DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI
MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA Y CINEMATICA INVERSA.
(RAE)
1. TIPO DE DOCUMENTO: Trabajo realizado sobre el desarrollo de un
software que recree el movimiento de un robot Mitsubishi movemaster rv
m1,para obtener el ttulo de ingeniero mecatronico.
2. TITULO: Desarrollo de software de simulacion que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot mitsubishi movemaster rvm1 a traves de algoritmos de cinematica directa y cinematica inversa.
3. AUTORES: Jaime Andres Fernandez Vega, Jorge Andres Rodriguez Carrizosa
4. LUGAR: Bogota (Cundinamarca)
5. FECHA: Julio 2011
6. PALABRAS CLAVES: Cinematica inversa, Cinematica Directa, Articulacion, Robot, Actuadores, Manipulador, Sensores, Interfaz, Software, Arquitectura, C++, Grados Libertad, Controladores, Comunicacin, Dispositivo, Scara.
7. DESCRIPCION DEL TRABAJO: El presente trabajo es una propuesta de un software de simulacin que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi movemaster RV M1 El robot Mitsubishi Movemaster RVM1 que se encuentra en el laboratorio de automatizacin, se desea emplear como elemento para la enseanza en ctedras de robtica, sistemas flexibles de manufactura y otras similares dentro del currculo de Ingeniera Mecatrnica de la Universidad San Buenaventura sede bogota.
8. LINEA DE INVESTIGACION: Este trabajo se desarrolla en el marco de la
lnea institucional de la Facultad De Ingenieria profesionales con conocimientos cientfico, critico, y humano.
9. FUENTES CONSULTADAS: Libro Theory of Applied Robotics: kinematics, dynamics and control de Reza Jazar. Australia. LIbro Robotica Industrial de Victor Santos, Portugal, Aveiro, Noviembre2002. Herramienta para la programacin y simulacin de movimientos del manipulador robotico Mitsubishi movemaster RV-m1, colombia, Cali, Agosto 2006. Manual de operacin Basico de Uriel Guiterrez Salazar, 1987. Manual bsico Manipulador Robot Mitsubishi RV-M1 de Beatriz Delgado Fernandez. Libro Robotica de manipuladores: Teoria y algoritmos para modelado, simulacin y control, Andres Jaramillo, 2006. Manual Mitsubishi Micro-Robot System RV-M1 MoveMaster EX Technical, Mitsubishi Corporation, Japn, 1996.
10. CONTENIDOS: En este trabajo se encuentra el planteamiento del Desarrollo de software de simulacin que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi Movemaster RVM1 a travs de algoritmos de cinemtica directa y cinemtica inversa, analizando desde aspectos generales como particulares en la creacin del software. El proyecto a desarrollar permite subsanar falencias asociadas entre el usuario y el manipulador robtico, con fin de conocer sus caractersticas y poder programar movimientos que permitan ejecutar tareas de ndole industrial.
11. METODOLOGIA: Este trabajo tiene todos los detalles relacionados con el desarrollo de la interfaz grfica que en ltimas se considera el producto de este proyecto, all se podrn encontrar los pormenores y todo el proceso que permiti llevar a una aplicacin los resultados obtenidos durante la etapa de clculos, los resultados de estas simulaciones son comparados de manera directa con un software comercial como una forma de validar los datos obtenidos.
12. CONCLUSIONES: Con esta propuesta permite la creacin de una aplicacin que simular visualiza un brazo robotMitsubishi RV M1 de 5 grados de libertad, permitiendo configurar el tipo de trayectoria, y calculando de manera apropiada las posiciones de cada una de las articulaciones. Esto har de la herramienta un elemento apropiado para la enseanza de temas de Robtica a nivel de pregrado y muy probablemente permita el avance de nuevos proyectos investigativos en el tema. Adems la herramienta resultante es bastante liviana, podr ser ejecutada en un ordenador de capacidades de cmputo normales, facilita la creacin de laboratorios virtuales econmicamente ms accesibles a las instituciones educativas y matemticamente confiables.
DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL
MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA
Y CINEMATICA INVERSA.
JAIME ANDRS FERNANDEZ VEGA
JORGE ANDRS RODRGUEZ CARRIZOSA
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA-BOGOT FACULTAD DE INGENIERA
PROGRAMA ACADMICO DE INGENIERA MECATRNICA JULIO DE 2011
DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI
MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA Y CINEMATICA INVERSA.
JAIME ANDRS FERNANDEZ VEGA
JORGE ANDRS RODRGUEZ CARRIZOSA
Trabajo de Grado presentado como requisito para optar al ttulo de Ingeniero Mecatrnico
Docente:
LEONARDO RODRGUEZ ORTIZ
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA-BOGOTA FACULTAD DE INGENIERA
PROGRAMA ACADMICO DE INGENIERA MECATRNICA BOGOT
JULIO DE 2011
I
Nota de aceptacin
______________________________ ______________________________ ______________________________
______________________________ ______________________________ ______________________________
_____________________________
Presidente de jurado
_____________________________
Jurado
_____________________________ Jurado
Bogot D.C., Julio de 2011
II
DEDICATORIA
Este trabajo de grado est dedicado a nuestras familias, que se sacrificaron y se
esforzaron por nosotros, a la infinita paciencia y colaboracin que nos brindaron
para cumplir nuestro proyecto de vida como Ingenieros Mecatrnicos y llegar
hasta donde estamos llegando.
III
AGRADECIMIENTOS
A mi Padre, por el esfuerzo y trabajo que ha hecho por brindarme apoyo
econmico y moral, tambin por los consejos brindados para hacer de mi una
mejor persona a lo largo de mi vida y de toda la carrera.
A mi Madre por estar siempre con migo en las buenas y en las malas situaciones
de mi vida, adems de la orientacin y paciencia durante estos 5 aos de estudio.
A todos mis hermanos que siempre estn conmigo ofrecindome algo que
aprender de cada una de sus vidas, y en general a toda mi familia.
A mi compaero Andrs por haber cursado junto a mi gran parte de este proceso y
apoyar para que el proceso siguiera adelante.
Jorge Andrs
A mi mam, por su apoyo moral y econmico durante toda mi vida y mi carrera.
A mi pap, por el ejemplo que me ofrecido.
A mi hermana, que siempre estuvo a mi lado.
A toda mi familia, que es mi fuerza y puerto seguro.
A Jorge, ms que un compaero, amigo ejemplar en la carrera.
A todos los docentes que siempre me ensearon de la mejor manera y fueron un
ejemplo en la carrera.
Jaime Andrs
IV
Agradecimientos especiales del grupo de trabajo:
Al Ingeniero Leonardo Rodrguez Ortiz por su paciencia y conocimiento brindado a
lo largo de estos dos aos, adems del compromiso que adquiri con el grupo de
trabajo.
A los rectores Fray Fernando Garzn (Q.E.P.D) y Fray Jos Wilson Tllez por su
acompaamiento durante todo el proceso educativo su permanente disposicin y
desinteresada ayuda.
A la universidad por generarnos los espacios y el conocimiento adecuado para
desarrollar el proyecto.
Y a todas aquellas personas que de una u otra forma, colaboraron o participaron
en la realizacin de esta investigacin hacemos extensivo nuestro gran sincero
agradecimiento.
V
TABLA DE CONTENIDO
ABSTRACT ....................................................................................................................................... 2
RESUMEN ......................................................................................................................................... 2
INTRODUCCIN .............................................................................................................................. 3
1 OBJETIVOS .............................................................................................................................. 5
1.1 Objetivo General ............................................................................................................... 5
1.2 Objetivos Especficos ....................................................................................................... 5
2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................... 6
2.1 Antecedentes o Estado del Arte ..................................................................................... 6
2.1.1 OpenGL: ..................................................................................................................... 6
2.1.2 Wardy 2: ..................................................................................................................... 8
2.1.3 Robot Manipulator Simulation (RMS) .................................................................... 9
2.1.4 A PC-based Open Architecture Controller for Robots (OACR). ........................ 9
2.1.5 Effective Simulation and Control Techniques for Alleviating Access to High-
Cost Manipulators................................................................................................................... 11
2.1.6 Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the Mitsubishi
Movemaster EX . ..................................................................................................................... 12
2.1.7 ROBOMOSP: Robotics Modeling and Simulation Platform. ............................ 13
2.2 Descripcin y Formulacin del Problema ................................................................... 15
2.3 Justificacin ..................................................................................................................... 15
3 MARCO DE REFERENCIA .................................................................................................. 16
3.1 Componentes y mecanismos de un sistema robtico. ............................................. 17
3.1.1 Eslabn .................................................................................................................... 17
3.1.2 Articulacin .............................................................................................................. 18
3.1.3 Manipulador ............................................................................................................. 20
3.1.4 La mueca ............................................................................................................... 20
3.1.5 Actuadores ............................................................................................................... 21
3.1.6 Sensores .................................................................................................................. 21
3.1.7 Controladores .......................................................................................................... 21
3.2 Clasificacin de los Robots ........................................................................................... 22
3.2.1 Por su geometra .................................................................................................... 22
3.2.2 Por sus Actuadores ................................................................................................ 26
VI
3.2.3 Control ...................................................................................................................... 27
3.2.4 Por su aplicacin .................................................................................................... 27
3.3 Movimiento cinemtico .................................................................................................. 29
3.3.1 Movimiento de cuerpo rgido................................................................................. 29
3.3.2 Transformacin homognea ................................................................................. 30
3.3.3 Transformacin Homognea Inversa .................................................................. 33
3.4 Cinemtica Directa ......................................................................................................... 35
3.4.1 Notacin Denavit-Hartenberg ............................................................................... 35
3.4.2 Transformacin de coordenadas entre dos marcos adyacentes .................... 38
3.4.3 Posicin cinemtica directa de los robots ........................................................... 41
3.5 Cinemtica Inversa ......................................................................................................... 43
3.5.1 Tcnica de Desacoplamiento ............................................................................... 43
3.5.2 Tcnica de transformacin inversa ...................................................................... 44
3.5.3 Tcnica iterativa ...................................................................................................... 45
4 METODOLOGA ..................................................................................................................... 49
5 ALCANCES Y LIMITACIONES ............................................................................................ 50
6 DESARROLLO INGENIERIL Y ANLISIS DE RESULTADOS ...................................... 52
6.1 Caractersticas del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 ........................................ 52
6.1.1 Dimensiones ............................................................................................................ 55
6.2 Mtodo Denavit-Hartenberg .......................................................................................... 56
6.3 Matrices de transformacin ........................................................................................... 58
6.4 Cinemtica Directa ......................................................................................................... 59
6.4.1 Ejemplo: ................................................................................................................... 64
6.5 Cinemtica Inversa ......................................................................................................... 66
6.5.1 Ejemplo .................................................................................................................... 69
6.6 Creacin de la Interfaz ................................................................................................... 72
6.7 Comparacin software CIROS Festo Automation con el software desarrollado
en este proyecto. ........................................................................................................................ 77
6.7.1 Cinemtica directa .................................................................................................. 77
6.7.2 Cinemtica inversa ................................................................................................. 87
7 CONCLUSIONES ................................................................................................................... 98
8 BIBLIOGRAFA ..................................................................................................................... 100
VII
9 ANEXOS ................................................................................................................................ 101
9.1 Manual del software. .................................................................................................... 101
9.2 Desarrollo algebraico cinemtica inversa ................................................................. 113
VIII
NDICE DE FIGURAS
Figura 1 Interfaz Software OpenGL ............................................................................................... 7
Figura 2 Interfaz principal Software Wardy 2. .............................................................................. 8
Figura 3 Aplicacin `Robot Manipulator Simulation'. .................................................................. 9
Figura 4 Aplicacin realizada 'A PC-based Open Architecture Controller for Robots' ....... 11
Figura 5 Simulacin del manipulador del proyecto en Visual Basic ....................................... 12
Figura 6 Proyecto `Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the
Mitsubishi Movemaster', junto a una cmara Web. .................................................................. 13
Figura 7 ROBOMOSP, con un Mitsubishi PA-10 y la dinmica de una trayectoria. ............ 14
Figura 8 Mecanismo retorno de 5 eslabones ............................................................................. 18
Figura 9 Tipos de Articulacin ...................................................................................................... 18
Figura 10 Ejemplo de manipulador .............................................................................................. 20
Figura 11 Funcionamiento de robot SCARA .............................................................................. 23
Figura 12 Robot Puma ................................................................................................................... 24
Figura 13 Funcionamiento robot esfrico ................................................................................... 25
Figura 14 Funcionamiento de un robot cilndrico ..................................................................... 25
Figura 15 Robot cartesiano ........................................................................................................... 26
Figura 16 Movimiento de cuerpo rgido en un sistema de coordenadas ............................... 29
Figura 17 Rotacin y translacin de un punto arbitrario B ....................................................... 31
Figura 18 Ejemplo de Matrices de transformacin y rotacin ................................................. 33
Figura 19 Rotacin y translacin de un cuerpo en un sistema de coordenadas B con
respecto al sistema G .................................................................................................................... 34
Figura 20 Notacin Denavit-Hartenberg parmetros cinemticos .......................................... 35
Figura 21 Articulaciones (i-1) , (i) y (i+1) en dos sistemas de coordenadas ......................... 36
Figura 22 Posicin del sistema final en base al sistema base ................................................ 42
Figura 23 Fotografa Robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 ................................................... 52
Figura 24 Ejes de las articulaciones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 .................... 53
Figura 25 Dimensiones y lmites del movimiento articular del robot Mitsubishi Movemaster
RV-M1. ............................................................................................................................................. 54
Figura 26 Relacin movimientos del robot y nomenclatura ..................................................... 54
Figura 27 Movimientos del robot en coordenadas cartesianas ............................................. 55
Figura 28 Nomenclatura de los eslabones del robot ................................................................ 56
Figura 29 Primera implementacin de la interfaz ...................................................................... 72
Figura 30 Segunda Implementacin de la interfaz .................................................................... 73
Figura 31 Tercera implementacin de la interfaz ...................................................................... 74
Figura 32 Cuarta implementacin de la interfaz ........................................................................ 75
Figura 33 Desarrollo final de la interfaz ...................................................................................... 76
Figura 34 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 78
Figura 35 valores ingresados a CIROS Festo Automation ...................................................... 78
Figura 36 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 79
IX
Figura 37 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 80
Figura 38 valores ingresados a el software del proyecto ......................................................... 80
Figura 39 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 81
Figura 40 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 81
Figura 41 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 82
Figura 42 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 82
Figura 43 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 83
Figura 44 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 83
Figura 45 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 84
Figura 46 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 84
Figura 47 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 85
Figura 48 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 85
Figura 49 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 86
Figura 50 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 86
Figura 51 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 87
Figura 52 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 88
Figura 53 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 88
Figura 54 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 89
Figura 55 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 90
Figura 56 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 90
Figura 57 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 91
Figura 58 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 91
Figura 59 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 92
Figura 60 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 92
Figura 61 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 93
Figura 62 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 93
Figura 63 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 94
Figura 64 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 94
Figura 65 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 95
Figura 66 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 95
Figura 67 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 96
Figura 68 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 96
Figura 69 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 97
X
NDICE DE TABLAS
Tabla 1 Espacio de operacin y dimensiones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 50
Tabla 2 Dimensiones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 55
Tabla 3 Clasificacin geomtrica del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 57
Tabla 4 Parmetros DH para el manipulador Mitsubishi RV-M1 57
2
ABSTRACT
This project describes the phases for the construction of a virtual simulation of a
robot with 5 degrees of freedom, using a mathematical model to simulate the full
movement of the different joints and their position in space throughmathematical
software like Matlab , all of this possible thanks to algorithms for forward and
inverse kinematics applied to the Mitsubishi robot Movemaster RVM1.
RESUMEN
El robot Mitsubishi Movemaster RVM1 que se encuentra en el laboratorio de automatizacin se desea emplear como elemento para la enseanza en ctedras de robtica, sistemas flexibles de manufactura y otras similares dentro del currculo de Ingeniera Mecatrnica de la Universidad San Buenaventura.
La aplicacin aqu propuesta permitir interactuar con el robot a travs de una simulacin de sus trayectorias sin importar la complejidad de ellas, teniendo en cuenta las caractersticas fsicas del mismo, facilitando su uso y aprendizaje. Mostrando una interfaz grafica en un plano tridimensional en el que se visualicen sus movimientos cinemticos en tiempo real, a travs de un cdigo en un lenguaje conocido en entornos acadmicos.
El proyecto se desarrollar dese las etapas bsicas del diseo, seleccin de plataforma de software y de simulaciones mecnicas, lo cual llevar al usuario a aprender el manejo del robot y la programacin de sus movimientos, el conocimiento en profundidad de su cinemtica directa e inversa, alineacin de ejes, configuraciones singulares, etc.
3
INTRODUCCIN
La Universidad busca formar a los futuros profesionales tanto en lo terico como
en lo prctico, por eso, trabajos investigativos como los de este tipo que pretenden
llevar a la prctica los conocimientos adquiridos en las aulas de clase resultan una
excelente alternativa para la creacin de una nueva cultura al interior de la
Academia.
Este proyecto cuyo ttulo es Desarrollo de software de simulacin que permita
recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi Movemaster
RVM1 a travs de algoritmos de cinemtica directa y cinemtica inversa
desenvuelve el problema, analizando desde aspectos generales como particulares
en la creacin del software. El proyecto a desarrollar permite subsanar falencias
asociadas entre el usuario y el manipulador robtico, con fin de conocer sus
caractersticas y poder programar movimientos que permitan ejecutar tareas de
ndole industrial.
Un correcto anlisis de la situacin en cuanto a trabajos similares desarrollados en
diferentes lugares del planeta soportan inicialmente los objetivos planteados, as
mismo esta primera investigacin aport una posible metodologa de trabajo que
se plasma de manera apropiada dentro del captulo de desarrollo ingenieril, all se
muestra la totalidad de las ecuaciones y procedimientos matemticos que se
tuvieron en cuenta para poder determinar con exactitud la manera como el
manipulador robtico realizar sus movimientos, obviamente para llegar hasta este
punto se cubren algunos aspectos tericos bsicos que se consideran
fundamentales para el lector menos relacionado con temas de robtica.
