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Curso de Matemática financeira
Introdução
AULA 1:
Definições
O que são juros? Por que ariam tanto? !isco" #nf$ação % i$usão de remuneração" &a'ade juros nomina$( efetia e rea$"
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outrolado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, eneste nterim esti!er disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, de!e ser
recompensado por esta a"stin#ncia na proporção do tem)o e risco, que a operação en!ol!er.
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro dispon!el no mercado para empréstimosdefinem qual de!erá ser a remuneração, mais conhecida como ta'a de juros.
O go!erno quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminui aquantidade de dinheiro dispon!el no mercado para empréstimos. $ssim, a remuneraçãodeste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmoti!ando%o a consumirimediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando%o a poupar.
&a época de inflação alta, quando a caderneta de poupança paga!a até '() ao m#s, algunstinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pagos pelo "anco. O
que não perce"iam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada !ezmais distante, su"indo de preço numa proporção maior que os '() rece"idos.
$ taxa de juros que o "anco co"ra e paga inclui, além de tens como o risco e o tempo deempréstimo, a expectati!a de inflação para perodo.
Esta taxa, quando !em expressa por um perodo que não coincide com o prazo de formaçãodos juros *ca)ita$i+ações,, é chamada de ta'a nomina$. Ex.* +) ao ano, cujos juros são
pagos mensalmente. &estes casos precisamos calcular a ta'a efetia, que será a taxanominal di!idida pelo n-mero de capitalizaçes que inclui, acumulada pelo prazo detransação. /eremos com mais detalhes mais adiante.
$ remuneração real, ou ta'a rea$ de uma aplicação será calculada excluindo%se o percentualde inflação que a taxa efeti!a em"ute.
.
Introdução
AULA -:
Con.ecendo a /P%1-C
0 Diferentes funções" Lim)ar as memrias anti2as" #ntrodu+ir n3meros na memria"Cá$cu$os 4im)$es"
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$ 0P%+12 é uma calculadora financeira, que facilitará nossos cálculos. $queles que queiramse familiarizar com a 0P, damos algumas dicas* esta calculadora possue até tr#s funçes portecla* "rancas, amarelas e azuis. $s funçes "rancas são automáticas. $s funçes amarelas eazuis aparecem acima e a"aixo das teclas, e é necessário que se aperte antes a tecla f ou 2,respecti!amente,para ati!á%las. $"aixo as operaçes "ásicas pela 0P%+12*
• ligar a calculadora % 5 O6 7 • apagar o que tem no !isor % 5 CL8 7 • apagar o que tem nas mem3rias financeiras % 5 f 7 5 !9 7 • introduzir um n-mero % 5 n3mero 7 596&9! 7 • fazer um cálculo simples % 5 n3mero 7 5 96&9! 7 5 n3mero 7
5 o)eração 7 • 2álculo percentual % 5 n3mero 7 5 96&9! 7 5 )ercentua$ 7 5 ; 7
• potenciação % 5 n3mero 7 5 96&9! 7 5 )ot 5 @ 7 5 = 7
Percentua$: 1-; de 1 B 1 1 5 96&9! 7 1- 5 ; 7
Potenciação: B "- 1 5 96&9! 7 > 5 7
!adiciação: B - 5 96&9! 7 > 5 1 = 8 7 5 7
!adiciação: B 0"0> 5 96&9! 7 0 5 96&9! 7 > 5 = 7 5 7
Introdução
AULA 0:
Propriedades da 4atemática
Propriedades das Pot#ncias
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Propriedades dos 5adicais
6 importante relem"rar e entender alguns conceitos da matemática, que serão muito -teis,quando tra"alharmos com taxas.
9'em)$os:
2alcular*
ou
Pe$a /P:
>G 596&9!7 0 596&9!7 > 5=7 5 7
Hisor:1"-
ou
Pe$a /P:
> 596&9!7 - 5C/47 596&9!7 0 5=7 5 7
Hisor:1"-
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AULA >:
7uros 8imples 9
:axa de 7uros e quando usá%la. 2álculos dos juros simples. 4ontante.Exemplos.
$ ta'a de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para umdeterminado perodo. Ela !em normalmente expressa da forma )ercentua$, em seguida daespecificação do perodo de tempo a que se refere*
• 1 ; a"a" % *a"a" significa ao ano;.•
1 ; a"t" % *a"t" significa ao trimestre;.Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentualdi!idida por +((, sem o sm"olo )*
• (1- a"m" % *a"m" significa ao m#s ;.• (1 a"q" % * a"q" significa ao quadrimestre ;
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4 ? 1(( x A + @ A (.+1 x ' ; ;
4 ? 1(( x +.'
M B 0>
AULA :
7uros 8imples 99
:axas Equi!alentes. Perodos &ão%9nteiros. Exemplos.
Fs !ezes o perodo de aplicação ou empréstimo é uma fração do perodo expresso na taxa de juros. &estes casos é necessário se tra"alhar com a taxa equi!alente. &a'as 9quia$entes são aquelas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo perodo de tempo,
produzem o mesmo juro.
9'em)$o 1:
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Pe$a /P:
"1 596&9!7 5=7 > 5'7 1 5'7
Hisor:1-"
-" 2alcular os juros simples de 5= +1((,(( a +' ) a.t. por D meses e + dias.
(.+' H ? (.(1+K
logo, Dm+d ? (.(1+K x I ? (.+I
j ? +1(( x (.+I ? 1'D
Pe$a /P:
"10 596&9!7 5%7 G 587 1- 587
Hisor:-0>"
0" Para um principal de 5= ((,((, calcular as taxas de juros simples mensais, se omontante é de 5= ((,(( aplicado em 1 meses.
(( ? (( x A +@ A i x 1 ; ;
(( H (( ? + @ 1i
+.+(>I+ % + ? 1i
i ? (.+(>I+ H 1
i ? (.(D ou .D )
Pe$a /P:
596&9!7 5%7 1 5%7 - 5%7 1 5'7
Hisor:
">>>
$
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/eja o que acontece em uma aplicação financeira por tr#s meses, capitalização mensal*
m#s +* 4?P x A+ @ i;
m#s 1* o principal é igual ao montante do m#s anterior* 4?P x *1 @ i, x A+ @ i;
m#s '* o principal é igual ao montante do m#s anterior* 4?P x *1 @ i, x *1 @ i, x A+ @ i;
8implificando*
6 importante lem"rar que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ouseja, taxa de juros ao m#s para n meses, e assim por diante.
Para calcularmos apenas os juros "asta diminuir do montante ao final do perodo, o
principal.
9'em)$os:
+. Buanto renderá uma aplicação de 5= +(((,(( por + ano se a taxa oferecida é de ', a.m.C5* 5= ++,(K
1. Buanto de!o aplicar hoje para ap3s meses ter 5= (((.(( se a taxa é de > ) a.m.C 5*5= '+(,>D
'. Bue taxa está sendo paga por uma aplicação que ap3s ' meses rendeu 5= +++,1K a umcapital de 5= +1((,((C
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AULA G :
Exerccios 5esol!idos
1" Bual os juros de uma aplicação de 5= (((,(( a +. ) a.m. por 1 mesesC
-"
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Mluxo de 2aixa
Para que ser!eC
:raçando o diagrama.
2on!enção do sinal.
Exemplo.
O fluxo de caixa ser!e para demonstrar graficamente as transaçes financeiras em um perodo de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal di!idida pelo n-mero de perodos rele!antes para análise. $s entradas ou rece"imentos são representados por setas!eritcais apontadas para cima e as sadas ou pagamentos são representados por setas!erticais apontadas para "aixo.
2hamamos de /P o !alor presente, que significa o !alor que eu tenho na data (N /M, !alorfuturo, que será igual ao !alor que terei no final do fluxo, ap3s juros, entradas e sadas. P4:é a prestação, ou as entradas e sadas durante o fluxo. &a 0P a diferença entre entradas esadas será sim"olizada pelo sinal negati!o e positi!o, conforme con!enção do usuário.
