en una ecuación de lineal de la forma:
donde los coeficientes son constantes se
le conoce como una ecuación de cauchy-euler la
característica de este tipo de ecuaciones que el
grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes coincide
con el orden ñ de diferenciación
la solución de ecuaciones se deduce de una manera
análoga , de la ecuación no homogénea
se resuelve mediante variación de parámetros, una vez
que se determina la función complementaria .
Una solución de la forma donde m es un valor que
se debe determinar. análogo a lo que sucede cuando se
sustituye en una ecuación lineal con coeficientes
constantes , cada termino en CE se convierte en un
polímero en m multiplicado por ya que:
si sustituimos es una solución de la ecuación
diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación
auxiliar por lo que hay 2 casos distintos por considerar en
función de si a las raíces de esta ecuación cuadrática son
reales y distintas reales e iguales o complejas. en el ultimo caso
las raíces aparecen como un par conjugado.
CASOS
Caso I (raíces reales y distintas)
sean m1 y m2 de con entonces y
forman un conjunto fundamental de soluciones.
Caso II (raíces repetidas)
si las raíces son repetidas es decir m1=m2 entonces se obtiene una sola solución
a saber, . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática son iguales, el
discriminante de los coeficientes necesariamente es cero de la formula
cuadrática se deduce que las raíces deben ser ahora se puede
escribir una segunda solución pero antes debemos escribir la ecuación de
Cauchy en la forma estándar: