ELM207 Analog Elektronik
Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,
kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde
bir açılımdır.
Giriş
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
T
2
Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon
sabit bir değer, kosinüs ve sinüs
fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
)sincos( 11 tbta2
0a
)2sin2cos( 22 tbta
)3sin3cos( 33 tbta
Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz
olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi
basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak
çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal
problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir
yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da
pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.
=
+ +
+ + + …
Periodik Fonksiyon
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
burada
T
dttfT
a0
0 )(2
frekans Temel2
T
T
n tdtntfT
a0
cos)(2
T
n tdtntfT
b0
sin)(2
*integral limiti olarak
T
dttfT
a0
0 )(2
2/
2/
T
T
kullanabiliriz
Örnek 1
Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi
gösterimini bulunuz.
Çözüm
İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:
T = 2
21,0
10,1)(
t
ttf )()2( tftf
Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :
10101)(2
2)(
22
1
1
0
2
00
0 dtdtdttfdttfT
a
T
Ya da,
b
a
dttf )( [a,b] aralığı boyunca grafiğin
altındaki toplam alan olduğundan
1)11(2
2],0[ 2)(
2
0
0alan
boyuncaT
Tdttf
Ta
T
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
an
sinsin0cos1
cos)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
n tamsayıdır ve,
olduğundan
0sin n
03sin2sinsin
Dolayısıyla, .0na
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
bn
cos1cos0sin1
sin)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
15cos3coscos 16cos4cos2cos
Dolayısıyla,çift ,0
tek,/2)1(1
n
nn
nb
n
n
Ya da nn )1(cos
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1
sin)1(1
2
1
)sincos(2
)(
1
1
0
Sonuçta,
Bazı faydalı tanımlar
n tamsayı olduğundan,nn )1(cos0sin n
02sin n 12cos n
xx sin)sin( xx cos)cos(
Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga
biçimini verir
Örnek 1’den,
ttttf 5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1)(
Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:
tttt 7sin7
25sin
5
23sin
3
2sin
2ttt 5sin
5
23sin
3
2sin
2
tt 3sin3
2sin
2tsin
2
(a) (b)
(c) (d)
ttttt 9sin9
27sin
7
25sin
5
23sin
3
2sin
2
ttt 23sin23
23sin
3
2sin
2
2
1
(e)
(f)
Kare dalga Testere dişli dalga
Üçgen dalgaYarı çember
Örnek 2
,)( ttf 11 t
)()2( tftf
f (t)’nin grafiğini çiziniz, .33 t
f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.
Çözüm
T = 2
T
2
Katsayıları hesaplayalım:
02
11
22
2
)(2
1
1
21
1
1
1
0
ttdt
dttfT
a
0coscos
)cos(cos0
cos)]sin([sin
sinsin
coscos)(2
22
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
nn
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
an
xx cos)cos(
nnn
n
n
nn
n
n
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
b
nn
n
1
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
)1(2)1(2cos2
)sin(sincos2
sin)]cos([cos
coscos
sinsin)(2
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
3sin3
22sin
2
2sin
2
sin)1(2
)sincos(2
)(
1
1
1
0
Sonuçta,
Örnek 3
42,0
20,2)(
t
tttv
)()4( tvtv
v (t) grafiğini çiziniz, .120 t
v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.
Çözüm
2
2
T
T = 4
0 2 4 6 8 10 12t
v (t)
2
Katsayılar:
12
22
1)2(
2
1
0)2(4
2
)(2
2
0
22
0
4
2
2
0
4
0
0
ttdtt
dtdtt
dttvT
a
222222
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
])1(1[2)cos1(2
2
2cos1
cos
2
10
sin
2
1sin)2(
2
1
0cos)2(2
1cos)(
2
nn
n
n
n
n
tn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
a
n
n
nnn
n
n
n
tn
n
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
bn
21
2
2sin1
sin
2
11
cos
2
1cos)2(
2
1
0sin)2(2
1sin)(
2
22
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
0sin2sin nn
122
1
0
2sin
2
2cos
])1(1[2
2
1
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
tnbtnaa
tv
Sonuçta,
Simetri
Simetri fonksiyonları:
(i) çift simetri
(ii) tek simetri
Çift simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre simetrik ise çifttir, yani
)()( tftf
Çift simetri (devam)
çift fonksiyonlara örnek:2)( ttf
t t
t
||)( ttf
ttf cos)(
Çift simetri (devam)
−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0
dan +A ya integralinin iki katıdır
t
AA
A
dttfdttf0
ee )(2)(
−A +A
)(e tf
Tek simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre asimetrik ise tektir, yani
)()( tftf
Tek simetri (devam)
Tek fonksiyonlara örnek:3)( ttf
t t
t
ttf )(
ttf sin)(
Tek simetri (devam)
−A dan +A ya tek bir fonksiyonun integrali
sıfırdır
0)(o
A
A
dttft−A +A
)(o tf
Çift ve tek fonksiyonlar
(çift) (çift) = (çift)
(tek) (tek) = (çift)
(çift) (tek) = (tek)
(tek) (çift) = (tek)
Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:
Simetri
çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:
çift periyodik bir fonksiyon için;
2/
0
cos)(4
T
n tdtntfT
a 0nb
tek periyodik bir fonksiyon için;2/
0
sin)(4
T
n tdtntfT
b00 naa
Çift fonksiyon
2/
0
2/
2/
cos)(4
cos)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
a
(çift) (çift)
| |
(çift)
0sin)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
b
(çift) (tek)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
Tek fonksiyon
2/
0
2/
2/
sin)(4
sin)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
b
(tek) (tek)
| |
(çift)
0cos)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
a
(tek) (çift)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
0)(2
2/
2/
0
T
T
dttfT
a
(tek)
Örnek 4
21,1
11,
12,1
)(
t
tt
t
tf
)()4( tftf
f (t)‘nin grafiğini çiziniz, .66 t
f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız
Çözüm
2
2
T
T = 4
0−4−6 2 4 6t
f (t)
−2
1
−1
Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon
olduğundan,
0)(2
2
2
0 dttfT
a
0cos)(2
2
2
tdtntfT
an
ve
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
tn
n
n
n
tndt
n
tn
n
tnt
tdtntdtnt
tdtntfT
tdtntfT
bn
cos2sin2cos
cos2cossincos
coscoscos
sin1sin4
4
sin)(4
sin)(2
22
1
0
22
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
2
0sin2sin nn
1
1
1
1
0
2sin
)1(2
2sin
cos2
)sincos(2
)(
n
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
Örnek 5
f (t)‘nin Fourier serisi açlımını hesaplayınız.
