Diktat Rangkaian Elektrik-1 1
Bab PENDAHULUAN
1.1
MUATAN DAN ARUS
Listrik ada di alam disebabkan adanya muatan listrik. Coulomb adalah
satuan yang menyatakan muatan. Pergerakan muatan menimbulkan arus listrik.
Tujuan dari sebuah rangkaian listrik adalah memindahkan muatan sepanjang
lintasan yang diinginkan. Definisi arus adalah laju perubahan muatan persatuan
waktu :
dt
dqi (dalam Ampere, A)
Dalam teori rangkaian, arus adalah pergerakan muatan positif.
Gb.1.1 Dua model arus yang sama
1.1 Muatan dan Arus
1.2 Tegangan, Energi, dan Daya
3A
-3A
(a) (b)
Diktat Rangkaian Elektrik-1 2
Sebagai contoh, arus pada kawat pada gambar (a) artinya ada 3C/s yang
mengalir pada kawat tersebut. Gambar (a) sama dengan gambar (b) dengan
membuat arah arus berlawanan dan besar arus yang mengalir bertanda negatif
(-3C/s).
Pada rangkaian listrik berlaku prinsip kekekalan muatan dimana pada suatu titik
tidak ada muatan yang terakumulasi, jumlah muatan positif yang masuk harus
diikuti dengan muatan positif yang keluar dengan jumlah yang sama.
Gb.1.2 Aliran arus pada suatu elemen
Arus yang masuk terminal 2A sama dengan arus yang keluar terminal (2A).
1.2
TEGANGAN, ENERGI DAN DAYA
Tegangan didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk
memindahkan satu unit muatan (+1C) dari satu terminal ke terminal yang lain.
Satuan untuk tegangan adalah volt (V). Dimana 1 V adalah 1J/C.
Gb.1.3 Konvensi polaritas tegangan
Gambar diatas menunjukkan bahwa terminal bertegangan A lebih positif dari
terminal B. Artinya potensial pada terminal A lebih tinggi sebesar v volt dari
B A
+ v -
I=2A I=2A
Diktat Rangkaian Elektrik-1 3
terminal B. Pada kondisi ini terjadi tegangan jatuh (voltage drop) pada
pergerakan muatan dari a ke b.
Perhatikan gambar 1.4 yang menunjukkan dua versi tegangan yang sama.
Pada (a) terminal A lebih positif 5 V (+5 V) daripada terminal B dan pada (b)
terminal B -5 V diatas A (atau +5 V dibawah A).
Gb.1.4 Dua model tegangan yang ekivalen
Notasi tegangan vAB yang menunjukkan potensial titik A terhadap titik B.
Pada gambar 1.4 vAB = - vBA. Jadi vAB = 5 V dan vBA = -5 V.
Elemen ada yang menyerap energi tetapi juga ada yang mensupply
energi. Jika arus positif masuk ke terminal positif, maka energi di supply ke
elemen (menyerap energi). Sebaliknya jika arus positif meninggalkan
terminal positif (masuk ke terminal negatif) artinya elemen mensupply
energi.
Gb.1.5 Bermacam-macam hubungan tegangan – arus
+
5V
2A
-
5V
2A
+
5V
2A
-
5V
2A
(b) (c) (a) (d)
A
+
5V
A
-
-5V
Diktat Rangkaian Elektrik-1 4
Gambar (a) adalah elemen yang menyerap energi; dimana arus positif
memasuki terminal positif. Gambar (b) juga elemen menyerap energi; dimana
arus menuju terminal negatif. Gambar (c) dan (d) keduanya elemen yang
mensupply energi.
Laju energi yang diserap ataupun yang dikirim disebut daya dan diberi
simbol p, dimana besarnya :
vidt
dwp
Dengan satuan J/s atau Watt.
Kuantitas p disebut daya sesaat karena nilainya merupakan daya pada saat v
dan i diukur.
1.3
ELEMEN PASIF DAN AKTIF
Elemen rangkaian terbagi dua yaitu elemen pasif dan aktif. Elemen
disebut pasif jika energi yang dikirim ke elemen tersebut bernilai positif.
0 )()(
tt
dtvidttptw
Contoh elemen pasif adalah resistor, kapasitor dan induktor.
Elemen aktif adalah elemen yang mensupply energi pada rangkaian,
contohnya generator, baterai, dan peralatan elektronik yang memerlukan catu
daya.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 5
Bab R A N G K A I A N R E S I S T I F
2.1
HUKUM OHM DAN HUKUM KIRCHOFF
Hukum Ohm :
“Besarnya arus yang mengalir pada sebuah elemen berbanding lurus dengan tegangan pada elemen tersebut dan berbanding terbalik dengan tahanan elemen tersebut”
Secara matematis Hukum Ohm dapat dituliskan sebagai berikut
R
VI
Grafik hubungan tegangan – arus pada hukum Ohm.
(a) (b)
Gb. 2.1. Grafik Hubungan V-I pada resistor (a) linier ; (b) non linier
v v
i i
2.1 Hukum Ohm dan Kirchoff
2.2 Hubung Seri dan Paralel
2.3 Pembagi Arus dan Tegangan
Diktat Rangkaian Elektrik-1 6
Hukum Kirchoff :
Hukum Kirchoff terbagi menjadi 2 yaitu :
1. Hukum Kirchoff arus (Kirchoff Current Law / KCL) :
“Jumlah aljabar arus yang melalui sebuah titik simpul adalah nol”.
Dapat juga dikatakan bahwa arus yang masuk ke dalam suatu titik
percabangan adalah sama dengan arus yang keluar dari titik percabangan
tersebut.
Secara matematis dapat dituliskan :
∑I = 0
2. Hukum Kirchoff tegangan (Kirchoff Voltage Law / KVL) :
“ Jumlah aljabar tegangan secara vektoris pada suatu loop tertutup adalah
nol”.
Bahwa tegangan pada sumber yang menyatu pada suatu rangkaian adalah
sama dengan jumlah tegangan pada tiap elemen pada rangkaian tersebut.
Secara matematis dapat dituliskan :
∑V = 0
CONTOH 2-1
Diketahui : i3 = 2A v2 = -10 V R1 = 8 Ω ; R3 = 1 Ω Ditanya : i1, i2 = ... R2 = ...
Diktat Rangkaian Elektrik-1 7
Penyelesaian : Gunakan KVL pada loop sebelah kiri :
Ai
i
i
RiR
1
8.8
01.2.810-
0..i10-
0=vv10-
1
1
1
3311
31
Gunakan KCL pada titik simpul 1 :
Ai
AiA
iii
i
1
21
i=
2
2
321
km
R2 =
101
10
2
2
i
v
CONTOH 2-2
Diketahui : V3 = 6V R1 = R2 =1 Ω R3 = 2 Ω Ditanya : a) i2 = ...
b) Vs = ... Penyelesaian :
a) Gunakan KCL pada titik simpul 1:
Im = Ik 2 = i2 + i3
2 = i2 + 3
3
R
v
2 = i2 + 2
6
2 = i2 + 3 i2 = -1A
R1 R2
R3v3
+
-
i3
i2
2A v2Vs
Diktat Rangkaian Elektrik-1 8
b) Gunakan KVL pada loop sebelah kanan:
–v3 + i2R2 + Vs = 0 -6 + (-1.1) + Vs = 0 Vs = 7 V
2.2
RANGKAIAN SERI DAN PARALEL
2.2.1 RANGKAIAN SERI
Hubungan seri pada resistor terjadi bila antara resistor-resistor tersebut dilalui
oleh arus yang sama :
IR1 = IR2 = IRn
Untuk mendapatkan tahanan pengganti dari resistor yang terhubung seri adalah
dengan menjumlahkan resistor-resistor tersebut
Rs =
Nn
nNR
1
Rs = R1 + R2 + ... + RN
2.2.2 RANGKAIAN PARALEL
Diktat Rangkaian Elektrik-1 9
Hubungan paralel pada resistor terjadi bila tegangan jatuh antara resistor-
resistor tersebut sama :
VR1 = VR2 = VRn
Untuk mendapatkan tahanan pengganti dari resistor yang terhubung seri adalah
dengan menjumlahkan konduktansi dari resistor-resistor tersebut
Nn
nNP RR 1
11
Tahananan total dua resistor paraldrel :
21
21
RR
RRRP
2.3
PEMBAGI ARUS DAN TEGANGAN
2.3.1 PEMBAGI ARUS
Apabila dua resistor terpasang paralel pada titik simpul yang sama maka,
resistor paralel tersebut akan membagi arus sumber.
vs R1R2
is
i1i2
s
s
iRR
R
R
iRR
RR
R
Vsi .
.
21
2
1
21
21
1
1
Diktat Rangkaian Elektrik-1 10
s
s
iRR
R
R
iRR
RR
R
Vsi .
.
21
1
2
21
21
2
2
Arus yang mengalir pada resistor sebanding dengan besar tahanan lain dan
berbanding terbalik dengan jumlah total resistor paralel tersebut.
2.3.1 PEMBAGI TEGANGAN
Apabila dua resistor terpasang seri, maka resistor tersebut akan membagi
tegangan sumber menjadi tegangan jatuh masing-masing resistor.
ss v
RR
RR
RR
ViRv
21
11
2111
ss v
RR
RR
RR
ViRv
21
22
2122
Tegangan jatuh pada resistor sebanding dengan besar resistor itu sendiri dan
berbanding terbalik dengan jumlah total resistor seri tersebut.
CONTOH 2-3
Diketahui : R0 = 6 Ω, daya yang diserap oleh R0 = 6 W
Ditanya : a) V0
b) Vs
Penyelesaian :
P = 6 W
Diktat Rangkaian Elektrik-1 11
R
V
R
VVVIP
2
maka
V02 = P. R0
= 36 V0 = 6 Volt
Vs = i. Rs
= (V0/R0).(Rs)
= (6/6).(2+4+6+2)
= 14 Volt
CONTOH 2-4
Jika sebuah tahanan terhubung seri dengan sumber 12 volt sehingga arus yang
mengalir 0,6 mA. Bila ditambahkan R1 secara seri antara sumber dan tahanan
tersebut, berapa R1 jika tegangan jatuh pada rangkaian tersebut 8 volt?
Penyelesaian :
2000010.6,0
1230
i
vR
IRV
Pembagi tegangan:
VsRR
RV
01
11
Diktat Rangkaian Elektrik-1 12
1210.2
8 41
1
R
R
R1= 4.104 Ω
2.4
REDUKSI SERI PARALEL
Metode reduksi seri paralel merupakan metode yang paling sederhana untuk
menganalisis rangkaian, yaitu dengan cara membuat rangkaian pengganti dari
rangkaian asal yang terdiri dari sumber dan tahanan pengganti total.
Metode ini biasanya digunakan pada rangkaian dengan satu sumber.
Tahanan pengganti total diganti dengan susunan elemen resistor dengan
tahanan ekuivalen dimulai dari elemen yang paling jauh dari sumber.
CONTOH 2-5
Diketahui gambar :
Ditanya : a) V pada R = 8 Ω
b) i pada R = 12 Ω
Penyelesaian :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 13
Bab
S U M B E R T A K B E B A S
3.1
PENGENALAN SUMBER TAK BEBAS
Beberapa alat, seperti transistor dan amplifiers, bertindak sebagai
sumber-sumber kontrol. Contohnya, tegangan keluaran dari sebuah amplifiers
dikontrol oleh tegangan masuk dari amplifiers itu. Beberapa alat dapat
diperagakan dengan menggunakan sumber-sumber tak bebas. Sumber tak
bebas terdiri dari dua elemen, yaitu elemen pengontrol dan elemen yang
dikontrol. Elemen pengontrol merupakan suatu rangkaian terbuka pada
rangkaian pendek. Elemen yang dikontrol merupakan sumber arus dan atau
juga sumber tegangan. Ada 4 jenis dari sumber tak bebas yang sesuai dengan
4 cara pemilihan suatu elemen pengontrol dari sebuah elemen yang dikontrol. 4
jenis sumber tak bebas itu yaitu :
1) VCVS (Voltage – Controlled Voltage Source / Tegangan – sumber
Pengontrol Tegangan)
Sumber tak bebas VCVS ( Voltage – Contolled Voltage Source ).
Elemen pengontrol adalah suatu hubung terbuka, arus dan tegangan
elemen pengontrol adalah ic, dan vc. Arus hubung singkat ic = 0.
3.1 Pengenalan Sumber Tak Bebas
3.2 Rangkaian Sumber Tak Bebas
Diktat Rangkaian Elektrik-1 14
Tegangan adalah sinyal pengontal dari sumber tegangan tak bebas ini.
Elemen arus dan tegangan dari elemen yang dikontrol (sumber tak
bebas tegangan) adalah id, dan vd. Tegangan sumber tak bebas vd
dikontrol oleh besarnya vc.
cd rvv
Konstanta r adalah penguatan (gain) dari sumber tak bebas.
2) CCVS (Current – Controlled Voltage Source / Arus –Sumber Pengontrol
Tegangan)
Sumber tak bebas CCVS ( Current – Contolled Voltage Source ).
Elemen pengontrol adalah suatu hubung singkat, arus dan tegangan
elemen pengontrol adalah ic, dan vc. Tegangan pada hubung singkat, vc
= 0. Arus hubung singkat ic adalah sinyal pengontal dari sumber
tegangan tak bebas ini. Elemen arus dan tegangan dari elemen yang
dikontrol (sumber tak bebas tegangan) adalah id, dan vd. Tegangan
sumber tak bebas vd dikontrol oleh besarnya ic.
cd riv
Konstanta r adalah penguatan (gain) dari sumber tak bebas.