El trabajo cierra con todos los detalles relacionados con el desarrollo de la interfaz
grfica que en ltimas se considera el producto de este proyecto, all se podrn
encontrar los pormenores y todo el proceso que permiti llevar a una aplicacin los
resultados obtenidos durante la etapa de clculos, los resultados de estas
simulaciones son comparados de manera directa con un software comercial como
una forma de validar los datos obtenidos.
Tanto la propuesta como sus resultados muestran una solucin para la
recuperacin del equipo de robtica en cuestin (Robot Mitsubishi RV-M1),
4
brindando de esta forma aportes para entornos acadmicos y logrando un
beneficio para todos aquellos interesados en aprender del tema. Se espera que a
travs de su lectura el inters por la creacin de nuevos grupos de investigacin y
nuevos desarrollos en el tema, pues aunque el trabajo es amplio, existen an
muchos aspectos por explorar en esta interesante rea
5
1 OBJETIVOS
1.1 Objetivo General
Desarrollar una herramienta que permita manipular el robot Mitsubishi de forma
simulada o en tiempo real, para aprender a utilizar el robot y facilitar su
programacin, con el fin de ejecutar tareas en entornos acadmicos.
1.2 Objetivos Especficos
Recolectar la adecuada informacin acerca de los antecedentes trabajados en
este proyecto.
Desarrollar una interfaz grfica que permita la representacin de las
trayectorias de cada una de las articulaciones del robot, y a su vez una
utilizacin sencilla de las opciones mostradas.
Evaluar las trayectorias dadas por el usuario, considerando las caractersticas
fsicas del robot, comparar los resultados con software comercial o el sistema
real.
Incrementar el nmero de funciones del robot que se encuentren a disposicin
del usuario no experimentado para que este no requiera entrenamiento para
programar el robot.
Permitir la interaccin del usuario con el sistema de almacenamiento de datos
del controlador del robot, con el fin de facilitar la gestin de listado de
posiciones y el programa almacenado.
Facilitar la comunicacin entre el robot y el PC, permitiendo el envi de datos
completos o lnea por lnea, segn los requerimientos del usuario, en relacin
con el manejo de los programas y los listados de posiciones.
6
2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
2.1 Antecedentes o Estado del Arte
Antes de comenzar se hace necesario aclarar que gracias al convenio institucional
entre la Universidad y Festo Ltda. se logr la donacin del robot Mitsubishi RV-M1
para fines investigativos, el hardware del equipo funcionaba apropiadamente pero
tanto el sistema de control como las herramientas de programacin se
encontraban con daos permanente o simplemente no existan, as que con el
firme propsito de recuperar la herramienta se generaron dos proyectos de
investigacin uno de ellos en la parte de diseo electrnico y otro enfocado en las
herramientas de software, este proyecto muestra los resultados obtenidos en esta
ltima.
El robot como tal en su estado original inclua unas herramientas de simulacin
adecuadas para la programacin del mismo, de hecho, y con la ayuda de Festo se
logr llevar este simulador hasta las aulas de clase a travs de la herramienta
Ciros , sin embargo, debido a que el modelo data de finales de los 80, el soporte
tcnico ha sido totalmente descontinuado dejando al usuario final la
responsabilidad por la creacin de aplicaciones como las que se propone en este
trabajo. A partir de lo anterior varios esfuerzos se han generado en diversas
instituciones educativas en el mundo, algunas de las cuales se resumen a
continuacin:
2.1.1 OpenGL:
OpenGL1 (Open Graphics Library) es una especificacin estndar que define una
API multilenguaje y multiplataforma para escribir aplicaciones que produzcan
grficos 2D y 3D. La interfaz consiste en ms de 250 funciones diferentes que
pueden usarse para dibujar escenas tridimensionales complejas a partir de
primitivas geomtricas simples, tales como puntos, lneas y tringulos. Fue
desarrollada originalmente por Silicon Graphics Inc. (SGI) en 1992 y se usa
ampliamente en CAD, realidad virtual, representacin cientfica, visualizacin de
informacin y simulacin de vuelo. Tambin se usa en desarrollo de videojuegos,
donde compite con Direct3D en plataformas Microsoft Windows.
1Extrado de http://es.wikipedia.org/wiki/OpenGL
7
Fundamentalmente OpenGL es una especificacin, es decir, un documento que
describe un conjunto de funciones y el comportamiento exacto que deben tener.
Partiendo de ella, los fabricantes de hardware crean implementaciones, que son
bibliotecas de funciones que se ajustan a los requisitos de la especificacin,
utilizando aceleracin hardware cuando es posible. Dichas implementaciones
deben superar unos test de conformidad para que sus fabricantes puedan calificar
su implementacin como conforme a OpenGL y para poder usar el logotipo oficial
de OpenGL.
OpenGL tiene dos propsitos esenciales:
Ocultar la complejidad de la interfaz con las diferentes tarjetas grficas,
presentando al programador una API nica y uniforme.
Ocultar las diferentes capacidades de las diversas plataformas hardware,
requiriendo que todas las implementaciones soporten la funcionalidad
completa de OpenGL (utilizando emulacin software si fuese necesario).
Figura 1Interfaz Software OpenGL
8
2.1.2 Wardy 2:
Wardy es una herramienta bsica, cuya capacidad est limitada a las siguientes
condiciones:
Recibir el listado de posiciones grabadas en el controlador del manipulador, almacenndolas en un archivo de texto.
Enviar desde un archivo de texto un listado de posiciones, para ser grabadas en
el controlador del manipulador.
Recibir, en un archivo de texto, el programa cargado actualmente en la memoria
del controlador del manipulador.
Enviar, desde un archivo de texto, un programa, para ser almacenado en la
memoria del controlador del manipulador.
Su aplicacin slo enva y recibe archivos de texto, a travs del puerto serial, con
algunas consideraciones especificas para los manipuladores del Robot Mitsubishi
RV-M1 y RV-M2.
Figura 2 Interfaz de seleccin de manipulador Software Wardy 2.
Este simulador tiene varios defectos conocidos, que causan inconvenientes a los
usuarios, por ejemplo se bloquea con gran facilidad tras cualquier modificacin.
9
2.1.3 Robot Manipulator Simulation (RMS)
Este es un proyecto de simulacin del manipulador en cuestin con OpenGL en
Windows. Puede proporcionar una visualizacin 3D de alta calidad en tiempo real
con animacin de simulacin de hardware de bajo nivel
Incluye entre otras funciones las siguientes:
Simulacin 3D animados en tiempo real.
Clculo de la Cinemtica Manipulador, incluyendo PUMA-560 y EX-
Movemaster.
3 mtodos de control: control manual, control de Pose, Mixta de Controlde
cambio
Figura 3Aplicacin `Robot Manipulator Simulation'.
2.1.4 A PC-based Open Architecture Controller for Robots (OACR)2.
CORBA (arquitectura comn de intermediarios en peticiones a objetos), es un estndar que establece una plataforma de desarrollo de sistemas distribuidos facilitando la invocacin de mtodos remotos bajo un paradigma orientado a objetos.
2 Pan, Liandong, Xinhan, Huang y Arif, Mohammad. http://www.ansinet.org/fulltM1t/itj/itj33296-
302.pdf.
10
CORBA fue definido y est controlado por el Grupo de Gestin de Objetos (OMG)
que define la interfaz de programacin de aplicaciones (API), el protocolo de
comunicaciones y los mecanismos necesarios para permitir la interoperabilidad
entre diferentes aplicaciones escritas en diferentes lenguajes y ejecutadas en
diferentes plataformas, lo que es fundamental en computacin distribuida.
En un sentido general, CORBA "envuelve" el cdigo escrito en otro lenguaje, en
un paquete que contiene informacin adicional sobre las capacidades del cdigo
que contiene y sobre cmo llamar a sus mtodos.
El desarrollo (OACR) Plantea una arquitectura basada en CORBA, para controlar
cualquier manipulador, mediante componentes con interfaces estandarizadas.
Su finalidad es reemplazar las unidades de control especializadas de los
manipuladores, por un sistema genrico basado en computadores personales y
hardware ms econmico.
Para evaluar la arquitectura, se realiza una prueba de concepto, reemplazando la
unidad de control del Movemaster RV-M1 por una genrica, basada en una tarjeta
PCI, para controlar directamente los servos del manipulador. Cuenta con un
motor de cinemtica y dinmica muy completo, una representacin tridimensional
del robot y la creacin de trayectorias sencillas.
Generalmente las pruebas se realizan en lenguaje C++ bajo Windows, pero al ser
CORBA, en teora, los componentes podran estar en cualquier plataforma.
11
Figura 4Aplicacin realizada 'A PC-based Open Architecture Controller for Robots'
2.1.5 Effective Simulation and Control Techniques for Alleviating Access to High-
Cost Manipulators3.
