FI-1101© 2004 Dr. Linus Pasasa MS Bab 6-1
DEPARTMEN FISIKA ITB
BENDA TEGAR
Bab 6-2Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi
Vektor Momentum Sudut
Sistem Partikel
Momen Inersia
Dalil Sumbu Sejajar
Dinamika Benda Tegar
Menggelinding
Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar
Statika Benda Tegar
Bahan CakupanBahan Cakupan
Bab 6-3Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)
Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:
12 θθθ
3,572
360rad 1
Bab 6-4Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
kecepatan sudut sesaat:
dtd
ttt
00limlim
kecepatan sudut rata-rata:t
θ
tt
θθ
12
12
Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.
Bab 6-5Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Arah kecepatan sudut:Aturan tangan kanan
Bab 6-6Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Percepatan sudut sesaat:
Percepatan sudut rata-rata:ttt
12
12
dt
d
tt
0
lim
Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.
Bab 6-7Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Persamaan Kinematika Rotasi
Bab 6-8Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Perumusan Gerak Rotasi
Kecepatan tangensial:
tangensialkecepatan
linearkecepatan
rv rad/s dalam
tangensialpercepatan
linearpercepatan
ra 2rad/s dalam
Percepatan tangensial:
Bab 6-9Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Perumusan Gerak Rotasi
rr
var
22
Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):
Bab 6-10Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Torsi – Momen gaya
Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan
Bab 6-11Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Torsi – Momen gaya
Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Bab 6-12Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:
)vrm(prL
sinl mvr
rp rmv
r p r mv
•Satuan SI adalah Kg.mSatuan SI adalah Kg.m22/s./s.
Bab 6-13Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
ddt
ddt
Lr p
ddt
ddt
ddt
r pr
p rp
v vm
0
Jadi ddt
ddt
Lr
p l ingat Fp
EXTddt
Bab 6-14Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
ddt
ddt
Lr
p EXTFdtd
rL
Akhirnya kita peroleh:EXT
ddt
L
Analog dengan !! Fp
EXTddt
Bab 6-15Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hukum Kekekalan Momentum Sudut
dimana danEXTddt
L EXT EXT r FL r p
EXTddt
L0 Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka
Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut
21 21 II
Bab 6-16Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Hukum Kekekalan Momentum
Linearo Jika F = 0, maka p konstan.
Rotasio Jika = 0, maka L konstan.
Bab 6-17Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momentum Sudut:Defenisi & Penurunan
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
Momentum kekal jika
Bagaimana dng Gerak Rotasi?
Fp
EXTddt
FEXT 0
L r p
r F Untuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi
Analog momentum pp adalah
momentum sudut
p = mv
Bab 6-18Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Sistem Partikel
Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:
1 2 31
n
n ii
L l l l l l
,1 1
n ni
net i neti i
dL dl
dt dt
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh torsi gaya luar saja.oleh torsi gaya luar saja.
Bab 6-19Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
i
j
Sistem Partikel
k̂vrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
vv2
vv1
vv3
Arah LL sejajar sumbu z
Gunakan vi = ri , diperoleh
IL
(krn ri dan vi tegak lurus)
Analog dng p = mv !!
krmLi
2
iiˆ
Bab 6-20Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
DEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.
Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):
IL
I
dt
dI
dt
Id
dt
Ld
)(
Bab 6-21Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan kekal
L I
L I L I
2i iI m r
Vektor Momentum Sudut
Bab 6-22Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai
I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya
...222
211
2 rmrmrmIi
ii
Bab 6-23Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
dVρrdmrI 22
dm
x
y
z
dmrIrmI ii
i 22
dldrdrdV Dimana Elemen Volume
Bab 6-24Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.
dldrdrdV
Bab 6-25Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral
dldrdrrI 2
Asumsi rapat massa ρ konstan
Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:
LRdldrdrrI
0
2
00
2
Bab 6-26Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
Hasilnya adalah
LR
I
lr
I L
R
24
44
020
0
4
LRM 2
Massa dari lempengan tersebut
2
2
1MRI Momen Inersia benda
Bab 6-27Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar2MhII cm
Bab 6-28Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Momen Inersia:
ℓ ℓ
ab
2
12
1mlI
2mRI
)(12
1 22 bamI
R
2
5
2mRI
2
2
1mRI
2
3
1mlI
R
Bab 6-29Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Dinamika Benda Tegar
Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
IIdIdW
Bab 6-30Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah
222
2
1
2
1 iiii rmrmK
2iirmI
2
2
1 IK
Dimana I adalah momen inersia,
Bab 6-31Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Energi Kinetik Rotasi
Linear Rotasi
2
2
1 IK 2
2
1MvK
Massa
Kecepatan Linear
Momen Inersia
Kecepatan Sudut
Bab 6-32Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Prinsip Kerja-Energi
Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
IIdIdW
2
2
1 IK rotasi rotasiKW dimana
Bila ,maka sehingga0 0W0 rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Bab 6-33Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Menggelinding
Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi
Bab 6-34Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasi
s R Ban bergerak dengan laju ds/dt
com
dv R
dt
Bab 6-35Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasi
Bab 6-36Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasi
The kinetic energy of rolling
2 212
2 2 21 12 2
2 21 12 2
P P com
com
com com r t
K I I I MR
K I MR
K I Mv K K
Bab 6-37Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding Di Bidang Gerak Menggelinding Di Bidang MiringMiring
R x
P
sf
gF
singF
cosgF
N Gunakan:Gunakan: torsi = torsi = II
sing PR F I
coma R
Maka:Maka:2 sin P comMR g I a
2P comI I MR
2
sin
1 /comcom
ga
I MR
Bab 6-38Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Menggelinding
Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.
20
20
2
1
2
1 ImvK
V0
Bab 6-39Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi
Bab 6-40Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama dengan nol.
Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:
Fx = 0 dan Fy = 0 = 0
Kesetimbangan Benda Tegar
Bab 6-41Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi
Linear Rotasi x (m) (rad)
v (m/s) (rad/s)
a (m/s2) (rad/s2)
m (kg) I (kg·m2)F (N) (N·m)
p (N·s) L (N·m·s)
Bab 6-42Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
linear angular
perpindahan
kecepatan
percepatan
massa
gaya
Hk. Newton’s
energi kinetik
Kerja
x dtdxv / dtd / dtdva / dtd /
m 2iirmI
F
ImaF Fr
2)2/1( mvK 2)2/1( IK
FdxW dW
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi