INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação
2) Fundamentos2) Fundamentos 2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos 2.2) Números Inteiros2.2) Números Inteiros 2.3) Funções2.3) Funções 2.4) Seqüências e Somas2.4) Seqüências e Somas 2.5) Crescimento de Funções2.5) Crescimento de Funções
FunçõesFunções
• Def.Def.: Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma : Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma funçãofunção f de f de A em B, denotada por f:AA em B, denotada por f:AB, é uma B, é uma relaçãorelação de A em B tal de A em B tal que:que:– para todo apara todo aDom(f), f(a) contém Dom(f), f(a) contém apenas um elementoapenas um elemento..
f
f
a b=f(a)
BA
FunçõesFunções
fa
BA
NÃO é função:
f
BA
Exemplo de função:
FunçõesFunções
• Observações:Observações:– Se aSe aDom(f), então f(a)=Dom(f), então f(a)=
– Se f(a)={b}, escreve-se f(a)=bSe f(a)={b}, escreve-se f(a)=b– A relação f como definida acima pode ser escrita A relação f como definida acima pode ser escrita
como o conjunto dos pares:como o conjunto dos pares:{(a,f(a)) | a{(a,f(a)) | aDom(f)}Dom(f)}
– o valor a é chamado de o valor a é chamado de argumentoargumento da função e f(a) da função e f(a) é chamado de valor de f para o argumento a.é chamado de valor de f para o argumento a.
FunçõesFunções
• Exemplo1Exemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e sejaf={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}
– Assim, os valores de f de x, para cada xAssim, os valores de f de x, para cada xA são:A são:f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}
– como cada conjunto f(x), para xcomo cada conjunto f(x), para xA, tem A, tem um único um único valorvalor, então , então f é uma funçãof é uma função..
FunçõesFunções
• Exemplo2Exemplo2: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as : Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relaçõesrelaçõesR={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}Então:Então:– R é uma função com Dom(R)={1,2} e Im(R)={x}R é uma função com Dom(R)={1,2} e Im(R)={x}– S S não é uma funçãonão é uma função pois S(1)={x,y} pois S(1)={x,y}
• Exemplo3Exemplo3: Seja A um conjunto arbitrário não-vazio. A função : Seja A um conjunto arbitrário não-vazio. A função identidade de Aidentidade de A, denotada por , denotada por 11AA, é definida por, é definida por
11AA(a)=a(a)=a
Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções
• Def.Def.: Uma função f de A em B é dita “um-para-um” ou : Uma função f de A em B é dita “um-para-um” ou injetorainjetora se e somente se f(a) se e somente se f(a) f(b) sempre que a f(b) sempre que a b. b.
• Exemplo1Exemplo1: Determine se a função f de {a,b,c,d} em : Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.{1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.
abcd
12345
Funções injetorasFunções injetoras
• Exemplo2Exemplo2: Determine se a função f(x)=x: Determine se a função f(x)=x22, dos inteiros , dos inteiros para os inteiros, é injetora.para os inteiros, é injetora.SoluçãoSolução: A função f(x)=x: A função f(x)=x2 2 não é injetoranão é injetora – pois, por exemplo, f(1)=f(-1)=1, mas 1 pois, por exemplo, f(1)=f(-1)=1, mas 1 -1. -1.
• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.
SoluçãoSolução: A função f(x)=x+1: A função f(x)=x+1 é injetoraé injetora. . – Para provar isto, note que x+1 Para provar isto, note que x+1 y+1 quando x y+1 quando x y. y.
Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções
• Def.Def.: Uma função f de A em B é chamada de : Uma função f de A em B é chamada de sobrejetorasobrejetora se e somente se para todo elemento b se e somente se para todo elemento bB B há um elemento ahá um elemento aA com f(a)=b.A com f(a)=b.– Equivalentemente, f é sobrejetora se Im(f)=B (inteiro)Equivalentemente, f é sobrejetora se Im(f)=B (inteiro)
• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida : Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é sobrejetora?sobrejetora?
abcd
1
2
3
Funções sobrejetorasFunções sobrejetoras
• Exemplo2Exemplo2: A função f(x) = x: A função f(x) = x22, , dos inteiros para os dos inteiros para os inteirosinteiros, é sobrejetora?, é sobrejetora?SoluçãoSolução: A função f: A função f não é sobrejetoranão é sobrejetora – pois, por exemplo, não há inteiro x que forneça xpois, por exemplo, não há inteiro x que forneça x22 = -1. = -1.
• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, é : Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, é sobrejetora.sobrejetora.
SoluçãoSolução: Esta função : Esta função é sobrejetoraé sobrejetora, pois:, pois:– para todo inteiro y, para todo inteiro y, sempre hásempre há um inteiro x tal que f(x)=y. um inteiro x tal que f(x)=y.
Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções
• Def.Def.: Uma função f é uma correspondência de um-para-um, ou : Uma função f é uma correspondência de um-para-um, ou uma uma função função bijetorabijetora, se ela for , se ela for injetorainjetora e e sobrejetorasobrejetora..
• ResumindoResumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:
abc
1234
a) Injetora, mas não sobrejetora:
b) Sobrejetora, mas não injetora:
c) Injetora e sobrejetora:
abc
123d
abcd
1234
Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções
• ResumindoResumindo: diferentes tipos de correspondências (continuação):: diferentes tipos de correspondências (continuação):
d) Nem injetora, nem sobrejetora:
e) Não é função:
abcd
1234
abc
1234
Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções
• Def.Def.: Seja f:A: Seja f:AB uma função bijetora. A B uma função bijetora. A função inversa função inversa de f de f é a função que associa a um elemento é a função que associa a um elemento bbB o B o elemento único elemento único aa em A tal que f(a)=b. em A tal que f(a)=b.– A função inversa de f é denotada por fA função inversa de f é denotada por f-1-1..– Portanto, fPortanto, f-1-1(b) = a quando f(a)=b.(b) = a quando f(a)=b.– Uma função bijetora é chamada de Uma função bijetora é chamada de inversívelinversível..
Funções inversasFunções inversas• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal : Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal
que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é inversível e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.inversível e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
• SoluçãoSolução: A função f é inversível, pois é bijetora. A função f: A função f é inversível, pois é bijetora. A função f-1-1 é dada por:é dada por:
ff-1-1(1)=c, f(1)=c, f-1-1(2)=a e f(2)=a e f-1-1(3)=b.(3)=b.
Funções inversasFunções inversas
• Exemplo2Exemplo2: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x22. Esta . Esta função é inversível?função é inversível?
• SoluçãoSolução: : - Como f(-1)=f(1)=1, f não é injetora.- Como f(-1)=f(1)=1, f não é injetora.- Se uma f- Se uma f-1-1 fosse definida, ela teria que associar dois fosse definida, ela teria que associar dois elementos a 1 elementos a 1 f não é inversível. f não é inversível.
Composição de funçõesComposição de funções
• Def.Def.: Sejam:: Sejam:– g uma função do conjunto A para o conjunto B e g uma função do conjunto A para o conjunto B e – f uma função do conjunto B para o conjunto C. f uma função do conjunto B para o conjunto C. A A composiçãocomposição das funções f e g, denotada por f das funções f e g, denotada por f oo g, é g, é
definida por:definida por: (f(f oo g)(a) = f(g(a))g)(a) = f(g(a))
• ou seja, fou seja, f oo g é a função que associa ao elemento ag é a função que associa ao elemento aA o A o elemento elemento associado por f a g(a)associado por f a g(a)
Composição de funçõesComposição de funções
A B C
g f
a g(a) f(g(a))
fog
Composição de funçõesComposição de funções
• Exemplo1Exemplo1: : - Seja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que- Seja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que g(a)=b, g(b)=c e g(c)=a g(a)=b, g(b)=c e g(c)=a- Seja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal- Seja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. - Determine a composição de f e g e a composição de g e f.- Determine a composição de f e g e a composição de g e f.
• SoluçãoSolução::– A composição fA composição f oo g é definida por:g é definida por:
(f (f oo g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2 (f (f oo g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1 (f (f oo g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3
– Note que gNote que g oo f não está definida, pois o contradomínio f não está definida, pois o contradomínio de f não é um subconjunto do domínio de g.de f não é um subconjunto do domínio de g.
Composição de funçõesComposição de funções
• Exemplo2Exemplo2: Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros : Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros para o conjunto dos inteiros definidas por:para o conjunto dos inteiros definidas por:
f(x) = 2x + 3f(x) = 2x + 3 g(x) = 3x + 2 g(x) = 3x + 2
Determine a composição de f e g e a composição de g e f.Determine a composição de f e g e a composição de g e f.
• SoluçãoSolução: : (f(f oo g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7 (g(g oo f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11
FunçõesFunções
• Exemplo3Exemplo3: Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros : Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja f:Apares. Seja f:AB e g:BB e g:BC definida porC definida por
f(a)=a+1,f(a)=a+1, para apara aAAg(b)=2.b, g(b)=2.b, para bpara bBB
Encontre gEncontre g oo f.f.
SoluçãoSolução: g: g oo f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1)f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1) gg oo f(a) = 2.(a+1)f(a) = 2.(a+1)
Composição de funçõesComposição de funções• Note que a composição de funções Note que a composição de funções não é comutativanão é comutativa..
• A composição de uma A composição de uma função e sua inversafunção e sua inversa, em , em qualquer ordem, leva à qualquer ordem, leva à função identidadefunção identidade::– Suponha que f é uma função bijetora de A para BSuponha que f é uma função bijetora de A para B– A função inversa reverte a correspondência da função original:A função inversa reverte a correspondência da função original:
ff-1-1(b)=a quando f(a)=b(b)=a quando f(a)=bf(a)=b quando ff(a)=b quando f-1-1(b)=a(b)=a
– Portanto:Portanto:(f(f-1-1 oo f)(a) = f f)(a) = f-1-1(f(a)) = f(f(a)) = f-1-1(b) = a(b) = a(f(f-1-1 oo f)(b) = f f)(b) = f-1-1(f(b)) = f(f(b)) = f-1-1(a) = b(a) = b
– Consequentemente,Consequentemente,ff-1-1 oo f = 1 f = 1AAf f oo f f-1-1 = 1 = 1BB