Formationprofessionnelle–SecondaireI
Mémoireprofessionnel–Volée2015
Etude de paramètres linguistiques et
structurels dans la résolution de
problèmes relatifs au champ conceptuel
multiplicatifpardesélèvesallophones
Réalisépar:
CéliaMichellod
CheminProzchezBoz8
CH–1955Grugnay(Chamoson)
Sousladirectionde:
IsmaïlMili
St-Maurice,le23mai2018
Résumé
Partantd’un constatdans lapratiqueet s’inspirantde travaux sur l’intégrationdesélèves
allophones en mathématiques réalisés dans d’autres pays, ce travail tente de mettre en
évidencelesdifficultéspotentiellesquecesélèvespeuventrencontrerdurantleurscolarité
danslecantonduValais.
Cetterecherchedébuteavecunétatdeslieuxdecequisefaitactuellementpourlesélèves
allophoneslorsdeleurarrivéedanslesystèmescolairevalaisan.Ellesespécialiseensuitesur
l’apprentissagedesmathématiques,etplusprécisémentsurlesélèvesscolarisésen9COen
Valaisromand,premièreannéeducycle3.
Desproblèmesdemathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatifontétéproposés
àdesélèves standardsetàdesélèvesallophonesde trois classesd’uncycled’orientation
valaisan.Leursrésultatsontétéanalysésafindedéterminerlessimilitudesetlesdifférences
observables entre ces deux groupes. Ensuite, une importance accrue a été mise sur les
résultats des élèves allophones dans le but de déceler les origines des difficultés qu’ils
rencontrent.
Enfin,cetravailrelèvequelquescaractéristiquesquelesproblèmesmathématiquesissusdu
champconceptuelmultiplicatifdevraientavoirafind’aideraumieuxlesélèvesallophonesà
connaîtredessituationsderéussitemalgréleursdifficultésliéesàlalangued’enseignement.
Mots-clés
- Elèveallophone
- Intégration
- Mathématiques
- Problèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif
- Difficultés
Tabledesmatières
1 INTRODUCTION.......................................................................................................................12 PROBLÉMATIQUE:LASCOLARISATIONDESÉLÈVESALLOPHONESENVALAISROMAND..........2
2.1 SITUATIONDESÉLÈVESALLOPHONESENVALAIS...............................................................................32.1.1 ReprésentationdesélèvesallophonesdanslesécolesduValaisromand.........................3
2.2 CONTEXTEVALAISANDEL’INTÉGRATIONSCOLAIREDESÉLÈVESALLOPHONES.........................................42.2.1 Soutienpédagogiquepourlesélèvesallophones..............................................................42.2.2 Etatactueldesaménagementspourlesélèvesallophones...............................................5
2.3 OBJECTIFDELARECHERCHE..........................................................................................................53 CADRECONCEPTUEL...............................................................................................................6
3.1 THÉORIEDESCHAMPSCONCEPTUELS..............................................................................................63.1.1 Champconceptuelmultiplicatif.........................................................................................8
3.2 TYPOLOGIEDESPROBLÈMES.........................................................................................................93.3 ANALOGIESDANSLESPROBLÈMESMATHÉMATIQUES......................................................................12
3.3.1 L’analogiedesubstitution................................................................................................133.3.2 L’analogiedescénario.....................................................................................................133.3.3 L’analogiedesimulation..................................................................................................14
3.4 L’APPRENTISSAGEDESMATHÉMATIQUESCHEZLESÉLÈVESALLOPHONES.............................................143.4.1 Lesdifficultésliéesaulangagemathématique................................................................153.4.2 Larésolutiondeproblèmesécrits....................................................................................17
3.5 COMPRÉHENSIONDETEXTE........................................................................................................193.6 TYPOLOGIEDESERREURS...........................................................................................................21
3.6.1 Lacompréhensiondesconsignes.....................................................................................223.6.2 Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes.........................................223.6.3 Lesconceptionsalternativesdesélèves...........................................................................233.6.4 Lesopérationsintellectuellesimpliquées.........................................................................233.6.5 Lesdémarchesadoptées..................................................................................................233.6.6 Lasurchargecognitive.....................................................................................................243.6.7 Lesautresdisciplines.......................................................................................................243.6.8 Lacomplexitépropreducontenu....................................................................................24
3.7 TYPOLOGIEDESERREURSUTILISÉEPOURL’ANALYSEDESPRODUCTIONSDESÉLÈVESALLOPHONES............244 QUESTIONNEMENT...............................................................................................................27
4.1 LAQUESTIONDERECHERCHE......................................................................................................274.2 HYPOTHÈSES............................................................................................................................28
5 MÉTHODOLOGIE...................................................................................................................285.1 MÉTHODECHOISIE....................................................................................................................285.2 ECHANTILLON..........................................................................................................................295.3 OUTILSDERECHERCHE..............................................................................................................29
5.3.1 Constructionduquestionnaire–lesproblèmesproposés...............................................295.3.2 Analyseaprioridesproblèmesproposés.........................................................................32
5.4 CONTRÔLEDESBIAISINHÉRENTSAUCONTRATDIDACTIQUE..............................................................345.5 MÉTHODED’ANALYSEDESDONNÉES............................................................................................35
6 ANALYSEDESDONNÉES........................................................................................................356.1 ELÈVESSTANDARDS...................................................................................................................356.2 ELÈVESALLOPHONES.................................................................................................................406.3 TAUXDERÉUSSITE....................................................................................................................45
6.3.1 Tauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes..........................................................456.3.2 Tauxduchoixcorrectdel’opération................................................................................47
7 INTERPRÉTATIONDESRÉSULTATS.........................................................................................497.1 DIFFÉRENCEDESTAUXDERÉUSSITE.............................................................................................49
7.1.1 Premièrecatégorie–Différencedestauxsupérieureà40%...........................................497.1.2 Deuxièmecatégorie–Différencedestauxentre30%et40%.........................................517.1.3 Troisièmecatégorie–Différencedestauxentre20%et30%..........................................527.1.4 Quatrièmecatégorie–Différencedestauxentre10%et20%........................................547.1.5 Cinquièmecatégorie–Différenceinférieureà10%.........................................................557.1.6 Comparaisondescatégories............................................................................................57
7.2 RÉSOLUTIONDEPROBLÈMESPARLESÉLÈVESALLOPHONES...............................................................587.2.1 Résolutionincorrecte.......................................................................................................587.2.2 Résolutionincorrectemalgréunchoixcorrectdel’opération.........................................607.2.3 Résolutionscorrectes.......................................................................................................617.2.4 Choixcorrectdel’opération.............................................................................................627.2.5 Caractéristiquesdesproblèmesmenantàunesituationderéussite..............................63
7.3 RÉSOLUTIONDEPROBLÈMESPARLESÉLÈVESSTANDARDS................................................................647.3.1 Résolutionsincorrectes....................................................................................................657.3.2 Résolutionscorrectes.......................................................................................................66
8 CONCLUSION.........................................................................................................................688.1 QUESTIONSRESTÉESENSUSPENSETLIMITESDELARECHERCHE.........................................................69
9 BIBLIOGRAPHIE.....................................................................................................................7110 ATTESTATIOND’AUTHENTICITÉ.............................................................................................7411 LISTEDESANNEXES...............................................................................................................75
11.1 ANNEXEI–CONSIGNEPOURLAPASSATIONDESPROBLÈMES............................................................7611.2 ANNEXEII–TABLEAUD’ANALYSEDESPROBLÈMES.........................................................................7711.3 ANNEXEIII–EXEMPLAIREDESPROBLÈMESREMISAUXÉLÈVES.........................................................8111.4 ANNEXEIV–TABLEAUDESRÉSULTATSDESÉLÈVESALLOPHONES......................................................8711.5 ANNEXEV–TABLEAUDESRÉSULTATSDESÉLÈVES«STANDARDS»...................................................89
Listedesgraphiquesetdesillustrations
FIGURE1:RESOLUTIONDESPROBLEMESPARLESELEVESSTANDARDS.................................................................36
FIGURE2:EXEMPLEDERESOLUTIONDUPROBLEME11PARUNELEVESTANDARD................................................36
FIGURE3:CHOIXDEL'OPERATIONPARLESELEVESSTANDARDS.........................................................................37
FIGURE4:EXEMPLEDERESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME9MALGREUNCHOIXCORRECTDEL'OPERATION.......38
FIGURE5:EXEMPLEDERESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME13MALGREUNCHOIXCORRECTDEL'OPERATION.....38
FIGURE6:RESOLUTIONCORRECTEVS.CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONPARLES33ELEVESSTANDARDS...................39
FIGURE7:RESOLUTIONDESPROBLEMESPARLESELEVESALLOPHONES................................................................40
FIGURE8:RESOLUTIONCORRECTEDUPROBLEME10PARUNELEVEALLOPHONE..................................................41
FIGURE9:RESOLUTIONINCORRECTEDUPROBLEME10PARUNELEVEALLOPHONE...............................................41
FIGURE10:PROBLEMEAVECCHOIXCORRECTDEL'OPERATION,MAISMAUVAISCHOIXDESVARIABLES......................41
FIGURE11:CHOIXDEL'OPERATIONPARLESELEVESALLOPHONES......................................................................42
FIGURE12:RESOLUTIONCORRECTEVS.CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONPARLES9ELEVESALLOPHONES.................43
FIGURE13:CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONAVECUTILISATIONCORRECTEDEL’OUTILMATHEMATIQUE,MAISSANS
TERMINERLARESOLUTIONDUPROBLEME16.........................................................................................44
FIGURE14:CHOIXCORRECTDEL'OPERATIONAVECUTILISATIONINCORRECTEDEL’OUTILMATHEMATIQUEPOURLE
PROBLEME16..................................................................................................................................44
FIGURE15:RESOLUTIONCORRECTEDUPROBLEME1SANSOPERATIONNOTEE.....................................................45
FIGURE16:COMPARAISONDUTAUXDEREUSSITEDANSLARESOLUTIONDESPROBLEMES......................................46
FIGURE17:COMPARAISONDESTAUXDECHOIXCORRECTDEL'OPERATION..........................................................48
1
1 Introduction
Cetravailprendsessourcesdansdesobservationsetconstatsquenousavonspuavoirdans
notre pratique quotidienne d’enseignement des mathématiques. L’intégration des élèves
allophonesdanscesclassesasoulevéquelquesquestionsquinousontpoussésàregarderce
qu’ilenétaitailleurs.
DanslaDéclarationuniverselledesDroitsdel’HommedesNationsUnies(1948),l’article26
stipuleque«Toutepersonneadroità l’éducation».Ainsi, chaqueenfantarrivantenâge
d’êtrescolarisédansunnouveaupaysaledroitd’êtreintégrédansuneclasseetd’apprendre.
L’intérêtconcernantcesélèvesestd’autantplusgrandquenousconnaissonsactuellement
uneaugmentationd’élèvesallophonesarrivantdepaysd’Orient(chiffresobtenusauprèsde
M.GillesCarron).
Laquestiondel’intégrationdesélèvesallophonesdanslescoursdemathématiquesn’estde
loinpasnouvelle(Clarksonselaposaitdéjàen1992danssonarticleAComparisonofBilingual
andMonolingual Students ofMathematics)même si son envergure internationale semble
relativementrécente,commeentémoignentlesétudesdeMartiniello(2008)Languageand
the performance of English-Learners in Math Word Problems, et de Berger (2015)
Conceptualizingtheinteractionbetweenlanguageandmathematics:Anintegratedlanguage
andmathematicsmodelofwordproblemsolvingprocessesinEnglishasaforeignlanguage.
Unepremièrerecherchedelalittératurerelativeàl’intégrationdesélèvesallophonesetde
leurs compétences mathématiques nous a aiguillés vers un mémoire de master écrit à
l’UniversitéLaval,auQuébec.Sonauteure,RoxanneTardif-Couture(2016)s’estintéresséeà
laRésolution de problèmes enmathématiques chez les élèves allophones du primaire. En
partant d’une base similaire, nous avons voulu déterminer si ses résultats étaient
transférableschezlesélèvesallophonesduSecondaireIscolarisésenValaisromand.
Danscetravail,nouscommenceronsparnousintéresseràl’étatactueldel’intégrationdes
élèves allophones dans les classes du Valais romand. Ensuite, nous nous attarderons sur
l’apprentissage plus spécifique desmathématiques, et plus particulièrement les difficultés
rencontréeslorsdelarésolutiondeproblèmesécritsetlesoutils,mathématiquesouautres,
nécessaires à leur résolution. Enfin, nous tenterons de déceler les sources des erreurs
2
commisesparlesélèvesallophones.Cecinouspermettrapeut-êtredemettreenavantdes
outils à mettre en place pour aider au mieux ces élèves à s’intégrer dans les cours de
mathématiques.
2 Problématique:lascolarisationdesélèvesallophonesenValaisromand
Depuis passablement d’années, la Suisse accueille des personnes d’autres pays. Ceux-ci
arrivent parfois adultes, d’autres sont encore en âge d’être scolarisés. La plupart de ces
enfantsarriventenSuissesansenconnaîtrelalangueetseretrouventdoncdansunpays,un
village,uneécole,uneclassedontilsneconnaissentnilalangue,nilaculture.L’arrivéedeces
élèvesaimpliquédeschangementségalementpourlesenseignants:ceux-ciseretrouvent
face à des élèves avec lesquels ils ne peuvent communiquer que partiellement, soit en
interagissant principalement avec les signes et un vocabulaire très simplifié, soit en ayant
recoursàdestraducteursendehorsdutempsscolaire.
En1991déjà,laCDIP(ConférencesuissedesDirecteurscantonauxdel’InstructionPublique)
donnaitsesRecommandationsconcernantlascolarisationdesenfantsdelangueétrangère.
L’intégrationdesenfantsmigrantsétaitunepriorité,tantauniveaudelalanguequ’auniveau
culturel. En2007, l’Accord intercantonal sur l’harmonisationde la scolarisationobligatoire
(CDIP)reprendcemêmethèmeetgardelamêmeoptique.
Suite à cela, la nouvelle loi sur le Cycle d’Orientation contient dorénavant des indications
concernantcesélèvesallophones.DansLePetitLarousse Illustré (2005), lenometadjectif
«allophone»estdéfiniainsi:«Seditd’unepersonnedontlalanguematernellen’estpas
celledelacommunautédanslaquelleellesetrouve(p.75)».Danscetravaildemémoire,
nousnousintéresseronsuniquementauxélèvesallophonesscolarisésaucycle3,c'est-à-dire
âgés de 12 à 15 ans, et arrivés récemmentdans le pays d’accueil. Ennousbasant sur les
critèresdesélèvespouvantbénéficierdesoutienpédagogiquepourallophonesdéfinidans
les Directives du 30 avril 2012 relatives au soutien pédagogique hors classe, au soutien
pédagogiquepourélèvesallophonesetauxétudesdirigéesetsurveilléesdanslecadreduCycle
d’orientation,nousavonsnommédeuxcatégories:lesélèves«primo»,arrivésdanslepays
d’accueil,enprincipe,ilyamoinsd’uneannée,etlesélèves«secundo»,arrivés,eux,ilya
généralement moins de deux ans. Les différences entre ces élèves allophones primo et
3
secundo se retrouvent principalement dans le domaine des compétences dans la langue
d’enseignement. Les élèves primo commencent avec le b.a.-ba du français, tandis que les
secundo sont, en principe, déjà capables de tenir une conversation et de comprendre
passablementd’informations.
2.1 SituationdesélèvesallophonesenValais
Au31décembre2015vivaient,enValais,331'763personnes,dont77'084étrangers,soitune
proportionde23%(OfficeCantonaldeStatistiqueetdePéréquation,EtatduValais,2016).
Cetteprésencedemigrantsdeprèsd’unquartde lapopulationexplique, entreautres, la
présence de plus en plus accrue dans les écoles d’élèves d’une autre nationalité, et par
conséquent,aussid’élèvesallophones.Enplusderendrelesclassesdavantagehétérogènes
d’unpointdevuesocial,l’augmentationd’élèvesneparlantpaslalangued’enseignementa
égalementuneffet sur l’enseignantquidoitprendreencomptecesenfants-là.Ceux-cine
doiventpasêtremisdecôté,mais,aucontraire,intégrésdanslaclasse,malgrélabarrièrede
lalangue,commelerecommandentlaCDIPetleConcordatHarmoS.
2.1.1 ReprésentationdesélèvesallophonesdanslesécolesduValaisromand
Selonleschiffresdeseptembre2017obtenusauprèsdeM.GillesCarron,coordinateurdela
scolarisationdesélèvesmigrantsdansleValaisromand,3%desélèvesactuellementscolarisés
enValaisromandsontallophones.Surlestroisdernièresannées,nousavonspuobserverune
diminutiondesarrivéesduPortugal,bienqu’ilsrestentlacommunautéd’allophoneslaplus
représentée.Enrevanche,ilyauneaugmentationdesélèvesarrivantd’Afghanistan,deSyrie
etd’Erythrée,etaussid’Espagneetd’Italie.Notonségalementquedansunpaysmultilingue
commelaSuisse,desdéménagementspeuventaussiameneràavoirdesélèvesallophones
danslaclasse,bienqu’ilssoientdenationalitésuisse.
Enseptembre2017,prèsd’untiersdesélèvesallophonesscolarisésenValaisromand,plus
exactement29%,parlentportugais.Suiventensuitel’italien(10%), l’albanaisetl’arabe(9%
chacun), puis les langues africaines (6%), d’Asie de l’Ouest (5%) et le serbe (ou croate) et
l’espagnol (4% chacun). Les 24% restants concernent d’autres langues moins répandues.
Toutefois,ceschiffresnouspermettentdevoirlenombreimportantdeculturesdifférentes
quenouscôtoyonsdans l’Ecolevalaisanne.Deplus,à laculturesocialeautres’ajouteune
culturescolaire,elleaussidiverse,quipeutentraînerdesmalentenduslorsdelascolarisation
4
decesélèvesdansnotrecanton.Aussi,undialogue,avecinterprète,entrelesparentsetles
enseignantsestsouventnécessaireetbénéfique.
2.2 Contextevalaisandel’intégrationscolairedesélèvesallophones
Lesystèmescolairevalaisanprévoitl’intégrationdesélèvesallophonesdanslesdiverseslois
etdirectives leconcernant.Ainsi,noustrouvonsdans lesrappelsdesDirectivesdu26avril
2001relativesàl’intégrationetàlascolarisationdesélèvesdelangueétrangèredanslecadre
del’écolepubliqueque«lesélèvesdelangueétrangèresontintégrésdansl’écolepublique
(p.1) ». Les élèves allophones ne se retrouvent pas dans une classe particulière, mais
fréquententlesmêmescoursqueleurscamaradesparlantdéjàlalanguedescolarisation.En
revanche,ilsontdroitàunsoutienpédagogiquepourélèvesallophones.
LaLoisurlecycled’orientationde2009,reprend,àl’article41,quelquesinformationssurce
soutien.Elleditque:
- «L’élèveallophonebénéficied’unsoutienpédagogique,sousformepermanenteou
nonpermanente,enprincipedurant le tempsdeclasseetenprincipedurantdeux
ans;ilestscolarisédanssaclassed’âge,danslesniveauxIouII.»
Acelas’ajoutentlesDirectivesdu30avril2012relativesausoutienpédagogiquehorsclasse,
ausoutienpédagogiquepourélèvesallophonesetauxétudesdirigéesetsurveilléesdansle
cadreduCycled’orientation.Ellesdonnentdavantaged’informationssurl’organisationetla
fréquencedusoutienpédagogique.Ainsi,«ilssont,enprincipe,d’aumoins:
- cinqpériodeshebdomadairespourlesélèvesenpremièreannéedescolarisationdans
lalangued’accueil;
- troispériodeshebdomadairespourlesélèvesenrenforcement,lorsdeladeuxième
année».
2.2.1 Soutienpédagogiquepourlesélèvesallophones
Dans lesmêmesDirectivesdu26avril 2001,maiségalementdans cellesdu30avril 2012,
davantaged’informationsconcernantcesheuresdesoutienpédagogiquesontdonnées.Ilest
notéquelesoutiensefaitdurantlesheuresdeclasse.Cescoursneregroupent,enprincipe,
que3à5élèves,enfonctiondesarrivées,etsontdonnéshorsdelaclasseprincipale.
Ilestimportantdenoterque,danslesystèmescolairevalaisan,lesdoublesmesuresnesont
pasaccordées.Autrementdit,unélèveallophonenedevraitpasêtrescolarisédansuneclasse
5
d’observation ou bénéficier d’appuis pédagogiques s’il a déjà des mesures pour son
allophonie,àl’exceptiondescasparticuliers.Cetteparticularitédoitcependantêtregardée
enmémoire,carellepeutexpliquercertainsrésultatsobtenuspardesélèvesarrivésd’autres
paysdéjàavecunfaibleniveau,maispourlesquelslestatutd’allophoneaprimésurl’étatde
leurscapacités.
2.2.2 Etatactueldesaménagementspourlesélèvesallophones
Toujoursdanslecontextelégal,noustrouvonségalementl’Ordonnancerelativeàl’évaluation
dutravaildesélèvesàl’écoleobligatoiredu17juin2015.Cettedernièrecontientplusieurs
pointsimportantsconcernantlesélèvesallophones.Ilya,premièrement,unrappeldustatut
particulier de l’élève durant ses deux premières années de scolarité après son arrivée en
Valais.Cestatutparticulierserapporte,commeditprécédemment,ausoutienpédagogique
quiluiestdonné,maiségalementàla«[dispense]denotespourlesbranchesdanslesquelles
lesconnaissancesenLangue1ontuneinfluencesignificative»(Art.31,al.2).
A la fin de chaque année scolaire de ce statut particulier, l’élève allophone reçoit une
évaluation de ses objectifs d’apprentissage. Celle-ci a été spécifiquement définie par le
Départementetfigureautomatiquementdansledossierd’évaluationdel’élève.Ellepermet
doncunsuividesapprentissages,entreautres,dufrançais.Deplus,l’élèveallophonesuit,en
principe,laclassedanslaquelleilaétéplacé.Ainsi,ilneredoublepas,maisn’estpasnonplus
promu. Ceci évite à l’élève de prendre une trop grande avance en âge par rapport à ses
camarades.
Enfin, au termede son statut particulier, la situation de l’élève allophone est analysée et
évaluéeparladirection,letitulaire,l’enseignantdesoutienetleconseillerpédagogique,afin
dedéterminerlasuiteduparcoursdel’élève(promotion–redoublement–éventuelmaintien
decertainesmesuresparticulières).
2.3 Objectifdelarecherche
Lesmathématiques étant bien souvent considérées comme un langage « universel », les
adaptationsprévuesdanscettedisciplinepourlesélèvesallophonessontquasimentnulles.
Souhaitantnousdémarquerdecesenscommun,nousallonsnousintéresser,danslecadre
decetravail,auxdifficultésrencontréesparlesélèvesallophones,etce,demanièreàpouvoir,
parlasuite,proposerdespistesderemédiationquileursoientadaptées.
6
Pour cette recherche, nous allons recourir à des problèmes à structuremultiplicative afin
d’étudier les différences ou les similitudes entre les élèves dits standards et les élèves
allophones.Cechoixestjustifiéparlefaitqu’ils’agitdeprocéduresabordées,selonlePlan
d’EtudesRomand,durantlecycle2.Ainsi,larésolutiondecegenredeproblèmesdevraitêtre
acquiseen9CO,et,enchoisissantunobjectifmathématiquenormalementatteintàlafinde
la8H,nousdevrionsnousassurerquelesdifficultésrencontréesparlesélèvesallophonesne
sont pas liées à l’utilisation des outils mathématiques, mais bien à des difficultés de
compréhension de la donnée dus à la présence de variables linguistiques compliquant la
perceptionduproblème.
3 Cadreconceptuel
3.1 Théoriedeschampsconceptuels
Lacatégoriedeproblèmesàstructuremultiplicativeseradéfinieetcirconscriteàl’aidedela
théoriedeschampsconceptuelsélaboréeparVergnaud,laquelleapourbut,entreautres,de
« fourniruncadrequipermettedecomprendre les filiationset les rupturesentre […] les
savoir-faire[et]lessavoirsexprimés(Vergnaud,1991,p.135) ».Bienqu’ellesoitdésormais
applicableàd’autresbranchesque lesmathématiques,nousallonsnous intéresseràcette
théoriedeschampsconceptuelspourlamêmeraisonqueVergnaudlorsdesonélaboration,
c'est-à-direlacompréhensiondesprocessusmisenplacepourconceptualiser,notamment,
lesstructuresmultiplicatives.
