1
Diferenciální geometrie křivek
2
Polární souřadnice
Kartézské souřadnice Polární souřadnice.
M
x
y
f
r M
x
y
cos
sin , 0
x
y
r f
r f r
2 2
arctan
x y
y
x
r
f
2
3
Spirály
Archimedova spirála fr a
Logaritmická spirála fr ba e
4
Způsoby zadání rovinné křivky
Parametrické rovnice
Implicitní rovnice
Explicitní rovnice
,X t x t y t
2 2
, 0, např. 14 9
x yF x y
2, např. ( 3)x
y f x y x e
Příklad:
1 3 , 2
3 5 0
1 5
3 3
X t t t
x y
y x
extremy1.ggb
3
Popis pohybu hmotného bodu
r(t)
x(t)
z(t)
y(t) x
y
z
Parametrické rovnice dráhy pohybu:
V časovém okamžiku t je hmotný bod v místě
popsaném polohovým vektorem
r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Průvodič bodu je vektorovou funkcí času.
Průměrná rychlost je rovna dráze (délce dráhy) vykonané za jednotku času.
Průměrná rychlost hodnotí rychlost hmotného bodu na celém úseku dráhy s ,
ale nevypovídá o „lokálním“ pohybovém stavu v jednotlivých okamžicích.
2 1 2 1; ; ( ) ( )s
v t t t s s t s tt
Okamžitá rychlost
6
Rychlost v daném čase . V určitém časovém okamžiku je hmotný
bod také na určitém místě dráhy, tj. v nějakém jejím bodě.
Okamžitá rychlost je definována jako podíl diferenciálních částí
(diferenciálů) dráhy a času.
0 0
( ) ( )lim limt t
s s t t s t dsv
t t dt
Příklad: Volný pád 21
2s gt
dsv gt
dt
Težké objekty padají rychleji než lehké. Rychlost pádu je přímo úměrná tíze.
Aristotélēs (384 – 322)
4
Okamžitá rychlost pomocí polohového vektoru
Diferenciál průvodiče:
0lim
( ) ( )
td r r
d r r t dt r t
d r ds
d r d r ds
Vektor rychlosti má směr tečny:
0limt
dsv v
dt
d r rv
dt t
d d
, ,d d
x yt v t v t x t y tt t
v
Okamžité zrychlení pomocí vektoru rychlosti
Diferenciál rychlosti:
0lim
( ) ( )
td v v
d v v t dt v t
Vektor rychlosti nemusí mít směr normály:
0limt
d v va
dt t
0
dlim
d
d d, ,
d d
t
x y x y
t t tt t
t t
t a t a t v t v tt t
v va v
a
5
Rozklad vektoru zrychlení do tečného a normálového směru
r
r
v
v
Dostředivé (normálové) zrychlení
je způsobené změnou směru rychlosti:
Podobnost trojúhelníků
2
pro 0n
v v r va t
t r t r
kde r je poloměr křivosti,
tt
a vd
dt
Tečné zrychlení je způsobené změnou velikosti rychlosti:
Rovnoměrný pohyb po kružnici
Okamžitá obvodová rychlost
Okamžitá úhlová rychlost
.cos ( ), .sin ( )s r t r t
sin ( ); cos ( ) ;ds d d d
v r t r t v rdt dt dt dt
vd
dt r
( )v v
t dt tr r
6
11
Mechanický harmonický oscilátor –
periodicky se přeměňuje potenciální a
kinetická energie.
0( ) cos
sin ( ); cos ( )
gt t
l
X t l t l l t
( ) ( )
za předpokladu sin ( ) ( )
gt t
l
t t
Perioda
2l
Tg
Matematické kyvadlo
Oscilator.ggb
12
Křivka třídy Cn
Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze
vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi
X(t) je spojitá na intervalu I
X(t) je prostá
X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu
Vektor derivace X´(t) není nulový.
Rovinná křivka
Prostorová křivka
;
; ;
X t x t y t
X t x t y t z t
7
13
Cykloida
Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení
trrtrrttX cos;sin)(
x(t)
y(t)
Cykloida.ggb
14
Transformace parametru
Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je
definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi
1. f(u) je prostá na J
2. f(u) zobrazuje J na I
3. f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu,
pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).
8
15
16
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):
0
0 0( ) ( )
x t r
y f t r f t
0 0( ) ,T r X t r X t r R
X(t0)
X(t)
X´(t0) t
X(t0) X(t)
0 0
00
lim
h
X t h X tX t
h
X(t0+h)
0 0 0
0 0
( )
( ) [ , ( )] ( ) , ( )
( ) [1, ( )] ( ) 1, ( )
y f x
X t t f t X t t f t
X t f t X t f t
Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):
9
17
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě
X(t0):
0 0( ) ,T r X t r X t r R
Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.
