USAHA DAN ENERGI
KINANTI B.M TT-37-11
USAHA DAN ENERGI
Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gaya
dan perpindahan
Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja
pada benda juga besar
Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda
belum bergerak maka tidak ada usaha
Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan
usahaBeberapa contoh energi
Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan
energi kinetik
Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakan
energi potensial
Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik
KINANTI B.M TT-37-11
Usaha
Usaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan Interna-
sional Joule [J]
Jika gaya (F) konstan dan berimpit
dengan perpindahan (r) benda maka
WAB=F(r)
Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit
dengan perpindahan (r) benda maka
cos)(. rFrFW
Secara umum jika gaya tidak konstan
dan/atau lintasan tidak membentuk
garis lurus maka
..B
A
AB rdFW
F
A B
F
A B
F
A
B
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Gaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gaya
tersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitung
usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel adalah
NjxiyF ˆ2ˆ
a. Garis patah ACB
b. Garis patah ADB
c. Garis lurus AB
d. Garis parabola
x(m)
y(m)
A
B
C
D
Usaha yang dilakukan gaya tsb
dari A ke B adalah
dyjdxijxiyW
B
A
ABˆˆ.ˆ2ˆ
xdyydxW
B
A
AB 2
KINANTI B.M TT-37-11
a. Melalui lintasan ACB
xdyydxxdyydxWWW
B
C
C
A
CBACAB 22
xdyydxxdyydxWAB 22
)4,2(
)0,2(
)0,2(
)0,0(
Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementara
y tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x
tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.
JdyxdyWAB 1642
4
0
)4,2(
)0,2(
KINANTI B.M TT-37-11
b. Melalui lintasan ADB
xdyydxxdyydxWWW
B
D
D
A
DBADAB 22
xdyydxxdyydxWAB 22
)4,2(
)4,0(
)4,0(
)0,0(
Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementara
x tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y
tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.
JdyydxWAB 84
2
0
)4,2(
)4,0(
KINANTI B.M TT-37-11
c. Melalui lintasan garis lurus AB
Persamaan garis lurus AB adalah
dxdyxy 22
xdyydxxdyydxW
B
A
AB 22
)4,2(
)0,0(
2
0
2
0
642 xdxxdxxdxWAB
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis AB
sehingga
JWAB 12
KINANTI B.M TT-37-11
c. Melalui lintasan garis parabola AB
Persamaan garis parabola AB adalah
xdxdyxy 22
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
xdyydxxdyydxW
B
A
AB 22
)4,2(
)0,0(
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-
bola AB sehingga
2
0
2
2
0
22 54 dxxdxxxWAB
JWAB 3/40
KINANTI B.M TT-37-11
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif
Gaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya tidak ber-
gantung pada lintasan tempuh
Gaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya ber-
gantung pada lintasan tempuh
Gaya pada contoh di atas termasuk gaya non
konservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B
melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya
NjxiyF ˆ2ˆ
Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gaya
ini pada suatu lintasan tertutup tidak nol,
0.....
2121
B
CA
nk
B
CA
nk
A
CB
nk
B
CA
nknk rdFrdFrdFrdFrdFW
A B
C1
C2
KINANTI B.M TT-37-11
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2)
Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekan
adalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnya
selalu melawan perpindahan) sehingga usahayang dilakukan gaya gesekan
pada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nol
Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya
Listrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.
Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya ini
tidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini pada
contoh sebelumnya.
NjxiyF ˆˆ
B
A
B
A
AB xdyydxdyjdxijxiyW ˆˆ.ˆ2ˆ
)4,2(
)0,0(
)4,2(
)0,0(
8)( JxydxdyydxWAB
KINANTI B.M TT-37-11
Daya
Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap
waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan
per detik
Contoh :
Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atau
Watt
vFdt
rdF
dt
dWP
..
dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda
Sebuah pompa air tertulis 100 Watt artinya dalam satu detik pompa
tersebut memiliki usaha 100 J. Jika dibutuhkan usaha10 KJoule untuk
memompa 100 liter air dari kedalaman 10 m maka pompa tersebut
dapat memompa 100 liter dalam waktu100 detik.
KINANTI B.M TT-37-11
Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda
yang bergerak
Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebanding
juga dengan kuadrat laju benda
Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usaha
yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah
B
A
AB rdFW
. drdt
vdm
B
A
.
