8/10/2019 Chap.07 Echantillonnage Et Reconstruction Des Signaux Analogiques
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Filtre Q N
AP
x(t)xa(t) xe(t) yq(t) y(t)y[n]x[n]Filtre
Te CAN
Te
P
Temps
continu discret
Amplitude
continue
discrte
t
x(t)
Signal analogique
(a)
t
xe(t=nTe)
Signal chantillonn
(b)
n
xq[n]
Signal numrique
(c)
t
xq(t)
Signal numrique maintenu
(d)
A
N
N
A
Te
Te
Q
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x(t)
xe(t= nTe)
Te
xq[n]
xq(t)
Te = 0.5 [msec]
x(t) =U0exp(t/) (t) U0= 1 [V] = 1 [ms]
x(t)
xq[n]
xe[n] xq[n] q[n]
0 5.12 [V]
28 = 256
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xe[n] xq[n]
q[n] q[n]
0
0.02
0.04
0.06
5.12
5.10
5.08
5.
11
0.
05
0.
03
0.
01
0
1
2
3
256
255
254
x
[V]
xqq
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 103
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
temps sec
(b)
x(t)
x(t)
Te(t) Te
xe(t)
xe(t) =x(t) Te(t)
x(t)
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t
x(t)
xe(t) = x(t) .Te(t)
t
Te(t)
t
Te
1
t
x(t)
Te
A
B
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Te
x(t)
Te(t)
X(jf)
x(t)
D(jf)
xe(t) =x(t) Te(t) Xe(jf) =X(jf) D(jf)
Te(t)
t
Te
1
0
D(jf) = fe(f)
f
fe
1/Te
0
Te
1
Te(t) Te
fe(f)
fe= 1/Te
1/Te
Te(t)
Te(t) =+
k=
D(jk) exp (+j2 kfet) avec fe= 1
Te
D(jk)
Te(t)
D(jk) 1Te
+Te/2Te/2
(t) exp (j2 kfet) dt= 1Te
0+0
(t) 1 dt= 1Te
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D(jf) = 1
Tefe(f)
X(jf)
D(jf)
fe
X(jf)
fe
Xe(jf) =X(jf) D(jf) = 1Te
+m=
X(j(fm fe))
X(jf)
fe
t
x(t)
xe(t)
tTe
f
X(f)
f
Xe(f)
+fe-fe
x(t)
f0 = 3 [kH z] fe= 8 [kH z]
x(nTe)
x(t)
m fef0 = 3,5,11,13,19,
fe/2 = 4 [kH z]
f0 = 3 [kH z]
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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1
0.5
0
0.5
1
temps [ms]
x(t),x(nT
e)
15 10 5 0 5 10 15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
fe
+fe
frquence [kHz]
|Xe
(jf)|
fe>2 f0
fe
x(t)
fe/2
fN=fe/2
fe/2
fapp= m fe f0, m = 0
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xe(t)
tTe
t
x(t)
xe(t)
tTe
f
X(f)
f
Xe(f)
+fe-fe
xe(t)
tTe
Xe,k(f)
-fe
f
Xe(f) = Xe,k(f)
+fe-fe
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
0.5
0
0.5
1
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0 2k 4k = fe/2
6k
10k
14k
fe= 8k
16k
12k
-2k-4k
-8k
-16k
-6k
4 8 f
[kHz]
fe/2-fe -fe/2 fe
X(f)
62-2-6
fe/2< f
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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1
0.5
0
0.5
1
temps [ms]
x(t),x(nT
e)
15 10 5 0 5 10 15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
fe
+fe
frquence [kHz]
|Xe
(jf)|
fapp =|f0 fe| = 3 [kH z]
fN = fe/2 = 4 [kH z]
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+m fe f0 5 m fe f0 5
fe/2 =
4 [kH z]
fapp= 3 [kH z]
T0 = 1 [ms]
f0 =1 [kH z]
fe= 12.8 [kH z]
fe = 12.8 [kH z] f0 = 1 [kH z]
fapp= m fe k f0
m= 1
fapp=
12.8
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,
)
m= 1, k= 1,
fN=fe/2 = 6.4 [kH z]
T0 = 1 [ms] t= 0.2 [ms]
fe= 16 [kH z]
f0= 1 [kH z] 1/t= 5 [kH z]
fe
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2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
x
(t),xe
(t)
20 15 10 5 0 5 10 15 20
0
0.1
0.2
X(jf)
20 15 10 5 0 5 10 15 20
0
0.1
0.2
0.3
X(j(f
kfe))
20 15 10 5 0 5 10 15 20
0
0.1
0.2
0.3
+fe/2f
e/2
X
e(jf)
t, f
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A = 10 V
= 0.2 msec
Te= /2 = 0.1 msec
f = 0
f=fc
x(t) =A exp(t/) (t)
X(jf) =A
1 +j2 f
xe(t)
Xe(jf) = 1
Te
+k=
X(j(f k fe))
= 1
Te
+k=
A
1 +j2 (f k fe)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 103
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps [sec]
x(t)x[n]
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
x 104
frquence [kHz]
X(f)X
e(f)
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Xe(jf)
Te = /2
fc= 796 [Hz]
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20/44
fe>2 fmax
Te 2n1
1 +
fc fe
fc
2m>
2n12
fc fe
fc
2m
>
2n12
fc fe
fc
m> 2n1
fe > fc
1 +
2n11/m
m
n
fe/fc
n
1
2
fe/fc
12
fe (3 5) fc
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31/44
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
temps
amplitude
x(t)
g(t) =sin( fe t)
( fe t)
t= n Te
