Filtri attivi
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 31-5-2016)
2
Filtri attivi
● Un filtro passivo è un filtro composto solo da componenti passivi
● I filtri attivi fanno uso anche di componenti attivi (di solito amplificatori operazionali)
A differenza dei filtri passivi possono avere guadagno > 1
Possono avere fattori di merito elevati (e quindi risposte di tipo risonante) anche senza impiegare induttori
La loro funzione di trasferimento non dipende dall’impedenza di carico
Nel caso si collegamento in cascata la funzione di trasferimentocomplessiva si ottiene come prodotto di quelle dei singoli stadi
Possono essere utilizzati solo a frequenze relativamente basse acausa della limitazione di banda degli amplificatori operazionali
3
Filtro passa-basso non invertente del 1° ordine
● La funzione di trasferimento è
● Quindi il guadagno in continua e la pulsazione di taglio sono0
0a
b
i
o
1
1
1
11)(
sH
RCsR
Rs
V
VH
RCR
RH
11 0
a
b0
4
Filtro passa-basso non invertente del 1° ordinea guadagno unitario
● L’amplificatore operazionale è utilizzato come inseguitore di tensione
● In questo caso la funzione di trasferimento è
● Quindi si ha 0
i
o
1
1
1
1)(
sRCs
sV
VH
RCH
11 00
5
Filtro passa-alto non invertente del 1° ordine
● Funzione di trasferimento
● Guadagno ad alta frequenza a pulsazione di taglio0
00
a
b
i
o
111)(
s
s
HRCs
RCs
R
Rs
V
VH
RCR
RH
11 0
a
b0
6
Filtro passa-basso non invertente del 1° ordinea guadagno unitario
● Funzione di trasferimento
● Guadagno ad alta frequenza a pulsazione di taglio0
0
i
o
11)(
s
s
RCs
RCss
V
VH
RCR
RH
11 0
a
b0
7
Filtro passa-basso invertente del 1° ordine
● E’ possibile realizzare un filtro passa-basso anche mediante questo circuito che corrispondea un integratore con limitazionedel guadagno a bassa frequenza
● La funzione di trasferimento è
● Il circuito ha comportamento invertente
● Il valore assoluto del guadagno in continua e la pulsazione di taglio sono
0
021
2
i
o
1
1
1
1)(
s
HCsRR
Rs
V
VH
CRR
RH
10
1
20
1
8
Filtro passa-alto invertente del 1° ordine
● E’ possibile realizzare un filtro passa-alto anche mediante questo circuito che corrispondea un derivatore con limitazionedel guadagno ad alta frequenza
● La funzione di trasferimento è
● Il circuito ha comportamento invertente
● Il valore assoluto del guadagno ad alta frequenza e la pulsazione di taglio sono
0
00
1
1
1
2
i
o
11)(
s
s
HCsR
CsR
R
Rs
V
VH
CRR
RH
10
1
20
1
9
Filtro passa-banda a banda larga
● Combinando i due circuiti precedenti è possibile ottenere un filtro passa-banda
● In questo caso la funzione di trasferimento è
21
10
2211
11
1
2
i
o
11)1)(1(
)(ss
s
HsCRsCR
sCR
R
Rs
V
VH
10
Filtro passa-banda a banda larga
● Nell’ipotesi che le due pulsazioni di taglio soddisfino la condizione
per compreso tra 1 e 2 il guadagno vale
● Al di fuori della banda passante il guadagno diminuisce con pendenza 20 dB/decade
222
111
11
CRCR
1
20 R
RH (guadagno di centro banda)
11
Filtri risonanti senza induttori
● Un filtro passivo realizzato con soli componenti RC non può avere una funzione di trasferimento con poli complessi coniugati
● Lo stesso avviene collegando in cascata filtri attivi del primo ordine
● Per ottenere poli complessi coniugati si possono utilizzare circuiti RLC
● Nei circuiti a bassa frequenza, però, di solito si preferisce evitare l’uso di induttori perché i valori di induttanza necessari sono elevati