Es un proyecto que fue desarrollado como recurso para la enseanza de
diferentes cursos, en Bridgeport University de Connecticut, USA, con lo cual
se pretenda reducir el desgaste que presentaban los manipuladores, debido
al uso excesivo que hacan, de ellos, los estudiantes. Este proyecto incluye,
entre sus caractersticas: el clculo de la cinemtica directa e inversa, el control
del robot por medio del movimiento articular o cartesiano, y la coordinacin entre
los movimientos del robot virtual y el real, cuando este ltimo se encuentra
conectado al PC.
Otra caracterstica que puede resaltarse del proyecto es que permite el uso de
diversos tipos de curvas, con un nmero parametrizable de puntos de control e
intermedios, para el diseo de trayectorias complejas. Igualmente, cabe resaltar la
capacidad para operar en red, de tal forma que el estudiante visualiza en pantalla,
en calidad de cliente, lo mismo que el instructor, y puede tener acceso, desde su
equipo, al control del robot, si este ltimo lo autoriza. Como complemento de lo
anterior, la aplicacin permite el control del robot, desde telfonos mviles.
3 Mihali, Ral y Sobh, Tarek, http://www.bridgeport.edu/~sobh/pdf/paper43.doc
12
Esta aplicacin se desarroll en Visual Basic, por lo cual su uso est limitado
aWindows, y utiliza OpenGL para la vista en tres dimensiones.
Figura 5Simulacin del manipulador del proyecto en Visual Basic
2.1.6 Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the Mitsubishi
Movemaster EX4.
Proyecto desarrollado por la Universidad de las Filipinas, en el ao 2000.
Implementa una aplicacin Web, con un simple simulador de 3D del robot en
VRML5, la cual soporta el ingreso remoto de un nmero limitado de comandos del
robot, simulando su ejecucin en la pantalla. Puede estar conectada a un robot
real y transmitirle los comandos ingresados por el usuario. Una alternativa, que se
ilustra en la Figura 6, es colocar la aplicacin en una pgina junto a una cmara
Web, lo cual permitira observar los movimientos, desde lugares remotos.
Implementa la cinemtica inversa.
4 Restituto-Tecson, Joel y Cruz-Santos, Marianne.
http://www.upd.edu.ph/~yamatake/old/projects/1999-2000/telerobot.pdf 5 Virtual Reality Markup Language (VRML), http://en.wikipedia.org/wiki/VRML
13
Es una aplicacin Web realizada en Java, que presenta el robot virtual por medio
de VRML, y ejecuta el cdigo Perl CGI, en el servidor. Por esto, para el cliente es
multiplataforma.
Figura 6Proyecto `Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for theMitsubishi Movemaster', junto a una cmara Web.
2.1.7 ROBOMOSP: Robotics Modeling and Simulation Platform6.
Proyecto acadmico desarrollado por el mismo grupo de investigacin de este
proyecto7.Implementa una plataforma modular que permite disear, simular y
controlar cualquier tipo de robot manipulador. Es un sistema CAD8 en 3
dimensiones, que cuenta con mltiples capacidades como: modelado de cualquier
manipulador y de sus componentes fsicos; composicin del entorno de trabajo
con varios manipuladores; composicin de trayectorias complejas; simulacin y
control dinmico del manipulador, con modelado de torques de sus masas;
simulacin y control cinemtica; programacin de tareas complejas, mediante un
lenguaje de alto nivel; interfaz de programacin (API), para ampliar sus
capacidades, y operacin remota, por medio de sockets TCP/IP.
6 http://gar.puj.edu.co/Investigacion/Grupos/GAR/TmpGar/projects/robomosp/. Dos artculos citados
en la bibliografa, por Jaramillo Botero, Andrs, et al. 7 Grupo de Automatizacin Y Robtica de la Pontificia Universidad Javeriana Cali http://gar.puj.edu.co/
8 Computer Aided Design, Diseo Asistido por Computadora
14
Es una herramienta con un objetivo general, ya que se aplica para cualquier tipo
de manipulador y ambiente de trabajo, de naturaleza avanzada, con una
arquitectura abierta y modular. Su modelado de la dinmica es completo, siendo
esta una caracterstica que lo diferencia, estando ausente aun en las soluciones
comerciales evaluadas.
Es un proyecto diseado, desde su inicio, como multiplataforma, construido con
herramientas de software de dominio pblico, y puede ejecutarse en
sistemas operativos variados, como Linux, MacOS X, y Microsoft Windows.
Figura 7ROBOMOSP, con un Mitsubishi PA-10 y la dinmica de una trayectoria.
15
2.2 Descripcin y Formulacin del Problema
Los estudios de la robtica son de gran importancia para los estudiantes de la
Universidad de San Buenaventura, y elementos como el Robot Mitsubishi
Movemaster RV-M1 son de gran ayuda didctica para estos entornos acadmicos.
Actualmente el robot se encuentra en condiciones de deterioro y debido a que su
modelo es antiguo, no posee el soporte tcnico necesario para darle utilidad a esta
importante herramienta que tiene la universidad.
En los procesos de manufactura y en algunas industrias es muy comn el
trasladar elementos y productos que necesitan de mano de obra para las
respectivas necesidades reduciendo gastos y ampliando la produccin, lo cual
hace interesante el estudio de manipuladores para poder restaurar y recuperar el
Robot Mitsubishi RV-M1 y lograr entender su funcionamiento desde el punto de
vista de la robtica.
El diseo de software de simulacin es de gran importancia para muchos procesos
y el desarrollo de nuevas tecnologas, lo cual hace que la siguiente pregunta
problema cobre toda su importancia, Cmo desarrollar una herramienta que
permita manipular el robot Mitsubishi RV-M1 en simulacin o tiempo real para
aprender a utilizarlo y facilitar su programacin, con el fin de ejecutar tareas en
entornos acadmicos?
2.3 Justificacin
Para la solucin del problema es necesario estudiar de forma precisa las
herramientas y variables encontradas, partiendo de lo ms bsico como la
solucin de las ecuaciones que permitan describir el movimiento, para ser
estudiadas de manera matricial e interactuar con el computador siguiendo los
parmetros adecuados.
La programacin se puede considerar como una herramienta en la educacin que
brinda una cantidad de alternativas para simular los comportamientos de procesos
industriales de los seres humanos, siendo esto un prembulo al desarrollo de los
algoritmos necesarios para implementar estos requerimientos que son tiles para
estudios posteriores.
Adems de lo anterior, es interesante aclarar que la robtica se encuentra en una
gran etapa de desarrollo y las aplicaciones de estos software son muy grandes y
es por ello que se demuestra en este documento lo que la universidad de San
buenaventura pretende investigar para desarrollar cada da los procesos
industriales actualmente en nuestro pas.
16
3 MARCO DE REFERENCIA
El desarrollo de conceptos para robtica ha sido y seguir siendo uno de los
estudios principales del ser humano para desarrollar futuras y mejores
tecnologas. En donde se debe tener en cuenta un conjunto de leyes como
formulaciones matemticas impresas en los senderos positrnicos del cerebro de
los robots. Y que establecen lo siguiente:
Un robot no puede hacer dao a un ser humano o, por inaccin, permitir
que un ser humano sufra dao.
Un robot debe obedecer las rdenes dadas por los seres humanos, excepto
si estas rdenes entrasen en conflicto con la anterior ley.
Un robot debe proteger su propia existencia en la medida en que esta
proteccin no entre en conflicto con las anteriores dos leyes.
Las anteriores leyes se consideraron por Isaac Asimov en 1942. Cuando se
desarrolla una herramienta para programar y simular movimientos del manipulador
robtico Mitsubishi se utiliza un seguimiento de una trayectoria, es preciso
solucionar el problema cinemtico asociado al manipulador. Lo anterior implica el
clculos de las diferentes cinemticas que se toman en cuenta para permitir el
desarrollo apropiado del movimiento de las articulaciones y de la estructura
mecnica en el espacio, para permitir la representacin grfica del robot en el
espacio tridimensional, mientras ejecuta secuencialmente los movimientos
articulares requeridos, para seguir la trayectoria definida por el usuario.
El desarrollo de los clculos cinemticos se realizar a partir de diferentes
matrices de posicin relacionadas con una ubicacin en el espacio. Para ello se
estudian las variables fsicas del robot, teniendo en cuenta cada una de sus
caractersticas de arquitectura para evitar problemas en cuanto a la posicin..
La cinemtica directa se calcular a partir del desarrollo de la matriz de
transformacin homognea algortmica, que es representada en MATLAB
teniendo en cuenta el plano en el que se encuentra desarrollado todo el software.
Para la cinemtica inversa se utilizar el mtodo geomtrico. Este mtodo se ha
escogido por su eficiencia computacional, ya que requiere pocos clculos, y
las caractersticas del manipulador, que permiten su uso, como el reducido
nmero de articulaciones del manipulador, la limitacin de movimiento en la
tercera articulacin (de 0 a -110), que hace innecesario el uso de mtodos
ms complejos, como el Jacobiano.