3) VCCS (Voltage – Controlled Current Source / Tegangan – Sumber
Pengontrol Arus)
Diktat Rangkaian Elektrik-1 15
Sumber tak bebas VCCS ( Voltage – Contolled Current Source ).
Elemen pengontrol adalah suatu hubung terbuka, arus dan tegangan
elemen pengontrol adalah ic, dan vc. Arus hubung singkat ic = 0.
Tegangan adalah sinyal pengontal dari sumber tegangan tak bebas ini.
Elemen arus dan tegangan dari elemen yang dikontrol (sumber tak
bebas arus) adalah id, dan vd. Arus sumber tak bebas id dikontrol oleh
besarnya vc.
cd rvi
Konstanta r adalah penguatan (gain) dari sumber tak bebas.
4) CCCS (Current – Controlled Current Source / Arus – Sumber Pengontrol
Arus)
Sumber tak bebas CCCS ( Current – Contolled Current Source ).
Elemen pengontrol adalah suatu hubung singkat, arus dan tegangan
elemen pengontrol adalah ic, dan vc. Tegangan pada hubung singkat, vc
= 0. Arus hubung singkat ic adalah sinyal pengontal dari sumber
tegangan tak bebas ini. Elemen arus dan tegangan dari elemen yang
dikontrol (sumber tak bebas arus) adalah id, dan vd. Arus sumber tak
bebas id dikontrol oleh besarnya ic.
cd rii
Konstanta r adalah penguatan (gain) dari sumber tak bebas.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 16
3.2
RANGKAIAN DENGAN SUMBER TAK BEBAS
Metode untuk menganalisis rangkaian yang mengandung sumber tak bebas
sama dengan metode analisis pada rangkaian resistip yang mengandung
sumber bebas. Hukum Ohm dan Kirchoff, prinsip pembagi arus dan tegangan
dapat diaplikasikan pada rangkaian yang mengandung sumber tak bebas.
CONTOH 3-1
Diketahui seperti pada gambar:
Ditanya : v1 = ...
Penyelesaian :4
Gunakan Hukum KVL :
Vv
iv
Ai
i
iii
ivv
42.2
2
2
189
03)2(2)2(18
03218
1
1
11
Diktat Rangkaian Elektrik-1 17
CONTOH 3-2
Diketahui seperti pada gambar:
Ditanya : a) v1 = ...
b) i2=....
Penyelesaian :
a) VAv 24831
b) sederhanakan rangkaian diatas dengan menganti resistor paralel dengan ekivalen
resistornya
Gunakan KVL pada loop kanan:
Ai
Ai
Ai
Vi
iV
iV
iiv
2
6.126
6
6
7212
01272
012243
0483
2
2
1
Diktat Rangkaian Elektrik-1 18
CONTOH 3-3
Rangkaian pengendali terdiri dari sumber tegangan ideal vs dan resistansi Rs 60 Ω. Hitung daya yang diserap oleh beban R0 jika sumber tegangan pengendali vs 24 V ! Penyelesaian : Tegangan pengendali vs sama dengan tegangan resistansi Rs. Jika vs = 24 V, maka arus is adalah ...
AV
R
vi
s
ss 4,0
60
24
Vv
Av
iv s
200
4,0500
500
0
0
0
kWWP
VP
R
VP
vR
VP
viP
2200020
200
0
2
0
0
20
0
00
00
000
Diktat Rangkaian Elektrik-1 19
Bab
METODE ANALISIS RANGKAIAN
4.1
ANALISA TITIK SIMPUL
Analisis simpul (Nodal Analysis) adalah metoda analisis rangkaian yang
berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Arus (KCL). Rangkaian yang
dianalisis pada bab ini adalah rangkaian planar yaitu jenis rangkaian dimana
tidak ada cabang yang saling tumpang tindih.
Titik simpul adalah titik yang merupakan sambungan antara dua atau lebih
elemen.
Ada dua macam titik simpul yang ada pada rangkaian, yaitu titik simpul biasa
dan titik simpul referensi. Titik simpul referensi dipilih dari suatu titik simpul yang
mempunyai paling banyak cabang yang terhubung dengan titik simpul tersebut.
Biasanya dipilih yang berada di bagian bawah rangkaian.
Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah titik simpul (termasuk titik simpul
referensi) maka persamaan KCL yang dihasilkan N-1 buah.
Persamaan KCL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik :
4.1 Analisa Titik Simpul
4.2 Analisa Mata Jala
Diktat Rangkaian Elektrik-1 20
IVG
IVR
1
Variabel yang dicari dalam analisis titik simpul adalah tegangan pada titik simpul.
4.1.1 Rangkaian dengan Sumber Arus
Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini :
Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul.
Pada titik simpul 1:
(1) 111
Im
12
2
1
21
2
21
1
1
1
211
s
s
s
ivR
vRR
R
vv
R
vi
iii
Ik
Pada titik simpul 2:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 21
)2(111
Im
22
32
1
2
2
12
3
2
2
432
s
s
s
ivRR
vR
R
vv
R
vi
iii
Ik
Persamaan (1) dan (2) kita tuliskan dalam bentuk matrik :
2
s1
2
1
322
221
i
v
11
1
-
1-
11
sivRRR
RRR
Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan
metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan
Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih.
1
-1
-11
.11
1-
11.
11
1-
1-
11
11
1-
223221
2
2
32
1
322
221
32
s2
2
s1
1
RRRRRR
Ri
RRi
RRR
RRR
RRi
Ri
vss
Diktat Rangkaian Elektrik-1 22
1-
1-
11.
11
1-
11.
11
1-
1-
11
1
-
11
223221
21
212
322
221
s22
s121
2
RRRRRR
Ri
RRi
RRR
RRR
iR
iRR
vss
4.1.2 Rangkaian dengan Sumber Tegangan
Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini :
Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul.
Pada titik simpul 1:
(1)v1
-v111
Im
1
12
3
1
321
3
21
2
1
1
11
211
R
v
RRRR
R
vv
R
v
R
vv
iii
Ik
s
s
m
Pada titik simpul 2:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 23
(2)v111
v1
-
Im
5
22
543
1
3
3
12
4
2
5
22
432
R
v
RRRR
R
vv
R
v
R
vv
iii
Ik
s
s
m
Persamaan (1) dan (2) kita tuliskan dalam bentuk matrik :
5
2
1
1
2
1
5433
3321
v
111
1
-
1-
1
11
R
v
R
v
vRRRR
RRRR
s
s
Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan
metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan
Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih.
