a filtrelor IIR
*b1
*b2
*bm
z-1
z-1
z-1
*a1
*a2
*an
x(kT) y(kT)
.......
5
Sinteza filtrelor numerice
Problema: determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a unui filtru numeric, astfel încât efectul produs de filtru să corespundă unor condiţii prestabilite.
Parametri unui filtru: banda de trecere – intervalul de frecvenţe
pentru care filtrul are efect de amplificare banda de blocare – intervalul de frecvenţe
pentru care filtrul are efect de atenuare frecvenţa de tăiere – frecvenţa care
desparte banda de trecere de banda de atenuare
raportul de atenuare – logaritmul raportului dintre amplificarea în banda de blocaj şi
amplificarea în banda de trecere raport de atenuare = 20 lg (Ablocaj/Atrecere)
[decibeli]
|H|
banda de trecere
banda de blocare
panta
frecvenţa de tăiere
Ablocaj
Atrecere
6
Sinteza filtrelor numerice
exista mai multe tehnici de sinteza, relativ complexe Metoda 1
se bazeaza pe functia de transfer a filtrului analogic echivalent, (exprimat in domeniul Laplace)
m
Ha(s) = Ak/(s+sk) unde: sk sunt polii functiei de transfer
k=1
Din această expresie se deduce transformata în Z a filtrului numeric:
m
H(z) = Ak/(1 – eskT*z-1)
k=1
7
Sinteza filtrelor numerice
Metoda 2. Se consideră cunoscut răspunsul unui filtru analogic
echivalent la un semnal de tip impuls. Prin eşantionarea funcţiei răspuns se obţin coeficienţii transformatei în Z a funcţiei de transfer.
t
y(t)H(z) = ai*z-i
ai
8
Clasificarea filtrelor in functie de implementare
filtre in domeniul timp folosite pentru modelarea
formei semnalului: netezire, eliminare valoare constanta, formatare semnal
filtre in domeniul frecventa folosite atunci cand informatia
este continuta in distributia spectrala (amplitudine, frecventa si faza);
scopul este separarea benzilor de frecventa
filtre particulare/speciale folosite atunci cand filtrele
obisnuite (trece sus, jos, banda) nu ajuta
FIR IIR
Domeniul timp
Mediere Un singur pol
Domeniul frecventa
Windowed sinc
Cebyshev
Special FIR special
Proiectare iterativa
9
Filtru de mediere
filtru care actioneaza bine in domeniul timp elimina zgomotele are comportament bun la un impuls treapta
filtrul are efect negativ in domeniul frecventelor: nu filtreaza o banda de frecvente bine definita
filtre derivate (putin) mai bune in domeniul frecventelor: Gaussian, Blackman sau mediere multipla
Implementare: prin convolutie
unde M – numarul de puncte (termeni) din filtru Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului considerat (j=-M/2,
J=+M/2)
10
Filtru de mediere
Caracteristicile filtrului: are un efect foarte bun de
filtrare a zgomotului alb, cu pastrarea in limite acceptabile a raspunsului la treapta unitara;
paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai complexe
factorul de reducere a zgomotului: radacina patrata din numarul de puncte din filtru (ex: 100 puncte reduce zgomotul de 10 ori)
cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte) panta raspunsului la un semnal de tip impuls devine mai oblica
Efectul unor filtre de mediere asupra unui impuls cu zgomot alb:
a semnal initial
b filtru cu 11 puncte
c filtru cu 51 de puncte
11
Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere
Functia de transfer exprimata cu transformata Fourier:
Raspunsul in frecventa al filtrului pentru numar diferit de puncte de
mediere
12
Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere
Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de mediere de 7 puncte
a. forma filtrului la numar variabil de treceri
b. raspunsul in frecventa
c. raspunsul la semnal treapta
d. efectul de atenuare in dB
13
Implementarea filtrului de mediere prin recurenta
exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru de 7 punctey [50] =x [47] + x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53]y [51] = x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] + x [54]
rezulta ca y [51] se poate calcula mai repede pe baza valorii anterior calculate y [50] y [51] = y [50] + x [54] - x [47]
rezulta formula de recurenta in care fiecare nou esantion se calculeaza printr-o suma si o diferenta:
y [i ] = y [i -1] + x [i + p] - x [i - q]
unde: p=(M-1)/2 si q=p+1 formula arata ca iesirea curenta este egala cu iesirea anterioara
plus o diferenta (panta) calculata simetric fata de punctul considerat
14
Filtru Windowed-sinc
pentru separarea benzilor de frecventa
foarte stabile si cu performante ridicate dar necesita timp mai mare de calcul
se cauta un filtru “perfect”: amplificare 1 in banda
de trecere amplificare 0 in banda
interzisa cu trecere verticala la
frecventa de taiere filtrul ideal este de forma
sin(x)/x – functia sinc
15
Filtru Windowed-sinc
functia tinde asimptotic la 0 din considerente practice (de calcul in timp finit)
se limiteaza filtrul printr-o fereastra (window): dreptunghiulara functie Hamming sau Blackman
functia de transfer a filtrului sinc:
h(i) = sin(2πfci)/iπ
unde fc este frecventa de taiere (cutoff frequency) si se exprima ca si o fractie din frecventa de esantionare; fcє (0 - 0,5), conform principiului de esantionare: fmax<1/2fesantionare
16
Filtru Windowed-sinc
formula completa a filtrului cu fereastra Hamming:
unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un factor de normalizare
M se determina cu relatia aproximativa: M=4/(latimea benzii de tranzitie)
Calitatea filtrului in functie de dimensiunea ferestrei
partea “sinc” Fereastra Hamming
17
Filtru Windowed-sinc filtrul nu are un comportament prea bun in domeniul timp, raspunsul la
un impuls treapta genereaza “ripluri” la tranzitia intre stari; este insa recomandat pentru lucrul in domeniul frecventelor, cand se
stie ce frecvente trebuie eliminate pentru a creste factorul de atenuare a benzii de blocare filtrul se poate
aplica de 2 sau mai multe ori, se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de exemplu de la -74dB
(cat are un filtru cu fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane
pentru a obtine un filtru trece sus se scade din semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece jos avand aceeasi frecventa de taiere
un filtru trece banda este o combinatie intre filtru trece sus si filtru trece jos
un filtru de rejectie banda se obtine prin scaderea din semnalul initial a semnalului filtrat cu un filtru banda
Dezavantajul filtrului Windowed-sinc: necesita timp de calcul mare (numar mare de termeni de calculat)
18
Referinte
http://www.dspguide.com/pdfbook.htm