17
Desde el punto de vista de la ingeniera, los robots son dispositivos complejos y
verstiles que contienen una estructura mecnica, un sistema sensorial, y un
sistema de control automtico. Fundamentos tericos de la robtica se basan en
los resultados de la investigacin en la mecnica, la electrnica, control
automtico, matemticas y ciencias de informtica. Para ello es importante tener
en cuenta definiciones reales para cada uno de los componentes de los robots y
lograr representar mediante medios aritmticos y matemticos las cinemticas del
brazo robot MITSUBISHI RV-M1.
3.1 Componentes y mecanismos de un sistema robtico.
Los manipuladores robticos estn compuestos cinemticamente de eslabones conectados por articulaciones formando as una cadena cinemtica. Un sistema robtico generalmente est compuesto del manipulador, la mueca, el efector final, actuadores, sensores, controladores, procesadores y software.
Es importante aclarar que los brazos de un Robot, a menudo son categorizados por sus grados de libertad (por lo general ms de seis grados de libertad). Este nmero generalmente se refiere al nmero de un solo eje de rotacin de las articulaciones en el brazo, donde un mayor nmero indica una mayor flexibilidad en posicionar una herramienta. Es decir que los grados de libertad se refieren al movimiento en un espacio tridimensional, es decir, la capacidad de moverse hacia delante/atrs, arriba/abajo, izquierda/derecha (traslacin en tres ejes perpendiculares), combinados con la rotacin sobre tres ejes perpendiculares.
De esta manera es importante conocer lo componentes que estn asociados con el estudio de los manipuladores y que se definen a continuacin:
3.1.1 Eslabn
Los cuerpos rgidos individuales que conforman un robot son llamados eslabones.
En la robtica ocasionalmente se usa el significado de brazo para denotar un
eslabn. Un brazo robot eslabn o brazo robot es un miembro rgido que puede
tener movimiento relativo con respecto a los otros eslabones. Desde el punto de
vista cinemtico,dos o ms miembros conectados entre s, de tal manera que no
exista movimiento relativo entre ellos, se consideran un solo eslabn. Ver figura
(8).
18
Figura 8 Mecanismo retorno de 5 eslabones
3.1.2 Articulacin
Dos lneas unidas por el contacto de una articulacin en su movimiento relativo, se
puede expresar por una sola coordenada. Las articulaciones suelen ser de
revolucin (rotatorio) o prismticas (lineal). En la figura (9) se representa estos dos
tipos de articulaciones. Una articulacin de revolucin (R), es como una bisagra
que permite la rotacin relativa entre dos eslabones. Una articulacin prismtica
(P), permite el movimiento relativo entre los dos eslabones.
La rotacin relativa de eslabones conectados por una articulacin de revolucin
ocurre sobre una lnea llamada eje de articulacin como se muestra en la figura
(9). De la misma manera sucede con el eslabn conectado a partir de una
articulacin prismtica ya que tambin tiene su eje de articulacin. El valor de la
nica coordenada que describe la posicin relativa de dos eslabones en una
articulacin, es denominada variable de articulacin
Las articulaciones activas son usualmente las prismticas y las de revolucin, sin
embargo, las articulaciones pasivas pueden ser cualquiera de los pares ms bajos
que proporcionan superficie de contacto. Hay seis diferentes tipos de de
articulaciones de par ms bajo; revolucin, prismtica, cilndrica, de tornillo,
esfrica y plana. Ver figura (10).
Figura 9 Articulaciones de revolucin y prismticas con sus respectivos ejes de articulacin.
19
Las articulaciones de revolucin y las prismticas son las ms comunes y
utilizadas en los manipuladores robticos en serie. Los otros tipos de
articulaciones son simplemente implementados para lograr la misma funcin o
proveer ms grados de libertad.
Figura 10 Tipos de Articulacin9
9 Extrado de http://www.monografias.com/trabajos16/estacion-robotica/estacion-robotica.shtml
20
3.1.3 Manipulador
El cuerpo principal de un robot est compuesto por eslabones, articulaciones, y
otros elementos estructurales, es denominado manipulador. Un manipulador llega
a ser un robot cuando la mueca y la pinza estn unidas, y el sistema de control
es implementado. Sin embargo, en literatura de robots y manipuladores se utilizan
de forma equivalente y ambos se refieren a robots.
Figura 11 Ejemplo de manipulador
3.1.4 La mueca
Las articulaciones en la cadena cinemtica de un robot entre el antebrazo y el
efector final, se conocen como la mueca. Esta es comnmente diseada para
manipuladores con mueca esfrica., por el cual tres ejes de la articulacin se
cruzan en un punto en comn llamado punto de mueca.
La mueca esfrica simplifica enormemente el anlisis cinemtico efectivo, lo que
permite separar el posicionamiento y la orientacin del efector final. Por tanto, el
manipulador tendr tres grados de libertad para posicin, dependiendo de las tres
articulaciones del brazo. Por lo anterior se infiere que se debe hacer el diseo de
la mueca teniendo en cuenta uno, dos o tres grados de libertad dependiendo de
la aplicacin que se requiera.
21
3.1.5 Actuadores
Los actuadores son los motores que en este caso funcionan como msculos del
robot, para cambiar su posicin. Los actuadores proporcionan energa para mover
la estructura mecnica venciendo la gravedad, inercia y otras fuerzas externas que
modifican la geometra de la ubicacin de la mano del robot. Los tipos de
actuadores pueden ser elctricos, hidrulicos o neumticos, y deben ser
controlables.
3.1.6 Sensores
Los elementos usados para detectar y recolectar informacin acerca de los
estados internos y ambientales son los sensores. Generalmente, la posicin de las
articulaciones, la velocidad, la aceleracin y la fuerza son las informaciones ms
importantes que son medidas. Los sensores se integran en el robot, envan
informacin acerca de cada eslabn, cada articulacin y cada unidad de control,
determinando de esta manera la configuracin del robot.
3.1.7 Controladores
Los controladores o unidades de control tienen tres reglas:
Informacin de las funciones, consiste en la recoleccin y el procesamiento
de la informacin entregada por los sensores.
Decisin de las funciones, el cual consiste en la planeacin del movimiento
geomtrico de la estructura mecnica.
Funciones de comunicacin, que consisten en la organizacin de la
informacin entre el robot y el medio ambiente. La unidad de control incluye
el procesador y el software.
22
3.2 Clasificacin de los Robots
La Asociacin Industrial de robtica Japonesa divide los robots en seis diferentes
clases:
Dispositivos de manipulacin manual: dispositivo de varios grados de
libertad que es manipulado por un operador.
Robot de secuencia fija: Dispositivo que lleva a cabo las etapas sucesivas
de una tarea, de acuerdo a un programa predeterminado y fijo.
Robot de secuencia variable: Dispositivo que lleva a cabo las etapas
sucesivas de una tarea, de acuerdo un predeterminado mtodo de
programacin.
Robot de reproduccin: Un operario lleva a cabo las tareas manualmente
guiando al robot, el cul archiva los movimientos para una reproduccin
futura. El robot repite los mismos movimientos de acuerdo a la informacin
recolectada.
Robot de control numrico: El operador suple al robot con un programa de
movimiento, ms que ensearle las tareas manualmente.
Robot inteligente: Un robot con la habilidad de entender el medio ambiente
y adems cuenta con la habilidad de completar tareas exitosamente, a
pesar de cambios bajo condiciones circundantes, las cuales pueden ser
realizadas.
Adems de esta clasificacin oficial, los robots tambin se clasifican de acuerdo a
otros aspectos tales como su campo de trabajo, su geometra, su control y su
aplicacin dependiendo del uso al que est destinado, a continuacin se
presentan algunas otras categoras
3.2.1 Por su geometra
Un robot se denomina un manipulador serial o de lazo abierto, si en su estructura
cinemtica no hace una cadena de bucle. Es denominado manipulador paralelo o
de lazo cerrado si en su estructura hace una cadena de bucle. Es llamado hibrido
si su estructura se compone de dos cadenas, lazo abierto y lazo cerrado.
Como un sistema mecnico, se puede pensar en un robot como un conjunto de
cuerpos rgidos conectados juntos en algunas articulaciones.
23
La mayora de los manipuladores industriales son de seis grados de libertad. Los
manipuladores de circuito abierto se pueden clasificar basndose en sus tres
primeras articulaciones empezando desde la articulacin a tierra. De los dos tipos
de articulaciones matemticamente hay 72 configuraciones diferentes de
manipuladores, simplemente porque cada articulacin pueda ser P o R, y los ejes
de las articulaciones pueden ser paralelos (||), ortogonales (), o perpendiculares
(). Dos ejes ortogonales de las articulaciones se cruzan en ngulo recto, sin
embargo, dos ejes perpendiculares de las articulaciones estn en ngulo recto con
respecto al eje normal u original. Dos ejes perpendiculares de las articulaciones
son paralelos si un eje se mueve 90 grados sobre el eje normal. Dos ejes
perpendiculares de las articulaciones son ortogonales si la medida de su eje
normal tiende a cero.