C’estcetteidéedecadrequinousaincitésànouspenchersurcettethéorieafind’étudierles
procéduresmisesenplacepardesélèvesallophones.C’estégalementcettethéoriequinous
apoussésànousconcentreruniquementsurlesstructuresmultiplicatives.Effectivement,le
Plan d’Etudes Romand (Conférence Intercantonale de l'instruction publique de la Suisse
romandeetduTessin(CIIP),2010),ci-aprèsPER,reprendclairementlatypologiedeVergnaud
danssesobjectifsmathématiquesducycle2.L’objectifMSN23-1ditprécisément«Résoudre
des problèmes additifs et multiplicatifs en traduisant les situations en écritures additive,
soustractive,multiplicativeoudivisive».Cetobjectifdémontrelapréparationfaiteaucycle2
pourensuiteintroduirelecalculalgébriqueaucycle3.Lesstructuresmultiplicativessontdonc
considéréescommeacquiseslorsquelesélèvesarriventen9CO.Duplus,enparcourantles
objectifsMSN(MathématiquesetSciencesnaturelles)duPERpourlecycle3,nousretrouvons
7
desréférencesquasimentimmédiatesauxstructuresmultiplicativesdeVergnaud.Eneffet,
nousretrouvantdansl’objectifMSN33lespointssuivants:
- MSN33-1:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenreconnaissantles
caractéristiques mathématiques d’une situation et en la traduisant en écritures
numériqueoulittérale(CIIP,2010,p.24)»
- MSN33-4:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenchoisissantl’outil
decalcullemieuxappropriéàlasituationproposée(CIIP,2010,p.25)»
- MSN33-8:«Résoudredesproblèmesnumériquesetalgébriquesenmodélisantune
situationdeproportionnalité(CIIP,2010,p.25)»
Ensynthétisantl’objectifMSN33duPER,nouspouvonsdirequ’ilpermetprincipalementde
donnerdusensauxdifférentesopérations(addition,soustraction,multiplicationetdivision,
maisaussipuissanceetracine)afindepouvoir,ensuite,comprendrelesproblèmesdonnés
danslessituationsetsavoirquelle(s)opération(s)utiliser.
Dans sa théorie des champs conceptuels, Vergnaud (1991) distingue deux catégories de
situations.Lapremièrecatégorieregroupelessituationspourlesquellesl’élèvepossèdetout
cedontilabesoinpourlatraiterrapidement.Laseconde,enrevanche,poussel’individuàdes
momentsderéflexionetderecherchesavantdel’ameneràl’échecouàlaréussite.Pources
deuxcatégories,lesujetmetenplacedifférentsprocessus,dontlasuitepeutlemeneràla
réussite.Vergnaudanommécesdifférentesprocéduresdes« schèmes»etlesdéfinitcomme
étant« l’organisationinvariantedelaconduitepouruneclassedesituationsdonnée(1991,
p.136)». Les schèmes s’appliquent néanmoinsplus facilement à la première catégorie de
situationsqu’àlaseconde,danslaquellel’élèveessaiesouventplusd’unemanièredefaire
pourfinalementaboutiràuneréussiteouàunéchec.
EnsynthétisantlesproposdeVergnaud(1991),nouspouvonsdireque,plusunindividuva
rencontrerunecatégoriedesituations,pluslesprocéduresetalgorithmesqu’ilvamettreen
place vont s’automatiser. Ainsi, si l’élève a une bonne connaissance des liens entre le
problèmedelasituationetlesprocéduresàmettreenplacedanscecas-là,alorsleschème
auraunegrandefiabilité,etmènera,enprincipe,àplusderéussitesqued’échecs.Enfaisant
lelienaveclePER,nouspouvonsdirequ’àtraversl’objectifMSN23,c'est-à-diredurantlecycle
2,l’élèvevaassocierdifférentessituationscourantesauxopérationsqu’ildoitmettreenplace
pourlesrésoudre.Aforcederencontrercessituations,lesujetstabiliseralesschèmes.Arrivés
8
aucycle3,etvial’objectifduPERMSN33,lesélèvesstabiliserontdavantagecesprocessuset
lesréutiliserontpourlesstructuresalgébriquesetdanslamodélisationdesituations.Nous
voyonsdonciciquechacundéveloppedanssavieetdanssoncursusscolairedeshabitudes
et des automatismes pour la résolution de problèmes en fonction des indices et routines
contenusdans la situation, toutengardant le contrôle grâceauxdécisions consciemment
prisesdurantlarésolutionduproblème.
Danssathéoriedeschampsconceptuels,Vergnaud(1991)seconcentreprincipalementsurle
fonctionnementcognitifetdonclamiseenplacedesschèmesdanslessituations.Lesschèmes
quisedéveloppentpeuàpeudansl’apprentissagedesmathématiques,entreautres,peuvent
tousêtreclasséspouruntypedesituationavecdescaractéristiquesbiendéfinies.Cependant,
lefaitd’avoirdéveloppécesschèmesetdelesavoirclassésn’empêchepaslesujetd’enutiliser
demanièreinefficace.Cesschèmesontétéanalysésdansdiversessituationsdanslebutde
comprendre en quoi consistaient les concepts. Suite à cela, Vergnaud a défini le concept
commeétant«untripletdetroisensembles:
- l’ensembledessituationsquidonnentdusensauconcept(laréférence)
- l’ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le
signifié)
- l’ensembledesformeslangagièresetnonlangagièresquipermettentdereprésenter
symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de
traitement(lesignifiant)(1991,p.145)».
3.1.1 Champconceptuelmultiplicatif
Vergnaudconsidèreun«champconceptuelcommeunensembledesituations(1991,p.146)»
nécessitant le même genre d’opérations. Ainsi, il définit ensuite le champ conceptuel
multiplicatifcommeétantl’ensembledessituationsquidemandentunemultiplicationouune
division, ou encore une combinaison de ces deux opérations pour leur résolution. Les
situations sont vues comme une combinaison de tâches dont l’analyse peut se faire, par
exemple,sousl’anglelinguistique,sousceluidutraitementdel’information,ouencore,dans
lecasdeVergnaud,sousl’angledeschampsconceptuels.Cettethéoriemetenavant,dans
cetteanalyse,les«modèlesquidonnentunrôleessentielauxconceptsmathématiqueseux-
mêmes(Vergnaud,1991,p.146)».Ainsi,Vergnaudcomplète ladéfinitiond’unestructure,
qu’ellesoitadditiveoumultiplicative,enajoutantàl’ensembledessituationsexigeantune
9
certaineopération,touslesconceptsetlesthéorèmesutiliséspouranalysercessituationsen
tantquetâchemathématique.
Pourlesstructuresmultiplicatives,Vergnaudsouligne,parmid’autres,lesconceptssuivants:
«proportion simpleetproportionmultiple, fonction linéaireetn-linéaire, rapport scalaire
direct et indirect, quotient et produit de dimensions, combinaison linéaire et application
linéaire,fraction,rapport,nombrerationnel,multipleetdiviseur,etc.(1991,p.148)».Ilexiste
entout«trente-troiscatégoriesdeproblèmesmultiplicatifs»(GraffetWozniak,2011,p.10).
Danslesstructuresmultiplicatives, lesrelationsdebaselesplussimplessontquaternaires,
c'est-à-direavecquatredonnéesounombresenjeu,carlesproblèmeslesplussimplesissus
decechampconceptuel«impliquentlaproportionsimplededeuxvariablesl’uneparrapport
à l’autre(Vergnaud,1991,p.153)».Ceciapermisdecréer«quatreclassesdeproblèmes
élémentaires:
- lamultiplication
- ladivision-partition
- ladivisionquotition
- laquatrièmeproportionnelle(Vergnaud,1991,p.153-154)».
A cette proportionnalité simple s’ajoute la proportionnalité double, dans laquelle six
grandeurs,etparconséquenttroisrapports,sontenjeu.Ilexisteégalementplusieursclasses
danscettesecondecatégorie.
Ces situations sont déjà passablement variées,mais au seinmême d’une seule classe de
problèmes,unevariétébienplusgrandeexisteencore.Eneffet,enfonctiondel’ensemblede
nombresutilisépourlasituation,leproblèmeseraplusoumoinscompliqué,carlesefforts
cognitifsattendusdel’élèveneserontpaslesmêmess’ils’agitdenombresentiersnaturels
oudenombresréelsetdefractions.
3.2 Typologiedesproblèmes
DanssonouvrageLathéoriedeschampsconceptuels(1991),Vergnaudabordelatypologie
desproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif.Cependant,afindedétailleraumieux
cettetypologieetainsiclasserlesproblèmesquenousallonssoumettreànosélèves,nous
allons également faire référence aux Situations multiplicatives d’Olivier Graff et Benoît
Wozniak(2011),quicitentVergnaud.
10
Graff et Wozniak (2011) ont regroupé les problèmes mathématiques à structures
multiplicativesdanstroiscatégories.
1. Classe1:Unseuldomainedegrandeur
Danscettepremièreclasse,touslesproblèmesneseréfèrentqu’àunseuldomaine
degrandeur,commeparexempledesprix,oudesgrandeurs,etc.Ilexisteunerelation
entredeuxmesuresissuesdumêmedomainedegrandeurs.Cetterelation,appelée
rapportscalaire,peutêtredonnéeoualorscachée.Danslepremiercas,lerapportest
explicite,etc’est ladeuxièmegrandeurquiest recherchée.Onparleégalementde
problèmesternaires,cartroisnombressontenjeu:deuxgrandeursetleurrapport.
Danslesecondcas,lesdeuxgrandeurssontconnuesetnousrecherchonslerapport
quileslie.Enfonctiondelaplacedel’inconnue,leproblèmerequiertunerelationde
multiplicationouunerelationdedivision.
Dans cette première catégorie, nous retrouvons les problèmes de variation d’une
grandeur(avecrapportexpliciteouimplicite),ceuxportantsurlacompositiondedeux
variationsd’unegrandeuretlescomparaisonsdegrandeurs(nfoisplus,nfoismoins).
2. Classe2:Deuxdomainesdegrandeur
Dans cettedeuxièmecatégorie, il peut yavoirparexempledeskilogrammesetde
l’argent.Larelationquiliecesdeuxgrandeursn’estpasunrapportscalaire,maisun
rapport fonctionnel ou coefficient de proportionnalité. Il s’agit par exemple de la
variationd’unprixenfonctiondunombredekilogrammesachetés.
Cetteclasseregroupelesproblèmesdeproportionnalité,aussiappelés«problèmes
quartenaires,carilyaquatrenombresenjeu:deuxmesuresdegrandeurs(chacune
appartenantàundomainedegrandeur),lerapportfonctionneldéfinientrelesdeux
domainesdegrandeurs,etl’inconnue(Graff&Wozniak,2011)p.169).»
Bienquetravaillantavecquatrenombres,dont l’inconnue, ilarrivenéanmoinsque
seuls deux d’entre eux soient explicitement présentés dans la donnée. Souvent, le
troisièmenombreenjeuestimplicite,puisqu’ils’agitdel’unité.Ilyadoncdeuxsous-
classesdifférentesenfonctiondelaréférenceounonàl’unitédansladonnée.
Nous trouvons dans ce groupe les catégories suivantes : multiplication, division-
partition, division-quotition, la quatrième proportionnelle – dans laquelle la valeur
11
d’un multiple de l’unité est connue – et enfin, les problèmes de comparaison de
rapportdeproportionnelle.
Ilestimportantdereleverqueladifficultédesproblèmesdecettecatégorieesttrès
inégale. En effet, la quatrième proportionnelle et les comparaisons de rapport de
proportionnellesontcertainementlesplusdifficiles.Cependant, lesautrestypesde
problèmes impliquent diverses opérations mentales chez les élèves, variables en
fonctiondeleurcompréhensiondeladonnée.Laplacedel’inconnuejoueégalement
unrôledansledegrédedifficultéduproblème.
3. Classe3:Troisdomainesdegrandeur
Enfin,dansladernièreclassedeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif,
trois domaines de grandeur sont en jeu. Elle regroupe deux sous-classes de
problèmes :ceuxdont lestroisdomainesdegrandeursont liésparunerelationde
proportionnalité (proportionnalité simple composée) et ceux pour lesquels les
grandeursn’ontpasdelien(proportionnalitédouble).
Danslaproportionnalitésimplecomposée,ilyaunpremierrapportentrelepremier
et ledeuxièmedomainedegrandeuretunsecondrapportentre ledeuxièmeet le
troisièmedomaine. Par conséquent, une troisième relationdeproportionnalité est
implicitementdéduiteentrelepremieretletroisièmedomaine.
Danslaproportionnalitédouble,aucunerelationdeproportionnaliténelielesdeux
premiersdomainesdegrandeur.Ilssontindépendants.Letroisièmedomaine,lui,est
la«grandeur-produitdesdeuxautresdomaines(Graff&Wozniak,2011,p.176).»
Celasignifiequelesmesuresdutroisièmedomainesontforméesdel’associationd’une
mesuredupremierdomaineetd’unedudeuxièmedomaine.
Dans cette dernière catégorie, la place de l’inconnue diversifie le nombre de cas
différentsdeproblèmespossiblesetinfluenceladifficultédeceux-ci.
Pour conclure cette typologie des problèmes issus du champ conceptuel multiplicatif de
Vergnaud, notons que celle-ci est séparée en trois catégories en fonction du nombre de
grandeursenjeu.Elleregroupetrente-troiscatégoriesdeproblèmes,habituellementappelés
problèmesdemultiplicationetdedivisionetproblèmesdeproportionnalité(Graff&Wozniak,
2011).
12
Unproblèmemathématiquepeutdoncêtreclassédansl’uneoul’autredescatégoriesdeson
champconceptuel.Cependant,Vergnaudacréésatypologieenprêtantattentionuniquement
au point de vue conceptuel et non pas à la difficulté supposée des problèmes. Aussi, sa
classificationnecorrespondpasàunehiérarchisationdesproblèmes.EmmanuelSander(à
paraître) s’est, de manière complémentaire, intéressé aux analogies présentes dans les
problèmesmathématiquesets’estdemandéàquelpointleurprésencedansl’énoncéétait
facilitatrice.Nouspourrionsdonctraitercesmêmesénoncésmathématiquesissusduchamp
conceptuelmultiplicatif de Vergnaud selon la présence ou non des analogies décrites par
Sander et trouver une classification toute autre. Il convient alors de définir ce qu’est une
analogiedupointdevuedeSanderetdedécrirelestroisanalogiesdifférentesqu’ilobserve.
3.3 Analogiesdanslesproblèmesmathématiques
Faireuneanalogie,c’estessayerdecomprendrequelquechosedenouveauàpartird’une
situation similairedéjà connue.Bienquechaque instantquenousvivions soitdifférentet
unique,ilexisteentreeuxd’infimessimilitudes.Ainsi,nousnousbasonssurdesexpériences
déjàvécuespourenaborderunenouvellequialimentealorsunpeuplusnotrebagagede
connaissances.D’unpointdevuescolaire,leprocessusestsimilaire:lesélèvesabordentles
nouveauxconceptsetnotionsautraversdesconnaissancesqu’ilsontdéjàetdesconceptions
construitesprécédemment.Chaqueélèveconstruiradoncsespropresanalogiesenfonction
de son vécu et Emmanuel Sander (à paraître) s’est basé sur ce principe pour étudier les
apprentissagesscolaires.
Ceprinciperemonteautempsd’Aristote,quiadéfinil’analogieenparlantderelationsimilaire
entredeuxcouplesd’objets.Ilpeutêtrerésuméendisantque«DestàCcequeBestàA
(Sander,àparaître,p.1)».Peuàpeu,lesensdel’analogies’estmodifié.Elledevientalorsce
quipermetdecomprendreunesituationnouvelleauxregardsdeconnaissancesantérieures
(Holyoak&Thagard,1995etGick&Holyoak,1983,citésdansSander,àparaître).Lasymétrie
existante du temps d’Aristote a laissé la place à une asymétrie, une première situation
amenantàl’analogiedontbénéficieralaseconde.Lasituationestalors«vuecomme»une
autre(Sander,àparaître).
Sanderadistinguétroisanalogiesdifférentesayantuneinfluencesurlesélèves.Ils’agitdes
analogies de substitution, de scénario et de simulation. Elles peuvent soit avoir un effet
bénéfiqueenaidantlesélèvesàcomprendreunenotionourésoudreunproblème,soit,au
13
contraire, lesmener dans une autre direction que celle attenduepar la situation ou celle
permettantderésoudreleproblème.Laprésenceounondecesanalogiesdansunénoncé
affecteradirectementlacomplexitédecedernier.
Dans notre recherche, nous utiliserons ces trois analogies pour classer les problèmes
mathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatifsoumisànosélèves.Nouspourrons
ainsivoirsil’une,l’autre,oulacombinaisondecertainesdecesanalogiesmettentlesélèves
allophonesplusfacilementensituationderéussitedansl’apprentissagedesmathématiques.
3.3.1 L’analogiedesubstitution
Les analogies de substitution sont celles où un concept scolaire peut être vu selon une
pratiquede laviede tous les jours. L’élèvevaalors remplacer lanotionscolaireparcette
connaissanceplusfamilière,d’oùlenomdesubstitution.Lesexempleslesplusflagrantssont
« additionner, c’estmettre ensemble » ou « soustraire, c’est enlever » [traduction libre]
(Fischbein,Deri,SainatiNello,&SciolisMarino,1985).Cetyped’analogiepeutêtretrèsutilisé
parlesélèvesdanslamesureoùlerésultatestcorrect.Cependant,ilaseslimites,commepar
exemple dans les situations avec les nombres relatifs. En effet, dans celle-ci, l’analogie
«soustraire,c’estenlever»nefonctionneplus,car(+8)-(-3)≠5.
Lesanalogiesdesubstitutionsontpassablementancréesdanslesconceptionsdesélèves.Par
conséquent, on ne peut s’attendre à les faire entièrement disparaître. Néanmoins, ces
analogies doivent cohabiter avec la notion mathématique correcte, en étant considérées
commedesformesstéréotypéesauxquelleslesnotionscorrectesnepeuventpasêtreréduites
(Sander,àparaître).
3.3.2 L’analogiedescénario
Lesanalogiesdescénariosontégalementenlienaveclaviequotidienne.Maisplutôtquede
s’intéresser à une notion utilisée quotidiennement, elles font référence aux scénarios
rencontrésdanslaviedetouslesjours.Pourciterquelquesexemples,ilyadesbouquetsde
fleursavecdeuxvariétésdifférentes,deschocolatsàdistribueràdesenfantsouencoreun
trocàfaireentredeuxsortesdefruits,sachantqu’uneorangevauttroispoires.Danslaplupart
decescas,unplusoumoinsgrandnombred’objetsestpartagéenunmoinsgrandnombre
d’autresobjets,cequicorrespondaumodèleimplicitequelesélèvespossèdent(Fischbeinet
al.,1985)
14
Lesanalogiesdescénarioaiderontlesélèvesverslebonrésultatquandcelles-cisontenlien
aveclanotionmathématique,telquelorsqu’ilyadeschocolatsàdistribueràdesenfants.En
revanche,ellespeuventinduireenerreurdansdessituationstellesquecelledutrocoualors
quandcelan’estpasconformeaumodèleimplicite(Fischbeinetal.,1985;Sander,àparaître).
3.3.3 L’analogiedesimulation
Enfin, Emmanuel Sander (à paraître) parle d’analogie de simulation lorsqu’il y a une
«simulationmentaledelasituationévoquéeenvuederésoudreleproblème(p.9)».Ces
analogiespeuventameneràlarésolutioncorrectedeproblèmesfaisantappelàdesnotions
mathématiquespasencorevues.
Lesanalogiesde simulation sont facilitatricesquandellespeuventêtremisesenplace.En
revanche,l’impossibilitédel’appliquerajouteradeladifficultéàl’énoncé.L’exemplesuivant
esttiréd’unerecherchedeSchliemanetal.(1998,citédansSander,àparaître).Unproblème
demandantleprixdetroisobjetsàcinquantefrancsserabeaucoupplusfacilequ’unproblème
demandantleprixdecinquanteobjetsàtroisfrancs.Effectivement,lasimulationmentaledu
premierproblèmemèneraaucalcul50+50+50,opérationmentalementfaisable,tandisque
celledudeuxièmeénoncé(3+3+3+...,cinquantefois)nécessiteunetrèsbonnemémoire
pourfairechaqueopérationtoutensachantcombiendetermesilresteàajouter.
Seloncettetypologie,unproblèmepossédantlestroistypesd’analogiedevraitprésenterun
tauxderéussiteplusélevéqu’unautretypedeproblème.Toutefois,lesrésultatsdeSander
netenantpascomptedelalangued’originedel’apprenantetsoncaractèreallophone,ilnous
semble important de préciser les difficultés spécifiques que ceux-ci rencontrent dans
l’apprentissagedesmathématiques,etplusparticulièrementdanslarésolutiondeproblèmes.
3.4 L’apprentissagedesmathématiqueschezlesélèvesallophones
UnélèveallophonerécemmentarrivéenSuisse,plusparticulièrementdansleValaisromand,
vadevoirfairefaceàplusieursdifficultés,commenousl’avonsdéjàévoquéprécédemment.
Lesdifficultésliéesàlalangueetàlacultureseretrouventaussidansd’autrespaysetd’autres
continents.Ainsi,Kersaint,Thompson,&Petkova(2013),professeursdemathématiquesdans
des universités américaines, soulèvent les mêmes problèmes concernant les élèves
allophones,appeléschezeux«EnglishLanguageLearners».Ilsnotentleseffortsfaitsparces
élèves,qui,enplusdedevoirapprendredansunenvironnementcultureletlinguistiquepeu
15
familier, doivent également le faire sans certaines connaissances de base, telles que le
vocabulairemathématiqueainsiqued’autres informationsculturellesque lesélèvesnatifs
peuvent employer dans la résolution de problèmes. Ajoutons à cela le fait que les
mathématiques ont leur propre langage, leur vocabulaire spécifique, leurs tournures de
phrases,etc.(Kersaintetal.,2013).Nousimaginonsdonclesdifficultés,etpeut-êtreaussile
découragement,quecesélèvesnouvellementarrivésdansnosclassespeuventéprouver.
3.4.1 Lesdifficultésliéesaulangagemathématique
Lelangagemathématiqueétantpropreàlui-même,nouspouvonsleconsidérercommeune
troisième langueque l’élèveallophoneesten traind’apprendre.Kersaintetal. (2013)ont
relevé cinq catégories de difficultés liées à ce langagemathématique : le vocabulaire, les
représentationssymboliques,lasyntaxe,lasémantiqueetlescaractéristiqueslinguistiquesdu
discours[traductionlibre](p.43).
3.4.1.1 Levocabulaire
En plus d’avoir des termes purement spécifiques, tels que « trapèze » ou « cathète », le
vocabulairemathématiquereprendaussidesmotsdulangagecouranttoutenleurdonnant
unesignificationparticulièrelorsqu’ilssontutilisésdansuncontextemathématiques.Ilya,
parexemple,lemot«terme»,quidésignelesmembresd’uneadditionenmathématiques,
alorsqu’ilpeutêtreunsynonymede«mot»danslelangagecourant.
Acesmotspolysémiquess’ajoutelamultitudedesynonymesutiliséspourdirelamêmechose.
Prenonsenexemplelesmots«plus»et«et»quireprésententtousdeuxl’addition.Bien
qu’il puisse paraître relativement simple de compréhension, il faut prendre en compte
l’utilisationplusrare,maismalgrétoutconcrète,decertainssynonymesmoinshabituels,tels
que«augmentéde»ou«combinéà»,quipourraientmettrel’élèveallophoneendifficultés
danslacompréhensiondeladonnée(Kersaintetal.,2013,p.44).