9'em)$o:
/ejamos como calcular pela 0P, o fluxo representado graficamente.
Primeiro zere as mem3rias* M 5EG
Entre com o /alor 9nicial com o sinal negati!o* +(( 208 P/
Entre com as prestaçes, uma a uma, prestando atenção aos sinais*
1( 208 P4:
+( P4:
D( P4:
'( 208 P4:
$perte , então a tecla M/ para o"ter o !alor futuro do fluxo, +((.
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AULA 11:
2álculo do /alor Presente A /P ;
2onceito
$presentação de f3rmula
Exemplos
O !alor presente representa a soma das parcelas do fluxo, atualizadas para uma determinadadata, anterior ao final do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. Ele será o"tido pelaf3rmula*
&a 0P%+12 ele é representado pela tecla P/, e será calculado facilmente com a entrada dealguns dados, pelo regime de juros compostos.
9'em)$o: 7oão fez uma d!ida no "anco para saldá%la em 1D prestaçes de 5= I'D,(I. Qequanto foi o empréstimo se a taxa de juros co"rada foi de ) a.m.C
Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5 K 7 5 !9 7
9ntre com as )restações: G0>"G 5 96&9! 7 5 PM& 7
#nforme o n3mero de )arce$as: -> 5 n 7
#nforme a ta'a de juros: 5 i 7
Ca$cu$e o a$or )resente: 5 PH 7
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AULA 1-:
2álculos do /alor Muturo A /M ;
2onceito.
$presentação da f3rmula.
Exemplo.
O !alor futuro será a soma dos montantes de cada prestação em uma determinada data,calculados pela mesma taxa de juros. Ele é calculado pela f3rmula*
&a 0P ele é representado pela tecla M/. /ejamos um exemplo*
7oão quer comprar um carro daqui a um ano. Buanto ele de!e poupar por m#s se o carrocusta 5= +(.(((,(( e a taxa de juros oferecida pelo "anco é de '. ) a.m.C
Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5 K 7 5 !9 7
9ntre com o a$or futuro: 1 5 KH 7
9ntre com a ta'a de juros: 0" 5 i 7
9ntre com n3meros de meses: 1- 5 n 7
Ca$cu$e as )restações: 5 PM& 7
Ex.1* Paulo economiza para pagar sua faculdade 5= D((,(( por m#s. 8a"endo%se que a taxade juros corrente é de ( ) a.a., quanto custará o curso completo de D anos de duraçãoC 5=DK 1>D,II
Pe$a /P:
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Lim)e as memrias: 5 K 7 5 !9 7
Ca$cu$e a ta'a de juros mensa$: 1" 5 96&9! 7 1- 5 1 = 8 7 5 7 1 5%7 1 5 8 7
9ntre com ta'a de juros: 5 i 7
9ntre com n3mero de meses: 1- 5 96&9! 7 > 5 8 7 5 n 7
9ntre com as )restações: > 5 PM& 7
Ca$cu$e o a$or futuro: 5 KH 7
AULA 10:
$mortizaçes de Empréstimos 9
8istema de $mortização 2onstante A8$2;
Exemplos.
Pelo sistema de amorti+ação constante, o de!edor paga o principal em parcelas iguais, e os juros so"re o saldo de!edor. Qesta forma as prestaçes são decrescentes, já que os jurosdiminuem a cada prestação.
9'em)$o:
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AULA 1>:
$mortizaçes de Empréstimo 99
8istema Price % prestaçes iguais.
Exemplos.
Pelo sistema Price as prestaçes são iguais e peri3dicas. O capital é amortizado em parcelas!ariá!eis, mais juros. 2omo neste caso a confecção de uma planilha manual, que separe o
principal dos juros, é muito complicada, utilizaremos a 0P%+12 que já possue funçes pr3prias para este cálculo.
