Proposta:
Estrrutura paara os MMateriais didáticoos impresssos
CEJAA – Ciênccias da NNaturezaa
F
Iní
Mi
Fecha
Ane
ício
olo
mento
exos
• Títu• Elem• Para
• Seçõespecinstru
• SeçAindo
• O qMeg
ulomentos de oa início de c
ões para descíficos de coucionais (bo
ção de fechda + Bibliog
ue perguntgamente
Fundaçã
organizaçãoconversa...
senvolvimenonteúdo + reoxes, image
amento da grafia + Res
tam por aí?
Desenvolvim
ão CECIERJ /
o prévia (ob(Seção inic
ntos dos tópespectivos ens, atividad
aula + Resuspostas das
+ Caia na r
mento Instru
Consórcio C
bjetivos)ial)
picos elementos des)
umo + VejaAtividades
s
rede +
cional
EDERJ
Desen Funda
SEJ
Disc
Prof
Para
Verecont
Umanúm
Font
Em jcontform
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
A profissi
ciplina: Ma
fessor: Ra
a início de
emos a partagem.
a possibilidmero de pos
te: http://ww
jogos de ctarmos as
mações de
strucional
/ Consórcio CE
ional – No
atemática
aphael Alc
e conversa
rtir de exem
dade é usassibilidade
ww.spolti.c
artas podepossibilidasequência
EDERJ
ome da áre
caires
a...
mplos prát
armos o pris de um re
com.br/sof
emos usar ades de retas de carta
| 2
ea: Matem
ticos como
ncípio mulesultado em
ftgol/image
permutaçõtiradas de s.
mática e suuas Tecnoologias
dos de o utilizar algguns méto
ltiplicativo m um dete
para contaerminado jo
armos o ogo.
es/softgol_montando007.gif
ões e comdeterminad
binações pdas cartas
para s ou de
Desen Funda
Fontcont
N.D:
Obje
•
Seçã
Em o PrPrinc
Fonte
Comdevereali
Nessa poTemdecis
Vamcontpercprinc
Exemturmproferepresuplformposs
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
te: http://wwtent/upload
: Ilustraçã
etivos de a
Identificpermuta
ão 1: Com
nossa primrincípio Fucípio?
e: http://www
mo você semos mulzadas.
sa aula voostura que mos sempr
sões em c
mos mostratagem em cebemos ncípio funda
mplo 1: Oma da escessores desentante ente. Eles
ma aleatórsíveis p
strucional
/ Consórcio CE
ww.warlissds/2012/05
ão, favor fa
aprendiza
car e resoação com r
mbinação e
meira aula ndamental
w.sxc.hu/phot
sabe o Pritiplicar os
oltaremos adevemos te que nos
cada tarefa
ar alguns exemplos
nestes exeamental da
Os alunos cola ABC de sua tu
da turma resolvem
ia. Quantapara esc
EDERJ
son.com.br5/permutac
azer desen
agem
lver problerepetição.
e Arranjo
de introdul da Conta
to/1094969
incípio Mus números
a discutir stomar paras colocar a.
exemplos práticos.
emplos qua contagem
de uma dprecisam rma, um e o outrotomar esta
as possibcolher e
| 3
r/wp-coes.png
nhos baseeados nass figuras a
emas que
ução da Aagem. Você
ultiplicativos de pos
sobre o pria resolver no lugar d
de comoAlém de m
ue a basem.
determinadeleger dopara ser
o para sera decisão ilidades sestes d
envolvam
nálise Comê lembra o
o nos diz ssibilidades
ncípio funexercíciosda pessoa
o podemosmostrar poe para as
da ois
o r deo
são
o is
m arranjo,
mbinatória o que diz e
que semps das tar
damental d de análise
a que tem
s aplicar aossíveis err
técnicas
acima.
combinaç
conhecemesse
pre refas a se
da contagee combinat
que toma
as técnicaros. É posutilizadas
ção e
mos
erem
em e tória. ar as
as de ssível
é o
Desen Funda
profe
Fonte
Reso
Parados taref
TAR(pod
TARescorepre
Tem
1TARE
Pelo
Logo
TARposs
TARpossesco
Pelo
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
essores, sa
e: http://www
olução:
a resolvermalunos q
fas a cump
REFA 1: dde escolher
REFA 2: dolher qualqesentante)
mos então
11TARE
12
1 EFA
o Princípio
o são 132
Nescolhe
REFA 1: essibilidades
REFA 2: essibilidades olhidos)
o Princípio
strucional
/ Consórcio CE
abendo qu
w.sxc.hu/phot
mos esta que irão eprir.
decidir quar qualquer
ecidir quaquer um do)
12 FA
Multiplicat
possibilida
Fo
Resol
ovamente er os aluno
scolher o p(pode esc
scolher o s(pode esc
Multiplicat
EDERJ
ue esta turm
to/1171500
questão o scolher es
al professoum dos 12
al professoos 11 resta
tivo, temos
ades de es
Exealun
estãoturma t
poderá fa
onte: http://w
ução:
temos queos. Temos
primeiro acolh ualer q
segundo acolher qua
tivo temos
| 4
ma possui
primeiro pstes profe
or será o2 professo
or será o antes, já qu
s: 12 11 = 1
scolhas de
emplo 2: Onos de suo na bibliotem 15 aluazer esta e
www.sxc.hu/p
e nos colocassim 2 ta
luno que vquer um d
aluno que vlquer um d
15 14 = 21
12 docent
asso é noessores. O
represenores)
suplente: ue 1 profe
132 possib
1 represen
O professora turma p
oteca da eunos, de
escolha?
photo/14087
car na posarefas a rea
vai à biblioos alunos)
vai à bibliodos 14 alun
10 possibil
tes?
s colocarmOs discent
ntante: 12
11 possibssor já foi
bilidades.