3.4.1.2 Lesreprésentationssymboliques
Enplusdesonvocabulairespécifique,lelangagemathématiqueestégalementconstituéde
symboles. Ces symboles ont une signification que l’élève allophone doit comprendre et
associeràleurreprésentation.Certainsd’entreeuxsontnommésàl’aidedeplusieursmots,
d’autres peuvent être verbalisés de différentes façons, ou encore, certaines significations
peuventêtreassociéesàplusieurssymboles.Voiciquelquesexemples:
- «<»verbalisécomme«est(strictement)pluspetitque»
16
- «4�5»peutêtrelu«4fois5»oualors«leproduitde4et5»,ouencore«4multiplie
5»
- Lamultiplicationpeut être représentéepar le symbole « � », le symbole «× » ouencore,peutêtreimplicitecommedansl’expression«5(x+2)».
Ladifficultéproduitepar les symbolespeutencoreêtreaccentuéesi les symbolesque les
élèvesutilisaientdansleurpaysd’originediffèrentdeceuxutilisésdansleurnouveaupaysde
scolarisation(Kersaintetal.,2013,p.45).
3.4.1.3 Lasyntaxe
Uneautredifficultérencontréeparlesélèvesallophonesestliéeàlasyntaxe.Ceciapparaît
plus particulièrement dans les problèmes. En effet, lorsqu’un élève est confronté à une
situationdutype:«Lenombreaest5deplusquelenombreb[traductionlibre](Kersaintet
al.,2013,p.45)»,latraductionalgébriqueserasouventa+5=b,plutôtquea=b+5.Cette
erreur, également relevée chez des élèves non allophones, est due à une attente de
correspondanceexacteentrel’énoncéduproblèmeetsareprésentationalgébrique.
Bienquelesconnecteurslogiquestelsquesietseulementsi,si…alors,utiliséspourexprimer
larelationentredeuxpropositions,nesoientpasencoreutilisésenpremièreannéedecycle
3(annéequinousintéressepournotrerecherche), ilenestd’autres,plussimples,comme
mais,nfoisplusgrandque,qui,s’ilsnesontpascomprisparl’individu,peuventl’empêcher
desaisirpleinementlesensd’unedonnée.Enplusdereconnaîtrecesmotsougroupesde
mots,l’élèvedoitégalementcomprendrecequ’ilssignifient,leurrôledanslastructured’une
phraseetleurimplicationmathématique.
Finalement, le dernier point que relèvent Kersaint et al. est l’utilisation régulière en
mathématiquesdephrasesàlaformepassive,bienquecelanesoitqueraredansl’utilisation
courantedulangagedetouslesjours(2013,p.46).
3.4.1.4 Lasémantique
Lasémantiqueconcernelesensquiestdonnéaulangage.L’undespointsimportantspour
comprendreunephraseouuntexteestlacapacitédecomprendrecommentsontfaitesles
références,commedanscetexemple,traduitlibrementdeKersaintetal.(2013):8foisun
nombreest30deplusque6foiscenombre(p.46).Afindepouvoirconvertirceproblèmeen
équation,l’élèvedoitcomprendreque«unnombre»et«cenombre»fontréférenceàun
seuletmêmenombre.
17
Uneautredifficultéestdueàlafoisàlasémantiqueetauvocabulaire,l’uneetl’autreétant
étroitementliés.Effectivement,lorsquel’élèveseretrouveconfrontéàunmotayantplusieurs
sens d’un point de vuemathématique, il doit déduire de quelle signification il s’agit. Par
exemple,pourlemot«carré»,ildoitsavoirs’ils’agitdelaformegéométrique,del’élévation
àlapuissancedeuxouencoredelaracinecarréed’unnombre.
Enfin, certaines phrases peuvent paraître très semblables en apparence, mais leur sens
demeure complètementdifférent. Il peutêtre très compliquépourunélèveallophonede
saisir les différences entre les expressions « 6 moins 4 » et « 6 de moins que 4 »,
respectivementreprésentéesmathématiquementpar«6–4»et«4–6»(Kersaintetal.,
2013,p.47).
3.4.1.5 Lescaractéristiqueslinguistiquesdudiscoursmathématique
L’unedesgrandesdifférencesentrelelangagemathématiqueetlelangageusueldetousles
jours est le manque de redondance. Effectivement, alors que l’on peut s’attendre à des
répétitionsouàdesexplicationsavecd’autresmotslorsquel’ondiscuteavecquelqu’un,le
langagemathématique se veut très précis et succinct. A l’écrit s’ajoute unemultitude de
symboles ayant une ou plusieurs significations précises, comme vu précédemment. Les
définitionsdenotionsmathématiquessont,pourlesélèvesallophones,unesuitedetermes
remplis d’informations qu’ils doivent combiner pour en comprendre le sens. Souvent, la
multiplicitédessenspourunmotdonnéenmathématiqueobligel’élèvenonpasàapprendre
lasignificationd’unmot,maisd’endéduirelesensautraversducontexte.
Les problèmes poussent ces élèves à travailler à la fois sur le plan linguistique et le plan
mathématique. Mais à cela s’ajoutent d’autres complications, comme le manque de
familiaritéaveclecontexteculturel,lescompréhensionserronéesd’expressionsidiomatiques,
lapeineàsereprésenterlasituationcontextuelle,ouencore,latraductionlittéraledesmots
présentsdansladonnée(Kersaintetal.,2013,p.48).
3.4.2 Larésolutiondeproblèmesécrits
DansleurarticleWordproblems:areviewoflinguisticandnumericalfactorscontributingto
theirdifficulty(2015),Daroczy,Wolska,Meurers&Nuerkexpliquentquelesproblèmesécrits,
c'est-à-direlesproblèmesmathématiquesdonnésàl’aided’unénoncéetnonpasuniquement
grâceàuncalcul,sontlestâcheslespluscomplexesrencontréesparlesélèves,entreautreà
18
cause de la complexité linguistique. En effet, les informations sont données sous forme
syntaxiqueetnonsousformemathématique.
LacomplexitélinguistiquedontparlentDaroczyetal.(2015)pourlaréalisationdeproblèmes
écritschezdesélèvesordinairesimpliqueégalementunedifficultédecompréhensiondutexte
pourlesélèvesallophones.Nousreviendronssurlesprocessusdecompréhensiondetexte
plusloin.
Demanièresimilaire,Thevenot,Devidal,Barrouillet,&Fayol,(2007)parlentd’unproblème
mathématiquecommeétantunesituationdécriteàl’aidedemots.Ainsi,lapersonnequiveut
résoudreceproblèmedoitsereprésentercettesituation,etyintégrerlesrelationsentreles
éléments présentés dans la donnée du problème. Cette représentation peut être
extrêmementdifférenteenfonctiondesélèves,entreautresàcausedeleurâge,maisplus
directementenraisondeleursexpériencespréalablesenrésolutiondeproblèmes.Apartirde
cela, nous admettons que la représentation construite par un élève allophone peut être
d’autantplusvariée suiteauxéventuellesdifficultésdecompréhensiondesmotsprésents
dansladonnée.
ToujoursselonThevenotetal.(2007),quicitentCummins(1991),lesdifficultésrencontrées
par lesélèvesordinairesdans la résolutiondeproblèmesmathématiquessontduesàune
mauvaise compréhension des expressions linguistiques contenues dans la donnée et par
conséquent,lechoixd’unmauvaisschématraditionnelderésolutiondeproblème.Eneffet,
selonKintsch&Greeno,(1985),l’élèveseconstruitunereprésentationduproblèmequiest
ensuite inséréedansunouplusieursschémastraditionnelsderésolutiondeproblème.Les
schémastraditionnelssontconservésdanslamémoireà longtermeetsontactivéspar les
différentsmotsouphrasescontenusdansladonnéeduproblème.Ceux-ciétantstockéssans
êtrecomplets,lestroussontbouchésparlesinformationscontenuesdansladonnée.Ainsi,
unmottelque«ensemble»devraitmenerl’élèveàlabonneopération,saufsicedernierne
voitpascetindicesyntaxiqueouleconfondavecunautre.Cesindicespeuventmenerl’élève
à faire un choix correct ou les en empêcher en fonction aussi des valeurs présentes dans
l’énoncé(Nesher&Teubal,1975).Néanmoins,Thevenotetal.(2007)rajoutentque,d’après
Reusser (1989),StaubetReusser (1995)etNathan,KintschetYoung (1992), lemodèlede
KintschetGreeno(1985)est tropstrictetsebaseuniquementsur la théoriedesschémas
traditionnels.Cesauteursévoquentl’existenced’unmodèlederésolutiondeproblèmenese
19
basantpassurlesmathématiques,maissurlasituationetsareprésentationdanslaviede
touslesjours.Danscemodèle-là,lesdifficultésrencontréesnesontpasduesàdessoucisde
correspondance linguistiqueet schématique,maisàde lapeineàcomprendre la situation
décrite.Cetteidéedeprocessusestd’ailleurssemblableàl’analogiedesubstitutiondécrite
parSander(àparaître).
Lesdifférencesprincipalesentrecesdeuxmodèlessontlesinformationsretenues.Alorsque
leschématraditionneldeKintschetGreeno(1985)estgardédanslamémoireàlongtermeet
réactivéenfonctiondesbesoins,lasituationmentaledeReusser(1989)eststockéedansla
mémoiredetravail.Celle-cicontientalorsdesinformationsmathématiques,maiségalement
d’autresinformationsconcernantlasituation.
Ces deux modèles soulèvent un aspect intéressant de la résolution de problèmes
mathématiqueschez lesélèvesallophones.Effectivement,enplusde lacunesdesschémas
mathématiquesdelamémoireàlongterme,cesélèves-làpeuventavoirdesdifficultésàse
représenterlessituationsdécritesdanslesdonnéesdeproblèmesdanslaviedetouslesjours.
Cesdifficultéspeuventêtreduesàdeslacunessémantiques,maiségalementauxdifférences
socialesetculturelles.
3.5 Compréhensiondetexte
Parmilesdifficultésrecenséesplushautfigurelacompréhensiondetexte,laquellepeutêtre,
pourdesraisonsévidentes,particulièrementdélicatepourunélèveallophone.Leprocessus
decompréhensiondetextesedéveloppeenmêmetempsquel’enfantquiapprendàliredans
salangue,maisildoitêtrerapidementacquisparlesélèvesallophonespourleurpermettre
unecompréhensionentièredutextequ’ilslisent.Certainsdétailsdutexte,doncdel’énoncé
duproblème,peuventnepasêtrecomprisenraisondeceslacunes.
WalterKintschetKatherineA.Rawson(2005)sesontpenchéssur lesprocessus impliqués
dans la compréhension des textes. Ceux-ci concernent tout lecteur de textes, et non pas
uniquement les personnes allophones. Les auteurs se sont basés sur la description des
processusdecompréhensionrépartissurplusieursniveauxfaiteparKintsch,danssonouvrage
Comprehension:AParadigmforCognition(1998).
Lepremierniveauconcernelalinguistique,c’est-à-direledécodagedemotsetdesphrases
contenusdans le texte. Lesmots sont reconnus, tout comme leur rôledans laphrase.Au
20
niveau suivant, il s’agitd’analyser sémantiquement le texte, autrementditde trouver son
sens,sasignification.Cecisefaitàtraversl’analysedesmotsetdeleursens,enprenanten
comptecequileslie.Cesliensentrelesmotsetlesensdesmotsestappelélamicrostructure
dutexte,encomparaisonà lamacrostructure,quiconcerne la reconnaissanceducontenu
sémantiqueglobaldutexte.L’analysedelamicrostructure,c'est-à-diredeslienssyntaxiques
entre les mots ou groupes de mots, ainsi que de la cohérence entre ces phrases ou
propositions amènent à la compréhension du texte. Cependant, les inférences, mais
égalementl’identificationdeceàquoiunpronomfaitréférence,sontsouventnécessaires,
voiremêmerequis,pourpermettred’avoirunecohérencedansletexte,et,parconséquent,
meneràsacompréhensioncomplèteetdiscursive.
Ensemble, la microstructure et la macrostructure forment la base de texte. Celle-ci
« représente la signification du texte, telle qu’elle est réellement exprimée par le texte
[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.211)».Néanmoins,lacompréhensioncomplète
dutextepeutêtrefortementréduitesilelecteurnecomprendquecequiestexplicitement
dit dans le texte. En principe, durant la lecture, le lecteur se construit un modèle de la
situation,danslequelilsereprésentecequ’illit.Ilajoute,danscemodèle,desconnaissances
antérieures, mais également des expériences personnelles, voire même des informations
sorties de son imagination. Tout ceci est primordial pour comprendre un texte dans son
intégralité.
Nous voyons ici qu’un élève a plusieurs sortes d’efforts cognitifs à faire lorsqu’il lit un
problèmemathématique,avantmêmederéfléchiràsarésolution.Pourlesélèvesallophones,
ces efforts seront encore plus importants, car ils peuvent avoir des difficultés sur le plan
linguistique, mais également sur le plan sémantique, deux points fondamentaux dans la
compréhensioncomplètedutexte.
Sur le plan sémantique, Kintsch et Rawson (2005) se sont attardés, entre autres, sur les
différentsliensqu’ilpeutyavoirentrelesmotsougroupesdemots,cequinousintéresse
dans notre recherche. En effet, les difficultés dues à la sémantique font l’objet d’unedes
catégoriestiréesdechezKersaintetal.(2013).Dansuntexte,plusieursphrasespeuventêtre
liéesparuneimplicationlogique,parunerelationdecauseàeffet,ouparuneréférenceàun
mêmeconcept.Cettedernièresortede liaisonestappelée«coréférence».Siunélèvene
comprendpasl’undecesliens,alorslacompréhensionintégraledutexteestremiseendoute.
21
Lacoréférencepeutêtreexpliciteou implicite.Elleestexplicite«quand lemêmemotest
utilisépourfaireréférenceaumêmeconcept[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.
214)».Danslamajoritédescas,cettecoréférenceestimplicite,carcesont,parexemple,soit
desnomsdifférents,soitdespronoms,quifontréférenceaumêmeconcept.Onparlealors
d’anaphore.KintschetRawsondéfinissentl’anaphorecomme«toutoutillinguistiqueutilisé
pour faire référence à un concept précédemment mentionné [traduction libre] (2005,
p.214).»Nousreprendronscettemêmedéfinitiondansl’analyselinguistiquedesproblèmes
quenoussoumettronsauxélèvesallophones.
Enfin,ledernierpointdeKintschetRawson(2005),quinousintéresseparticulièrementpour
notrerecherche, faitpartieduniveaudumodèledesituation. Il s’agitdes inférences.Une
inférence est le lien, implicite ou explicite, qui peut être fait entre deux phrases ou
paragraphesdansuntexte.Ilexisteunemultituded’inférencesdifférentes,maisnousn’allons
pas toutes les citer ici, puisque ce n’est pas le thème principal de notre recherche. Voici
cependantunexemplepour illustrer legenrededifficultésqu’unélèveallophonepourrait
rencontrerdanslarésolutiondeproblèmes.Danslesphrases
« Fredaparquélavoiture»
« Ilafermélaporte[traductionlibre](Kintsch&Rawson,2005,p.219)»,
lelecteurpeutfacilementconclurequ’ils’agitdelaportedelavoiture.Sil’élèveallophone
n’estpascapabledefairecetteinférences,ilpeutseretrouverbloquédanslarésolutiondu
problème.Pourreprendrel’exempleci-dessus,ilpourraitnepascomprendredequelleporte
ils’agit,etparconséquent,silaquestions’yréfère,nepassavoirquoirépondre.Cegenrede
difficultésestdirectementliéàlacompréhensiondufrançais,plusprécisémentdupointde
vuesémantique,afindefairelelienaveclescatégoriesdeKersaintetal.(2013).
3.6 Typologiedeserreurs
Chaqueélémentdéveloppéci-dessusestunesourcepotentielled’erreurs.Dansleurglobalité,
celles-cisontsouventperçuescommequelquechosedenégatifparlesélèves,carilsontfait
« faux».Cependant, comme ledit Jean-PierreAstolfi (2015), laplacede l’erreurà l’école
évolue,puisquecettedernièreestdésormaisconsidéréecommeétantporteusedesens:
22
«Eneffet,[…]leserreurscommisesnesontplusdesfautescondamnablesnidesbogues
regrettables : elles deviennent des symptômes intéressants d’obstacles auxquels la
penséedesélèvesestaffrontée(p.15).»
Ceserreurspeuventêtreclassifiéesdansdifférentsgroupesenfonctiondeleurtypeetdeleur
causeetJean-PierreAstolfi,danssonouvrageL’erreur,unoutilpourenseigner(2015),acréé
une typologie des erreurs des élèves. C’est en partie sur cette dernière que nous nous
baseronspouranalyserlesrésultatsdesélèvesallophones,car,commenousallonslemontrer
danslessectionsàvenir,elleregroupediversescatégoriesenliensoitaveclatypologiede
Vergnaud(lesopérationsintellectuellesimpliquées)soitavecKersaint(lacompréhensiondes
consignes).
3.6.1 Lacompréhensiondesconsignes
Le premier type d’erreurs dont parle Astolfi (2015) est celui lié à la compréhension des
consignes. Les causesen sontdesdifficultésde lecture, dansnotre cas, de ladonnéedes
problèmesàrésoudre.Ainsi,pour l’élèveéprouvantcesdifficultés, il luiserad’autantplus
compliquéderépondreauproblèmes’ilnecomprendpaslaquestionquiluiestposée.
Deplus,levocabulaireutilisédanschaquedisciplineluiestpropre.Ainsi,unmotayantune
certaine signification dans la vie de tous les jours pourrait avoir une signification plus
spécifiquelorsqu’ilestemployédansunénoncédeproblèmemathématique.Parconséquent,
l’élèvedoit«chaquefoiseffectuerle«cadrage»nécessairepourcomprendreleuremploi
(Astolfi,2015,p.61)».Unexempledans le cadredesmathématiquespourraitêtre lemot
«sommet»,dontl’utilisationmathématique,telquelesommetd’unquadrilatère,estbien
différentedecelleutiliséeauquotidien,commelesommetd’unemontagne.
3.6.2 Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes
Durant son cursus scolaire, l’élève doit non seulement s’habituer à la multitude de ses
enseignants,maiségalementdesdisciplinesenseignées.Astolfi (2015)écritque l’élèveest
censéagirenclassecommeun«petitspécialiste»danschacunedesbranches.Deplus,son
métierd’élèvelecontraintàrespecterlecontratdidactiqueétabliavecchaqueenseignant.
Néanmoins, l’abondance de ces diverses informations peut mener l’élève à mal décoder
certainsaspectsimplicitesdesituations.
Pourlesélèvesallophones,leshabitudesscolairespeuventêtred’autantplusvariéesqu’ils
proviennentd’autrespays,etdoncd’autressystèmesscolaires.
23
3.6.3 Lesconceptionsalternativesdesélèves
Comme l’écrit Jean-Pierre Astolfi (2015), chaque élève arrive en classe avec ses propres
représentationsdesconceptsdelavie,quecesoitladigestion,lesschémasélectriques,etc.
Chacunedecesconceptionspréalablesestfortementancréedansl’élève,cequilarendtrès
résistanteàtoutenseignementd’unconceptnouveaud’unpointdevuescolaire,maisconnu
delaviedetouslesjours.Cesconceptionsaurontdoncuneinfluencesurl’élèveetlamanière
qu’ilauradecomprendreunesituationetsurtoutdelareprésenter.
3.6.4 Lesopérationsintellectuellesimpliquées
D’autreserreurs faitespar lesélèvessontduesà ladiversitédesopérations intellectuelles
potentiellement utilisables pour résoudre des problèmes qui paraissent similaires.
Effectivement, Gérard Vergnaud a introduit les champs conceptuels suite à la multitude
d’opérations logiques qui pouvait correspondre à une seule opération arithmétique. Par
exemple,danslechampconceptueladditif,ilyalesproblèmestelsque
Juliea7billes.Claraena9.Combiendebillesont-ellesautotal?
Julieperd5billes.Elleenamaintenant6.Combiendebillesavait-elleavantdejouer?
Lesproblèmestelsquelepremierexemple,quicorrespondàungain,commel’addition,se
résoudrontplusfacilementqueceuxdutypedusecondexemple,danslequelilyauneidée
de perte, bien que l’opération attendue soit une addition. Dans le champ conceptuel
multiplicatif,quinousintéresseplusparticulièrementdanscetravail,nousretrouveronsdes
énoncéscommeceux-ci:
Juliea7billes.Claraena4foisplus.CombiendebillesClaraa-t-elle?
Julieperdlamoitiédesesbilles.Elleenamaintenant6.Combiendebillesavait-elleavantde
jouer?
C’estcettemultituded’opérationslogiquesquipeutinduirelesélèvesenerreurdanslechoix
del’opérationintellectuelleàemployer.Lesproblèmesàstructureadditiveincitentlesélèves
àhésiterentrel’additionetlasoustraction,alorsquelesproblèmesàstructuremultiplicative,
eux, poussent les élèves à se poser la question si unemultiplication ou une division sera
nécessairepourrésoudreleproblème(Astolfi,2015).
3.6.5 Lesdémarchesadoptées
SelonAstolfi(2015),certainesdémarchesdifférentesdecellesattenduesparl’enseignantsont
considérées comme des erreurs alors qu’elles montrent la pluralité des cheminements
24
possibles.Cependant,l’exploitationdecettevariétédestratégiesderésolutionpourraitêtre
montréeenclassepourpermettreauxélèvesdes’approprierd’autresdémarches,quelques
foisplusrapidesetefficacesquelaleur,sanspourautantêtreau-delàdeleurzoneproximale
dedéveloppement,conceptdéveloppéparLevVygotski.
3.6.6 Lasurchargecognitive
La surcharge cognitive est liée au nombre d’opérations mentales à mettre en place et
d’élémentsàretenirrequisparl’élèveaucoursd’unmêmeexercice.Plusilyadechosesà
fairedansunemêmetâche,pluslachargementaleestimportante,cequipeutoccasionner
deserreursdanslestravauxdesélèves(Astolfi,2015).
3.6.7 Lesautresdisciplines
Souvent,lesenseignantsattendentdesélèvesqu’ilsfassentdestransfertsdesapprentissages
qu’ilsontfaitsdansunebrancheversuneautre.Ilsdoiventréinvestirunconcept,unoutilque
l’enseignantconsidèrecommeacquisdansuneautrediscipline.Unconceptnonacquisaura
doncdesconséquencessurleserreurscommisesparl’élève(Astolfi,2015).Astolfiparledonc
detransfertd’unedisciplineàl’autre.Danslecadredenotrerechercheenlienaveclesélèves
allophones, nous allons légèrementmodifier cette notion et considérer la lecture dans la
languedescolarisationcommeunoutil,unprérequisnécessaireàlarésolutiondeproblème.
Ainsi,sicelle-cin’estpasacquise,lesélèvesaurontdavantagededifficultésetcommettront
plusd’erreursdanslesautresmatières(Thouin,2014,citédansTardif-Couture,2016).
3.6.8 Lacomplexitépropreducontenu
D’aprèsAstolfi (2015), lacomplexitéd’unetâcheest ladernièreorigined’erreurspossible.
Cettecomplexitéinhérenteàlatâchen’estpastoujoursconsidéréecommelasourceexacte
del’erreur,puisqu’ellepeutavoiruneinfluencesurlesautrescatégoriesd’originedeserreurs,
tellequelasurchargecognitive.
3.7 Typologiedeserreursutiliséepourl’analysedesproductionsdesélèvesallophones
Astolfiacréésatypologiedeserreurs(2015)pourrépondreàuncertaintypedequestions
relativesauxmathématiqueset auxerreurs commisespar lesélèves lorsde résolutionde
problèmesoud’effectuationde calculs. Kersaintet al. (2013), eux, se sont intéressésplus
particulièrement aux élèves allophones et à l’apprentissage desmathématiques dans une
langue qu’ils ne maîtrisent pas encore. Aucune de ces deux typologies ne nous satisfait
25
pleinement, puisque nous voulons à la fois observer les erreurs spécifiques aux élèves
allophones,etparconséquentplutôtliéesàlalinguistiqueselonKersaintetal.(2013),mais
aussideserreursquetoutélèvepeutfaire,commelistéesdanslatypologied’Astolfi(2015).
Ainsi,nousallons,danslecadredenotrerecherche,prendreuniquementlespointsquinous
intéressentetainsicréerunenouvellegrillespécialementconçuepournotreanalyse.
