PEF-5744
Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Sérgio Persival Proença
Aula 5
Fundamentos da mecânica da fratura
PEFPEF--57445744
ProfProf. Túlio Nogueira Bittencourt. Túlio Nogueira BittencourtProfProf. Sérgio . Sérgio Persival ProençaPersival Proença
Aula 5
Fundamentos da mecânica da fratura
Escola Politécnica da Universidade de São PauloDepartamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
SumárioSumário
■ Conceitos básicos da Mecânica da Fratura
■ Aplicação: propagação de uma fissura em um componente estrutural
■ Fatores de Intensidade de Tensão, Taxa de liberação de energia potencial total, Integral J, Curva R
■ Aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto estrutural
■ Simulação numérica do processo de fraturamento
Mecânica da Fratura: Conceitos BásicosMecânica da Fratura: Conceitos Básicos
■ Mecânica da Fratura é uma disciplina de Engenharia que quantifica as condições sob as quais um sólido sob ação de um carregamento pode ir ao colapso devido à propagação de uma fissura contida nesse sólido
MecânicaAplicada
Ciência dosMateriais
Mecânica da Fratura: Conceitos BásicosMecânica da Fratura: Conceitos Básicos
Modo de colapso propriedade do material quegoverna o processo
disciplina que tratado problema
instabilidade (ex.:flambagem) E InstabilidadeElástica
deformação elástica excessiva E Elasticidade
deformação plástica σy Plasticidade
fraturamento KIc
Tenacidade à Fratura
Mecânica daFratura
Modelagem dos Processos deModelagem dos Processos de FraturamentoFraturamento
• pontos de iniciação
• carregamento correspondente à iniciação
• instabilidade
• trajetória
Instabilidade: FissurasInstabilidade: Fissuras
σc
σcIcK
c a=
adetetadoadmissível
σc
σc
KIc1
KIc2KIc3
2a
Breve HistóricoBreve Histórico
• Da Vinci, 1452-1519: resistência de fios dependentes do comprimento• Inglis, 1913: concentrações de tensões em placas com furos• Griffith, 1922: fibras de vidro
resistência <==> tamanho da fissura• Westergaard, 1937: embasamento matemático - solução utilizando
variáveis complexas• Irwin, 1948: aplicações à Engenharia: Ex. Navios de guerra• Rice, 1968: Integral J• J. W. Huchtinson: Mecânica da Fratura Não Linear e Dinâmica• IAFRAMCOS: International Association for Fracture Mechanics
in Concrete and Concrete Structures, 1992-95-98Z. Bazant, A, Hillerborg, R. De Borst, J. van Mier, J. Mazars,A. R. Ingraffea, W. Gerstle, R. Gettu, A. Carpinteri, F. Wittmann, S. Shah, Karihaloo, B., etc.: aplicações ao concreto estrutural
ConseqüênciasConseqüências
Acidentesvasos de pressão, fuselagem de aviões, pás de turbinas, fundações e pilares de pontes de concreto armado, etc.
CustosNational Bureau of Standards, 1982: US$ 120 bilhões por ano• economia de 35 bilhões se tecnologia existente
fosse aplicada• economia de 28 bilhões por ano se tecnologia em
desenvolvimento fosse aplicada
Mecânica da FraturaMecânica da Fratura versusversusResistência dos MateriaisResistência dos Materiais
P
l b
h
M P
Wbh
fator de segurança
=
=
!2
6γ:
σσ
γ γσmax = ≤ ⇒ ≤
P
bhP
bhyy
!
!2
2
66
P
l b
h
a K a pbh
aK
P bh Ka
IIc
Ic
= = ≤
⇒ ≤
112 1126
6 112
2
2
2
, ,
,
maxσ π π γ
γ π
!
!
Integridade EstruturalIntegridade Estrutural
fraturamento em regime elasto-plásticofraturamento em
regime elástico linear
resistência dos materiais
1/γγγγ
1/γγγγ
projetos deengenharia
σσσσσσσσmax
y
KK
I
Ic
1
1
Uma fissura pode se iniciar e propagar, ocasionandocolapso a níveis de tensões muito inferiores aos admitidos por outras considerações
Por quê?