ntante e 1
r Euler prepara pegarscola. Sabquantas m
66
sição do pralizar.
oteca pega)
oteca peganos que ai
lidades.
mos na poses terão
s
possibilid
bilidades (
suplente.
cisa escol
escolhido
ição
ades
pode
duas
para
hr os livros
her 2
bendo quemaneiras E
s que e sua Euler
rofessor quue irá
ar os livross: 15
ar os livrosinda não fo
s: 14 oram
Desen Funda
eOpensque verd
Paraletra
1) A
2) A
3) A2
4) A
Anale dedepomesestado fapode
Entãimagcomobteposs
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
rro está esamos desser escolh
dade isto nã
a listar algua A seguida
A1 e A2
1 e A3
2 e A1
3 e A1
lisando a lepois o alois o alunomas, pois mos contaato de ter eria ser fei
ão como dginarmos co fizemos
emos acimsibilidades
strucional
/ Consórcio CE
Fo
Ucom
intuitiva e
em pensarsta forma hido um alão ocorre.
umas possa do seu n
ista vemosuno A2 e o A1. Nessos mesmo
ando cada colocado
ta com as
devemos recomo se t
s acima e ma temos
foi contad
EDERJ
No entanres
onte: http://w
ma dica:mum, pois a
e não pare
mos que estamos dluno e dep
sibilidadesúmero de
s que no pno tercei
se caso, teos alunos fpossibilidauma ordeescolhas 2
esolver estivéssemosdepois “fa210 pos
da duas v
| 5
nto esta ressponder po
www.sxc.hu/p
Em proba forma coece ter falh
temos duadizendo qupois tem q
rimeiro ca
de escolhchamada,
sro caso e
emos que aforam escoade duas v
em na esco2) e 4).
ste problems que escazer um a
ssibilidadesvezes, ou
sposta estáor que? On
photo/107818
lemas de omo resolvha alguma.
as tarefas ue tem umue ser esc
a vamos dou seja, A
so escolhescolhemosa escolha olhidos (osvezes. E eolha dos a
ma? Uma colher um ajuste”. Ass, no entseja, este
á errada! Vnde está o
82
contagemvemos acim
Você sabe
a realizarma ordem e
colhido ou
denominar A1, A2, A3,
emos primes primeiro 1) e a esc
s alunos Aste erro ve
alunos. A m
forma de e depois
ssim, pelo anto cadaresultado
erro?
m este erma foi bas
r, pois qu
rro é t
em que 1°
ante
ando
tro, quand° tem do na
os alunos... até o A1
pela 15:
eiro o aluno aluno A
no A1
colha 3) sãA2 e
A1 e A2). Aem exatammesma an
ão as Assim mente nálise
resolvermescolher o
mos é
resultadoo
a uma deo é o dobr
utro que estas ro da
Desen Funda
quan
Logo
Ente
Exempega15 a
Fonte
http:/
Reso
Podeque alun15 1corre
1) A
2) A
3) A2
4) A2
5) A
6) A
Devepossum d
O mTere
1) A4
2) A4
3) A
4) A
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ntidade qu
o, temos2
21
endeu? Vej
mplo 3: Oar os livrosalunos, de q
e: http://www
//www.sxc.h
olução:
emos resotemos 3 o e por f4 13 = 27eta. Vejam
1, A2 e A3
1, A3 e A2
2, A1 e A3
2, A3 e A1
3, A2 e A1
3, A1 e A2
emos notasibilidade qdos alunos
mesmo acoemos 6 cas
4, A5 e A6
4, A6 e A5
5, A4 e A6
5, A6 e A4
strucional
/ Consórcio CE
ue querem
105210
= , ou
jamos mai
O professors que estãquantas m
w.sxc.hu/phot
hu/photo/11
olver comotarefas e fim o últim730 possib
mos alguns
3
2
3
2
ar que esque é a doss não gera
ontece se fsos também
6
5
6
4
EDERJ
mos, assim
u seja, a re
s um exem
r Euler preo na biblio
maneiras Eu
to/1191195
192915
o fizemos que iremo
mo aluno. bilidades, casos:
stes 6 cas alunos Auma nova
forem escom:
| 6
m devemo
esposta fin
mplo.
ecisa escooteca da esuler poderá
no exempos escolhe
Temos amas sabe
asos na vA1, A2 e A3a possibilid
olhidos os
os dividir e
nal é que e
olher 3 aluscola. Sabá fazer est
plo anterioer primeiroassim, peloemos que
verdade s3, pois a orade.
alunos A4
este resul
existe 105 p
tado por
possibilida
unos de sbendo que ta escolha?
or. Supondo 1 aluno o Princípio
esta não
se resumerdem de es
4, A5 e A6
sua turma sua turma
?
dois.
ades.
para a tem
do inicialmdepois ma
mente
o Multiplico é a resp
ais 1 cativo posta
e a apenascolha de
as 1 cada
6, por exemmplo.
Desen Funda
5) A
6) A
Por mudpasstemo
Port
entã
E
Fonte
Pode
Vam
De 1
15
215⋅
15⋅
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
6, A5 e A4
6, A4 e A5
que se redando a osada é umos P3 = 3!
anto, deve
ão 455 pos
se fossem
e: http://www
emos cont
mos montar
15 alunos e
(15214 ⋅
=
!31314
=⋅
strucional
/ Consórcio CE
4
5
epetem seordem dosm caso de = 6.
emos divid
sibilidades
m 4 alunosTe
15 ⋅
w.sxc.hu/phot
tinuar aum
r uma tabe
escolher k
!2)115−
15(15 −⋅=
EDERJ
empre de três alunpermutaçã
dir o result
s de escolh
, o que tereríamos:
!4121314 ⋅⋅
to/1182264
entando, c
ela para en
alunos
!315()1 −⋅−
| 7
6 em 6? nos escolhão simples
tado anteri
ha.
ríamos que
com 5 alun
ntender me
)2−
Isto ocorrhidos e iss, como s
ior por 6,
e fazer?
nos, com 6
elhor o que
e, pois esto como vão três ele
isto é, 6
273
e assim p
e está acon
Valor de k
1
2
3
stamos apvimos na ementos e
455630
= .Te
enas aula
então
e
por diante.
mos
ntecendo:
Desen Funda
15⋅
15
Maspode
Assi
15⋅
Subs
De 1
15
215⋅
15⋅
15⋅
1(
Devesó d
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
!411314 ⋅⋅
145 ⋅⋅ …
sabemos emos rees
m,
)115( ⋅−
stituindo (*
15 alunos e
15214
=
!31314
=⋅
!411314 ⋅⋅
!)!15
!15
kk =−
emos notaepende de
strucional
/ Consórcio CE
1512 ⋅=
(!
(15k
k−⋅
que 15! =crever ass
chega
)215( ⋅−
*) na última
escolher k
!2)115( −⋅
15(15 −⋅=
1512 ⋅=
15(!!15
k −=
ar agora nae K.
EDERJ
)115( ⋅−
))1−
= 15·(15-1)sim 15! =15
amos
(15−⋅…
a linha da t
alunos
!315()1 −⋅−
)115( ⋅−
)!k
a última lin
| 8
!4()215( ⋅−
)·(15-2)·...·5·(15-1)·(1
a
))1(k =−−
tabela acim
)2−
!4()215( ⋅−
nha desta
)315( −
·[15-(k-1)]·5-2)·...·[15
c
15(!15k−
=
ma, temos
)315( −
tabela um
4
k
(15-k)·[15-5-(k-1)]·(15-
-(k+1)]·...·2-k)!
2·1, e
conclusão que
)!(*)
:
Valor de
1
2
3
4
k
ma fórmula
k
compactaa que
Desen Funda
Se rparaapenform2 e 3
C(n,(podelemé impossComde emaiode e
Box
CliquconhpossRafacomsaudrelacComdeteda aconanalmeio
Fim
Devepodeexem
Exemdispo
Solu
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
refizermos a 16, 17, 1nas os núm
ma geral, q3, utilizarem
k) lê-se code ser pessmentos distmportante, sibilidades
mbinação escolher uor e que aescolha dam
xe Multimíd
ue no linheça o áusibilidadesael e Julia posição de
dável, e cionados
m esse áuerminar o n
ocorrênciantecimentoisar uma s
o da anális
do boxe m
emos tomemos errarmplo a seg
mplo 4: Deondo de 4
ução:
strucional
/ Consórcio CE
os exemp8 e assim meros 15 puando estmos a seg
ombinaçãosoas, objettintos, sabou seja, mde escol
Simples. uma quanta ordem namos o nom
dia
k http://poudio visua!”,Nele voque conve
e um “pratoque utilizà análise
udio visualnúmero de a de umo (eventosituação dose combina
multimídia
ar cuidador a questãoguir.
e quantas homens e
EDERJ
plos 2 e 3por diante
pelos númivermos reuinte fórm
,( knC
o de n tomtos, lugareendo que
mudando aha. A estJá os probtidade de a escolha me de Arra
ortaldoprofal “Quatroocê conheersam sobo” conside
zam concecombinat
l você popossibilida
m determino), além o cotidianoatória.
a
o ao escolo com uma
maneiras e 4 mulhere
| 9
3 substituine obteremoeros 16, 1
esolvendo ula:
(!)
nkn
k =
ados k a kes, coisas, a ordem d
a ordem da técnica blemas coelementosdos eleme
anjo Simpl
fessor.mec.o mil ecerá bre a rado eitos tória. derá ades nado
de o por
lher as tara escolha e
podemos fes?
ndo o númos a mesm7, 18 e asproblemas
)!!k
n−
k. Isto signetc) distint
das escolhaos elemende contag
mo o do es distintos entos gerales.
gov.br/fich
refas que equivocad
formal um
mero de alma tabela assim sucess como os
unos da tuacima trocssivamentes dos exem
nifica que dtos temos as destes ntos não ggem damo
exemplo 1 dentre um
a uma nova
aTecnica.ht
temos quea das tare
casal (hom
de n elemeque escolelementos
geramos nos o nomem que te
ma quantia possibili
tml?id=309
urma ando e. De mplos
entos her k s não novas e de emos dade dade
62 e
e realizar, fas. Vejam
pois mos o
mem e muulher)
Desen Funda
Pode
TAR
TARposs
Peloform
O erdas de M
1) H
2) H
3) M
4) M
Notehomescoou s
Logo
Mas
TARH2,
TARM2,
Peloesco
ExeSabemão
Soluem d
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
emos pens
REFA 1: es
REFA 2: essibilidades
o Princípio mar um cas
rro está na8 pessoas
M1, M2, M3
1 e M1
1 e M2
M1 e H1
M2 e H1
emos que mem H1 e aolha está seja, 32 2
o temos 16
poderíam
REFA 1: esH3 e H4)
REFA 2: esM3 e M4)
o Princípio olha de cas
emplo 5: Eendo que
o?
ução: Nestdeterminar
strucional
/ Consórcio CE
sar em dua
scolher 1 pe
scolher 1 .
Multiplicatsal, certo?
a escolha ds. Vamos c3 e M4. Va
os casosa mulher M
sendo cont= 16.
6 possibilid
os ter reso
scolher 1 h
scolher 1 m
Multiplicatsal.