Danslatypologiedeserreursd’Astolfi(2015),nousallonsgarderlescatégoriessuivantes:
1. Lacompréhensiondesconsignes
Les difficultés rencontrées par les élèves allophones dans la compréhension des
consignes peuvent être de plusieurs origines. Premièrement, l’apprenant pourra
éprouverdelapeinedanslalectureelle-même,cequiluidemanderaplusdetemps
quepourlesélèvesstandards.Eneffet,selonlaprovenancedel’élève,notrealphabet
peutêtreunenouveauté.Deuxièmement,l’énoncépeutcomporterdesmotsavecune
significationparticulièredanslecontexte.Sil’élèvenelesaisitpas,illuiserad’autant
plusdurdecomprendrelesensdumotetlaconsignecomplète.
2. Leshabitudesscolairesetlemauvaisdécodagedesattentes
Enfonctiondeleurorigine,lesélèvesallophonespeuventavoirfréquentéuneécole
etunsystèmescolairetrèsdifférentdeceluiquenousconnaissonsenValais.Pourne
nommerqu’unseulexemple,certainsnouveauxarrivantsn’avaientconnuquel’école
coranique.S’ajoutentàcelaleparcoursqu’ilsontdûfairepourarriverjusqu’iciet,par
conséquent,uneéventuelledéscolarisationplusoumoinslongue.Toutcevécupeut
avoiruneinfluencesurleshabitudesscolairesdecesélèvesetdoncsurlarésolution
desproblèmesmathématiques.
3. Lesopérationsintellectuellesimpliquées
Lesproblèmesquenousavonsproposésauxélèvesrelevaientàchaquefoissoitdela
multiplication,soitdeladivision.Lesélèvesdevaientdoncfairelechoixentrel’uneet
l’autreopération.Lesdiversestournuresdephrasesetsituationsdécritespouvaient
inciterlesélèvesàl’emploid’uneopérationoupouvaient,aucontraire,lesinduireen
erreur.
26
4. Lesautresdisciplines
Comme nous l’avions présenté précédemment, la lecture dans la langue de
scolarisationestunoutilnécessaireàlarésolutiondeproblèmesenmathématiques.
Si l’élèvene saitpas liredans la languedans laquelleest écrit l’énoncé, alors il ne
pourra pas résoudre le problème correctement. Sa compréhension se limitera aux
donnéeschiffréesetlechoixdel’opérations’entrouveracompliqué.
Nousavonsensuitecomplétécettenouvelletypologieadaptéeànotretravailderecherche
avec certaines difficultés relevées par Kersaint et al. (2013). Parmi celles concernant
l’apprentissage desmathématiques par des élèves allophones, nous avons sélectionné les
suivantes:
1. Levocabulairemathématique
CettepremièrecatégorieretenuedechezKersaintetal.(2013)estétroitementliée
aveccelleconcernantlacompréhensiondesconsignesd’Astolfi(2015).Effectivement,
certainsmotsontunsensdifférentselonlecontextedanslequelilssontemployés.Par
conséquent,cettemultitudedesenspeutporterpréjudiceauxélèvesallophones.
2. Lasyntaxe
Lamanièredontunénoncémathématiqueestécritpeutmener l’élèveàquelques
difficultésdetraductionenlangagemathématique.Lacomplexitédelatâchemène
les élèves allophones à s’attendre à une correspondance exacte entre donnée et
représentationalgébrique,maiscen’estpastoujourslecas.
3. Lasémantique
La sémantique porte sur le sens et la signification donnés au langage. Dans notre
recherche, ils’agitdusensdonnéàl’énoncé.Lesdifficultésliéesàlasémantiquele
sont souventégalementau vocabulairemathématique.Au traversde la lecturedu
problème, l’élève doit mettre du sens à ce qu’il lit, faire des liens entre des
coréférences,comprendrelesanaphores,etc.(Kintsch&Rawson,2005).Souvent,de
grossesdifférencesdesenssontcachéesdansunseulpetitmot.
LesdifficultésdécritesparKersaintetal.(2013)quenousavonsgardéespournotreanalyse
reprennentcertainsconceptsrelevésparKintsch&Rawson(2005)dansleurouvragesurla
compréhensiondetextes.Lacompréhensiondoitsefaireàplusieursniveauxpourpermettre
27
la compréhension complète du texte. Tout d’abord, au niveau linguistique, il s’agit de
reconnaître le mot et son rôle dans la phrase ou l’expression. Ensuite vient le niveau
sémantique,qui,commeprésentéparKersaintetal.(2013)s’intéresseplusspécifiquement
ausensdesmotsetauxliensentreeuxdanslaphraseoul’expression.
Finalement, un point important auquel nous allons prêter attention au long de notre
recherche est la différence entre les difficultés liées à l’emploi d’outilsmathématiques et
cellesliéesàlacompréhensiondeladonnée.Unpointdecomparaisonintéressantsetrouve
entrelacapacitéqu’al’élèveàchoisirlabonneopérationpourrésoudreleproblèmeetcelle
qu’ilapourlerésoudrecorrectement.Ainsi,si l’élèvechoisit l’opérationadéquatemaisne
parvientpasàrésoudreleproblème,nouspourronsraisonnablementsupposerquelasource
principale de ses erreurs sera dans l’emploi des outils mathématiques et non dans la
compréhension de l’énoncé. Etant donné que cette distinction possède un pouvoir fort
discriminant,nousyaccorderonsuneattentionparticulièredansl’analysedenosrésultats.
4 Questionnement
4.1 Laquestionderecherche
Au travers de notre cadre conceptuel, nous nous sommes intéressés aux difficultés
potentielles rencontrées par les élèves allophones dans la résolution de problèmes
mathématiques. Nous avons également relevé quelques caractéristiques de ces énoncés,
caractéristiquesdontl’influencesurlesélèvesallophonesn’apasencoreétéobservée.
Aussi,l’objectifdecetravailseradetenterdedécelersileserreurscommisesparlesélèves
allophones dans la résolution de problèmes mathématiques issus du champ conceptuel
multiplicatif sont principalement d’origine linguistique (problème de compréhension) ou
d’originemathématique(utilisationincorrectedesoutilsmathématiquesnécessaires).Ilsera
pour cela nécessaire de comparer ces résultats avec ceux des élèves standards demême
niveau,afindevoirsidesdistinctionsentrecesdeuxcatégoriesd’apprenantspeuventêtre
considéréessignificatives.Cesquelquesobservationsconcernantlessourcesd’erreursetde
difficultésrencontréesparlesélèvesallophonesdevraientégalementnouspermettredevoir
quelstypesdedifférenciationontunimpactpositifsurleursrésultats.Ceciaboutiraitenfin
surdiversconseilsàappliquerlorsdel’enseignementpourintégreraumieuxcesélèvesdans
lesclasses.
28
Ceslecturesetcesréflexionsnousontpermisd’aboutiràlaquestionderecherchesuivante:
Enquellesmesures lesvariables linguistiqueset laprésencedesanalogiesdans ladonnée
influencent-elles les élèves allophones dans la résolution de problèmes issus du champ
conceptuelmultiplicatif?
4.2 Hypothèses
Auregarddenotrecadreconceptuel,nouspouvonsposerleshypothèsessuivantes:
- Les variables linguistiques posent des difficultés aux élèves allophones qui ne
comprennent pas la donnée, et par conséquent, ne peuvent pas résoudre
correctementleproblème.
- La présence de certaines analogies simplifie la compréhension de l’énoncé, et par
conséquent,larésolutionduproblème,autantpourlesélèvesallophonesquepourles
élèves standards. La résolution est d’autant plus simple si les trois analogies sont
présentes.
- Letypedeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatifauneinfluencesurla
capacitéderésolutionduproblèmeparl’élèveallophone.
5 Méthodologie
5.1 Méthodechoisie
L’objectif de notre recherche est de déterminer dans quelles mesures les difficultés
rencontréesenmathématiquesparlesélèvesallophonesscolarisésen9COsontduesàdes
lacunes dans les outils mathématiques, ou, au contraire, à des difficultés dans la
compréhensiondufrançais,c'est-à-diredanslacompréhensiondeladonnéeduproblème.
Pour ce faire, nous ferons passer un questionnaire composé de seize problèmes issus du
champconceptuelmultiplicatif,lequelnouspermettraderécolterdesdonnéesdesélèvesen
situation.
Les outils de recherche, développés plus précisément ci-après, sont des problèmes de
mathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatif,dontlebutestdebalayerunlarge
spectre des opérations de cette catégorie. Comme il l’a déjà été dit précédemment, ces
énoncéstestentdesobjectifsde8H.L’analysedesrésultats,particulièrementunerésolution
incorrectedel’énoncémalgréunchoixcorrectdel’opération,oualors,unchoixincorrectde
29
l’opération,devraitdoncnouspermettredefaire ladifférenceentreunedifficulté liéeaux
outilsmathématiquesouuneautreliéeàlacompréhensiondufrançais.Danstouslescas,les
difficultésrencontréesparlesélèvesallophonespourrontêtreétudiéesdanslebutdetrouver
despistespouryremédier.Bienquenotrequestionnairesoitsoumisà lafoisàdesélèves
standardsetàdesélèvesallophonespourpermettreunecomparaisondenosdeuxcatégories,
uneanalysepluspousséedesrésultatsdusecondgroupeserafaite,puisqu’ils’agitdenotre
intérêtprincipal.
5.2 Echantillon
ParmilesécolesdusecondaireIconcernéesparlaproblématiquedesélèvesallophones,nous
avons,pourdesraisonspragmatiques,sélectionnéunétablissementduValaiscentral.Dans
cedernier,lesélèvesallophonessontregroupésdansdiversesclassesdemathématiques.En
l’occurrence,troisclassesdemathématiquesde9COniveauIIsontdirectementconcernées.
Onzeélèves allophones y sont scolarisés. Ce sontdonc l’ensembledesélèvesde ces trois
classesquiontpassélesproblèmesproposés.Enraisondesélèvesabsentslejouroùnous
avonsfaitpassernotrequestionnaire,notreéchantilloncomporteuntotaldequarante-deux
élèves,dontneufsontallophones.
L’hétérogénéité des élèves allophones, en termes de provenance, de compétences
mathématiques et de compétences dans la langue de scolarisation, est assez importante.
QuatreélèvessontconsidéréscommeélèvesallophonesprimoetontétéscolarisésenValais
entre janvier et août 2017. Les cinq autresontun statut d’élève allophone secundo. Leur
scolarisation dans notre canton date de janvier 2014 à janvier 2016. Un tiers des élèves
allophonesestarrivéduPortugal,l’unvientd’ItalieetlesautresdepaysduMoyenOrient.
D’après les conversations avec les enseignantes de soutien et au vu des observations
préalablespersonnelles,lesprogrèsréalisésparchacund’euxdanslalanguedescolarisation
depuisleurarrivéedansnotreécoleoudansnotrecantonsonttrèsvariés.
5.3 Outilsderecherche
5.3.1 Constructionduquestionnaire–lesproblèmesproposés
Pour notre recherche, nous avons créé divers problèmes issus du champ conceptuel
multiplicatifafindetenterderecouvrirlatypologieproposéeparVergnaudetainsitesterune
majorité des structures multiplicatives. Nous nous sommes inspirés de la banque de
problèmes proposée par Graff et Wozniak dans leur ouvrage Situations multiplicatives,
30
Problèmesdemultiplicationetdedivision(2011),ainsiquedeleursexemples.Nouslesavons
modifiésdemanièreàéviterlesdifficultésliéesàlaculture,puisquecenesontpascellesqui
nousintéressentici.Nousavonségalementfaitlechoixdenepasprésenterauxélèvesdes
problèmesdutype«Comparaisonderapportdeproportionnelle»,puisquelesopérations
aveclesfractionsn’ontpasencoreétéabordéesen9CO.
Nousavonsaussifaitensortedetesterdiversaspectslinguistiquesdanscesproblèmes,dans
lebutd’observersilesdifficultésrencontréesparlesélèvessontmajoritairementliéesaux
structuresmathématiquesouauxaspectslinguistiques.Cesvariableslinguistiquessontissues
dumodèledecompréhensiondécritparKintschetRawson(2005).Certainesdonnéesontété
modifiées avec des anaphores ou des coréférences, alors que d’autres semblent, à priori,
dépourvuesdedifficultélinguistique.Parexemple,dansl’énoncé9,àlireci-dessous,aucune
anaphorenicoréférencen’estprésente.Enrevanche,dansle10,lesujet«Marc»estrepris
àl’aidedupronom«il».
Liantlinguistiqueetmathématiques,PerlaNesheretEvaTeubalsesontintéressées,dansleur
articleVerbal Cues as an Interfering Factor in Verbal Problem Solving (1975), aux indices
présentsdanslesdonnéesetleurrôlepouratteindreounonlabonnesolutionauproblème.
Atraversleursexpériences,lesauteuresontpudémontrerquecertainsmotsincitentlechoix
de l’opérationnécessaireà larésolutionduproblème.Ellesdonnentenexemple lesmots-
indices«plus»et«moins»(Nesher&Teubal,1975,p.48).Nousavonsdoncdélibérément
ajoutécertainsmotsdecetype,afind’aiguillerlesélèvessurlebonchemin,ou,aucontraire,
depeut-êtrelesinfluencernégativementetlesforceràprendrelamauvaisedirection.
Enfin,ladernièrevariablenousayantguidéspourlechoixdesproblèmesàfairepasseraux
élèvesestcelledesanalogiesdeSander(àparaître).Nousavonssoumisquelques-unsdenos
énoncés aux auteurs de cette théorie sur les analogies de substitution, de scénario et de
simulation.Laprésenceoul’absencedecesanalogiesontétécontrôléesdanscinqproblèmes
parmi lesseizeproposésauxélèves, soitquasimentuntiersdenosquestions. Il s’agitdes
énoncés2,7,9,14et15.Surlabasedeleuranalyseetàl’aidedelathéoriefaiteparSander
(àparaître),nousavonsévaluélaprésencedesanalogiesdanslesautresproblèmesproposés
dansnotrerecherche.
Voici,ci-dessous,lalistedesseizeproblèmesquiontétésoumisàdesélèvesde9CO.
31
1. Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.
QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?
2. Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégalà3.Ellela
donne ensuite à Jules qui l’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui
remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, le coefficient
d’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutilisépar
Jules?
3. Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9fois
pluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?
4. Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25
foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?
5. Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseun
cartonquicontient4foisplusdepaquets?
6. Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.
Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?
7. Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.
Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmau
microscope?
8. Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5
kg?
9. 92boîtescontenantchacune21chocolatspèsententout32,2kg.Quelestle
poidsd’uneboîtede21chocolats?
10. Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.
Combienpeut-ilenfaire?
11. Christophe a acheté 6 paquets de bonbons et a payé 24 francs. Combien
paiera-t-ilpourl’achatde3paquets?
12. Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsde
biscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.Combiende
biscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?
13. Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-
ildanschaquepaquet?
14. J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-je
porterentout?
15. Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couples
différents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombre
decartesbleues?
16. Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990
francs.Combiend’enfantsyontété?
32
Le tableau complet des analyses des problèmes selon les variables mathématiques, les
variableslinguistiquesetlesanalogiessetrouvedanslesannexes11.2(p.77).
5.3.2 Analyseaprioridesproblèmesproposés
Uneanalyseaprioridechaqueénoncéaétéeffectuéeafindesavoirletypedeproblèmes
auquelilappartenait,l’opérationattendue,lesvariablesmathématiquesetlinguistiquesen
jeuainsiquelesanalogiesprésentes.Afindenepassurchargerlaprésentesection,nousne
nousattarderonspassurl’intégralitédesanalysesapriorieffectuéespourlesseizeproblèmes.
En revanche, afindemontrer laméthodequenousavonsutiliséepourobtenir le tableau
d’analyseprésentdanslesannexes11.2(p.77),voiciquelquesexemplespourcertainsdenos
énoncés.Labasedenotreanalyses’estinspiréedutravaileffectuéparTardif-Couture(2016)
danssonmémoiresousladirectiondeIzabellaOliveira.Nousnoussommesdoncintéressés
d’uncôtéauxvariablesmathématiquesetdel’autreauxvariableslinguistiquesenjeu.Nous
avonségalementrajoutéunecolonnesupplémentairedansnotretableaupourletraitement
desanalogiesdeSander(àparaître).
Commençonsavecleproblème3:
Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm, lesecondest9foispluscourt.
Combienmesureledeuxièmesegment?
Ce problème ne traite que d’un seul domaine de grandeur, les unités de longueur, en
l’occurrence, lescentimètres.Selon la typologiedeVergnaudrepriseparGraffetWozniak
(2011), il s’agit d’un problème de type « comparaison » de grandeurs. En effet, nous
comparonslalongueurdedeuxsegments,enconnaissantl’informationqueledeuxièmeest
neuffoispluscourtquelepremier.Cetteindication«foispluscourt»estconsidéréecomme
unindiceselonNesheretTeubal(1975).D’unpointdevuelinguistique,ilya,dansceténoncé,
unecoréférence,commedéfinieparKintschetRawson(2005),aveclareprisede«second»
par « deuxième ». Passons pour finir aux analogies de Sander (à paraître). L’analogie de
substitutionn’estpasprésente,carl’énoncéparlededeuxsegmentsdistinctsetnonpasd’un
premiersegmentquel’onpartageenneufsegmentsidentiques.Pourcetexemple,l’analogie
desubstitution«diviser,c’estpartager»auraitpuêtreemployée.Maiscen’estpaslecasici.
L’analogiedescénarion’estpasprésente,ellenonplus.L’élèvenepeutpas,àtraversl’énoncé,
seréféreràunscénariodelaviequotidienne.Enfin,l’analogiedesimulation,quantàelle,est
33
beletbienprésente.L’élèvepourraittoutàfaits’imaginermentalementdiviserunsegment
neuffoispourenobtenirunnouveau,neuffoispluscourt.
Continuonsavecleproblème8:
Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?
Ceténoncéadmetdeuxdomainesdegrandeurs,lepoids,enkilogrammes,etleprix,enfrancs.
Ilappartientautypedeproblème«multiplication»,ladifficultéétantlaprésencedenombres
décimaux.Aucun indice (Nesher&Teubal,1975)n’estprésent.Par contre, il yaplusieurs
coréférences(Kintsch&Rawson,2005).Premièrement,celleentre«kilogramme»et«kg»,
qui ne devrait pas poser trop de problème, et celle entre « viande » et « rôti », qui est
susceptibledemettrelesélèvesallophonesendifficultés.Enfin,lestroisanalogies(Sander,à
paraître) sont présentes dans cet énoncé. Les élèves peuvent substituer la notion de
multiplicationàcelledereproductionàl’identique.Ils’agitd’unscénarioprésentdanslavie
quotidiennenonseulementpourlesarticlesdeboucherie,maisaussipourd’autresproduits,
etilspeuventégalements’imaginerdansunetellesituationdansunmagasin.
Nousterminonsavecundernierexempled’uneanalyse,celleduproblème16:
Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsont
passé 5 jours dans ce parc d’attractions. Ils ont payé en tout 2990 francs. Combien
d’enfantsyontété?
Cedernierénoncéconcernetroisdomainesdegrandeurs,leprix,enfrancs,ladurée,enjours,
etlenombred’enfants.Ils’agitd’unproblèmedutype«proportionnalitédouble».Unindice
(Nesher&Teubal,1975),«entout»,peutaiderlesélèvesdanslarésolutiondeceproblème.
Letexteestassezlongencomparaisonaveclesautresproblèmes.Ilcontientquatrephrases.
Iln’yapasdecoréférence,cependant,ilyauneanaphore(Kintsch&Rawson,2005):«y»
reprend«leparcd’attractions».L’analogiedesubstitutionestfacilitatricedansceproblème,
puisquecelarevientàsedire«diviser,c’estpartager».L’analogiedescénarioestelleaussi
présente.L’énoncéestconformeauscénarioderépartitiond’unegrandequantité,icil’argent,
entre plusieurs quantités moins grandes, les jours et le nombre d’enfants. L’analogie de
simulation, au contraire, ne se trouve pas ici. Les valeurs en jeu sont trop grandes pour
permettreunesimulationmentaledelasituationdelapartdesélèves.
34
5.4 Contrôledesbiaisinhérentsaucontratdidactique
Danslecadredenotretravail,pouréviteraumaximumdesrésultatsbiaisésàcauseducontrat
didactique,nousavonsprocédéàunchangementdesenseignantssurveillantslesclasses.Le
tournusaétéorganisédetellemanièreàcequechaqueclasseaitunautreenseignantprésent
danslasalleaumomentdelapassation.Cecinousaégalementpermisd’éviterd’inciterles
élèvesàdonneruneréponseenlienaveclechapitrevuavecl’enseignantehabituelle.
Enguisederappel,GuyBrousseauévoque,danssaThéoriedessituationsdidactiques(2004),
l’existenced’uncontratdidactiqueentrel’élèveetleprofesseur.Cecontratdidactiquen’est
absolument pas explicite et ne ressemble à aucun contrat papier que les deux individus
pourraient signer. Il s’agitd’uncontrat impliciteà la classeet spécifiqueaucontenude la
classe, c'est-à-dire la connaissance mathématique. Chaque enseignant aura un contrat
didactiquedifférent,quel’élèvedevra,chaqueannée,s’approprier.Brousseauacependant
listéquelques«conséquencesimmédiates»dececontrat.Ilparledudevoirdel’enseignant
de«créerdesconditionssuffisantespourl’appropriationdeconnaissances»cequiimplique
que«l’élèveestsupposépouvoirsatisfairecesconditions(2004,p.61)».Parconséquent,la
relationdidactiquedéveloppéeentrel’enseignantetl’enseignénepeutcesser,carl’élèveale
droit d’apprendre et le professeur doit permettre à l’élève d’acquérir de nouvelles
connaissances(Brousseau,2004).
En résumé, le contrat didactique est fait de règles implicites pour la plupart, et d’autres
explicites, sur le comportement de l’élève, mais également de l’enseignant, et leur
responsabilitédanslebondéroulementdelarelationdidactique.Cependant,suivreàlalettre
uniquementlesrèglesexplicitesdececontratpeutmeneràl’échecdecetterelation.Lesdeux
partenaires de ce contrat didactique sont donc en constante « recherche d’un contrat
hypothétique»pourpermettrelebondéroulementdecetterelation(Brousseau,2004,p.62).
Ainsi, afin de donner à chaque élève les mêmes conditions pour la réalisation de ces
problèmesetdeminimiserautantquefairesepeutlesbiaisinhérentsaucontratdidactique,
uneconsigneassezstricteetpréciseaétérédigéeenamont.Celle-ciaétédistribuéeàtoutes
lesenseignantesconcernéesparcetterecherche.Ellepeutêtreconsultéedanslesannexes
11.1(p.76).
35
5.5 Méthoded’analysedesdonnées
Afindepouvoiravoirunpointdecomparaisondesrésultatsobtenusparlesélèvesallophones
danslecadredecetravailderecherche,nousavonsfaitpasserlesmêmesproblèmesàdes
élèves standards desmêmes classes que celles dans lesquelles les élèves allophones sont
scolarisés.Ainsi,nousavonscréédeuxcatégoriesprincipales:d’uncôté,lesélèvesstandards,
etdel’autre,lesélèvesallophones.
Deplus,danslebutd’observersic’étaitl’outilmathématiquequiposaitproblèmeàl’élève,
ou alors la lecture et l’interprétation de la donnée du problème, nous avons analysé les
donnéesdechaquecatégoriesousdeuxpointsdevuedifférents.Lepremiers’intéressaitàla
résolutioncorrectedesproblèmesquiavaientétéproposésauxélèves.Lesecondneprenait
encompteuniquementlechoixdel’opération.Uneerreurdesamiseenœuvreouunmauvais
choixdesvaleursn’avaientpasd’importance.
Nousallonsdonccommencerparanalyserséparémentlesrésultatsdenosdeuxcatégories
principales.Chacuned’entreelleserafaitesousl’angledelarésolutionetceluiduchoixde
l’opération, puis ces deux catégories seront comparées. Ensuite, nous procéderons à une
comparaison des résultats des deux catégories principales dans chacune des deux sous-
catégories(résolutioncorrecteetchoixdel’opérationcorrect),avantdetermineravecune
analyseplusdétailléedesrésultatsdesélèvesallophonesetdesprocéduresmisesenplace.
