Division
Grundvorstellungen, halbschriftliches und schriftliches
Dividieren, Schülerfehler, …
Grundvorstellung 1• Division als Verteilprozess
– 21:3Wie viele Bonbons bekommt jeder, wenn 21 Bonbons gerecht an 3 Personen verteilt werden?
– Handlungen• Unsystematisch (grob abschätzen, dann nachbessern)• Systematisch (Wie das Verteilen beim Kartenspielen)
– Teilen einer Menge mit 21 Elementen (Dividend) in 3 (Divisor) gleichgroße MengenErgebnis ist die Anzahl der Elemente pro Person
1
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7
8
9
Montessorimaterial - Verteilen
21:3
Verteilt man 21 Objekte auf 3 Personen, so erhält jeder 7 Stück
= 7
Ergebnis entspricht Mächtigkeit der Teilmengen
Ergebnis entspricht Mächtigkeit der Teilmengen
Divisor entspricht Anzahl der Teilmengen
Divisor entspricht Anzahl der Teilmengen
Grundvorstellung 2
• Division als Ausmessen/Aufteilen– 21:3
Wie viele Bonbontüten mit je 3 Bonbons lassen sich aus 21 Bonbons abfüllen?
– Handlung• Abpacken von 3er Paketen
– Teilen einer Menge mit 21 (Dividend) Elementen in 3 (Divisor) gleichgroße MengenErgebnis ist die Anzahl der Päckchen
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
Montessorimaterial – Ausmessen/Aufteilen
21:3
Packt man 21 Objekte zu Päckchen mit je 3 Objekten ab, so können (höchstens) 7 Personen ein Päckchen bekommen
= 7
Divisor = Mächtigkeit der Teilmengen
Divisor = Mächtigkeit der Teilmengen
Ergebnis = Anzahl der Teilmengen
Ergebnis = Anzahl der Teilmengen
Grundvorstellung 3
• Division als die Umkehrung der Multiplikation– Multiplikation als sukzessive Addition– Division als sukzessive Subtraktion
21:3 = 7
7∙3 = 21
Wie oft kann man die 3 von der 21 abziehen? Antwort: 7 mal!
Entspricht der Frage: Wie oft ist die 3 in der 21 enthalten? - also dem Ausmessen bzw. Aufteilen
Montessori-Material – Die „Apotheke“
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9
EZHT
23H: 3 = 7H R 2H 28Z : 3 = 9Z R 1Z 12 E : 3 = 4E R 0
Mithilfe der Apotheke zum Normalverfahren
2 T: 3 = 0 R 2T
2382 : 3
W W W
= 794
77
99
44
T H Z E H Z E
2 3 8 2 : 3 = 7 9 42 1
2 82 7
1 21 2
-
2 3
2
1
23H: 3 = 7H R 2H 28Z : 3 = 9Z R 1Z 12 E : 3 = 4E R 02 T: 3 = 0 R 2T
2382
W W W
Alternative: Vom halbschriftlichen Dividieren…
36816 : 16 =
16000 : 16 = 1000
16000 : 16 = 1000
20816
4816
3200 : 16 = 200
16 : 16 = 1
4800
1600 : 16 = 100
36816 : 16 = 2301
32000 : 16 = 2000
800 : 16 = 50
4816
4016
3200 : 16 = 200
16 : 16 = 1
4000
800 : 16 = 50
2301
… zum Normalverfahren
3 6 8 1 6 : 16 =
3 2 0 0 0 : 16 = 2 0 0 0
4 8 1 6
2 3 0 1
4 8 0 0 : 16 = 3 0 0
1 6
1 6 : 16 = 1
EZHTSystematisches Abtrennen von
möglichst großen Divisorvielfachen:
Hier 2∙10³ ∙16
Vielfache des Divisorsmüssen dazu bekannt
sein oder überschlagenwerden können!!
Damit ergibt sich immer nur ein
Eintrag pro Spalte
Stellenwerte ergeben sich automatisch;
Nullen können weggelassen werden
Achtung spätestens hier wechselt man in
Aufteilvorstellung!!
Division nach Adam RiesAuch hier wird im Sinne des Ausmessens/Aufteilens geprüft, wie oft der Divisor vom Dividenden abgezogen werden kann. Dabei werden entsprechende 5er, 10er, 50er,…- Vielfache in einem Schritt abgezogen. Beispiel (276 : 23 = ?):
1. NumeratioAuflegen des Dividenden, Merken des Divisors
2. Resolution des 50er-SpacioEs wird der 50er-Spacio resolviert, um anschließend 230 abzuziehen.
http://www.tinohempel.de/info/mathe/ries/ries.htm
3. Subtraktion von 230Bei der Subtraktion wird das 10fache des Divisors abgezogen. Es muss also ein Rechenpfennig auf die Zehnerlinie gelegt werden!
4. Resolution des 5er-Spacio und Subtraktion von 23
5. Ergebnis ablesen276 : 23 = 12
Der Divisionsalgorithmus
Typische Schülerfehler
01 0 1 1 1 0 1 1 1 0 : 1 0 1 = 0 0 01 1 1 11 0 1
1 1 01 10
1 1 11 0 1
1 0 101 1
0
- - -
- -
-
- - -
1
Endnull notieren
Notwendige Nullen im Quotienten notieren
Auch Nullen im Dividenden
berücksichtigen
Fehler bei Subtraktionvermeiden
(z.B. beiÜbertrag)
Im Zweier-System nicht relevant: Fehler bei Multiplikation vermeiden
0
-
Eine weitere Aufgabe: Lösung der Aufgabe:
Manchmal bleibt ein Rest
11
01- 0
1
11
1-- 0
0
0
1
11
1
,
Rest 1Rest 1 tritt wiederholt auf. Damit ergibt sich ab jetzt stets die gleiche Abfolge.
11 0 1 0 : 1 1 =
AF 2 6 E D 1 0 : 1 F C = 2 C7D E 4
E
5 63 F 8
57 1
0
1 4 2
- -
1
1 7 D
1
1 D3 8
1 5 D 4
-
1
1
11
01 7 D
-- - -
C1 1 F82 3 F43 5 F04 7 FC5 9 E86 B E47 D E08 F EC9 11 D8A 13 D4B 15 D0C 17 DCD 19 C8E 1B C4F 1D C010 1F C
Vielfache des Divisors
D
B