Fizika Auditorne vježbe – 10
Titranje
Ivica Sorić
Kemijsko – tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu
Stručni studij kemijske tehnologije i materijala
Stručni studij prehrambene tehnologije
2
Ponavljanje
Materijalna točka mase m jednostavno titra oko položaja ravnoteže pod utjecajem elastične ili harmonijske sile.
Ta sila vraća tijelo u položaj ravnoteže i ima oblik gdje je k konstanta elastičnosti (npr. opruge), a s elongacija, tj. udaljenost tijela od položaja ravnoteže.
Jednadžba gibanja harmoničkog oscilatora ima oblik
Opće rješenje glasi: gdje je A amplituda, 0 početna faza, a kružna frekvencija.
Frekvencija titranja jednaka je recipročnoj vrijednosti titrajnog vremena (perioda titranja), a vrijede i sljedeće relacije:
xkF
0xktd
xdm
2
2
)tcos(Ax 0
k
m2Tf2
T
1f
3
Primjer 1 Blok mase m = 680 g pričvršćen je za oprugu konstante elastičnosti
k = 65 N/m. Ako se blok se izvuče na udaljenost x = 11 cm, s obzirom na ravnotežni položaj x = 0 cm i pusti iz stanja mirovanja u trenutku t = 0 s nađite:
a) Kolika je kružna frekvencija, frekvencija i period titranja?
b) Kolika je amplituda titranja?
c) Kolika je početna faza titranja?
d) Kolika je maksimalna brzina titranja i na kojoj udaljenosti od položaja ravnoteže se nalazi blok u trenutku maksimalne brzine?
e) Kolika je maksimalna akceleracija titranja?
s643,0f
1Ts556,1
2f
s777,9kgm
1
s
mkg588,95
kg68,0
m
N65
m
k
1
1
2
m11,0xA max
0xtj,0tsinodnosno,1tcos:jekadnajvecajebrzina
s
m075,1s777,9m11,0Av
tcosAv
1
max
2
10sin
AxtsinA:vrijedi0tza max
2
212
max
2
s
m515,10s777,9m11,0Aa
tsinAa
4
Primjer 2
U trenutku t = 0 s, elongacija bloka mase m pričvršćenog na oprugu konstante k, iznosi x(0) = -8,5 cm. U istom trenutku brzina iznosi v(0) = -0,920 m/s, a akceleracija a(0) = 47 m/s2. a) Kolika je kružna frekvencija sistema? b) Kolika je početna faza, a kolika amplituda titranja?
Rezultat: a) = 23,5 rad/s, b) 0 = 155o, A = 9,4 cm.
5
Primjer 3
Ako uteg mase 5 kg objesimo na oprugu, ona se produži za 49 cm. a) Kolika je konstantna opruge? b) Uteg izvučemo iz ravnotežnog položaja za 10 cm i pustimo da titra. Koliki je period, kružna frekvencija i frekvencija sistema? c) Gdje se nalazi uteg i kolika mu je brzina i akceleracija 0,35 s nakon početka titranja? Kolikom silom opruga djeluje na uteg u tom trenutku?
Rezultat: a) k = 100 N/m, b) T = 1,4 s, f = 0,71 s-1, = 4,5 s, c) x = 0 m, v = -0,45 m/s, a = 0 m/s2, F = 0 N.
6
Primjer 4
Uteg mase 0,1 kg visi na opruzi konstante k = 1,6 N/m (i zanemarive mase). Ako uteg izvučete 10 cm izvan položaja ravnoteže i pustite da titra (bez početne brzine), odredite: a) jednadžbu gibanja utega, b) period i frekvenciju titranja, c) elongaciju utega kao funkciju vremena, d) položaj, brzinu i akceleraciju utega u t = 1 s nakon početka titranja; e) riješite isti zadatak, ali uz drugačije početne uvjete, tj. neka je t = 0 s, x = 0 m i v = 0,4 m/s te za t = 0 s, x = 0,1 m i v = 0,2 m/s.
Rezultati: a) d2x/dt2 + 16s-2·x = 0, b) T = 1,57 s, f = 0,637 Hz, c) x(t) = 0,1cos(4s-1 ·t), d) x(t=1 s) = -6,5 cm, v(t=1 s) = 30,3 cm/s, a(t=1 s) = 105 cm/s2
7
Primjer 5
Na oprugu konstante elastičnosti k obješena je zdjelica s utegom. Period titranja koje nastane kad se zdjelica pomakne iz ravnotežnog položaja u vertikalnom smjeru i pusti iznosi T1=0.5 s. Ako se u zdjelicu doda još jedan uteg, period se promijeni i iznosi T2=0.6 s. Za koliko se izdužila opruga kad je dodan drugi uteg?