1
-1
-111
.111
1-
v111.
v
111
1-
1-
111
111
v
1-
v
33543321
35
s2
5431
s1
5433
2321
5435
s2
31
s1
1
RRRRRRRR
RRRRRR
RRRR
RRRR
RRRR
RR
v
Diktat Rangkaian Elektrik-1 24
1-
1-
111.
111
1-
v111.
v
111
1-
1-
111
v
1
-
v
111
33543321
31
s1
3215
s2
5433
2321
5
s2
3
1
s1
321
2
RRRRRRRR
RRRRRR
RRRR
RRRR
RR
RRRR
v
Apabila diantara dua titik simpul terdapat sumber tegangan bebas
maupun sumber tegangan tak bebas, maka diantara kedua titik simpul tersebut
terbentuk titik simpul istimewa (supernode). Adanya titik simpul istimewa
mengurangi persamaan KCL yang dihasilkan. Perhatikan gambar rangkaian
dibawah ini, daerah yang berwarna hijau adalah titik simpul istimewa yang
terbentuk antara dua titik simpul. Hanya satu persamaan KCL yang diperlukan
yaitu persamaan KCL pada titik simpul istimewa saja.
Titik Simpul Istimewa:
ss
km
iR
vv
R
v
R
vv
ii
3
1
2
1
1
1
Jika vs,is,R1,R2,R3 diketahui maka v1 dapat dicari melalui persamaan
diatas.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 25
Titik simpul istimewa adalah hubungan antara dua titik simpul yang diantara
keduanya terdapat sumber tegangan bebas maupun sumber tegangan tak
bebas.
CONTOH 4-1
4xv
Dit : vx=...
Penyelesaian :
Dari gambar diketahui : vx = v2 (tegangan pada titik simpul 2)
Titik Simpul 1:
08
1
4
1
8
11
2
1
04812
04812
0
21
22111
2111
vv
vvvvv
vvvvv
i
x
0125,0625,1 21 vv
Titik Simpul 2:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 26
14125,0125,0
148
1
8
1
014448
014448
0
21
21
2221
221
vv
vv
vvvv
vvvv
i
x
Vvv
Vv
v
v
x 104
104)125,0.125,0()125,0.625,1(
)125,0.0()625,1.14(
0,125- 0,125
0,125 625,1 14- 0,125
0 625,1
14
0
0,125- 0,125
0,125 625,1
2
2
2
1
4.2
ANALISIS MATA JALA ( MESH ANALYSIS )
Analisis mata jala (Mesh Analysis) adalah metoda analisis rangkaian yang
berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Tegangan (KVL). Matajala adalah
bentuk khusus dari sebuah loop. Matajala adalah loop yang tidak mengandung
loop lain didalam siklus tertutupnya. Metode mata jala ini hanya berlaku pada
rangkaian planar.
Metode mata jala dilakukan dengan membuat persamaan KVL pada siklus
tertutup mata jala tersebut. Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah mata
jala maka persamaan KVL yang dihasilkan N buah.
Persamaan KVL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 27
VIR
Variabel yang dicari dalam analisis mata jala adalah arus mata jala.
Arus mata jala adalah arus yang mengalir pada elemen yang dilewati jalur mata
jala. Arus mata jala diberi arah searah dengan jarum jam. Arus mata jala bukan
merupakan arus cabang, tetapi hanyalah “dummy current”. Sehingga arus yang
mengalir pada suatu elemen yang dilalui oleh dua mata jala adalah jumlah
aljabar dari arus dua mata jala.
4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Tegangan
Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber tegangan dibawah ini:
Rangkaian diatas terdiri dari 3 buah mata jala. Persamaan KVL dituliskan untuk masing-masing mata jala.
Mata jala 1:
(1) )(
0)(
122121
212111
s
s
viRiRR
iiRiRv
Mata jala 2:
(2) 0)(
0)()(
34243212
32423122
iRiRRRiR
iiRiRiiR
Mata jala 3:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 28
(3) )(
0)(
235424
235234
s
s
viRRiR
viRiiR
Ke tiga persamaan diatas dituliskan dalam bentuk matrik:
2
1
3
2
1
544
44322
221
0
- 0
- )( -
0 -
s
s
v
v
i
i
i
RRR
RRRRR
RRR
544
44322
221
24
4322
1221
3
544
44322
221
542
42
121
2
544
44322
221
5442
4432
21
1
- 0
- )( -
0 -
- 0
0 )( -
-
- 0
- )( -
0 -
0
- 0 -
0
- 0
- )( -
0 -
-
- )( 0
0 -
RRR
RRRRR
RRR
vR
RRRR
vRRR
i
RRR
RRRRR
RRR
RRv
RR
vRR
i
RRR
RRRRR
RRR
RRRv
RRRR
Rv
i
s
s
s
s
s
s
Diktat Rangkaian Elektrik-1 29
Arus mata jala i1,i2,i3 dicari dengan aturan Cramer .
4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Arus
Metode analisis mata jala pada rangkaian dengan sumber arus lebih
mudah dibandingkan dengan sumber tegangan. Arus mata jala sama dengan
arus sumber yang mengalir pada mata jala tersebut.
Dari rangkaian diatas, arus mata jala 1 dan 3 langsung diketahui :
i1 = is1
i3 = is3
Sehingga hanya satu arus mata jala yang dicari yaitu i2. Persamaan KVL yang
perlukan hanya satu saja yaitu pada mata jala dua:
Mata Jala 2 :
0)()( 32423122 iiRiRiiR
Pada rangkaian dengan sumber arus, persamaan KVL menjadi berkurang
sejumlah sumber arus yang ada.
Apabila sumber arus berada pada dua mata jala seperti gambar dibawah
ini:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 30
is = i2 –i1
Untuk mendapatkan arus mata jala, rangkaian dapat diandaikan dengan
membuat suatu mata jala super (supermesh) dimana sumber arus is dimisalkan
hubung terbuka :
Mata jala super
)(
))((
))(()(
))((
)(
0
321
321
321321
13211
23211
232211
RRR
iRRvi
viRRiRRR
viiRRiR
viRRiR
iRiRiRv
ss
ss
ss
s
s
Mata jala super adalah suatu mata jala yang lebih besar yang dihasilkan dari
dua mata jala yang mempunyai sumber arus bebas maupun sumber arus tak
bebas bersama diantara dua mata jala.
CONTOH 4-2
Dik : R1 = R2 = 1Ω
R3 = 2 Ω
Diktat Rangkaian Elektrik-1 31
Dit : i1,i2,i3 = ....
Penyelesaian :
Aii
Ai
5
4
23
1
Mata jala super :
Aii
Ai
i
ii
ii
iii
iRiiRiiR
4
235
4
3
34
18)5(3
44103
102)4(1)4(1
0)()(10
23
2
2
22
32
332
33132121
Diktat Rangkaian Elektrik-1 32
ATURAN CRAMER :
Jika sekumpulan persamaan aljabar linier :
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
....