9'em)$o: Para comprar um apartamento !oc# pega um empréstimo no "anco de 5= D((((,(( a uma taxa de + ) a.a. para pagá%la em ( meses. 2alcule o !alor das prestaçes,dos juros e do total amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos, separadamente.
Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5K75!97
9ntre com o em)rstimo: > 5PH7
9ntre com o n3mero de meses: 5n7
9ntre com a ta'a de juros: 1 5751-=7
Ca$cu$e as )restações: 1 5PM&7
Ca$cu$e os juros no )rimeiro ano: 1- 5K75AMO!&7
Ca$cu$e o tota$ amorti+ado no )rimeiro ano: 5' N7
Hisor:
"
> "
"
1"-
%G1"
% 11">
% E"E
Pela M $4O5: temos o total dos juros pagos no perodo introduzido imediatamenteantes. &ote, que o perodo tem que ser expresso na mesma unidade da taxa, no caso, mensal.$ tecla x R quando apertada ap3s o cálculo dos juros, mostra o principal já amortizado.
Para calcularmos os juros e o principal referente ao segundo e terceiro anos repetiremos os passos a"aixo*
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Pe$a /P:
Ca$cu$e os juros do se2undo ano: 1- 5K75AMO!&7
Ca$cu$e o tota$ amorti+ado no se2undo ano: 5' N7
Hisor:
%> EE"
% E>1"0-
Precisamos repetir a introdução de +1, para a calculadora entender que queremos os jurosdos pr3ximos +1 meses.
/eja que se somarmos o !alor dos juros com amortização do segundo ano teremos 5=++,D+I.+K, que di!idido por +1 meses dará 5= I+.(. Esta foi a prestação calculadaanteriormente.
O mesmo acontece se somarmos os juros as amortizaçes do primeiro ano, o que demonstraque neste sistema as prestaçes são iguais, mas a relação de juros é diferente.
2alcularemos a"aixo os juros e o principal referente ao terceiro ano*
Pe$a /P:
Ca$cu$e os juros do terceiro ano: 1- 5K75AMO!&7
Ca$cu$e o tota$ amorti+ado no terceiro ano: 5' N7
Hisor:
%0 G>"1
%E -"
2aso !oc# queira sa"er quanto falta ainda ser amortizado*
5 !CL 7 5 PH 7 1G(-"G0
Ou, se !oc# preferir* D( ((( % >(K.K( % KD+.'1 % K>1.( ? +I 1.I'
AULA 1:
2omo calcular parcelas de $mortização de Minanciamento.
$p3s ter pago +( prestaçes fixas de 5= ++K(.( do financiamento do seu carro no!o, 7oãorece"e 5= +( (((,(( de herança e quer pagar algumas prestaçes. O pro"lema é que ele nãosa"e quanto do principal já pagou e quantas prestaçes ainda faltariam ser pagas, casoamortizasse 5= +( (((,((. Ele pede sua ajuda e lhe diz que o preço do carro J !ista era 5=
1' (((,((.
Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5K75!97
9ntre com o em)rstimo: -0 5PH7
9ntre com o n3mero de meses: -> 5n7
9ntre com as )restações: 1 1E" 5C/475PM&7
Ca$cu$e a ta'a de juros: 5i7
Ca$cu$e os juros nso 1 meses: 1 5K75AMO!&7
Hisor:
"
-0 "
->"
%1 1E"
1"E
%0 -1"-
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Ca$cu$e o tota$ amorti+ado no )rimeiro ano: 5' N7
Ca$cu$e quanto ainda fa$ta )a2ar: 5!CL7 5PH7
"
% >G"1
1> G"-
Qesconte os 5= +( (((,(( do que falta ser pago e o restante introduza como no!o !alor
inicial de empréstimo*
1 5%7 5PH7 Hisor:
> G"-
2alcule o !alor das no!as prestaçes, se o saldo restante será pago em D !ezes*
> 5n7 5PM&7 Hisor:
%1 1E>"-
&estas -ltimas prestaçes quanto está sendo pago de juros*
> 5K7 5AMO!&7 Hisor:
%1G">
2alcule quanto foi amortizado*
5' N7 Hisor:
%> G"-
AULA 1:
2omo calcular coeficientes de financiamentoC
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Ca$cu$e o coeficiente )ara as )restações: 5PM&7 %"1GE-
Qesconsidere o sinal negati!o. Ele s3 representa a direção de sada do fluxo.&este caso, paraum financiamento de 5= +( (((,((, em meses, as prestaçes de!em ser de * + ((( x(.+IK(1 ? + IK(,1(
Hejamos 1- meses:
Lim)e as memrias: 5K75!97
9ntre com a &a'a de Juros: 5i7
9ntre com o n3mero de meses: 1- 5n7
9ntre com a unidade de ca)ita$ em)restado: 1 5PH7
Ca$cu$e o coeficiente )ara as )restações: 5PM&7
Hisor:
"
"
1-"
1"
%"11-0
AULA 1E:
$nálise de planos de pagamento
+; ((,(( e +1 prestaçes de 5= '(,(( ou 1D prestaçes de 5= D'(,(( com a mesmaentrada. Bual a melhor forma de pagamentoC
5.* $ primeira opção é mais "arata.
+. opção*
O !alor a ser financiado será 5= + (((,(( % 5= > ((,(( ? 5= ((,((
Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5K7 5!97
Ca$cu$e o Kinanciamento: 1 596&9!7 5%7
9ntre com o a$or inicia$: 5C/47 5PH7
9ntre com as )restações: 0 5PM&7
9ntre com o n3mero de meses: 1- 5n7
Ca$cu$e a ta'a de juros: 5i7
Hisor:
"
"
% "
0"
1-"
-">
1. opção*
O !alor a ser financiado será 5= + (((,(( % 5= > ((,(( ? 5= ((,((
Pe$a /P: Hisor:
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Lim)e as memrias: 5K7 5!97
Ca$cu$e o Kinanciamento: 1 596&9!7 5%7
9ntre com o a$or inicia$: 5C/47 5PH7
9ntre com as )restações: >0 5PM&7
9ntre com o n3mero de meses: -> 5n7
Ca$cu$e a ta'a de juros: 5i7
"
"
"
% "
>0"
->"
>"
AULA 1:
$nálise de 9n!estimento 9
$ partir da montagem de um fluxo de caixa podemos facilmente calcular, com a ajuda da0P%+12, a !ia"ilidade de um projeto.
Buando uma empresa ou uma pessoa deseja in!estir em um projeto, ela tem paralelamenteoutras opçes, como por exemplo, a pr3pria ati!idade produti!a, ou o mercado financeiro.2hamamos de custo de o)ortunidade de uma empresa ou pessoa, o retorno certo que elateria sem in!estir em no!os projetos.
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Pe$a /P:
Lim)e as memrias: 5K7 5!97
9ntre com o a$or inicia$: 5C/47 57 5CKo7
9ntre com as )arce$as do f$u'o:
> 5C/47 57 5CKj7
- 57 5CKj7 - 57 56j7
0 57 5CKj7
- 57 5CKj7
1 5C/47 57 5CKj7
- 57 5CKj7 - 57 56j7
0 57 5CKj7
9ntre com a ta'a de retorno es)erada: 5i7
Ca$cu$e o a$or )resente $Fquido:5K7 56PH7
Ca$cu$e a ta'a interna de retorno: 5K7 5#!!7
Hisor:
"
% "
%> "
-"
0 "
- "
%1 "
-"
0 "
"
--"GG
"E;
Logo, este in!estimento é !iá!el, pois &P/ é positi!o e 955 é maior que > ).
AULA 1G:
$nálise de 9n!estimento 99
Outra forma de a!aliação da !ia"ilidade de um in!estimento é o método do PaR SacT :ime,ou tempo de retorno do capital. /ejamos um in!estimento, cujo fluxo se apresenta da
seguinte forma*
O custo de oportunidade para este capital é de D ) a.m., ou seja, se não fosse in!estido, estecapital renderia D ) a.m. em uma aplicação financeira.
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