Çözüm
Fonksiyonu tarif edelim;
3
22
T
ve
32,1
21,2
10,1
)(
t
t
t
tf
)()3( tftfT = 3
T = 3
Katsayıları hesaplayalım.
3
81
2
32)01(
3
421
3
4)(
4)(
22/3
1
1
0
2/3
0
3
0
0 dtdtdttfT
dttfT
a
3
8)23()12(2)01(
3
2121
3
2)(
23
2
2
1
1
0
3
0
0 dtdtdtdttfT
a
Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,
Veya, basitçe
3
84
3
2
alan toplam
boyunca periyodBir 2)(
23
0
0T
dttfT
a
3
2sin
2
3
2sinsin2
2
sin2
3sin2
3
4
sin2
3sin2sin
3
4
sin2
3
4sin
3
4
cos2cos13
4
cos)(4
cos)(2
2/3
1
1
0
2/3
1
1
0
2/3
0
3
0
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
tn
n
tn
tdtntdtn
tdtntfT
tdtntfT
an
;3
2
1
1
1
0
3
2cos
3
2sin
12
3
4
3
2cos
3
2sin
2
3
4
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tnn
n
tnn
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
ve 0nb f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.
Parseval Teoremi
Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki
ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki
ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama
güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.
=
+ +
+ + + …
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
Pavg
Pdc
Pa1 Pb1
Pa2 Pb2
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
R
V
R
V
R
VP
2
peak
2
peak2
rms
2
12
Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak
alırız,
2
peak2
1VP
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
dcavg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2211
babaa
PPPPPP baba
1
222
0avg )(2
1
4
1
n
nn baaP
Üstel Fourier serileri
Euler eşitliğinden,
xjxe jx sincos
dolayısıyla
2cos
jxjx eex
2sin
j
eex
jxjx
ve
Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
222
222
222
222
)sincos(2
)(
n
tjnnn
n
tjnnn
n
tjnnntjnnn
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
nn
ejba
ejbaa
ejba
ejbaa
eejb
eea
a
j
eeb
eea
a
tnbtnaa
tf
Burada,
11
0
222)(
n
tjnnn
n
tjnnn ejba
ejbaa
tf
2
nnn
jbac ,
2
nnn
jbac
Dolayısıyla,
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
ececcec
ececc
ececc
1
0
1
11
0
11
0
Diyelim ve2
00
ac
c0c−ncn
Sonra, cn katsayısı,
T
tjn
T
TT
TT
nnn
dtetfT
dttnjtntfT
tdtntfjtdtntfT
tdtntfT
jtdtntf
T
jbac
0
0
00
00
)(1
]sin)[cos(1
sin)(cos)(1
sin)(2
2cos)(
2
2
1
2
Çoğu durumda kompleks Fourier serileri
trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay
elde edilir.
Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier
serileri arasındaki ilişki:
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
T
dttfT
ac
0
00 )(
1
2
T
tjn
n dtetfT
c0
)(1
nn ccYa da
Örnek 6
Aşağıdaki fonksiyonun kompleks Fourier serisini
bulunuz
2 44 2 0
2e
1
)(tf
t
Dolayısıyla
Çözüm
2
1
2
1
2
1
)(1
22
0
2
0
0
0
ee
dte
dttfT
c
t
t
T
12T
)1(2
1
)1(2
1
)1(2
1
12
1
2
1
2
1
)(1
222)1(2
2
0
)1(
2
0
)1(
2
0
0
jn
e
jn
ee
jn
e
jn
e
dtedtee
dtetfT
c
njjn
tjn
tjnjntt
T
tjn
n
dolayısıyla1012sin2cos2 njne nj
jnt
nn
tjn
n ejn
eectf
)1(2
1)(
2
Sonuçta,
0
2
0
2
0 2
1
)1(2
1c
e
jn
ec
n
nn
*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,
bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek
başına hesaplamak daha iyi olabilir.
2
2
12
1
n
ecn
cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.
Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.
Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,
(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.
Örnek 7
Örnek 1’deki fonksiyonun kompleks
Fourier serisini hesaplayınız.
Çözüm
2
11
2
1)(
11
00
0 dtdttfT
c
T
)1(22
1
012
1)(
1
1
0
2
1
1
00
jntjn
tjn
T
tjn
n
en
j
jn
e
dtedtetfT
c
)1(2
jn
n en
jc
Fakat njn nnjne )1(cossincos
Böylece,
çift ,0
tek,/]1)1[(
2 n
nnj
n
j n
Dolayısıyla,
tek0
2
1)(
nn
n
tjn
n
tjn
n en
jectf
*Burada .00cc
nn
1, tek
0, çiftn
nc n
n
Grafik çizimi aşağıdadır,
2
10c
0.5