Fuera de las 72 configuraciones diferentes de manipuladores, las ms importantes
son: R||R||P (SCARA), RRR (Articulado), RRP (Esfrico), R || P P
(Cilndrico), y P P P (Cartesiano).
SCARA
El brazo SCARA (Robot selectivo y articulado compatible para el ensamble) es
un manipulador popular, el cual, como su nombre lo indica est diseado para
operaciones de ensamble.
Figura 12 Funcionamiento de robot SCARA
24
Articulado
La configuracin del brazo articulado, es llamado codo, de revolucin o
antropomrfico. Es una configuracin adecuada para robots industriales. Casi
el 25% de los robots industriales, PUMA por ejemplo, son hechos y diseados
de este tipo.
Figura 13 Robot Puma
Esfrico
La configuracin del robot esfrico es adecuada para pequeos robots. Casi el
15% de las industrias de robots, por ejemplo Brazo Stanford, son fabricados
con esta configuracin.
Mediante la sustitucin de la articulacin de la tercera parte de un manipulador
articulado por una articulacin prismtica, se obtiene el manipulador esfrico.
El nombre de esfrico, proviene del hecho de que las coordenadas esfricas
definen la posicin del efector final, respecto a su estructura base.
25
Figura 14 Funcionamiento robot esfrico
Cilndrico
Es una configuracin adecuada para robots con mediana carga de capacidad.
Casi el 45% de las industrias de robots fabrican de este tipo. La primera
articulacin del robot cilndrico es una articulacin por revolucin, y produce
una rotacin sobre su base, mientras la segunda y tercera articulacin, son
prismticas. Como su nombre lo indica, las variables de articulacin son
coordenadas cilndricas del efector final con respecto a la base.
Figura 15 Funcionamiento de un robot cilndrico
Cartesiano
La configuracin cartesiana est diseada o adecuada para robots de alta
carga de capacidad o robots largos en cuanto a dimensiones. Casi el 15% de
las industrias de robots utilizan esta configuracin.
Para un robot cartesiano, las variables de la articulacin son coordenadas
cartesianas del efector final con respecto a la base. Como es de esperar, la
26
descripcin cinemtica de este manipulador es la ms simple de todos los
manipuladores. Los manipuladores cartesianos son generalmente usados en
aplicaciones de ensamble en mesa, o transporte de carga.
Figura 16 Robot cartesiano
3.2.2 Por sus Actuadores
Los actuadores transforman el poder en movimiento. Los robots son generalmente
actuadores elctricos, neumticos o hidrulicos. Otro tipo de actuadores son los
que se consideran como piezoelctricos, magnetostriccin, aleacin con memoria
de forma y polimricos.
Los robots de actuadores elctricos son energizados por motores AC y DC y son
los ms considerados aceptables para los robots. Son fciles de limpiar,
silenciosos comparndolos con los actuadores neumticos e hidrulicos. Los
motores elctricos son eficientes a grandes velocidades por lo que una caja de
cambios de relacin alta es necesaria para reducir las altas revoluciones por
minuto.la facilidad de manipularlos y el auto frenado son ventajas de la caja de
cambios en caso de tener prdidas de potencia. Sin embargo, cuando se
necesitan altas velocidades o altas cargas, los conductores elctricos no son
capaces de competir con los actuadores hidrulicos.
Los actuadores hidrulicos son satisfactorios para bajas velocidades, alto torque,
altas potencias y masas proporcionales. Por tanto, los robots con actuadores de
este tipo son utilizados primordialmente para el levantamiento de cargas pesadas.
Entre los aspectos negativos de los actuadores hidrulicos, se encuentra el ruido
27
que produce, la tendencia a tener prdidas o fugas, incluyendo una bomba
necesaria u otro dispositivo para su correcto funcionamiento.
Los robots con actuadores neumticos son econmicos y simples, pero no se
pueden controlar de forma precisa. Junto a la precisin ms baja de movimiento,
ellos tienen casi las mismas ventajas y desventajas que tienen los robots con
actuadores hidrulicos.
3.2.3 Control
Los robots se pueden clasificar por el mtodo de control, robots con servo (control de
circuito cerrado) y robot sin servo (control de circuito abierto). Los robots servo
utilizan el control de circuito cerrado por computador, para determinar su
movimiento y por lo que son capaces de ser dispositivos realmente
multifuncionales reprogramables. Los Robots servo controlados son los ms
clasificados de acuerdo con el mtodo que el controlador utiliza para guiar el
efector final.
El manipulador ms simple de un robot servo es el manipulador punto a punto, el
cul puede ensear un discreto conjunto de puntos, llamados puntos de control,
pero no hay control en el camino de puntos del efector final. Por otra parte, en
robots de caminos de puntos continuos, el camino de puntos puede ser
controlado. Por ejemplo, el robot de efector final puede ensear a seguir una lnea
recta entre dos puntos o incluso a seguir un contorno como una lnea de unin de
soldadura. Adems de que la velocidad y o aceleracin del efector final puede ser
a menudo controlada. Estos son los robots ms avanzados y requieren los
computadores controladores ms sofisticados y software desarrollado.
Los robots sin servo son esencialmente dispositivos de circuito abierto cuyo
movimiento es limitado o predeterminado por topes mecnicos, y ellos son
utilizados para transferir materiales.
3.2.4 Por su aplicacin
Independiente de su tamao, los robots pueden ser clasificados principalmente de
acuerdo a su aplicacin en robots ensamblados y robots no ensamblados. Sin
embargo, en las industrias ellos son clasificados por las categoras tales como
robots de mquina de carga, de seleccin y lugar, soldadura, pintura, ensamble,
de inspeccin, manufactura, biomdicos, asistencia, mviles a control remoto y
tele robots.
28
De acuerdo a las caractersticas de diseo, la mayora de las industrias de brazos
robots tienen un hombro (primeras dos articulaciones), un codo (tercera
articulacin), y una mueca (las ltimas tres articulaciones). Por tanto, en total,
ellos usualmente tienen seis grados de libertad necesarios para poner un objeto
en una posicin y orientacin.
Los manipuladores seriales ms comercializados tienen solo articulaciones de
revolucin. Comparados con las articulaciones prismticas, las articulaciones de
revolucin cuestan menos y ofrecen amplia destreza por el espacio de trabajo ya
que es equivalente al volumen del robot.
Es importante tener en cuenta que los robots seriales son muy pesados
comparados con los de mxima carga, ya que se pueden mover sin perder
exactitud. Su carga til en relacin al peso es menor que 1/10, teniendo en cuenta
que criterios como la simplicidad de la posicin de cinemtica inversa, cinemtica
directa y la velocidad han sido siempre uno de los mayores criterios en la industria
de los manipuladores para ser utilizados dependiendo de las caractersticas de
aplicacin y es por ello que casi todos ellos tienen una estructura cinemtica
especial.
29
3.3 Movimiento cinemtico
El desarrollo de los movimientos de cualquier manipulador debe entenderse de
acuerdo a los pasos necesarios para ubicar en un sistema de coordenadas la
posicin de un cuerpo y representar el movimiento de unas coordenadas a otras
teniendo en cuenta la traslacin y rotacin en este mismo sistema. Conforme a lo
anterior, el sistema de coordenadas al que est sujeto un cuerpo rgido en el
espacio, est representado matricialmente como se explica a continuacin en este
captulo.
3.3.1 Movimiento de cuerpo rgido
Considerando un cuerpo rgido con un sistema de coordenadas locales adheridas a B (oxyz) movindose libremente en un marco o sistema global de coordenadas fijas G (OXYZ). El cuerpo rgido puede rotar en un sistema de coordenadas global, mientras el punto o del cuerpo marco B puede traducir en relacin al origen O de G como se muestra en la figura:
Figura 17 Movimiento de cuerpo rgido en un sistema de coordenadas
Si el vector indica la posicin del movimiento de origen o. en relacin con el
origen fijo O, entonces las coordenadas de un punto del cuerpo P en los marcos
locales y globales estn relacionados por la siguiente ecuacin:
Ecuacin 1
G G B G
p B pr R r d
30
Dnde:
Ecuacin 2
0 0 0
TG
p p p p
TB
p p p p
TG
r X Y Z
r x y z
d X Y Z
El vector llamadoel desplazamiento o translacin de B con respecto a G, y
es la matriz de rotacin al mapa a cuando es igual a cero. Cada una de
las combinaciones de la rotacin y translacin en la anterior ecuacin es llamada
movimiento rgido. En otras palabras, la ubicacin del cuerpo rgido puede estar
descrita por la posicin del origen o y la orientacin del cuerpo marco, con
respecto al marco global. La descomposicin del movimiento rgido en una
rotacin y una translacin es el mtodo ms simple para representar es
desplazamiento espacial. Se muestra la translacin por medio de u vector.
3.3.2 Transformacin homognea
Como se muestra en la figura 18 un punto arbitrario P de un cuerpo rgido, est
unido a un marco local B y est denotado por y en sistemas diferentes. El
vector indica la posicin de origen o del cuerpo marco en el sistema de
coordenadas global. Por tanto, un movimiento general del cuerpo rgido B (oxyz)
en el marco global G (OXYZ) es una combinacin de rotacin y translacin .