....
2211
22222121
11212111
dituliskan dalam bentuk matrik :
Ax = b
Maka aturan Cramer mengatakan bahwa solusi untuk variabel x yang tidak
diketahui, xk, dari sekumpulan persamaan diatas adalah :
kkx
Dimana :
: deterrminan dari matrik A
k : determinan dari matrik A yang kolom ke k-nya diganti dengan kolom b
Determinan
Diktat Rangkaian Elektrik-1 33
3231
2221
31
3331
2321
21
3332
2322
11
131312121111
13
31
1312
21
1211
11
11
131312121111
333231
232221
1312 11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
)1()1()1(
)1(
a a a
a a a
a a
aaa
AaAaAa
AaAaAa
ACij
CaCaCa
a
ij
ji
Diktat Rangkaian Elektrik-1 34
Bab T E O R E M A J A R I N G A N
5.1
TEOREMA SUPERPOSISI
Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier yang terdiri
dari elemen-elemen linier dan sumber bebas, kita dapat menentukan respon
total dari rangkaian dengan mencari respon terhadap masing-masing sumber
bebas dengan membuat sumber bebas lain menjadi tidak aktif dan kemudian
menjumlahkan respon-respon dari masing-masing sumber bebas tersebut.
Respon yang dicari bisa berupa arus ataupun tegangan dari suatu elemen.
Biasanya prisip superposisi dilakukan pada rangkaian yang mengandung dua
sumber bebas atau lebih.
Pada rangkaian linier yang mengandung sumber bebas, tegangan atau
arus pada suatu elemen bila dicari dengan prinsip superposisi dilakukan
dengan terlebih dulu mencari tegangan atau arus dengan satu sumber bebas
saja, sedangkan sumber yang lain di nonaktifkan dengan cara mengganti
sumber arus bebas dengan suatu hubung terbuka (open circuit) dan sumber
tegangan bebas dengan suatu hubung singkat (short circuit). Setelah itu
tegangan atau arus didapat dengan menjumlahkan respon tegangan atau arus
dari masing-masing sumber bebas.
5.1 Teorema Superposisi
5.2 Teorema Thevenin
5.3 Teorema Norton
Diktat Rangkaian Elektrik-1 35
Untuk rangkaian dengan N buah sumber bebas, secara sistematik
urutan-urutan pengerjaan prinsip superposisi adalah :
1. Buat rangkaian sehingga hanya mempunyai satu sumber bebas (tegangan /
arus). Sumber bebas yang lain (N-1 buah) dibuat tidak aktif. Jika sumber
bebas itu adalah sumber arus maka diganti dengan suatu hubung terbuka
(open circuit). Tetapi jika sumber tegangan diganti dengan suatu hubung
singkat (short circuit). Carilah respon tegangan atau arus.
2. Ulangi langkah pertama tetapi dengan sumber bebas yang lain yang
diaktifkan, sedangkan sumber bebas pada langkah pertama menjadi tidak
aktif.
3. Lakukan terus sampai semua sumber bebas (N buah) dipakai sebagai
sumber aktif.
4. Jumlah respon tegangan atau arus dari N buah sumber bebas.
Yang harus diingat bahwa sumber yang dapat di-nonaktifkan adalah
sumber bebas sedangkan sumber tak bebas tidak dapat dinonaktifkan.
CONTOH 5-1
Berapakah arus i dengan teorema superposisi ?
Penyelesaian :
1. Pada saat sumber tegangan aktif/bekerja maka sumber arus tidak aktif
(diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open
circuit) :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 36
Ai
Vi
Rtot
Vi
1
1010
20
2. Pada saat sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif
(diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit) :
AI
AI
IRR
RI S
5,0
11010
10
2
2
21
12
Sehingga :
AI
AI
III
5,0
5,0121
Diktat Rangkaian Elektrik-1 37
CONTOH 5-2
Carilah arus yang melewati rangkaian dibawah ini !
Penyelesaian :
1. Aktifkan sumber arus 10 A, kemudian hubung singkat sumber tegangan 8
volt.
2. Setelah diaktifkan sumber arus dan dihubung singkat sumber
tegangannya, maka hasil rangkaiannya menjadi seperti di bawah ini.
3. Kemudian hitung arusnya dengan rumus pembagi arus.
4. Aktifkan sumber tegangan, sedangkan sumber arus dihubungkan open
short circuit.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 38
CONTOH 5-3
Carilah arus yang melewati rangkaian dibawah ini !
Penyelesaian :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 39
Setelah Rt diketahui, maka arus yang lain dapat dicari
Setelah Rt diketahui, maka arus yang lain dapat dicari.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 40
CONTOH 5-1
Dit : i = ......
Penyelesaian :
1. Ambil sumber tegangan 12 V sebagai sumber rangkaian sedangkan 2
buah sumber arus 3A dan 9A tidak diaktifkan diganti dengan hubung
terbuka (OC)
Diktat Rangkaian Elektrik-1 41
Ai
Rtot
vi s
3
1
20124
12
2. Ambil sumber arus 3A sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber
arus 9A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC) dan sumber
tegangan 12 V tidak diaktifkan diganti dengan hubung singkat (SC)
Ai
3
43.
12420
412
arus pembagi prinsipGunakan
3. Ambil sumber arus 9A sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber
arus 3A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC) dan sumber
tegangan 12 V tidak diaktifkan diganti dengan hubung singkat (SC)
Aiiii
Ai
tot 233
4
3
1
39.12420
12
arus pembagi prinsipGunakan
Diktat Rangkaian Elektrik-1 42
CONTOH 5-2
Dit : Vx = ......