Tensões em torno da ponta Tensões em torno da ponta de uma fissurade uma fissura
2a
σ
σ
θr( )
( )
( )
−
+
=
=
2
3cos
2
3
2
2
3
21
2cos
2
3
21
2cos
22θθθ
θθθ
θθθ
πθ
θ
θ
π
πσ
τ
σ
σ
sinsin
sinsin
sinsin
r
K
F
F
F
r
aI
xy
y
x
xy
y
x
Westergaard, 1937
aKI πσ= : fator de intensidade de tensões
IcK : tenacidade ao fraturamento do material
estabilidade da fissura IcI KK ≤
Modos deModos de FraturamentoFraturamento
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
+
+
=
θθθ
πθθθ
πθθθ
πτσσ
IIIxy
IIIy
III
III
IIxy
IIy
II
II
Ixy
Iy
I
I
xy
y
x
FFF
rK
FFF
rK
FFF
rK xxx
222
Modo I Modo II Modo III
Direção de Propagação de uma FissuraDireção de Propagação de uma Fissura
θ
• Máxima tensão circunferencial - máx ( )σ θθ
• Máxima taxa de liberação de energia - máx ( )G θ θ
• Mínima energia de deformação específica - mín ( )Sθ θ
Zonas de ProcessosZonas de Processos InelásticosInelásticos
ε
σ
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
���������������������������
′rp
σ y
f u
Materiais com amolecimento
Exemplos:concreto, rochas
Zonas de ProcessosZonas de Processos InelásticosInelásticos
������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
′rpx
fy
rpx
�������������
�������������
�������������
�������������
σy
fy
Material σy (MPa) KIc (MPa √m) rp (mm)
aço ASTM A36 250 220 81AISI 4340 1400 84 1,8
PMMA 70 1,7 0,5
Com plasticidade (perfeita)σ
ε
Validade da Mecânica da Fratura Validade da Mecânica da Fratura Elástica LinearElástica Linear
B2W
2a prf
K
BaW
a
y
Ic 255,2 2
2
≅≥
−
Balanço energéticoBalanço energético
GriffithGriffithυυ Extensão da fissuraExtensão da fissura Conservação de energia Conservação de energia
(1a. Lei da Termodinâmica)(1a. Lei da Termodinâmica)
0=+= dSddE π
υυ Dados:Dados:
ππ Energia potencial total de deformaEnergia potencial total de deformaçãçãoo
SS Energia de Energia de decoesdecoesãão o ou ou fraturamentofraturamento
EE EnergiaEnergia total total
Balanço energéticoBalanço energéticoGriffithGriffith
dadS γ2=
υυ Seja:Seja:
γγ Densidade de energia superficial porDensidade de energia superficial porunidade de unidade de áárearea
γ2=G
2 superf2 superfíícies da fissuracies da fissura
ForForçça a guiadoraguiadora““driving driving forceforce””
ResistResistêência ou ncia ou tenacidadetenacidade
Critério de propagaçãoCritério de propagação
Balanço energéticoBalanço energéticoGriffithGriffith
GGcc ou 2ou 2γγ
dadG π−=
GG Deriva do potencial Deriva do potencial ππ, como for, como forççasas conservativasconservativas
Depende do carregamento e geometriaDepende do carregamento e geometria
CaracterCaracterááisticaistica do material, tenacidade ou do material, tenacidade ou resistresistêência ncia àà extensextensãão da fissurao da fissura
G taxa de liberação de Energia Potencial TotalG taxa de liberação de Energia Potencial Total
*UPU −=−= ∆π
a b
P,∆UU Energia de deformaEnergia de deformaçãçãoo
U*U* Energia de deformaEnergia de deformaçãção complementaro complementar
Balanço energéticoBalanço energético
2∆PU =
Teorema de Clapeyron
a c
d∆
Gda
a+da
P
∆
A B
Balanço energéticoBalanço energético
P fixoP fixo
(P)*U , *2
UP −=−= ∆π
PP aP
dadU
dadG
∂∂=
=−= ∆π
21*
Dado (“compliance”)PC ∆=
dadC
CdadCPG 2
22
21
2∆== 11
Balanço energéticoBalanço energético
∆∆ prescritoprescrito
2∆π PU ==
∆∆∆π
∂∂−=
=−=
aP
dadU
dadG
21
aC
CaC
aCG
∂∂=
∂∂−=
∂
∂−=−−
2
212
1
21
21
21 ∆∆∆∆
∆
a c-dP
Gdaa+da
P
∆
A
22
De De e e G independe das condições G independe das condições de carregamento de carregamento
11 22
