1.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 1: Vetores
Informações sobre o curso
Bibliografia
Introdução a Álgebra Linear com Aplicações6ª ediçãoEditora: LTCAutor: Bernard Kolman
1.2
1.1 - Vetores
Grandezas Físicas Escalares
Massa
Pressão
Velocidade
Força
Grandezas Físicas Vetoriais
1.3
Deslocamento
1.1 - Vetores
1.4
Todos os segmentos orientados que têm a mesmadireção, o mesmo sentido e o mesmo comprimentosão representantes de um mesmo vetor.
A C
DB
1.1 - Vetores
1.6
Vetor Nulo
1.1 - Vetores
1.7
Vetor Unitário
Vetor Simétrico (ou oposto)
v-v
1.1 - Vetores
1.8
Vetores Colineares
v
uA
BC
D
uA
B vCD
1.1 - Vetores
1.9
eq=\LARGE\[ E\,=\,M\,C^2\]
Vetores Coplanares
uB
A
C Dv
1.2 - Operações com vetores
1.10
1.2.1 - Adição de vetores
u
B
A
v
C
D
1.2 - Operações com vetores
1.11
1.2.1 - Adição de vetores
b)
a)
1.2 - Operações com vetores
1.12
1.2.1 - Adição de vetores
u
B=C
A
v
Du+v
1.2 - Operações com vetores
1.13
1.2.1 - Adição de vetores
Regra do ParalelogramoUma forma prática de calcular a soma entredois vetores é construindo um paralelogramo.
u
B
VoltarvC
D Adição
A
A=C v
u u + v
1.2 - Operações com vetores
1.14
1.2.1 - Adição de vetores
Propriedades da AdiçãoAssociativa: 1)
Voltar
v
u
w
u + v
v
u
Adição
u + vw
y=
x=
name=uv_w
(u+v)+w
v
u
w
v
w v + wv + w
uu+(v+w)
1.2 - Operações com vetores
1.15
1.2.1 - Adição de vetores
Propriedades da Adição
Comutativa:2)
4)
3)
1.2 - Operações com vetores
1.16
1.2.1 - Adição de vetores
Observação
v
u
DB
A
u+v
v+u u
v
D B
A
u
-v
u
-v
u-v
1.2 - Operações com vetores
1.17
1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor
b)
c)
a)
1.2 - Operações com vetores
1.18
1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor
1.2 - Operações com vetores
1.19
1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor
a)
c)
d)
b) (propriedade distributiva)
1.20
1.3 - Vetores no
AB
P
1.3 - Vetores no
1.21
Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema
1.3 - Vetores no
1.22
Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema
1.4 - Igualdade e Operações
1.23
Igualdade
Exemplos:1)2)
1.4 - Igualdade e Operações
1.24
Operações
b)
a)
1.4 - Igualdade e Operações
1.25
Operações
1.26
1.5 - Vetor definido por dois pontos
1.27
1.5 - Vetor definido por dois pontos
1.28
1.6 - Produto Escalar
Definição
1.29
1.6 - Produto Escalar
Módulo de um vetor
1.30
1.6 - Produto Escalar
Vetor unitário
1)Observação
1.31
1.6 - Produto Escalar
2)
1.32
1.6 - Produto Escalar
Propriedades do Produto Escalar
II)
III)
IV)
I)
1.33
1.6 - Produto Escalar
ObservaçãoDas propriedades (I) - (IV) obtemos que:
De fato:
Mostre que, de forma análoga:
1)
1.34
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.35
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.36
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.37
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1
21 2
1.38
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.39
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.40
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.41
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores
a)
3
3
1.42
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores
u
v
62
-3
-4
1.43
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores
b)
1.44
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores
1.45
1.9 - Vetores no
1.9 - Vetores no
1.46
Propriedades:1)
2)
1.9 - Vetores no
1.47
Propriedades:
3)
4)
5)
1.9 - Vetores no
1.48
Propriedades:
7)
a)
b)
6)
1.49
1.10 - Vetores no
1.10 - Vetores no
1.50
.b)
.c)
.d)
.e)
a)
1.51
Exercícios
Faça os seguintes exercícios da seção 3.1, páginas115/116 do livro texto.
(a), (c) e (e)1)(a) e (b)2)
3)(a), (b) e (c)5)(a), (b) e (c)7)
(a) e (c)12)
(a) e (d)10)
14)(a) e (b)19)(b) e (c)21)(a), (b) e (c)24)
Exercícios Teóricos
T.1, T.3, T.5 e T.8.