di conseguenza gli induttori sono ingombranti e la loro realizzazione in genere richiede l’uso di nuclei ferromagnetici (che possono causare un comportamento non lineare e dare luogo a perdite)
● Per evitare di usare induttori si possono utilizzare particolari circuiti che permettono di ottenere un’impedenza equivalente di tipo induttivo a partire da componenti RC
● In alternativa si possono ottenere funzioni di trasferimento con poli complessi coniugati mediante circuiti RC retroazionati
12
Convertitore di impedenza di Antoniou
● E’ possibile realizzare un bipolo equivalente a un induttore utilizzando solo componenti RC mediante questo circuito(convertitore di impedenza generalizzato)
42
531
i
ieq I ZZ
ZZZVZ
13
Convertitore di impedenza di AntoniouCalcolo dell’impedenza di ingresso
5
i45
i5
Z
VII
VV
53
4i
3
332
4443
ZZ
ZV
Z
VII
IZVV
531
42i
1
11i
2221
ZZZ
ZZV
Z
VII
IZVV
42
531
i
ieq I ZZ
ZZZVZ
14
Simulatore di induttanza
● Utilizzando resistori per le impedenze Z1, Z2, Z3, Z5 e un condensatore per Z4 si ottiene un impedenza di ingresso puramente induttiva
2
5314
42
531eq R
RRRCj
ZZ
ZZZZ
2
5314eq R
RRRCL
15
Filtri attivi del secondo ordine
● I circuiti utilizzati più comunemente per realizzare filtri attivi risonanti del secondo ordine sono i seguenti
● Sostituendo le impedenze con resistori o condensatori è possibile ottenere risposte di tipo passa-basso, passa-alto e passa-banda
Filtro a retroazioni multiple(MFB, multiple feed-back)
Filtro di Sallen e Key
16
Filtri attivi del secondo ordine
● Di seguito verranno analizzate le varie configurazioni e fornite alcune indicazioni per il progetto dei filtri
● Dato che le specifiche di progetto normalmente riguardano la frequenza di taglio e il fattore di merito (più eventualmente il guadagno) il numero di parametri del circuito è solitamente maggiore del numero di specifiche, quindi il filtro può essere realizzato in più modi
● Spesso, dato che i valori normalizzati delle capacità dei condensatori sono in numero minore rispetto ai valori disponibili per le resistenze si sfruttano i gradi di libertà in più per scegliere valori convenienti per le capacità
● Inoltre, per semplificare il progetto, spesso si cerca di utilizzare per i condensatori o per i resistori dei valori uguali
● Nel caso dei filtri Sallen e Key, in cui l’operazionale svolge la funzione di amplificatore non invertente, è possibile semplificare il circuito ponendo il guadagno uguale a 1 (e quindi usando un inseguitore di tensione) o uguale 2 (che comporta Ra Rb)
17
Filtri di Sallen e Key (VCVS)
● I filtri di questo tipo sono detti anchefiltri VCVS (voltage controlled voltagesource) perché l’amplificatore opera-zionale svolge la funzione di un gene-ratore dipendente
● La funzione di trasferimento è
dove
è il guadagno dell’amplificatore operazionale in configurazione non invertente
a
b
R
RG 1
)()1( 432153214
41
i
o
YYYYYYYYY
YY
V
VΗ
G
G
18
Filtri di Sallen e Key (VCVS)
● Le tensioni dei nodi A e B possonoessere espresse come
● Applicando la LKI al nodo A si ottiene
● Quindi, sostituendo nell’equazione del nodo l’espressione di VA, si ricava la funzione di trasferimento
Go
B
VV
4
50
4
5BBA 1
Y
YV
Y
YVVV
G
0)()( o4o3A2iA1
G
VVYVVYVYVVY AA
)()1( 432153214
41
i
o
YYYYYYYYY
YY
V
VΗ
G
G
19