Penyelesaian :
1. Ambil sumber arus 4A sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber
tegangan 10 V tidak diaktifkan diganti dengan hubung singkat (SC)
Rangkaian diatas dapat disederhanakan kembali dengan memparalelkan
dua resistor 5 Ω :
5,255
5.5
Persamaan KCL pada titik A:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 43
411
5,7
2
3
5,54
2
321
Ax
AAx
kkm
VV
VVV
iii
Dimana :
xA
Akx
VV
ViV
3
5,5
3.5,5
3.2
Subsitusikan ke persamaan KCL diatas :
VV
V
VV
x
x
xx
16
4)25,15,1(
43
5,5
11
5,7
2
3
2. Ambil sumber tegangan 10 V sebagai sumber rangkaian sedangkan sumber
arus 4A tidak diaktifkan diganti dengan hubung terbuka (OC)
Diketahui : 13IVx
Persamaan KVL pada loop 1:
12
21
212
5,01
10105
0)(5105-
II
II
III
Diktat Rangkaian Elektrik-1 44
Persamaan KVL pada loop 2:
261016
10
5)5,23(
53
)5,7(3
5)5,032(3
0)5,01(5323
05323
1
111
211
VV
VV
Vx
VxVx
IVx
IIIVx
IIIVx
x
x
Diktat Rangkaian Elektrik-1 45
5.2
TEOREMA THEVENIN
Jika suatu rangkaian dengan satu sumber atau lebih dan terdiri dari susunan
resistor, maka rangkaian aktif tersebut dapat disederhanakan dengan
menggunakan Teorema Thevenin / Norton. Teorema Thevenin digunakan untuk
menyederhanakan suatu rangkaian sehingga hanya terdiri dari satu sumber
bebas tegangan dan satu buah resistansi yang terhubung seri dengan sumber
tegangan. Rangkaian pengganti Thevenin dapat dilihat pada gambar dibawah
ini :
Jika variabel yang akan dicari adalah arus pada resistansi beban RL, maka
perhitungan akan lebih mudah dengan mengganti sisa rangkaian disebelah kiri
terminal ab dengan sebuah sumber tegangan (Voc) dan sebuah resistansi
pengganti Thevenin (RT). Bila nilai resistansi beban RL berubah-ubah, maka
besar arus dicari hanya dengan membagi sumber tegangan dengan resistansi
seri antara resistansi pengganti Thevenin (RT) dan resistansi beban RL.
Teorema Thevenin sangat berguna untuk mencari arus, tegangan, atau daya
pada suatu elemen yang bersifat variabel (berubah-ubah nilainya).
Metode untuk mendapatkan Rangkaian Pengganti Thevenin :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 46
No Jenis Rangkaian Metode Penyelesaian
1. Sumber bebas dan resistor a. Cari Rth dengan menonaktifkan semua sumber, ganti sumber arus dengan hubung terbuka dan sumber tegangan dengan hubung singkat, dan dilihat dari terminal ab
b. Cari VOC , yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka (dengan semua sumber aktif)
2. Sumber bebas dan Sumber tak bebas , dan resistor
a. Cari VOC, yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka
b. Cari Isc, yaitu arus hubung singkat yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab dihubung singkat
c. Rth = Voc / Isc
3. Sumber tak bebas , dan resistor (tidak ada sumber bebas)
a. Tentukan VOC = 0
b. Hubungkan sumber arus 1 A pada terminal a-b dan tentukan Vab
c. Rth = Vab / 1
CONTOH
Dit : Pada gambar diatas, carikan VTH, RTH dan arus beban dan tegangan pada resistor beban dengan menggunakan Teorema Thevenin !
Penyelesaian :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 47
Langkah 1. Lepaskan Resistor beban 5kΩ.
Langkah 2. Hitung atau ukur tegangan rangkaian terbukanya. Tegangan inilah disebut dengan Tegangan Thevenin atau Thevenin Voltage (VTH). Setelah kita buka Resistor beban (langkah 1), rangkaiannya akan berbentuk seperti pada gambar dibawah ini. Menurut Hukum Ohm, arus listrik yang mengalir ke Resistor 12kΩ dan 4kΩ adalah 3mA. Resistor 8kΩ tidak dihitung, karena Resistor 8kΩ adalah rangkaian terbuka maka arus tidak akan mengalir sampai ke resistor tersebut. Tegangan pada Resistor 4kΩ adalah 12V yaitu dengan perhitungan 3mA x 4kΩ. Dengan demikian, Tegangan pada Terminal AB juga adalah 12V. Oleh karena itu, VTH = 12V.
Langkah 3. Lepaskan sumber arus listriknya dan hubungsingkatkan sumber tegangannya seperti pada gambar dibawah ini :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 48
Langkah 4. Hitung atau ukur tegangan Resistansi rangkaian terbuka tersebut. Resistansi ini disebut dengan Resistansi Thevenin atau Thevenin Resistance (RTH). Kita telah menghilangkan Sumber Tegangan 48V dengan melepaskan sumber arus listriknya dan hubungsingkatkan sumber tegangannya seperti pada langkah ke-3, sehingga sumber tegangan adalah ekivalen dengan 0 (V=0). Maka hubungan Resistor 8kΩ adalah seri dengan Paralel resistor 4kΩ dan 12kΩ. Jadi perhitungan untuk mencari RTH adalah sebagai berikut : RTH = 8kΩ + ((4kΩ x12kΩ)/(4kΩ+12kΩ) RTH = 8kΩ + 3kΩ RTH = 11kΩ
Langkah 5. Hubungkan secara Seri Resistor RTH dengan sumber tegangan VTH dan hubungkan kembali Resistor Beban 5kΩ seperti pada gambar dibawah ini. Inilah hasil dari perhitungan Teorema Thevenin atau disebut dengan Rangkaian Ekivalen Thevenin.
Diktat Rangkaian Elektrik-1 49
Langkah 6. Aplikasikan ke teori Hukum Ohm, hitung total arus beban dan tegangan beban seperti pada gambar 6. Mecari Arus Beban (IL) : IL = VTH/(RTH + RL) IL = 12V / (11kΩ + 5kΩ) IL = 12/16kΩ IL = 0,75 mA Dan mencari Tegangan Beban (VL) : VL = IL x RL
VL = 0,75mA x 5kΩ VL = 3,75 V
CONTOH 5-3
Dit : Rangkaian Pengganti Thevenin = ..... ?
Penyelesaian :
Pada saat terminal ab hubung terbuka, tegangan jatuh pada terminal ab
(VOC) sama dengan tegangan jatuh di 10 Ω :
Gunakan prinsip superposisi untuk mendapatkan tegangan di 10 Ω
VVVOC 2010).2(1069
910.
1069
810
2042025
180
25
8010 VVOC
VVVOC 2410
Diktat Rangkaian Elektrik-1 50
Resistansi Thevenin di cari dengan me-nonaktifkan semua sumber, dan
terminal ab dianggap sebagai sumber :
104
10)69(
10).69(THR
Rangkaian pengganti Thevenin :
CONTOH 5-4
Dit : Rangkaian Pengganti Thevenin = ..... ?
Penyelesaian :
Pada saat terminal ab hubung terbuka, tegangan jatuh pada terminal ab
(VOC) sama dengan tegangan jatuh di 8 Ω :
Gunakan KVL :
-48 +10i + 6i +8i = 0
Diktat Rangkaian Elektrik-1 51
24i = 48
i = 2A
ViVVOC 162.888
Karena resistor 8Ω paralel dengan hubung singkat maka R = 0, sehingga arus
isc = i
Gunakan KVL :
-48 +10i + 6i = 0
16i = 48
i = 3A
AII SC 3
3
16
Isc
VocRth
Rangkaian Pengganti Thevenin
CONTOH 5-5
Diktat Rangkaian Elektrik-1 52
Dit : Rangkaian Pengganti Thevenin = ..... ?