Ingat Hk. Newton F=ma
ABAB
B
A
EkEkmvmvvvmd 2
2
12
2
1.
dengan EkB adalah energi kinetik di B dan EkA energi kinetik di A
Dari persamaan terakhir disimpulkan :
Usaha = Perubahan Energi Kinetik
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Sebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapa
usaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelah
sampai di tanah?
B
A
mg
h
Usaha gaya gravitasi
B
A
gravAB JmghmgdyWW 100
Mencari kecepatan di tanah (B)
smv
mvmgh
mvmvW
B
B
BBAB
/10
2
21
2
212
21
KINANTI B.M TT-37-11
Pembahasan Usaha dari Grafik
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan
gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik maka
usaha adalah luas daerah di bawah kurva
x
F(x)
A B
B
A
AB dxxFW )(
= luas daerah arsir
Contoh
Gaya yang bekerja pada benda 2kg
digambarkan dalam grafik di samping.
Jika kecepatan awal benda 2 m/s,
berapa kecepatannya setelah 6 detik?
F(N)
X(m)2 4 6
8
KINANTI B.M TT-37-11
Usaha = luas daerah di bawah kurva
mWAB 328168
Usaha = perubahan energi kinetik
smvvmvmvWAB /6)2)(2()2(32 2
212
212
0212
21
Contoh 2
Balok 2 kg meluncur ke kanan dengan
laju 10 m/s pada lantai kasar dengan
μk seperti grafik di samping
x(m)
μk
4 10
0,5
Tentukan :
Usaha yang dilakukan oleh gaya
gesekan dari x=0 sampai x=10 m
Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m
KINANTI B.M TT-37-11
Besar gaya gesekan adalah
kkkk mgNf 20
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
Jkurvadaerahluasx
dxdxfW
x
x
k
x
x
kges
80)31(20)(20
20
10
0
10
0
Usaha=perubahan energi kinetik
2
212
21
2
0212
21
)10)(2()2(80
v
mvmvWges
smv /20
(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan
Karena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)
Ada gesekan menyebabkan
kecepatan balok menjadi ber-
kurang (perlambatan)
KINANTI B.M TT-37-11
Energi Potensial
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif
maka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung pada
lintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awal
dan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi)
Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakan
fungsi dari posisi
)()(. AUBUrdFW
B
A
kAB
dengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan
U(A) adalah energi potensial di titik A
Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titik
acuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.
KINANTI B.M TT-37-11
Energi Potensial (2)
Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di
mana U(A)=0 maka
)()()(. BUAUBUrdFW
B
Acuan
kAB
Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial
di posisi r tersebut adalah
r
Acuan
k rdFrU
.)(
Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gaya
Konservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari
Titik acuan ke titik r tersebut
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada keting-
gian h :
mghdyjjmghU
h
0
ˆ).ˆ()(
Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensial
sama dengan nol
Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistem
pegas yang teregang sejauh x :
2
2
1
0
)( kxkxdxxU
x
Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaan
Kendur, dengan energi potensial sama dengan nol
KINANTI B.M TT-37-11
Hukum Kekal Energi
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif
maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah
)()(. AUBUrdFW
B
A
kAB
Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B
sama dengan perubahan energi kinetik
AB
B
A
kAB EkEkrdFW
.
Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang
bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka
)()( AUBUEkEk AB
)()( BUEkBUEk AB atau
KINANTI B.M TT-37-11
Hukum Kekal Energi (2)
Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi (HKE),
yang arti fisisnya adalah bahwa energi total di titik B sama de-
ngan energi total di titik A (energi di semua titik adalah sama)
)()( BUEkBUEk AB
Energi total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial
pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya
)(rUEkE
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka
hukum kekal energi menjadi
AABB mghmvmghmv 2
2
12
2
1
dengan vB dan vA adalah kecepatan di titik B dan A, serta
hB dan hA adalah ketinggian titik B dan A
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh 1
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-
tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak AB
adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya
gravitasi dari A ke B
Kecepatan balok di BA
B
37omg
N
mgsin37
x
hA
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah
B
A
B
A
gravgrav JABmgdxmgrdFW 60)5)(6,0)(10)(2()(37sin37sin.