Em uma nesta fest
te exemplr as tarefas
EDERJ
as tarefas.
essoa qua
pessoa do
tivo, temosErrado! Vo
das tarefaschamar deamos listar
1) e 3) sM1) e o mtada duas v
dades de e
olvido da s
homem den
mulher den
tivo, temos
festa, cadta tinha 20
o a dificus a serem
| 10
alquer: 8 po
o sexo dife
s 8 4 = 32ocê sabe o
s, pois na 1e H1, H2, H
alguns ca
são iguaisesmo ocorvezes, tem
escolha de
eguinte fo
ntre os qu
tre as qua
s 4 4 = 16
da pessoa0 pessoas
uldade estexecutada
ossibilidade
erente da
. Logo, temonde está o
1ª tarefa esH3 e H4 osos possív
s, pois formrre nos ca
mos que div
casal.
rma, temos
atro home
tro mulher
6. Logo tem
a cumprim, foram da
tá as
es.
escolhida na tarefa
mos 32 poo erro?
scolhemoss homens veis:
mam o masos 2) e 4vidir o resu
s duas tare
ens: 4 poss
res: 4 poss
mos 16 po
mentou todados quan
ossibilidade
s qualquer e as mulh
esmo cas4). Assim, ultado por
efas.
sibilidades
sibilidades
ossibilidade
das as ountos aperto
1: 4
es de
uma heres
al (o cada dois,
(H1,
(M1,
es de
utras. os de
Desen Funda
pelaestrasegumãopalaparaassimletrapessaperque nossdispocomgerade mcaso
Font
TARimpo
2(TARC
Usan
2(C
Logo
ExemInstitprofetrabano Epodepess
a) qesco
b) ne
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
pessoa qatégia é uintes: P1,o então é nvra “letra”
a representm sucessiv
as, represesoa P1 aprtou a mãocada aper
sa tarefa éondo de binação, te
amos um nmão. Comoo de combi
e: http://ww
REFA: Escoorta, ou sej
)2,20REFA
ndo
!22
)2,20 =
o, nesta fe
mplo 6: tuição dessores dalham no EEnsino Méemos formsoas de mo
quaisquer olhidos
enhum me
strucional
/ Consórcio CE
que precisutilizarmos, P2, ..., Pnecessário
para reprtar 1 apertvamente. entando d
pertou a mo da pessorto de mãoé determin20 letrasemos que
novo apertoo P1P20 éinação sim
ww.sxc.hu/p
olher 2 peja, não ger
a
20!18!20=
sta teve 19
Em ue ensinode MatemEnsino Suédio. De mar uma odo que:
uns dos
embro seja
EDERJ
sa contar s letras p
P20. Comoque enten
resentar P1to de mão,Um aperto
duas pessmão da pesoa P10. Eno pode sernar de qua. Escolheverificar s
o de mão oé o mesmo
mples.
hoto/13962
essoas denra uma nov
fórmula
!182!18190
⋅⋅⋅
90 apertos
ma deteo trabalhmática, dperior e o quantas m
comissão
10 poss
do Ensino
| 11
o númeropara repreo temos qundamos co1, P2,.., P depois pa
o de mão oas. Por ssoa P20, ntão fazenr contado aantas manr 2 objetoe quando ou se contio aperto d
243
ntre 20, emva contage
de
190=
s de mão.
erminada ham 10 estes 4 restante
maneiras o de 3
sam ser
o Superior
o de apeesentar asue contar omo usar a20 como s
ara represefica definidexemplo, P1P10 sigdo esta anao escolheneiras podos de 20alteramos inuamos ce mão de
m que a oem.
co
rtos de ms pessoaso número as letras (esendo “letrentar 2 apedo quando
P1P20 sgnifica quenálise podeermos duademos esc caracteria ordem d
contando o P20P1 en
mão. Uma s, usemosde aperto
estou usanras” difereertos de mo usamos significa que a pessoemos perc
as letras. Ecolher 2 leza arranjodas duas l mesmo antão este é
ordem nest
ombinação
ta escolha
, te
boa s as
os de ndo a ntes)
mão e duas ue a a P1
ceber Então etras, o ou etras perto é um
a não
emos
Desen Funda
c) ha
d) pe
e) no
Font
Solu
a) Te
TAR
Novacomsejacomrespassimcom
1(C
Logo
b) Npodepara
TAR
Da m
6(C
Logo
c) NalunComestaprof
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
aja exatam
elo menos
o máximo
e:http://www
ução:
emos uma
REFA: esc
amente ebinação, t, se escoissão difer
posta é nãom temos binação.
!310
)3,0 =
o, temos 1
Nossa tareemos escoa escolher.
REFA: esco
mesma for
3 !3!6
)3,6 =
o, temos 2
Neste itemos acabam
mo temos q comissão
fessores d
strucional
/ Consórcio CE
mente 1 pro
um seja d
dois sejam
w.sxc.hu/ph
a única tare
olher 3 de
este exemtemos entãolhermos orente da co. É a mes
um caso
610
!7!0 ⋅=
20 comiss
efa continolher profe
olher 3 den
ma do item
656
!3 ⋅⋅⋅
=
0 comissõ
temos qm errando que escolho será fodo Ensino
EDERJ
ofessor do
do Ensino S
m do Ensin
hoto/102744
efa para fo
ntre 10 pro
mplo caraão que veos professcomissão fsma comiso de com
!76!789=
⋅⋅⋅
ões possív
nua sendossores do
ntre os 6 pr
m a, temos
2!3!34=
⋅
es possíve
ue dar atea questão
her exatamormada po Médio. N
| 12
Ensino Su
Superior
o Médio
47
rmar a com
ofessores p
cteriza umerificar se sores Joãformada pssão, isto smbinação.