Filtro Sallen-Key passa-basso
● Per ottenere una risposta di tipopassa-basso
si pone
● In questo modo si ha
1)()1()(
221112
2121
sCRRGCRsCCRR
GsH
1)(
020
2
Qss
KsH
252
41321
1 ,1
,,0,1
sCR
sCR
YYYYY
20
Filtro Sallen-Key passa-basso
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-basso del 2° ordine si ricava
● Il guadagno in continua del filtro è
2121
0
1
CCRR
22111
2121
)()1( CRRGCR
CCRRQ
GK
GKH 0
21
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-basso
● Scelte le capacità C1 e C2 in modo che
dall’espressione di 0 si ottiene
● Sostituendo nell’espressione di Q si ha
● Da questa relazione si ricava R2
22
120
1
211
0
11
RCnR
RnRC
12 nCC
nGCRn
CRnQ
12
120
120
QCn
nGQR
10
2
2 2
1411
22
120
1
211
0
11
RCnR
RnRC
12 nCC
22
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-basso
● Affinché R2 sia reale deve essere soddisfatta la condizione
● Si può osservare che è possibile scegliere n 1, cioè utilizzare due capacità uguali se
● Se le condizioni precedenti sono soddisfatte, delle due soluzioni ottenute per R2, quella con il segno è sempre positiva, mentre quella con il segno – è positiva se n G 1
24
12
QG
2
2
4
110141
QGnnGQ
23
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-basso
Riepilogo
● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:
Si scelgono le resistenze Ra e Rb in modo che
Si scelgono le capacità C1 e C2 in modo che
Si calcolano le resistenze R1 e R2 mediante le relazioni
21
2
4
11
QG
C
C
a
b0 1
R
RHG
QC
CC
GQ
R20
1
22
2 2
1411
221
21
1
RCCR
o
24
Filtro Sallen-Key passa-basso a componenti uguali
● Per semplificare il progetto del filtro si può imporre che i valori delle resistenze R1 R2 e delle capacità C1 C2 siano uguali
● In queste condizioni si ottiene
● In questo caso il guadagno risulta dipendente dal fattore di merito
● Le resistenze Ra e Rb devono soddisfare la condizione
CCCRRR 2121
QGH
GQ
RC
13
3
1100
QR
R 12
a
b
25
Filtro Sallen-Key passa-alto
● Per ottenere una risposta di tipopassa-alto
si pone
● In questo modo si ha
1)1()()(
222112
2121
22121
sGCRCCRsCCRR
GsCCRRsH
1)(
020
2
2
Qss
KssH
2524
13211
1,,
1,0,
RsC
RsC YYYYY
26
Filtro Sallen-Key passa-alto
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-alto del 2° ordine si ricava
● Il guadagno ad alta frequenza del filtro è
2121
0
1
CCRR
)1()( 22211
2121
GCRCCR
CCRRQ
GCCRRK 2121
GKH 200
27
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-alto
● Scelte le capacità C1 e C2 in modo che
dall’espressione di 0 si ottiene
● Sostituendo nell’espressione di Q si ha
● Da questa relazione si ricava R1
12
120
2
211
0
11
RCnR
RnRC
12 nCC
11 2120
110
GCRn
CRQ
QCn
nGQR
10
2
1 12
11411
28
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-alto
● Dato che G 1 i valori di R1 sono sempre reali
● In questo caso, quindi, è sempre possibile scegliere n 1, cioèutilizzare due capacità uguali
● Inoltre l’argomento della radice quadrata è sempre maggiore di 1, quindi l’unica soluzione positiva è quella con il segno
29
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-alto
Riepilogo
● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:
Si scelgono le resistenze Ra e Rb in modo che
Si scelgono arbitrariamente le capacità C1 e C2 (per semplicità si può porre C1 C2)
Si calcolano le resistenze R1 e R2 mediante le relazioni
a
b0 1
R
RHG
QCC
CC
GQ
R210
1
22
1 2
11411
211
20
2
1
CCRR
30
Filtro Sallen-Key passa-alto a componenti uguali
● Per semplificare il progetto del filtro si può imporre che i valori delle resistenze R1 R2 e delle capacità C1 C2 siano uguali
● In queste condizioni si ottengono risultati identici a quelli ottenuti per il filtro passa-basso
● Il guadagno risulta dipendente dal fattore di merito
● Le resistenze Ra e Rb devono soddisfare la condizione
CCCRRR 2121
QGH
GQ
RC
13
3
1100
QR
R 12
a
b
31
Filtro Sallen-Key passa-banda
● Per ottenere una risposta di tipopassa-banda
si pone
● In questo modo si ha
1)(
020
2
Qss
KssH
1
)1()(
21
2313221121221
21
321
22
21
31
sRR
CGRRRRRRCRRsCC
RRRRR
GsCRR
RR
sH
3524
2312
11
1,,
1,,
1
RsC
RsC
R YYYYY
32
Filtro Sallen-Key passa-banda
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-banda del 2° ordine si ricava
● Il guadagno a centro banda del filtro è
21321
210 CCRRR
RR
2313221121
2121321
)1(
)(
CGRRRRRRCRR
CCRRRRRQ
GCRR
RRK 2
21
31
2313221121
23200 )1( CGRRRRRRCRR
GCRRKQH
33
Dimensionamento del filtro Sallen-Key passa-banda
● Una scelta conveniente dei parametri che consente di semplificare i calcoli, è la seguente (filtro a componenti uguali)
● In queste condizioni si ottiene
● I risultati mostrano che non è possibile fissare il valore del guadagno di centro-banda indipendentemente dal fattore di merito
● I valori dei parametri si ottengono dalle relazioni
CCCRRRRR 21221 2
1333
1100
Q
G
GH
GQ
RC
aba
b
0
12
131
1R
QR
QR
RG
CR
34
Filtri a retroazioni multiple (MFB)
● La tensione del nodo A può essereespressa in funzione della tensionedi uscita come
● Inoltre, applicando la formula diMillman si ha
● Imponendo che le due espressioni di VA siano uguali si può ricavare la funzione di trasferimento
o4
5A V
Y
YV
4321
o3i1A YYYY
VYVYV
)( 4321543
41
i
o
YYYYYYY
YY
V
VH
35
Filtro MFB passa-basso
● Per ottenere una risposta di tipopassa-basso
si pone
● In questo modo si ha
253
43
3121
1 ,1
,1
,,1
sCRR
sCR
YYYYY
1111
321322
23221
1
3
i
o
sRRR
RRCsRRCC
R
R
V
VH
1)(
020
2
Qss
KsH
36
Filtro MFB passa-basso
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-basso del 2° ordine si ricava
● Il filtro ha un comportamento di tipo invertente e il suo guadagno in continua (in valore assoluto) è
2132
0
1
CCRR
3212132
1
111
RRRCCRR
CQ
1
3
R
RK
1
30 R
RKH
37
Dimensionamento del filtro MFB passa-basso
● Scelte le capacità in modo che
e tenendo conto del fatto che il guadagno in continua è determinato dal rapporto tra R3 e R1
si ottiene
213
20
2
2132
0
11
CRnR
CCRR
0
31
1
30 H
RR
R
RH
1)( 02
130
130
HCRn
CRQ
12 nCC
38
Dimensionamento del filtro MFB passa-basso
● Dall’espressione di Q si può ricavare R3
● Affinché il risultato sia reale occorre che il rapporto tra le capacitàsoddisfi la condizione
● Si può notare che, dovendo essere Q 0.5 (altrimenti non si hanno poli complessi coniugati) non si può scegliere n 1, cioè non si possono avere due condensatori uguali
QCn
HnQR
10
02
3 2
)1(411
)1(4
1
02
HQ
n
39
Dimensionamento del filtro MFB passa-basso
Riepilogo
● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:
Si scelgono le capacità C1 e C2 in modo che
Si calcolano le resistenze mediante le relazioni
)1(4 02
2
1 HQC
C
QC
CC
HQ
R20
1
20
2
3 2
)1(411
21320
2
1
CCRR
0
31 H
RR
40
Filtro MFB passa-alto
● Per ottenere una risposta di tipopassa-alto
si pone
● In questo modo si ha
1)()(
32112
3221
22121
sCCCRsCCRR