6 Analysedesdonnées
Pourrendrel’analysededonnéessuffisammentlisible,nousavonsoptéd’abordpourdeux
catégoriesbiendistinctes,lesélèvesstandardsetlesélèvesallophones.Nouscommencerons
doncparuneanalyseendétailsdecesrésultats.Ensuite,nouspasseronsàlacomparaisondes
résultatsdecesdeuxcatégories.
6.1 Elèvesstandards
Trente-trois élèves dits standards ont pris part à la résolution individuelle des problèmes
proposés.Legraphique(Figure1)ci-dessousreprésentelaproportiondeproblèmesrésolus
correctementparrapportàceuxnonrésolus,résolusincorrectementourésolusuniquement
àmoitié.
36
Figure1:Résolutiondesproblèmesparlesélèvesstandards
Globalement,letauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmesproposésauxélèvesestde
43,75%pourcettecatégorie,etletauxmédiansesitueà48,48%.Danscegraphique,nous
pouvonsaisémentvoirqueseptproblèmesparmilesseizeproposésontuntauxderéussite
inférieurautauxmoyen.Ils’agitdesproblèmes2,8,9,13,1415et16.L’und’entreeux,le
numéro9,affichemêmeuntauxderéussitenul.Leproblème13,quantàlui,n’aétéréussi
quepardeuxélèvessurlestrente-troisélèvesstandards.
Troisproblèmes,le1,le6etle7,arborentuntauxderéussiteauxalentoursde50%.Enfin,
lesproblèmes3,4,5,10,11et12obtiennentlesmeilleurstauxderéussite,lemaximumétant
de78,79%pourleproblème11,dontunexemplederésolutionestàvoirci-dessous(Figure
2).Ilesttalonnéparleproblème10etsontauxderéussitede75,76%.
Figure2:Exemplederésolutionduproblème11parunélèvestandard
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
Correcte Incorrecte
37
Le graphique suivant (Figure 3) représente la proportion de problèmes pour lesquels
l’opération choisie est adéquate, par rapport à ceux pour lesquels le choix est erroné ou
inexistant. L’emploi correctde l’outilmathématique,n’est,parcontre,pasprisencompte
danscegraphique.Ainsi,nousretrouvonsdans laproportiondechoix judicieux, lesélèves
ayantrésolu leproblèmecorrectement,ceuxayantchoisi l’opérationadéquatemaisenne
l’utilisantpascorrectement,etenfin,ceuxayantfait lebonchoixmaisn’ayantpaspris les
bonnesvaleurs.
Figure3:Choixdel'opérationparlesélèvesstandards
Nouspouvonsremarqueràl’aidedecegraphique(Figure3)queletauxduchoixadéquatde
l’opération par les élèves dans la résolution de problèmes issus du champ conceptuel
multiplicatif est plus élevé que le taux de réussite. Le taux moyen du choix correct de
l’opérationestde66,67%etletauxmédianestjusteinférieur,à65,15%.Demanièregénérale,
deux tiers des élèves font le bon choix entremultiplication et division pour résoudre ces
problèmes. En revanche, ce choix adéquat ne leur permet pas forcément de résoudre
correctement le problème, comme lemontrent les deux exemples ci-dessous (Figure 4 et
Figure5).
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
Correct Incorrect
38
Figure4:Exemplederésolutionincorrecteduproblème9malgréunchoixcorrectdel'opération
Figure5:Exemplederésolutionincorrecteduproblème13malgréunchoixcorrectdel'opération
Quelquesproblèmessesituentendessousdutauxmoyenduchoixcorrectdel’opération.Il
s’agitdesénoncés1,2,6,8,9,13,14et15.Alorsquecertainsd’entreeuxsetrouventjuste
endessousdelamoyenne,d’autres,telsquelesproblèmes2et14sontpassablementloinde
lamoyenne,toutcommele8etle15.
Enrevanche,d’autresénoncésontpermisàquasiment tous lesélèvesdechoisir labonne
opération.Plusde90%d’entreeuxontfaitunchoixjudicieuxpourlesproblèmes4,5,10,11
et12.
Enfin,cederniergraphique(Figure6)reprendlesdonnéesdesdeuxprécédents.Ilpermetde
comparerlenombred’élèvesstandardsayantrésoluleproblèmecorrectementparrapport
aunombred’élèvesayantchoisil’opérationadéquate.
39
Figure6:Résolutioncorrectevs.choixcorrectdel'opérationparles33élèvesstandards
Ladifférenceentreletauxderéussitedelarésolutionduproblèmeetletauxdechoixcorrect
del’opérationestvisibleci-dessus(Figure6).Nousavionsprésentéprécédemmentuntaux
moyenderéussitede43,75%,alorsqueletauxmoyenduchoixcorrectdel’opérationétait
de66,67%.Environuntiersdesélèves(34,77%)ayantchoisil’outilmathématiqueadéquatne
choisissentpaslesbonnesvaleursounel’appliquentpascorrectement.Cettemiseenœuvre
erronée ou la mauvaise sélection des valeurs les mènent à une résolution incorrecte du
problème.
Plusendétails,certainsproblèmesobtiennentuneproportionderéussiteetduchoixcorrect
de l’opération très similaires, alors que d’autres affichent des écarts conséquents. Le
problème 2 présente deux taux identiques. Ceux des problèmes 1, 3 et 14 s’avèrent
relativementsimilaires,l’écartétantinférieurà10%.Ladifférencedetauxdesproblèmes6,
7,10,11et15estinférieurà20%.Celasignifieque,dansnotreéchantillon,moinsdesixélèves
ont choisi la bonne opération sans pour autant résoudre le problème correctement.
Cependant,lesproblèmes4,5,8,9,12,13et16révèlentdesécartssupérieursà25%,c'est-
à-direqu’aumoinsneufélèvesn’ontpasrésoluleproblèmecorrectementbienqu’ayantchoisi
l’opérationadéquate.Pourlesproblèmes9et16,cettedifférencevamêmeau-delàde50%,
avec51,52%(17élèves)pourle9et54,55%(18élèves)pourle16.
0
5
10
15
20
25
30
35
Résolutioncorrecte Choixcorrectdel'opération
40
6.2 Elèvesallophones
Lestroisgraphiquesci-dessousreprennentlemêmegenrededonnéesquelesprécédents,
mais selon les résultats des élèves allophones.Neuf élèves, avec des statuts d’allophones
primoousecundo,onttentéderésoudrelesproblèmesdemathématiquesquileurétaient
proposés.Legraphiquesuivant(Figure7)représentelaproportiond’élèvesayantrésolule
problème correctement par rapport à ceux ne l’ayant pas fait, pas terminé et résolu de
manièreincorrecte.Ilestàrelevericiquel’undesélèves,pourtantscolariséenValaisplustôt
quetoussescamarades,n’apasessayéderésoudreoudenotersesrecherchesàunseul
problème.Unautres’estoccupéuniquementdesquatrepremiersénoncésproposés.
Figure7:Résolutiondesproblèmesparlesélèvesallophones
Nouspouvonsvoirci-dessus(Figure7)queplusieursproblèmesontmislesélèvesallophones
engrandesdifficultés,sibienqu’aucund’entreeuxn’aréussiàlesrésoudrecorrectement.Il
s’agitdesénoncés2,7,8,9,13,14et16.Lesdeuxproblèmesayantobtenuleplusderéussite
delapartdecesélèvessontlesnuméros4et11,résoluscorrectementparquatreélèvessur
lesneuf.Ilssontsuivisparlesproblèmes1,6et10quin’ontpasgênétroisélèvesallophones.
Enfin,lesénoncés5et9,réussispardeuxélèves,sontégalementau-dessusdutauxmoyen
deréussitede15,97%etdutauxmédian(11,11%),contrairementauxproblèmes3et15,dont
seulunélèveàchaquefoisatrouvélerésultatcorrect.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
Correcte Incorrecte
41
Voicideuxexemples(Figure8etFigure9), lepremierd’unerésolutioncorrecte,lesecond,
d’unerésolutionincorrecte,d’unmêmeproblèmepardeuxélèvesallophonesdifférents.
Figure8:Résolutioncorrecteduproblème10parunélèveallophone
Figure9:Résolutionincorrecteduproblème10parunélèveallophone
Legraphiqueci-dessous(Figure11)rendcompteduchoixdel’opérationdesélèves.Lebleu
représentelaproportiond’élèvesallophonesayantchoisil’opérationadéquateàlarésolution
duproblème,peuimportesicelle-ciaétéréaliséecorrectementouaveclesbonnesvaleurs.
Ci-dessous (Figure 10) se trouve un exemple d’un problème pour lequel l’opération est
correcte,maislesvariableschoisiessontfausses.
Figure10:Problèmeavecchoixcorrectdel'opération,maismauvaischoixdesvariables
42
Enorange,parcontre,nousretrouvonslesélèvesn’ayantpasfaitlebonchoixdel’opération.
Figure11:Choixdel'opérationparlesélèvesallophones
Contrairementauxélèvesstandards,nousremarquonsdanscegraphique(Figure11)qu’ilya
desproblèmespourlesquelsaucunélèveallophonen’achoisil’opérationadéquate.Ils’agit
desproblèmes2,7,13et14.Lesénoncésayantmenéleplusd’élèvesàlabonneopération
sontles5et16,suivisdesproblèmes4,10et11.Pourfinir,touslesautresénoncés,c'est-à-
direlesnuméros1,3,8,9,12et15ontpermisàdeuxélèvesdefairelechoixjudicieux,et
mêmeàtroispour leproblème6.Letauxmoyenduchoixadéquatde l’opérationestplus
élevéqueceluidelarésolutioncorrecte,puisqu’ilestde25,69%.Letauxmédian,également
inférieurautauxmoyen,estde22,22%.
Cederniergraphique(Figure12),traitantuniquementdesélèvesallophones,reprendlesdeux
précédents et permet de comparer la résolution correcte d’un problème et le choix de
l’opérationadéquate.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
Correct Incorrect
43
Figure12:Résolutioncorrectevs.choixcorrectdel'opérationparles9élèvesallophones
Nousvoyonsci-dessus(Figure12)queladifférenceentrelarésolutioncorrecteduproblème
etlechoixadéquatdel’outilmathématiqueestmoinsimportantechezlesélèvesallophones
que chez les élèves standards. Alors que chez les élèves standards, l’écart entre les taux
moyensderéussiteetduchoixcorrectdel’opérationétaitde22,92%,ilest,chezlesélèves
allophones,de9,72%.Deplus,alorsqueplusd’untiers(34,77%)desélèvesstandardsayant
choisi le bon outil mathématique échouait ensuite dans la résolution du problème, la
proportion d’échec malgré la bonne opération est inférieure chez les élèves allophones
(30,31%). Cette tendance est visible dans le graphique. En effet, nous retrouvons quatre
problèmes (4, 6, 11 et 12) pour lesquels ces deux proportions sont égales, en termes de
réussiteetdechoixjudicieuxdel’opération,etquatreautresproblèmes(2,7,13,14)pour
lesquelsnilarésolutionnil’opérationn’étaientcorrectes.
Degrossesdifférencessontcependantàobserverpourlesproblèmesquin’ontétérésolus
correctementparaucunélève,enparticulierl’énoncé16.Effectivement,cinqélèvessurles
sept l’ayant essayé ont utilisé une division, comme cela était attendu. Néanmoins, aucun
d’entre eux n’a su terminer ce problème avec un résultat correct. Deux exemples des
rechercheseffectuéessontàvoirci-dessous(Figure13etFigure14).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Résolutioncorrecte Choixcorrectdel'opération
44
Figure13:Choixcorrectdel'opérationavecutilisationcorrectedel’outilmathématique,maissans
terminerlarésolutionduproblème16
Figure14:Choixcorrectdel'opérationavecutilisationincorrectedel’outilmathématiquepourle
problème16
Lesproblèmes8et9ontmisdeuxélèvessurlabonnevoiepourl’outilmathématique,mais
celanes’estmalheureusementpasavéréconcluantpourlarésolution.Pourfinir,l’énoncé5,
deuxièmeénoncéàavoirpermisàcinqélèvessurseptdechoisirlabonneopération,nes’est
soldéquepardeuxréussites.
Finalement,nousavonségalement iciunesituationquin’étaitpasapparuechez lesélèves
standards. Un problème a été résolu correctement sans pour autant que l’opération soit
indiquée(problème1),commenouspouvonslevoirdanslaFigure15ci-dessous.Lenombre
derésolutionscorrectesestparconséquentplusélevéqueceluiduchoixcorrectdel’outil
mathématique.
45
Figure15:Résolutioncorrecteduproblème1sansopérationnotée
Puisque nous avons analysé les données de nos deux catégories séparément, nous allons
maintenant passer à la comparaison des résultats obtenus d’un côté par les élèves dits
standardsetdel’autreparlesélèvesallophones.
6.3 Tauxderéussite
Les graphiques présentés ci-dessous reprennent les données que nous avons analysées
précédemment. Cependant, nous confrontons dans ceux-ci les résultats de nos deux
catégories précédentes. Ainsi, nous pouvons observer similitudes et différences dans la
résolutiondeproblèmesetdanslechoixcorrectdel’opérationentrelesélèvesstandardset
lesélèvesallophones.
6.3.1 Tauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes
Legraphiquesuivant(Figure16)présentelacomparaisondestauxderéussiteobtenuspar
nos deux catégories pour chaque problème. Nous avons également rajouté une dernière
colonneintitulée«Total»afindevoirl’influencedelapriseencomptedesélèvesallophones
danslecalculdestauxdetouslesélèvesconfondus.
Nouscommenceronsparmettreenévidencelesgrandesdifférencesobservablesàtraversce
graphique.Ensuite,nousnousattarderonssurlespointscommunsdenosdeuxcatégories.
Enfin,noustermineronsparquelquesmotssurlapriseencomptedetouslesélèvescomme
unseuletmêmegroupe.
46
Figure16:Comparaisondutauxderéussitedanslarésolutiondesproblèmes
Leproblèmeayantleplusgrandécart(61,62%)entrelestauxderéussitedesélèvesstandards
et des élèves allophones est le numéro 3. 72,73% des élèves standards (soit vingt-quatre
élèves) l’ont réussi, alorsqu’uniquement11,11%desélèvesallophones (soitun seul) l’ont
résolucorrectement.Lesénoncés5,7et10obtiennentégalementdestauxderéussitetrès
différents,l’écartallantde41,41%à48,48%.Leproblème7faitaussipartiedeceuxquiont
étéréussisparquelquesélèvesstandardsmais,enrevanche,paraucunélèveallophone,tout
commelesnuméros2,8,13,14et16.Enfin,lesénoncés11,12et14possèdentencoreun
écartentrelestauxderéussitedechaquecatégoriesupérieurà30%.
Passons maintenant aux résultats similaires obtenus par les deux groupes. Aucun élève
standardniaucunélèveallophonen’aréussiàrésoudreleproblème9.Leproblème13,quant
àlui,n’apermisqu’à6,06%desélèvesstandards,maisàaucunélèveallophone,detrouverle
résultatattendu.Cettedifférenceestmoindre.Enfin,sinousobservonsencorelesécartsde
tauxinférieursà20%,nousretrouvonslepremierproblème,quiaétérésolucorrectement
parplusdelamoitiédesélèvesstandardsetuntiersdesélèvesallophones,leproblème6,
avecdes tauxderéussitesimilairesaupremier,et leproblème8,qui, lui,aété réussipar
quelquesélèvesstandards,maisaucunallophone.
Si l’on compare les meilleurs taux de chaque catégorie, le problème 4 est l’un des deux
problèmesavecleplushauttauxderéussitechezlesélèvesallophones.Parcontre,cen’est
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Elèvesstandards Elèvesallophones Total
47
paslecaschezlesélèvesstandardsoùilestlequatrièmeénoncélemieuxréussi.Enrevanche,
ledeuxièmeproblèmeaveclemeilleurtauxderéussitechezlesélèvesallophones,l’énoncé
11, est également celui qui obtient le taux le plus élevé des élèves standards, et, par
conséquent,detouslesélèvesconfondus.
Pour terminer, la colonne « Total » nous montre ici que la prise en compte des élèves
allophonesdans lecalculdutauxderéussitepourchaqueproblèmelediminuait.Eneffet,
mêmesicesderniersobtiennentuntauxderéussiteprochede50%sinousneregardonsque
leurcatégorie(problèmes4et11),leurintégrationdanslecalculdutauxdetouslesélèves
confondusauneinfluencenégative.Cetteinfluencerestenéanmoinsmédiocre,puisqu’elle
estinférieureà10%.
Enconclusion,nouspouvonsdégagerplusieursfamillesdeproblèmesenfonctiondel’écart
destauxderéussiteentrelesélèvesallophonesetlesélèvesstandards.Lepremiergroupe
comprend le seul problèmepour lequel la différence est supérieure à 50%, c'est-à-dire le
numéro3.Pournepasavoirdeproblèmesisolésdansungroupe,nousfaisonslechoixdele
considérerdanslamêmecatégoriequelesproblèmespourlesquelsl’écartsesitueentre40%
et50%,àsavoirlesénoncés5,7et10.Suitlafamilledeproblèmesavecunécartdetauxde
réussiteentre30%et40%,composéedesnuméros11,12et14.Lesénoncés2,4,15et16
obtiennentdestauxplussimilairesavecdesdifférencesallantde20%à30%.Enfin, l’écart
diminueencorepourlesproblèmes1,6et8,puisqu’ilsesitueentre10%et20%.Finalement,
nousobtenonspresqueunesimilitudepourleproblème13,etuneexactesimilitudepourle
problème9quin’aétéréussiparaucunélèvedenosdeuxcatégories.
6.3.2 Tauxduchoixcorrectdel’opération
Terminons avec la comparaison des taux de choix correct de l’opération. Dans ce dernier
graphique (Figure 17), nous retrouvons les proportions d’élèves standards, d’élèves
allophonesetdetouslesélèvesconfondusayantchoisilabonneopérationafindetenterde
résoudrelesproblèmes.Anouveau,nouscommenceronsparreleverlesdifférencesentreles
élèvesstandardsetlesélèvesallophones.Puis,nouspasseronsauxsimilitudesquipeuvent
êtreobservéesentrecesdeuxcatégories.
48
Figure17:Comparaisondestauxdechoixcorrectdel'opération
Lapremièredifférencemarquantedanscegraphiquesetrouvedanslesproblèmes2,7,13et
14.Alorsquepourl’entierdesproblèmesproposés,aumoins20%desélèvesstandardsont
choisil’opérationadéquate,pourquatreproblèmes,soitunquartdesénoncés,aucunélève
allophonen’asélectionnélebonoutilmathématique.
Avantdecontinuercetteanalyse,ilestaussiànoterquel’écartentrelesélèvesstandardset
lesélèvesallophonespourlestauxdechoixcorrectdel’opérationestbeaucoupplusgrand
queceluientrecesdeuxcatégoriespourlarésolutioncorrecteduproblème.Parconséquent,
ilyauraplusdedifférencesquedesimilitudesàobserverdanscegraphique.
Quatre problèmes ont un écart entre les taux de choix correct de l’opération de chaque
groupesupérieurà50%.Ils’agitdesénoncés3,7,12et13.Ceux-cisontsuivisdeprèsparles
problèmes4,10et11,pourlesquelsl’écartdépasse45%.Ladifférenceentrelestauxduchoix
correctdel’opérations’amenuisepourlesénoncés1,5,6et14,toutenrestantau-dessusde
30%.Enfin,pour lesderniersproblèmes,c'est-à-dire les2,8,915et16, l’écart rested’au
moins20%.
Si nous observons les taux de choix correct de l’opération, nous remarquons que les
problèmes5et16sontlesplusélevés(55,56%)chezlesélèvesallophones,maiscen’estpas
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Elèvesstandards Elèvesallophones Total
49
lecasdesélèvesstandards.Eneffet, lesélèvesstandardsobtiennent lesmeilleurstauxde
choixadéquatdel’outilmathématiquepourlesproblèmes4,11et12(93,94%).
Leproblème12sembletrèsintéressantàanalyserplusendétails.Effectivement,ilobtient
l’undesmeilleurstauxduchoixcorrectdel’opérationchezlesélèvesstandards,maisaussi
l’unedesplusgrandesdifférencesentrelestauxdesdeuxcatégories.Pourfinir,malgréun
écartconséquententrelestauxobtenusparnosdeuxgroupes,lesproblèmes10et11,quant
àeux,ontdeuxdestauxlesplusélevéschezlesélèvesstandards(respectivement90,91%et
93,94%)etlesdeuxièmesplushautschezlesélèvesallophones(44,44%pourlesdeux).
7 Interprétationdesrésultats
Puisquelesrésultatsontétéanalyséssansfairedeliendirectavecnotrecadreconceptuel,
nous allons passer à leur interprétation. Celle-ci nous permettra de voir à quel point nos
résultatsconfirmentouinfirmentleshypothèsesquenousavionsprécédemmentposées.
7.1 Différencedestauxderéussite
Nousallonsreprendrelesproblèmesselonlescatégoriesquiontétéforméesprécédemment
durantleuranalyse,c'est-à-direenfonctiondeladifférencedestauxderéussitedesélèves
standardsetdesélèvesallophonespourchaqueénoncé.Nousreprendronschaquefamille
dégagéeseloncecritèreafind’observerd’éventuellesautressimilaritésdanslaconstruction
desproblèmesetdesvariablesmathématiquesoulinguistiquesprésentes.
7.1.1 Premièrecatégorie–Différencedestauxsupérieureà40%
L’énoncé31est leseulproblèmequiobtientunécartentre lestauxderéussitedesélèves
standardsetdesélèvesallophones supérieurà50%,atteignant61,62%. Il est le troisième
problèmelemieuxréussiparlesélèvesstandards,maisfigureenqueuedelistedesélèves
allophones.
Ceproblèmefaitpartiedutype«Comparaisondegrandeurs»selonlatypologiedeVergnaud
repriseparGraff&Wozniak(2011).Unmotindice(Nesher&Teubal,1975),«foisplus»peut
soitaiderlesélèves,soitlesperturber,carl’opérationattenduedemandeunedivision.Une
variable linguistiqueest présente, puisqu’il y a une coréférence (Kintsch&Rawson, 2005)
1Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?
50
entre « second» et « deuxième». Il s’agit égalementd’une variable linguistique liée à la
sémantique(Kersaintetal.,2013),carcesontdeuxsynonymes.Enfin,lesanalogies(Sander,
àparaître)desubstitutionetdescénariosontabsentesdeceténoncé,alorsquel’analogiede
simulationestprésente.
Danscettecatégorieseretrouventégalementlesénoncés5,7et10.Toutcommel’énoncé3,
lenuméro52estdutype«Comparaisondegrandeurs»(Graff&Wozniak,2011).Unindice
(Nesher&Teubal,1975),lemêmequedansl’énoncé3«foisplus»estaussiprésent.Ildevrait
iciaiderlesélèvespuisquelarésolutioncorrecteexigeunemultiplication.Cependant,ilya
une variable mathématique inutile. De plus, le problème exige ici de travailler avec des
nombresdécimaux.D’unpointdevuelinguistique,etplusprécisémentsémantique(Kersaint
et al., 2013), deux termes ayant des significations proches mais diverses sont présents,
«carton»et«paquet».Finalement,lestroisanalogies,celledesubstitution,descénarioet
desimulation(Sander,àparaître)setrouventdansceproblème.
L’énoncé 73 travaille également sur un seul domaine de grandeur, comme les deux
précédents,maisletypeestdifférent.Ils’agitd’unénoncéimpliquantune«Variationd’une
grandeuravecunrapportimplicite»(Graff&Wozniak,2011).Ceciimpliquedeuxopérations,
unepourtrouverlerapport,puisunesecondepourtrouverlagrandeurmanquante.Aucun
indice n’est présent dans cet énoncé. Néanmoins, tout comme dans le problème 5, les
variablesmathématiquesimpliquentl’utilisationdesnombresdécimaux,icidanslerésultat.
Linguistiquement,ilyauneanaphore(Kintsch&Rawson,2005),carlenom«lafourmi»est
reprisparlepronom«elle».DeuxdestroisanalogiesdeSander(àparaître)nesontpasdans
ceténoncé.Ils’agitdesanalogiesdesubstitutionetdesimulation.