120=
veis.
o escolherEnsino Su
rofessores
um caso d
0
eis.
enção à po por não mente 1 pror 1 profeeste caso
uperior na c
missão.
para forma
m problema ordem é
ão, Claytoor Alessansignifica qUsaremo
r 3 profesuperior, as
s do Ensino
de combin
palavra “eprestarem
rofessor dessor do temos dua
comissão
ar uma com
ma de aé ou não n e Alessndra, Clayue a ordems assim
ssores, nossim temos
o Médio.
ação:
xatamentem atenção o Ensino
Ensino as tarefas a
missão.
arranjo ouimportantesandra é yton e Joãm não impa fórmula
u de e, ou uma o? A
porta, a de
o entanto s 6 profess
não sores
e”, pois alnesta palSuperior eSuperior a realizar.
guns avra. então
e 2
Desen Funda
TARno E
TARno E
Paracom
TAC
Cabnecepossprofe
Pelo
4(C
Logo
d) Pmen
I) 1 p
II) 2
III) 3
ParaEnsitemo
Usar
I) C(
II) C
III) C
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
REFA 1: esEnsino Sup
REFA 2: esEnsino Méd
a resolverbinação pe
)1,4(1 AREFA
C
e aqui umessariamensíveis e istessores po
o Princípio
3 !1!4
)1,4 =
o temos 60
Para que tenos) 1 profe
professor E
professore
3 professor
a todos os ino Superios uma ún
remos o P
(4,1) (6,2C
(4,2) C(6,1
C(4,3) = 4
strucional
/ Consórcio CE
scolher 1 pperior.
scolher 2 pdio.
rmos cadaelo mesmo
)2,6(TAREFAC
ma observnte usar coto pode seodem ser e
Multiplicat
!31!34
!3 ⋅⋅
=
0 comissõe
enhamos pessor do E
Ensino Sup
es de Ensi
res de Ens
dois primior e escoica tarefa q
rincípio Mu
) = 4 5 = 1
1) = 6 6 = 3
EDERJ
professor d
professores
a uma dao motivo do
2 A
vação: parombinaçãoer feito deescolhidos
tivo, temos
4= e 6(C
es possíve
pelo menoEnsino supe
perior e 2 d
no Superio
sino Superi
eiros casoolher profeque é esco
ultiplicativo
60
36
| 13
o Ensino S
s do Ensin
as tarefasos itens a e
ra resolveo, pois tem 4 maneir.
s C(4,1) C(
!26
)2,6 =
is.
os (devemoerior as po
do Ensino
or e 1 do E
ior
os temos 2essor(es) dolher três p
o nos dois
Superior de
o Médio de
s temos qe b.
rmos a tamos que es
as já que
(6,2) = 4 15
256
!4!6
⋅⋅
=
os ter cuidossibilidade
Médio
Ensino Méd
2 tarefas: edo Ensinoprofessores
primeiros c
entre os 4 que trabalham
entre os 6 que trabalham
que usar a fórmulaa da
arefa 1 nãscolher 1 p
qualquer
ão precisaessoa denum dos qu
amos ntre 4 uatro
5 60, poi
15!4!45=
⋅
dado com es são:
dio
escolher pro Médio. Js do Ensin
casos:
s
pelo a palavra
rofessor(esJá no casono Superio
s) do o III) r.
Desen Funda
Composs
Logo
Podeprofeformtomaprofe
O nobteEnsi120
e) Psegu
I) 2 d
II) 1
III) 3
Masposs
Exemorgaestasepafísicacolodiscidisci6 livrde quandentMate
Font
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
mo podemosibilidades
o, são poss
emos resoessor do E
mar comissar todas asessor do E
úmero totemos 120 ino Médio – 20 = 100
Para termouintes caso
do Ensino
do Ensino
3 professor
estes cassíveis.
mplo 7: Uaniza melnte de sua
arar os liva e químcará neniplina juntoiplina. Sabros de FísiMatemáti
ntos modotre os 21, 1emática.
e: http://ww
strucional
/ Consórcio CE
os ter qualq, ou seja, 6
síveis 100
olver este iEnsino Susão com ns comissõ
Ensino Sup
tal de comcomissõesé C(6,3) =0.
os no máxos:
Médio e 1
o Médio e 2
res de Ens
sos são os
Um estudahor seus a casa. Pvros de mmica, ou hum livroo com livrbendo que ica, 7 de Qica, deteos ele pod10 livros na
ww.sxc.hu/p
EDERJ
quer um do60 + 36 + 4
comissõe
tem de ouperior entãenhum proes possíve
perior (3 pr
missões ps. E o nú 120, calcu
imo dois p
professor
2 professor
sino Superi
s mesmos
ante desejalivros na
ara isto vamatemática
seja, nãoo de umaro de outra
ele possuQuímica e 8ermine dede arrumaa estante,
hoto/77441
| 14
os três cas4 = 100 po
s.
utra maneirão a únicaofessor doeis e retiraofessores
possíveis fúmero de ulado no it
professore
Ensino Su
res de Ens
ior
do item an
a a ai a, o a a ui 8 e
ar sendo 3 liv
5
sos então dossibilidade
ra: como tea escolha o Ensino Sar as que ndo Ensino
foi calculacomissões
tem b). Log
s do Ensin
uperior
sino Super
nterior. Log
vros de Fís
devemos ses.
somar toda
em que terque não p
Superior, enão aprese
o Médio).
ado no ites com 3 pgo o total d
no Médio
rior
go temos
sica, 3 de Q
r pelo menpode ocorentão podeentam nen
em a) em professorede comissõ
analisemo
100 comis
as as
nos 1 rrer é emos nhum
que es do ões é
os os
ssões
Química e 4 de
Desen Funda
Soluagorlivros
TARcoloserá
Tare
Na tcara
Na t
SUB
SUB
SUB
Todadecidordeestao meao massim
SU
Tem
TAR
Peloa 25milhõ
Outr
TARcoloserá
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ução: este ra. Primeiros na estan
REFA 1: escará os liv
á a próxima
efa 2: esco
tarefa 1 teacteriza per
arefa 2 tem
BTAREFA
BTAREFA 2
BTAREFA 3
as as trêdirmos qu
em na escnte, ou sejesmo que mudarmos m temos u
456BTAREFA
⋅⋅
mos assim:
1
61 REFA
o Princípio 54.016.000ões!
ra solução
REFA 1: escará os liv
á a próxima
strucional
/ Consórcio CE
é um exemo passo é
nte. As tare
scolher a ovros de maa disciplina
olher qual li
emos que trmutação e
mos três su
1: colocar
2: colocar
3: colocar
ês subtareual técnicacolha dos ja, colocarcolocar osa ordem d
um caso de
7SUBT 1 A
210120TAREF⋅
Multiplicat0 !!! É isso
possível é
scolher a ovros de maa disciplina
EDERJ
mplo que ese coloca
efas que el
ordem dasatemática oa até a últim
ivro será c
trocar a ore como sã
ubtarefas:
3 livros de
3 livros de
4 livros de
efas carac de contalivros est
r os livros ds livros F3dos livros e arranjo. T
567TAREFA
⋅⋅
168002 FA
⋅
tivo o totalo mesmo,
é realizarm
ordem dasatemática oa até a últim
| 15
envolve vár na posiçãe terá que
s disciplinaou de físicma escolha
colocado na
rdem das o três disc
e Física na
e Química
e Matemáti
cterizam oagem usar amos mudde Física F F2 F1 neobtemos u
Temos ass
78SUBT
2⋅
l de arrumo número
mos as segu
s disciplinaou de físicma escolha
árias técnicão do estu
e realizar sã
as na estaca ou de qa.
a estante p
disciplinasciplinas tem
estante, d
na estante
ca na esta
ou arranjodevemos
dando a aF1 F2 F3 nsta ordemuma nova
sim:
5673 TAREFA
⋅⋅
ações poso de possi
uintes tare
as na estaca ou de qa.
cas que já udante queão:
estudamoe irá arruma
s até ar os
nte, ou seuímica e d
eja, se primdepois ver
meiro qual
para cada disciplina.
s, ou seja,mos P3 = 3
permutar3! = 6.
, isto
dentre 6.
e, dentre 7.
ante, dentre
o ou comverificar s
arrumaçãonesta orde? A respoarrumaçã
3
ssíveis na bilidades é
efas:
nte, ou seuímica e d
.
e 8.
mbinação se mudan
o dos livrom na estasta é não,o na estan
para do a
os na nte é pois nte e
estante é é mais de
igual e 250
eja, se primdepois ver
meiro qual
Desen Funda
TARcaso
TARPor lo na
Assi
TAR
Ou s
TAR
Peloa 25
Seráagortarefapre
Atividisppode
AtiviEle tofereesco
Ativiaperquan
Ativireali
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
REFA 2: eso o objetivo
REFA 3: esexemplo da estante?
m, teremo
6
1 REFAC
seja,
2T
6
1 REFA
o Princípio 54.016.000
á que ficarara resolvefas a se
endidas.
dade 1: Nutando as e ser defin
dade 2: Ptem que esece 10 saolha?
dade 3: Erto de mãntas pesso
dade 4: Dzar um sa
strucional
/ Consórcio CE
scolher os o é soment
scolher a odos 4 livros
Para isto
os:
)3,6(TAR⋅CC
73520 TAREFA
⋅⋅
Multiplicat, o mesmo
am bem enr estas prem realiz
uma semifmedalhasido o pódio
edro decidscolher 2 sabores dife
Em uma reão. Sabenoas estava
Dona Gertrque. No e
EDERJ
livros de cte escolhe
ordem que s de Matemprecisamo
8()3,7(2 REFA⋅C
66TARE
02
⋅⋅
tivo o totalo valor enc
ntendidas róximas azadas pa
final de ums de ouro, po?
diu reunir osabores deerentes. D
eunião caddo que nm nesta re
rudes esquntanto ela
| 16
cada discipr os livros
cada livro mática escos permuta
3!TAR )4,8 ⋅
423 FA
l de arrumcontrado an
as técnicaatividades ara só de
m campeonprata e bro
os colegase tortas pare quantas
da pessoa o total fo
eunião?
ueceu a susabe que
plina que irsem se pr
ocupará dcolhido em ar estes livr
4!3!3 REFA
⋅⋅
ações posnteriormen
s de contasempre v
epois tent
nato de baonze. De q
s para comra servir ems maneiras
cumprimeram dado
ua senha os algaris
rão para a reocupar co
estante. Nom a orde
Neste m.
dentro de cque ordem
ros.
cada discipm devo co
plina. locá-
ssíveis na nte.
estante é igual
agem e seuvendo quatar aplica
us usos? Tl(is) é(sãor as técn
Tente o) as nicas
squete, 4 quantas for
seleções ermas difere
estão entes
memorar sm sua fests Pedro po
seu aniversta. A confeode fazer
sário. itaria esta
entou as os 105 ape
outras comertos de
m um mão,
bancária dsmos são d
de 4 dígitodistintos, q
os ao que o
Desen Funda
1° arealiperm
Ativprofialun
Sem
a) o
b) o
Ativisand
I) um
II) uorég
III) ualmô
IV) u
V) epime
VI) maio
Dete
a) o
b) o ele maio
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
lgarismo nze o saqu
mitir para a
vidade 5: Uissional paos com o p
m considera
número m
número m
dade 6: Eduíche esc
m dentre os
um dentre gano; três q
um dentreôndegas.
um dentre
escolher trentão; pep
dois dentonese.
ermine:
número de
número dnão gostaonese.
strucional
/ Consórcio CE
não era núue, determia realização
Uma turmaara que noparaninfo.