KINANTI B.M TT-37-11
Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya
Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum
Kekal Energi
AABB mghmvmghmv 2
2
12
2
1
,)10(200)2( 2
21
AB hv mABhA 337sin)(
smvB /60
Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengan
cara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja,
kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan,
setelah itu cari kecepatan di B.
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh 2
Balok m=2 kg bergerak ke kanan
dengan laju 4 m/s kemudian me-
nabrak pegas dengan konstanta
pegas k.
m
A B C
Jika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekan
maksimum, tentukan
kecepatan balok saat manabrak pegas di B
konstanta pegas k
Penyelesaian :
Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B
)()( 2
212
21 AUmvBUmv AB
karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0
maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A, yaitu
4 m/s
KINANTI B.M TT-37-11
Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas tertekan
maksimum sehingga balok berhenti sesaat sebelum bergerak
kembali ke tempat semula
Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C
2
212
212
212
21
BBCC kxmvkxmv
mNk
k
BCk
/128
)4)(2()(
0)4)(2()(0
2
212
21
21
2
212
21
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh 3
Benda bermassa m diputar dengan tali sehingga
membentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R
berapa kecepatan awal minimum di titik A
agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)
berapa kecepatan awal minimum di titik A
agar m dapat mencapai satu putaran penuh
Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan T
Usaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan
Penyelesaian
A
B
C
R
mg
T
Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B
AABB mghmvmghmv 2
2
12
2
1
00 2
21 AmvmgR gRvA 2
KINANTI B.M TT-37-11
A
B
C
RmgT
Agar m dapat mencapai satu putaran penuh
maka saat m mencapai titik C semua komponen
gaya pada m yang berarah ke pusat lingkaran
harus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg
gRm
TRv
R
vmFmgT
C
Csp
2
2
Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C
CCAA mghmvmghmv 2
212
21
RmggRmmvmTR
A 2)(0212
21
gRvmTR
A 52 gRvA 5min (ambil T=0)
KINANTI B.M TT-37-11
Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gaya
non konservatif maka gaya total
nkk FFF
Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah
nkAB
B
A
nk
B
A
kAB
WAUBUW
rdFrdFW
)()(
..
dengan adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif B
A
nknk rdFW
.
Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga
nkAB WAUEkBUEk )()(
Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum Kekal Energi
dalam gaya konservatif dan non konservatif
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh 1
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-
tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan μk=1/2
dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya
gesekan dari A ke B
Kecepatan balok di BA
B
37omg
N
mgsin37
x
hA
fk
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
B
A
k
B
A
gesges JdxmgmrdFW 30)5)(6,0)(10)(2)(2/1(37cos.
Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan
KINANTI B.M TT-37-11
Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per-
soalan di atas terdapat Wnk
Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang
termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku
Hukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif
JWW gesnk 30
nkAABB Wmghmvmghmv 2
212
21
,30)10(200)2( 2
21 AB hv mABhA 337sin)(
smvB /30
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh 2
B
A37o
F
Balok 0,1 kg didorong pada bidang
miring dengan gaya horisontal F=1 N
di titik A tanpa kecepatan awal. Jika
bidang miring 37o kasar dengan μk=1/2
dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
Kecepatan balok di titik B
Penyelesaian
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
B
A
B
A
gravgrav JABmgdxmgrdFW 3)5)(6,0)(10)(1,0()(37sin37sin.
KINANTI B.M TT-37-11
Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
JW
dxFmgrdFW
ges
B
A
k
B
A
gesges
3)5)}(6,0)(1()6,0)(10)(1,0){(2/1(
)37sin37cos(.
Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
B
A
B
A
F JdxFrdFW 3)5)(6,0)(1(37cos.
Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsep
usaha total = perubahan energi kinetik
ABFgesgravAB EkEkWWWW
0)1,0(333 2
21 BAB vW
smvB /60
KINANTI B.M TT-37-11
1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaan
mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut
dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengi-
kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter.
Sudut pun berubah menurut cos = 0,7 0,02x. Berapa kerja
yang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampai
x = 20 m.
2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang panjang-
nya 30 cm (kemiringan 30o), tanpa gesekan dengan gaya horizontal
F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s,
a. berapa usaha yang dilakukan F
b. Berapa besar gaya F
c. Bila bidang adalah kasar dengan k=0,15, berapa jarak mak-
simum yang dapat ditempuh benda.
Soal KINANTI B.M TT-37-11
Sebuah benda diputar dengan tali sehingga
membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan
jarijari R.
a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar
dapat menempuh ¼ lingkaran (titik B)
b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar
benda dapat mencapai satu lingkaran penuh.
A
B
C
3.
A
B
F
Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang
miring dengan sudut kemiringan 37o.
Pada benda ini bekerja gaya F=1 N
mendatar. Mulamula benda diam di A
kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m.
Jika koefisien gesekan kinetis bidang
adalah 0,5 tentukanlah kecepatan benda
ketika sampai di Bdengan cara energi
4
KINANTI B.M TT-37-11
MOMENTUM LINIER
KINANTI B.M TT-37-11
IMPULS DAN MOMENTUM LINIER
Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral dari
gaya yang bekerja pada benda terhadap waktu
Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitas
gerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)
Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan p
memiliki satuan kg m/s
vmp
Definisi Momentum
Definisi Impuls
Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memiliki
satuan Ns
t
t
dtFI
0
KINANTI B.M TT-37-11
Hukum Newton dalam Impuls
Hukum Newton dapat ditulis kembali
dalam bentuk rm
dt
d
dt
00
0 0
vmvmpppddtF
p
p
t
Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu maka
persamaan di atas menjadi
dengan p adalah momentum akhir, p0 momentum awal, v kecepatan
akhir dan v0 kecepatan awal
Dengan definisi impuls dan momentum maka diperoleh
pppI
0
Atau dengan kata lain :
Impuls = perubahan momentum
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Benda bermassa 2 kg bergerak dengan
kecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x,
dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudian
pada benda bekerja gaya dalam arah
sb y Fy=2t N, dan gaya dalam arah sb x
seperti gambar di samping.
Fx (N)
t(s)2
4
5
-5
Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 s
b. Kecepatan saat t=4 s
Penyelesaian
a. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam
bentuk
jIiII yxˆˆ
dengan Ix dan Iy adalah komponen impuls dalam arah sumbu x
dan sumbu y
KINANTI B.M TT-37-11
Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengan
cara mencari luas daerah dari grafik, yaitu
0)5)(2()5)(2(21
21 xI
Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah
NsttdtI y 1624
0
2
4
0
Jadi : NsjI ˆ16
b. Impuls = perubahan momentum
jipjppI ˆ4ˆ22ˆ160
skgmjip /ˆ12ˆ4
Sehingga kecepatan saat t=4 s adalah
smjim
pv /ˆ6ˆ2
KINANTI B.M TT-37-11
Sistem Banyak Partikel
Tinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, katakan-
sejumlah N partikel
Momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap
partikel
Nppppp
321
Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya ekster-
nal Fe1 maka dinamika partikel 1 adalah
N
e FFFFdt
pd113121
1
dengan F12, F13,…, F1N adalah gaya internal/interaksi antara
Partikel ke-1 dengan ke-2, dengan ke-3, ….., dengan ke-N
KINANTI B.M TT-37-11
Sistem Banyak Partikel (2)
Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, …, ke-N,
jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal
N
e FFFFdt
pd223212
2
N
e FFFFdt
pd332313
3
)1(21 NNNN
e
NN FFFF
dt
pd
Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultan
dari dinamika masing-masing partikel, yaitu
112112321
321 )...(
NN
e
N
eee
N
FFFFFFFF
ppppdt
d
KINANTI B.M TT-37-11
Sistem Banyak Partikel (3)
Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karena
masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawanan
arah.
Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal saja
e
N
eee FFFFdt
pd
....321
Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka persama-
an di atas menjadi
pdtFFFFI e
N
eee
N
....321
Impuls total yang bekerja pada sistem sama dengan perubahan
Momentum sistem
KINANTI B.M TT-37-11
Pusat Massa
Dalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalah
resultan dari momentum setiap partikel penyusunnya
Nppppp
321
NNvmvmvmvmp
332211
dt
rdm
dt
rdm
dt
rdm
dt
rdmp N
N
3
32
21
1
Jika massa total sistem adalah M=m1+m2+m3+….+mN maka
momentum total sistem dapat ditulis
M
rmrmrmrm
dt
d
Mp 111111111
pmVMp
KINANTI B.M TT-37-11
Pusat Massa (2)
dengan
pmpm Rdt
dV
disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel,
dan
M
rmrmrmrm
dt
dR NN
pm
332211
adalah posisi pusat massa
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Tentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empat
buah partikel yang bermassa m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, dan
m4=4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkar
yang memiliki panjang sisi 1 m
Dengan sumbu koordinat seperti gambar
maka posisi pusat massa terbagi 2 kom-
ponen
mxpm 5,04321
0.41.31.20.1
m1m2
m3m4
x
y
my pm 7,04321
1.41.30.20.1
KINANTI B.M TT-37-11
Pusat massa untuk benda kontinu
Pada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyak
Titik, hanya notasi sigma diganti dengan integral
dmrM
rpm 1
Massa total sistem
dmM
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Batang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dari
X=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapat
massanya fungsi dari posisi =12x kg/m, tentukanlah pusat massa
Batang!
elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akan
memiliki elemen kecil massa dm= dx
Massa total batang
kgxdxdxdmM 60012
10
0
10
0
Pusat massa batang
mdxxM
xpm3
201
KINANTI B.M TT-37-11
Hukum Kekal Momentum
Jika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengan
nol maka
0dt
Pd
atau tankonsP
Momentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu)
Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum total
sistem adalah tetap.
Sebagai contoh berlakunya hukum kekal momentum adalah pada
peristiwa tumbukan, misalnya dua buah benda bertumbukan maka
2 benda tsb dipandang sebagai satu sistem, sehingga momentum
total sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sistem
sesudah tumbukan
KINANTI B.M TT-37-11
Tumbukan
Dalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski-
pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangat
singkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagai
satu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se-
bagai pasangan gaya aksi-reaksi.
Ada 3 jenis tumbukan :
Tumbukan lenting sempurna
(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekal
energi kinetik)
Tumbukan tidak lenting sama sekali
Tumbukan lenting sebagian
KINANTI B.M TT-37-11
Contoh
Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-
numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan
laju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :
Kecepatan kedua benda setelah tumbukan
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa
tumbukan terjadi
Penyelesaian :
Berlaku hukum kekal momentum
Momentum awal sistem = momentum akhir sistem
smv
v
vmvmvmvm
/3'
')42()2(4)13(2
'' 22112211
KINANTI B.M TT-37-11
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan
JvmEk 1692
112
11
JvmEk 82
2221
2
JvmmEk 27')( 2
2121
1
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukan
tidak sama
KINANTI B.M TT-37-11
1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan
2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehingga
kecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impuls
tumbukkan ?
Soal
2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bola
kedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan
laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang
dipindahkan ke bola kedua
3. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan 4 m/s menum-
buk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbu-
kan bola pertama membentuk sudut 30o terhadap arah semula.
Bila tumbukkan lenting sempurna, tentukan kecepatan masing
masing bola setelah tumbukan.
KINANTI B.M TT-37-11
R
Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v
menembus balok bermassa M, dan keluar dgn
kecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung tali
dengan panjang R. Berapa kecepatan minimum
peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ?
5.
6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg
digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masingmasing
dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara,
dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.
7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 80i +60j m/s.
Pada ketinggian tertentu peluru meledak menjadi dua bagian. Ba-
gian pertama bermassa 1/3 dari massa semula jatuh pada jarak
200 m dari titik asalnya. Kedua benda tiba di tanah pada waktu
bersamaan. Dimana letak jatuhnya bagian kedua.
KINANTI B.M TT-37-11
8. Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa meda gravitasi
dengan kecepatan awal 500 i m/s. Roket menyemburkan gas
dengan laju relatif terhadap roket 1000 m/s dalam arah berlawanan
dengan gerak roket.
a. Tentukan kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal sete-
ngah kali massa semula,
b. Berapa besar gaya dorong selama perjalanan ini bila laju
penyemburan gas adalah 10 kg/s
KINANTI B.M TT-37-11
TUMBUKAN
Dalam kejadian tumbukan dari dua atau
lebih benda berlaku hukum kekekalan momentum linier, karena benda-benda yang mengalami tumbukan berada dalam satu sistem. Sedangkan interaksi antar benda berupa gaya interaksi mempunyai resultan nol dan tidak ada
gaya dari luar sistem.
P =Pi = mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2
A BvA1 vB1
Sebelum tumbukan
A BvA2 vB2
Sesudah tumbukanSimulasi
KINANTI B.M TT-37-11