Integral J Integral J -- Integral de contornoIntegral de contorno
υυ Materiais elásticos não lineares Materiais elásticos não lineares
∫ ∫−=A S
ii dSutWdAaσ
π )(
a
t~
S0
Su
x1
x2
Sσ
υυ G: válida para comportamento elástico linearG: válida para comportamento elástico linear
Integral J Integral J -- Integral de contornoIntegral de contorno
Definição:
∫εΓ→ε
Γ⋅
⋅
∂∂⋅σ−= contorno) (no dnxuWlimJ j
k
iijn0k k
k=1, 2 (campo bidimensional)
Relação com os fatores de intensidade de tensãoRelação com os fatores de intensidade de tensão
0J
)deformação de plano (Estado )1(E
KGJ
2
2I
1
=ν−⋅
==
( )221 , III KKJ ∝
III KKJ ⋅∝2
No caso de Modo I puroNo caso de Modo I puro
Integral J Integral J -- Integral de contornoIntegral de contorno
∫ ∫
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂−=
A k
iij
jjk
iij
kk qdA
xu
xxq
xu
xqWJ
A kxW-dA σσ
∫Γ
Γ
∂∂
−−=TOT
dnqxu
WJR
iijkjk j σδ
Domínio EquivalenteDomínio Equivalente
Integral JIntegral J
Módulo de RasgamentoMódulo de Rasgamentotearing modulustearing modulus
υυ Materiais “dúcteis” na fraturaMateriais “dúcteis” na fratura
Propagação estável ePropagação estável e quasiquasi--estática antes da fratura estática antes da fratura (instabilidade)(instabilidade)
Plastificação significativa em torno da fissuraPlastificação significativa em torno da fissura
J = J = JJIcIc necessário para iniciar o processo de propagação necessário para iniciar o processo de propagação mas não para mas não para mantêmantê--lolo até o limite da instabilidadeaté o limite da instabilidade
Módulo de RasgamentoMódulo de Rasgamentotearing modulustearing modulus
Critério para propagação estávelCritério para propagação estável RJJ ≥
Para instabilidadePara instabilidadeRJJ ≥
dadJ
dadJ R≥
Paris et Paris et alal..da
dJEdadJE R
yy22 σσ
≥
matTT ≥
T: módulo de rasgamento (“T: módulo de rasgamento (“tearing modulustearing modulus”)”)
Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistênciaCritCritéério de Extensrio de Extensãão da Fissura o da Fissura
RdadSG
dadG c ===−= π
ForForçça a guiadoraguiadora““driving driving forceforce””
ResistResistêência ncia àà
propagapropagaçãçãoo
υ R é constante para EPD R=GIc
υ G é a taxa de liberação de energia potencial total p/ o problema de Griffith
( )E
aG πσν2
21−=
�������������� ���������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ������ ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ��
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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������� ����� ����
��������������������
Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistênciaCritCritéério de Extensrio de Extensãão da Fissura o da Fissura
Estados crEstados crííticos para os nticos para os nííveis veis σσ11 e e σσ22
G,R
R=GIc (EPD)
∆a
AB
C
D
H
σ4
σ3
σ2 σ1
ac
ai
R (EPT)
∆a3
Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistência
σσσσσσσσ1 1 G <G < GGIcIc fissura não propaga no EPD ou EPTσσσσσσσσ22 G = G = GGicic EPD fissura na iminência de propagaçãoEPT fissura não propaga EPT fissura não propaga
σσσσσσσσ33 G > G > GGic ic EPD fissura na iminência de propagação instável G=R (G=R (pto pto C) EPT fissura propagaC) EPT fissura propaga ∆∆∆∆∆∆∆∆aa33
σσσσσσσσ44 fissura propaga de forma instávelfissura propaga de forma instávelpara EPT ou EPD para EPT ou EPD
RGeaR
aG =
∂∂=
∂∂
DD
Mecânica da Fratura Mecânica da Fratura -- Aplicação ao ConcretoAplicação ao Concreto
■ Desenvolvimento a partir da década de 80
■ Ainda não é utilizada em normas de projeto