ar a ordem
mínimo de f
máximo de
Em uma decolhendo:
s dois tama
os cinco queijos; int
os 6 rec
os três tipo
rês dentreino
tre os qua
e sanduích
e sanduícha de pão d
EDERJ
úmero par ine o númo desta tra
a de 40 foro dia da f
m dos três n
fotos que o
fotos que o
eterminada
anhos: 15
tipos de tegral avei
heios: pre
os de queij
e os cinco
atro molh
hes distinto
hes distintde três qu
| 17
e o últimoero máxim
ansação ba
rmandos dformatura,
na foto, de
o fotógrafo
o fotógrafo
a lanchone
cm ou 30
pão: italiaa e mel.
esunto; pei
jo: suíço, p
o tipos de
os: mosta
os que pod
os que umueijos; não
o é nove. Pmo de tentaancária.
de uma Unfotografas
termine:
pode tirar
o pode tirar
ete os clie
cm
ano branc
ito de per
prato; ched
vegetais:
arda e me
dem ser mo
m cliente poo gosta de
Para que dativas que
dona Gertre o banco
rudes deve
niversidadesse somen
e contratounte um pa
u um ar de
r.
r.
entes podeem montar um
co; integraal; parmesão e
ru; rosbife;; frango; aatum;
ddar.
alface; toomate; cebola;
el; barbeccue; mostaarda;
ontados
ode montae atum; e
ar sabendonão gost
o que ta de
Desen Funda
Seçã
VimoposiNo ealguesta
Exem
Solupermletrase tr
I) A1
II) A
III) A
IV) A
Deveque posipermCommesquanaparletratrocaformanagencodivid
2 !21P
De mrepeque
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ão 2: Perm
os na aulação de obentanto, tem destes pergunta
mplo 8: Qu
ução: Se mutação sia A se reperocar a pos
T1EM2A2T
1T1EM1A2T
A1T2EM2A2
A1T2EM1A2
emos notaé ATEMAção de ou
mutação simo podemo
mo anagrantas vezesrecem duaas entre si ar a posiçã
mar um mesgramas forontrando udir este re
24!10
!3 !210
=
maneira geetindo k vese repete
strucional
/ Consórcio CE
mutação c
a anterior qbjetos distinem problemrepetidos.vamos a u
uantos são
não tivéimples, noete três vesição das l
T2ICA3 M1
T2ICA3 M2
T1ICA3 M1
2T1ICA3 M2
ar que todoATICAM, isutro “T” nmples estos determama? Paras podemosas vezes te a letra A
ão do A ensmo anagrrmados. Pum númeroesultado p
15120!=
eral se temezes, outroz vezes, e
EDERJ
com repeti
que todo pntos entre mas que e Qual técn
um exempl
o os anagra
éssemos o entanto aezes. Vejametras. Para
2
os os 4 casto ocorreunão gera uaremos coinar o núma isto deves alterar a temos por
A se repetentre si. Istorama de A
Portanto aoo 24 vezepor 24. Te
00 .
mos permuo se repetinentão
| 18
ição
problema dsi isto car
envolvem tnica de coo.
amas da p
letras reas letras Mmos algunsa isto usem
asos acimau porque tum novo ontando ummero de veemos tomaposição dartanto 2! =e três vezeo nos dá u
ATEMATICo usarmoses maior demos entã
utação de ndo w vez
de contageracteriza utroca de pontagem ut
alavra MA
petidas rM e T se rs exemplo
mos M1A1T
a representrocar a poanagrama
m mesmo ezes que
ar o exempas letras re= 2 manees então teum total de
CAM, o mess a permutdo que o ão que o
n elementzes e assim
em que enuma permuosição de tilizar? Par
nvolve trocutação sim
objetos sra respond
ca de mples.
endo der a
ATEMÁTICA
resolveríamrepetem d
os de palavT1EM2A2T2
ntam o mesosição de
a. Assim, anagramaestaremos
plo dado acepetidas. Airas de troemos 3! = e 2 2 6 = 2smo ocorretação simpcorreto. A
o total de
tos com umm por dian
A?
mos utilizduas vezesvras obtidaICA3
ando s e a as ao
smo anagrum “T” cose usarm
a várias ves contandocima e verAs letras Mocarmos e6 maneira
24 maneiraerá com oples estare
Assim deveanagrama
rama om a os a ezes. o um rificar M e T estas as de as de utros emos emos as é
m elementnte até o ú
to se último
Desen Funda
,P wkn
Esta
Exemgrupque creshomman
Solu
Parahouvmulhmais
I) M1
II) M
III) M
IV) H
V) H
VI) H
Vejapossante
PodeI) nãM2Msendumarepe
I) MM
II) M
III) M
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
!,...,
kzw
⋅=
a fórmula s
mplo 9: Upo com seu
eles ficascente de
mem e neneiras distin
ução:
a resolvermvesse apeher mais bs alto. Assi
1M2H1H2
M1H1M2H2
M1H1H2M2
H1H2M1M
H1M1H2M2
H1M1M2H
a os casosibilidadeses do H1.
eríamos teão podem
M1H1H2 ndo “o mesa única veetição. Pen
MHH
MHMH
MHHM
strucional
/ Consórcio CE
!...!!
zwn
⋅⋅
se estende
Uma pequeus 10 funcissem em f
altura entnhuma mntas esta f
mos esta qenas dois baixa e M2im teríamo
2
2
2
2
2
os acima , pois o M
er resolvidomos trocar
ão é posssmo caso” z, isto é a
nsando des
EDERJ
para quan
ena empreionários, sefila, sendotre si e o
mulher temila pode se
questão, phomens e
2 a mais aos seis pos
até se cM2 nunca p
o este proba posiçã
sível, ou pde M1M2
a mesma sta forma t
| 19
ntidades m
esa resolvendo 6 mu que as m
os homensm a mesmer formada
primeiro vae duas multa, H1 o h
ssibilidades
convencer pode vir an
blema percão de M1 poderia tam2H1H2, ascoisa queeríamos os
maiores de
veu desenvulheres e 4mulheres ds tambémma altura, a.