Rezultat: Δy=2.786 mm
m10786,24
T44,0
T
2m
m44,0
k
gmx
xkgm
m44,0m
m44,1mm
44,1T
T
m
mm
2
Tkmm
k
mm2T
2
Tkm
k
m2T
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
22
2
11
8
Ponavljanje – Prigušeno titranje
Prigušeno titranje: uz pretpostavku da je sila trenja proporcionalna brzini (Ftr = -bv), gdje je b konstanta trenja, jednadžba gibanja za prigušeno titranje je:
gdje je faktor prigušenja, a 02=k/m vlastita frekvencija neprigušenog
oscilatora.
Rješenje jednadžbe gibanja je:
uz
0xtd
xd2
td
xd0x
m
k
td
xd
m
b
td
xd 2
02
2
2
2
)tsin(Ae)t(x 0
t
22
0
9
Primjer 6
Uteg mase m=0,5 kg obješen o oprugu konstante elastičnosti k=32 N/m prigušeno titra. Odredite period titranja sustava, ako se za vrijeme unutar kojeg uteg napravi dva puna titraja, amplituda titranja smanji 20 puta.
Rezultat: T = 0,807 s
10
Ponavljanje – energija titranja
Pri titranju materijalne točke kinetička energija stalno prelazi u
potencijalnu, i obratno, i pri tom vrijede sljedeće relacije:
Ukupna energija je:
)t(cosA2
kkx
2
1E
)t(sinA2
mmv
2
1E
0
222
p
0
2222
k
2
pk kA2
1EEE
11
Primjer 7
Odredite masu tijela koje izvodi harmonijsko titranje amplitude A=0,2 m, frekvencije f=4 Hz, ako je ukupna energija tijela 7,7·10-2 J. U početnom trenutku tijelo se nalazi u položaju maksimalnog pomaka. Kroz koliko će vremena od početka titranja potencijalna energija tijela biti jednaka kinetičkoj?
Rezultat: m = 6.01 g
12
Ponavljanje - njihala
Kruto tijelo koje se može okretati oko horizonstalne osi koja ne prolazi kroz njegovo težište zove se fizičko njihalo.
Ako se takvo tijelo izvuče iz položaja ravnoteže za kut i prepusti samo sebi, ono se njiše pod utjecajem momenta težine.
Za mali kut titranje je harmoničko s periodom T gdje je I moment tromosti s obzirom na os, a d udaljenost osi rotacije od težišta tijela.
Sitno tijelo mase m obješeno o nit stalne duljine l, a zanemarive težine zove se matematičko njihalo.
Izvedemo li tijelo iz položaja ravnoteže u stranu za kut i prepustimo ga samom sebi, ono se njiše.
Za mali kut titranje je harmoničko s periodom
Reducirana duljina fizičkog njihala lr je duljina matematičkog njihala koje ima isti period kao (pripadno) fizičko njihalo
g
l2T
mgd
I2T
md
Ilr
13
Primjer 8
Za koliko moramo produljiti matematičko njihalo duljine l da bi ono imalo isti period titranja u dizalu koje se podiže akceleracijom a = g/2, kao u dizalu koje miruje.
Rezultat: l = 0,5 l
2
ll
l3l2l2
g
l
g3
l2l2
g3
ll22
2
gg
ll2T
:podizesekojedizaluu
g
l2T
:mirujekojedizaluu
14
Primjer 9
Matematičko njihalo mase m = 0,1 kg i duljine l = 1 m titra harmonijski. Ako se kut između niti njihala i vertikale može prikazati zakonom =0,25sin(t), nađite silu u niti u trenutku t = T/2 i t = T/4.
Rezultati: F(T/2) = 1,0423 N
F(T/4) = 0,9505 N
15
Primjer 10
Koliki je period fizičkog njihala u obliku homogenog štapa dužine L = 1 m, ako se njiše oko osi koja prolazi a) jednim njegovim krajem, b) kroz točku udaljenu za d = L/6 od sredine štapa, c) kroz točku udaljenu za d = L/4 od sredine štapa? d) kroz točku udaljenu za d = L/3 od sredine štapa? e) Koliko mora biti udaljena os od sredine štapa da bi njihalo titralo najvećim, a koliko da bi titralo najmanjim mogućim periodom?
Rezultati: a) T = 1,638 s, b) T = 1, 638 s, c) T = 1,532 s, d) T = 1,532 s e) d = 0 T = , d = T = Tmin= 1,524 s 6/3L
s638,1
s
m81,93
m122
g3
L22
mgL
mL6
31
2T
2
Lmg
2
LmmL
12
1
2mgd
I2T
:)aslucaj
2
2
2
2
16
Primjer 11 (domaći rad)
Ravni štap duljine l i mase m njiše se kao fizičko njihalo oko svojega kraja. Po štapu se može pomicati uteg mase . Na kojoj je udaljenosti r od osi njihanja potrebno učvrstiti uteg da to fizičko njihalo ima najkraći period.
Rezultat:
1
m3
41
2
mlr