sCCRRsH
1)(
020
2
2
Qss
KssH
252433
1211
1,,,
1,
RsCsC
RsC YYYYY
41
Filtro MFB passa-alto
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-alto del 2° ordine si ricava
● II filtro ha un comportamento di tipo invertente e il suo guadagno ad alta frequenza (in valore assoluto) è
3221
0
1
CCRR
)( 3211
3221
CCCR
CCRRQ
2121 CCRRK
3
1200 C
CKH
42
Dimensionamento del filtro MFB passa-alto
● Scelte le capacità C1 e C2 in modo che
e tenendo conto del fatto che il guadagno ad alta frequenza èdeterminato dal rapporto tra C1 e C3
si ottiene
1)1(0
120
nH
CRnQ
212
20
01
3221
0
1
CRn
HR
CCRR
0
13
3
10 H
CC
C
CH
12 nCC
43
Dimensionamento del filtro MFB passa-alto
● Dall’espressione di Q si può ricavare R2
● Quindi, sostituendo il valore nell’espressione di R1 si ottiene
● In questo caso non si hanno vincoli sul valore di n, quindi si può scegliere C1 C2
10
02
1)1(
Cn
nHQR
1)1(010
01
nHQC
HR
44
Dimensionamento del filtro MFB passa-alto
Riepilogo
● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:
Si scelgono arbitrariamente le capacità C1 e C2
(spesso, per semplicità, si pone C1 C2)
Si calcola la capacità C3
Si calcolano le resistenze0
13 H
CC
112
1010
01
CC
HQC
HR
11
2
10
202 C
CH
C
QR
45
Filtro MFB passa-banda
● Per ottenere una risposta di tipopassa-banda
si pone
● In questo modo si ha
1)()(
2121
21221
21
21
22
21
32
sCC
RRRR
sCCRR
RR
sCRR
RR
sH
1)(
020
2
Qss
KssH
352413
22
11
1,,,
1,
1
RsCsC
RR YYYYY
46
Filtro MFB passa-banda
● Dal confronto con la generica f.d.t. passa-banda del 2° ordine si ricava
● Il filtro ha un comportamento invertente e il suo guadagno a centro banda (in valore assoluto) è
21321
21
0
1
CCRRR
RR
)( 2121
21
21321
21
CCRR
RR
CCRRR
RR
Q
221
32 CRR
RRK
211
2300 CCR
CRQKH
47
Dimensionamento del filtro MFB passa-banda
● Scelte le capacità in modo che
e posto
si ottiene
12 nCC
12 mRR
2
1
)1( 1031
30
nRHR
nR
nRH
m
nmH
nmR
Rmn
nQ
)1)(1(
1
1)1(
1
1 0
1
3
0113110 )1(
111
Hnm
m
RCRRmnC
m
48
Dimensionamento del filtro MFB passa-banda
● Dall’espressione di Q si ricava m
● Si può notare che, affinché m sia positivo deve essere verificata la condizione
● Sostituendo l’espressione di m in quella di 0 si ricava R1
● Di conseguenza si ha
02
0
)1( HnQ
Hm
0101
0110
1
HC
QR
H
Q
RC
02
10
2)1( HnQC
QR
103
)1(
Cn
nQR
120
Q
Hn
49
Dimensionamento del filtro MFB passa-banda
Riepilogo
● Dati 0 Q e H0, i valori dei componenti si possono determinare nel modo seguente:
Si scelgono le capacità C1 e C2 in modo che
Si calcolano le resistenze mediante le relazioni
120
1
2 Q
H
C
C
0101 HC
QR
01
2210
2
1 HCC
QC
QR
1
2
203 1
C
C
C
QR
50
Dimensionamento del filtro MFB passa-banda
● Dalle relazioni precedenti si può notare che
Se H0 2Q2 si può porre C1 C2
Se H0 Q2 si può porre
con cui risulta R2 e quindi si può semplificare il circuito nel modo seguente
120
1
2 Q
H
C
C
51
Filtro elimina-banda
● Collegando l’ingresso e l’uscita di un filtro MFB passa-banda a un sommatore invertente si può realizzare un filtro elimina-banda
52
Filtro elimina-banda
● Per il circuito risultante si ha
dove Hbp è la funzione di trasferimento del filtro passa-banda
● Quindi si ottiene
5
4bp
5
6
i
o6
5i
4
bpio )()(
1)(
R
Rs
R
RsR
RR
sH
V
VHV
HVV
1
)(
020
2
bpbp
Qss
sKsH
1
11
)(
020
24
5bp
020
2
5
6
Qss
sR
RK
Qs
R
RsH
53
Filtro elimina-banda
● Per ottenere una risposta di tipo elimina-banda si deve annullare il termine in s a numeratore di H(s)
● Questo richiede che il rapporto R4/R5 coincida con il guadagno a centro banda del filtro passa-banda
● Complessivamente il filtro ha un comportamento invertente e il suo guadagno (in valore assoluto) è
1
1
)(
020
2
20
2
5
6sb
Qss
s
R
RsH
211
23bp00bp
5
4
4
5bp
0
01
CCR
CRHQK
R
R
R
RK
Q
5
6sb0 R
RH
54
Filtro a variabile di stato
● La relazione ingresso-uscita di un filtro passa-alto può essere riscritta nel modo seguente
● L’ultima relazione può essere rappresentata mediante questo schemaa blocchi, in cui compaiono due integratori con costante si tempo 1/0
hp2
20
hp0
i20hp
i
2
200
20
hp
020
2
2
i
hp
1
11
VVVV
VVV
V
ssQK
sQs
K
Qss
Ks
55
Filtro a variabile di stato
● La tensione di uscita è ottenuta combinando la tensione di ingresso con le tensioni di uscita dei due integratori
● Si può notare che queste tensioni sono legate alla tensione di ingresso dalle relazioni
che corrispondono, rispettivamente, alle funzioni di trasferimento di un filtro passa-banda e di un filtro passa-basso
● Quindi si possono ottenere con lo stesso circuito tutte e tre le risposte
● Le uscite passa-basso e passa alto sono non invertenti, mentre quella passa banda è invertente
● I guadagni corrispondenti (in modulo) sono
10
20
20
i
bp
Qss
sK
V
V
10
20
2
20
i
lp
Qss
K
V
V
20lp0hp0 KHH
20bp0 KQH
56
Filtro a variabile di stato
● Una possibile realizzazione circuitale è la seguente
hp21
4hp
1
4
32
2i
1
4
32
3hp )(
1111 VVVV
sRCR
R
sRCR
R
RR
R
R
R
RR
R
57
Filtro a variabile di stato
● Confrontando le equazioni
e
si riconosce che
e quindi
hp21
4hp
1
4
32
2i
1
4
32
3hp )(
1111 VVVV
sRCR
R
sRCR
R
RR
R
R
R
RR
R
hp2
20
hp0
ihp0hp
1VVVV
ssQH
1121
1
4
2
30
R
RQ
R
R
RC
121
22
2
3bp0
32
3lp0hp0
Q
R
RH
QRR
RHH
58
Filtro a variabile di stato
● Si può notare che rispetto ai filtri di Sallen e Key si ha un’espressione del fattore di merito più semplice (Q dipende solo da R2 e R3)
● Q e possono essere fissati indipendentemente l’uno dall’altro, il che rende più semplice la regolazione del filtro
● Inoltre Q risulta meno dipendente dalle tolleranze dei componenti, e questo rende possibile realizzare fattori di merito più elevati rispetto a quelli che possono essere ottenuti con i filtri precedenti
● Con questa configurazione, però, il guadagno non può essere fissato indipendentemente da Q
59
Approssimazione della f.d.t di un filtro ideale
● La funzione di trasferimento di un filtro ideale non è fisicamente realizzabile, quindi vengono utilizzate opportune funzioni approssimanti che ne riproducono l’andamento entro tolleranze prefissate
● Esistono vari tipi di funzioni approssimanti che danno origine a varie classi di filtri (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer, ecc)
● In seguito, a titolo di esempio, verrà fatto qualche cenno sulle approssimazioni di Butterworth e di Chebyshev
60
Filtri di Butterworth
● Nel caso di un filtro passa-basso l’approssimazione di Butterworth del modulo del guadagno è
dove n rappresenta l’ordine del filtro
● Questa funzione ha la caratteristica che per le sue derivate fino all’ordine n sono nulle, per questo è la risposta di tipo Butterworth èdette massimamente piatta
● Si può notare che, indipendentemente da n, per 0 il modulo di Hvale , che corrisponde a 3 dB
● Per 0 il guadagno decresce con pendenza n20 dB/decade
njH