Ecuacin 3
G G B G
Br R r d
31
Figura 18 Rotacin y translacin de un punto arbitrario B
Usando la matriz de rotacin ms un vector nos lleva a la utilizacin de las
coordenadas homogneas. Introduciendo una matriz de transformacin
homognea denominada , ayuda a a la explicacin del movimiento rgido por
una simple matriz de transformacin.
Ecuacin 4
G G B
Br T r
Dnde,
Ecuacin 5
11 12 13 0
21 22 23 0
31 32 33 0
0 0 0 1
G
B
r r r X
r r r YT
r r r Z
0 1
G G
G B
B
R dT
32
Y
1
p
pG
p
X
Yr
Z
1
p
pB
p
x
yr
z
0
0
0
1
G
X
Yd
Z
Las anteriores ecuaciones, en pocas palabras indican la posicin del punto P representado mediante vectores de cada sistema de coordenadas G y B respectivamente. Por esta razn, cada uno de los valores de los vectores G y B son las posiciones con respecto a su sistema de coordenadas, y son multiplicados entre s vectorialmente con el sistema de coordenadas global para obtener una coordenada final. Ver figura (20).
En conclusin, la matriz de transformacin homognea es una matriz 4 x 4 que transforma un vector de posicin expresado en coordenadas homogneas desde un sistema de coordenadas a otro. Para asimilar ms fcilmente la representacin se denota con T, donde T es la matriz de transformacin:
[
] [
]
33
Figura 19 Ejemplo de Matrices de transformacin y rotacin
Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformacin homognea producen escalado local y global.
3.3.3 Transformacin Homognea Inversa
Una matriz ortogonal es una matriz cuya inversa coincide con su matriz traspuesta. Geomtricamente hablando, las matrices ortogonales representan transformaciones isomtricas en espacios vectoriales reales, llamadas justamente transformaciones ortogonales.
La ventaja del trabajo simple con las matrices de transformacin homognea es que ellas pierden por defecto la propiedad de ortogonalidad. Si se muestra como se muestra en la ecuacin 6,
Ecuacin 6
0
0 1 0 1
G G
G B
B
I d RT
0 1
G G
G B
B
R dT
Entonces,
1B G
G BT T
34
0 1
G G
B B
G
R dT
0 1
G G T G
B B B
G
R R dT
Ecuacin 7
1
4
G G
B BT T I
Lo que demuestra que una matriz de transformacin no es ortogonal si su inversa no es igual a la transpuesta
Ecuacin 8
1G G T
B BT R
Figura 20 Rotacin y translacin de un cuerpo en un sistema de coordenadas B con respecto al sistema G
35
3.4 Cinemtica Directa
3.4.1 Notacin Denavit-Hartenberg
Un robot o manipulador en serie con n articulaciones tendr n+1 eslabones. Numerando los eslabones desde el inicio empezando desde cero con el eslabn base que va a tierra e incrementndolo hasta el eslabn efector final. Del mismo modo sucede con las articulaciones,numerndose desde uno, iniciando desde la unin del eslabn base a el primer eslabn de movimiento, e incrementando secuencialmente hasta n. Por tal razn, el eslabn (i) est conectado a su eslabn inferior (i-1)en su extremo proximal por la articulacin i y est conectado a su eslabn superior (i+1) en su extremo distal de las articulaciones (i+1), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 21 Notacin Denavit-Hartenberg parmetros cinemticos
En la siguiente figura se muestra los eslabones (i-1), (i) y (i+1) de un robot serie a lo largo de las articulaciones i-1, i, i+1.Todas las articulaciones estn indicadas por su eje, el cual puede ser rotacional o de translacin. Para relacionar la informacin cinemtica de los componentes del robot, se analiza estticamente un sistema de coordenadas locales para cada eslabn (i) en la articulacin i+1usando un mtodo estndar, conocido como el Mtodo de Denavit-Hartenberg.
36
De esta manera se procede a desarrollar el mtodo, desarrollando los secuencialmente los siguientes pasos:
Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabn mvil dela cadena) y acabando con n (ltimo eslabn mvil). Se numerara como eslabn 0 a la base fija del robot.
Numerar cada articulacin comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).
Localizar el eje de cada articulacin, si es rotativa, el eje ser su propio eje de giro. Si es prismtica, ser el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento como se explic en la figura (9).
Para i de 0 hastan-1, situar el eje , sobre el eje de la articulacin i+1tal y como se muestra en la figura (22).
Situar el origen del sistema de la base O en cualquier punto del eje . Los ejes y se situaran d modo que formen un sistema dextrgiro con . Observe en la figura (22) que en el sistema de coordenadas el origen esta situado en la parte inferior del eslabn y la articulacin i+1.
Figura 22 Articulaciones (i-1) , (i) y (i+1) en dos sistemas de coordenadas
Para i de 1 a n-1, situar el sistema (O) (solidario al eslabn i) en la
interseccin del eje con la lnea normal comn a y . Si ambos ejes
37
se cortasen se situara (O) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (O) se situara en la articulacini+1.
Situar en la lnea normal comn a y , tal y como se muestra en la figura (23)10, adems situar de modo que forme un sistema dextrgiro con y .
Situar el sistema (O) en el extremo del robot de modo que coincida con la direccin de y sea normal a y
.
Figura 23 Ubicacin del parmetro Xi en el mecanismo
Para las aplicaciones del mtodo de Denavit-Hartenberg, el origen del sistema ( ), unidos al link ( ), se coloca en la intercepcin de i+
ejes
de articulacin comunes normales entre los ejes y
Un marco de coordenadas de Denavit-Hartenberg11 es identificado por cuatro
parmetros: y .
Eslabn de longitud es la distancia entre los ejes y a lo largo del eje , es la longitud cinemtica del eslabn (i).
Eslabn de giro es la rotacin del eje alrededor del eje para llegar a ser paralelo al eje
10
http://www.cs.cmu.edu/~rapidproto/mechanisms/chpt4.html 11
Fuente: Theory of Applied Robotics, Reza N. Jazar
38
Distancia de articulacin es la distancia entre los ejes y a lo largo del eje . La distancia de articulacin es tambin llamada eslabn de compensacin.
ngulo de articulacin es la rotacin requerida por el eje alrededor del eje para que sea paralelo al eje .
Los parmetros y son llamados parmetros de articulacin, puesto que definen la posicin relativa de dos eslabones adyacentes conectados en la articulacin i. En un robot de diseo dado, cada articulacin es de revolucin o prismtica. Por lo
tanto, por cada articulacin, est ser siempre para el caso que o es uno fijo y el otro variable. Para una articulacin de revolucin (R) en la articulacin i, el
valor de es fijo, mientras que es la nica articulacin variable. Para articulaciones prismticas (P), el valor de es fijo y es la nica articulacin variable. La variables parmetros o son tambin denominadas variables de articulacin. Los parmetros de articulacin o definen el movimiento de tornillo porque es una rotacin alrededor del eje , y es una translacin a lo largo del eje .
Los parmetros y son denominados parmetros de eslabn, porque ellos definen las posiciones relativas de las articulaciones i y i+1 en dos extremos del
eslabn (i). El eslabn de giro es el ngulo de rotacin del eje alrededor de para llegar a ser paralelo al eje .El otro parmetro de eslabn, es la translacin a lo largo del eje para llevar al eje al eje . Los parmetros de eslabn y definen un movimiento de tornillo porque es una rotacin alrededor del eje , y es una translacin a lo largo del eje .
3.4.2 Transformacin de coordenadas entre dos marcos adyacentes
El sistema de coordenadas est fijo al eslabn (i) y el sistema de coordenadas esta fijo al eslabn (i-1). Basndose en la convencin del mtodo de Denavit-
Hartenberg, la matriz de transformacin 1i
iT
para transformar el sistema de
coordenadas iB a 1iB es representado como un producto de cuatro
transformaciones bsicas usando el parmetro de eslabn (i) y la articulacin i. que est definido de acuerdo a la nomenclatura expuesta en la seccin anterior de este captulo.
Ecuacin 9
1 1 1 1
1
, , , ,, , ,i i i i i i i ii
i z d z x a xT D R D R
39
1
cos sin cos sin sin cos
sin cos cos cos sin sin
0 sin cos
0 0 0 1
i i i i i i i
i i i i i i ii
i
i i i
a
aT
d
Donde,
Ecuacin 10
1 ,
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
i i
i i
x
i i
R
Ecuacin 11
1 ,
1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
i i
i
x a
a
D
Ecuacin 12
1 ,
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
i i
i i
i i
zR
Ecuacin 13
1 ,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0 0 0 1
i iz d
i
Dd
Por tanto, la ecuacin de transformacin desde el sistema de coordenadas
( , , )i i i iB x y z , a su sistema de coordenadas anterior 1 1 1 1( , , )i i i iB x y z , es
40
1
1 1
1
1 1
i i
i ii
i
i i
x x
y yT
z z
Donde,
1
cos sin cos sin sin cos
sin cos cos cos sin sin
0 sin cos
0 0 0 1
i i i i i i i
i i i i i i ii
i
i i i
a
aT
d
Esta matriz de 4x4 puede ser particionada en dos submatrices, las cuales representan una nica rotacin combinada con una nica traslacin para producir
el mismo movimiento rgido requerido para mover desde iB hasta 1iB .
Ecuacin 14
1 1
1
0 1
i i
i i i
i
R dT
Donde,
1
cos sin cos sin sin
sin cos cos cos sin
0 sin cos
i i i i i
i
i i i i i i
i i
R
Y
1
cos
sin
i i
i
i i i
i
a
d a
d
41
La matriz de transformacin inversa homognea es:
1 1
1
i i
i iT T
1
cos sin 0
sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin cos cos
0 0 0 1
i i i
i i i i i i ii
i
i i i i i i i
a
dT
d
3.4.3 Posicin cinemtica directa de los robots
La cinemtica directa y la cinemtica inversa es la transformacin de la informacin cinemtica desde la variable de articulacin del robot en el espacio hasta la coordenada final en el espacio del sistema de coordenadas final. En otras palabras, es la informacin de la articulacin en un sistema de coordenadas local hasta el sistema de coordenadas global en el que se presentan los resultados de las coordenadas finales. Luego el problema de encontrar la posicin y la orientacin del efector final, para un determinado conjunto de variables de articulacin, es el problema de la cinemtica directa ya que necesitamos conocer la posicin final del efector si se ingresan los datos de los ngulos de cada articulacin. Este problema se puede resolver determinando las matrices de
transformacin 0 iT para describir la informacin cinemtica del eslabn (i) en el
eslabn base o tierra del sistema de coordenadas. La forma tradicional de generar las ecuaciones de cinemtica directa de un robot manipulador es proceder a utilizar la notacin de Denavit-Hartenberg y los sistemas de coordenadas de cada eslabn uno por uno. Por tanto, la cinemtica directa es la manipulacin de la matriz de transformacin explicada en la seccin anterior.
Para robots de seis grados de libertad, se requieren seis matrices de la notacin Denavit-Hartenberg, una por cada eslabn, y son requeridas para transformar las coordenadas finales de las coordenadas base. En el caso del Robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 son slo cinco matrices de transformacin debido a sus grados de libertad, dndeel ltimo sistema de dichas matrices est unido a la estructura final de coordenadas que generalmente se fijan en el centro de la pinza.
42
Figura 24 Posicin del sistema final en base al sistema base
La informacin cinemtica para el manipulador incluye: posicin, velocidad, aceleracin y arranque. Sin embargo, la cinemtica directa se entiende como el anlisis de la posicin, luego la cinemtica directa es equivalente a determinar la matriz de transformacin combinada,
Ecuacin 15
0 0 1 2 3 1
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )..... ( )n
n n nT T q T q T q T q T q
para encontrar las coordenadas de un punto P en el sistema de coordenadas base cuando estas coordenadas estn dadas en el sistema final.
0 0 n
p n pr T r
43
3.5 Cinemtica Inversa
3.5.1 Tcnica de Desacoplamiento
La bsqueda de las variables de articulacin en trminos de la posicin y la orientacin del efector final es llamada cinemtica inversa. Matemticamente, la cinemtica inversa es la bsqueda de los elementos del vector qcuando una
transformacin est dada como una funcin de variables de articulacin 1 2 3, , ,...q q q
0 0 1 2 3 1
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )..... ( )n
n n nT T q T q T q T q T q
Los robots controlados por computador son usualmente movidos en el espacio de la variable de articulacin, sin embargo, los objetos para ser manipulados son expresados en el sistema de coordenadas global. Por tanto, llevar la informacin cinemtica, de ida y de vuelta, entre el espacio de articulacin y el espacio cartesiano que se convierte en una necesidad de las aplicaciones del robot. Para controlar la configuracin del efector final para alcanzar un objeto, la solucin de cinemtica inversa debe ser resuelta. Por tanto, se necesita conocer cules son los valores requeridos de las variables de articulacin, para alcanzar un punto y una orientacin deseada.
El resultado de cinemtica directa de un robot con seis grados de libertad es una matriz de transformacin de 4x4.
Ecuacin 16
0 0 1 2 3 4 5
6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T
11 12 13 14
21 22 23 240
6
31 32 33 34
0 0 0 1
r r r r
r r r rT
r r r r
Donde 12 elementos son funciones trigonomtricas de seis variables de articulacin desconocidas. Sin embargo, desde la submatriz superior de 3x3, es una matriz de rotacin, slo tres elementos de ellos son independientes. Esto es porque la condicin de ortogonalidad. Por tanto seis de las doce ecuaciones son independientes.
44
Las funciones trigonomtricas inherentemente proveen varias soluciones. Por consiguiente, de las mltiples configuraciones del robot se espera que las seis ecuaciones se resuelvan para las variables desconocidas.
Esto es posible para desacoplar el problema de cinemtica inversa en dos subproblemas, conocida como posicin de cinemtica inversa y orientacin de cinemtica inversa. La consecuencia prctica de cada uno de los desacoplamientos es la asignacin para romper el problema en dos problemas independientes, cada uno con tres parmetros desconocidos. Siguiendo el desacoplamiento principal, la transformacin de la matriz global de un robot puede ser descompuesta a la translacin y a la rotacin.
Ecuacin 17
0 0 0
6 6 6
0 0
0 6 6
6
0 0
0 6 6
6
0
0 1 0 1
0 1
T D R
I d RT
R dT
La matriz de translacin 0
6D puede ser resuelta mediante las variables de posicin
de la mueca, y la matriz de rotacin de 0
6R puede ser resuelta mediante las variables de orientacin.
3.5.2 Tcnica de transformacin inversa
Asumiendo que se tiene la matriz de transformacin 0 6T indicando la posicin y la
orientacin global del efector final de un robot de seis grados de libertad con un
sistema de coordenadas base 0B . Adems, se asume que la geometra y las
matrices de transformacin 0 1 2 3 4 5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )T q T q T q T q T q T q estn dadas
en funcin de las variables de articulacin.
De acuerdo con la cinemtica directa,
0 0 1 2 3 4 5
6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T
45
11 12 13 14
21 22 23 240
6
31 32 33 34
0 0 0 1
r r r r
r r r rT
r r r r
Se puede resolver el problema de cinemtica inversa, mediante la resolucin de las siguientes ecuaciones de las variables de articulacin desconocidas:
1 0 1 0
6 1 6
2 1 1 0 1 0
6 2 1 6
3 2 1 1 1 0 1 0
6 3 2 1 6
4 3 1 2 1 1 1 0 1 0
6 4 3 2 1 6
5 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1 0
6 5 4 3 2 1 6
5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1 0
6 5 4 3 2 1 6
T T T
T T T T
T T T T T
T T T T T T
T T T T T T T
I T T T T T T T
3.5.3 Tcnica iterativa
El problema de la cinemtica inversa puede ser interpretado como la bsqueda de
la solucin kq como el conjunto de las ecuaciones algebraicas no lineales.
0
0 0 1 2 3 1
1 1 2 2 3 3 4 4
11 12 13 14
21 22 23 240
31 32 33 34
( )
( ) ( ) ( ) ( )..... ( )
0 0 0 1
n
n
n n n
n
T T q
T T q T q T q T q T q
r r r r
r r r rT
r r r r
46
O
( )
1,2,3,4,... .
ij ij kr r q
k n
Donde n es el nmero de los grados de libertad. Sin embargo, mximo n=6 de las
doce ecuaciones de 0 nT son independientes y pueden ser utilizadas para resolver
las variables de articulacin kq . Las funciones T(q) son trascendentales, que se
dan de forma explcita basadas en el anlisis de cinemtica directa.
Numerosos mtodos son aceptados para encontrar el nmero de ceros de la anterior ecuacin, sin embargo, los mtodos son en general iterativos. El mtodo ms comn es conocido como el mtodo de Newton Raphson.
En el mtodo iterativo, para resolver la ecuacin cinemtica
Ecuacin 18
( ) 0T q
Para variables q, se empieza con valores iniciales
Ecuacin 19
*q q q
Para variables de articulacin. Usando la cinemtica directa, se puede determinar la configuracin del sistema del efector final y encontrar la variable de articulacin.
Ecuacin 20
* *( )T T q
La diferencia entre la configuracin calculada con la cinemtica directa y el valor deseados representa un error, y es llamado residuo, el cul puede ser minimizado.
Ecuacin 21
*T T T
47
Un primer orden de la expansin de Taylor12 de un set de ecuaciones es
Ecuacin 22
*
* 2
( )
( ) ( )
T T q q
TT T q q O q
q
Asumiendo que q I permite trabajar con un conjunto de ecuaciones lineales
Ecuacin 23
T J q
Donde J es la matriz Jacobiana del conjunto de ecuaciones
Ecuacin 24
( ) i
j
TJ q
q
Lo que implica
1q J T
Por lo tanto las variables desconocidas de q son:
* 1q q J T
Se deben utilizar los valores de la anterior ecuacin como una nueva aproximacin para repetir los clculos y encontrar los nuevos val