■ Vários critérios das normas atuais não
apresentam um embasamento físico consistente
■ A Mecânica da Fratura pode prover critérios
racionais de projeto nos casos em que a aplicação
da teoria de resistência é insuficiente
Mecânica da Fratura Mecânica da Fratura -- Aplicação ao ConcretoAplicação ao Concreto
■ Potenciais aplicações à análise e ao projeto:◆ Cálculo de flechas de vigas e lajes levando em conta a redução
da resistência à flexão com o aumento da altura da peça (efeito
de escala, especialmente no concreto de alto desempenho)
◆ Cálculo da taxa de armadura de flexão mínima
◆ Explicação do efeito de escala na resistência ao cisalhamento
de vigas armadas longitudinalmente
Mecânica da Fratura Mecânica da Fratura -- Aplicação ao ConcretoAplicação ao Concreto
■ Exemplos de estruturas com potencial aplicação
Diagramas CargaDiagramas Carga--DeslocamentoDeslocamento
concreto com fibrasconcreto com fibras
concreto de alto desempenhoconcreto de alto desempenho
concreto convencionalconcreto convencional
Modelo para o Concreto: Fissura CoesivaModelo para o Concreto: Fissura Coesiva
Interface Coesiva::capacidade de transmissão de tensões entre as faces da fissura• intertravamento dos agregados• efeito de ponte
Modelo da Banda de FissuraçãoModelo da Banda de Fissuração((Smeared Crack ModelSmeared Crack Model))
∫= c dhG yF
εεεσ
0)(Energia de fraturamento::
FraturamentoFraturamento do Concretodo Concreto
■ Parâmetros de fraturamento relevantes para o concreto estrutural:
◆ Tenacidade ao fraturamento (capacidade de absorver energia)
◆ Energia de fraturamento (energia dissipada durante a evolução
da fissura)
◆ Abertura crítica da fissura
◆ Extensão da zona de processos de fraturamento
QUEBRA2D : Interface gráfica modernaGerenciamento de entrada e saída de dadosGeração de malhas adaptativasGerenciamento dos processos de fraturamento FadigaEditor de figuras e animaçãoLinguagem C, IUP, CD, luaPlataforma portável
FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Program):Formulação de elementos finitosSolução do sistema de equações de elementos finitosProgramação orientada a objetosLinguagem C++
Quebra2d
FEMOOP
Quebra2d
Quebra2DQuebra2D
FRANC2DFRANC2D ■ Interface gráfica■ Coloção de condições de
contorno: ◆ cargas
◆ apoios
■ Mecânica da Fratura Elástica Linear
◆ KI , KII
◆ J-Integral◆ G
■ Propriedades do material■ Introdução da fissura■ Regeneração da malha■ Solução através de elementos
finitos■ Propagação da fissura■ Geometria deformada, contorno
de tensões, direções principais,etc.
Malha inicial sem fissura
FRANC2DFRANC2D
Malha Deformada com Fissura Inicial
Malha Deformada após 2 passos de propagação da fissura
FRANC3DFRANC3D
■ Forma eficiente de representação do modelo sólido
◆ Hierarquia de modelos
■ Utilização de teorias bidimensionais
■ Simulação de problemas não triviais de propagação de fissuras tridimensionais
FRANC3DFRANC3D■ Determinação de Fatores de
Intensidade de Tensões:◆ Técnica da Correlação de
Deslocamentos (Displacement Correlation)
✦ entre as duas faces da fissura✦ pontos na vizinhança do fronte
■ Direção de Propagação◆ Pontos discretos ao longo do fronte◆ Planos normais à tangente aos
pontos◆ Teorias:
✦ Máxima Tensão (σ(θ)max)✦ Máxima Taxa de Liberação de
Energia Potencial (G(θ)max)✦ Mínima Densidade de Energia de
Deformação (S(θ)min)■ Extensão de Propagação
◆ Extensão em cada ponto é função dos fatores de intensidade de tensões
◆ Usuário estabelece a extensão máxima em cada passo