2
0
1
1)(
2/2
61
Risposta di un filtro passa-basso di Butterworth
62
Filtri di Chebyshev
● Il modulo del guadagno di un filtro bassa-basso di Chebyshev è
dove Cn è il polinomio di Chebyshev di grado n● Nella banda passante il modulo ha dei massimi, di valore 1 e dei minimi
di valore , quindi definisce il valore del ripple nella banda passante
● Il numero complessivo di minimi e massimi (incluso quello nell’origine)è pari a n
● Per 0 il guadagno inizialmente decresce in modo più rapido rispetto al caso del filtro di Butterworth
● Per la pendenza si riduce e tende a n20 dB/decade
0
221
1)(
nC
jH
21/1
63
Risposta di un filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 3 dB)
64
Sintesi in cascata
● Per n 2 la funzione di trasferimento di un filtro, essendo una funzionerazionale, può essere scomposta nel prodotto di termini del primo e del secondo ordine
● Quindi un filtro di ordine n può essere ottenuto collegando in cascata
n2 filtri di del secondo ordine per n pari
n12 filtri del secondo ordine più un filtro del primo ordine per ndispari
● Per i vari tipi di filtro sono disponibili tabelle che riportano i valori normalizzati (rispetto a ) delle pulsazioni di taglio relative ai vari termini e i valori dei fattori di merito, o dei coefficienti di smorzamento 12Q, dei termini del secondo ordine
65
Sintesi di filtri passa-basso e passa-alto
● Di seguito sono riportate, a titolo di esempio, delle tabelle normalizzate relative a filtri passa-basso di Butterworth e di Chebyshev
● Per realizzare un filtro passa-basso i valori delle frequenze normalizzate ricavati dalle tabelle devono essere moltiplicati per la pulsazione di taglio 0 del filtro
● Dato che una risposta di tipo passa-alto può essere ottenuta da una passa-basso sostituendo s0 con 0s, le stesse tabelle possono essere utilizzate anche per il progetto di filtri passa-alto
● In questo caso i valori delle pulsazioni relative ai singoli fattori si ottengono dividendo la pulsazione di taglio 0 del filtro per la frequenza indicata in tabella
● Si può osservare che nel caso dei filtri di Butterworth tutti gli stadi in cascata hanno pulsazione di taglio coincidente con quella del filtro, mentre questo non vale nel caso dei filtri di Chebyshev
66
Esempio di tabella normalizzata
3.19611.10110.70710.56110.506110
12.87911.00010.65310.53219
2.56310.90010.60110.51018
12.24710.80210.55517
1.93210.70710.51816
11.62010.61815
1.30610.54114
11.00013
0.70712
Q5f05Q4f04Q3f03Q2f02Q1f01n
Filtro passa-basso di Butterworth
67
Esempio di tabella normalizzata
0.5900.3041.1270.5242.0440.7543.9210.92812.5221.02210
0.2900.8220.4491.5850.7053.1450.91310.1781.0279
0.5930.3821.1830.6452.4530.8948.0821.0348
0.3770.8460.5751.8470.8686.2331.0457
0.5990.5131.3320.8344.6331.0636
0.5390.9150.7973.2821.0935
0.6190.7892.1831.1534
0.9691.3411.3003
0.7671.8202
Q5f05Q4f04Q3f03Q2f02Q1f01n
Filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 0.1 dB)
68
Esempio di tabella normalizzata
0.7490.2121.8640.4763.5610.7216.9370.90222.2630.99810
0.1591.2600.3772.7130.6625.5270.88118.0290.9989
0.7530.2651.9560.5844.2660.85114.2400.9978
0.2051.2970.4803.1560.80810.8990.9967
0.7610.3532.1980.7478.0040.9956
0.2891.3990.6555.5560.9945
0.7850.5293.5590.9934
0.4942.0180.9973
0.9571.0502
Q5f05Q4f04Q3f03Q2f02Q1f01n
Filtro passa-basso di Chebyshev(ripple = 1 dB)