( ) [cos( ),sin( )]; [ sin( ),cos( )],
směrový vektor tečny v bodě K(0): ( 0)
( ) [cos(2 ),sin(2 )]; [ 2sin(2 ),2cos(2 )],
směrový vektor tečny v bodě L(0): ( 0
[0,1]
[0,2) ]
dKK t t t t t
dt
dKt
dt
dLL u u u u u
du
dLu
du
18
Šroubovice
10
19
Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí
ve směru osy o.
0( ) cos ; sin ; X r r v
Šroubovice
Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .
20
Tečna šroubovice
0cos , sin ,X r r v
0 0
1
tan v v
t r
0
1
sin , cos ,
sin , cos ,0
t r r v
t r r
Šroubovice:
půdorys tečného vektoru:
Spád šroubovice:
Šroubovice je křivka
konstantního spádu
tečný vektor:
11
21
Frenetův doprovodný trojhran
Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky
Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky
Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace.
Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným
bodem.
Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny.
0 0 0 ; , X t r X t s X t r s R
nt
b
T
k
Frenetův doprovodný trojhran je tvořen
jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b
• t – tečna
• n – hlavní normála
• b – binormála
• = (t,n) – oskulační rovina
• = (b,n) – normálová rovina
22
tečna
hlavní
normála
binormála
Frenetův doprovodný trojhran šroubovice
12
23
Výpočet Frenetova trojhranu
Jednotkový vektor tečny
Jednotkový vektor binormály
Jednotkový vektor hlavní normály
nt
b
T
k
X
btn
XX
XXb
X
Xt
V inflexním bodě není určen Frenetův
doprovodný trojhran.
24
Inflexní bod
Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní
bod křivky, jestliže jsou vektory první a
druhé derivace lineárně závislé.
V inflexním bodě není určena oskulační
rovina prostorové křivky.
00 tXtX
13
25
Ekvidistanta křivky k
Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu
n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d.
)(
)()()(
tn
tndtXtEk
Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a
s poloměrem rovným distanci r=d
26
Délka oblouku křivky X(t) mezi body X(a) a X(b)
b b
a a
l X t dt X t X t dt
X(t)
X(t0)
b=X(tn)
X(t1)
X(t2)
X(t3)
1
1
0
Délka lomené čáry
n
i i
i
l X t X t
14
Délka oblouku křivky
parametrizace_oboukem.ggb
Parametrizace délkou oblouku
0
Funkci nazýváme obloukem křivky.
t
t
l t X u du
Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku
křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t).
-1 0 1 2 3
4
2
X(1)
X(2)
X(3) 2
,2
x t
ty t R
15
Oskulační kružnice
29
oskulačni_parabola.ggb
30
Oskulační kružnice elipsy
16
31
Křivost křivky
Křivost křivky je mírou
vychýlení křivky od
tečny.
0
lims
k X ss
32
Geometrický význam křivosti
Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v
něm první křivost nulová.
Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má
funkce první křivosti extrém.
Difgeo24_krivost.ggb
17
33
Křivka parametrizovaná délkou oblouku
Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém
bodě vektor X´(l) jednotkový.
Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový
vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky.
Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové
vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:
nt
b
T
k
t X l
X ln
X l
b n t
k X l
34
Výpočet křivosti křivky
1. Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem
2. Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem
3. Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x)
k X l
3
X Xk
X X
3
21
yk
y
Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2
2
2
2
y x
y x
y
3
2
2
1 4
k
x
32
2
1 4
k x
x
2y x x
18
35
Evoluta křivky
Obálka normál dané křivky
Množina středů oskulačních kružnic
Evoluta je množina singulárních bodů
ekvidistantních křivek
2
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
n lE l X l
k l
X lE l X l
X l
36
Oskulační kružnice křivky
V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme
bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační
rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T.
Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost.
r =1/k – poloměr křivosti
S – střed křivosti
Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2
ve vrcholu V[0,0].
2
2
1
xy
p
xy
p
yp
32
1
1
1(0)
(0) , 0,
k
xp
p
kp
r p S p
19
37
Parametrizace šroubovice délkou křivky
0
2 2
0
sin , cos ,
t r r v
t r v0
cos
sin
;
x r
y r
z v R
2 2 2 2
0 02 2
0 0 0
ll t d r v d r v
r v
2 2
0
2 2
0
02 2
0
cos
sin
;
lx r
r v
ly r
r v
lz v s R
r v
38
Křivost a hlavní normála šroubovice
0
2 2 2 2 2 2
0 0 0
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2 22 2 2 20 00 0
( ) cos ; sin ;
( ) sin ; cos ;
( ) cos ; sin
v ll lX l r r
r v r v r v
vr l r lX l
r v r v r v r v r v
r l r lX l
r v r vr v r v
; 0
2 2
0
( )r
k X lr v
2 2 2 2
0 0
( ); 1
( )cos ; sin ; 0
t X l t
X l l ln
k r v r v
Šroubovice je křivka konstantní křivosti.