amos resolulheres. Vhomem mas:
que realntes do M
cebendo qcom a d
mbém imassim estare pensarms seguinte
elementoss repetidoss.
volver um4 homens. deveriam f. Sabendo
determin
a dinâmicPara isto p
ficar em oro que nenne de qua
ca de pediu rdem nhum antas
lver para oVamos chaais baixo e
o caso emamar de Me H2 o ho
m que M1 a mem
mente ó 1 e o H2 n
existem enunca pod
estas de vir
ue, por exdo M2, ouaginar M2Mríamos con
mos em pes casos:
xemplo no u seja, o M1H1H2 cntando apermutação
caso caso
como enas com
Desen Funda
IV) H
V) H
VI) H
Destpode
fica
Agor
mulh
Logo
verd
a) Q
b) Q
Solu
a) Ateremse aportaseja
TAR
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
HHMM
HMHM
HMMH
ta forma neríamos us
!242,2
4 =P
ra já tem
heres e 4 h
o, a fila pod
dadeiro e s
Quantas seq
Quantas seq
ução:
As sequêncmos que rea segundaanto temos,
T
21 REFA
strucional
/ Consórcio CE
ão haveriasar a fórmu
6!2!4= .
os condiç
homens en
de ser form
im múltipla
quências d
quências a
cias de resealizar sãoa questão s 20 tarefa
22 TAREFA
EDERJ
a necessidula para pe
ções de r
ntão temos
mada de 2
a escolha.
de resposta
apresentam
postas sãoo: primeiro
será V oas e cada
TARE ...
2
| 20
ade de listermutação
resolver o
s 416,4
10 =P
10 maneira
ExcocaV falinf
Fo
Esqu
as são pos
m doze res
o formadas, se a primu F e asstarefa tem
220 EFA
tar todas eo com repe
nosso e
410
!6 !4!10
⋅=
as diferent
xemplo 1omposta deada uma dcaso seja lsa a queformações
nte: http://w
sta figura nuestão, po
ssíveis?
spostas V e
s pelas letmeira questsim por dm 2 possib
estas possetição que
sibilidades,neste exe
pois mplo
xemplo, ccomo temoos 6
1237890=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
tes.
10: Uma e 20 queseve ser reverdadeirastão. Comresponda
www.sxc.hu/ph
não está deois não é
e oito resp
ras V e F, tão será V iante até
bilidades d
210= .
avaliaçãstões, em espondida a e F casom base ne:
o é que com
o seja estas
hoto/388725
e acordo cé de fals
om a so e
postas F?
as tarefasou F, sega questão
de resposta
s que undo o 20, a, ou
Desen Funda
Pelo
Logo
Imagquan
b) Pa secom
,1220P
Logo
Ativi
a) se
b) qu
c) qu
d) qu
e) qu
AtiviCDsiguaiguaarrum
a) se
b) sa
Res
•
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
o Princípio
o temos 1.
gine você ndo estuda
ara sabermequência V repetição
8 !12!208, =
o temos 12
dade 7: Q
em restriçã
ue começa
ue termina
ue começa
ue começa
dade 8: Us nas pratis) do Miltois) do Chmar estes
em restriçã
abendo qu
umindo
Arranjo distintosordem é
strucional
/ Consórcio CE
Multiplicat
048.576 po
chutar todar probabil
mos quantVVVVVVVV, usando a
120!8
⋅=
25.970 seq
uantos são
ão
am com a l
m com a le
am com a l
am com a l
ma funcioneleiras. Non Nascimico BuarquCDs na pr
ão
e os CDs d
e combinas dentre né importan
EDERJ
tivo temos:
ossibilidad
das as 20 idade que
tas sequênVVVVVFFFa fórmula, t
5678171819⋅⋅⋅⋅⋅
quências p
o os anagr
letra C
etra A
letra C e te
letra C ou
nária de uma primeira
mento, 5 CDue. De qurimeira pra
de cada ca
ação são n elementte e o segu
| 21
: 220 = 1.04
des de seq
questões isto é qua
ncias tem 1FFFFFF, otemos:
234515167⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
ossíveis.
ramas da p
erminam co
terminam
m loja de Ca prateleiraDs (todos
uantas formateleira:
antor deve
caracterizaos distintoundo quan
48.576
uências!
e gabaritase imposs
12V’s e 8Fou seja é
11314
=⋅
palavra CO
om a letra
com a letra
CDs foi ena ela deveiguais) do
mas difere
em perman
ados pela os (n > pndo não é.
ar esta proível aconte
ova! Você ecer.
verá
F’s teremosum caso d
s que permde permut
mutar tação
970.125=
OMBINATÓ
A
a A
carregadae arrumarGonzagui
entes a fun
necer junto
escolha d). O prim
0
ÓRIA:
a de arrumar 4 Cds (tinha e 6 (tncionária
ar os todos todos pode
s.
de p elemeeiro quan
entos do a
Desen Funda
•
•
Veja
Para
•
Bibl
Boye
Eves
Iezzciên
MorgCom
Res
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
Fórmula
Fórmula
,...,,P wkn
a Ainda
a saciar su
http://ww
problem
iografia c
er C. B., H
s H., Introd
i, G., Dolcecia e aplica
gado, A.C.mbinatória e
posta das
dades 1: 2
dade 2: 45
dade 3: 15
dade 4: 22
dade 5: a)
dade 6: a)
dade 7: a)
dade 8: a)
strucional
/ Consórcio CE
a da comb
a da
!!wknz
⋅⋅=
a curiosida
ww.youtube
ma dos pon
onsultada
istória da M
dução a his
e, O., Degeações, vol
., Carvalhoe Probabili
s atividade
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| 24
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