Leproblème104,quantàlui,œuvresurdeuxdomainesdegrandeurs,danscecasl’argentet
le nombre de cadeaux. Il fait partie du type « Division-quotition » de Vergnaud (Graff &
Wozniak,2011).Iln’yaaucunindice(Nesher&Teubal,1975)etl’opérationetsonrésultat
sont dans les nombres entiers. Cet énoncé contient une anaphore selon la définition de
Kintsch&Rawson(2005),puisquelepronom«en»reprendlenom«cadeaux».toutcomme
2Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?3Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?4Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?
51
dansl’énoncé5,lesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulation(Sander,àparaître)
sontprésentesici.
Bienqu’ellessoientdiverses,lesvariableslinguistiquesprésentesdanslesquatreproblèmes
analysésci-dessussemblentavoiruneffetsurletauxderéussitedesélèvesallophones.En
effet,cesénoncésobtiennentdebonsrésultatschezlesélèvesstandards(troisd’entreeux
sontparmilescinqproblèmeslesplusréussis)etdesrésultatsmédiocres,voirenulles(énoncé
7)chezlesélèvesallophones.Laprésencedecesvariableslinguistiquesdanslesproblèmes
pourraitêtrel’unedesexplicationsdesgrandsécartsobservésdanscettecatégorieentreles
résultatsdesélèvesallophonesetlesélèvesstandards.
Danscettepremièrecatégorie,deuxproblèmessontexactementlesmêmesauniveaudela
présencedesanalogies.Eneffet,lesénoncés5et10possèdentlesdeuxtouteslesanalogies
deSander(àparaître),àsavoirl’analogiedesubstitution,descénarioetdesimulation.Les
deuxautresénoncés,enrevanche,nepermettentpasdetrouveruneanalogiecommuneaux
quatreproblèmesdecettecatégorie.
7.1.2 Deuxièmecatégorie–Différencedestauxentre30%et40%
Passonsmaintenantàladeuxièmefamilledeproblèmes,cellepourlesquelsladifférencedes
taux de réussite se situe entre 30% et 40%. Trois problèmes se sont classés dans cette
catégorie.Ils’agitdesénoncés11,12et14.
L’énoncé115travaillesurdeuxdomainesdegrandeurs,l’argentetlespaquets,alorsquele
126etle147enonttroischacun:lesboîtes,lessachetsetlesbiscuits,etlest-shirts,lesshorts
et lescasquettes, respectivement. L’énoncé11estdu type«Quatrièmeproportionnelle»
(Vergnaud,reprisparGraff&Wozniak,2011)etexigedeuxopérations,unedivisionetune
multiplication,pourtrouverlerésultat.Iln’yaaucunindice(Nesher&Teubal,1975)danscet
énoncé, par contre, il y a une anaphore (Kintsch & Rawson, 2005), car le prénom
«Christophe»estreprisparlepronom«il».L’analogiedesubstitution,celledescénarioet
celledesimulation(Sander,àparaître)sontprésentesdansceproblème.
5Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?6Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?7J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?
52
Leproblème12,faitpartie,selonlatypologiedeVergnaud(Graff&Wozniak,2011)dutype
«Proportionnalitésimplecomposée».Deuxmultiplicationssuccessivessontnécessairespour
trouver le résultat. Tout comme dans l’énoncé précédent, il n’y a pas d’indice (Nesher&
Teubal, 1975) pour aider l’élève.Néanmoins, le texte est un peuplus long que les autres
énoncés, car il contient quatre phrases. De plus, une anaphore (Kintsch& Rawson, 2005)
compliqueletexte.Leprénom«Martin»estreprisparlepronom«il»,maisilnefautpasle
confondre avec le « il » impersonnel, également présent dans l’énoncé. Remarquons que
chaqueanalogiedeSander(àparaître)estprésentedansceproblème.
Finalement, le dernier énoncé présent dans cette catégorie, le 14, est du type
«Proportionnalitédouble». Ils’agitd’unproduitcartésien.Toutcommedansleproblème
précédent, les élèves doivent faire deuxmultiplications à la suite pour arriver au résultat
attendu.UnindicecommeceuxrelevésparNesher&Teubal(1975)estprésentavecle«en
tout»,permettantà l’élèvedesavoirqu’il s’agitdunombretotaldetenuesque l’onpeut
former.Auniveaudesvariableslinguistiques,ilyaunecoréférence(Kintsch&Rawson,2005)
pluscompliquée,caraveclemot«tenue»ilestsous-entendu«unt-shirt,unshortetune
casquette ». Pour finir, ni l’analogie de substitution, ni l’analogie de scénario (Sander, à
paraître)nesontprésentesdansceténoncé.
Nousremarquonsdanscettefamilledeproblèmes,toutcommedanslaprécédente,quedes
variableslinguistiquessontànouveauprésentesdanslestroisénoncés.Enrevanche,aucun
d’entreeuxnesortdel’ensembledesnombresnaturels.Ilsembleraitdoncquel’emploides
outils mathématiques avec les nombres décimaux posent plus de problèmes aux élèves
allophonesquelesnombresnaturelsetlesempêchentderésoudrecorrectementlesénoncés.
Cette seconde catégorie de problèmes possède un point commun dans la présence des
analogies de Sander (à paraître). En effet, les trois énoncés permettent l’analogie de
simulation.Deuxdestroisproblèmes,le11etle12ontmêmelestroisanalogies,toutcomme
lesénoncés5et7delacatégorieprécédente.
7.1.3 Troisièmecatégorie–Différencedestauxentre20%et30%
Semblablementaupremiergroupe,quatreproblèmesontobtenudesdifférencesdetauxde
réussite pour se classer dans cette famille. Ce sont les problèmes 2, 4, 15 et 16. L’écart
s’amenuise,puisqu’ilestcomprisentre20%et30%.
53
Lesénoncés2et4nesontquesurunseuldomainedegrandeurs,alorsquele15et le16
travaillentsurtroisdomainesdegrandeurs.Leproblème28faitpartiedutype«Composition
de deux variations d’unemême grandeur » (Graff&Wozniak, 2011). Il s’agit d’une seule
grandeur que l’on amodifié deux fois et l’on cherche à trouver, soit la première, soit la
secondevariation,oualors, lavariationtotale. Iln’yaucun indice(Nesher&Teubal,1975)
dans ce long texte de quatre phrases. Cependant, cet énoncé est linguistiquement plus
compliqué,enplusdesalongueur,dûauxnombreusesanaphores(Kintsch&Rawson,2005)
présentes.Celles-cisontlistéesdansl’analysedétailléesdesannexes11.2(p.77).Finalement,
l’analogiedesubstitution(Sander,àparaître)estabsente,alorsquecellesdescénarioetde
simulationsontprésentes.
L’énoncé49 est classédans le type«Comparaisondegrandeurs» selonGraff&Wozniak
(2011) qui se sont basés sur la typologie de Vergnaud. L’opération attendue, une
multiplication,peutêtreinduiteàl’aidedel’indice«foisplus»deNesher&Teubal(1975).
Du point de vue linguistique, il y a deux anaphores (Kintsch & Rawson, 2005) dans ce
problème. Deux pronoms « en » et « il » reprennent respectivement « de l’argent » et
« Louis». Finalement, toutes les analogiesde Sander (àparaître) sontprésentesdans cet
énoncé.
Les problèmes 1510 et 1611 sont très similaires. Tous les deux font partie du type
« Proportionnalité double » et se situent dans l’ensemble des nombres naturels. Chaque
énoncécontientl’indice«entout»(Nesher&Teubal,1975).Lesdifférencesentrecesdeux
énoncéssetrouventdanslesvariableslinguistiquesetlesanalogiesprésentes.Alorsquele
problème15necontientaucunevariablelinguistique,letextedu16estpluslong.Ilestformé
dequatrephrasesdanslesquellessetrouveuneanaphore(Kintsch&Rawson,2005).«Leparc
d’attractions»estreprispar lepronom«y».Enfin,dans leproblème15, lesanalogiesde
substitutionetdescénario(Sander,àparaître)sontabsentes,alorsqu’ellessetrouventdans
8 Léa a agrandi une photo avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?9Arnaudpossède272 francs sur soncompteenbanque. Louisenpossède25 foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?10Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couplesdifférents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombredecartesbleues?11Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?
54
l’énoncé16,et,inversement,l’analogiedesimulationestprésentedansleproblème15,mais
pasdansle16.
Toutcommenousl’avonsrelevédanslacatégorieprécédente,aucundecesproblèmesne
travailleendehorsdel’ensembledesnombresnaturels.L’écartentrelestauxderéussitedes
élèvesallophonesetdesélèvesstandardsdiminuant,ilsembleraitqu’enprivilégiantl’emploi
del’ensembledesnombresnaturels,lesélèvesallophonessoientplusàmêmedemaintenir
un taux similaire à celui des élèves standards. Les variables linguistiques seraient ici
secondaires.L’emploidel’outilmathématiquesavecl’ensembledesnombresdécimauxpose
plus de problèmes aux élèves allophones. L’erreur n’est pas forcément due à la
compréhensiondesconsignes,maisplutôtàunesurchargecognitive. Il s’agitde l’unedes
erreursissuesdelatypologied’Astolfi(2015),maisnefaitpaspartiedecellesquenousavons
sélectionnéespourcetravail.
7.1.4 Quatrièmecatégorie–Différencedestauxentre10%et20%
Troisproblèmesonteudepetitesdifférences,l’écartdestauxsesituantentre10%et20%.
Ce sont les énoncés 1, 6 et 8. Alors que les deux premiers sont sur un seul domaine de
grandeurs, le dernier travaille sur deux domaines, à savoir le prix et la quantité en
kilogrammes.
Le problème 112 est du type « Variation d’une grandeur avec rapport explicite » selon la
classificationdeGraff&Wozniak(2011)baséesurlatypologiedesproblèmesdeVergnaud.
Unindice(Nesher&Teubal,1975),«foisplus»,peutsoitmettrelesélèvessurlabonnevoie,
soitlesperturber,puisqu’unedivisionestnécessairepourtrouverlerésultat.Uneanaphore
(Kintsch&Rawson,2005)estégalementprésentedansceproblème.Lepronom«il»reprend
lenom«ledessin».Pourfinir,uneseuleanalogie(Sander,àparaître),celledesimulation,est
présente.
Ledeuxièmeproblèmedecettecatégorie,lenuméro613,faitpartiedutype«Comparaison
degrandeurs»(Graff&Wozniak,2011).UnindicedeNesher&Teubal(1975),«foismoins»,
pouvait aider les élèves à choisir la division plutôt que la multiplication. Chez les élèves
12Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?13Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursur sabarqueenpêche8.Combiende foismoins lepêcheursursabarquepêche-t-il?
55
allophones,maisaussichezdesélèvesstandards,cetindicen’enétaitpasun,puisqu’ilena
incitésàchoisirunesoustraction.Dupointdevuedesvariableslinguistiques,deuxanaphores
(Kintsch&Rawson,2005)sontdansl’énoncé.Ellessontàvoirdanslesannexes11.2(p.77).
Toutcommepour leproblèmeprécédent,uneseuleanalogie(Sander,àparaître),cellede
substitutioncettefois-ci,estprésente.
Le dernier énoncé de cette catégorie, le 814, fait partie du type « Multiplication ».
Contrairement à l’énoncé précédent, il n’y a pas d’indice (Nesher & Teubal, 1975).
Mathématiquement, le problème est compliqué par la présence de nombres décimaux.
Linguistiquement, il y a deux coréférences (Kintsch & Rawson, 2005), la première entre
«viande»et«rôti»etlasecondeentre«kilogramme»etsonabréviation«kg.»
Dans cette catégorie, l’écart qui semblait être important lors de l’emploi des nombres
décimauxse rétrécit suiteà l’énoncé8.Cependant, sinousobservons les tauxde réussite
respectifsdesélèvesstandardsetdesélèvesallophonesdansceproblème,nouspouvonsvoir
que seuls 18,18% des élèves standards l’ont réussi, et qu’aucun élève allophone n’y est
parvenu.Lebastauxderéussitedesélèvesstandardspourraitêtrelaraisonpourlaquellece
problèmeseretrouvedanscettecatégorieetnonuneautre.
Le faitderetrouverdesanaphoresetdescoréférenceségalementdanscettecatégoriene
nouspermetpasd’expliquer l’écartdestauxderéussiteentre lesélèvesallophoneset les
élèves standards uniquement à l’aide des variables linguistiques. Nous analyserons plus
précisément lesénoncéséchouéspar lesélèvesallophonespourcomprendrecequi leura
réellementposéproblèmesdansleurrésolution.
7.1.5 Cinquièmecatégorie–Différenceinférieureà10%
Enfin,deuxproblèmesontobtenudesrésultatsquasimentsimilairesdanslestauxderéussite
desélèvesstandardsetdesélèvesallophones.Ils’agitdesproblèmes9,pourlequelletauxd
réussiteestnulpourlesdeuxcatégories,etle13,queseuls6,06%desélèvesstandardssont
parvenusàrésoudrecorrectement.
Le problème 915 travaille avec deux domaines de grandeurs, les boîtes et le poids en
kilogrammes.Ilestclassécommeproblèmedetype«Division-partition»selonlatypologie
14Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?15 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?
56
deVergnaud(Graff&Wozniak,2011).Unindice(Nesher&Teubal,1975)estprésentdansla
donnée,toutcommeuneinformationinutileàlarésolutionduproblème.Celle-cipeutmener
lesélèvesàchoisirlesmauvaisesvariablespourleurcalcul.Deplus,ilemploielesnombres
décimaux.Ils’agitdel’undesdeuxseulsproblèmesn’ayantaucunevariablelinguistique.Il
contientdeuxanalogies,cellesdesubstitutionetdescénario,maispascelledesimulation
(Sander,àparaître).
Pourterminer,l’énoncé1316estsurtroisdomainesdegrandeurs:lesbilles,lespaquetsetles
sachets.Ilestdansletype«Proportionnalitésimplecomposée».Sarésolutionrequiertdeux
divisionssuccessives.Plusieursélèvessesontarrêtésaprèslapremièredivisionenpensant
l’exerciceterminé.Contrairementauprécédent,iln’yapasd’indicedansceténoncé(Nesher
&Teubal,1975).Enrevanche,ilyaunecoréférenceaveclepronomrelatif«lesquels»qui
reprend«lespaquets»,ainsiqu’uneanaphore(Kintsch&Rawson,2005)aveclepronom«il»
qui reprend « Fred » et qu’il ne faut pas confondre avec le pronom impersonnel. Enfin,
sémantiquement(Kersaintetal.,2013),deuxtermesdesensprochemaisdifférentsontdans
letexte:«paquet»et«sachet».
Danscettecatégorieànouveau,noustrouvonsunproblèmeavecdesnombresdécimauxqui
nedonneaucunécartdestauxderéussiteentreélèvesallophonesetélèvesstandards.Ceci
estdûaufaitqu’aucunélèvestandard,niélèveallophonen’aréussiàrésoudreceproblème.
Parconséquent,ilsembleraitquel’emploidesnombresdécimauxdiminuenonseulementle
tauxderéussitedesélèvesallophones,maiségalementceluidesélèvesstandards.
Le faitque leproblème9,quin’aaucunevariable linguistique,obtienne lemêmetauxde
réussitepourlesélèvesstandardsetlesélèvesallophonesestsurprenant.Celaimpliquerait
que la difficulté de cet exercice ne soit pas dans le texte, mais dans les variables
mathématiqueset/oudanslaprésenceounondesanalogies.Enrevanche,leproblème13
contient de nombreuses difficultés linguistiques qui pourraient empêcher les élèves
allophonesderésoudreceproblèmecorrectement.Commedéjàsignalé,nousreviendrons
surlesdifficultésspécifiquesauxélèvesallophonesplusloin.
16Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?
57
7.1.6 Comparaisondescatégories
Au travers de cette analyse par catégorie, nous n’avons quasiment pas trouvé de points
communs entre les problèmes de chaque famille, si ce n’est la difficulté engendrée par
l’emploidesnombresdécimaux.Effectivement,presque tous lesénoncéspossédaientdes
variables linguistiques,cequinousaempêchésdeclasser lesproblèmesen fonctionde la
présenced’anaphores,decoréférences,etc.Desanaphoressontàobserverdansaumoinsun
énoncédechaquefamilledeproblèmes.Deplus,lesdeuxseulsénoncésquinepossèdentpas
de variables linguistiques ne sont ni dans la même catégorie, ni dans des catégories
adjacentes.
Auniveaudesanalogies,nousavonsputrouverquelquessimilitudesentrecertainsproblèmes
de trois catégories. Cependant, des problèmes de même configuration se retrouvent
également dans d’autres familles, ce qui nous empêche, ici à nouveau, de créer une
classification des problèmes selon ce critère. Six problèmes parmi les seize proposés aux
élèvescontenaientlestroisanalogiesdeSander(àparaître).Ceux-cisontrépartisdansquatre
descinq famillesdeproblèmescrééesselon lesécartsdes tauxderéussitedesélèves.De
manière similaire, l’énoncé 3, qui obtient la plus grande différence des taux de réussite,
contient,commeexpliquéprécédemment,deuxdestroisanalogies.Troisautresproblèmes,
le1,le14etle15,ontexactementlamêmeconfigurationanalogique,maissontrépartisdans
lestroiscatégoriessuivantes,l’écartentreallophonesetstandardsétantmoinsimportant.
Enfindecompte,ilsembleraitquelagrossedifférencedestauxderéussiteentrelesélèves
standardsetlesélèvesallophonesnepermettepasdetrouverderaisonàcetécartdansles
structuresmathématiques,linguistiquesetanalogiquesdesproblèmes.Eneffet,nousn’avons
pas trouvé suffisamment de points communs entre les énoncés classés dans chacune des
catégories, si ce n’est, éventuellement, la présence des nombres décimaux. Certaines
variableslinguistiquesparaissentcomplexifierladonnée,maislesénoncéslescontenantsont
répartis dans diverses catégories. Concernant les analogies, à nouveau, leur présence et
absenceauneinfluence,maisleurrépartitionestmultipledanschaquegroupeobservéci-
dessus.
58
7.2 Résolutiondeproblèmesparlesélèvesallophones
Maintenantquenousavonsobservé lescaractéristiquesdesproblèmesselon ladifférence
destauxderéussitechezlesélèvesstandardsetchezlesélèvesallophones,nousallonsnous
concentrersurcellesdesénoncésquin’ontpasmenélesélèvesallophonesverslaréussite.
Nouscommenceronsparlesproblèmesn’ayantpermisauxélèvesallophonesnidetrouverla
bonneréponse,nidechoisir l’opérationadéquate.Nouspasseronsensuiteauxproblèmes
pour lesquels l’opération choisie était correcte, sans pour autant que cela les mène à la
résolutioncorrecte.
Finalement, nous terminerons l’analyse de cette catégorie avec les caractéristiques des
problèmesayantpermisauxélèvesallophonesdelesrésoudreoud’aumoinschoisirlabonne
opération.
7.2.1 Résolutionincorrecte
Autotal,septproblèmesparmilesseizeproposésauxélèvesstandardsetallophonesn’ont
étéréussiparaucunélèveallophone.Quatred’entreeuxnousintéressentparticulièrement
dans cette partie, puisqu’ils n’ont pas non plus permis aux élèves allophones de choisir
l’opérationadéquate.Ils’agitdesénoncés217,718,1319et1420.Leuranalysedétailléeayant
étédécriteplushaute,nousnenousattarderonspasicisurcela.Enrevanche,nousveillerons
auxdifférencesetauxpointscommuns.
Si nous observons la présence et l’absence des analogies de Sander (à paraître) dans ces
quatre énoncés, nous pouvons voir qu’aucun d’entre eux n’a l’analogie de substitution. Il
sembleraitdoncquel’absencedecetteanalogiedanslesénoncésdesproblèmeslesrendent
pluscompliquésencorepourlesélèvesallophones,parrapportàceuxlacontenant.Atitrede
comparaison,lesdeuxproblèmesayantlemieuxétéréussiparlesélèvesallophones,àsavoir
les énoncés 4 et 11, possèdent cette analogie de substitution. Deux des trois problèmes
suivants,le10etle6,l’ontégalement.Enrésumé,quatreénoncésn’ayantpascetteanalogie
17 Léa a agrandi unephoto avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?18Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?19Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?20J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?
59
seretrouventenqueuedeclassement,alorsquequatreparmi lescinqproblèmes lesplus
réussislapossèdent.Cettecomparaisonparaîtrenforcerl’idéedelafacilitationdesproblèmes
pourlesélèvesallophoneslorsquel’analogiedesubstitutionestprésente.
Du point de vue linguistique, tous ces énoncés ont aumoins soit une anaphore, soit une
coréférence(Kintsch&Rawson,2005).Enplusdecela, leproblème2estparticulièrement
long. Cependant, la longueur ne paraît pas être un facteur important dans la capacité de
résolutiondesproblèmesparlesélèvesallophones,puisqued’autresénoncésayantuntexte
pluslongnelesontpasgênésdansleurréussite.Lacomplexitédecedeuxièmeénoncése
cache dans les nombreuses anaphores, cinq au total, réparties sur uniquement quatre
phrases. De manière similaire, l’énoncé 13 regroupe plusieurs variables linguistiques sur
seulementtroisphrases:uneanaphore,unecoréférence,etdeuxtermestrèsprochesdont
la différence sémantique (Kersaint et al., 2013) doit malgré tout être faite. Cette grande
densité de variables linguistiques peut être une seconde explication aux difficultés
rencontréesparlesélèvesallophonesdanslarésolutiondecesproblèmes,voiremêmedans
lechoixdel’opérationpouvantlesmeneràlaréussite.
SinousobservonslaprésencedesindicesdeNesher&Teubal(1975),nousremarquonsque
surlesquatreénoncésdecettecatégorie,seulun,le14,contientunindicedanssadonnée.
Enrevanche,troisdescinqproblèmeslesmieuxréussisontunindicedansleurénoncé.Par
conséquent, il sepourrait que laprésenced’indices aide les élèves allophonesà résoudre
correctementlesproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif.Néanmoins,l’accentde
cetravailn’ayantpasétéentièrementmissurcettevariable,etl’absenceetlaprésenceétant
plus ou moins uniformément réparties entre les problèmes réussis et échoués, nous ne
pouvonsadmettrecelaaveccertitude.
Il peut être intéressant ici de rajouter une observation faite concernant les variables
linguistiques.Eneffet,nousavonsremarquéquetroisdesquatreproblèmescontenantune
coréférencen’avaientétéréussisparaucunélèveallophone.Deplus,leseuln’ayantpasun
tauxderéussitenuln’aétérésolucorrectementseulementparunseulélève.Parconséquent,
ilsembleraitquelacoréférencesoitunevariablelinguistiqueplusdifficileàsurmonterpour
lesélèvesdecettecatégoriequelesanaphores.
60
7.2.2 Résolutionincorrectemalgréunchoixcorrectdel’opération
Surlesseptproblèmesnonréussisparlesélèvesallophones,troisleurontmalgrétoutpermis
dechoisirlabonneopération.Ils’agitdesénoncés821,922et1623.Leurerreur,ici,n’estdonc
pasdue,ilsemblerait,auxvariableslinguistiques(Kintsch&Rawson,2005,&Kersaintetal.,
2013),maisplutôtàunmauvaisemploidel’outilmathématiqueouàunesurchargecognitive
(Astolfi,2015).
Contrairement à la catégorie précédente, les trois problèmes analysés ici possèdent tous
l’analogiedesubstitution(Sander,àparaître).Cetteobservationconfortenotreaffirmation
concernant la difficulté ajoutée au problème si l’énoncé ne contient pas cette première
analogie.Nousreviendronségalementdanslessections7.2.3et7.2.4surl’importancedeces
analogiesdanslaréussitedesélèvesallophones.
Attardonsnousquelquepeusurlesvariableslinguistiquesprésentesdanscesénoncés.Les
trois problèmes de cette catégorie en possèdent moins que la précédente. L’un des
problèmes, le 9, n’a aucune variable linguistique. L’énoncé 8, quant à lui, n’a qu’une
coréférenceetle16,uneanaphore.Letextedecedernierénoncéestunpeupluslongque
lesautres.D’ailleurs,deuxdestroisproblèmesayantuntextepluslongn’ontpasmenéles
élèvesallophonesà la réussite. L’énoncé16a toutefoispermisà55,55%decesélèvesde
choisir labonneopération.Parconséquent, la longueurdutextenesemblepasforcément
influencer les élèves allophones. De plus, le problème 12 a été résolu correctement par
22,22%desélèvesdecettecatégorie,toutcommeletauxdel’opérationadéquatechoisie.