20
39
Dotyk křivek
O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1
bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty
parametru s0, l0, pro které platí:
0 0 0
0 0
2 2
0 02 2
0 0
1 1
0 01 1
n n
n n
n n
n n
X l Y s P
dX dYl s
dl ds
d X d Yl s
dl ds
d X d Yl s
dl ds
d X d Yl s
dl ds
Dotyk nultého řádu
Dotyk 1.řádu
Dotyk 2. řádu
t
n
O
k
k
40
Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně
Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li
pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu.
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
0 0
n n
n n
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň
n-tého řádu.
20 0 0
0 0 0 01! 2! !
nnf x f x f x
T x f x x x x x x xn
21
41
Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)
42
Taylorův rozvoj kružnice
:= taylor_k
, 1
1
2t2 1
24t4 1
720t6
t1
6t3 1
120t5 1
5040t7
:= k [ ],( )cos t ( )sin t
22
43
Přechodnice
křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého
úseku a kružnicového oblouku.
s
an
s
an Spojitý průběh křivosti.
Kubická parabola – užívala se v ČR v
železniční dopravě.
Bernoulliova lemniskáta – používala
se pro zatáčku menších poloměrů, na
železnicích, vodních cestách i
tramvajových kolejích.
( ) x2
y2
2
a2
( ) x2
y2
0
44
Klotoida
Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l
2
0
2
0
cos2
sin2
l
l
atx l dt
aty l dt
cos ,sin
sin , cos
X l l l
X l l l l l
2
2
a l k X l l
a ll
l
23
45
Klotoida a kubická parabola
Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2 2 22 2 2 2
cos ; sin 0 0,02 2
cos ; sin 0 1,02 2
sin ; cos 0 0,02 2
sin cos ; cos sin ; 0 0,2 2 2 2
l lat at
X l dt dt X
al alX l X
al alX l al al X
al al al alX l a a l a a l X a
20 0 0
0 0 0 01! 2! !
nnX t X t X t
T t X t t t t t t tn
2 30,[1,0] [0,0]
[0,0] 0 0 01! 2! 3!
aT t t t t
3
,3!
atT t t
Vzestupnice
Ke snížení účinků odstředivé síly se v koleji oblouku zřizuje převýšení koleje.
Zvyšuje se vnější kolejnicový pás v oblouku.
Vzestupnice – plynulý přechod z úseků bez převýšení do úseků s převýšením
lineárni 1:10.v na délku přechodnice
kubická pro Bloosovu přechodnici
46
211,8( )
vp l
r
24
47
Blossova přechodnice
Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L.
Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r.
Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l.
Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice.
Celkové převýšení vzestupnice - pn
dclblallp 23)(
(0) 0 0
(0) 0 0
p d
p c
3 2
( )2 , 3
( ) 0
n n np L p p p
a bp L L L
32
23)(vv
nL
l
L
lplp
48
Blossova přechodnice
1
cos ,sin
sin , cos
X l
X l l l
X l l l l l
Převýšení je přímo úměrné křivosti
2 31
( ) ( )1 1( )
3 21
( )n
p l konst k l konstl lr l
r l r L Lp konst k L konst
r
2 3
( ) 3 2n
l lp l p
L L
Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem
l,tj.
Kde (l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy
přechodnice s rovným úsekem.
25
49
Blossova přechodnice
Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku (L) platí
3 4
2 32
2
l ll
r L r L
LL
r
3 4 3 4
2 3 2 3
0 0
cos , sin2 2
l lt t t t
X l dt dtr L r L r L r L
Parametrické rovnice - přechodnice je parametrizovaná délkou l.
50
Základní vytyčovací parametry
Souřadnice středu kružnicového oblouku
Pro koncový bod přechodnice l=L.
7 8 9 13 14 15 16 17
2 4 2 5 2 6 4 8 4 9 4 10 4 11 4 12
4 5 10 11 12 13
2 3 3 6 3 7 3 8 3 9
14 16 72 312 168 240 768 6528
4 10 60 44 96 624
l l l l l l l lx l
r L r L r L r L r L r L r L r L
l l l l l ly
rL rL r L r L r L r L
3 3
2 2
2 2
14 16
4 10
L LX L L
r r
L LY L
r r
sin , cosS X L r L Y L r L
3 4
2 32
2
l ll
r L r L
LL
r
Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku