Cours 12, ensemble
des nombres réels
Ensemble des nombres
réels
Voir annexe 2 pour les notes de cours.
76543210 8 9 •
Nombres naturels
L’ensemble des nombres L’ensemble des nombres naturels est noté , tel que:naturels est noté , tel que:
•
• = 0,1,2,3,4,5,...{ } •
5 2
25
0
Axe numérique
Diagramme de Venn
0-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7 ¢
¢
-10
-8
-5
Nombre entiers
L’ensemble des nombres L’ensemble des nombres entiers est notéentiers est noté, tel que:, tel que: ¢
¢ = ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...{ }
•
5 2
25
0
Nombre rationnels
L’ensemble des nombres L’ensemble des nombres rationnels est notérationnels est noté, tel que:, tel que: §
§ = x x =
a
b,a ∈¢ etb ∈¢ *⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭
* Sans le 0
Nombre rationnels
Tout nombre rationnel peut Tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme s’écrire sous forme fractionnaire.fractionnaire.
5 ∈§ car 5 =51
Ex:
−6 ∈§ car −6 = −6
1
Nombre rationnels
Tout nombre rationnel peut Tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme s’écrire sous forme fractionnaire.fractionnaire.
0,7 ∈§ car 0,7 =710
Ex:
−0,625 ∈§ car −0,625 = −5
8
Nombre rationnels
Tout nombre rationnel possède la Tout nombre rationnel possède la propriété suivante: son écriture propriété suivante: son écriture décimale est illimitée et périodique.décimale est illimitée et périodique.
Ex: 11
12=0,9166666 =0,916
34
99=0,34343434 =0,34
Nombre rationnels
§
¢
-10
-8
-5 •
5 2
25
0
4/9-0,9
-1,2727...2/3
Nombre rationnels
Comment mettre un nombre en Comment mettre un nombre en fraction?fraction?Si sa période est 0
1. Les nombres décimales sont des fractions qui utilisent les puissances de 10 (10,100,1000,…) comme dénominateur
0,34 = 34/100 = 17/50
-3,256 = -3256/1000 = -407/125
Nombre rationnels
Comment mettre un nombre en Comment mettre un nombre en fraction?fraction?1. Poser une équation avec le nombre
en notation décimale.
3. Soustraire la deuxième de la première
2. Multiplier chaque membre de l’équation par les puissances de 10 qui font glisser la virgule immédiatement :• Avant la période• Après la période
4. Résoudre l’équation afin d’obtenir la fraction recherchée.
n=1,121212
100n=112,1212 n=1,12121
299n=111
n=111/99=37/33
Si sa période est autre que 0
Exercices : Essentiel Exercices : Essentiel mathématique mathématique
p. 43 # 3-5-6p. 43 # 3-5-6p. 44 # 13p. 44 # 13p. 45 # 17-18-24p. 45 # 17-18-24
Exercices
Cours 13, nombres
irrationnels
Nombre irrationnels
Tout nombre irrationnel admet une Tout nombre irrationnel admet une écriture décimale illimitée non écriture décimale illimitée non périodiquepériodique
Ex:
8 =2,828427125
=3,141 592 653 589 783 238 462 …
°
§ '
Diagramme de Venn
§
¢
-10
-8
-5 •
5 2
25
0
4/9-0,9
-1,2727...2/3
17
- 26
3 2
Repérage d’un nombre irrationnel sur un axe
numérique
1. On décompose le radicande en une somme de carrés de 2 nombres naturels
17=42+12
Ex 1: Situe exactement sur un axe numérique le nombre irrationnel suivant: 17
Ex 1:
Repérage d’un nombre irrationnel sur un axe
numérique
2. Sur l’axe numérique, à partir de l’origine, on trace un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour mesure les deux nombres trouvés.
210-1 3 4 5
17=42+12
Repérage d’un nombre irrationnel sur un axe
numérique
3. On trace un arc de cercle dont le centre est l’origine de l’axe et dont le rayon est égale à l’hypoténuse du triangle rectangle.
210-1 3 4 5
17=42+12
Repérage d’un nombre irrationnel sur un axe
numérique
210-1 3 4 5
1. 26=12+52
Ex 2: Situe exactement sur un axe numérique le nombre irrationnel suivant: 26
2.
3.
Repérage d’un nombre irrationnel sur un axe
numérique
210-1
3 4 5
1. 7=42-32
Ex 3: Situe exactement sur un axe numérique le nombre irrationnel suivant: 7
2.
3.37
Exercices : Essentiel Exercices : Essentiel mathématique mathématique
p. 47 # 28-29p. 47 # 28-29p. 51 # 1 à 4p. 51 # 1 à 4Devoir : à terminer à la maisonDevoir : à terminer à la maison
Exercices