Enfin,unevariableàlaquellenousn’avionspaspensédirectementetquin’apasététestée
volontairementdansnotrerecherchesembleavoiruneimportanceconcernantlaréussitedes
élèves allophones. En effet, quatre problèmes ne travaillaient pas dans l’ensemble des
nombresnaturels,maisdansceluidesnombresdécimaux.Surcesquatreénoncés,troisn’ont
étéréussisparaucunélèveallophone.Parmiceux-ci,deuxontmalgrétoutpermisà22,22%
decesélèvesdechoisirlabonneopération.Ilsembleraitdoncquelaprésencedecalculsavec
21Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?22 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?23Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?
61
les nombres décimaux diminue les chances de réussite des élèves, et augmente,
conséquemment,l’écartaveclesélèvesditsstandards.
7.2.3 Résolutionscorrectes
Afin d’essayer de trouver les caractéristiques des problèmes permettant aux élèves
allophonesd’êtreensituationderéussite,nousallonsobservercellesdescinqénoncésayant
obtenuslesmeilleurstauxderéussiteetlesmeilleursdetauxdechoixcorrectdel’opération.
Deuxproblèmes, les424et1125,ontobtenuuntauxderéussitede44,44%chez lesélèves
allophones.Cesdeuxproblèmessontsimilairesenplusieurspoints.Premièrement,lesdeux
énoncés possèdent toutes les analogies de Sander (à paraître). Deuxièmement, chacun
d’entreeuxn’a,commevariablelinguistique,quedesanaphores,respectivementdeuxetune.
Enfin,tousdeuxtravaillentdansl’ensembledesnombresentiers.Seuledifférence,l’énoncé4
possèdeunindice(Nesher&Teubal,1975),alorsquecen’estpaslecasdu11.
Cesdeuxproblèmessontsuivisdeprèsparles126,627et1028,réussispar33,33%desélèves
decettecatégorie.Parsesvariables,l’énoncé10rejointle4etle11,puisqu’ilcontientaussi
lestroisanalogiesdeSander(àparaître),n’aqu’uneanaphorecommevariablelinguistiqueet
travaille dans l’ensemble des nombres naturels. Les problèmes 6 et 10 sont également
semblablesconcernantlesvariablesmathématiquesetlinguistiques.Enrevanche,pourcequi
estdesanalogies(Sander,àparaître),lepremiernecontientquel’analogiedesimulation,et
lesixième,uniquementcelledesubstitution.Malgrétout,cesdeuxénoncésontaussipermis
à33,33%desélèvesallophonesdeconnaîtreunesituationderéussite.
24Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?25Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?26Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?27Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.Combiende foismoins lepêcheursursabarquepêche-t-il?28Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?
62
7.2.4 Choixcorrectdel’opération
Deuxproblèmesobtiennentun tauxduchoix correctde l’opérationde55,56%et troisde
44,44%.Cesontlesénoncés529et1630,etles4,10et11,respectivement.Cestroisderniers
setrouvaientdéjàdanslacatégoriedesproblèmeslesmieuxréussisparlesélèvesallophones,
dontnousavonsparléci-dessus.Nousnereviendronsdoncpassurlespointscommunsdeces
troisénoncésquiontdéjàétélistésetanalysés.
Ilestcependantintéressantdevoirpourquoilescinqproblèmesdecettecatégorienesont
pasexactementlesmêmesqueceuxdelaprécédente.Pourtant,l’énoncé5contientluiaussi
lesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulationdeSander(àparaître).Le16,par
contre, ne contient que l’analogie de substitution. Les variables linguistiques sont aussi
diverses, puisque, dans l’énoncé 5, nous avons deuxmots prochesmais sémantiquement
différentsquipeuventposerpassablementdedifficultésauxélèvesallophonesconcernantla
compréhensiondutexte,maiségalementlechoixdesvariablesàemployerpourrésoudrele
problème (Kersaint et al., 2013). Le texte du 16, quant à lui, est plus long que les autres
données.
Cesdeuxproblèmesontobtenudegrosécartsentreletauxderésolutioncorrecteetletaux
duchoixcorrectdel’opération.Eneffet,ilsontobtenulesmeilleurstauxduchoixcorrectde
l’opération,àsavoir55,56%,seulsdeuxélèvesallophonesontterminéle5,alorsqu’aucun
d’entreeuxn’aréussiàfinirle16.Ilsembleraitqueladifficultérencontréedansleproblème
5 puisse être liée à la présence des nombres décimaux. Ainsi, les élèves ont pu choisir la
multiplication, mais n’ont ensuite pas été capables d’appliquer l’algorithme de la
multiplicationaveclesvariablesdonnées.Ils’agiraitparconséquentd’unesurchargecognitive
(Astolfi,2015).Uneautrepossibilitédesdifficultésrencontréespeutrésiderdanslaprésence,
dans la donnée du problème, d’une information inutile. Le choix que doit faire l’élève
concernant les variables utiles au problème peut être biaisé par une manque de
compréhensiondeladonnéeliéeàlalecture(Kintsch&Rawson,2005)ouàlasémantique
(Kersaintetal.,2013).D’ailleurs,nousavionsrelevéplushaut laprésencededeuxtermes
proches,maisdifférents,pouvantaccentuercettedifficultédecompréhension.
29Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?30Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?
63
Les difficultés rencontrées pour le second énoncé dans lamême situation, pour lequel la
différencedestauxestencoreplusgrande,sontautres.Commenousl’avonsdit,letexteest
plus longquelesautresproblèmes.Conséquemment, l’élèvedoitdavantageseconcentrer
pourencomprendrelesensetdécoderlesinformationsquis’ycachent(Kintsch&Rawson,
2005). De plus, la résolution nécessitait deux opérations. Or, souvent, les élèves se sont
arrêtésaprèsavoir faitunseulcalcul.Cecipeutêtredûaucontratdidactique (Brousseau,
2004)misenplacedanslaclasse,ousimplementàlarépétitiondesproblèmeslorsdenotre
recherche.Eneffet,laplupartdesproblèmesproposés,dixsurlesseize,n’exigeaientqu’une
opérationpourtrouver lerésultatfinal.Lesélèvesontpugénéralisercetteobservation,et
ainsis’arrêteraprèsunseulcalculpourchacundesproblèmesproposés.
7.2.5 Caractéristiquesdesproblèmesmenantàunesituationderéussite
Auvudes résultatsprécédentsetdesanalysesquenousavonspuen faire,nous sommes
arrivésàfaireémergerquelquescaractéristiquesnécessairesauxproblèmespourpermettre
auxélèvesallophonesd’êtreensituationderéussite.Celles-cinemènentpasforcémenttous
cesélèvesàlaréussite,maiscontribuentfortementàlesaideràyparvenir.
Ainsi,sil’énoncéduproblèmecontientlestroisanalogiesdeSander(àparaître),àsavoircelle
de substitution, celle de scénario et celle de simulation, il est déjà bien situé pour être
réalisableparlesélèvesallophones.Enplusdecela,ilestpréférablequeletextenesoitpas
troplongetqu’ilnecontiennequepeudevariableslinguistiques.Àl’aidedenotrerecherche,
nousavonspuremarquerquedestextesd’environdeuxphrasesétaientplusàmêmed’être
résoluscorrectementques’ilsencontenaientquatre.Concernantlesvariableslinguistiques,
ilenvademême:uneàdeuxanaphoresnesemblentpasmettrelesélèvesendifficultés.
Celles-ciaugmententenrevancheaveclaprésencedecoréférences.Enfin,d’unpointdevue
mathématiques,letravailaveclesnombresdécimauxnesemblepasêtreacquisparlaplupart
desélèvesallophonesquenousavonsrencontrésdanslecadredenotrerecherche.Aussi,en
préférantl’ensembledesnombresentiers,ilsembleraitqueleschancesderéussiteoffertes
auxélèvessoientpluséquitables.
Bienquecertainsproblèmesn’ayantpaslestroisanalogiesdeSander(àparaître)aientobtenu
destauxderéussitetoutàfaitcorrects,telsquelesénoncés1et6,nousavonségalementpu
voirqued’autres,nerassemblantpastoutescescaractéristiques,sesituaientrapidementau
basduclassement.
64
Prenonscommepremierexempleleproblème1231.Commerecommandé,celui-cicontient
lestroisanalogies,n’aqu’uneseuleanaphoreettravaillesurl’ensembledesnombresentiers.
Cependant,letexteestunpeupluslong.Ceciamèneàdestauxderéussiteetduchoixcorrect
del’opérationégauxà22,22%,soitlamoitiéquedestauxobtenusparl’énoncé4,entêtede
classement.
Unautreexemplepeutêtreillustréàl’aidedel’énoncé832.Ànouveau,cedernierremplitles
caractéristiquesdesanalogieset le texteestde longueur standard.Cependant, il contient
deuxvariableslinguistiques,deuxcoréférencesquiplusest,etiltravailleavecdesnombres
décimaux.Parconséquent,letauxderéussitedeceproblèmeparlesélèvesallophonesest
nul.
7.3 Résolutiondeproblèmesparlesélèvesstandards
Afin de pouvoir faire quelques comparaisons entre les élèves allophones et les élèves
standardsetainsivoirenquoiuneadaptationestnécessairepourlesélèvesallophones,nous
allonsreprendrelescinqproblèmesayantobtenuslesmeilleursetlesmoinsbonsrésultats
dans leurrésolution.Nousanalyseronsensuitesicelacorrespondàcequenousavionspu
observer dans notre précédente catégorie. Nous ne relèverons pas ici les variables
linguistiques, qui restent propres à la question des élèves allophones. Nous nous
concentreronssurlaprésenceounond’analogies,ainsiquesurlesvariablesmathématiques
enjeu.
Nous tenons cependant à signaler qu’au vu des résultats globaux obtenus par les élèves
standardsdanslarésolutiondeproblèmesissusduchampconceptuelmultiplicatif,unbon
nombred’élèvesscolarisésen9COniveau2enmathématiquesn’ontpasatteintlesobjectifs
de8H.Làn’étantpaslaquestiondenotretravail,nousnenousattarderonspasicisurcesujet,
bienqu’ilsembleévidentquecelui-cisoitplusprofondémentanalysableetdiscutable.
31Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?32Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?
65
7.3.1 Résolutionsincorrectes
Lescinqproblèmessituésenqueuedeclassementdesélèvesstandardssont,selonleurtaux
derésolutioncorrecte,le1633,le234,le835,le1336etle937.Leurtauxestinférieurà25%et
atteintmême0%pourl’énoncé9.
Laprésencedecesproblèmesaufondduclassementrevientplusoumoinsàcequenous
avionspuobserverchezlesélèvesallophones.Aussi,iln’estpassurprenantdevoirqueles
élèvesallophonesaienteudelapeineàlesrésoudresimêmelesélèvesstandardsontconnu
desdifficultésdansleurrésolution.
Aucune similitude ne peut être notée dans la présence ou non des analogies (Sander, à
paraître)danscesproblèmes.Seull’énoncé8semblenepasavoirsaplacedanslesproblèmes
lesmoinsbienréussis,puisqu’ilcontientlestroisanalogies.Lesdifficultésrencontréesparles
élèvesdansceproblèmesontdoncailleurs.Nousyreviendronsci-dessous.
Mathématiquement,deuxdecescinqproblèmessontpluscompliqués,carilstravaillentavec
l’ensembledesnombresdécimaux.Ils’agitdel’énoncé8,dontnousavonsparléci-dessus,et
du9.Ceux-ci sontégalementplusdursque lesdeuxautresproblèmestravaillantdanscet
ensemble,carpourl’un,ils’agitd’unemultiplicationdedeuxnombresdécimaux,etnonpas
d’unentieravecundécimal,etpourl’autred’unedivisiond’undécimalparunentier.Faitque
nous avions déjà pu voir chez les élèves allophones, la présence de nombres décimaux
augmentelesdifficultésquelesélèvespeuventrencontrerdanslarésolutiond’unproblème
issuduchampconceptuelmultiplicatif.
Lesénoncés13et16exigentégalementunpeuplusdetravaildelapartdesélèves,puisqu’une
seuleopérationnesuffitpasàtrouverdirectementlaréponse.Ilpeuts’agirdedeuxdivisions
àlasuiteoudelacombinaisond’unemultiplicationetd’unedivision.Bonnombred’élèves
standards,toutcommenousl’avionsnotépourlesélèvesallophones,sesontarrêtésaprès
33Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?34 Léa a agrandi une photo avec un coefficient d’agrandissement égal à 3. Elle la donne ensuite à Jules quil’agrandit encore. Jules rend la photo à Léa qui remarque qu’entre la photo originale et celle de Jules, lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?35Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?36Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebillesrougesyavait-ildanschaquepaquet?37 92 boîtes contenant chacune 21 chocolats pèsent en tout 32,2 kg. Quel est le poids d’une boîte de 21chocolats?
66
avoireffectuéuneseuleopération.Nousavionsessayédemettrelemaximumenplacepour
évitertoutbiaisliéaucontratdidactique(Brousseau,2004).Malheureusement,nosefforts
semblentnepasavoirétésuffisantspouréviter leserreursderésolutionen lienavecune
penséequ’ontbeaucoupd’élèves:«J’aifaituncalcul,j’aitrouvéuneréponse,quiplusestun
nombreentier,doncj’aiterminémonexercice».
Enfin,leproblèmenuméro2n’entredansaucunedesdeuxcatégoriesprésentéesci-dessus.
Aucunevariablemathématiquenes’avèreapteàexpliquerpourquoi le tauxde résolution
correcteest sibas. Lecalculdemandé,9divisépar3,està laportéede tous.Aussi,nous
pensonsquelalongueurdutexteetlesnombreusesanaphoresontposédessoucisautant
auxélèvesallophonesqu’auxélèvesstandards.Effectivement,ils’agitdel’énoncélepluslong
detousceuxproposésauxélèvesdanslecadredenotrerecherche.C’estégalementceluiqui
contenaitleplusd’anaphores.
7.3.2 Résolutionscorrectes
Lesénoncésayantobtenulesmeilleurstauxderésolutionsont,dansl’ordre,lesénoncés1138,
1039,340,441et542.Enguisederappel,ilsonttouseuuntauxderéussitesupérieurà60%.
Troisdecescinqproblèmes,les4,10et11,fontégalementpartiedeceuxlesmieuxréussis
par lesélèvesallophones.Ladifférencedestauxderéussiteavaitbeauêtre importante,si
nous prenons chaque catégorie séparément, les problèmes en haut de classement sont
quasimentlesmêmes.
Ainsi,parmilescinqénoncésci-dessus,quatrecontiennentlesanalogiesdesubstitution,de
scénarioetdesimulation(Sander,àparaître).D’ailleurs,nouspouvonsmêmeétendrecelaà
cinqdessixproblèmeslesmieuxréussis.Seulunénoncécontenantlestroisanalogiesseplace
en queue de classement. Il s’agit du problème 8. Par conséquent, la présence des trois
analogiesdanslesénoncésestnonseulementfacilitatricepourlesélèvesallophones,mais
égalementpourlesélèvesstandards.Lefaitquelenuméro8neseclassepasparmilesautres
38Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?39Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?40Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?41Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?42Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?
67
énoncéspossédanttouteslesanalogiesestsûrementdûàlaprésencedenombresdécimaux,
commenousl’avonsexpliquéplushaut.
LefaitquelaprésencedestroisanalogiesdeSander(àparaître)soitaidantepourlesélèves
standardssedémontreégalementdans lechoixde l’opérationadéquate.Eneffet, lescinq
problèmesayantobtenuslesmeilleurstauxdecettecatégoriepossèdenttouteslesanalogies.
Les erreurs commises dans l’application de l’outil mathématique expliquent la minime
différence de classement entre les problèmes résolus correctement et ceux pour lesquels
l’opérationchoisieétaitcorrecte.
Lesvariablesmathématiquesdecescinqproblèmessontpeunombreuses.Eneffet,uneseule
opération,soitunemultiplication,soitunedivision,suffisaitàlesrésoudrecorrectement.De
plus,lesquatrepremiersénoncéstravaillentdansl’ensembledesnombresnaturels.Seulle
cinquièmeestsurl’ensembledesnombresdécimaux.Ilestintéressanticidenoterquecet
énoncé obtienne un top cinq chez les élèves standards autant dans le choix correct de
l’opération que dans la résolution correcte du problème. Chez les élèves allophones, il
s’agissait de l’un des deux énoncés ayant obtenu lemeilleur taux du choix de l’opération
adéquate, mais, en revanche, il ne figurait pas dans les cinq problèmes les plus résolus
correctement.
Noustermineronscettesectionparnoterl’avantagecertainqu’ontlesélèvesstandardspar
rapportauxélèvesallophones.Eneffet,l’élèveallophonequinecomprendpasladonnéedu
problèmenepeutmalheureusementquedifficilementfaireunchoixcorrectdel’opérationà
utiliser. Par conséquent, la résolution du problème sera évidemment erronée. L’élève se
retrouveensituationdesurchargecognitiveavecdestransfertsdedisciplinesàeffectuerqu’il
n’arrive malheureusement pas à faire (Astolfi, 2015). En revanche, l’élève standard qui
comprendsanstropdesouciletextedel’énoncépourrafairelechoixadéquatdel’opération
àemployer.Cependant,s’ilnesaitpasappliquer l’algorithmeousélectionner lesvariables
nécessaires à la résolution, son travail s’arrête là. Tout ceci peut expliquerpourquoi nous
avonspuobserverunplusgrandécartdestauxderéussiteetduchoixcorrectdel’opération
chezlesélèvesstandardsquechezlesélèvesallophones.Chezcesderniers,silechoixétait
correct, alors il menait la plupart du temps à une résolution correcte. A l’opposé, de
nombreuses résolutions incorrectes étaient principalement dues à un mauvais choix de
l’opérationàutiliser.
68
8 Conclusion
Letravaileffectuédanslecadredecetterecherchenouspermetdedécortiquerquelquepeu
les sources des difficultés rencontrées par les élèves allophones dans la résolution de
problèmes mathématiques issus du champ conceptuel multiplicatif. Premièrement, nous
relevonsqueladifférencedestauxderésolutioncorrecteentrelesélèvesstandardset les
élèvesallophonesnes’expliquaitpasentièrementàl’aidedelaprésenceounondevariables
linguistiquesdans ladonnéeduproblème.Par conséquent,nousavonsobservé lesautres
variablesprésentesdans lesproblèmesafind’essayerd’expliquercesdifférences.Aussi, la
présencedesanalogiesdesubstitution,descénarioetdesimulation(Sander,àparaître)est
facilitatrice autant pour les élèves standards que pour les élèves allophones. Néanmoins,
l’analysepluspousséedesrésultatsdesélèvesallophonesnousaégalementpermisdedire
quelesélèvesallophonessemblentplussensiblesàlaprésenceouàl’absencedel’uneoude
plusieurs de ces analogies. Effectivement, sur les quatre problèmes pour lesquels même
l’opérationchoisieétait incorrecte, l’analogiedesubstitutionn’étaitpasprésente.Chezles
élèvesstandards,nousn’avonspaspuobserverdetellesinfluencespéjorativesdelapartdes
analogies.
Uneanalyseplusdétailléedesrésultatsdesélèvesallophonesmontre,contrairementànos
attentes,quelesvariableslinguistiquesprésentesdanslesdonnéesdesproblèmesnesont
pas l’origine principale des erreurs commises. En effet, l’absence de ces variables dans
l’énoncén’apaspermisunemeilleure résolutionque lorsqu’il yenavait.En revanche, les
élèvesallophonessontplussensiblesàdesvariablestellesquelescoréférencesoualorsdes
motssémantiquementproches,mais toutdemêmedifférents,plutôtqu’àdesanaphores,
selonlesdéfinitionsdeKintsch&Rawson(2005).
Nosrésultatsnousontpoussésànousattardersurunevariableàlaquellenousn’avionspas
pensé,l’ensembledesnombressurlequell’énoncétravaille.Effectivement,laprésencedes
nombresdécimauxdans lesproblèmes tendàmettre lesélèvesplus souventen situation
d’échec.Bienquecettetendancesoitautantprésentechezlesélèvesstandardsquechezles
élèvesallophones,l’influencedel’ensembledesnombressurcesderniersestplusmarquée.
Une dernière variable avec laquelle nous avons travaillé, les indices de Nesher & Teubal
(1975),n’afinalementeuaucuneffetobservablesurlestauxderéussitedesélèvesstandards
69
et allophones dans la résolution du questionnaire. En fin de compte, il s’avère que cette
variablen’estpasexplicativedesrésultatsobtenus,principalementàcausedufaitqu’ellen’ait
étéquepeureprésentéesurl’ensembledesproblèmesproposés.
Enfin,cetravailnousapermisdereleverquelquescaractéristiquesutilespourlarédactionde
problèmesdemathématiquesissusduchampconceptuelmultiplicatif,afindepermettreaux
élèvesallophonesdelesrésoudreettenterdediminuerainsiaumaximumlesécartsobservés
danslestauxderéussiteaveclesélèvesstandards.Pourcefaire,ilestpréférablequel’énoncé
contiennelestroisanalogiesdécritesparSander(àparaître).Celui-cipeutégalementcontenir
desvariableslinguistiques,maisdepréférencedesanaphorescommedéfiniesparKintsch&
Rawson(2005)etsipossiblepasplusdedeuxparproblème.Pourfinir,l’élèveallophoneest
moinspéjorésiletravaildoitsefaireavecdesnombresentiersnaturelsplutôtqu’avecdes
nombresdécimaux.
Ilestévidentque l’intégrationdesélèvesallophonesdans lescoursdemathématiquesau
cycle 3 ne peut se faire uniquement avec ces quelques informations et modifications à
apporterauxdonnéesdesproblèmes.Néanmoins,ce travailaégalementsoulevéd’autres
questionsquinécessiteraientdavantagederecherchespourtenterd’yapporterdesréponses.
8.1 Questionsrestéesensuspensetlimitesdelarecherche
Lepremierconstatquenousavonsfait lorsde l’analysedesrésultatsdesélèvesstandards
étaitquelesélèvesscolarisésen9COniveau2enmathématiquesn’avaientpasatteint les
objectifs de 8H. En effet, nous avions expressément choisi de travailler sur des objectifs
mathématiquesde8H,afind’observer l’influencedesvariables linguistiquessur laréussite
des élèves allophones. Finalement, ce choix a abouti à une fin différente,mais soulevant,
malgrétout,desquestionssurl’atteintedesobjectifsparlesélèvesàlafinducycle2.Aussi,
ilseraitégalementintéressantd’élargircetterechercheauxélèvesscolarisésenniveau1,afin
devoirsileconstatseraitlemême.
Nous avions, dans le cadre de ce travail, cherché à expliquer les différences entre élèves
standardsetélèvesallophones,maiségalementlesdifficultésrencontréesparcesderniers,à
l’aidedutypedeproblèmeissuduchampconceptuelmultiplicatif.Ayantessayédebalayer
unlargespectredetypes,nousn’avonspaspuvoirsil’und’entreeuxétaitpluspropiceàla
réussite des élèves allophones ou non. Il serait dès lors intéressant de tester plusieurs
70
problèmesd’unmêmetype,maisavecdesvariableslinguistiquesdifférentes,voireégalement
travaillantsurdesensemblesdenombresdivers.
Finalement,d’autresquestionsplusspécifiquesauxélèvesallophonesnousontinterpellés,
sansquenouspuissionstrouverderéponsesdansl’immédiat.Laquestionprincipaleconcerne
la scolarisation dans le pays d’origine et les objectifs travaillés, entre autres, en
mathématiques.Eneffet,lesélèvesallophonessontscolarisésdansnotrecantonselonleur
âge. Cependant, l’enseignant qui les reçoit ne connaît pas forcément les aptitudes
mathématiques de ces élèves et ce qu’ils ont travaillé dans leur pays d’origine. De plus,
certainsdecesélèvesarriventd’unpéripledeplusieursmois,voireannées,durantlesquels
ilsontvécubonnombred’évènementsdramatiquesetn’étaientpasscolarisés.Toutesces
variablesnesontactuellementpasprisesencompte lorsde lascolarisationdecesélèves.