Penyelesaian :
Pada terminal ab dipasang sumber arus 1 A
Va = Vab
Persamaan KCL pada a :
5
2
1
5
2
22
11
22
1
abth
ab
ab
aba
VR
VV
V
VV
A
Rangkaian Pengganti Thevenin
Diktat Rangkaian Elektrik-1 53
5.3
TEOREMA NORTON
Teorema Norton digunakan untuk menyederhanakan suatu rangkaian sehingga
hanya terdiri dari satu sumber bebas arus dan satu buah resistansi yang
terhubung paralel dengan sumber arus. Rangkaian pengganti Norton dapat
dilihat pada gambar dibawah ini :
Bila nilai resistansi beban RL berubah-ubah, maka besar arus yang mengalir
pada RL dicari hanya dengan menggunakan konsep pembagi arus antara
resistansi pengganti Thevenin (RT) dan resistansi beban RL. Teorema Norton
sangat berguna untuk mencari arus, tegangan, atau daya pada suatu elemen
yang bersifat variabel (berubah-ubah nilainya).
Metode untuk mendapatkan Rangkaian Pengganti Norton :
No Jenis Rangkaian Metode Penyelesaian
1. Sumber bebas dan resistor a. Cari Rth dengan menonaktifkan semua sumber, ganti sumber arus dengan hubung terbuka dan sumber tegangan dengan hubung singkat, dan dilihat dari terminal ab
b. Cari Isc , yaitu arus yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab hubung singkat (dengan semua sumber aktif)
2. Sumber bebas dan Sumber tak bebas , dan resistor
a. Cari Isc, yaitu arus hubung singkat yang mengalir pada terminal ab saat terminal ab dihubung singkat
b. Cari VOC, yaitu tegangan pada terminal ab saat terminal ab hubung terbuka
Diktat Rangkaian Elektrik-1 54
No Jenis Rangkaian Metode Penyelesaian
c. Rth = Voc / Isc
3. Sumber tak bebas , dan resistor (tidak ada sumber bebas)
a. Tentukan IsC = 0
b. Hubungkan sumber arus 1 A pada terminal a-b dan tentukan Vab
c. Rth = Vab / 1
Besar tegangan hubung terbuka (VOC) pada rangkaian Thevenin dan arus
hubung singkat (IsC) pada rangkaian Norton memenuhi persamaan:
thscoc RIV .
CONTOH
Pada gambar dibawah ini, hitunglah Nilai Resistansi Norton (RN) dan Arus Norton (IN) serta Tegangan Beban (VL) pada Resistor Beban (RL) dengan menggunakan Teorema Norton !
Penyelesaian : Langkah 1. Hubung singkat Resistor beban 15Ω seperti pada gambar berikut ini :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 55
Langkah 2. Hitung atau ukur arus rangkaian hubung singkat tersebut. Arus ini disebut dengan Arus Norton (IN).Kita telah melakukan hubungsingkat (short) terminal AB untuk mendapatkan Arus Norton (IN) sehingga Resistor 60Ω dan 30Ω menjadi terhubung secara paralel. Kedua resistor tersebut kemudian terhubung seri terhadap resistor 20Ω. Dengan demikian Total Resistansi (Rt) yang akan terhubung ke Sumber adalah sebagai berikut : Rt = 20Ω + (60Ω || 30Ω) ⇒ (yang dimaksud dengan “||” adalah Paralel ) Rt = 20Ω + ((30Ω x 60Ω) / (30Ω + 60Ω)) Rt = 20Ω + 20Ω Rt = 40Ω Setelah mendapatkan nilai Total Resistor (Rt), maka selanjutnya adalah menghitungkan Arus listrik yang mengalir dengan menggunakan Hukum Ohm. It = V / Rt It = 12V / 40Ω It = 0,3A Kemudian carikan nilai arus sumber (ISc) yang juga sama dengan nilai arus Norton (IN) dengan menggunakan prinsip Pembagi Arus (Current Divider Rule). ISc = IN = 0,3A ((60Ω / (30Ω + 60Ω)) ISc = IN = 0,2A Jadi Arus Norton adalah 0,2A.
Langkah 3. Lepaskan Arus Sumbernya, Short atau Hubungsingkatkan Tegangan Sumber dan lepaskan Resistor Beban seperti pada gambar dibawah ini :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 56
Langkah 4. Hitung atau ukur Resistansi Rangkaian Terbuka. Resistansi ini dinamakan dengan Resistansi Norton (RN). Karena Tegangan sumber dihubungsingkatkan pada langkah 3, maka tegangan sumbernya sama dengan 0. Seperti pada gambar, kita dapat melihat Resistor 30Ω adalah berhubungan Seri dengan Resistor 60Ω dan 20Ω. Perhitungan untuk mencari Resistor Norton (RN) adalah sebagai berikut : RN = 30Ω + (60Ω || 20Ω)) ⇒ (yang dimaksud dengan “||” adalah Paralel ) RN = 30Ω + ((60Ω x 20Ω) / (60Ω + 20Ω)) RN = 30Ω + 15Ω RN = 45Ω Jadi, Nilai Resistor Norton (RN) adalah 45Ω.
Langkah 5. Hubungkan Resistor Norton (RN) secara paralel dengan sumber arus (IN) dan pasangkan kembali Resistor beban seperti pada gambar dibawah ini :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 57
Langkah 6. Langkah terakhir adalah menghitung nilai arus beban dan nilai tegangan beban pada Resitor beban berdasarkan Hukum Ohm : Menghitung Arus Beban (IL) yang mengalir melalui Resistor beban (RL) IL = IN x ((RN / (RN + RL)) IL = 0,2A x ((45Ω / ((45Ω + 15Ω)) IL = 0,15A Dan Menghitung Tegangan Beban (VL) pada Resistor Beban (RL) VL = IL x RL
VL = 0,15A x 15Ω VL = 2,25V Jadi Arus Beban yang mengalir melalui Resistor Beban adalah 0,15A, sedangkan Tegangan bebannya adalah 2,25V.
CONTOH 5-6
Soal pada contoh 5-5,
Dit : Rangkaian Pengganti Norton = ....
Penyelesaian :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 58
Pada saat terminal ab hubung-singkat, arus yang mengalir pada terminal ab
(ISC) sama dengan arus yang mengalir pada resistor 4 Ω :
AII
AII
II
SC
SC
SC
4,2
272,032,0
4
10)69(
10).69(20
410
10).2.(
10410.469
9
410
10.
10410.469
8
4
4
4
Resistansi Norton sama dengan nilai resistansi Thevenin, RTH = 10
Rangkaian pengganti Norton :
5.4
TRANSFER DAYA MAKSIMUM
Diktat Rangkaian Elektrik-1 59
Masalah transfer daya adalah masalah yang berkaitan dengan efisiensi dan
efektivitas. Pada kasus transmisi sinyal, masalah utama adalah mendapatkan
sinyal maksimum pada sisi penerima yang berjarak tertentu dari sisi pengirim.