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x[n]
xa(t) =+
n=x[n] sin( fe (t n Te))
( fe (t
n Te))
3 2 1 0 1 2 30.5
0
0.5
1
Interpolateur idal
3 2 1 0 1 2 30.5
0
0.5
1
3 2 1 0 1 2 30.5
0
0.5
1
temps [Te]
x[n]
x[n]
h(t)
Te
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33/44
0 50 100 150 200 250 3000.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Interpolateur dordre zro
0 50 100 150 200 250 3000.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Interpolateur idal
temps
h(t) =
1 si 0
t < Te
0 sinon
H(jf)
h(t)
H(jf) =Tesin( f Te)
( f Te) exp(j f Te)
fe/2
xs(t)
fe/2
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34/44
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(t)
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps [Te]
h(t)
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
frquence [fe]
module
Te x
CNAidal
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
0.5
1
phase/
frquence [fe]
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Systme
numrique
x[n] y[n]x(t) NA
AN
ys(t)FAR FLx0(t) y(t)
x0(t)
Xe(f)
X0(f)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal x0(t)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
temps [Te]
Signal x[n]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Spectre de x0(t)
X0(f)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
frquence [fe]
Spectre de x[n]
X
e
(f)
x(t)
Xe(f)
8/10/2019 Chap.07 Echantillonnage Et Reconstruction Des Signaux Analogiques
36/44
fc X0(f)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal filtr x(t)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
temps [Te]
Signal x[n]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Spectres
FAR
X0(f)X(f)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
frquence [fe]
Spectre Xe(f)
X0(f)
y[n]
Ys(f) = Y(f) B(f)
y[n]
ys(t)
fe/2
1/B(f)
f
fe/2
8/10/2019 Chap.07 Echantillonnage Et Reconstruction Des Signaux Analogiques
37/44
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal y[n]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Spectre de y[n]
Y(f)
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Bloqueur
temps [Te]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
frquence [fe]
Spectre du bloqueur
B(f)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal ys(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Ys(f) = Y(f) B(f)
0 10 20 30 400.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
temps [Te]
Signal y(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
frquence [fe]
Spectres
FL
X(f)Y(f)
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Y(f) X(f)
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39/44
fe= 16 [kH z]
f
20 15 10 5 0 5 10 15 20
0
0.05
0.1
f [kHz]
X(jf)[V/H
z]
xa(t) = cos(2 1000 t)
T0 f0
xa(t) Xa(jf)
xa(t) Te =T0/4
Xe(jf) x[n] Xe(jf)
Te = 3 T /4
Te=T0/2
A = 10 [V]
T0 = 1 [msec]
t= T0/4 Te=T0/20
x(t)
xe(t)
X(jf)
Xe(jf)
X(jf)
X
e(jf)
f= 3 [kH z]
Xe(+j3) =X(+j3) + X(j17) + X(+j23) +
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40/44
A= 5 [V]
T0 = 1 [msec] fe= 8 [kH z]
x(t)
xe(t)
X(jk) = (1)k+1 A/(jk), k= 0
X(jf)
Xe(jf)
X(jf)
Xe(jf) f= 1 [kH z]
xa(t) = 2 cos(100 t) + 5 sin
250 t +
6
4 cos(380 t) + 16 sin
600 t +
4
fe
fe = 3 fe,min
xe(t)
xa(t) = cos(2 240 t) + 3 cos
2 540 t +6
fN=fe/2
fapp
x(n)
fc=fe/2 ya(t)
T0= 1 [ms]
A = 1 [V]
fe = 9.8 [kH z]
8/10/2019 Chap.07 Echantillonnage Et Reconstruction Des Signaux Analogiques
41/44
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0.5
0
0.5
1
Signal chantillonn xe(t)
temps [ms]
x(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 540
30
20
10
0Spectre thorique (o) et spectre d au repliement spectral ()
frquence [kHz]
|X(jf)|[dB]
f0 = 1
fN
x(t) =eat
(t)
fe
Xe(jf) = 1
a +j2f +
+k=1
2 (a +j2f)
(a +j2f)2 + (2 kfe)2
y(n) =19
m=0h(m) x(n m)
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42/44
1
2
1
2
x(t) = 4 cos(2 300 t) 2 cos(2 900 t) [V]
1
2
104
x(t)
A=
f0= 8
f fc
Ar f=fc
1
2
fc
f=f
c
fe= 13.7 fc
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43/44
x(t)
A = 1 0 [
]
f =
1 [
]
1 [
]
10 [
]
x(t), xe[n], xq(t)
e(t)
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