Néanmoins,ilsembleraitqu’ellespuissentêtrepertinentesetcontribueraubondéroulement
delasuitedelascolarisationetdel’intégrationdecesenfantsdansnotresociété.
Cette question en soulève une dernière. Les élèves allophones ont le droit à des cours
spécialement conçus pour eux en français et en allemand. Ces cours leur permettent
d’acquériruncertainniveaudanslalangued’enseignementetdanslalangue2.Ilssontdonc
adaptésàleurniveau.Aussi,bienquecelacompliquelesorganisationsinternes,neserait-il
paspertinentdeprendreencomptelesniveauxdesélèvesallophonesenmathématiquesafin
delesplacerdansdesclassesquileurseraientégalementadaptéesoudeproposerdespistes
dedifférenciationquileurssoientspécifiques?
71
9 Bibliographie
Allophone.(2005).LePetitLarousseIllustré(100eéd.,p.75).
Astolfi,J.-P.(2015).L’erreur,unoutilpourenseigner (12eéd.). Issy-les-Moulineaux,France:ESFEditeur.
Berger,A. (2015).Conceptualizing the interactionbetween languageandmathematics:Anintegrated language and mathematics model of word problem solving processes inEnglish as a foreign language. Journal of Immersion and Content-Based Language
Education,3(2),285-313.
Brousseau,G.(2004).Théoriedessituationsdidactiques(LaPenséeSauvage).
CDIP.(1991).Recommandationsconcernantlascolarisationdesenfantsdelangueétrangère.Consulté 10 juin 2017, à l’adresse http://edudoc.ch/record/25485/files/EDK-Empfehlungen_f.pdf
CDIP. (2007, juin 14). Accord intercantonal sur l’harmonisation de la scolarité obligatoire(concordat HarmoS). Consulté 10 juin 2017, à l’adressehttp://edudoc.ch/record/24710/files/HarmoS_f.pdf
CIIP.Pland’étudesromand(2010).
Clarkson, P. C. (1992). Languages and Mathematics: A Comparison of Bilingual andMonolingual Students of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, (23),417-429.
Daroczy,G.,Wolska,M.,Meurers,W.,&Nuerk,H.C. (2015).Wordproblems:A reviewoflinguisticandnumericalfactorscontributingtotheirdifficulty.FrontiersinPsychology,6(APR),1-13.
Directivesdu26avril2001relativesàl’intégrationetàlascolarisationdesélèvesdelangueétrangère dans le cadre de l’école publique. Consulté à l’adressehttps://www.vs.ch/documents/212242/1237636/2001-04-26%20Int%E9gration%20%E9l%E8ves%20langue%20%E9trang%E8re.pdf/8e8e19b3-cfa8-418d-83fc-b5439eefe6fa
Directives du 30 avril 2012 relatives au soutien pédagogique hors classe, au soutienpédagogiquepourélèvesallophonesetauxétudesdirigéesetsurveilléesdanslecadredu Cycle d’orientation. Consulté à l’adressehttps://www.vs.ch/documents/212242/1237579/2012-04-30%20Etudes%20dirig%E9es%20-%20soutien%20hors%20classe%20et%20%E9l%E8ves%20allophones.pdf/7bc9fddb-dcfd-45b7-acc5-6be5daaa844f
Fischbein, E., Deri,M., SainatiNello,M.,& SciolisMarino,M. (1985). The Role of Implicit
72
ModelsinSolvingVerbalProblemsinMultiplicationandDivision.JournalforResearchinMathematicsEducation,16(1),3-17.
Graff,O.,&Wozniak,B.(2011).SituationsmultiplicativesProblèmesdemultiplicationetde
division.Nord-PasdeCalais:SCEREN/CRDP.
Kersaint, G., Thompson, D. R., & Petkova, M. (2013). Teaching Mathematics to English
LanguageLearners.NewYork,Etats-Unis:Routledge.
Kintsch,W.,&Greeno, J.G. (1985).Understandingand solvingwordarithmeticproblems.PsychologicalReview,92(1),109-129.
Kintsch,W.,&Rawson,K.A.(2005).Comprehension.InTheScienceofReading(Malden,Etats-Unis,p.209-226).SnowlingetHulme.
Loi sur le cycle d’orientation du 10.09.2009. Consulté à l’adressehttps://lex.vs.ch/frontend/versions/1726
Martiniello,M.(2008).LanguageandtheperformanceofEnglish-LanguageLearnersinMathWordProblems.HarvardEducationReview,78(2),333-369.
NationsUnies.Déclaration universelle des droits de l’Homme (1948). Consulté à l’adressehttp://www.un.org/fr/universal-declaration-human-rights/
Nesher,P.,&Teubal,E.(1975).Verbalcuesonaninterferingfactorinverbalproblemsolving.EducationalStudiesinMathematics,(6),41-51.
OfficeCantonaldeStatistiqueetdePéréquation,EtatduValais.(2016).LeValaisenchiffres.Consulté à l’adressehttps://www.vs.ch/documents/189618/1547712/Le+Valais+en+Chiffres+2016.pdf/c5e6ec63-c817-4fcf-9cad-2c7bfb6f54c2
Ordonnancerelativeàl’évaluationdutravaildesélèvesàl’écoleobligatoiredu17juin2015.Consulté à l’adresse http://www.spval.ch/dossiers/evaluation/ordonnances-sur-levaluation/ordonannce-sur-levaluation-2015
Sander, E. (à paraître). Transformer l’inconnu par le connu Constructions et interventionsanalogiquespourlesapprentissagesscolaires.
Tardif-Couture, R. (2016). Résolution de problèmes en mathématiques chez les élèves
allophones du primaire. Université Laval, Québec. Consulté à l’adressehttps://www.researchgate.net/profile/Roxanne_Tardif-Couture/publication/312220352_Resolution_de_problemes_en_mathematiques_chez_les_eleves_allophones_du_primaire/links/58781a9e08ae329d62283588/Resolution-de-problemes-en-mathematiques-chez-les-eleves-allophones-du-primaire.pdf
Thevenot,C.,Devidal,M.,Barrouillet,P.,&Fayol,M.(2007).Whydoesplacingthequestionbeforeanarithmeticwordproblemimproveperformance?Asituationmodelaccount.
73
QuarterlyJournalofExperimentalPsychology,60(1),43-56.
Vergnaud, G. (1991). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique desMathématiques,10(2.3),133-170.
74
10 Attestationd’authenticité
Formationprofessionnelle–SecondaireI
Mémoireprofessionnel–Volée2015
Jesoussignéecertifiequecemémoireconstitueuntravailoriginaletj’affirmeenêtrel’auteur.
Jecertifieavoirrespectélecodeéthiqueetdedéontologiedelarechercheenleréalisant.
Grugnay,le23mai2018
MichellodCélia
75
11 Listedesannexes
- AnnexeI–Consignepourlapassationdesproblèmes
- AnnexeII–Tableaud’analysedesproblèmes
- AnnexeIII–Exemplairedesproblèmesremisauxélèves
- AnnexeIV–Tableaudesrésultatsdesélèvesallophones
- AnnexeV–Tableaudesrésultatsdesélèves«standards»
76
11.1 AnnexeI–Consignepourlapassationdesproblèmes
CCE
Mercredi20décembre2017
ProblèmesdemathématiquesQuelquesconsignespourlapassationdesproblèmespourmonmémoiredemaster:
• Lesélèvesn’ontpasledroitàlacalculatrice.
• Ilsn’ontpasbesoindefeuilledebrouillon.
• Ilsn’ontpasledroitaudictionnaire(particulièrementlesélèvesallophones).
• Ilsgardentsurlatableleurtrousse.
• Ilssontmiscommeensituationd’examen:classeursentrelesélèvesouunélèvepar
banc.Ilsn’ontpasledroitdeparlerentreeux.
• Ilfaudraitfairelemaximumpourquelesélèvess’impliquentdanslaréalisationdes
problèmes,particulièrementlesélèvesallophones,quitteàleurfairecroirequec’est
untravailnoté.
• Onnerépondàaucunequestiondelapartdesélèves.
• Onn’expliqueaucunmotdevocabulaire,mêmeauxélèvesallophones.
• Onnereformulepaslesconsignes.
Une partie des élèves allophones se rendront chez Stéphanie (soutien maths). Ils
commenceront leurs problèmes dans sa classe, puis reviendront dans leur salle de classe
habituellepourlesterminer.
Pour éviter des problèmes de contrat didactique, nous surveillerons les classes d’une
collègue:
� CCEàDST
� DSTàMNA
� MNAàCCE
Il faudraitprévoirdu travailpour lesélèvesqui finiraientplus rapidement.Ce travailestà
transmettreàlapersonnequisurveillesaclasse.Evitonscependantderamasserlesfeuilles
trop rapidement, ce qui pourrait inciter certains élèves allophones à considérer le travail
commeétantterminé.
Unefoisquetouslesélèvesontfinitouslesproblèmes,chacuned’entrenouspeutretourner
danssaclassepourlesdernièresminutesdelamatinée.
UnénormeMERCIpourvotredisponibilitéetvotrecollaboration!
Célia
77
11.2 AnnexeII–Tableaud’analysedesproblèmes
Domainesdegrandeur N° Donnéeduproblème Variablesmathématiques Variables
linguistiques AnalogiesUn
dom
aine
degran
deurs
1
Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.QuelleestlalongueurdusegmentdeJean?
Typedeproblème:Variationd’unegrandeur(rapportexplicite)Placedel’inconnue:?�10=20Opérationattendue:20:10=2Indice:foisplus
Anaphores:«il»->ledessin
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui
2
Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégalà3.ElleladonneensuiteàJulesquil’agranditencore.JulesrendlaphotoàLéaquiremarquequ’entrelaphotooriginaleetcelledeJules,lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestlecoefficientd’agrandissementutiliséparJules?
Typedeproblème:compositiondedeuxvariationsd’unegrandeurPlacedel’inconnue:3�?=9Opérationattendue:9:3=3Indice:-
Anaphores:«elle»->Léa,«la»->unephoto(2x),«l’»->laphoto,«celle»->laphotoTextelong(4phrases)
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
3
Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.Combienmesureledeuxièmesegment?
Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:?�9=117Opérationattendue:117:9=13Indice:foispluscourt
Coréférence:second–deuxième
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui
4
Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.CombienLouisa-t-ild’argent?
Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:272�25=?Opérationattendue:272�25=6800Indice:foisplus
Anaphores:«en»->del’argent«il»->Louis
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
78
5
Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonquicontient4foisplusdepaquets?
Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:4�26,5=?Opérationattendue:4�26,5=106Indice:foisplus!!!NombresdécimauxPrésenced’uneinformationpeuutile(43paquets)
Différenceentre«carton»et«paquet»
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
6
Unbateaupêche6584poissonsalorsqu’unpêcheursursabarqueenpêche8.Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?
Typedeproblème:ComparaisondegrandeursPlacedel’inconnue:8�?=6584Opérationattendue:6584:8=823Indice:foismoins
Anaphores:«en»->lespoissons«il»->lepêcheur
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:non
7
Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelleestlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?
Typedeproblème:Variationd’unegrandeur(rapportimplicite)Placedel’inconnue:
Opérationattendue:5:20�6=1,5Indice:-!!!Nombresdécimaux
Anaphores:«elle»->lafourmi
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non
Deuxdom
aine
sde
gran
deurs
8Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?
Typedeproblème:MultiplicationPlacedel’inconnue:23,5�1,5=?Opérationattendue:23,5�1,5=35,25Indice:-!!!Nombresdécimaux
Coréférence:viande–rôti,kilogramme–kg
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
992boîtescontenantchacune21chocolatspèsententout32,2kg.
Typedeproblème:Division-partitionPlacedel’inconnue:92�?=32,2
Analogiedesubstitution:oui
79
Quelestlepoidsd’uneboîtede21chocolats?
Opérationattendue:32,2:92=0,35Indice:entout!!!NombresdécimauxPrésenced’uneinformationinutile(21chocolats)
Analogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non
10Marca416francsàdépenserpourNoël.Ilveutdépenser32francsparcadeau.Combienpeut-ilenfaire?
Typedeproblème:Division-quotitionPlacedel’inconnue:?�32=416Opérationattendue:416:32=13Indice:-
Anaphores:«en»->descadeaux
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
11
Christopheaacheté6paquetsdebonbonsetapayé24francs.Combienpaiera-t-ilpourl’achatde3paquets?
Typedeproblème:QuatrièmeproportionnellePlacedel’inconnue:
Opérationattendue:(24:6)�3=12Indice:-
Anaphores:«il»->Christophe
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
Pasduniveaude9CO(fractions) Typedeproblème:Comparaisonderapportdeproportionnelle
Troisd
omaine
sdegran
deurs
12
Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsauchocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.CombiendebiscuitsauchocolatMartina-t-ilachetés?
Typedeproblème:ProportionnalitésimplecomposéePlacedel’inconnue:15�4�6=?Opérationattendue:15�4�6=360Indice:-
Anaphores:«il»->Martin(ànepasconfondreavecle«il»impersonnel)Textelong(4phrases)
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:oui
13
Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsilyavait7sachetsdebillesrouges.Combiendebilles
Typedeproblème:ProportionnalitésimplecomposéePlacedel’inconnue:?�7�11=308Opérationattendue:308:11:7=4Indice:-
Coréférence:danslesquels->lespaquetsDifférenceentre
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non
80
rougesyavait-ildanschaquepaquet?
«paquet»et«sachet»Anaphores:«il»->Fred(ànepasconfondreavecle«il»impersonnel)
14J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporterentout?
Typedeproblème:Proportionnalitédouble(Produitcartésien)Placedel’inconnue:5�4�3=?Opérationattendue:5�4�3=60Indice:entout
Coréférence:tenue=1t-shirt,1shortet1casquette
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui
15
Avecles4cartesvertesposéessurlatable,onpeutformer,entout,24couplesdifférents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue.Quelestlenombredecartesbleues?
Typedeproblème:ProportionnalitédoublePlacedel’inconnue:4�?=24Opérationattendue:24:4=6Indices:entout
-
Analogiedesubstitution:nonAnalogiedescénario:nonAnalogiedesimulation:oui
16
Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combiend’enfantsyontété?
Typedeproblème:ProportionnalitédoublePlacedel’inconnue:?�23�5=2990Opérationattendue:2990:5:23=26Indices:entout
Anaphores:«y»->leparcd’attractionsTextelong(4phrases)
Analogiedesubstitution:ouiAnalogiedescénario:ouiAnalogiedesimulation:non
81
11.3 AnnexeIII–Exemplairedesproblèmesremisauxélèves
Nom:__________________________ Prénom:________________________
Classe:_______________ 20décembre2017
1
MathématiquesRésouslesproblèmessuivants.Notepourchacund’euxlescalculsquetueffectues.
1. Julesdessineunsegmentde20cm.Ilest10foispluslongqueceluideJean.Quelleest
lalongueurdusegmentdeJean?
2. Léaaagrandiunephotoavecuncoefficientd’agrandissementégaleà3.Elleladonne
ensuiteàJulesquil’agranditencore.JulesrendlaphotoàLéaquiremarquequ’entre
laphotooriginaleetcelledeJules,lecoefficientd’agrandissementestde9.Quelestle
coefficientd’agrandissementutiliséparJules?
82
Prénom:_____________________
2
3. Isabellemesure2segments.Lepremiermesure117cm,lesecondest9foispluscourt.
Combienmesureledeuxièmesegment?
4. Arnaudpossède272francssursoncompteenbanque.Louisenpossède25foisplus.
CombienLouisa-t-ild’argent?
5. Uncartoncontenant43paquetsdebonbonspèse26,5kg.Combienpèseuncartonqui
contient4foisplusdepaquets?
83
Prénom:_____________________
3
6. Un bateau pêche 6584 poissons alors qu’un pêcheur sur sa barque en pêche 8.
Combiendefoismoinslepêcheursursabarquepêche-t-il?
7. Unesauterellemesure20cmdelongaumicroscopeet5cmdelongàl’œilnu.Quelle
estlalongueurd’unefourmiàl’œilnusachantqu’ellemesure6cmaumicroscope?
8. Unkilogrammedeviandecoûte23,50francs.Combiencoûteunrôtide1,5kg?
84
Prénom:_____________________
4
9. 92boîtes contenant chacune21 chocolatspèsent en tout 32,2 kg.Quel est le poids
d’uneboîtede21chocolats?
10. Marc a 416 francs à dépenser pour Noël. Il veut dépenser 32 francs par cadeau.
Combienpeut-ilenfaire?
11. Christophe a acheté 6 paquets de bonbons et a payé 24 francs. Combien paiera-t-il
pourl’achatde3paquets?
85
Prénom:_____________________
5
12. Martinaacheté15boîtesdebiscuits.Danschaqueboîte,ilya4sachetsdebiscuitsau
chocolat.Lesbiscuitsauchocolatsontgroupéspar6.Combiendebiscuitsauchocolat
Martina-t-ilachetés?
13. Freda308nouvellesbillesrouges.Ilvientd’acheter11paquetsdebilles,danslesquelsil y avait 7 sachetsdebilles rouges.Combiendebilles rouges y avait-il dans chaque
paquet?
14. J’ai5t-shirts,4shortset3casquettes.Combiendetenuesdifférentespuis-jeporteren
tout?
86
Prénom:_____________________
6
15. Avec les 4 cartes vertes posées sur la table, on peut former, en tout, 24 couples
différents,composésd’unecarteverteetd’unecartebleue,avec.Quelestlenombre
decartesbleues?
16. Dansunparcd’attractions,leprixestde23francsparenfantetparjour.Desenfantsontpassé5joursdansceparcd’attractions.Ilsontpayéentout2990francs.Combien
d’enfantsyontété?
J’aitrouvécesproblèmes:
o Tropfaciles
o Trèsfaciles
o Faciles
o Moyens(commeceuxquejefaisd’habitude)
o Compliqués
o Trèscompliqués
o Tropcompliqués
87
11.4 AnnexeIV–TableaudesrésultatsdesélèvesallophonesProblèmes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Avissurladifficulté
Elèves
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
A.:Primo(08.17–italien)
ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û û û ü û ü ü ü û ü û ü û û û û û û û üFacile,Moyen
Is.:Primo(08.17–portugais)
ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü û û û û û ü ü ü ü ü û û û û û û û ü û ü Moyen
G.:Primo(01.17–portugais)
û û û û û û û û û û û - û û û - û - û û ü ü ü û û - û - û - û üMoyen,Compliqu-és
N.:Secundo(01.16–farsi)
û û û û û û - - - - û û û û - - û û û û û û û û û û û û û û û ûTrèscompliqu-és
H.:Secundo(01.16–farsi)
û û û û û û ü ü û ü ü ü û û û ü û û ü ü û û ü ü û û û û ü ü û üCompliqu-és
Ha.:Secundo(hiver2015–kurde)
û - û - û - û û û ü û û - - û - û - û û ü - û û û - - - - - - -
Trèscompliqu-és(delire)
88
D.:Secundo(12.15–dari)
ü - - - - - ü ü - ü û û - - - - - - - ü ü ü û - - - û - û - û üCompliqu-és
Ib.:Secundo(01.14–kurde)
Cetélèven’aabsolumentrienfait.Tropcompliqu-és
M.:Primo(01.17–portugais)
û û û û û û û û Cetélèven’aensuiteplusrienfait.Compliqu-és
Totalréponsescorrectes
3 2 0 0 1 2 4 4 2 5 3 3 0 0 0 2 0 2 3 4 4 4 2 2 0 0 0 0 1 2 0 5
%
33,33%
22,22%
0%
0%
11,11%
22,22%
44,44%
44,44%
22,22%
55,56%
33,33%
33,33%
0%
0%
0%
22,22%
0%
22,22%
33,33%
44,44%
44,44%
44,44%
22,22%
22,22%
0%
0%
0%
0%
11,11%
22,22%
0%
55,56%
Légende:
Þ û:incorrectÞ ü:correct
Þ -:aucuneréponse(considérécommeincorrectdanslestotaux)
89
11.5 AnnexeV–Tableaudesrésultatsdesélèves«standards»Problèmes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Avissurladifficulté
Elèves
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Résolution
Choixde
l’op
ération
Elève1 û û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü Faciles
Elève2 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - û û ü ü Moyens
Elève3 ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü û ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü û û Moyens
Elève4 û û û û ü ü ü ü û û û û ü ü ü ü û û ü ü ü ü û - û - û - û - ü ûFaciles–Moyens
Elève5 û û û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü ü ü û û ü ü ü ü ü ü û - û - û - û û Faciles
Elève6 ü ü û û ü ü û ü û ü ü ü û û û ü û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü û - û ü Faciles
Elève7 û ü û û û - ü ü ü ü û û û ü û û û ü ü ü ü ü û ü û û û - û ü ü ü Moyens
Elève8 û û û û ü ü û ü û ü ü ü û ü - - û ü ü ü ü ü û ü û ü û - û û û ü Compliqués
Elève9 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü û - û üFaciles–Moyens
Elève10 û û û û ü ü ü ü û ü - - û û - - - - ü ü ü ü û û û û û û - - - -Faciles–Moyens
Elève11 û û û û ü ü û ü ü ü û ü û - û - - - û ü û û û ü û û û - û - û ü Compliqués
Elève12 û û û û ü ü û ü û ü û ü û ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û - ü ü û ü Trèsfaciles
Elève13 û û ü ü û û ü ü ü ü û û û ü - - û û û - û - û ü û ü û - - - û ü Compliqués
Elève14 û û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - - - ü ü ü ü û ü û ü ü ü - - ü üFaciles–Moyens
Elève15 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - û ü - - û ü û ü û û û - û - û û Compliqués
Elève16 ü ü û - ü ü û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü û û û û - - û ü Faciles
Elève17 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü - - û ü - - ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Moyens
90
Elève18 û û û û û û ü ü û ü û û - - û ü û ü û ü ü ü û ü - - û - û û û üTrèscompliqués
Elève19 ü ü û û û ü ü ü ü ü û ü û û ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Moyens
Elève20 û û ü ü û û û û û û û û - - û - û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü ü ü ü ü Compliqués
Elève21 û û û û ü ü û ü ü ü û û - - - - - - ü ü ü ü ü ü û û û - û ü û ü Faciles
Elève22 ü ü û û - - - - - - ü ü ü ü - - û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û - û ü Moyens
Elève23 û ü ü ü û û û ü ü ü û ü û û û ü - - û ü ü ü ü ü û ü û û û ü û û Moyens
Elève24 ü ü û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü û û ü ü Faciles
Elève25 ü ü û û ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü û ü û - ü ü û ü Faciles
Elève26 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û û - - ü ü û ü û ü û û û - ü ü û ü Moyens
Elève27 û û û û ü ü ü ü ü ü û û ü ü û û û û ü ü û ü û ü û ü û û ü ü û ü Moyens
Elève28 ü ü - - ü ü ü ü û ü û û û û û - - - ü ü ü ü ü ü - - ü ü - - û ü Moyens
Elève29 ü ü û û ü ü ü ü ü ü û û û û û û - - ü ü û ü ü ü û ü û û - - û üMoyens–Compliqués
Elève30 ü ü û û ü ü ü ü û ü ü ü ü ü - - û ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü ü ü ü ü Faciles
Elève31 ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü ü ü û ü û û û ü ü ü û ü û ü û û ü ü û ü Compliqués
Elève32 û û û û û ü û ü û ü û û û ü û û û ü û û û ü û ü û û ü ü - - û û Faciles
Elève33 ü ü û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü û ü û ü ü ü ü ü ü ü û û ü ü û ü û ü Moyens
Totalréponsescorrectes
17
19
7 7 24
27
22
31
21
30
16
21
16
22
6 15
0 17
25
30
26
31
19
31
2 18
11
12
11
15
8 26
%
51,52%
57,58%
21,21%
21,21%
72,73%
81,82%
66,67%
93,94%
63,64%
90,91%
48,48%
63,63%
48,48%
66,67%
18,18%
45,45%
0%
51,52%
75,76%
90,91%
78,79%
93,94%
57,58%
93,94%
6,06%
54,55%
33,33%
36,36%
33,33%
45,45%
24,24%
78,79%
Légende:
Þ û:incorrectÞ ü:correct
Þ -:aucuneréponse(considérécommeincorrectdanslestotaux)