Apabila terjadi pemindahan daya yang maksimum, dimana daya yang dikirim
hampir sama dengan daya yang diterima, berarti sinyal yang diterima sedikit
mengalami noise. Perhatikan rangkaian diatas, dimana rangkaian sumber A
sudah digantikan dengan sebuah rangkaian pengganti Thevenin yang terdiri
dari sebuah sumber Vs dan tahanan RT. Untuk mendapatkan transfer daya
maksimum, harus dilakukan pengendalian pada besar resistansi beban (RL) :
Jika arus i :
TL
s
RR
Vi
Maka besar daya yang ditransfer :
L
TL
sL
LL
RRR
Vp
Rip2
2
Untuk mendapatkan resistansi beban (RL) dimana transfer / pemindahan daya
maksimum dapat terjadi, persamaan daya (pL) diatas di-diferensialkan orde
satu terhadap RL :
0)(2)(
)(
)(2)(0
)(
)(2)(
2
4
22
4
22
LLTLT
LT
LLTLT
LT
LLTLT
L
L
RRRRR
RR
RRRRRsv
RR
RRRRRsv
dR
dp
Selesaikan persamaan diatas sehingga kita dapatkan :
RL = RT
Diktat Rangkaian Elektrik-1 60
Substitusikan RL = RT pada persamaan pL diatas, maka didapat :
L
s
L
L
L
sL
L
LL
sL
R
Vp
RR
Vp
RRR
Vp
4
22
2
2
Diktat Rangkaian Elektrik-1 61
Bab ELEMEN PENYIMPANAN MUATAN
6.1
INDUKTOR
Jika suatu belitan konduktor yang terdiri dari N lilitan dialiri arus (seperti gambar
1) maka akan timbul induktansi. Induktansi didefinisikan sebagai sifat elemen
listrik yang menghasilkan tegangan jika dialiri arus.
dt
diLv
Dimana :
L : induktansi (H)
6.1 Induktor
6.2 Kapasitor
Diktat Rangkaian Elektrik-1 62
Gambar 1. Model sebuah induktor
Induktansi adalah ukuran besaran kemampuan peralatan untuk menyimpan energi dalam bentuk medan magnetik.
Jika koil terdiri dari N lilitan maka besar flux total dalam satuan weber (Wb) adalah :
= N
Pada induktor linier, total flux sebanding dengan arus yang mengalir pada induktor, yaitu :
= Li
Besar daya pada induktor adalah :
idt
diLvip
Energi yang disimpan dalam induktor adalah :
)(2
)(2
)(2
0
22
0
2
00
tiL
tiL
w
tiL
w
diiLdtpw
t
t
t
t
t
t
Diktat Rangkaian Elektrik-1 63
Jika t0 = - , maka i (t0)= i(- ) = 0, sehingga besar energi yang bisa disimpan
oleh induktor adalah :
2
2
1Liw
6.1.1 Induktor seri dan Paralel
Jika Induktor terhubung seri maka besar induktansi pengganti adalah :
Ns
N
nns
LLLL
LL
....21
1
Gambar 2. a) Induktor terhubung seri b) Rangkaian Ekivalen
Sedangkan untuk Induktor terhubung paralel maka besar induktansi pengganti adalah :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 64
21
21
21
1
1....
111
11
LL
LLL
LLLL
LL
P
NP
N
nnP
i
i1+vN -
L1L2 LN
i2 iN
i LP
Gambar 3. a) Induktor terhubung paralel b) Rangkaian Ekivalen
CONTOH 6-1
Jika sebuah induktor 10 mH mempunyai arus sebesar 50 cos 1000t A.
Dit : Tegangan dan flux total = ….?
Jawaban :
v1000sin500
1000sin10.5.10
1000cos5010.10
42
3
tv
tv
tdt
d
dt
diLv
Wb1000cos5,0
1000cos50.10.10 3
t
tLi
Diktat Rangkaian Elektrik-1 65
6.2
KAPASITOR
Kapasitor adalah elemen yang terbentuk apabila dua buah piringan/lempengan
konduktor dipisahkan oleh bahan non konduktor ( bahan dielektrik).
Gambar 4. Model sebuah kapasitor
Kapasitor mempunyai kemampuan untuk menyimpan muatan listrik, dan
besarnya kemampuan untuk menyimpan muatan disebut kapasitansi. Besarnya
kapasitansi sebanding dengan konstanta dielektrik, luas permukaan konduktor
dan berbanding terbalik dengan ketebalan bahan dielektrik. Untuk
mendapatkan kapasitansi yang besar ketebalan bahan dielektrik dibuat setipis
mungkin.
d
AC
Diktat Rangkaian Elektrik-1 66
Muatan positip +q pada piringan satu identik dengan muatan –q pada piringan
yang lain. Energi untuk memindahkan muatan +q dari piringan yang satu ke
piringan yang lain didapat dari batere. Besarnya muatan yang diisi oleh batere
ke kapasitor adalah :
Cvq
Arus yang mengalir dari batere ke kapasitor besarnya :
dt
dvC
dt
dQi
Kapasitansi adalah ukuran besaran kemampuan peralatan untuk menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.
Besar daya pada kapasitor adalah :
dt
dvCvvip
Energi yang disimpan dalam induktor adalah :
)(2
)(2
)(2
0
22
0
2
00
tvC
tvC
w
tvC
w
dvvCdtpw
t
t
t
t
t
t
Diktat Rangkaian Elektrik-1 67
Karena kapasitor belum terisi muatan pada t = - , maka v(t)= v(- ) = 0,
sehingga besar energi yang bisa disimpan oleh kapasitor adalah :
2
2
1Cvwc
6.2.1 Kapasitor seri dan Paralel
Jika Kapasitor terhubung paralel maka besar induktansi pengganti adalah :
Np
N
nnp
CCCC
CC
....21
1
Gambar 5. a) Kapasitor terhubung seri b) Rangkaian Ekivalen
Sedangkan untuk kapasitor terhubung seri maka besar kapasitor pengganti adalah :
Diktat Rangkaian Elektrik-1 68
Ns
N
nn
CCCC
CCs
1....
111
11
21
1
Untuk dua buah kapasitor yang terhubung seri, kapasitansi pengganti :
21
21
CC
CCCs
Gambar 6. a) Kapasitor terhubung paralel b) Rangkaian Ekivalen
CONTOH 6-2
Jika tegangan awal (t = 0) pada kapasitor 0,25 F adalah 5 V. Berapa
tegangan kapasitor untuk t >0 jika arus adalah 5cos 4t A.
Jawaban:
Diktat Rangkaian Elektrik-1 69
V 4sin5
4cos20
4cos20
25,04cos5
tv
tdtv
tdt
dvdt
dvt
dt
dvC
dt
dQi